El documento proporciona una introducción a la historia y conceptos básicos del cálculo de probabilidades. Brevemente describe que los juegos de azar han existido por miles de años y que el desarrollo del cálculo de probabilidades como disciplina matemática ocurrió entre los siglos XVI y XVIII, impulsado por problemas de astronomía, física y seguros. También introduce conceptos clave como sucesos, espacio muestral, operaciones con sucesos como unión e intersección.
El documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la posibilidad de que ocurran ciertos resultados al azar y surgió del estudio de los juegos de azar. Luego define conceptos clave como espacio muestral, eventos, tipos de sucesos, y axiomas. Finalmente concluye destacando la utilidad de la probabilidad para analizar situaciones e identificar eventos descartables.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica conceptos clave como espacio muestral, evento y propiedades de la probabilidad. Define un espacio muestral como un conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Un evento es una colección de puntos del espacio muestral. Explora ejemplos como calcular la probabilidad de sacar un número par al tirar un dado. Concluye que la teoría de probabilidad es importante para analizar datos estadísticos y predecir resultados de eventos aleatorios.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de experimento, espacio muestral, evento y operaciones entre conjuntos. Explica el cálculo de probabilidad según el enfoque clásico y las reglas aditivas como la regla especial y general de adición, regla de diferenciación y multiplicación. También cubre probabilidad condicional y la distinción entre eventos dependientes e independientes.
1) La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio bajo condiciones estables. 2) Un espacio muestral representa todos los posibles resultados de un experimento, y un suceso es un subconjunto de resultados posibles. 3) La probabilidad de un suceso simple es un número entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los sucesos simples debe ser 1.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad surge del estudio de fenómenos inciertos y aleatorios. Luego resume los orígenes y desarrollo histórico de la teoría de la probabilidad desde la Edad Media hasta el siglo XX, incluyendo las contribuciones de figuras como Cardano, Galileo, Kolmogorov y otros. Finalmente, define conceptos clave como probabilidad condicional, subjetiva y lógica.
El documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría estudia las relaciones entre variables económicas utilizando modelos matemáticos. Define los diferentes tipos de modelos (mental, verbal, físico, matemático) y distingue entre modelo económico y econométrico. Finalmente, describe el proceso de estimación y verificación de modelos econométricos utilizando datos empíricos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado de un experimento aleatorio y que la teoría de la probabilidad se usa ampliamente en áreas como estadística, física y matemáticas. Luego resume brevemente las definiciones de probabilidad objetiva, probabilidad subjetiva y probabilidad como frecuencia relativa, antes de concluir con una explicación del concepto de espacio muestral y algunos conceptos clave de probabilidad.
Material de Clase Econometria I 2015 Alex Aguayo MartinezAlex Aguayo
1) El documento introduce el concepto de econometría, la cual busca establecer relaciones empíricas entre variables económicas mediante el uso de métodos estadísticos y econométricos.
2) Se definen las medidas de covarianza y correlación muestral, las cuales permiten cuantificar la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables económicas.
3) El capítulo 1 introduce el modelo lineal básico con dos variables, analizando gráficamente la relación entre ellas y calculando estadísticos descriptivos como la
El documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la posibilidad de que ocurran ciertos resultados al azar y surgió del estudio de los juegos de azar. Luego define conceptos clave como espacio muestral, eventos, tipos de sucesos, y axiomas. Finalmente concluye destacando la utilidad de la probabilidad para analizar situaciones e identificar eventos descartables.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica conceptos clave como espacio muestral, evento y propiedades de la probabilidad. Define un espacio muestral como un conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Un evento es una colección de puntos del espacio muestral. Explora ejemplos como calcular la probabilidad de sacar un número par al tirar un dado. Concluye que la teoría de probabilidad es importante para analizar datos estadísticos y predecir resultados de eventos aleatorios.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de experimento, espacio muestral, evento y operaciones entre conjuntos. Explica el cálculo de probabilidad según el enfoque clásico y las reglas aditivas como la regla especial y general de adición, regla de diferenciación y multiplicación. También cubre probabilidad condicional y la distinción entre eventos dependientes e independientes.
1) La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio bajo condiciones estables. 2) Un espacio muestral representa todos los posibles resultados de un experimento, y un suceso es un subconjunto de resultados posibles. 3) La probabilidad de un suceso simple es un número entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los sucesos simples debe ser 1.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad surge del estudio de fenómenos inciertos y aleatorios. Luego resume los orígenes y desarrollo histórico de la teoría de la probabilidad desde la Edad Media hasta el siglo XX, incluyendo las contribuciones de figuras como Cardano, Galileo, Kolmogorov y otros. Finalmente, define conceptos clave como probabilidad condicional, subjetiva y lógica.
El documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría estudia las relaciones entre variables económicas utilizando modelos matemáticos. Define los diferentes tipos de modelos (mental, verbal, físico, matemático) y distingue entre modelo económico y econométrico. Finalmente, describe el proceso de estimación y verificación de modelos econométricos utilizando datos empíricos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado de un experimento aleatorio y que la teoría de la probabilidad se usa ampliamente en áreas como estadística, física y matemáticas. Luego resume brevemente las definiciones de probabilidad objetiva, probabilidad subjetiva y probabilidad como frecuencia relativa, antes de concluir con una explicación del concepto de espacio muestral y algunos conceptos clave de probabilidad.
Material de Clase Econometria I 2015 Alex Aguayo MartinezAlex Aguayo
1) El documento introduce el concepto de econometría, la cual busca establecer relaciones empíricas entre variables económicas mediante el uso de métodos estadísticos y econométricos.
2) Se definen las medidas de covarianza y correlación muestral, las cuales permiten cuantificar la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables económicas.
3) El capítulo 1 introduce el modelo lineal básico con dos variables, analizando gráficamente la relación entre ellas y calculando estadísticos descriptivos como la
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del experimento realizado para determinar la probabilidad de eventos al lanzar tres dados. El experimento consistió en lanzar dos dados blancos y un dado de color diferente 100 veces por grupo y registrar los resultados. Luego se analizaron las frecuencias observadas y teóricas para compararlas y determinar las probabilidades de distintos eventos como sacar números específicos o puntajes totales mayores a 15.
Este documento introduce los conceptos clave de la econometría. Explica que la econometría busca predecir eventos económicos a través de la relación entre variables, usando modelos lineales generales y parámetros para cuantificar el efecto de las variables independientes en las dependientes, además de considerar un error aleatorio.
El documento introduce los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad pretende ser una herramienta para cuantificar la incertidumbre en situaciones donde los resultados pueden variar a pesar de mantener las mismas condiciones iniciales, como al lanzar una moneda. Además, detalla los objetivos de familiarizar al lector con experiencias aleatorias de la vida cotidiana y con los elementos básicos de la teoría de la probabilidad, incluyendo las reglas, conceptos y herramientas para calcular probabilidades.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, probabilidad condicional, eventos independientes y dependientes. Explica las definiciones clásicas y axiomas de probabilidad según Kolmogorov. Finalmente, analiza muestras de población, permutaciones, combinaciones y sus aplicaciones a eventos.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad, incluyendo definiciones de probabilidad empírica y teórica, reglas de adición y multiplicación de probabilidades, y el teorema de Bayes. También explica cómo usar diagramas de árbol para calcular probabilidades de diferentes eventos.
Este documento presenta definiciones clave de estadística y probabilidad. Explica conceptos como población, muestra, media, moda y mediana. También describe diferentes tipos de muestreo como muestreo aleatorio y por intervalos. Finalmente, introduce medidas de tendencia central y dispersión como desviación estándar y varianza.
Este documento resume los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo: la definición de probabilidad, tipos de sucesos (naturales, por azar, imposibles), espacio muestral, reglas de probabilidad como la adición y multiplicación, y el teorema de Bayes. Explica que la probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso, y depende del número de sucesos favorables dividido entre el total de sucesos posibles.
Este documento proporciona una introducción a la econometría. Explica que la econometría cuantifica, explica y predice procesos económicos a través de modelos. Detalla dos tipos de modelos: de regresión y clásicos. Luego describe los pasos para construir un modelo de regresión: identificar variables, recoger datos, estimar el modelo, validarlo y usarlo para predicciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad en el Tema 1 del curso de Estadística Inferencial. Introduce las nociones de suceso, espacio muestral y probabilidad, así como reglas para calcular probabilidades como la probabilidad total y la probabilidad condicional. Explica el uso de sistemas exhaustivos y excluyentes de sucesos y la regla de Bayes para resolver problemas de probabilidad. Por último, aplica estos conceptos al análisis de pruebas diagnósticas médicas.
1) El documento introduce la econometría y define su relación con la economía, las matemáticas y la estadística. 2) Explica que un modelo econométrico incorpora perturbaciones aleatorias a un modelo económico para tener en cuenta factores no incluidos. 3) Discutes las utilidades de los modelos econométricos como el análisis estructural, la predicción y la simulación de políticas.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que un experimento estadístico tiene un espacio muestral formado por todos los resultados posibles y un espacio de eventos que incluye todos los subconjuntos de resultados. También define conceptos como evento, función de probabilidad, y métodos para contar resultados como combinaciones y permutaciones para calcular probabilidades de eventos finitos.
Este documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría mide las relaciones entre variables económicas utilizando métodos matemáticos y estadísticos. Tiene tres propósitos principales: analizar relaciones económicas, predecir la evolución futura de variables, y evaluar políticas. También describe brevemente la evolución histórica de la disciplina y conceptos clave como modelos económicos y especificación de variables.
Este documento presenta información sobre probabilidades y su aplicación en la vida diaria. Brevemente describe conceptos clave como espacio muestral, eventos, probabilidades matemáticas y experimentales, y el teorema de Bayes. También ofrece ejemplos de cómo las personas usan probabilidades en deportes, juegos, seguros, pronósticos del tiempo y más. Finalmente, incluye ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos clave de la teoría de probabilidad, incluyendo definiciones de espacio muestral, eventos, probabilidad condicional, teoremas fundamentales de probabilidad y la importancia de la estadística en diferentes campos profesionales. Explica que la teoría de conjuntos es la base de las matemáticas y que un diagrama de árbol representa los resultados posibles de un experimento aleatorio. También describe cómo la estadística se utiliza en ciencias naturales, sociales, económicas y médicas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre regresión lineal múltiple. Explica la función de regresión poblacional, las variables dependientes e independientes, y los supuestos del modelo clásico de regresión. También describe el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros, y cómo interpretar los coeficientes y realizar inferencia estadística sobre ellos.
Este documento presenta una introducción a los modelos probabilísticos binomial, Poisson y Pareto. Explica qué son estos modelos, sus fórmulas y cómo resolver problemas utilizando el programa Statgraphics. Incluye ejemplos numéricos de cada modelo.
Este documento presenta un resumen de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la frecuencia con la que ocurren ciertos resultados al realizar experimentos aleatorios bajo condiciones estables. Luego resume la historia de la probabilidad y cómo surgió para predecir resultados de juegos de azar. Finalmente, define conceptos clave como probabilidad discreta, continua y funciones de densidad de probabilidad.
Repaso de teoría de conjuntos
Fenómenos determinísticos vs. fenómenos aleatorios
Definición de probabilidad
Interpretación frecuentista y Bayesiana de la probabilidad
Espacio muestral, eventos
Sigma-álgebra
Medida de probabilidad, definición, propiedades
Axiomas de Kolmogorov
Probabilidad conjunta, marginal, condicional
Eventos independientes
Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes
Técnicas de conteo: factorial, permutación, combinatoria
Apuntes de introduccion a los modelos econometricos 1nguaramato
1) Este documento presenta apuntes introductorios sobre modelos econométricos escritos por Narciso Guaramatos Parra. 2) Explica que el objetivo es ayudar a estudiantes con conocimientos limitados de estadística y economía a comprender los fundamentos básicos de la econometría. 3) El documento cubre temas como definición de econometría, modelos de regresión lineal simple y múltiple, y problemas como multicolinealidad, heterocedasticidad y autocorrelación.
El documento presenta datos biográficos de Henri Poincaré, matemático francés nacido en 1854. Detalla su educación en la Escuela Politécnica y la Escuela de Minas de París, así como su trabajo como ingeniero y profesor en la Sorbona. Resalta su prolífica carrera investigadora entre 1878 y 1912 y su influencia en matemáticos posteriores como Jacques Hadamard.
Henri Poincaré nació en 1854 en Nancy, Francia. Estudió en la Escuela Politécnica de París y trabajó como ingeniero de minas antes de convertirse en profesor de la Universidad de París, donde enseñó hasta su muerte en 1912. Poincaré hizo contribuciones fundamentales en matemáticas, astronomía, física teórica y filosofía de la ciencia.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del experimento realizado para determinar la probabilidad de eventos al lanzar tres dados. El experimento consistió en lanzar dos dados blancos y un dado de color diferente 100 veces por grupo y registrar los resultados. Luego se analizaron las frecuencias observadas y teóricas para compararlas y determinar las probabilidades de distintos eventos como sacar números específicos o puntajes totales mayores a 15.
Este documento introduce los conceptos clave de la econometría. Explica que la econometría busca predecir eventos económicos a través de la relación entre variables, usando modelos lineales generales y parámetros para cuantificar el efecto de las variables independientes en las dependientes, además de considerar un error aleatorio.
El documento introduce los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad pretende ser una herramienta para cuantificar la incertidumbre en situaciones donde los resultados pueden variar a pesar de mantener las mismas condiciones iniciales, como al lanzar una moneda. Además, detalla los objetivos de familiarizar al lector con experiencias aleatorias de la vida cotidiana y con los elementos básicos de la teoría de la probabilidad, incluyendo las reglas, conceptos y herramientas para calcular probabilidades.
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Este documento proporciona una introducción a la econometría. Explica que la econometría cuantifica, explica y predice procesos económicos a través de modelos. Detalla dos tipos de modelos: de regresión y clásicos. Luego describe los pasos para construir un modelo de regresión: identificar variables, recoger datos, estimar el modelo, validarlo y usarlo para predicciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad en el Tema 1 del curso de Estadística Inferencial. Introduce las nociones de suceso, espacio muestral y probabilidad, así como reglas para calcular probabilidades como la probabilidad total y la probabilidad condicional. Explica el uso de sistemas exhaustivos y excluyentes de sucesos y la regla de Bayes para resolver problemas de probabilidad. Por último, aplica estos conceptos al análisis de pruebas diagnósticas médicas.
1) El documento introduce la econometría y define su relación con la economía, las matemáticas y la estadística. 2) Explica que un modelo econométrico incorpora perturbaciones aleatorias a un modelo económico para tener en cuenta factores no incluidos. 3) Discutes las utilidades de los modelos econométricos como el análisis estructural, la predicción y la simulación de políticas.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que un experimento estadístico tiene un espacio muestral formado por todos los resultados posibles y un espacio de eventos que incluye todos los subconjuntos de resultados. También define conceptos como evento, función de probabilidad, y métodos para contar resultados como combinaciones y permutaciones para calcular probabilidades de eventos finitos.
Este documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría mide las relaciones entre variables económicas utilizando métodos matemáticos y estadísticos. Tiene tres propósitos principales: analizar relaciones económicas, predecir la evolución futura de variables, y evaluar políticas. También describe brevemente la evolución histórica de la disciplina y conceptos clave como modelos económicos y especificación de variables.
Este documento presenta información sobre probabilidades y su aplicación en la vida diaria. Brevemente describe conceptos clave como espacio muestral, eventos, probabilidades matemáticas y experimentales, y el teorema de Bayes. También ofrece ejemplos de cómo las personas usan probabilidades en deportes, juegos, seguros, pronósticos del tiempo y más. Finalmente, incluye ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos clave de la teoría de probabilidad, incluyendo definiciones de espacio muestral, eventos, probabilidad condicional, teoremas fundamentales de probabilidad y la importancia de la estadística en diferentes campos profesionales. Explica que la teoría de conjuntos es la base de las matemáticas y que un diagrama de árbol representa los resultados posibles de un experimento aleatorio. También describe cómo la estadística se utiliza en ciencias naturales, sociales, económicas y médicas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre regresión lineal múltiple. Explica la función de regresión poblacional, las variables dependientes e independientes, y los supuestos del modelo clásico de regresión. También describe el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros, y cómo interpretar los coeficientes y realizar inferencia estadística sobre ellos.
Este documento presenta una introducción a los modelos probabilísticos binomial, Poisson y Pareto. Explica qué son estos modelos, sus fórmulas y cómo resolver problemas utilizando el programa Statgraphics. Incluye ejemplos numéricos de cada modelo.
Este documento presenta un resumen de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad mide la frecuencia con la que ocurren ciertos resultados al realizar experimentos aleatorios bajo condiciones estables. Luego resume la historia de la probabilidad y cómo surgió para predecir resultados de juegos de azar. Finalmente, define conceptos clave como probabilidad discreta, continua y funciones de densidad de probabilidad.
Repaso de teoría de conjuntos
Fenómenos determinísticos vs. fenómenos aleatorios
Definición de probabilidad
Interpretación frecuentista y Bayesiana de la probabilidad
Espacio muestral, eventos
Sigma-álgebra
Medida de probabilidad, definición, propiedades
Axiomas de Kolmogorov
Probabilidad conjunta, marginal, condicional
Eventos independientes
Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes
Técnicas de conteo: factorial, permutación, combinatoria
Apuntes de introduccion a los modelos econometricos 1nguaramato
1) Este documento presenta apuntes introductorios sobre modelos econométricos escritos por Narciso Guaramatos Parra. 2) Explica que el objetivo es ayudar a estudiantes con conocimientos limitados de estadística y economía a comprender los fundamentos básicos de la econometría. 3) El documento cubre temas como definición de econometría, modelos de regresión lineal simple y múltiple, y problemas como multicolinealidad, heterocedasticidad y autocorrelación.
El documento presenta datos biográficos de Henri Poincaré, matemático francés nacido en 1854. Detalla su educación en la Escuela Politécnica y la Escuela de Minas de París, así como su trabajo como ingeniero y profesor en la Sorbona. Resalta su prolífica carrera investigadora entre 1878 y 1912 y su influencia en matemáticos posteriores como Jacques Hadamard.
Henri Poincaré nació en 1854 en Nancy, Francia. Estudió en la Escuela Politécnica de París y trabajó como ingeniero de minas antes de convertirse en profesor de la Universidad de París, donde enseñó hasta su muerte en 1912. Poincaré hizo contribuciones fundamentales en matemáticas, astronomía, física teórica y filosofía de la ciencia.
El modelo atómico de Bohr propone que los electrones orbitan el núcleo en órbitas circulares cuantizadas. Para que el electrón se mantenga en órbita, las fuerzas centrífuga y coulombiana deben equilibrarse. Solo órbitas con radio que cumpla cierta ecuación son estables. La energía del electrón depende del número cuántico principal n. Los átomos emiten o absorben radiación a frecuencias características cuando los electrones cambian de órbita.
El modelo atómico de Bohr propuso en 1913 que los electrones pueden tener órbitas estables alrededor del núcleo. Bohr basó su modelo en el átomo de hidrógeno, con un protón en el núcleo y un electrón girando a su alrededor en órbitas cuantizadas de energía discreta. Cuando el electrón cambia de una órbita de alta energía a una de baja energía, emite un cuanto de energía en forma de luz.
Niels Bohr fue un físico danés que enunció el modelo atómico de Bohr en 1913, en el cual propuso que los electrones solo pueden orbitar el núcleo en órbitas estacionarias cuya energía es un múltiplo entero de la constante de Planck. Bohr aplicó este modelo atómico para explicar las líneas espectrales del átomo de hidrógeno. Más tarde, Bohr formuló los principios de la correspondencia y la complementariedad para la mecánica cuántica. Bohr hizo
El documento describe el modelo atómico propuesto por Niels Bohr en 1913. De acuerdo con este modelo, los electrones solo pueden orbitar el núcleo en órbitas discretas y cuantizadas, con energías específicas. Esto explicaba las líneas espectrales discretas observadas en el átomo de hidrógeno. Aunque era una aproximación, el modelo de Bohr fue fundamental para el desarrollo de la mecánica cuántica.
1. En 1913, Niels Bohr desarrolló un modelo atómico basado en cuatro postulados que explicaban el comportamiento de los electrones en los átomos y las líneas espectrales discretas. 2. Según el modelo de Bohr, los electrones solo pueden orbitar en órbitas cuantizadas con valores enteros del momento angular. 3. Cuando un electrón cambia de órbita, absorbe o emite un fotón con una energía igual a la diferencia de energía entre las dos órbitas.
El documento describe la historia y evolución de los modelos atómicos, incluyendo los modelos de Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, Sommerfeld y Schrödinger. Explica que los átomos están compuestos de un núcleo central con carga positiva rodeado de electrones, y que los modelos buscaban explicar la estructura atómica y los espectros de emisión. El modelo actual se basa en la ecuación de Schrödinger y considera a los electrones como funciones de onda con diferentes probabilidades de ubicación.
1) La probabilidad se ha estudiado desde hace miles de años, aunque no fue hasta los siglos XVI-XVIII que comenzó a desarrollarse como disciplina matemática para analizar fenómenos aleatorios como los juegos de azar. 2) La teoría de la probabilidad se ha aplicado a una variedad de problemas en áreas como los seguros, la física, la astronomía y las ciencias sociales. 3) Actualmente, la teoría de la probabilidad proporciona el fundamento para aplicaciones estadísticas que son cruciales para la investigación y
El documento describe la historia y desarrollo de la probabilidad y estadística. Comenzó con juegos de azar en la antigüedad y fue estudiado formalmente en el siglo 17 por Fermat y Pascal. Más tarde, figuras como Laplace y Gauss hicieron contribuciones importantes al desarrollo de la teoría de probabilidad y métodos estadísticos. Hoy en día, la probabilidad y estadística se aplican ampliamente en investigación, negocios y toma de decisiones para hacer frente a la incertidumbre.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos, espacio muestral, reglas de probabilidad como los axiomas y teoremas de probabilidad total y Bayes. Explica que la probabilidad surgió del estudio de los juegos de azar y ahora se usa en muchas áreas para predecir eventos futuros. Finalmente, enfatiza la importancia de la probabilidad para la planificación estratégica en diferentes campos.
La historia de la estadística y la probabilidad se remonta a hace más de 40,000 años con los juegos de azar. En la antigüedad, los resultados aleatorios se atribuían a la voluntad de los dioses. En el Renacimiento hubo un nuevo enfoque para considerar fenómenos naturales que llevó al desarrollo de la probabilidad y la estadística. En los siglos posteriores, se aplicaron estas técnicas a problemas físicos, actuariales y de toma de decisiones. Hoy en día,
Este documento explica qué es la estadística. Comienza definiendo los sucesos aleatorios y la teoría de probabilidad. Luego explica que la estadística estudia fenómenos cuya ley no se conoce mediante la recolección y análisis de datos. Finalmente, brinda algunos ejemplos de cómo se usa la estadística en diferentes campos como las ciencias sociales y la lingüística.
El documento trata sobre el uso del término estocástico en diferentes áreas como las matemáticas, la inteligencia artificial, las ciencias naturales, la física, la biología, la medicina, la música, la reproducción del color, la lingüística y las ciencias sociales y empresariales. Define conceptos estadísticos como evento estocástico y espacio muestral.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad y su importancia para el campo de la estadística. Explica conceptos clave como espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, probabilidad condicional y la regla de multiplicación de probabilidades. Concluye que la estadística es una herramienta indispensable y ampliamente utilizada para organizar y analizar datos cuantitativos y tomar decisiones informadas.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad y su importancia para el campo de la estadística. Explica conceptos clave como espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, probabilidad condicional y la regla de multiplicación de probabilidades. Concluye que la estadística es una herramienta indispensable y ampliamente utilizada que ha evolucionado a lo largo de los años para generalizar información y apoyar la toma de decisiones.
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La teoría de la probabilidad se remonta a los juegos de azar de la antigüedad. En el siglo XVI, surgió como una rama matemática para estudiar los juegos de azar, estableciendo las bases de la probabilidad moderna. Actualmente, la teoría de la probabilidad se aplica en áreas como los negocios, las ciencias y la filosofía para analizar eventos aleatorios y sistemas complejos. Mide la frecuencia con la que ocurren eventos al realizar experimentos aleatorios bajo condiciones estables.
El documento resume conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos, reglas para calcular probabilidades de uniones e intersecciones de sucesos, y teoremas como la probabilidad total y Bayes. Explica que la probabilidad surgió del estudio de juegos de azar y ahora se usa en estadística.
El documento resume conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad, teoremas de probabilidad total y Bayes. Explica tipos de sucesos como sucesos elementales, compuestos, seguros e imposibles. También cubre cálculo de probabilidades para sucesos como la unión, intersección y diferencia de sucesos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica brevemente la historia del desarrollo de la probabilidad desde los juegos de azar en la antigüedad hasta las contribuciones de figuras clave como Pascal, Fermat, Bernoulli y Kolmogorov. También define conceptos básicos como experimentos deterministas vs. aleatorios, espacio muestral, eventos, cálculo de probabilidades y eventos especiales como el evento seguro y el evento imposible.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica brevemente la historia del desarrollo de la probabilidad desde los juegos de azar en la antigüedad hasta las contribuciones de figuras clave como Pascal, Fermat, Bernoulli y Kolmogorov. También define conceptos básicos como experimentos deterministas vs. aleatorios, espacio muestral, eventos y cálculo de probabilidades.
Este documento proporciona información sobre conceptos básicos de probabilidad y distribuciones. Brevemente describe la historia de la probabilidad y sus contribuidores clave. Luego resume los métodos para calcular probabilidades como la regla de adición, multiplicación y distribución binomial.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Define conceptos básicos como sucesos, espacio muestral, probabilidad discreta y continua, y distribuciones de probabilidad. Explica que la teoría de la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuantificando los resultados posibles de experimentos. También resume definiciones clásicas y axiomáticas de la probabilidad, así como propiedades de la unión de sucesos.
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Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos de la teoría de la probabilidad. Introduce los conceptos básicos de probabilidad y su historia. Explica los diferentes enfoques de la teoría incluyendo el clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes métodos de cálculo de probabilidad.
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El documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y asigna números a los resultados posibles de experimentos para cuantificarlos. Define conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad discreta y continua. También describe definiciones de probabilidad como la clásica basada en casos favorables sobre casos posibles y la axiomática, así como teoremas como la probabilidad del suceso seguro y la unión de sucesos.
1. El documento introduce los conceptos básicos de la estadística matemática, incluyendo la probabilidad clásica, la interpretación de la frecuencia, los espacios de muestra y los eventos.
2. Explica las reglas para calcular permutaciones y combinaciones de objetos, así como las definiciones y axiomas de la probabilidad de un evento.
3. Cubre la probabilidad condicional y cómo depende del espacio de muestra especificado.
Este documento presenta los fundamentos de la teoría de la probabilidad. Explica que los fenómenos pueden ser deterministas u aleatorios, y discretos o continuos. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos elementales y compuestos. Luego describe tres enfoques para asignar probabilidades a eventos: el clásico basado en la razón insuficiente, el frecuentista basado en frecuencias relativas observadas, y el subjetivo basado en la opinión del observador. Finalmente, presenta definiciones formales de probabilidad deriv
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La teoría de la probabilidad estudia los experimentos aleatorios y eventos que ocurren en ellos. Se basa en la noción de que la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de que ocurra. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Un diagrama de Venn utiliza círculos para representar conjuntos y sus intersecciones.
1. 1
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1.- HISTORIA DE LA PROBABILIDAD
Los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 40000 años; así por ejemplo, los dados se utilizaron tanto en el juego como en ceremonias religiosas. Las civilizaciones antiguas explicaban el azar mediante la voluntad divina. En el Renacimiento el abandono progresivo de explicaciones teológicas conduce a una reconsideración de los experimentos aleatorios.
Ya en el siglo XVI, los matemáticos italianos comenzaron a interpretar los resultados de experimentos aleatorios simples y a finales del siglo XVI, existía un análisis empírico de los resultados aleatorios.
El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI y XVII. El cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente en el período que transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos del siglo XVIII. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juego y con el tiempo a otros problemas socioeconómicos.
Durante el siglo XVIII el cálculo de probabilidades se extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos). El factor principal impulsor es el conjunto de problemas de astronomía y física que surgen ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newton. Estas investigaciones van a ser de importancia fundamental en el desarrollo de la Estadística.
La industria de los seguros, que nació en el siglo XIX, requería un conocimiento exacto del riesgo de perder pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas.
2. 1_Apuntes de Estadística II 2
Posteriormente, se estudia la probabilidad como un instrumento que permitiría entender los fenómenos sociales.
La necesidad de comparar con exactitud los datos observados con la teoría requería un tratamiento riguroso del mismo, que va a dar lugar a la teoría de errores. Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, se publicaron varios documentos de este tipo. Jakob Bernouilli (1654-1705) Ars Conjectandi (publicado en 1713 aunque escrito sobre 1690) y Auguste De Moivre (1667-1754) contribuyeron de forma importante a este desarrollo.
Jacob Bernoulli proporciona la primera solución al problema de estimar una cantidad desconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que, por el error experimental, presentan variabilidad. Fue pionero en la aplicación del cálculo infinitesimal al cálculo de probabilidades.
También, además de Abraham de Moivre, el reverendo Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron fórmulas y técnicas de probabilidad.
El impulso fundamental proviene de la obra de Pierre Simon, Marqués de Laplace, publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar, y fue quien indujo la primera definición explícita de probabilidad. También desarrolló la ley normal como modelo para describir la variabilidad de los errores de medida, formuló y estimó el primer modelo explicativo estadístico. Por su parte, Gauss hizo su aportación en la estimación de modelos estadísticos.
Bravais, geólogo y astrónomo, es el primero en considerar la relación entre errores de medida dependientes entre sí; Benjamín Pierce propone el primer criterio para rechazar observaciones heterogéneas con el resto y S. Newcomb, el más famoso astrónomo americano del siglo XIX, introduce los primeros métodos de estimación cuando hay errores fuertes en algunos datos (Estimación Robusta).
Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso A. Kolmogorov la definió de forma axiomática y estableció una teoría más amplia como es la teoría de la medida.
En la actualidad la teoría matemática de la probabilidad constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación social como en la toma de decisiones.
La necesidad de sortear la incertidumbre nos lleva a estudiar y aplicar la teoría de la probabilidad. Para tener éxito en la toma de decisiones, se necesita la capacidad de tratar sistemáticamente con la incertidumbre misma mediante cuidadosas evaluaciones y aplicaciones de métodos estadísticos concernientes a las actividades de los negocios.
Las aplicaciones de métodos estadísticos en las diferentes áreas son numerosas.
3. Introducción al cálculo de probabilidades 3
2.- INTRODUCCIÓN
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas.
El objetivo del Cálculo de Probabilidades es el estudio de métodos de análisis del comportamiento de fenómenos aleatorios.
Aunque desde sus orígenes siempre han estado ligadas, es cierto que existe un cierto paralelismo entre la estadística descriptiva y el cálculo de probabilidades, como se puede apreciar en la siguiente tabla:
ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD
fi, Fi
Variable Unidimensional
Variable Bidimensional
Distribución de frecuencias
Medias, Momentos
Independencia Estadística
Series Temporales
Probabilidad
Variable aleatoria
Vectores aleatorios
Distribución de Probabilidad (Función de distribución)
Esperanza, Momentos
Independencia Estocástica
Procesos Estocásticos
En la actividad diaria nos encontramos con ciertos tipos de fenómenos que se pueden reproducir un gran número de veces, en condiciones similares dando lugar a un conjunto de dos o más posibles resultados. Estos fenómenos pueden ser de dos tipos: determinísticos y aleatorios.
4. 1_Apuntes de Estadística II 4
2.1.- Conceptos básicos
Con ellos vamos a dar una serie de conceptos para poder desarrollar este tema y los sucesivos.
o Fenómeno determinístico.- Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales se obtienen siempre los mismos resultados.
o Fenómeno aleatorio.- Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando lanzamos una moneda al aire observando la sucesión de caras y cruces que presentan.
o Experimento aleatorio.- Operación que repetimos bajo idénticas condiciones iniciales y no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: lanzamiento de un dado observando la sucesión de números que se presentan {1, 2, 3, 4, 5,6}.
o Suceso elemental.- Cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio; luego un suceso elemental consta de un solo elemento del espacio muestral (E). En el ejemplo del dado: {1}.
Suceso A= (2, 3,4) Suceso elem B= 1
2 3 4 1
o Espacio muestral.- Conjunto de todos los sucesos elementales del experimento aleatorio y lo designaremos como (E). Ejemplo del dado: {1,2,3,4,5,6}
o Suceso.- Conjunto formado por uno o más sucesos elementales, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio. Ejemplo del dado: nos interesa saber si el resultado a sido un número impar A={1, 3,5}.
o Suceso seguro.- Coincide con el suceso elemental, ya que al realizar el experimento aleatorio se obtendrá con seguridad uno de los posibles resultados o sucesos elementales, y por tanto ocurrirá (E).
o Dos sucesos se dice que son iguales, cuando todo suceso elemental de uno está en el otro, y viceversa.
o Suceso imposible.- Es el que no tiene ningún elemento del espacio muestral (E), y por tanto no ocurrirá nunca, y se representa como ∅. Ejemplo: En el lanzamiento del dado no puede darse el 7.
5. Introducción al cálculo de probabilidades 5
o Suceso complementario a un suceso A: Es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con el símbolo Ā.
o Sucesos incompatibles: Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.
A = {a, b}, B = {d, e}
E A B
a b c d e
o Si tenemos dos sucesos cualesquiera A, B: A está contenido en B, entonces B no está contenido en A,
A ⊂ B ⇒ B ⊄ A
o Si tenemos dos sucesos cualesquiera A, B: donde A está contenido en B y B está contenido en A, entonces A = B.
A, B / A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A = B
2.2.- Operaciones con sucesos
Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E (espacio muestral), podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:
o Suceso contenido en otro.- Un suceso A se dice que está contenido o inducido en otro B si siempre que se verifica A se verifica B. Se representa A⊂B.
6. 1_Apuntes de Estadística II 6
Ejemplo: Considerando el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, si designamos por:
A= que aparezca el 2 ó el 4 = {}4,2
B= que aparezca un número par: {}6,4,2
El suceso AB, pues los resultados o sucesos elementales 2 y 4 de A, pertenecen a B. Diremos también que A implica a B y lo denotaremos A⇒B. ⊂
o Igualdad de sucesos.- Dados dos sucesos A y B, diremos que son iguales, si siempre que ocurre el suceso A también ocurre el suceso B, y siempre que ocurre el suceso B ocurre el suceso A, y lo indicaremos por A = B. Es decir, si se verifica:
⎭⎬⎫ ⊂ ⊂ ABBA⇔ A = B
Ejemplo: Sean los sucesos:
A = obtener un número par al lanzar un dado = {}6,4,2
B = obtener un múltiplo de 2 = {}2
Aquí se verifica que:
AB pues siempre que ocurre A ocurre B ⊂
BA⊂ pues siempre que ocurre B ocurre A
Luego A = B.
o Diferencia de sucesos.- Dados dos sucesos aleatorios EBA∈,, se llama suceso diferencia de A y B y se representa mediante A/B, o bien, A-B al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B.
o Unión de sucesos.- Dados dos sucesos A y B se llama unión de A y B, y se representa por A∪B, al suceso que se realiza cuando se realiza alguno de ellos, A o B, es decir, a todos los elementos que están en A ó están en B.
7. Introducción al cálculo de probabilidades 7
Ejemplo: Sean los sucesos:
A = obtener el lanzamiento de un dado un número impar = {}5,3,1
B = obtener un número mayor que 4 = {}6,5
El suceso unión será:
A∪B = {} = {} 5,3,1∪{6,5 6,5,3,1
O sea, obtener un 1, un 3, un 5, ó un 6 en el lanzamiento del dado.
o Intersección de sucesos.- Dados dos sucesos A y B, se llama suceso intersección de A y B, y se representa por A ∩ B, al suceso que se realiza si y sólo si se realizan simultáneamente A y B.
Ejemplo: Utilizando el ejemplo de la unión, la intersección viene dada por:
o Sucesos Incompatibles.- Dos sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman sucesos incompatibles. Obsérvese que un suceso y su contrario son siempre incompatibles.
φ=∩BA.
o Sucesos Complementarios.- Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario de A, y se representa por Ā, al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente.
8. 1_Apuntes de Estadística II 8
El suceso contrario de E es φ y recíprocamente.
Ā = E – A.
{} {}{} {}{} {}{}6,4,2,15,35,3,16,4,26,5,4,32,16,5,4,3,2,1=→= =→= =→= = CCBBAA
Ejemplo: E
2.3.- Propiedades de la unión e intersección de sucesos
Seguidamente se presentan una serie de propiedades que verifican tanto la unión como la intersección de dos o más sucesos. Tales propiedades son comunes a ambas, como se muestran en la siguiente tabla:
UNION
INTERSECCION
1. Asociativa
(AUB)UC=AU(BUC)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
2. Conmutativa
AUB=BUA
A∩B=B∩A
3. Idempotente
AUA=A
A∩A=A
4. Simplificativa
AU(B∩A)=A
A∩(BUA)=A
5. Distributiva
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
_
Todo suceso A del espacio de sucesos tiene otro llamado contrario, A tal que: _ _
AUA=E A∩A=φ
De estas propiedades surgen las siguientes consecuencias inmediatas:
i) AUφ=A , A∩φ=φ
ii) A∩E=A, AUE=E _____ _ _ _____ _ _
iii) Leyes de Morgan: A ∩ B = A U B, A U B = A ∩ B.
Ejemplo: Sea un experimento aleatorio de lanzar un dado y definimos:
9. Introducción al cálculo de probabilidades 9
A = {par}
B = {impar}
C = {múltiplo de 3}
Calcular:
{} {} {} {} {} {} {} (){}6,3) 5,1) 3) 6) 0) 6,5,4,3,2,1) 6,5,3,1) 6,4,3,1) 6,5,4,3,2,1) =∩ =∩=− =∩ =∩ /=∩ == = = == CBAiCBCBhCBgCAfBAeEBAdCBcCAbEBAaUUUUU
3.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Para definir la probabilidad vamos a dar varias definiciones o conceptos de probabilidad. Con estas definiciones se pretende expresar de manera objetiva y precisa el grado de ocurrencia de ciertos resultados de un fenómeno aleatorio.
Concepto Frecuentista.- Dado un suceso A que se repite un número de veces, si observamos la frecuencia con que se repite ese suceso, obtendremos las probabilidades asociadas asignando la frecuencia relativa a cada suceso.
Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al número de veces que se verifica A al realizar el experimento un número determinado de veces.
Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento, que viene dada por:
f(A) f(A) nra=
donde n el número de veces que se repite el experimento.
Definición de Laplace.- La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de resultados favorables o resultados que integran el suceso A y el número total de elementos o posibles resultados del espacio muestral E.
10. 1_Apuntes de Estadística II 10
P(A) nº de casos favorablesnº de casos posibles=
Como hemos venido observando los sucesos los consideremos como conjuntos, siendo válido para los sucesos todo lo estudiado en la teoría de conjuntos. Para llegar a la construcción axiomática del Cálculo de Probabilidades, necesitamos dar unas estructuras algebraicas básicas construidas sobre los sucesos de la misma manera que con construían sobre los conjuntos.
Todo fenómeno aleatorio lleva asociado un espacio muestral. Para medir el grado de ocurrencia de los sucesos, definimos el Álgebra de Boole, álgebra de sucesos o sigma álgebra, que verifica siguientes condiciones:
1.- El complementario de un suceso A que pertenece al Algebra también pertenece al algebra:
A Є Ą Ā Є Ą →
2.- Si tenemos una serie de sucesos finitos (A1, A2,…..An) infinitos numerables, que pertenecen al Ą, la unión de todos ellos tiene que pertenecer a Ą.
A1, A2, . . ., An Є Ą ⇒ A A∪2 ∪…..A∪n Є Ą.
3.- El suceso imposible también pertenece al Ą,
φ Є Ą
Basándose en dicho álgebra, kolmogorov dio la definición axiomática de probabilidad que viene dada a continuación.
Se llama probabilidad asociada al álgebra de Boole a una aplicación Ą ÆR tal que, a cada valor de A le hace corresponder una probabilidad, que verifica los siguientes axiomas:
ƒ Axioma 1: Siempre es positiva.
ƒ Axioma 2: Siempre estará entre 0 y 1. [].1=EP
ƒ Axioma 3: Sea n1 sucesos tales que son disjuntos dos a dos (es decir, la intersección es Ø) A, la probabilidad es la suma de todas las probabilidades de sucesos.
.)()(Σ=∪iiAPAP
11. Introducción al cálculo de probabilidades 11
Del tercer axioma se desprende que si que si 21 Acon , entonces , es decir
Ejemplo: Calcula
La solución es:
)3()6,4,3,2()5,3,1( }6,4,3,2{)( }5,3,1{)( PPPBPAP−+ = =
Solo cuando , es decir que son disjuntos. 0)(=∩BAP
Ejemplo: Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire los dados que no están cargados, y se considera espacio muestral el resultado de la suma de los valores obtenidos, calcular:
1.- Espacio muestral: = 11 elementos {}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2=E
2.- La probabilidad del suceso{}2=A () 111=AP
3.- La probabilidad del suceso {}parB= () 116=BP
4.- La probabilidad del suceso {}12,11,10=C () 113=CP
5.- La probabilidad del suceso {}7,6,5,4=D () 114=DP
6.- 11/6}12,10,8,6,4,2{)(==BAPU
12. 1_Apuntes de Estadística II 12
7.- 11/4}12,11,10,2{)(==CAPU
8.- 11/7}12,11,10,9,8,3,2{)(==CDPU
9.- 11/7}11,9,7,6,5,4,3{)(==DBPU
10.- 11/10}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3{)()(===∩BAPBAPU
11.- 11/10}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2{)(==CBPU
12.- . 11/2}6,4{)(==∩DBP
3.1.- Espacio Probabilístico
Llamamos espacio probabilística a la terna formada por un espacio muestral, E; el álgebra de sucesos, Ą, y una probabilidad, P, es decir a ( E, Ą, P ).
Sus propiedades son:
1) La probabilidad del complementario de A es 1 menos la probabilidad de A:
Prob [Ā] = 1 - Prob [A].
2) La probabilidad de la unión de A y B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de la intersección de A y B:
Prob [A U B] = Prob [A] + Prob [B] - Prob [A ∩ B].
3) La probabilidad del suceso vacío es 0:
Prob [O] = 0
4) Si A contiene a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad de B:
→⊂BAProb [A] ≤ Prob [B]
5) La probabilidad de A es menor o igual a 1:
Prob [A] ≤ 1.
4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA
Hasta ahora hemos visto el concepto de probabilidad partiendo de que la única información que tenemos sobre el experimento es el espacio muestral. Sin embargo, en ocasiones se conoce que un determinado suceso ha ocurrido. ¿Modificará esta información adicional la probabilidad de que ocurra otro suceso?. Veremos que
13. Introducción al cálculo de probabilidades 13
generalmente sí. A partir de esta idea surge la idea de probabilidad condicionada, que se define:
Sea un espacio probabilístico y un suceso B perteneciente al Algebra de Boole, tal que P(B)0, entonces se define la probabilidad de que ocurra A si antes ha ocurrido B, como: ≠
P(B/A)= )( )( APBAP∩ si P(B) ≠ O.
Análogamente podemos definir P(A/B) como
P(A/B)= )( )( BPBAP∩ si P(A) ≠ O.
De las definiciones anteriores se deducen claramente las relaciones siguientes:
o P(A∩B)=P(A) · P(B/A)
o P(A∩B)=P(B) · P(A/B)
o P(A/B). P(B)= P(B/A). P(A)
o )( )( )/( )/( BPAPABPBAP=
o 1)/(=AAP.
o Si A, B son independientes ,0)(=∩BAPentonces: .
o A esta expresión se le conoce como regla de la multiplicación, que en general para un número k de sucesos viene dada por:
P (A1 ∩A2 ∩...∩Ak) = P (A1)P (A2/A1)....P (Ak/A1∩A2∩...∩Ak−1)
Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que las dos sean negras
b) Que las dos sean rojas
c) Que la primera se roja y la segunda negra
d) Que la segunda se roja sabiendo que la primera fue negra
La solución en cada apartado es la siguiente.
a) Sea N1: Sacar la 1ª Negra
N2: Sacar la 2ª Negra
14. 1_Apuntes de Estadística II 14
P(N1∩N2) = P(N1) · P(N2/N1) = 5/14 · 4/13
b) Sea R1: Sacar la 1ª Roja
R2: Sacar la 2ª Roja
P(R1∩R2) = P(R1) · P(R2/R1) = 9/14 · 8/13
c) Sea R1: Sacar la 1ª Roja
N2: Sacar la 2ª Negra
P(R1 ∩N2) = P(R1) · P(N2/R1) = 9/14 · 5/13
d) Sea N1: La 1ª es Negra
R2: La 2ª es Roja
P(R2 /N1) = 9/13 (quedan 13 bolas de las cuales 9 son rojas).
Ejemplo: Sabiendo que al lanzar un dado ha salido un número par, hallar la probabilidad que este número haya sido un dos:
316361)( )()(== ∩ =∩ BPBAPBAP (){} 612==AP (){} 636,4,2==BP
5.- INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Sean A y B dos sucesos del espacio muestral. El suceso A se dice independiente del suceso B si el conocimiento de la ocurrencia de B no modifica la probabilidad de aparición de A, es decir, si
P (A/B) = P (A) o P(A) = P(A/B).
Propiedad: Si dos sucesos A, B son independientes, entonces siempre se verifica:
De la definición y de esta propiedad se deduce que si los sucesos A y B son independientes, se verifica:
o Los sucesos A y B son independientes.
o Los sucesos A y B son independientes.
o Los sucesos A y Bson independientes.
o Decimos que n sucesos son independientes si se verifica:
)(...)()()...(2121nnAPAPAPAAAP⋅⋅⋅=∩∩∩.
15. Introducción al cálculo de probabilidades 15
Ejemplo: Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P( )=0.58. ¿Son independientes A y B?
Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )
P( ) = P[(A B)c] = 1 - P(AB)
Por tanto, P(AB) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42 Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42 Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42
Ejemplo: Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar un tetraedro regular cuyas caras están numeradas del 1 al 4, y se definen los sucesos:
A = {1 ó 2}
B = {2 ó 3}
C = {2 ó 4}
Calcular:
()2142)==APa
()2142)==BPb
()2142)==CPc
d) Probabilidad de obtener un 2
4/1)()()()2(=∩=∩=∩=CBPCAPBAPP
¿Son independientes los sucesos A, B y C?
4/12/12/1)()()(=∗=∗=∩BPAPBAP
4/12/12/1)()()(=∗=∗=∩CPAPCAP
4/12/12/1)()()(=∗=∗=∩CPBPCBP
Significa que A es independiente de B, que A es independiente de C, que B es independiente de C.
)()()()(CPBPAPCBAP∗∗=∩∩
8/14/1,8/12/12/12/1)()()( 4/1)2()( =/ =∗∗=∗∗ ==∩∩ LuegoCPBPAPPCBAP
16. 1_Apuntes de Estadística II 16
No se cumple la anterior condición, por lo que A, B y C no son independientes entre sí, son independientes dos a dos.
Ejemplo: En una baraja de cartas hemos suprimido varias de ellas, entre los que quedan se verifican las siguientes probabilidades:
- Probabilidad de obtener un rey: 0,15
- Probabilidad de obtener una carta que sea bastos: 0,30
- Probabilidad de obtener una carta que no sea ni rey ni bastos: 0,6
Calcular:
- ¿Está entre ellas el rey de bastos?, caso afirmativo indicar su probabilidad.-
- ¿Cuántas cartas hay en la baraja?
P (ni Rey ni Bastos)=()⇒=∩6,0ReBastosyP
4,06,01)(Re=−=BastosyPU
()()() ()05,04,03,015,0Re)(Re3,015,04,0ReRe)(Re=−+=∩ ⇒∩−+= ⇒−+= BastosyPBastosyPBastosyPBastosPyPBastosyPIU
Por lo que al ser mayor que cero, indica que está el rey de bastos, con una probabilidad de 0,05.-
Se pasa 0,05 en forma de fracción:
201100505,0==
Lo que indica que si la probabilidad de sacar una carta (el rey de bastos) es de 1 entre 20, quiere decir que el número total de cartas en la baraja es de 20 (por la definición de Laplace).
6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
En primer lugar, antes de definir el teorema, es necesario definir que es un conjunto completo. Se dice que un conjunto de sucesos A forman un sistema completo si verifica:
o Son incompatibles dos a dos, es decir jiji,
o Que la unión de todos ellos es el espacio muestral, es decir, 21n
Con todo esto se define el teorema de la Probabilidad Total como:
Sea A1,A2,...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades P(B/Ai) , entonces la probabilidad del suceso B viene dada por:
17. Introducción al cálculo de probabilidades 17
PBPAPBAiii1()()•(/)= =Σn .
Figura: Si 54321 forman un
sistema completo, podemos calcular la
probabilidad de B a partir de las cantidades i, o lo que es lo mismo, ii/
La demostración del teorema es fácil de hacer como demostramos.
Si A1, A2, A3, A4 y A5 forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, podemos calcular la probabilidad de B a partir de las probabilidades de estos sucesos, es decir, a partir del suceso B se puede descomponer como: (),...321nAAAABEBB∪∪∪∪∩=∪=
que aplicando las propiedades de los sucesos es fácil ver que todo esto es igual a nABABABABB ...321.
Calcular la probabilidad de B es lo mismo que calcular la probabilidad de la expresión anterior, es decir nABPABPABPBP∩++∩+∩=...21,
ya que al ser un sistema completo, las intersecciones son vacías. Además, como sabemos que
()() ()()(, //BPBAPBAPBPBAPBAP⋅=∩⇒=
entonces la probabilidad de se puede descomponer como 2211iinn
18. 1_Apuntes de Estadística II 18
Ejemplo 1: Se tienen dos urnas, la nº1 tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la nº2 tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Se elige una urna al azar y de ella se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca.
Sea A1: “elegir la urna nº1”
A2: “elegir la urna nº2”
B: “extraer bola blanca”
P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) = 1/2 · 3/5 + 1/2 · 2/5 = 1/2.
Ejercicio 2: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Solución:
Para obtener la solución definimos el suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
Ejercicio 3: Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
Solución:
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
19. Introducción al cálculo de probabilidades 19
P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) = = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
Ejercicio 4: Para realizar un experimento aleatorio, disponemos de una muestra de cinco concesionarios de coches, de los cuales dos concesionarios tienen 3 coches blancos y 5 azules, otros dos concesionarios tienes 2 coches blancos y 3 azules, y el último concesionario tiene 2 coches blancos y 1 azul. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un coche azul?
Suceso A: 3 blancos y 5 azules
Como existen 2 sucesos A, entonces P(A)=2/5
Probabilidad de escoger 1 azul en estos dos concesionarios P(azul/A)=5/8
Suceso B: 2 blancos y 3 azules
Como existen 2 sucesos B, entonces P(B)=2/5
Probabilidad de escoger 1 azul en estos dos concesionarios P(azul/B)=3/5
Suceso C: 2 blancos y 1 azul
Como existe 1 suceso C, entonces P(C)=1/5
Probabilidad de escoger 1 azul en este concesionario P(azul/C)=1/3
P(azul)=P(A)*P(azul/A)+ P(B)*P(azul/B)+ P(C)*P(azul/C)
55,006,024,025,01512564010315153528552)(=++=++=⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠⎞ ⎜⎝ ⎛∗=azulP
Si hubiésemos optado por hacerlos como 5 sucesos individuales:
P(azul) = P(A)*P(azul/A)+P(A)*P(azul/A)+P(B)*P(azul/B)+P(B)*P(azul/B)+P(C)*P(azul/C)
20. 1_Apuntes de Estadística II 20
55,015125325340540531515351535185518551)(=++++=⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∗=azulP
7.- TEOREMA DE BAYES
Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades P(B/Ai), entonces:
n21iABPAPABPAPABPAPBAPiin1iiiiii,...,,, )( )/(•)(( )/(•)( )/(•)()/(=== Σ= BPP
Demostración :
P(Ai∩B) = P(Ai) ⋅ P(B/Ai) = P(B) ⋅ P(Ai/B) i=1,...,n
despejando P(Ai/B) nos queda:
P(A/B)= P(A)P(B/A) i=1,...,niii• () , PB
y por el teorema de la probabilidad total :
P(A/B)= P(A)P(B/A) P(A)P(B/A) i=1,...,niiiiii=1n• • , Σ
Ejemplo: Basándonos en el ejercicio anterior, supongamos que realizada la extracción la bola extraída es blanca. Calcular la probabilidad de que sea de la urna nº1.
Para resolverlo, tan sólo aplicar la fórmula, P(A/B)= P(A)•P(B/A) P(A)•P(B/A)+P(A)•P(B/A) •3511111221235= + =12351225•• .
Ejercicio: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución:
21. Introducción al cálculo de probabilidades 21
Para obtener la solución, llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
Del ejemplo 4 anterior de los concesionarios, ¿cuál es la probabilidad de que el coche azul elegido sea del concesionario donde hay sólo 2 coches blancos y 1 azul?
55,006,024,025,01512564010)(=++=++=azulP
e
conjunto. En este sentido nos facilitará métodos que serán útiles para determinar el
22. 1_Apuntes de Estadística II 22
número de resultados posibles de un experimento. Veamos a continuación de una forma breve las formulas combinatorias:
Variaciones sin repetición:
Se llaman Variaciones sin repetición de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, teniendo en cuenta el orden. (Importa el orden y no se pueden repetir).
V= n (n-1) ...... (n-m+1). mn
Ejemplo: Sea un conjunto formado por las letras a, b, c. ¿Cuántos grupos de 2 letras se puede obtener, sin repetir los elementos, teniendo en cuenta el orden?
()623123323=∗=+−∗=V
{}()()()()()()6,,,,,,,,,,,,,→→caacbcabcbbacba
Variaciones con repetición:
Se llaman Variaciones con repetición de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, teniendo en cuenta el orden. Es la misma definición anterior pero pudiendo repetir los elementos que intervienen en el grupo.
VR= n mn m
Siguiendo con el ejemplo anterior, ¿Cuántos grupos de 2 letras se puede obtener, repitiendo los elementos, teniendo en cuenta el orden?
93223==V
{}()()()()()()()()()9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→ccbbaacaacbcabcbbacba
Permutaciones sin repetición:
Se llaman Permutaciones de n elementos a las variaciones sin repetición pero el número de elementos coincide con el número de grupo. (importa el orden y no se pueden repetir).
P = V = n! nnn
Siguiendo con el ejemplo, ¿Cuántos grupos de 3 letras se pueden obtener, sin repetir los elementos, teniendo en cuenta el orden?
6123!33=∗∗==P
23. Introducción al cálculo de probabilidades 23
{}()()()()()()6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→bacacbbcaabcacbcbacba
Combinaciones sin repetición:
Se llaman Combinaciones sin repetición de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, sin tener en cuenta el orden. (No importa el orden ni se pueden repetir).
C== mn ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ mn)!(! ! mnmn−
Siguiendo el primer ejemplo:
()326112123!23!2!33223== ∗∗ ∗∗ = −∗ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =C
{}()()()3 ,,,,,,,→→cbcabacba.
Combinaciones con repetición:
Se llaman Combinaciones con repetición de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, sin tener en cuenta el orden. (No importa el orden pero se pueden repetir).
CR= =mn ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+ mmn1)!1(! )!1( − −+ nmmn
Y por último, terminando el ejemplo
() ()642412121234!2!2!4!13!2!123123223== ∗∗∗ ∗∗∗ = ∗ = −∗ −+ =⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛=− −+ C
{}()()()()()()6,,,,,,,,,,,,,→→ccbbaacbcabacba