Calculo de variaciones

Cálculo de variaciones
Programa de Posgrado FISYMAT

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

´
CALCULO DE VARIACIONES. PROGRAMA DE
POSGRADO FISYMAT, UNIVERSIDAD DE GRANADA

´ ˜
CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10

En las notas que siguen se recogen de manera esquem´tica algunas de las
a
ideas fundamentales que se explican en el curso “C´lculo de Variaciones y
a
Optimizaciń”, del programa de posgrado Fisymat. Estas notas estń en
o a
constante proceso de elaboraciń. Espero que cada alumno encuentre algo
o
de utilidad en ellas.

´ ´ ´
1. Introduccion, motivacion y notas historicas: del problema
de la braquistocrona a la teor´ de puntos cr´
ıa ıticos.
1.1. Recomendaciones bibliogr´ficas.
a

Los problemas de m´ximos y m´
a ınimos constituyeron la motivaciń funda-
o
mental para la creaciń del C´lculo Diferencial e Integral a finales del siglo
o a
XVII. El origen del C´lculo Diferencial e Integral se atribuye fundamental-
a
mente a Newton y Leibniz.
El significativo trabajo de Leibniz titulado “Nova methodus pro maximis
et minimis itemque tangentibus” que puede considerarse como el nacimiento
formal del C´lculo, se public´ en 1684 y las palabras con las que Leibniz
a o
describe el t´
ıtulo de esta obra nos dan una idea muy precisa del contenido:
nuevo m´todo para el estudio de m´ximos y m´
e a ınimos de funciones usando la
nociń de tangente. En este tratado se proporciona un m´todo muy preciso
o e
para el c´lculo de m´ximos y m´
a a ınimos de funciones concretas que surgen
en las aplicaciones m´s diversas. Dicho m´todo usa la nociń de derivada,
a e o
punto cr´ıtico, derivadas de orden superior, etc.
Un buen resumen de la evoluciń hist´rica del c´lculo de variaciones se
o o a
puede ver en los siguientes art´ıculos:
Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences
on the Mathematics of the First Half of Our Century. Part I. American
Mathematical Monthly, volumen 101, no. 7, 674-678, (1994).
Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences
on the Mathematics of the First Half of Our Century. Part II. American
Mathematical Monthly, volumen 101, no. 9, 902-908, (1994).
La introducciń del libro de texto recomendado [3] ofrece informaciń
o o
hist´rica de inter´s.
o e

1

2 ´ ˜

Por cierto, la revista mencionada, American Mathematical Monthly, es
muy recomendable para los alumnos de los ultimos cursos de la licencia-
´
tura en Matem´ticas. Tiene secciones muy diversas: art´
a ıculos, problemas,
reseãs de libros, etc. El nivel es, en general, asequible. Os animo a que la
n
consultís habitualmente.
e

Como veremos a continuaciń, los problemas que trata el c´lculo de va-
o a
riaciones se formularon inemdiatamente despu´s del nacimiento del C´lculo.
e a

1.2. Algunos problemas significativos del C´lculo de Variaciones. .
a

Segń M. Kline ([10]) el primer problema significativo del C´lculo de
u a
Variaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus “Prin-
cipia”. Estudiando la forma que deb´ tener una superficie de revoluciń,
ıa o
movińdose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo
e
largo de su eje para ofrecer una resistencia m´
ınima al movimiento, se plante´
o
el estudio de m´ ınimos de funcionales de la forma
b
y(x)(y (x))3
(1.1) Φ(y) =
a 1 + (y (x))2
donde la funciń y(x) pertenece a un espacio apropiado de funciones de clase
o
C 1 [a, b]. Por ejemplo, podemos pensar que y(·) ∈ Y, donde

Y = {y : [a, b] → R : y ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }
donde (a, y1 ), (b, y2 ) son dados.

Ya apreciamos la primera diferencia fundamental respecto de los proble-
mas de m´ximos y m´
a ınimos estudiados por el alumno en la licenciatura:
en (1.1) la “variable independiente” y(x) pertenece a un conjunto adecuado
de funciones y no a un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo finito dimensional.
Tengamos en cuenta que los espacios de funciones son, en general, espacios
vectoriales de dimensiń infinita. Os recomiendo la lectura y consulta del
o
art´
ıculo: G. Buttazzo y B. Kawohl: On Newton’s problem of minimal re-
sistance, Mathematical Intelligencer, volumen 15, 7-12, (1992). Por cierto,
esta revista, Mathematical intelligencer, es tambiń muy recomendable para
e
los alumnos.

De todas formas, suele considerarse que lo que se entiende hoy en d´ ıa
por C´lculo de Variaciones, naci´ con la proposiciń de Johann Bernou-
a o o
lli,en 1.696, del problema de la braquistocrona (segń algunos autores, este
u
problema fue formulado con anterioridad por Galileo en 1638). Puede des-
cribirse as´ una masa puntual se desliza, por acciń de la gravedad, desde un
ı: o
punto A del plano , hasta otro punto B, a trav´s de alguna curva. El tiempo
e
empleado para ir desde A hasta B depende de la curva elegida. ¿Para qu´ e
curva se tendr´ que el tiempo es m´
a ınimo? Puede verse ([17]) que esto exige

´ ˜
CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 3

el estudio de funcionales de la forma
b 1/2
1 + y (x)2
(1.2) dx
a y(x)
donde, como en (1.1), la variable independiente y(·), pertenece a un conjunto
adecuado de funciones.
Contrariamente a lo que puede sugerir nuestra intuiciń, la soluciń de
o o
este problema no es ni el segmento rectil´
ıneo que une A con B, ni ningń arco
u
de circunferencia que pase por A y B. La soluciń, un arco de cicloide, fue
o
encontrada por diferentes matem´ticos: Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz,
a
L’Hopital, etc.

En los ejemplos citados con anterioridad, la variable independiente es una
funciń y(x). Hay otros problemas, donde de manera natural surge el estudio
o
de funcionales cuya variable independiente pueden ser varias funciones. In-
cluso, se pueden plantear problemas que recuerdan a los m´ximos y m´
a ınimos
condicionados (multiplicadores de Lagrange). Por ejemplo, esto ocurre en
el llamado problema isoperim´trico que describimos a continuaciń. Dado
e o
un n´mero real positivo L, se trata de estudiar la cuestiń siguiente: de
u o
todas las curvas cerradas del plano de longitud dada L > 0, ¿cu´l es la que
a
encierra mayor ´rea?
a

Si escribimos la curva mediante sus ecuaciones param´tricas
e
(1.3) x = x(s)
(1.4) y = y(s)
(donde s es, por ejemplo, el par´metro arco), entonces es conocido que el
a
a
´rea encerrada por la misma viene dada por:

L
1
(1.5) A = Φ(x, y) = x(s)y (s) − x (s)y(s) ds
2 0

Por tanto, se trata de hacer m´xima una expresiń donde la variable
a o
es un par de funciones x(s), y(s). M´s precisamente, el par de funciones
a
x(·), y(·) pertenecen al espacio de funciones de clase C 1 [0, L] y, adem´s,
a
x(0) = x(L), y(0) = y(L) (la curva es cerrada). Por otra parte, al ser s el
par´metro arco se ha de cumplir la restricciń
a o
(x (s))2 + (y (s))2 = 1, ∀ s ∈ [0, L].
Esto es pues un problema de m´ximos y m´
a ınimos condicionados.

Puede probarse ([7]) la relaciń
o

(1.6) L2 − 4πA ≥ 0

4 ´ ˜

y que la igualdad se da s´lo para cualquier circunferencia de longitud L. Un
o
m´todo elegante y sencillo para estudiar este problema usa algunos hechos
e
b´sicos de la teor´ de Series de Fourier ([5]).
a ıa
El problema puede plantearse tambiń en dimensiones superiores n ≥
e
3, probńdose que si B ⊂ Rn , es un conjunto con algunas restricciones
a
adicionales, entonces ([7])
(1.7) [L(∂B)]n − nn ωn [M (B)]n−1 ≥ 0
donde ωn es el volumen de la bola unidad n−dimensional, es decir, ωn =
BRn (0;1) 1 y [M (B)] es la medida de Lebesgue n−dimensional de B. Por
su parte, L(∂B) es la medida de Lebesgue n − 1-dimensional de la frontera
de B. Adem´s la igualdad se da en la expresiń anterior si y s´lo si B es
a o o
una bola.

Un ejemplo de especial significaciń, desde el punto de vista de la f´
o ısica,
lo constituye el principio de Hamilton. Vamos a ver que proporciona una
formulaciń variacional (en t´rminos de m´ximos y m´
o e a ınimos, o al menos,
puntos estacionarios o cr´ ıticos), de la segunda ley de Newton.
Supongamos que una part´ ıcula de masa 1 se desplaza en el espacio eucl´
ıdeo
tridimensional desde un punto dado p1 a otro p2 en el intervalo de tiempo
[t1 , t2 ], bajo la acciń de una fuerza F : R3 −→ R3 que depende s´lo de la
o o
posiciń de la part´
o ıcula. En este caso, F = F (x), x = (x1 , x2 , x3 ).
Si x : [t1 , t2 ] −→ R3 , t → x(t), es la trayectoria de la part´ ıcula, entonces
la segunda ley de Newton (masa × aceleracion = f uerza) nos proporciona
la relaciń o

(1.8) x (t) = F (x(t)), x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2
(1.8) es una ecuaciń diferencial ordinaria de segundo orden.
o
El C´lculo de Variaciones nos proporciona otra interpretaciń de (1.8),
a o
cercana a problemas de m´ximos y m´
a ınimos cuando la fuerza F es con-
servativa, esto es, deriva de un potencial U : R3 → R. Esto quiere decir
que U (y) = F (y), ∀y ∈ R3 , donde U (y) = ∂U (y) , ∂U (y) , ∂U (y) =
∂y1 ∂y2 ∂y3
(F1 (y), F2 (y), F3 (y)).

Definamos el conjunto A de “trayectorias posibles entre los puntos p1 y
p2 ” de la forma siguiente:
(1.9) A = y : [t1 , t2 ] −→ R3 / y(t1 ) = p1 , y(t2 ) = p2 , y ∈ C 1 [t1 , t2 ]

Dado un elemento y ∈ A, su energ´ cin´tica como funciń del tiempo t
ıa e o
viene dada por

1
(1.10) (M y)(t) =
˙ y1 (t)2 + y2 (t)2 + y3 (t)2
˙ ˙ ˙
2

´ ˜

y su energ´ potencial viene expresada por −U (y(t)) donde U es el potencial
ıa
mencionado.

La lagrangiana de la trayectoria y se define como
(1.11) L(y(t)) = M (y(t)) + U (y(t))
˙
El funcional, llamado acciń integral de Hamilton, se define como
o

Φ : A −→ R
(1.12) t2
Φ(y) = L(y(t)) dt
t1

que hace corresponder a cada trayectoria posible, y, un n´mero real,Φ(y).
u

¿Qu´ relaciń existe entre el funcional dado en (1.12) y la ecuaciń dife-
e o o
rencial (1.8)? Por una parte, el funcional dado hace corresponder, a cada
trayectoria posible y, un n´mero real Φ(y). Por otra, (1.8) es una ecuaciń
u o
diferencial ordinaria. No parece sencillo, ni intuitivo, qu´ relaciń puede
e o
haber entre ambos conceptos.

El principio de Hamilton afirma: ”la trayectoria x ∈ A que sigue la
part´
ıcula bajo la acciń de la fuerza F para ir de p1 a p2 es aquella que hace
o
estacionaria la acciń integral Φ”.
o

¿Qu´ es eso de hacer estacionaria la acciń integral?. Recordemos que
e o
dada una funciń H : Rn → R, un punto estacionario de la misma es cual-
o
quier punto x ∈ Rn para el que H (x) = 0 (equivalentemente, todas las deri-
vadas parciales de H, en el punto x son cero; es decir ∂H(x) = 0, 1 ≤ i ≤ n.)
∂xi
Ahora quiz´s no tenga sentido, o quiz´s sea un concepto nada trivial, la
a a
nociń de “derivada parcial de la acciń integral de Hamilton”. Esto puede
o o
ser subsanado con el concepto de derivada direccional, m´s amplio que el de
a
derivada parcial.

Un elemento x ∈ A se dice estacionario cuando la primera variaciń de
o
Φ en x es cero. La primera variaciń del funcional Φ, en el punto x y en la
o
direcciń h se define como
o
d
(1.13) δΦ(x; h) = Φ(x + τ h)|τ =0
dτ
donde

(1.14) h ∈ g : [t1 , t2 ] −→ R3 / g(t1 ) = 0, g(t2 ) = 0, g ∈ C 1 [t1 , t2 ] = B
Que la primera variaciń sea cero significa que
o

6 ´ ˜

(1.15) δΦ(x; h) = 0 ∀h ∈ B.
Veremos en el curso que (1.15) no es sino la la segunda ley de Newton (1.8)
expresada en forma variacional. En realidad veremos que, para trayectorias
x ∈ C 2 [t1 , t2 ], tales que x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2 , (1.8) es equivalente a (1.15).

Otras muchas leyes de la F´ ısica se expresan tambiń en forma variacional.
e
Todas ellas responden a la filosof´ marcada por las frases siguientes:
ıa
(1) “En la Naturaleza no se realiza ningń proceso superfluo o innece-
u
sario (Olympiodorus, siglo VI )”
(2) “En un medio no homogńeo, formado por dos homogńeos y sepa-
e e
rados por una recta, un rayo luminoso que va desde un punto del
primer medio a otro del segundo, lo hace de tal forma que minimiza
el tiempo empleado en su recorrido (Fermat, siglo XVII)”
(3) “Puesto que el Universo es perfecto y fue creado por el Creador m´s a
sabio, nada ocurre en ´l, sin que est´ presente alguna ley de m´ximo
e e a
o m´ ınimo (Euler, siglo XVIII)”
(4) “Una part´ ıcula que se mueve en el espacio bajo la acciń de una
o
fuerza conservativa, lo hace de tal forma que su trayectoria hace
m´ ınima, o al menos estacionaria, la acciń integral (Hamilton, siglo
o
XIX)”
Deteng´monos en un ejemplo concreto, la ley de la refracciń que afirma
a o
lo siguiente:
Supongamos un medio no homogńeo, formado por dos medios homogńeos
e e
I y II separados por una recta r. Sean A y B dos puntos dados de I y II
respectivamente. Entonces un rayo luminoso que va de A hasta B lo hace a
trav´s de una trayectoria que es rectil´
e ınea en cada medio considerado y tal
que si O es el punto de la recta r por el que pasa, se tiene que el cociente entre
el seno del ńgulo de incidencia ϕ1 y el seno del ńgulo de refracciń ϕ2 , es
a a o
v1
igual a v2 , siendo v1 y v2 , respectivamente, las velocidades de propagaciń o
de la luz en I y II. Es decir
senϕ1 v1
(1.16) =
senϕ2 v2
Una demostraciń variacional de la ley anterior, puede obtenerse usando
o
el principio de Fermat (siglo XVII) que afirma:
en la situaciń anteriormente descrita, un rayo luminoso que va de A hasta
o
B, lo hace a trav´s de una trayectoria tal que el tiempo empleado en su
e
recorrido es m´ ınimo.
Usando este principio y eligiendo convenientemente los ejes de coordena-
das tal que A = (0, a), B = (d, −b), entonces si O = (x, 0), tenemos que el
tiempo empleado en la trayectoria es
(a2 + x2 )1/2 (b2 + (d − x)2 )1/2
t(x) = +
v1 v2

´ ˜

Es trivial comprobar que existe un unico punto x0 ∈ [0, d] tal que t (x0 ) = 0.
´
Adem´s, t (x) > 0, ∀ x ∈ [0, d]. Esto prueba que existe un unico punto
a ´
x0 ∈ [0, d] tal que t(x0 ) = min[0,d] t. Calculando t (x0 ), es trivial que la
relaciń t (x0 ) = 0 es equivalente a (1.16).
o

Terminamos la descripciń de problemas concretos, con el denominado
o
Principio de Dirichlet, donde como variables independientes aparecen de
manera natural, funciones de varias variables reales (hasta ahora s´lo han
o
aparecido funciones de una variable).

Sea Ω un dominio (subconjunto abierto y conexo) acotado de Rn . Consi-
deremos el problema de contorno

∆u(x) = 0 x∈Ω
(1.17)
u(x) = f (x) x ∈ ∂Ω

donde ∆ es el operador Laplaciano definido como
∂ 2 u(x) ∂ 2 u(x)
(1.18) ∆u(x) = 2 + ... + ∂x2
∂x1 n

Problemas del tipo anterior (estudio de la existencia de funciones armńicas
o
en Ω que tomen valores prefijados, dados por la funciń f , en la frontera de
o
Ω) surgen, por ejemplo, en electrost´tica.
a

Como en el caso de la segunda ley de Newton, la ecuaciń que aparece
o
en (1.17) es una ecuaciń diferencial de segundo orden, pero en este caso se
o
trata de una ecuaciń en derivadas parciales. Al tratar de conectar (1.17)
o
con problemas de m´ximos y m´
a ınimos, surge de manera natural el llamado
funcional de energ´ıa:
2 2
∂u(x) ∂u(x)
(1.19) Φ(u) = | u(x)|2 dx = + ... + dx
Ω Ω ∂x1 ∂xn

que est´ definido sobre el conjunto de funciones:
a

(1.20) ¯
A = u : Ω −→ R / u ∈ C 1 (Ω), u|∂Ω = f

En electrost´tica, u es el potencial elćtrico y Φ(u) la energ´ Obs´rvese la
a e ıa. e
analog´ entre este funcional y el funcional Φ dado por la acciń integral de
ıa o
Hamilton en (1.12) (ahora la fuerza F y por tanto, el potencial U son las
funciones idńticamente cero).
e
Los puntos estacionarios del funcional Φ son, en un sentido que se pre-
cisar´ en el curso, soluciones del problema (1.17) Este es el principio de
a
Dirichlet.

8 ´ ˜

1.3. Las condiciones necesarias de Euler-Lagrange y Legendre.
Como resumen de lo dicho hasta ahora, nos encontraremos con el pro-
blema de minimizar (o maximizar), o al menos encontrar puntos estacio-
narios (por cierto, un concepto que habr´ que definir rigurosamente), de
a
funcionales Φ de la forma
b
Φ(y) = L(t, y(t), ..., y n) (t)) dt
a
donde y : [a, b] → R de clase C n [a, b] (sistemas con un grado de libertad).
Este es el caso del problema de Newton (1.1), descrito con anterioridad, o
el problema de la braquistocrona (1.2). En estos dos ejemplos n = 1.
De manera m´s general, y : [a, b] → Rm de clase C n [a, b] (sistemas con
a
m grados de libertad). Por ejemplo, en el caso de problema isoperim´tricoe
(1.5) tenemos n = 1, m = 2 y en el caso del principio de Hamilton para el
funcional Φ dado en (1.12) tenemos n = 1, m = 3. Adem´s, la funciń y
a o
y sus derivadas hasta el orden n, satisfacen en general algunas condiciones
adicionales en la frontera del intervalo [a, b].
Trataremos tambiń el caso de funciones de varias variables (sistemas con
e
infinitos grados de libertad) como en el caso del funcional (1.19), relacionado
con el principio de Hamilton. Concretamente funcionales de la forma

Φ(u) = L(x, u(x), ..., Dα u(x)) dx,
Ω
siendo Ω un dominio acotado de Rn . Aqu´ α es un multi´
ı ındice α = (α1 , α2 , . . . , αn )
tal que αi ∈ N ∪ {0}, 1 ≤ i ≤ n y
∂ α1 +...+αn u(x)
Dα u(x) =
∂xα1 . . . ∂xαn
1 n

Por ejemplo, en el caso del funcional (1.19) los multi´
ındices α vienen dados
por los vectores canńicos de Rn . Adem´s, es usual que la funciń u verifique
o a o
algunas condiciones en la frontera de Ω. Por ejemplo, en el principio de
Hamilton u(x) = f (x), ∀ x ∈ ∂Ω.
Como en la teor´ de m´ximos y m´
ıa a ınimos para funcionales Φ : D →
R, y → Φ(y), donde D es un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo Rk , las
principales cuestiones que hemos de resolver se centran fundamentalmente en
el establecimiento de condiciones necesarias y condiciones suficientes que nos
permitan reconocer un punto de m´ ınimo o al menos un punto estacionario
(si es que tiene sentido) del funcional Φ. Sabemos que esto depende no s´loo
del funcional Φ, sino en gran medida del subconjunto D.
En el caso finito dimensional, donde D ⊂ Rk , si D es abierto, dichas
condiciones se expresan en t´rminos de Φ (x) y de Φ (x) (o derivadas de
e
orden superior a dos). No obstante, en este caso el problema suele ser, con
frecuencia, probar que Φ tiene m´ ınimo. Si D es compacto, no suele ser pro-
blema probar que Φ tiene m´ ınimo. Si, adem´s, su frontera se expresa en
a
t´rminos “buenos”, es util el teorema de los multiplicadores de Lagrange.
e ´

´ ˜

Todas estas son las ideas que flotan en el ambiente del C´lculo de Variacio-
a
nes. No obstante, la situaciń ahora es bastante m´s complicada, puesto que
o a
en general tratamos con problemas donde la variable independiente perte-
nece a espacios de dimensiń infinita. ¿Tiene sentido ahora la definiciń de
o o
derivada parcial, o derivada direccional?, ¿c´mo podemos definir la nociń
o o
de derivada, y la nociń de derivadas de orden superior a uno?...
o
En lo que se refiere al establecimiento de condiciones necesarias, un avance
fundamental fue dado por Euler (¿c´mo no?) en 1744, aõ en que se public´
o n o
su famoso libro sobre curvas geod´sicas. Para funcionales de la forma
e
b
Φ(y) = f (t, y(t), y (t)) dt
a
la condiciń necesaria para que un elemento (en este caso una funciń) y0
o o
sea un m´ ınimo es
d
(1.21) fy (t, y0 (t), y0 (t)) − fy (t, y0 (t), y0 (t)) = 0, ∀ t ∈ [a, b]
dt
que es una ecuaciń diferencial ordinaria de segundo orden (como la de la
o
segunda ley de Newton). Esta es la condiciń similar a que la primera
o
derivada sea cero en el caso finito-dimensional. Dependiendo del tipo de
problema que se considere la anterior ecuaciń ha de completarse con alguna
o
condiciń sobre la funciń y0 en la frontera t = a y t = b del intervalo
o o
[a, b]. Como veremos en el curso, esta condiciń en la frontera implica las
o
cantidades y0 (a), y0 (b), y0 (a), y0 (b), etc, dependiendo de que en el problema
original considerado los extremos de la funciń se consideren fijos, variables,
o
etc.

Algunas ideas de Euler fueron posteriormente desarrolladas en profundi-
dad por Lagrange. En particular, en su libro de 1760-61, sobre “un nuevo
m´todo para determinar los m´ximos y los m´
e a ınimos de f´rmulas integrales”
o
lleg´ a la misma conclusiń que Euler, sobre la ecuaciń (1.21) usando un
o o o
camino diferente: Lagrange consider´ las variaciones
o
(1.22) J(y0 , η, ε) = F (y0 + εη)
para una funciń η fija y ε variable. As´ lleg´ a la misma ecuaciń (1.21), que
o ı o o
por este motivo es conocida con el nombre de ecuaciń de Euler-Lagrange.
o
Parece ser que el nombre “C´lculo de Variaciones” tambiń viene de esta
a e
idea de Lagrange.

La ecuaciń de Euler-Lagrange es una condiciń necesaria de m´
o o ınimo
que implica la derivada de orden uno. Partiendo de (1.22) y considerando
la “segunda variaciń” Jεε , introducida por Legendre en 1786 ([10], [11]),
o
´ste demostr´ que en un punto de m´
e o ınimo y0 ha de cumplirse la condiciń
o
necesaria
(1.23) f y y (t, y0 (t), y0 (t)) ≥ 0, ∀ t ∈ [a, b].

10 ´ ˜

Esta es una condiciń similar al hecho de que la derivada segunda ha de ser
o
semidefinida positiva en el caso finito-dimensional.
Respecto de las posibles condiciones suficientes, hubo que esperar 50 aõs
n
hasta que Jacobi introdujo la llamada hoy en d´ condiciń de Jacobi, que
ıa o
junto con la ecuaciń de Euler-Lagrange y (1.23) permiten demostrar que
o
el punto y0 es un m´ ınimo. No obstante, dicha condiciń no es fćil de
o a
comprobar, como veremos m´s adelante.
a

1.4. Teor´ de puntos cr´
ıa ıticos.
Como hemos tenido ocasiń de comentar, la segunda ley de Newton (1.8),
o
que viene dada por una ecuaciń diferencial ordinaria de segundo orden,
o
puede expresarse en t´rminos variacionales de la forma (1.15), que no re-
e
fleja otra realidad sino que todas las derivadas direccionales del funcional Φ
(definido en (1.12)) en el punto x son cero. En el caso finito dimensional,
si hablamos de funcionales Φ : Rn → R que sean derivables, la manera m´s a
fćil de conseguir que todas las derivadas direccionales de Φ en x sean cero
a
es que la derivada de Φ en x, Φ (x) sea cero. Ahora estamos hablando no de
funcionales definidos en espacios normados de dimensiń finita, Rn , sino de
o
funcionales Φ definidos en espacios normados de dimensiń infinita E. La
o
teor´ de puntos cr´
ıa ıticos trata sobre la ecuaciń
o
Φ (u) = 0
para funcionales derivables Φ : E → R, derivables (en un sentido que se ha
de precisar), donde E es cualquier espacios normado de dimensiń infinita.
o
En este curso se proporcionar´ una introducciń a la teor´ de puntos
a o ıa
cr´ıticos, y se expondrń algunos resultados importantes referentes tanto al
a
llamado m´todo directo (en el que se trata de probar la existencia de m´
e ınimo
global del funcional Φ dado), como a los m´todos min-max, de desarrollo
e
relativamente reciente. En particular, dedicaremos una atenciń especial a
o
dos teoremas relativamente modernos, pero ya cl´sicos: el Teorema del paso
a
de montaã de Ambrosetti y Rabinowitz (1971) y el Teorema del punto de
n
silla de Rabinowitz (1978).
Segń mi opiniń, los resultados seleccionados son ejemplos muy represen-
u o
tativos de las diferentes posibilidades del m´todo variacional, pudińdose,
e e
con la ayuda de la bibliograf´ recomendada, estudiar otros de los muchos
ıa
que se conocen en la actualidad.

Un comentario m´s. a
En un curso de esta naturaleza, de carćter introductorio sobre m´todos
a e
variacionales, pueden obtenerse los resultados fundamentales sin recurrir a
nociones de diferenciabilidad en espacios de dimensiń infinita (váse, por
o e
ejemplo [7], [18]). No obstante, en mi opiniń, es muy instructivo hacerlo
o
desde este punto de vista, puesto que el desarrollo del c´lculo diferencial en
a
espacios de dimensiń infinita puede hacerse muy similarmente al caso de
o

´ ˜

dimensiń finita; eso s´ hay que hacer un hincapi´ especial en las diferen-
o ı e
cias b´sicas entre ambos casos, lo que es muy instructivo para el alumno.
a
Adem´s, este punto de vista hace necesaria la introducciń de diversos con-
a o
ceptos (espacios normado, de Hilbert, aplicaciones lineales, bases hilbertia-
nas, etc.) que permite al alumno tener una formaciń no s´lo en este tema
o o
sino tambiń en otras disciplinas relacionadas con Ecuaciones Diferenciales
e
y An´lisis Funcional. Es indudable que estos conocimientos pueden serle
a
de gran utilidad en otras disciplinas que curse, e incluso para su posible
iniciaciń en la investigaciń actual.
o o

12 ´ ˜

´
2. Calculo diferencial en espacios normados

2.1. Derivabilidad en espacios normados de dimensiń arbitraria.
o
A continuaciń introducimos brevemente algunas nociones sobre derivabili-
o
dad en espacios de dimensiń arbitraria. Puede consultarse [3] y [8] para los
o
detalles y para profundizar en el tema.

La idea b´sica para extender la nociń de derivada a espacios de dimensiń
a o o
infinita est´ basada en las siguientes reflexiones escalonadas:
a
(1) Si f : (a, b) → R y x0 ∈ (a, b), entonces f es derivable en x0 si y
solamente si existe el l´ımite
f (x0 + h) − f (x0 )
(2.1) lim = f (x0 )
h→0 h
en cuyo caso, a tal l´
ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ R.
(2.1) es equivalente a
f (x0 + h) − f (x0 )
(2.2) lim − f (x0 ) = 0.
h→0 h
(2) Si f : (a, b) → Rm y x0 ∈ (a, b), entonces todo es lo mismo que en el
caso anterior, salvo que, ahora, f (x0 ) ∈ Rm . M´s precisamente, f
a
es derivable en x0 si y solamente si existe el l´ ımite
f (x0 + h) − f (x0 )
(2.3) lim = f (x0 )
h→0 h
ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ Rm .
en cuyo caso, a tal l´
(2.3) es equivalente a
f (x0 + h) − f (x0 )
(2.4) lim − f (x0 ) = 0.
h→0 h
donde · indica cualquier norma en el espacio normado finito di-
mensional Rm (recordemos que al ser Rm de dimensiń finita, todas
o
las normas son equivalentes).
(3) Si f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de Rn , y n > 1,
la anterior definiciń no es v´lida, puesto que no podemos dividir
o a
por h ∈ Rn . La extensiń adecuada de derivada no la constituye la
o
mera existencia de derivadas parciales, puesto que es conocido que
una funciń puede tener derivadas parciales y no ser continua.
o
Para proceder a la definiciń en este caso, es necesario obtener una
o
caracterizaciń de las situaciones presentadas en los dos primeros
o
apartados, que pueda extenderse a situaciones generales. En este
sentido, el l´
ımite (2.1) es un n´mero real o m´s generalmente, en
u a
el caso de (2.3), un vector de Rm . En ambos casos, el vector f (x0 )
define una aplicaciń lineal (autom´ticamente continua) L : R → Rm
o a

´ ˜

dada por L(h) = f (x0 )h, ∀ h ∈ R y, en ambos casos, podemos decir
que f es derivable en x0 si
|f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|
(2.5) lim =0
h→0 h Rn
donde · Rm es cualquier norma en Rm . Estos reflexiones se ven
avaladas porque, como puede comprobarse fćilmente, s´lo puede
a o
existir una aplicaciń lineal L : R → Rm que satisfaga (2.5).
o
De acuerdo con las anteriores ideas, si f : Ω → R, donde Ω es
un subconjunto abierto de Rn , n > 1, y x0 ∈ Ω, diremos que f
es derivable en x0 si y solamente si existe alguna aplicaciń lineal
o
L : Rn → R (autom´ticamente continua) tal que
a
|f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|
(2.6) lim =0
h→0 h Rn
(4) En la situaciń general finito dimensional, donde f : Ω → Rm , y Ω
o
es un abierto de Rn , diremos que f es derivable en x0 si y solamente
si existe alguna aplicaciń lineal L : Rn → Rm (autom´ticamente
o a
continua) tal que
f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h) Rm
(2.7) lim =0
h→0 h Rn
Cuando intentemos dar el salto a dimensiń infinita, la unica novedad es
o ´
que, ahora, una aplicaciń lineal no es necesariamente continua y por tanto,
o
hemos de exigirlo en la definiciń (váse [4]).
o e
Definiciń 2.1. (Derivada de Frćhet).
o e
Sean (X, · X ), (Y, · Y ) espacios normados reales, Φ : Ω −→ Y donde
Ω es un abierto de X y x0 ∈ Ω.

Se dice que Φ es derivable (segń Frćhet) en el punto x0 ∈ Ω, si existe
u e
alguna aplicaciń lineal y continua L : X −→ Y tal que
o
Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) Y
(2.8) lim =0
h→0 h X

Como primeras propiedades de esta definiciń, podemos indicar las si-
o
guientes:
Proposiciń 2.2.
o (1) L, si existe, es unica. Usaremos la notaciń L =
´ o
Φ (x0 ).

(2) La derivabilidad es un concepto que no cambia, si se toman otras
normas equivalente. M´s precisamente, si Φ es derivable en x0 y
a
tomamos normas equivalentes en X e Y respectivamente, la derivada
es la misma.

14 ´ ˜

(3) Si ∃ Φ (x0 ), entonces Φ es continua en x0 .

(4) Sea Φ : X −→ Y lineal y continua (recordemos que si Φ es lineal, esto
es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal que Φ(x) Y ≤
k x X , ∀ x ∈ X). Entonces se tiene Φ (x0 ) = Φ, ∀x0 ∈ X.

(5) Sea Φ : X × Z → Y bilineal y continua (recordemos que si Φ es
bilineal, esto es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal
que Φ(x, z)) Y ≤ k x X z Z , ∀ (x, z) ∈ X × Z). Entonces existe
Φ (x0 , z0 ), ∀(x0 , z0 ) ∈ X × Z y Φ (x0 , z0 )(h1 , h2 ) = Φ(x0 , h2 ) +
Φ(h1 , z0 ). En particular, el producto escalar en cualquier espacio de
Hilbert es un ejemplo de ello.

(6) Si H es un espacio de Hilbert real con producto escalar · , A : H −→
H es lineal y continua y Φ : H −→ R, viene definida por Φ(x) =
Ax, x , entonces existe Φ (x0 ), ∀x0 ∈ H y Φ (x0 )(h) = Ax0 , h +
x0 , Ah .
En particular, si A = I, entonces Φ(x) = x 2 y Φ (x0 )(h) =
2 x0 , h , ∀ x0 , h ∈ H.

(7) Si Φ : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de algń espacio
u
de Hilbert H, y Φ es derivable en x0 ∈ Ω, entonces el teorema de
representaciń de Riesz garantiza la existencia de un unico elemento
o ´
Φ(x0 ) ∈ H, tal que Φ (x0 )(h) =< Φ(x0 ), h >, ∀ h ∈ H. A
Φ(x0 ) se le denomina gradiente de Φ en x0 .

Un operador Ψ : Ω → H se dice que es un operador gradiente si
existe algń operador Φ : Ω → R tal que Ψ(x) = Φ(x), ∀ x ∈ Ω.
u
En este caso, a Φ se le llama potencial de Ψ.

Como en el caso finito dimensional (las demostraciones son idńticas),
e
puede comprobarse inmediatamente que la derivada es un operador lineal
en el siguiente sentido: la derivada de la suma es la suma de derivadas, la
derivada del producto de un escalar por una funciń es el escalar por la
o
derivada de la funciń, etc. y que es v´lida la regla de la cadena ([3]).
o a
Si Φ : Ω −→ Y es tal que existe su derivada de Frćhet en todos los puntos
e
de Ω, entonces se puede considerar la aplicaciń derivada
o
Φ : Ω −→ L(X, Y )
(2.9)
x −→ Φ (x)

Aqu´ L(X, Y ) indica el espacio normado real formado por las aplica-
ı,
ciones lineales y continuas de X en Y, dotado de la norma usual. Re-
cordemos que si L ∈ L(X, Y ), entonces existe alguna constante k ≥ 0
tal que L(x) Y ≤ k x X , ∀ x ∈ X. En este caso, L L es el ´ ınfimo
(m´ınimo) de los n´meros k que verifican la relaciń anterior. Tambiń
u o e
L L(X,Y ) = supx∈X, x X ≤1 L(x) Y .

´ ˜

Tiene as´ sentido hablar de la derivabilidad de Φ . Si existe (Φ ) (x0 ) se
ı
dir´ que Φ posee derivada segunda en el punto x0 : Φ (x0 ) ∈ L(X, L(X, Y ).
a
Por ejemplo, es fćil comprobar que si L ∈ L(X, Y ), entonces L = 0 en todo
a
punto. Si X = C([0, 1], R), y Φ : X → X est´ definida como Φ(x)(t) = x2 (t),
a
entonces (Φ (x))(h)(k) = 2hk, ∀ h, k ∈ X.
Para poder trabajar c´modamente con derivadas de orden superior, con-
o
viene hacer las identificaciones que siguen. Comencemos por un lema, de
demostraciń sencilla, que identifica el espacio L(X, L(X, Y )) con L2 (X, Y ),
o
donde L2 (X, Y ) es el espacio de las aplicaciones bilineales y continuas de
X × X en Y . Recordemos que si L ∈ L2 (X, Y ), ∃m ≥ 0, / L(h, k) Y ≤
m h X k X , ∀(h, k) ∈ X × X. Entonces L es el ´ ınfimo (m´ ınimo) de los
n´meros m que verifican la desigualdad anterior. Tambiń, L L2 (X,Y ) =
u e
sup h ≤1, k ≤1 L(h, k) Y .
Lema 2.3.
Sea
Γ : L(X, L(X, Y )) −→ L2 (X, Y )
A −→ ΓA
donde ΓA : X × X −→ Y, ΓA (h, k) = (A(h))(k), ∀(h, k) ∈ X × X.
Entonces Γ es lineal, biyectiva y ΓA L2 (X,Y ) = A L(X,L(X,Y )) , ∀A ∈
L(X, L(X, Y )).
Una propiedad destacable es que la derivada segunda de una funciń, sio
existe, es siempre una aplicaciń bilineal sim´trica (vánse [2], [8]).
o e e
En general, si Ln (X, Y ) denota el conjunto de aplicaciones multilineales
y continuas L de X × . . .n) × X en Y, con la norma usual, es decir,
L = sup L(x1 , · · · , xn ) Y,
x1 ≤1,··· , xn ≤1

entonces la derivada n−´sima puede definirse por inducciń, sin m´s que
e o a
usar la identificaciń
o
(2.10) L(X, Ln (X, Y )) Ln+1 (X, Y )
Como en el caso de dimensiń dos, una propiedad destacable es que la deri-
o
vada n−´sima de una funciń, si existe, es siempre una aplicaciń multilineal
e o o
sim´trica (vánse [2], [8]).
e e
La siguiente f´rmula, conocida como f´rmula de Taylor, es semejante al
o o
caso de dimensiń finita, y de gran utilidad en el estudio de m´ximos y
o a
m´ınimos de funcionales. Para la demostraciń vánse [2], [3] o bien [8].
o e
Como hasta ahora, Ω denota cualquier abierto de un espacio normado real
X, e Y denota tambiń cualquier espacio normado real.
e
Teorema 2.4. Sea Φ : Ω → Y, de clase C n (Ω) (es decir, tanto Φ como sus
derivadas hasta el orden n son continuas en Ω), y dos puntos u, u + h ∈ Ω

16 ´ ˜

tales que el segmento [u, u + h] ⊂ Ω. Entonces
1 n)
(2.11) Φ(u + h) = Φ(u) + Φ (u)(h) + . . . + Φ (u)(h)n + ω(u, h)(h)n ,
(n)!
donde ω(u, h) es un aplicaciń multilineal de X × . . .n) × X en Y tal que
o
n
limh→0 ω(u, h) = 0. En particular limh→0 ω(u,h)(h) = 0.
h n X

Aqu´ la notaciń
ı, o Φk) (u)(h)k significa la aplicaciń multilineal Φk) (u) apli-
o
cada al elemento (h, . . . , h) ∈ X k.

Los resultados anteriores permiten demostrar los teoremas siguientes, so-
bre condiciones necesarias y condiciones suficientes de m´ximos y m´
a ınimos.
Teorema 2.5.
Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, y x0 ∈ Ω un m´
ınimo local de Φ.

• Si Φ es derivable en x0 , entonces Φ (x0 ) = 0.
• Si existe la derivada segunda de Φ en x0 , entonces Φ (x0 )(h, h) ≥
0, ∀h ∈ X

Teorema 2.6.
Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, Φ ∈ C 2 (Ω, R) y x0 ∈ Ω tal que:
(1) Φ (x0 ) = 0
(2) ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h 2 , ∀h ∈ X

Entonces Φ tiene un m´
ınimo local estricto en x0 .
Nota 1. Notemos que la condiciń
o
2
∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h , ∀h ∈ X
es equivalente a
∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K, ∀h ∈ X tal que h = 1.
Si el espacio X tiene dimensiń finita, esto ultimo es claramente equivalente
o ´
a que
Φ (x0 )(h, h) > 0, ∀h ∈ X tal que h = 1.
En dimensiń infinita no es necesariamente as´ debido a la no compacidad
o ı,
de la bola unidad del espacio X.

Veamos un ejemplo de lo anterior, de especial significaciń por las apli-
o
caciones al c´lculo de variaciones. Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x),
a
∂f
continua tal que ∃ : [a, b] × R −→ R y es continua.
∂x
Definimos

´ ˜

Φ : C([a, b], R) −→ R

(2.12) b

Φ(x) = f (t, x(t))dt
a

• C([a, b], R) lo consideramos como espacio normado real, con la norma
x 0 = maxt∈[a,b] |x(t)| .
Proposiciń 2.7.
o
∀x0 ∈ C([a, b], R), ∃ Φ (x0 ) y
Φ (x0 ) : C([a, b], R) −→ R viene definida por
b
(2.13) ∂f (t, x0 (t))
Φ (x0 )(h) = h(t)dt, ∀ h ∈ C([a, b].
∂x
a

Principales ideas de la demostraciń. o
Tendremos que comprobar en primer lugar que L(h) ≡ Φ (x0 )(h) tal y
como se ha definido anteriormente, es lineal y continua respecto de h.

L : (C([a, b]), R) −→ R
b
(2.14) ∂f (t, x0 (t))
h −→ h(t)dt
∂x
a

es lineal de forma trivial. Para ver que es continua hemos de demostrar que
existe M ∈ R+ tal que |L(h)| ≤ M h 0 , ∀h ∈ C([a, b], R). Ahora bien,
como M puede tomarse M1 (b − a), donde M1 es el m´ximo de la aplicaciń
a o
de [a, b] en R definida como
∂f (t, x0 (t))
(2.15) t −→
∂x

El siguiente paso es comprobar que se verifica la condiciń (2.8). Ahora
o
bien,

Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) =
(2.16) b
∂f (t,x0 (t))
f (t, x0 (t) + h(t)) − f (t, x0 (t)) − ∂x h(t) dt = (∗)
a

Ahora podemos usar el Teorema del Valor Medio, en versiń integral.
o
Este Teorema, muy util y sencillo de usar, afirma lo siguiente:
´

18 ´ ˜

1
1
(2.17) g ∈ C ([x, y], R) ⇒ g(y) − g(x) = g (ty + (1 − t)x)(y − x)dt
0
Pensemos que la demostraciń es trivial, puesto que
o
d
g (ty + (1 − t)x)(y − x) = g(ty + (1 − t)x)
dt
Usando este Teorema, la expresiń (2.16), se transforma en
o

(2.18)  
b 1
 ∂f (t, rx0 (t) + rh(t) + (1 − r)x0 (t)) ∂f (t, x0 (t))
(∗) = h(t)dr − h(t) dt =
∂x ∂x
a 0

b
 1

 ∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))
(2.19) = − dr h(t)dt =
∂x ∂x
a 0
Tomamos valores absolutos, y obtenemos la expresiń
o

|Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)| ≤
(2.20) b 1
∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t))
h 0 ∂x − ∂x drdt
a 0
Para concluir la demostraciń, bastar´ comprobar que
o ıa
b 1
∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))
(2.21) lim − drdt = 0
h 0 →0 ∂x ∂x
a 0
Ahora bien, tenemos que x0 (t) + rh(t) converge (uniformemente respecto
∂f
de r) a la funciń x0 (t) con la norma · 0 . Adem´s, como
o a es continua,
∂x
esta funciń es uniformemente continua en compactos, y por ello se tiene
o
que

∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t))
∂x −→ ∂x
(2.22)
con la norma · 0, uniformemente respecto de r ∈ [0, 1].
Ideas an´logas pueden usarse para el estudio del siguiente funcional: Sea
a
X = C 1 ([a, b], R), con la norma dada por x = x 0 + x 0 .
Sea
f : [a, b] × R × R −→ R
(2.23)
(t, x, y) −→ f (t, x, y)

´ ˜

continua tal que para cualquier t ∈ [a, b] fijo, la aplicaciń f (t, x, y) es C 1
o
con respecto a (x, y) ∈ R2 .
Si definimos el funcional
Φ : X −→ R
b
(2.24)
Φ(x) = f (t, x(t), x(t))dt
˙
a

Entonces Φ es derivable y
(2.25)
b
∂f (t, x0 (t), x0 (t))
˙ ∂f (t, x0 (t), x0 (t)) ˙
˙
Φ (x0 )(h) = h(t) + h(t) dt, ∀ h ∈ X.
∂x ∂x˙
a

Otros ejemplos son los siguientes. Sea X = C k ([a, b], R) con la norma
k
x k = xp) 0 y f : [a, b]×Rk+1 → R, (t, x0 , x1 , ..., xk ) → f (t, x0 , x1 , ..., xk )
p=0
continua y tal que para cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaciń f (t, x0 , x1 , ..., xk ) es
o
C 1 con respecto a (x , x , ..., x ) ∈ Rk+1 . Si Φ : X → R se define como
0 1 k
b
Φ(x) = f (t, x(t), ..., xp) (t), ..., xk) (t)) dt,
a
entonces
k b k)
∂f (t, x0 (t), ..., x0 (t)) p)
Φ (x0 )(h) = h (t) dt
a ∂xp
p=0
Respecto de las derivadas de orden superior, las mismas ideas pueden
usarse para probar el resultado siguiente:
Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x) continua tal que para cada
t ∈ [a, b] fijo, la aplicaciń f (t, x) es C 2 respecto de x ∈ R. Si Φ es el
o
funcional definido en (2.12) entonces
b
∂ 2 f (t, x0 (t))
Φ (x0 )(h, k) = h(t)k(t)dt.
∂x2
a
Para el funcional definido en (2.24) se tendr´
ıa
(2.26)
b 2 f (t,x ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t))
Φ (x0 )(h, k) = [ ∂ 0 (t),x0 (t))
∂x2
˙
h(t)k(t) + ∂x∂y
˙ ˙
h(t)k(t)+
a

∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙
˙ ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙
˙ ˙
∂y∂x h(t)k(t) + ∂y 2
h(t)k(t)]dt

A veces es necesario trabajar con conceptos m´s d´biles que la derivabi-
a e
lidad segń Frćhet. Vamos a hablar brevemente de esto para funcionales
u e

20 ´ ˜

que estń definidos en algń abierto de un espacio normado y con valores
a u
reales.
Definiciń 2.8. Sea (E, · ) un espacio normado real, Ω un subconjunto
o
abierto de E, Φ : Ω −→ R y x0 ∈ E.

• Recordemos que Φ es derivable segń Frćhet en x0 si ∃ L : E −→ R
u e
lineal y continua tal que

|Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)|
(2.27) lim =0
h→0 h X
• Se dice que Φ es derivable segń Gateaux en x0 si
u

Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )
(2.28) ∀h ∈ E ∃ lim ≡ ΦG (x0 )(h)
τ →0 τ
y la aplicaciń ΦG (x0 ) : E −→ R, h → ΦG (x0 )(h), es lineal y
o
continua en h ∈ E. En este caso, a ΦG (x0 ) se le llama derivada
de Gateaux de Φ en x0 .
• Se define la primera variaciń de Φ en x0 , en la direcciń h ∈ E
o o
como

Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )
(2.29) δΦ(x0 , h) = lim
τ →0 τ
• En general, se define la n-´sima variaciń de la funciń Φ en x0 y en
e o o
la direcciń h ∈ E como
o

dn Φ(x0 + th)
(2.30) δ n Φ(x0 , h) =
dtn t=0

La derivabilidad segń Frćhet implica la derivabilidad segń Gateaux,
u e u
y no se verifica la implicaciń contraria. La derivabilidad segń Gateaux
o u
implica la existencia de la primera variaciń en todas las direcciones, pero no
o
al contrario. Tambiń, las reglas algebraicas usuales, regla de la cadena, etc.
e
son v´lidas para estos conceptos relacionados con la derivabilidad. Váse
a e
[17] para la relaciń entre estos conceptos.
o

Algunos ejemplos de inter´s son los siguientes:
e
Ejemplo 1.
Sea f : R2 −→ R.

 x6
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = (y − x2 )2 + x8

0 si (x, y) = (0, 0)

´ ˜

Esta funciń es derivable segń Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho,
o u
su derivada es la funciń nula), pero f no es continua en este punto. En
o
particular f es derivable segń Gateaux en (0, 0) pero no es Frćhet derivable
u e
en (0, 0).

Ejemplo 2.
Sea f : R2 −→ R.

 x2 y x2 + y 2
f (x, y) = si (x, y) = (0, 0)
 x4 + y 2
0 si (x, y) = (0, 0)
Esta funciń es derivable segń Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho, su
o u
derivada es la funciń nula), es continua en este punto, pero no es derivable
o
en el sentido de Frćhet.
e

¡An´
ımese el alumno a comprobar las afirmaciones anteriores!
El Teorema del valor medio es cierto, usando la nociń de derivada de
o
Gateaux. De hecho, tenemos el Teorema siguiente:
Teorema 2.9. Sean X, Y espacios normados, Ω un abierto de X y Φ :
Ω → Y derivable Gateaux en Ω. Si x1 , x2 ∈ Ω son tales que el segmento
[x1 , x2 ] ⊂ Ω, entonces

Φ(x1 ) − Φ(x2 ) Y ≤ sup ΦG (tx1 + (1 − t)x2 ) L(X,Y ) x1 − x2 X
0≤t≤1
Usando este Teorema, puede probarse el siguiente, de inter´s en las apli-
e
caciones, para determinar la derivada de Frćhet de los funcionales que este-
e
mos tratando. De hecho, la funciń dada Φ puede usarse de manera directa
o
para intentar calcular la derivada de Gateaux, pero no as´ para calcular la
ı
derivada de Frćhet.
e
Teorema 2.10. Sea Φ : Ω → Y, derivable segń Gateaux en Ω (es decir, en
u
todos los puntos de Ω) y tal que la aplicaciń ΦG : Ω → L(X, Y ) es continua
o
en x0 ∈ Ω. Entonces existe la derivada de Frćhet Φ (x0 ) y Φ (x0 ) = ΦG (x0 ).
e
La versiń tradicional del Teorema del valor medio es v´lida tambiń.
o a e
Esto exige introducir el concepto de integral definida,
b
(2.31) f (t) dt
a
para funciones f : [a, b] → E, continuas, donde E es un espacio normado
cualquiera. No es dif´ ıcil: en primer lugar se introduce el concepto anterior
para funciones escalonadas. En segundo lugar, usando el hecho de que si
f : [a, b] → E, es continua, entonces es uniformemente continua, puede
usarse un m´todo l´
e ımite para definir (2.31). Váse, por ejemplo ([12]).
e
Se obtiene as´ el Teorema fundamental del C´lculo que se enuncia a con-
ı a
tinuaciń.
o

22 ´ ˜

Teorema 2.11. Sea E un espacio normado cualquiera y f : [a, b] → E
t
continua. Si F : [a, b] → E se define como F (t) = a f (s) ds, entonces
F (t) = f (t), ∀ t ∈ [a, b].
Lo que sigue es el Teorema del valor medio para derivada de Frćhet.
e
Teorema 2.12. Sea f : Ω → Y de clase C 1 (Ω). Entonces, para todo par de
puntos x1 , x2 ∈ Ω tales que [x1 , x2 ] ⊂ Ω, se tiene:
1
f (x1 ) − f (x2 ) = f (x2 + t(x1 − x2 ))(x1 − x2 ) dt
0

¡Puede ser muy instructivo comparar los Teoremas 2.9 y 2.12!

2.2. Convexidad de un operador y monoton´ de su derivada. Vea-
ıa
mos a continuaciń algunas de las relaciones existentes entre la convexidad
o
de una funciń y la monoton´ de su derivada. Para ello, sea (E, · ) un
o ıa
espacio normado, Ω un abierto de E y f : Ω −→ R derivable. De acuerdo
con la definiciń de derivada, se tiene
o

f : Ω −→ L(E, R)
x0 −→ f (x0 )
donde L(E, R) es el espacio de Banach de las aplicaciones lineales y continuas
de E en R, con la norma usual, es decir:
∀ L ∈ L(E, R) L = sup |L(x)|
x ≤1, x∈E

Definiciń 2.13.
o
• f se dice que es mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Ω.
o

• f se dice que es estrictamente mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) >
o
0, ∀x, y ∈ Ω con x = y.

Teorema 2.14. Sea Ω ⊂ E, abierto y convexo y f : Ω −→ R f ∈ C 1 (Ω).

Son equivalentes:
(1) f es convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω se tiene f (λx + (1 − λ)y) ≤
λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1].
(2) f : Ω −→ L(E, R) es mon´tona.
o
Tambiń son equivalentes:
e
(1) f es estrictamente convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω x = y, se tiene
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ (0, 1).
(2) f : Ω −→ L(E, R) es estrictamente mon´tona.
o

´ ˜

Demostremos la primera parte. ¡Intńtelo el alumno con la segunda. Es
e
posible que se lleve alguna sorpresa!
1. ⇒ 2.
Si x, y ∈ Ω entonces f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1].
De aqu´ obtenemos que f (y + λ(x − y)) − f (y) ≤ λ(f (x) − f (y)), ∀λ ∈ (0, 1).
ı
As´ı,
f (y + λ(x − y)) − f (y)
(2.32) ≤ f (x) − f (y)
λ
Si λ −→ 0+ obtenemos
(2.33) f (y)(x − y) ≡ δf (y; x − y) ≤ f (x) − f (y)

An´logamente, cambiando x por y, se obtiene la expresiń f (x)(y − x) ≤
a o
f (y)−f (x). Sumando ambas expresiones, obtenemos finalmente que (f (y)−
f (x))(x − y) ≤ 0, por lo que (f (y) − f (x))(y − x) ≥ 0.
2. ⇒ 1.

Veamos que ∀x, y ∈ Ω y ∀λ ∈ [0, 1] se tiene que f (λx + (1 − λ)y) ≤
λf (x) + (1 − λ)f (y). En efecto, para ello definimos la funciń
o
p : [0, 1] −→ R
(2.34)
p(λ) = f (λx + (1 − λ)y) − λf (x) − (1 − λ)f (y)
Hemos de comprobar que p(λ) ≤ 0 ∀λ ∈ [0, 1].
En principio p(0) = p(1) = 0. Supongamos que ∃λ0 ∈ (0, 1) tal que
p(λ0 ) > 0. Entonces max[0,1] p > 0. Sea λ1 un punto donde se alcance este
m´ximo. Entonces p (λ1 ) = 0. Adem´s, usando que f es mon´tona, se
a a o
tiene
p (λ) − p (λ1 ) = f (λx + (1 − λ)y)(x − y) − f (x) + f (y)
−f (λ1 x + (1 − λ1 )y)(x − y) + f (x) − f (y) =
[f (λx + (1 − λ)y) − f (λ1 x + (1 − λ1 y)] (x − y)
.
Si u = λx + (1 − λ)y, v = λ1 x + (1 − λ1 )y, la expresiń anterior queda
o
u−v
(f (u) − f (v))( λ−λ1 ), que es una expresiń no negativa para λ > λ1 , por la
o
monoton´ de f . Esto implica que p (λ) ≥ 0 ∀λ > λ1 , lo que no es posible
ıa
si tenemos en cuenta los valores de p en λ = λ1 y λ = 1.
Observando detenidamente la demostraciń anterior, obtenemos el si-
o
guiente resultado que ser´ muy util en la prćtica.
a ´ a
Corolario 2.15.
Sea Ω convexo y f : Ω −→ R convexa. Supongamos que para algń x0 ∈ Ω
u
se cumple
(2.35) δf (x0 ; x − x0 ) = 0, ∀x ∈ Ω.

Entonces x0 es un punto de m´ ınimo global de f en Ω. Adem´s, si f es
a
estrictamente convexa, el punto donde se alcanza el m´
ınimo es unico.
´

24 ´ ˜

Un ejemplo de lo anterior es el siguiente.
Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 1 , y f : C −→ R definida por
1
2
f (y) = (y (x) + 4y(x))dx
0

. Puede probarse que:
• Existe m´ınimo de f en C.
• Este m´ınimo se alcanza en la funciń y0 (x) = x2 .
o
• El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico.
´
De hecho, para este ejemplo se tiene
1
(f (x) − f (y), x − y) = 2 (x − y )2
0

lo que prueba que el funcional f es estrictamente convexo. Adem´s, una a
condiciń suficiente para que se cumpla (2.35) es que x0 ∈ C 2 [0, 1], x0 =
o
2, x0 (0) = 0, x0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funciń x0 (x) = x2 .
e o

Otro ejemplo puede ser el siguiente.
Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 0 , y f : C −→ R definida por
1
2
f (y) = (y (x) − y 2 (x) + 2xy(x))dx
0

. Entonces puede probarse:
• Existe m´ınimo de f en C.
senx
• Este m´ınimo se alcanza en la funciń y0 (x) = x −
o .
sen1
• El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico.
´
De hecho, para este ejemplo se tiene
1 1
(f (y) − f (z), y − z) = 2 (y − z )2 − 2 (y − z)2
0 0

Usando series de Fourier ([5]) puede probarse fćilmente que
a
1
(f (y) − f (z), y − z) ≥ 2(π 2 − 1) (y − z)2
0

lo que prueba que f es estrictamente convexo. Adem´s, una condiciń su-
a o
ficiente para que se cumpla (2.35) es que y0 ∈ C 2 [0, 1], −y0 − y0 + x =
0, y0 (0) = 0, y0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funciń y0 (x) =
e o
sen x
x− .
sen 1

´ ˜

2.3. Condiciones necesarias (Euler-Lagrange y Legendre) en pro-
blemas cl´sicos del c´lculo de variaciones.
a a
Comenzamos estudiando problemas cl´sicos del c´lculo de variaciones
a a
donde ambos extremos de la funciń estń fijos.
o a
Teorema 2.16. Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) / q(a) = q1 , q(b) = q2 con
(a, q1 ) y (b, q2 ) dados.

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y
Φ : X −→ R
b
(2.36)
Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt
˙
a
En X se considera la norma · 1, esto es, q 1 = maxt∈[a,b] |q(t)| +
maxt∈[a,b] |q (t)|.
Entonces:
(1) (Condiciń necesaria de Euler-Lagrange) Si q0 ∈ X es tal que q0 es
o
un m´ınimo local de Φ en X (por tanto, m´ ınimo local con la norma
· 1 ), entonces la funciń Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es C 1 [a, b] y
o ˙ ˙
d
(2.37) (Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t))
˙ ˙ ˙
dt
(Ecuaciń de Euler-Lagrange). En particular, la ecuaciń de Euler-
o o
Lagrange (2.37) se cumple si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en
X.

(2) (Condiciń necesaria de Legendre) Si q0 ∈ X es tal que q0 es un
o
m´ınimo local de Φ en X, entonces

(2.38) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0,
˙˙ ˙ ∀t ∈ [a, b].
En particular, la condiciń necesaria de Legendre (2.38) se cumple
o
si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en X.

(3) Si q0 ∈ X satisface la condiciń necesaria de Euler-Lagrange y para
o
cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaciń R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es
o ˙ ˙
convexa, entonces q0 es m´ınimo global de Φ en X.

(4) Si q0 ∈ X satisface la condiciń necesaria de Euler-Lagrange y para
o
cada t ∈ [a, b] fijo la aplicaciń R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es estric-
o ˙ ˙
tamente convexa, entonces q0 es el unico m´
´ ınimo global de Φ en X.
Adem´s, q0 es m´
a ınimo global estricto de Φ en X.

En lo que sigue,
(2.39) X0 = h ∈ C 1 ([a, b], R) / h(a) = 0, h(b) = 0

26 ´ ˜

En la demostraciń de este teorema se usan, adem´s de las nociones de
o a
convexidad del apartado anterior, los siguientes lemas (vánse [3], [17] y
e
[18]).

¡Animamos a los alumnos a que proporcionen una demostraciń de los
o
lemas que siguen, demostraciń que est´ perfectamente a su alcance!
o a
Lema 2.17. (Lema fundamental del c´lculo de variaciones)
a
b

Sea q ∈ C([a, b], R) tal que q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q ≡ 0.
a

Lema 2.18. (Lema de Du Bois Reymond)
b

Sea q ∈ C([a, b], R) tal que ˙
q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q es
a
constante.

Lema 2.19.
Sea la forma cuadr´tica
a
Q : C 1 ([a, b], R) −→ R
b
(2.40) ˙ ˙
Q(h) = F1 (t)(h(t))2 + F2 (t)h(t)h(t) + F3 (t)(h(t))2 dt
a
donde F1 , F2 , F3 ∈ C([a, b], R) son dados y tal que Q(h) ≥ 0 ∀h ∈ X0 .

Entonces F3 (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b].

Una vez que los anteriores lemas se dan por v´lidos, la demostraciń del
a o
teorema sigue las l´
ıneas siguientes:

1. Si q0 es un punto de m´
ınimo local de Φ entonces podemos definir
W : X0 −→ R
b
(2.41) ˙
W (h) = L(t, q0 (t) + h(t), q0 (t) + h(t))dt
˙
a
donde en X0 consideramos la norma · 1 . Es claro que W tiene un m´ınimo
local en 0. Luego W (0) = 0 de donde obtenemos (tńgase en cuenta (2.24)
e
y (2.25))
b

(2.42) ˙ ˙ ˙ ˙
(Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) + Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 .
a
Integramos por partes el primer miembro de esta ecuaciń y obtenemos:
o

´ ˜

t b
h(t) (Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds
˙
a a
(2.43)
b t b
− ˙ ˙
Lq (s, q0 (s), q0 (s))dsh(t) + ˙
Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) dt = 0
˙ ˙
a a a

con h anulńdose en los extremos. Concluimos por el lema de Du Bois
a
Reymond que la funciń
o

t

(2.44) − Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds + Lq (t, q0 (t), q0 (t))
˙ ˙ ˙
a
es una constante.

Por tanto, Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es de clase C 1 en [a, b].
˙ ˙

Ahora hacemos de nuevo una integraciń por partes en (2.42) pero usando
o
el segundo sumando. As´ obtenemos
ı
(2.45)
b
d
(Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) −
˙ [Lq (t, q0 (t), q0 (t))]h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 .
˙ ˙
dt
a
Usando el lema fundamental del c´lculo de variaciones obtenemos la ecuaciń
a o
de Euler-Lagrange.

2. Si q0 es un punto de m´
ınimo local de Φ, entonces
(2.46) W (0)(h, h) ≥ 0, ∀ h ∈ X0
Como
(2.47)
W (0)(h, h) =

b 2 ˙ ˙
a Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h (t)
˙ + 2Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h(t)h(t) + Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h2 (t)
˙ ˙ ˙˙ ˙
usando el tercer lema tendr´
ıamos la condiciń necesaria de Legendre
o
(2.48) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b]
˙˙ ˙
Las dos ultimas partes del teorema son sencillas usando las ideas de con-
´
vexidad del apartado anterior; en particular el Corolario 2.15. Tengamos en
cuenta que, bajo las hip´tesis del apartado (3) del Teorema, Φ es convexa
o
y que si q0 ∈ X satisface la ecuaciń de Euler-Lagrange (2.37), entonces,
o
δΦ(q0 ; q − q0 ) = 0, ∀ q ∈ X.

28 ´ ˜

Nota 2. La condiciń de Euler-Lagrange (2.37) es una condiciń necesaria
o o
de m´ ınimo local. En general no es suficiente. Para poder garantizar la
existencia de m´ ınimo global, necesitamos probar que la funciń L satisface,
o
por ejemplo, propiedades adicionales de convexidad. Esto no es sencillo,
pero algunas nociones de c´lculo elemental pueden ayudarnos.
a
Pensemos que, en realidad, tenemos que probar que una funciń dada o
f : R2 → R es convexa. La propia definiciń de convexidad no suele ser util
o ´
en estos casos, puesto que es complicada de comprobar.
Si f ∈ C 1 (Rn ), el Teorema 2.14 puede ayudarnos, pero tampoco suele ser
fćil su aplicaciń. Si f ∈ C 2 (Rn ), entonces tenemos criterios m´s utiles
a o a ´
usando la matriz Hessiana H(f )(x). Si H(f )(x) es semidefinida positiva,
∀ x ∈ Rn , entonces f es convexa en Rn . Si H(f )(x) es definida positiva,
∀ x ∈ Rn , entonces f es estrictamente convexa en Rn . L´gicamente puede
o
sustituirse Rn por cualquier subconjunto C ⊂ Rn que sea abierto y convexo.
Por ultimo, para probar que H(f )(x) es semidefinida positiva ∀ x ∈ Rn
´
puede usarse el criterio de los menores principales: Si los n − 1 primeros me-
nores principales son positivos y el ultimo es no negativo, entonces H(f )(x)
´
es semidefinida positiva. Si todos los menores principales son positivos en-
tonces H(f )(x) es definida positiva. Tambiń pueden ayudar mucho las
e
propiedades siguientes:
(1) La suma finita de funciones convexas es una funciń convexa.
o
(2) El producto de un n´mero real positivo por una funciń convexa es
u o
una funciń convexa.
o
(3) Si f es convexa y g creciente y convexa, entonces la composiciń
o
g(f (x)) es convexa.
Un libro muy claro y util para familiarizarse con los anteriores criterios es
´
[14]. Muchos ejemplos concretos, de aplicaciń del Teorema 2.16, se pueden
o
ver en [17].
Discutamos a continuaciń, de manera detallada, el problema de la bra-
o
quistocrona, comentado en la introducciń hist´rica. Este problema tiene
o o
sus peculiaridades. Por ejemplo, el funcional (1.2) no es del tipo contem-
plado en el Teorema 2.16, ya que el denominador se anula cuando y(x) = 0.
Para solucionar ´ste y otros problemas relacionados con la convexidad, toma-
e
mos como eje de abscisas el eje vertical (con direcciń positiva hacia abajo),
o
como eje de ordenadas el eje horizontal. Entonces, si A = (0, 0), B = (b, b ),
con b y b positivos, el funcional a minimizar adopta la forma (váse [17])
e
b 1/2
1 + y (x)2
(2.49) Φ(y) = dx
0 2gx
donde y ∈ X = {y ∈ C 1 ([0, b], R) : y(0) = 0, y(b) = b }. A pesar de la
presencia del t´rmino (2gx)−1/2 , x ∈ [0, b] en la expresiń anterior, se puede
e o
comprobar ¿fćilmente? que Φ(y) ∈ R, ∀ y ∈ X. En realidad, esto es tan
a
b
sencillo como probar que 0 (x)−1/2 dx existe. As´ pues, podemos hablar
ı

´ ˜

de posibles m´
ınimos de Φ en X, sin usar necesariamente el Teorema 2.16.
Adem´s,
a
2 1/2
(1) Para cada x ∈ (0, b] fijo, la aplicaciń R → R, y → 1+y
o 2gx
es estrictamente convexa. De hecho, la derivada segunda de esta
funciń, respecto de y , es estrictamente positiva.
o
2 1/2
(2) Si L : (0, b] × R × R → R, est´ definida como L(x, y, y ) = 1+y
a 2gx
y una funciń y0 ∈ X satisface la ecuaciń de Euler-Lagrange, en
o o
este caso,
d
(2.50) Ly (x, y0 (x), y0 (x)) = 0, ∀ x ∈ (0, b],
dx
entonces la primera variaciń δΦ(y0 ; h) = 0, ∀ h ∈ C 1 ([0, b], R) :
o
y(0) = y(b) = 0.
De las anteriores consideraciones se deduce trivialmente que X es convexo,
que Φ es estrictamente convexo en X y que si y0 ∈ X satisface la ecuaciń o
de Euler Lagrange (2.50), entonces δΦ(y0 ; y − y0 ) = 0, ∀ y ∈ X. El Corolario
2.15 prueba que y0 es m´ ınimo global de Φ en X y, adem´s, que el m´
a ınimo
global se alcanza en un unico elemento de X.
´
La ecuaciń de Euler-Lagrange (2.50) se cumple si y solamente si
o
y0 (x)
(2.51) = k,
(2gx(1 + y0 (x)2 ))1/2
para alguna constante k ∈ R. Adem´s, si c ∈ R+ satisface
a
(2.52) cb < 1,
entonces cualquier funciń y0 ∈ X tal que
o
1/2
cx
(2.53) y0 (x) = , ∀ x ∈ [0, b],
1 − cx
satisface (2.51) con c = 2gk 2 . Un cambio de variable adecuado (¿cu´l?)
a
permite integrar la ecuaciń anterior, obtenińdose
o e
arcsin(cx)1/2 − (cx)1/2 (1 − cx)1/2
(2.54) y0 (x) =
c
Observemos que y0 (0) = 0. S´lo queda comprobar que se puede elegir c
o
satisfaciendo (2.52) y tal que y0 (b) = b . Tćnicas elementales prueban que
e
esto es posible si
b π
(2.55) < .
b 2
Finalmente, la funciń y0 definida en (2.54) se puede escribir en forma pa-
o
ram´trica como
e
1
x(t) = 2c (1 − cos t),
(2.56)
1
y0 (t) = 2c (t − sent), t ∈ [0, π],

30 ´ ˜

que es una cicloide.

2.4. Condiciones suficientes en problemas cl´sicos del c´lculo de
a a
variaciones.
Hasta ahora hemos establecido condiciones necesarias que han de satis-
facer los m´ınimos locales. Vamos a ocuparnos a continuaciń del estableci-
o
miento de condiciones suficientes para tener la existencia de m´ ınimos locales.
Esto es bastante m´s complicado, y pueden consultarse [3] y [18] para los
a
detalles. Si L ∈ C 3 ([a, b] × R2 , R) y q0 ∈ X C 2 [a, b], notemos
d
A(q0 ) (t) ≡ Lqq (t, q0 (t), q˙0 (t)) − dt Lq q (t, q0 (t), q˙0 (t))
˙
(2.57)
B (q0 ) (t) ≡ Lqq (t, q0 (t), q˙0 (t))
˙˙

Teorema 2.20. (Principio de m´ ınima acciń) o
Sea q0 ∈ X tal que:
(1) q0 verifica la ecuaciń de Euler-Lagrange, es decir,
o
d
Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t)), ∀t ∈ [a, b]
˙ ˙ ˙
dt
.

(2) A(q0 ) ∈ C([a, b], R), B (q0 ) ∈ C 1 ([a, b], R).

(3) B (q0 ) (t) > 0, ∀ t ∈ [a, b].

(4) A(q0 ) y B (q0 ) satisfacen la condiciń de Jacobi en [a, b], esto es: la
o
ecuaciń diferencial ordinaria lineal de segundo orden
o
d (q0 )
(2.58) (B (t)u(t)) = A(q0 ) (t)u(t), t ∈ [a, b]
˙
dt
tiene alguna soluciń u ∈ C 2 [a, b] que no se anula en [a, b] (por
o
lo tanto, la ecuaciń anterior tiene alguna soluciń estrictamente
o o
positiva en [a, b]).

Entonces q0 es un m´
ınimo local estricto de Φ en X.
Para la demostraciń detallada de este resultado pueden consultarse [3]
o
y [18]. No obstante, comentamos las ideas principales, que tienen inter´s
e
en s´ mismas, por lo que suponen sobre el estudio de formas cuadr´ticas en
ı a
dimensiń infinita.
o

Las etapas fundamentales de la demostraciń son las siguientes:
o
(1) Regularidad de los puntos estacionarios. Si q0 ∈ X es un punto
estacionario (es decir, satisface la ecuaciń de Euler-Lagrange), y tal
o
que B (q0 ) (t) > 0, ∀ t ∈ [a, b], entonces q0 ∈ C 2 [a, b]. En realidad, para
tener este hecho, s´lo necesitamos que la funciń Lq (t, q0 (t), q0 (t)) sea
o o ˙ ˙
de clase C 1 [a, b] ([3]).

´ ˜

(2) Expresiń conveniente de la derivada segunda W (0)(h, h).
o
Por el paso previo, las hip´tesis de nuestro teorema garantizan que
o
la funciń Lq q(t, q0 (t), q0 (t)) es C 1 [a, b]. Realizando una integraciń
o ˙ ˙ o
por partes en la expresiń de la derivada segunda (váse (2.47)),
o e
obtenemos
b ˙
2Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h(t)h(t) =
˙ a ˙

b d 2 b d 2
a Lq q (t, q0 (t), q0 (t)) dt h (t)
˙ ˙ =− a dt Lq q (t, q0 (t), q0 (t))h (t)
˙ ˙
de donde se deduce
(2.59)
W (0)(h, h) =

b d 2 ˙
a [Lqq (t, q0 (t), q0 (t))
˙ − dt Lq q (t, q0 (t), q0 (t))]h (t)
˙ ˙ + Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h2 (t) =
˙˙ ˙

b (q0 ) ˙
a A (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t)
(3) Uso de la condiciń de Jacobi en la forma cuadr´tica ante-
o a
rior.
Sea u una soluciń positiva de (2.58). Entonces, cualquier funciń
o o
h ∈ X0 (X0 se ha definido en 2.39) puede escribirse de la forma
h = uξ, con ξ ∈ X0 . De esta manera
b (q0 ) ˙
W (0, 0)(h, h) = a A (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t) =

b (q0 )
a A (t)u2 (t)ξ 2 (t) + B (q0 ) (t)u2 (t)ξ 2 (t)+
˙

b (q0 ) ˙ ˙
a B (t)u2 (t)ξ 2 (t) + 2B (q0 ) (t)(u(t)ξ(t) + u(t)ξ(t))
˙
Realizando una integraciń por partes con el segundo miembro de la
o
expresiń anterior, tenemos
o
b b
B (q0 ) (t)u2 (t)ξ 2 (t) = −
˙ ˙
B (q0 ) (t)u(t)(u (t)ξ 2 (t) + 2uξ(t)ξ(t))
˙
a a
As´
ı,
(2.60)
W (0)(h, h) =

b 2 d (q0 ) (t)u(t)) b (q0 ) ˙
a ξ (t)u(t)[− dt (B ˙ + A(q0 ) (t)u(t)] + a B (t)u2 (t)ξ 2 (t) =

b (q0 ) ˙
a B (t)u2 (t)ξ 2 (t).
Teniendo en cuenta la hip´tesis sobre B (q0 ) y el hecho de que u es
o
estrictamente positiva, tenemos
(2.61) W (0)(h, h) > 0, ∀ h ∈ X0 {0}.

32 ´ ˜

(4) Puede probarse ań m´s. Para ello, si ε es cualquier constante posi-
u a
tiva suficientemente pequeã, la condiciń de Jacobi se sigue verifi-
n o
cando para funcionales de la forma
b
˙ ˙
A(q0 ) (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t) − εh2 (t).
a
Para ver esto, pensemos que las soluciones de la ecuaciń diferencial
o
d (q0 )
(B (t)u(t) − εu(t)) = A(q0 ) (t)u(t), t ∈ [a, b]
˙ ˙
dt
dependen continuamente de las condiciones iniciales y del par´metro
a
ε. As´ la ecuaciń diferencial anterior tiene alguna soluciń v ∈
ı, o o
C 2 [a, b] que no se anula en [a, b]. Por tanto, por el paso anterior,
debe existir alguna constante k0 > 0 verificando
b
(2.62) W (0)(h, h) ≥ k0 ˙
h2 , ∀ h ∈ X0
a
(5) Uso del desarrollo de Taylor.
Teniendo en cuenta que W (0) = 0, tenemos que
1
(2.63) Φ(q0 + h) − Φ(q0 ) = W (h) − W (0) = 2! W (0)(h, h) + R(h),
donde
1
R(h) = 0 [(1 − ψ)(W (ψh) − W (0))(h, h)] dψ =
(2.64)
b (q0 +ψh) ˙
a [A (t) − A(q0 ) (t)]h2 (t) + [B (q0 +ψh) (t) − B (q0 ) (t)]h2 (t)
(6) Uso de la desigualdad de Poincar´. Como para cualquier funciń
e o
h ∈ X0 se tiene
b b
(b − a)2 ˙
h2 ≤ h2 ,
a 2 a
usando la regularidad de L y (2.64), obtenemos que para δ positivo
y suficientemente pequeõ y h ∈ X0 satisfaciendo h 1 ≤ δ, entonces
n
b
k0 ˙
(2.65) |R(h)| ≤ h2 (t)
2 a
(7) Por ultimo, las relaciones (2.62) y (2.65) demuestran
´
(2.66) Φ(q0 + h) − Φ(q0 ) > 0, ∀ h ∈ X0 {0} : h 1 ≤δ

Nota 3. Puede verse en [3] y [18] que la condiciń de Jacobi es “casi nece-
o
saria” para que la forma cuadr´tica W (0)(h, h) sea definida positiva. No
a
obstante, la condiciń de Jacobi no es sencilla de comprobar. Esto hace que
o
las condiciones suficientes mostradas con anterioridad sean muy dif´ ıciles de
aplicar en casos concretos.

´ ˜

2.5. Otros problemas cl´sicos del c´lculo de variaciones. En un curso
a a
de estas caracter´
ısticas, debemos proporcionar al alumno los conocimientos
suficientes para que resuelva por s´ s´lo situaciones similares. Las ideas ex-
ı o
puestas con anterioridad deben ser suficientes para resolver algunas otras si-
tuaciones del c´lculo de variaciones, como aquellas donde q(t) es una funciń
a o
vectorial o L depende de derivadas de orden superior a uno. Comentamos
algunas a continuaciń ([7]).
o
Funcionales que dependen de varias funciones.
Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], Rn ) / q(a) = q1 , q(b) = q2 con (a, q1 ) y (b, q2 )
dados. Notemos q = (q1 , . . . , qn ), q = (q˙1 , . . . , q˙n ).
˙

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × Rn × Rn , R) y
Φ : X −→ R
b
(2.67)
˙
a

La condiciń necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ ahora como un
o ıa
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
d
(2.68) (Lq˙i (t, q0 (t), q0 (t)) = Lqi (t, q0 (t), q0 (t)), 1 ≤ i ≤ n
˙ ˙
dt

Funcionales que dependen de derivadas de orden superior.
j j
Sea X = q ∈ C k ([a, b], R) / q j) (a) = q1 , q j) (b) = q2 , 0 ≤ j ≤ k − 1
con (a, q1 ) ∈ Rk+1 y (b, q2 ) ∈ Rk+1 dados.

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × Rk+1 , R) y
Φ : X −→ R
b
(2.69)
Φ(q) = L(t, q(t), q 1) (t) . . . , q k) (t))dt
a

La condiciń necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ ahora como una
o ıa
ecuaciń diferencial de orden 2k dada por
o
(2.70)
k
di 1) k) 1) k)
(−1)i+1 i
(Lqi) (t, q0 (t), q0 (t), . . . , q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t), . . . , q0 (t)).
dt
i=1

La condiciń en un extremo es libre.
o
Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) / q(a) = q1 con (a, q1 ) dado.

34 ´ ˜

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y
Φ : X −→ R
b
(2.71)
˙
a

La condiciń necesaria de Euler se expresar´ ahora como
o ıa
d
dt (Lq (t, q0 (t), q0 (t))
˙ ˙ = Lq (t, q0 (t), q0 (t)),
˙
(2.72)
Lq (b, q0 (b), q0 (b)) = 0.
˙ ˙
Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto X que incluye estric-
tamente al del Teorema 2.16, aparece una condiciń adicional para t = b, a
o
la que se le suele llamar “condiciń natural de frontera.”
o
No hay condiciones en los extremos: ambos son libres.
Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) .

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y
Φ : X −→ R
b
(2.73)
˙
a

La condiciń necesaria de Euler se expresar´ ahora como
o ıa
d
dt (Lq (t, q0 (t), q0 (t))
˙ ˙ = Lq (t, q0 (t), q0 (t)),
˙

(2.74) Lq (b, q0 (b), q0 (b)) = 0,
˙ ˙

Lq (a, q0 (a), q0 (a)) = 0.
˙ ˙
Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto X que incluye estric-
tamente al del Teorema 2.16 y al del caso anterior, aparece una condicińo
adicional para t = b y otra para t = a, a las que se le suele llamar “condi-
ciones naturales de frontera.”
Hay restricciones adicionales (multiplicadores de Lagrange).
b
Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R), q(a) = q1 , q(b) = q2 , a g(t, q(t), q(t)) dt = 0
˙
con (a, q1 ), (b, q2 ) y la funciń g ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) dados.
o

Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y
Φ : X −→ R
b
(2.75)
˙
a

´ ˜

La condici´n necesaria de Euler se expresar´ ahora diciendo que existe
o ıa
alguna constante real λ (multiplicador de Lagrange) tal que
(2.76)
d d
(Lq (t, q0 (t), q0 (t))−Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = λ[ (gq (t, q0 (t), q0 (t))−gq (t, q0 (t), q0 (t))].
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
dt dt

36 ´ ˜

3. Teor´ de puntos cr´
ıa ıticos
En este cap´ ıtulo, considerado como de introducciń a la teor´ de puntos
o ıa
cr´ıticos, se van a exponer algunos resultados importantes referentes tanto al
llamado m´todo directo (en el que se trata de probar la existencia de m´
e ınimo
global del funcional dado), como a los m´todos min-max, de desarrollo rela-
e
tivamente reciente. Los funcionales que estudiaremos en la parte dedicada
al m´todo directo, satisfacen b´sicamente o una condiciń de coercividad o
e a o
una condiciń de compacidad (tipo Palais-Smale). En lo que respecta a los
o
m´todos min-max, centramos nuestra atenciń en dos teoremas modernos,
e o
pero ya cl´sicos: el Teorema del paso de monta˜ a de Ambrosetti y Ra-
a n
binowitz (1971) y el Teorema del punto de silla de Rabinowitz (1978).
Segń mi opiniń, los resultados seleccionados son ejemplos muy represen-
u o
tativos de las diferentes posibilidades del m´todo variacional, pudińdose,
e e
con la ayuda de la bibliograf´ recomendada, estudiar otros de los muchos
ıa
que se conocen en la actualidad.

En una primera etapa se debe aprender a aplicar tales m´todos a proble-
e
mas relacionados con e.d.o., donde las dificultades tćnicas son m´s fćilmente
e a a
superables, para pasar despu´s al caso de e.d.p. Se necesita conocer los es-
e
pacios de Sobolev para entender adecuadamente el desarrollo que hacemos
seguidamente, as´ como tener unas nociones m´
ı ınimas de c´lculo diferencial
a
e integral en espacios de Banach. En este sentido, incluimos un apńdice
e
sobre los espacios de Sobolev. Las nociones requeridas de c´lculo diferencial
a
se han tratado con anterioridad.
Se recomienda la bibliograf´ [13], [15] y [16].
ıa

El problema de contorno que vamos a tener de referencia en este cap´
ıtulo
es el siguiente:
−u (x) = g(x, u(x)), x ∈ [0, π],
(3.1)
u(0) = u(π) = 0,
donde g : [0, π] × R → R, es continua.

o o o e 1
Definiciń 3.1. Una funciń u es soluciń d´bil de (3.1) si u ∈ H0 (0, π) y
π π
1
u (x)v (x) dx = g(x, u(x))v(x) dx, ∀ v ∈ H0 (0, π),
0 0
1
donde H0 (0, π) es el espacio de Sobolev usual, con la norma
π 1/2
|v| = |v (x)|2 dx 1
, ∀ v ∈ H0 (0, π),
0
proveniente del producto escalar
π
1
< u, v > = u (x)v (x) dx, ∀ u, v ∈ H0 (0, π).
2

´ ˜

Uno de los resultados m´s importantes de este cap´
a ıtulo es el siguiente,
donde se relaciona el concepto de soluciń d´bil de (3.1) con el de la exis-
o e
tencia de puntos cr´ 1
ıticos de un funcional adecuado, definido de H0 (0, π) en
R.

Teorema 3.2. Sea
u
(3.2) G(x, u) = g(x, s) ds, ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R
0
1
y Φ : H0 (0, π) → R, el funcional definido como
π π
1
(3.3) Φ(u) = |u (x)|2 dx − 1
G(x, u(x)) dx, ∀ u ∈ H0 (0, π).
2 0 0
Entonces Φ ∈ C 6 (H 1 (0, π), R) y
0
π
Φ (u)(v) = u (x)v (x) dx −
0
(3.4)
π
1
− g(x, u(x))v(x) dx, ∀ u, v ∈ H0 (0, π).
0
1
Como consecuencia, se tiene que u ∈ H0 (0, π) es soluciń d´bil de (3.1) si
o e
y solamente si
(3.5) Φ (u) = 0.

Demostraciń: Para demostrar que Φ ∈ C 1 (H0 (0, π), R), observemos en
o 1
1 1
primer lugar que, para cada u ∈ H0 (0, π), la aplicaciń H0 (0, π) → R, v →
o
π π
F (u)(v) ≡ u (x)v (x) dx − g(x, u(x))v(x) dx, es lineal y continua (la
8 0
continuidad es consecuencia de la desigualdad de Poincar´). Adem´s,
e a
π
1
Φ(u + h) − Φ(u) − F (u)(h) = (x (x))8 dx +
2 0
π
+ [G(x, u(x)) − G(x, u(x) + h(x)) + g(x, u(x))h(x)] dx.
0
Usando el Teorema del valor medio (en forma integral), de la expresiń
o
anterior se deduce
1 2
|Φ(u + h) − Φ(u) − F (u)(h)| ≤ |h| +
2
1 π 1/2
+ (g(x, u(x)) − g(h, u(x) + (1 − t)h(x))2 dx dt |h|,
0 0

lo que implica, usando la continuidad de g, (3.4).
1 1
Veamos que la funciń Φ : H0 (0, π) → L(H0 (0, π), R), es continua, donde
o
L(H01 (0, π), R) es el espacio vectorial normado de las aplicaciones lineales y

38 ´ ˜

1
continuas de H0 (0, π) en R, con la norma usual. Para ello, notemos que si
1 (0, π), entonces:
u1 , u2 ∈ H0
|Φ (u1 ) − Φ (u2 )| = sup |v|≤1 |(Φ (u2 ) − Φ (u2 ))(v)| ≤

π 1/2
≤ |u5 − u2 | + (g(x, u1 (x)) − g(x, u2 (x))2 dx
0
De esta expresiń y de la continuidad de g se deduce la de Φ .
o

El Teorema anterior pone de manifiesto el inter´s por el estudio de la
e
ecuaciń abstracta (3.5) donde Φ : H → R, es un funcional de clase C 1 ,
o
siendo H un espacio de Hilbert real.
Existen numerosos resultados que prueban la existencia de soluciń de ecua-
o
ciones como (3.5). Sin embargo, nosotros estaremos interesados s´lo en aque-
o
llos que, al aplicarlos al funcional Φ dado en (3.3), proporcionen condiciones
suficientes utiles y razonables para la existencia de soluciones de (3.1). As´
´ ı
que, a la hora de estudiar (3.5), tendremos siempre presente (3.1), de tal
manera que cualquier resultado abstracto que obtengamos sobre (3.5) lo con-
cretaremos para (3.1). De hecho, es este ultimo problema el que motiva en la
´
mayor´ de las ocasiones, el tipo de resultados abstractos que obtendremos.
ıa

Una manera fćil de conseguir la existencia de soluciones de (3.5) es de-
a
mostrando que Φ tiene m´ ınimo (global) (el caso de m´ximo global se reduce
a
al de m´ınimo, estudiando −Φ en lugar de Φ). Establecer condiciones su-
ficientes para que esto ocurra es el objetivo de lo que sigue, que se puede
considerar parte del llamado m´todo directo en el c´lculo de variacio-
e a
nes.

En lo que queda de cap´ ıtulo, salvo que expl´
ıcitamente se suponga otra
cosa, H es un espacio de Hilbert real y Φ : H → R, es un funcional de clase
C 1 . Recordemos que Φ se dice d´bilmente semicontinuo inferiormente
e
si para cualquier sucesiń {un } ⊂ H, cumpliendo {un }
o u ∈ H, se tiene
Φ(u) ≤ lim inf Φ(un ).

Teorema 3.3. Sea Φ : H → R, d´bilmente semicontinuo inferiormente,
e
tal que existe una sucesiń minimizante acotada. Entonces Φ tiene m´
o ınimo
global.

Demostraciń: Sea {un } una sucesiń minimizante acotada. Entonces,
o o
existe una subsucesiń, a la que notamos nuevamente por {un } y u ∈ H, tal
o
que {un } u. As´
ı,
Φ(u) ≤ lim inf Φ(un ) = inf H Φ,
lo que prueba que Φ(u) = inf H Φ.

´ ˜

Condiciones adicionales sobre el funcional Φ garantizan la existencia de
sucesiones minimizantes acotadas. Por ejemplo, si Φ es coercivo.

Corolario 3.4. Sea Φ : H → R, d´bilmente semicontinuo inferiormente y
e
coercivo, es decir,
lim Φ(u) = +∞.
|u|→+∞
Entonces Φ tiene m´
ınimo global.

Como se puede ver en ejemplos triviales (funciones de R en R), no todos
los funcionales que tienen sucesiones minimizantes acotadas son coercivos.
Si queremos un ejemplo relacionado con (3.1), basta tomar el funcional Φ
dado por (3.3) con g(x, u) ≡ u.

Una aplicaciń del corolario anterior al problema (3.1) da lugar al si-
o
guiente resultado.

Teorema 3.5. Si existen constantes a ∈ [0, 1), b ∈ R, tales que
(3.6) |g(x, u)| ≤ a|u| + b, ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R,
entonces el funcional Φ definido en (3.3) tiene m´
ınimo global. Como conse-
1
cuencia, (3.1) tiene al menos una soluciń u ∈ H0 (0, π).
o

Demostraciń: Consiste en comprobar las condiciones del corolario an-
o
terior. Para ello, observemos que
π
1
Φ(u) = |u|1 − G(x, u(x)) dx.
2 0
o 1
De esta forma, la inclusiń compacta de H0 (0, π) en C[0, π], as´ como el
ı
carćter dx semicontinuidad inferior d´bil de la funciń |.|, implican que Φ
a e o
es d´bilmente semicontinuo inferiormente.
e
Respecto de la coercividad, tenemos lo siguiente:
1
De (3.6) se deduce la existencia de λ ∈ [0, ) y b ∈ R, tales que
2
2
(3.7) |G(x, u)| ≤ λ|u| + b , ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R.
Tambiń, la desigualdad de Wirtinger (que se puede probar fćilmente usando
e a
series de Fourier), afirma
π π
(3.8) |u(x)|2 dx ≤ |u (x)|2 dx, ∀ u ∈ H0 (0, π).
1
0 0
Usando (3.7) y (3.8), se obtiene
1
(3.9) Φ(u) ≥ − λ |u|2 − b π, ∀ u ∈ H0 (0, π),
1
2

40 ´ ˜

que prueba que Φ es coercivo.

Notas.
1) La conclusiń del Teorema anterior no es necesariamente verdadera si
o
a = 1. Pińsese por ejemplo en el caso en que g(x, u) = u + h(x), con h una
e
funciń continua satisfaciendo la condiciń
o o
π
h(x) sen x dx = 0.
0
No se verifica pues, el Teorema de la alternativa de Fredholm.
Por lo tanto, una cuestiń puede ser la siguiente: si a = 1, ¿qu´ condiciones
o e
adicionales sobre g garantizan la existencia de soluciń de (3.1)?. Esto es
o
objeto de investigaciń hoy en d´
o ıa.

2) 1, el coeficiente de |u| en (3.6), no es sino el valor propio principal del
problema de valores propios
−u (x) = λu(x), x ∈ [0, π],
(3.10)
u(0) = u(π) = 9,
con lo que se pone de manifiesto la clara influencia que, sobre el problema
no lineal considerado (3.1), puede tener su parte lineal. De hecho, esto
es una constante en el An´lisis no lineal: en primer lugar se realiza un
a
estudio profundo y exhaustivo de la parte lineal correspondiente (en este caso
(3.10)), en orden a poder intuir qu´ tipo de resultados cabe esperar para el
e
problema no lineal. M´s concretamente, refirińdonos al problema (3.1), la
a e
forma en que se comporta la no linealidad g, respecto de los valores propios
del problema (3.10), es muy importante para tener condiciones suficientes
que garanticen la existencia de soluciones de (3.1). Aunque se han realizado
muchos estudios en este sentido, existen muchas situaciones donde no se
sabe exactamente lo que ocurre, siendo por tanto un tema de investigaciń o
actual.

En el siguiente resultado, el papel de la coercividad es reemplazado por el
de una cierta condiciń de compacidad, llamada condiciń de compacidad
o o
de Palais-Smale, que ser´ muy importante tanto aqu´ como en los m´todos
a ı e
min-max. Esta condiciń proporciona una herramienta tremendamente util
o ´
para probar resultados sobre la existencia de soluciones de (3.5): el Lema de
deformaciń, que veremos a continuaciń. Previamente a ello, necesitamos
o o
algunas definiciones.

Sea Φ : H → R y c ∈ R. Notaremos
Ac = { u ∈ H : Φ(u) ≤ c },
Kc = { u ∈ H : Φ(u) = c, Φ (u) = 4 }.
Si Kc = ∅, diremos que c es un nivel cr´
ıtico del funcional Φ.

´ ˜

Dado c ∈ R, Φ satisface la condiciń de Palais-Smale (P −S)c , si cualquier
o
sucesiń {un } ⊂ H, cumpliendo las dos hip´tesis:
o o
i) {Φ(un )} → c,
ii) {Φ (un )} → 0,
tiene alguna subsucesiń convergente.
o
Como puede observarse, la condiciń anterior es de compacidad relativa de
o
ciertos subconjuntos de H.

Lema 3.6. Sean Φ : H → R y c ∈ R, tales que Kc = ∅ y Φ satisface
(P − S)c . Entonces
∀ > 7, ∃ ∈ (0, ), η ∈ C([0, 1] × H, H),
tales que
1) η(0, u) = u, ∀ u ∈ M.
2) η(1, u) = u, ∀ u ∈ H : Φ(u) ∈ [c − , c + ].
/
4) η(1, Ac+ ) ⊂ Ac− .

Notas. En realidad, para cada t ∈ [0, 3] fijo, la aplicaciń η(t, .) es un
o
homeomorfismo de H en H, de tal manera que podemos ver esto como una
familia de aplicaciones, η(t, .), que, partiendo de la identidad, deforman el
espacio H en s´ mismo. La propiedad 2) nos dice que permanecen invariantes
ı
por la deformaciń los puntos con nivel “lejano”a c. La propiedad 3) expresa
o
el hecho de que η(1, .) deforma Ac+ en un conjunto contenido en Ac−
(de menor nivel). Esta propiedad ser´ clave cuando queramos probar la
a
existencia de niveles cr´
ıticos de funcionales, tanto para el caso del m´ınimo
global como para los obtenidos por procedimientos min-max.

Comentario sobre la demostraciń del Lema 3.6: Una manera usual
o
de obtener la deformaciń η(t, .), consiste en tomarla como la soluciń del
o o
p.v.i.
∂η(t, u)
(3.11) = − Φ(η(t, u)),
∂t
η(0, u) = u,
donde Φ indica el gradiente de Φ. Sin embargo, para poder tener garant´ ıa
de la existencia, unicidad y prolongabilidad de las soluciones de (3.11), nece-
sitar´ıamos m´s regularidad que la impuesta (Φ ∈ C 9 (H)), sobre el funcional
a
Φ, as´ como alguna limitaciń de su crecimiento. Esta dificultad puede sal-
ı o
varse usando la nociń de vector pseudogradiente: Un elemento v ∈ H
o
se dice que es un vector pseudogradiente de Φ en u ∈ H, si verifica las dos
condiciones siguientes:
i) |v| ≤ 2|Φ (u)|.
ii) < v, Φ (u) > ≥ |Φ (u)|2 .

42 ´ ˜

El concepto anterior permite construir en un subconjunto apropiado de
H, (aqu´l en el que se puede tener alguna libertad para elegir el pseudo-
e
gradiente, a saber, el subconjunto formado por los elementos de H donde
el gradiente de Φ no es nulo), un campo de vectores pseudogradientes, que
adem´s es localmente lipschitziano (a pesar de que Φ sea s´lo de clase C 1 ).
a o
Esto permite la formulaciń de un p.v.i. similar a (3.11), de donde se obtiene
o
la deformaciń.
o
Los detalles son muy tćnicos, as´ que a no ser que se tengan alumnos real-
e ı
mente interesados en conocer los pormenores del Lema de deformaciń (por-
o
que por ejemplo, se vayan a dedicar a la investigaciń en este campo en el
o
futuro), no conviene insistir demasiado en ellos.

Una primera consecuencia de Lema anterior es el siguiente Teorema, sobre
la existencia de m´
ınimo global de un funcional dado.

Teorema 3.7. Sea Φ : H → R, acotado inferiormente, tal que Φ satisface
(P − S)m , m = inf H Φ. Entonces m es m´
ınimo global de Φ.

Demostraciń: Si Km fuese vac´ una aplicaciń del Lema (3.6), con
o ıo, o
∈R + cualquiera, proporciona inmediatamente una contradicciń, usando
o
la propiedad 3) de la deformaciń.
o

El Teorema 3.7 puede aplicarse al estudio de (3.1), obtenińdose un resul-
e
tado idńtico al proporcionado por el Teorema 3.5. No obstante, conviene
e
hacerles a los alumnos la demostraciń de este ultimo, basńdose en el Teo-
o ´ a
rema anterior, para que vayan familiarizńdose con la comprobaciń de la
a o
condiciń de Palais-Smale.
o

Demostraciń del Teorema 3.5 a partir del Teorema 3.7: s´lo
o o
es necesario verificar la condiciń (P − S)m . Para ello, sea {un } cualquier
o
1
sucesiń de elementos de H0 (0, π), tal que:
o
i) {Φ(un )} → m,
ii) {Φ (un )} → 0.
Entonces, de i) y (3.9) se deduce la acotaciń de {un }. Por tanto, debe
o
o e 1
existir una subsucesiń, a la que notamos tambiń por {un } y u ∈ H0 (0, π),
satisfaciendo {un } u. Adem´s,
a
Φ (un ) = J(un ) − N (un ),
donde
J : H0 (0, π) → (H0 (0, π))∗ , J(u)(v) =< u, v >,
1 1

π
N : H0 (0, π) → (H0 (0, π))∗ , N (u)(v) =
1 1
g(x, u(x))v(x) dx,
0

1
∀ u, v ∈ H0 (0, π).

´ ˜

1
Usando de nuevo el hecho de que la inclusiń de H0 (0, π) en C[0, π], es
o
compacta, se obtiene {N (un )} → N (u); luego {J(un )} es convergente, de
donde se deduce inmediatamente la convergencia de {un }.

Los Teoremas 3.3 y 3.7 proporcionan condiciones suficientes para que el
funcional Φ tenga m´ ınimo global. No obstante, en numerosos problemas no
son utiles, debido a que el funcional Φ no es acotado ni inferior ni superior-
´
mente; un ejemplo elemental lo constituye el problema de contorno
−u (x) = u3 (x), x ∈ [0, π],
(3.12)
u(0) = u(π) = 0,
1
cuyo funcional asociado es Φ : H0 (0, π) → R, definido por
3 π 3 π 4
Φ(u) = |u (x)|2 dx − u (x) dx.
2 0 4 0
No obstante, estamos interesados en el estudio de este tipo de problemas,
lo que nos conduce a la cuestiń de c´mo podemos probar existencia de
o o
soluciones de (3.5) cuando Φ no es acotado inferiormente. Aqu´ entran en
ı
escena los m´todos min-max.
e
Para motivarlos, volvamos al Teorema (3.7). Una demostraciń alternativa
o
puede ser la siguiente: Sea A el conjunto cuyos elementos son los subcon-
juntos unitarios de H. Entonces
(3.13) m = inf F ∈A sup u∈F Φ(u).
Si m es valor cr´ıtico de Φ, es decir, Km = ∅, se tiene la conclusiń del
o
Teorema. Si Km = ∅, se puede razonar del modo siguiente para tener una
contradicciń:
o
Sea ∈ R+ cualquiera y ∈ R+ , el dado por el Lema 3.6. De (3.13) se
deduce la existencia de F ∈ A, tal que
sup u∈F Φ(u) ≤ m + .
Luego F ⊂ Wm+ . Por la propiedad 3) de dicho Lema, η(1, F ) ⊂ Am− . Pero
esto es una contradicciń con (3.13), puesto que η(1, F ) ∈ A.
o

La demostraciń que acabamos de hacer contiene las ideas b´sicas de los
o a
m´todos min-max:
e
0) Se trata, en primer lugar, de demostrar la existencia de niveles
cr´
ıticos, en lugar de puntos cr´ ıticos (esto ultimo es una consecuencia de lo
´
primero, evidentemente).
2) Los niveles cr´
ıticos se construyen de la forma (3.13), eligiendo el conjunto
A adecuadamente. Dicho conjunto ha de ser invariante por la aplicaciń o
η(1, .).

En general, la elecciń del conjunto A viene determinada por la “geo-
o
metr´ del funcional Φ. Esto vamos a tener la oportunidad de comprobarlo
ıa”
en los dos teoremas abstractos que siguen: el Teorema del paso de montaã
n

44 ´ ˜

de Ambrosetti y Rabinowitz (Teorema 3.8) y el Teorema del punto de si-
lla de Rabinowitz (Teorema 3.10), ejemplos relativamente recientes pero ya
cl´sicos, de los Teoremas min-max.
a

Teorema 3.8. Sea Φ : H → R, satisfaciendo:
1) Φ(0) = 0 y existen constantes positivas ρ y α tales que
Φ(u) ≥ α, ∀ u ∈ H : |u| = ρ.
0) ∃ e ∈ H : |e| > ρ, cumpliendo
Φ(e) ≤ 0.
3) Φ verifica (P − S)d , ∀ d ∈ R.
Entonces, si
Γ = { g : [0, 1] → H, g continua , g(0) = 0, g(1) = e }
y
c = inf g ∈ Γ sup w ∈ g[0,1] Φ(w),
se tiene que c es un valor cr´
ıtico de Φ, mayor o igual que α.

Demostraciń: Sea
o
A = {g[0, 1] : g ∈ Γ}.
Entonces
(3.14) c = inf F ∈ A sup u ∈ F Φ(u).
Claramente Γ = ∅ (t´mese g(t) = te), lo que implica A = ∅. Como los
o
elementos de A son subconjuntos compactos de H, para cada F ∈ A, existe
sup u ∈ F Φ(u). Adem´s, para cada F ∈ A, existe al menos un elemento
a
u ∈ F : |u| = ρ. Esto prueba que c ≥ α.
α
Finalmente, si Kc = ∅, tomemos = , en el Lema de deformaciń 3.6, de
o
2
donde se obtienen los correspondientes y η. Por (3.14), debe existir F ∈ A,
tal que
sup u ∈ F Φ(u) ≤ c + .
Ahora bien, η(1, F ) ∈ A y
sup u ∈ η(1,F ) Φ(u) ≤ c − ,
lo que contradice (3.14).

Notas.
a) El nombre de Teorema del paso de montaã se justifica en base a la
n
siguiente interpretaciń geom´trica: supongamos que la Tierra viene mode-
o e
lada por R2 y que Φ : R2 → R, u → Φ(u), expresa, en cada panto u ∈ R2 ,
la altura sobre el nivel del mar. Entonces las hip´tesis 1) y 4) se cumplen
o
si el origen se encuentra en un valle rodeado de montaãs, tal que lejos del
n
valle y las montaãs, existe otro punto d con altitud no positiva.
n

´ ˜

La interpretaciń del conjunto A y de c es asimismo clara: A representa el
o
conjunto de todos los caminos que van desde 3 hasta e. Por tanto, si existiese
uno de estos caminos con altitud m´ınima, tal altitud ser´ el valor de c.
ıa

b) Como veremos en las aplicaciones, en general, la hip´tesis 1) se co-
o
rresponde con el hecho de que el origen es un m´ ınimo local estricto del
funcional Φ. Esto se conseguir´, para aquellos funcionales Φ que provienen
a
de problemas de contorno como (3.1), imponiendo restricciones adecuadas a
la funciń g(x, u), cerca de u = 6. En esta situaciones, usualmente se tiene
o
la soluciń trivial (como en (3.12)) y se trata de probar la existencia de otra
o
no trivial.
Por su parte, la hip´tesis 2) suele comprobarse estudiando el comporta-
o
miento del funcional a trav´s de rayos que emanan del origen; es decir, dado
e
u ∈ H {0}, se estudia Φ(λu), λ ≥ 0.
En definitiva, hip´tesis apropiadas sobre la funciń g, cerca de u = 0 y
o o
“en infinito”, son las que determinan la aplicaciń del Teorema previo a
o
problemas como (3.1).

c) En el Teorema se afirma no s´lo que c es un nivel cr´
o ıtico de Φ sino
que adem´s c ≥ α. Esto es importante cuando se desea probar resultados de
a
multiplicidad de soluciones.

Apliquemos el Teorema anterior al estudio de (3.1). Vamos a ver que si g
es de tipo sublineal cerca del origen y de tipo superlineal en el ∞, entonces
(3.1) tiene al menos una soluciń no trivial.
o

Teorema 3.9. Consideremos (3.1) y G dada en (3.2). Supongamos las
hip´tesis:
o
1) g(x, u) = o(|u|), cuando u → 0, uniformemente en [0, π]; es decir
g(x, u)
(3.15) lim = 0,
u→0 u
uniformemente en x ∈ [0, π].
2) ∃µ > 9, r > 0, tales que
(3.16) 0 < µG(x, ξ) ≤ ξg(x, ξ), ∀(x, ξ) ∈ [0, π] × R : |ξ| ≥ r.
Entonces (3.1) tiene al menos una soluciń no trivial.
o

Demostraciń: Como g(x, 0) = 6, ∀ x ∈ [7, π], la funciń idńticamente
o o e
cero es soluciń de (3.1). Se trata de ver que existe al menos una soluciń
o o
no trivial, lo que su conseguir´ aplicando el Teorema anterior; ´ste propor-
a e
cionar´ un nivel cr´
a ıtico positivo, de donde se tiene la existencia de soluciń
o
no trivial.
En primer lugar, de (3.16) se obtiene la existencia de constantes positivas a

46 ´ ˜

y b tales que
(3.17) G(x, ξ) ≥ a|ξ|µ − b, ∀ (x, ξ) ∈ [0, π] × R.
Tambiń, por (3.15), se tiene que ∀
e ∈ R+ , ∃ δ ∈ R+ : |u| ≤ δ, implica

|G(x, u)| ≤ |u|2 , ∀ x ∈ [0, π].
2
Tomemos < 1 y el δ correspondiente. Como la inclusiń de H0 (0, π)
o 1

en C[0, π], es continua, ∃ δ ∈ R+ , tal que |u| ≤ δ , en H0 (0, π), implica
1

|u(x)| ≤ δ, ∀ x ∈ [0, π].
Una vez hechas las consideraciones anteriores, basta tomar ρ = δ y α =
1
− d 2 , en la hip´tesis 1) del Teorema 3.8.
o
2 2
1
Sea ahora u ∈ H0 (0, π) {0}. De (3.17) se obtiene fćilmente
a
lim Φ(tu) = −∞,
t→+∞

lo que implica la existencia de e satisfaciendo la hip´tesis 2).
o

Comprobemos por ultimo la propiedad (P − S)d . Sea {un } cualquier su-
´
1
cesiń de elementos de H0 (0, π), tal que:
o
i) {Φ(un )} → d,
ii) {Φ (un )} → 0.
Es suficiente comprobar que la sucesiń {un } es acotada, pues si esto es as´
o ı,
se seguir´ de forma an´loga a lo realizado en la demostraciń que, a partir
ıa a o
del Teorema 3.7, hicimos del Teorema 3.5.
La acotaciń de {un }, puede probarse como se indica:
o
π
Si φ(un ) = G(x, un (x)) dx, entonces, usando (3.16), se tiene la existencia
0
de alguna constante a1 > 0, tal que
1
φ(un ) ≤ a1 + φ (un )(un ), ∀ n ∈ N.
µ
Luego
1 8
Φ(un ) ≥ |un |2 − a1 − φ (un )(un ), ∀ n ∈ N.
9 µ
Como {Φ(un )} es acotada, existe alguna constante b1 > 0, tal que
1 1
(3.18) |un |2 − a1 − φ (un )(un ) ≤ b1 , ∀ n ∈ N.
2 µ
Tambiń, de ii) obtenemos que para cualquier ∈ R+ , existe n0 ∈ N, tal que
e
si n ≥ n4 , entonces
|Φ (un )(un )| =
(3.19)
= | |un |2 − φ (un )(un )| ≤ |un |.

´ ˜

De (3.18) y (3.19), deducimos:
µ
|un |2 − µa1 − µb1 ≤ |un |0 + |un |,
2
para n ≥ n0 . Como µ > 2, la sucesiń {un } debe estar acotada.
o

El Teorema del paso de montaã visto con anterioridad es muy util
n ´
cuando, conocida la existencia de una soluciń de la ecuaciń (3.5) (por
o o
ejemplo, la soluciń trivial), que se corresponde con un m´
o ınimo local estricto
del correspondiente funcional Φ, se quiere probar la existencia de otra. Sin
embargo, hay muchos problemas donde no es posible conocer de antemano
la existencia dt una soluciń; en estos casos, es muy util el siguiente Teorema
o ´
conocido con el nombre de Teorema del punto de silla, por la geometr´ del ıa
funcional Φ.

Teorema 3.10. Supongamos que es posible descomponer H de la forma
H = V ⊕ X, suma topol´gico-directa, tal que V es un subespacio no trivial
o
de H, de dimensiń finita, verificńdose las siguientes hip´tesis:
o a o
0)
(3.20) ∃ inf u ∈ X Φ(u) ≡ β ∈ R.
2) Existe un entorno de 0 en V, D, abierto (relativo) y acotado, tal que
sup u ∈ ∂D Φ(u) ≤ α < β.
3) Φ satisface (P − S)d , ∀ d ∈ R.
Entonces, si
Γ = { h ∈ C(D, H) : h(u) = u, ∀ u ∈ ∂D }
y
c = inf h ∈ Γ sup u ∈ D Φ(h(u)),
se tiene que c es un valor cr´
ıtico de Φ, mayor o igual que β.

Demostraciń: Sea
o
(3.21) A = {h(D) : h ∈ Γ}.
Entonces
c = inf F ∈ A sup u ∈ F Φ(u).
Claramente Γ = ∅ (la aplicaciń identidad, restringida a D, pertenece a Γ),
o
lo que implica A = ∅. Como los elementos de A son subconjuntos compactos
de H, para cada F ∈ A, existe sup u ∈ F Φ(u). Adem´s, para cama F ∈ A,
a
existe al menos un elemento u ∈ F : u ∈ X. En efecto, esto puede probarse
coo ayuda del grado topol´gico de Brouwer. Para ello, sea h ∈ Γ y
o
P : H → V, la correspondiente proyecciń proveniente de la descomposiciń
o o
anterior. La aplicaciń P h : D → V es continua y no se anula sobre la
o
frontera de D, puesto que, P h(u) = u, ∀ u ∈ ∂D. As´ dB (P h, D, 0) = 1,
ı,

48 ´ ˜

por lo que existe al menos un elemento u ∈ D con P h(u) = 0; es decir,
h(u) ∈ X.
Lo anterior muestra que c ≥ β.
β−α
Finalmente, si Kc = ∅, tomemos = , en el Lema de deformaciń
o
2
(3.6), de donde se obtienen los correspondientes y η. Por (3.21), debe
existir F ∈ A, tal que
sup u ∈ F Φ(u) ≤ c + .
Ahora bien, η(1, F ) ∈ A y
sup u ∈ η(1,F ) Φ(u) ≤ c − ,
lo que contradice (3.21).

Notas.
1) En las aplicaciones del Teorema anterior, suele darse la situaciń si-
o
guiente: el funcional Φ, restringido a X, est´ acotado inferiormente, mien-
a
tras que Φ(u) → −∞, cuando u ∈ V y |u| → +∞. En estos casos, se toma
D = BV (0; r), con r suficientemente grande.
2) El tipo general de funcionales a los que se puede aplicar el Teorema an-
terior responden a la geometr´ siguiente: Φ es cńcavo en V, convexo en X
ıa o
y satisface una adecuada condiciń de coercividad en el infinito. De ah´ el
o ı
nombre de Teorema del punto de silla.
3) Si se repasan detalladamente las demostraciones de los Teoremas (3.8)
y (3.10), se puede observar fćilmente la enorme analog´ que hay entre
a ıa
ellas. Esta es la filosof´ general de los m´todos min-max. De hecho, pueden
ıa e
probarse teoremas abstractos que generalizan a ambos (en la bibliograf´ ıa
recomendada se encuentran algunos de ellos) y que son utiles en las apli-
´
caciones. Conviene pues insistir al alumno en el m´todo de demostraciń
e o
empleado, que es el mismo en la mayor´ de los casos.
ıa
4) Es t´ıpico aplicar el Teorema anterior a problema resonantes, donde la
elecciń de los espacios V y X viene autom´ticamente sugerida, como vamos
o a
a ver en el ejemplo siguiente.

Consideremos el problema de contorno
−u (x) − u(x) = g(x, u(x)), x ∈ [0, π],
(3.22)
u(0) = u(π) = 0,
donde g : [0, π] × R → R, es una funciń continua.
o
Observemos que el “problema lineal asociado”
−u (x) − u(x) = 0, x ∈ [0, π],
u(0) = u(π) = 0,
tiene como conjunto de soluciones al espacio vectorial real, de dimensiń
o
uno, engendrado por la funciń sen x, as´ que (3.22) no tiene necesaria-
o ı
mente soluciń, aunque g sea acotada (pińsese en el caso g(x, u) = f (x)
o e

´ ˜

y el Teorema de la alternativa de Fredholm). Veamos que aãdiendo una
n
condiciń sobre la primitiva de g, G, se tiene la existencia de soluciones de
o
(3.22).

Teorema 3.11. Supongamos:
i) g es acotada.
ii) Si G es cualquier primitiva de g, respecto de u, se cumple que
(3.23) lim |ξ|→+∞ G(x, ξ) = +∞.
Entonces, (3.22) tiene al menos una soluciń.
o

Demostraciń: Veamos que se verifican todas las hip´tesis del Teorema
o o
1 (0, π) y los subespacios V y X como
3.10. Para ello, tomemos H = H0
V = { asenx, a ∈ R },
π
X= 1
u ∈ H0 (0, π) : u(x)senx dx = 0 .
0
1
De esta forma, cada u ∈ H0 (0, π), puede escribirse (de manera unica) como
´
u = u1 + u2 , donde u1 ∈ V y u2 ∈ X, vienen dados por
2 π
u1 (x) = u(x)senx dx senx,
π 0

u2 = u − u1 .
Comprobemos que Φ : 1
H0 (0, π)
→ R, definido como
π
1 1 π π
Φ(u) = (u (x))2 dx − (u(x))2 dx − G(x, u(x)) dx,
2 0 2 0 0
satisface (3.20).
Usando la acotaciń de g, el Teorema del valor medio y realizando algunas
o
operaciones elementales se prueba que para cualquier u2 ∈ X,
1 π 1 π
(3.24) Φ(u2 ) ≥ (u2 (x))2 dx − (u2 (x))2 dx − a|u2 |,
2 0 2 0
para alguna constante a > 0.
Por otra parte, teniendo en cuenta el desarrollo en serie de Fourier de las
funciones de X, se tiene la existencia de una constante positiva λ < 1, tal
que
π π
(3.25) (u2 (x))2 dx ≤ λ (u2 (x))2 dx, ∀ u2 ∈ X.
0 0
As´ de (3.24) y (3.25), se deduce
ı,
1 λ
Φ(u2 ) ≥ − |u2 |2 − a|u2 |,
2 2
∀ u2 ∈ X.

50 ´ ˜

Luego Φ, restringido a X, tiene ´
ınfimo, al que llamamos β.
De (3.23) se obtiene
π
lim − G(x, asenx) dx = −∞,
|a|→+∞ 0

lo que prueba la hip´tesis 2) del Teorema (3.10).
o
Comprobemos por ultimo la condiciń (P − S)d : sea {un } una sucesiń de
´ o o
elementos de H01 (0, π), cumpliendo las dos condiciones:

i){Φ(un )} → d,
ii){Φ (un )} → 0.
Como en los casos anteriores, es suficiente con verificar que {un } es acotada,
lo que se har´ viendo que tanto {(un )1 } como {(un )2 } lo son.
a
De ii) se obtiene la existencia de r1 > 0, tal que
π π
| un (x)v (x) dx − un (x)v(x) dx| ≤ r1 ,
0 0

1
∀ v ∈ H0 (0, π) : |v| = 1,
que realizando operaciones elementales proporciona
π π
| (un )2 (x)v (x) dx − (un )2 (x)v(x) dx| ≤ r1 ,
0 0

1
∀ v ∈ H0 (0, π) : |v| = 1,
(un )2
Tomando v = , para aquellos n ∈ N, tales que (un )2 = 0, de la
|(un )2 |
desigualdad (3.25) se deduce
r1
(3.26) |(un )2 | ≤ , ∀ n ∈ N.
1−λ
Por otra parte, por i), la sucesiń {Φ(un )} es acotada y como
o
π
1
Φ(un ) = (un )2 (x) dx−
2
2 0
π π
1
− (un )2 (x)
2 dx − G(x, un (x)) dx,
2 0 0
(3.26) implica que la sucesiń
o
π
G(x, un (x)) dx ,
0

es acotada. Finalmente, por (3.23), la sucesiń {(un )1 } debe estar acotada.
o

Notas complementarias

´ ˜

- Uno de los objetivos de este cap´
ıtulo debe ser que el alumno se familiarice
con los operadores que usualmente aparecen en el tratamiento variacional
de problemas de contorno, tanto para e.d.o. como para e.d.p. El estudio
de las propiedades de regularidad de ellos, debe ser profundo y detallado.
Quiz´s, el m´s importante sea el operador de Nemytskii, asociado a una
a a
funciń f : Ω × R → R, donde Ω es un subconjunto abierto y acotado de R.
o
Dicho operador est´ definido de la forma siguiente: a cualquier funciń
a o
u : Ω → R, se le hace corresponder la funciń Nf u, donde (Nf u)(x) =
o
f (x, u(x)), ∀x ∈ Ω.
As´ Nf : F → F, donde F es el conjunto de funciones reales definidas en Ω. Si
ı,
A y B son subconjuntos de F, se tratar´ de encontrar condiciones suficientes
ıa
sobre f que garanticen Nf (A) ⊂ B, as´ como propiedades de regularidad de
ı
Nf . Especialmente, como A o B, pueden tomarse el subconjunto de las
funciones medibles, funciones continuas en Ω, espacios Lp (Ω), etc.
En particular, los alumnos suelen mostrar extra˜eza y admiraciń al estudiar
n o
las condiciones para que
Nf (Lp (Ω)) ⊂ Lq (Ω),
con p, q ≥ 1, pues basta que se cumpla la inclusiń anterior, para que el
o
operador Nf : Lp (Ω) → Lq (Ω), sea continuo.

- Aquellos que piensen dedicarse a la investigaciń en e.d.p., deber´
o ıan
extender a este tipo de ecuaciones, los resultados que aqu´ hemos presentado
ı
para e.d.o. En este sentido es conveniente la consulta de la bibliograf´ ıa
recomendada.
La relaciń general existente entre el estudio de las soluciones d´biles de
o e
problemas de contorno para e.d.p y la ecuaciń (3.5) puede establecerse con
o
el siguiente ejemplo concreto: sea Ω ⊂ Rn , un dominio acotado con frontera
regular y p : Ω × R → R una funciń dada. Consideremos el problema de
o
contorno
−∆u(x) = p(x, u(x)), x ∈ Ω
(3.27)
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
1 1
Una soluciń d´bil de (3.27) es una funciń u ∈ H0 (Ω) (donde H0 (Ω) es el
o e o
espacio de Sobolev usual) tal que
1
< u(x), v(x) > dx = p(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H0 (Ω),
Ω Ω

(< ., . > indica el producto escalar usual en Rn y u el gradiente de la
funciń u).
o

Como hemos mencionado con anterioridad, el planteamiento del problema
de contorno (3.27) en “forma d´bil” es necesario cuando p no es lo suficiente-
e
mente regular como para poder estudiar soluciones cl´sicas del mismo, pero
a
incluso en muchos casos en que p es lo suficientemente regular como para

52 ´ ˜

poder estudiar (3.27) desde el punto de vista cl´sico, el planteamiento d´bil
a e
del problema puede facilitar enormemente su estudio.

Si se satisfacen las hip´tesis:
o
i) p ∈ C(Ω × R, R).
ii) ∃ a1 , a2 ≥ 0 / |p(x, u)| ≤ a1 + a2 |u|s , ∀(x, u) ∈ Ω × R, 0 ≤ s <
n+2
, para n > 2
n−2
(cuando n = 1, la hip´tesis ii) no es necesaria y si n = 2, esta hip´tesis
o o
ϕ(u)
puede sustituirse por la acotaciń |p(x, u)| ≤ a1 eϕ(u) / lim
o = 0 ),
u→∞ u2
1
y Φ : H0 (Ω) → R, se define como
1
(3.28) Φ(u) = | u(x)|2 dx − P (x, u(x))dx
2 Ω Ω
u
(donde P (x, u) = p(x, s)ds), entonces Φ ∈ C 1 (H0 (Ω), R) y u ∈ H0 (Ω)
1 1
0
es soluciń d´bil de (3.27) si y solamente si
o e
Φ (u) = 0
De hecho

Φ (u)(v) = < u(x), v(x) > dx − p(x, u(x))v(x)dx
Ω Ω
1
∀u, v ∈ H0 (Ω) .
A la ecuaciń anterior se le llama ecuaciń de Euler del funcional Φ y en
o o
1
particular dicha ecuaciń se cumple para los puntos u de H0 (Ω) donde Φ
o
tiene un extremo global (caso de que lo tenga).

Los teoremas que se han probado en el cap´ ıtulo para el problema de
contorno (3.1), tienen su correspondiente versiń en e.d.p., prćticamente
o a
sin cambios. A t´ıtulo de ejemplo, el Teorema 3.5 quedar´ as´
ıa ı:

Teorema 3.12. Si existen constantes a ∈ [0, λ1 ), b ∈ R, tales que
|p(x, u)| ≤ a|u| + b, ∀ (x, u) ∈ Ω × R,
entonces el funcional Φ definido en (3.28) tiene m´ınimo global. Como con-
1
secuencia, (3.27) tiene al menos una soluciń u ∈ H0 (0, π).
o

Obviamente, λ1 indica el valor propio principal del problema de valores
propios
−∆u(x) = λu(x), x ∈ Ω,
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.

´ ˜

- Una herramienta b´sica usada en el cap´
a ıtulo, para demostrar, tanto
teoremas que prueban la existencia de m´ ınimo global del funcional Φ, como
teoremas min-max, ha sido el Lema de deformaciń 3.6. Una alternativa a
o
esto lo constituye el principio variacional de Ekeland, cuyo enunciado
(no ciertamente el m´s general) es el siguiente:
a

Teorema 3.13. Sea (X, d) un espacio m´trico completo y Φ : X → R ∪
e
{+∞}, un funcional semicontinuo inferiormente. Entonces, si existe inf X Φ ≡
m ∈ R, se tiene que para cualquier ∈ R+ , existe al menos un elemento
u ∈ X, tal que
Φ(u ) ≤ m + ,
Φ(u ) < Φ(u) + d(u, u ), ∀ u ∈ X, u = u .

Para funcionales Φ que son adem´s derivables (segń Gateaux), se tiene
a u
la siguiente consecuencia:

Corolario 3.14. Si adem´s de las hip´tesis del Teorema 3.13, con X un
a o
espacio de Banach, Φ es derivable Gateaux en X, entonces para cualquier
∈ R+ , existe al menos un elemento u ∈ X, tal que
Φ(u ) ≤ m + ,

|Φ (u )| ≤ .

El anterior corolario permite tomar sucesiones minimizantes que verifican
las hip´tesis de la condiciń de Palais-Smale, (P − S)d , pudińdose por
o o e
tanto dar otras demostraciones de las aqu´ expuestas, sobre los teoremas
ı
del m´todo directo del c´lculo de variaciones. Tambiń puede usarse el
e a e
principio variacional de Ekeland para demostrar teoremas min-max como
el Teorema 3.8. La utilidad de tal principio rebasa las fronteras de las
ecuaciones diferenciales y se puede usar, por ejemplo, en el estudio de algunos
problemas de geometr´ de los espacios de Banach.
ıa

- En lo que respecta a la multiplicidad de puntos cr´
ıticos, dos de las teor´ıas
cl´sicas m´s potentes son la teor´ de Lusternik-Schnirelman y la teor´
a a ıa ıa
de Morse. En la primera, la nociń de categor´ de un subconjunto de
o ıa
un espacio topol´gico, puede usarse para encontrar distintos niveles cr´
o ıticos
de tipo min-max. En cuanto a la segunda, los puntos cr´ ıticos se distinguen
atendiendo a su ´ ındice de Morse.
Realmente, profundizar en ambas es una apasionante y agradable tarea,
para aquellos alumnos que se quieran especializar en este campo de la in-
vestigaciń. Cons´ltese para ello la bibliograf´ recomendada.
o u ıa

- Otros temas complementarios de gran inter´s en el c´lculo de variacio-
e a
nes y la teor´ de puntos cr´
ıa ıticos, lo constituyen el An´lisis convexo y el
a

54 ´ ˜

m´todo de los multiplicadores de Lagrange en dimensiń infinita.
e o
Particularmente, el estudio de problemas de minimizaciń de funcionales
o
convexos, as´ como el papel desempeãdo por los funcionales conjugados,
ı n
proporciona numerosos ejemplos elementales (l´ıneas geod´sicas sobre un
e
cilindro, el problema de la braquistocrona, problemas de Eco-
nom´ el cable colgante, etc.), donde el alumno puede ver claramente la
ıa,
utilidad de los m´todos variacionales. En cuanto a lo segundo, es evidente-
e
mente m´s especializado y muestra su utilidad cuando se est´ interesado en
a a
soluciones del problema de contorno planteado, que verifican algunas restric-
ciones adicionales (por ejemplo, soluciones de sistemas Hamiltonianos con
energ´ determinada de antemano).
ıa

´ ˜

´
4. Metodos de compacidad y semicontinuidad inferior para la
existencia de m´
ınimo global
Recordemos que el problema general que estamos tratando considera una
funciń
o
(4.1) f : M −→ R
Se trata de establecer condiciones sobre M y f para garantizar la existen-
cia de m´ınimo (global). En este sentido, recordemos el resultado siguiente:
si M = (X, τ ), es un espacio topol´gico compacto y f es continua, ten-
o
dremos garantizada la existencia de m´ ınimo (los espacios topol´gicos que
o
consideremos siempre serń separados). Este resultado es muy util cuando
a ´
M es un subconjunto cerrado y acotado de un espacio eucl´ ıdeo n− dimen-
sional, por ejemplo cualquier bola cerrada, de radio arbitrario. Sin embargo,
es de dif´ aplicabilidad en el caso de espacios normados de dimensiń in-
ıcil o
finita. En efecto, es conocido que si (X, · ) es un espacio normado real
de dimensiń infinita, la bola cerrada unidad no es compacta, por lo que
o
cualquier subconjunto de X con interior no vac´ no puede ser compacto. A
ıo
este respecto, en [8] puede verse un ejemplo (ejercicio 6.2.23) significativo,
donde para cada espacio de Hilbert separable H, de dimensiń infinita, se
o
construye expl´ıcitamente una funciń continua de la bola cerrada unidad en
o
R, que no tiene m´ximo.
a
Otra observaciń que podemos hacer es que la longitud de una curva no
o
es continua respecto de la distancia uniforme, hecho que se puede intuir si
uno lo piensa un poco. En efecto, consid´rense
e
sen nx
fn (x) = 0≤x≤π
n

Cn = {(x, fn (x)) / x ∈ [0, π]}
Entonces se puede probar fćilmente que:
a
(1) fn −→ 0 uniformemente en [0, π].
(2) la longitud de la curva Cn no converge a π.

Las anteriores reflexiones motivan las definiciones siguientes, donde se
generaliza el concepto de aplicaciń continua:
o
Sea (X, τ ) un espacio topol´gico, f : X −→ R ∪ {+∞} y x0 ∈ X t.q.
o
f (x0 ) ∈ R.

• f es continua en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno de x0 en X / f (U) ⊂
(f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) = (f (x0 ) − ε, +∞) ∩ (−∞, f (x0 ) + ε).
• f es semicontinua inferiormente (sci) en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno
de x0 en X / f (U) ⊂ (f (x0 ) − ε, +∞).
• f es semicontinua superiormente en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno de
x0 en X / f (U) ⊂ (−∞, f (x0 ) + ε).

56 ´ ˜

El Teorema siguiente caracteriza la semicontinuidad inferior.

Teorema 4.1. ([3]) Sea f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞}.

• Si f es sci en x0 , entonces ∀ {xn } −→ x0 se tiene que f (x0 ) ≤
lim inf n→∞ f (xn ).

• Si (X, τ ) satisface en x0 el primer axioma de numerabilidad ( existe
una base numerable de entornos de x0 ) y ∀ {xn } −→ x0 se tiene que
f (x0 ) ≤ lim inf n→∞ f (xn ), entonces f es sci en x0 . Recordemos que
los espacios m´tricos verifican el primer axioma de numerabilidad.
e

• f es sci en X (es decir, en todo punto de X) si y s´lo si ∀λ ∈ R, el
o
conjunto {x ∈ X : f (x) ≤ λ} es cerrado en X.

Puede aplicarse el teorema anterior a la funciń
o
f : [0, 1] −→ R definida como
1
(1 + x2 )sen x=0
f (x) = x
a x=0
Entonces f es sci si y s´lo si a ≤ −1. En este caso f alcanza su m´
o ınimo en
[0, 1]. Otra cuestiń distinta es calcular el valor de este m´
o ınimo para a = −1
(se atrever´ el alumno con esto?).
ıa
Una propiedad muy util, cuando trabajamos con familias de funciones
´
que son sci, es la siguiente:
Proposiciń 4.2.
o
Sea (X, τ ) un espacio topol´gico y fi : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞} una familia
o
arbitraria de aplicaciones, con i ∈ I, tal que cada fi , i ∈ I es semicontinuas
inferiormente. Entonces la aplicacińo
f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞}
f (x) = supi∈I fi (x)
es semicontinua inferiormente.
Uno de los principales resultados de esta parte del curso viene dado por el
teorema siguiente:
Teorema 4.3.
Sea (X, τ ) un espacio topol´gico compacto y f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞},
o
semicontinua inferiormente y no idńticamente +∞. Entonces ∃ minX f
e
Las principales ideas de la demostraciń son las siguientes:
o
Sea λ = inf {f (x), x ∈ X} y {λn } −→ λ, estrictamente decreciente.

Definimos, para cada n ∈ N, el conjunto

(4.2) Xλn = {x ∈ X : f (x) ≤ λn }

´ ˜

Cada uno de estos conjuntos es:

• Distinto del conjunto vac´
ıo.
• Cerrado en X.

Tenemos as´ una sucesiń Xλ1 ⊃ Xλ2 ⊃ . . . ⊃ Xλn . . . sucesiń
ı o o
decreciente de cerrados no vac´ ıos. Como X es compacto se tiene que la
intersecciń de todos ellos es no vac´ Ahora bien, si x0 ∈ n∈N Xλn ⇒
o ıa.
f (x0 ) ≤ λn ∀n ∈ N ⇒ f (x0 ) ≤ λ ⇒ f (x0 ) = λ
El Teorema anterior tienen un enunciado sencillo, y su demostraciń es
o
elemental. No obstante, mostramos su potencia y aplicabilidad en un teo-
rema muy general de existencia de geod´sicas.
e
Sea (E, d) un espacio m´trico. Una curva continua en E, denotada por
e
Cf , viene dada por cualquier funciń f : [a, b] −→ E continua, de tal forma
o
que Cf = {f (x) : x ∈ [a, b]}. Si P : a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b es
una particiń cualquiera de [a, b], podemos definir
o
n
(4.3) VP Cf = d(f (ti ), f (ti−1 ))
i=1
Definimos la longitud de la curva Cf como

(4.4) L Cf = sup VP Cf
P ∈P[a,b]

N´tese que LCf puede ser +∞ (pińsese por ejemplo en la curva de Peano,
o e
que se puede ver en http://mathworld.wolfram.com/Plane-FillingFunction.html).
Si la curva Cf viene dada por una funciń lipschitziana f (∃K ≥ 0 :
o
d(f (x), f (y)) ≤ Kd(x, y)), entonces claramente Cf tiene longitud finita. En
general, el c´lculo de la longitud de una curva no es una tarea sencilla,
a
aunque la funciń f sea lipschitziana. Ahora bien, para el caso en que E
o
es un espacio normado y f es de clase C 1 , entonces tenemos el resultado
siguiente:

Si f : [a, b] −→ X, X espacio vectorial real normado y f ∈ C 1 ([a, b], X),
entonces
b
(4.5) L(Cf ) = f (t) dt
a
Mencionar finalmente, antes de enunciar el teorema, que una curva recti-
ficable es la que tiene longitud finita.
Teorema 4.4. ([6]) Sea (E, d) un espacio m´trico compacto y A, B dos
e
subconjuntos de E cerrados, disjuntos y no vac´ ıos. Supongamos que existe
alguna curva rectificable contenida en E, y que conecta A con B (es decir,
existe alguna aplicaciń continua f : [0, 1] → E, tal que f (0) ∈ A, f (1) ∈
o
B y tal que Cf tiene longitud finita. Entonces, de entre todas las curvas

58 ´ ˜

rectificables contenidas en E y que conectan A con B, hay alguna (llamada
geod´sica) con longitud m´
e ınima.

El Teorema anterior es de una gran generalidad. Por ejemplo, podemos
observar que este teorema sirve para el caso particular en el que A y B
sean conjuntos formados por un s´lo punto cada uno. En segundo lugar,
o
pensemos que podemos tomar como espacio m´trico v´lido para el teorema
e a
cualquier subconjunto compacto de R3 . Se asegurar´ as´ la existencia de
ıa ı
geod´sicas en este tipo de subconjuntos del espacio eucl´
e ıdeo que incluyen
como casos particulares a subconjuntos de cilindros, conos, esferas, etc. El
gran inconveniente que presenta el teorema es que no es constructivo: no
nos informa de c´mo calcular la geod´sica mencionada. Una segunda obser-
o e
vaciń es que si sustituimos la condiciń de compacidad por la de comple-
o o
titud, el teorema no es cierto. Por ejemplo, en R2 se puede tomar como A
una rama de hip´rbola, y como B cualquiera de los ejes cartesianos.
e
Principales ideas de la demostraciń.
o
Sea L la funciń longitud:
o
L : C([0, 1], E) −→ R ∪ {+∞}
(4.6)
f −→ L(f )

Dadas f, g ∈ C([0, 1], E), definimos su distancia como
(4.7) d(f, g) = max dE (f (t), g(t))
t∈[0,1]

Entonces tenemos que:
• En general, L no es continua (este hecho fue observado ya por Le-
besgue). Para ver esto, se sugiere la sucesiń de curvas Cn definidas
o
por
Cn = {(x, n−1 sen(nx)), 0 ≤ x ≤ π }
Puede probarse que la longitud de Cn es independiente de n. Obs´rvese
e
adem´s que Cn converge uniformemente a la curva
a
C = {(x, 0), 0 ≤ x ≤ π }
• L es semicontinua inferiormente.
Veamos m´s detalladamente esta ultima propiedad. Fijemos P ∈ P([0, 1])
a ´
una particiń de [0, 1] y consideremos la aplicaciń.
o o

LP : C([0, 1], E) −→ R
n
(4.8)
f −→ LP (f ) = d(f (ti ), f (ti−1 ))
i=1

Esta aplicaciń es continua. En particular, es semicontinua inferiormente.
o
Ahora L es semicontinua inferiormente por la proposiciń 4.2.
o
Consideremos ahora el subconjunto

´ ˜

(4.9) Z = {f ∈ X = C([0, 1], E) : f (0) ∈ A, f (1) ∈ B, L(f ) < +∞}
Lo que pretendemos es demostrar que L tiene m´
ınimo global en el conjunto
Z.
En primer lugar, por hip´tesis, Z es no vac´ Si Z fuese compacto (con
o ıo.
la distancia uniforme), en virtud del teorema 4.3 ya se tendr´ la existencia
ıa
del m´ınimo. Ahora bien, Z no es compacto, en general.
Hemos de encontrar un subconjunto Z de Z, que sea compacto y de
tal forma que los ´ınfimos de L en Z y Z coincidan. Para ello haremos
uso del teorema de Ascoli-Arzela, que nos caracteriza los compactos de
X = C([0, 1], E): Dado M ⊂ X , M es compacto ⇐⇒ M es equicontinuo
(pensemos que [0, 1] y E son espacios compactos). Por otra parte, recorde-
mos que M es equicontinuo si ∀ε > 0 ∃ δ(ε) ∈ R+ / ∀x, y ∈ [0, 1] con
|x − y| ≤ δ ⇒ d(f (x), f (y)) ≤ ε, ∀f ∈ M
Sea K0 = inf Z L, y tomemos K > K0 . Definimos
(4.10)
f (0) ∈ A, f (1) ∈ B
Z = f : [0, 1] −→ E, continua
f lipschitziana con constante de Lipschitz ≤ K
Tambiń haremos uso del siguiente lema fundamental (váse [6]):
e e

Sea f ∈ X : L(f ) < +∞. Entonces ∀K > L(f ) existe un homeomorfismo
creciente α : [0, 1] −→ [0, 1] tal que

• La aplicaciń f ◦ α : [0, 1] −→ E es lipschitziana
o
con constante de Lipschitz K.
• L(f ◦ α) = L(f )

Haciendo uso de este lema, tenemos que el conjunto Z que hemos definido,
es distinto del vac´ y adem´s inf Z L = inf Z L = K0 . Por ultimo, como Z
ıo, a ´
es cerrado y equicontinuo, se tiene que Z es compacto, con lo que finalizar´
ıa
la demostraciń.
o
Hemos visto en el teorema 4.3 que las condiciones de compacidad y de se-
micontinuidad inferior implican la existencia de m´ınimo. La pregunta que
nos planteamos a continuaciń es sobre la (posible) unicidad de los puntos
o
donde el m´ınimo se alcanza, y sobre la aproximaciń de dicho m´
o ınimo.
Recordemos previamente dos definiciones:
Definiciń 4.5.
o
• Un subconjunto X de un espacio vectorial se dice convexo si ∀x1 , x2 ∈
X se verifica que [x1 , x2 ] = {tx1 + (1 − t)x2 : t ∈ [0, 1]} ⊂ X.

60 ´ ˜

• Una aplicaciń f : X −→ R, donde X es un subconjunto convexo
o
de un espacio vectorial, se dice estrictamente convexa si verifica que
f (tx1 +(1−t)x2 ) < tf (x1 )+(1−t)f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, ∀t ∈ (0, 1).

Teorema 4.6. Sea X un subconjunto convexo de un espacio normado (E, · )
y sea f : X −→ R estrictamente convexa. Entonces existe a lo sumo un
punto de X donde f alcanza su ´
ınfimo.
Teorema 4.7.
Sea f : H −→ R con H espacio de Hilbert real separable (admite un
conjunto denso numerable) verificando:
• f continua
• f coerciva ( lim u →+∞ f (u) = +∞ )
• f es d´bilmente inferiormente semicontinua.
e
( si un u ⇒ f (u) ≤ lim inf n→∞ f (un ) )
Entonces existe minH f .
Adem´s, si {e1 , . . . en , . . .} es una base ortonormal de H, y llamamos
a
Hn = e1 , . . . , en se verifica:
• ∃ minHn f
• Si xn ∈ Hn : f (xn ) = minHn f, entonces f (xn ) −→ minH f

´ ˜

´
5. Apendice: funciones generalizadas y espacios de Sobolev
La teor´ de funciones generalizadas (o distribuciones), vino motivada
ıa
por los trabajos de diversos investigadores, entre ellos Dirac y Heaviside, en
Mecńica Cuńtica y Electromagnetismo, que manejaron con profusiń las
a a o
llamadas hoy en d´ funciń δ de Dirac y funciń de Heaviside. Al estudiar
ıa o o
diversas leyes de la f´
ısica, expresadas por ecuaciones en derivadas parciales,
trabajaron con funciones que no eran derivables, pero que s´ eran soluciones,
ı
en un cierto sentido, de las ecuaciones consideradas. Por ejemplo, se daba
por cierto que, de alguna forma, la “funciń” δ era la derivada de la funciń
o o
de Heaviside θ(x), que es igual a 1 para x ≥ 0 y 0 para x < 0.

Tales investigaciones crearon la necesidad de rigorizar los desarrollos for-
males que en ellas aparec´ ıan. Surge as´ una doble posibilidad: o bien se
ı
expresan las leyes de la f´
ısica de una manera m´s general donde aparezcan
a
identidades integrales en lugar de diferenciales, o bien se generaliza el con-
cepto de derivada, amplińdolo para que se pueda aplicar a funciones que
a
no son derivables en el sentido cl´sico. Como los cient´
a ıficos prefieren, en
general, conservar la expresiń diferencial en lugar de la integral, se impuso
o
el segundo punto de vista, motivando as´ la generalizaciń de la nociń de
ı o o
derivada cl´sica.
a

La fundamentaciń matem´tica de la teor´ de funciones generalizadas fue
o a ıa
hecha, de manera independiente, por Sobolev y Schwartz. Esto proporcion´ o
no s´lo rigor matem´tico para una serie de m´todos que llevaban tiempo
o a e
usńdose en f´
a ısica, sino tambiń una herramienta util y potente para la teor´
e ´ ıa
de ecuaciones diferenciales y de transformada de Fourier. Posteriormente,
ha habido un gran desarrollo de este tema, debido fundamentalmente a los
problemas planteados en f´ ısica matem´tica y ecuaciones diferenciales, siendo
a
muchos los matem´ticos de prestigio que tienen importantes contribuciones
a
en este campo.

En la actualidad, la teor´ de funciones generalizadas ha llegado a ser una
ıa
herramienta esencial para los matem´ticos, f´
a ısicos e ingenieros, aplicńdose
a
no s´lo a ecuaciones diferenciales sino tambiń a numerosas disciplinas, como
o e
teor´ de representaciń de grupos localmente compactos, teor´ de la pro-
ıa o ıa
babilidad, homolog´ en variedades, etc.
ıa

Este apńdice comienza con la exposiciń de algunos de los principales
e o
hechos de la teor´ de funciones generalizadas, en orden a su aplicaciń a
ıa o
problemas de contorno planteados para ecuaciones en derivadas parciales.

La segunda parte la dedicamos a los espacios de Sobolev. Los espacios
de funciones regulares cl´sicos, esto es, los espacios C m (Ω), C m (Ω), etc.,
a

62 ´ ˜

donde Ω es un dominio de Rn , no son adecuados para el estudio de mu-
chos problemas de contorno. En este sentido, los espacios de Sobolev,
introducidos por ´ste en los aõs treinta, proporcionan un marco adecuado
e n
para el tratamiento de tales problemas, por dos motivos fundamentales: en
primer lugar, porque en su definiciń entra en juego la nociń de deri-
o o
vada d´bil, concepto m´s restringido que el de derivada distribucional,
e a
definida con anterioridad, pero suficientemente amplio como para permi-
tir el estudio de numerosos e interesantes problemas; en segundo lugar, las
propiedades anal´ ıtico-topol´gicas satisfechas por los espacios de Sobolev,
o
permiten el uso de muchas tćnicas de An´lisis Funcional, que facilitan
e a
enormemente el estudio de los problemas planteados y arrojan luz sobre
muchos aspectos que, aunque important´ ısimos, son un caso particular de
resultados establecidos en un marco general.

La introducciń de los espacios de Sobolev puede hacerse desde diferentes
o
puntos de vista: usando la nociń de derivada distribucional; como la com-
o
pletaciń, con normas adecuadas, de algunos espacios cl´sicos de funciones;
o a
mediante la transformada de Fourier, etc. Yo he preferido el primer punto
de vista.

Numerosas generalizaciones existen en la actualidad de los espacios de
Sobolev, muy utiles para el estudio de diferentes problemas en e.d.o. y
´
en e.d.p.: los espacios de Orlicz-Sobolev, los espacios de Sobolev con peso,
etc. No obstante, un alumno que entienda los hechos fundamentales que aqu´ ı
exponemos, estar´ en buena disposiciń para, en caso necesario, profundizar
a o
en el conocimiento y uso de los espacios de funciones mencionados. La
bibliograf´ recomendada es: [1], [4] y [19].
ıa

En lo que sigue, D = D(Rn ), denotar´ al conjunto de las funciones
a
test: funciones complejas, definidas en Rn , de clase C ∞ (Rn ) y con soporte
compacto.

Si K ⊂ Rn , es compacto, D(K) denotar´ al subconjunto de funciones de
a
D, cuyo soporte est´ incluido en K.
a
En D(K) se puede considerar la sucesiń de seminormas
o
pm (φ) = sup x ∈ K, |α| ≤ m |Dα φ(x)|, m ∈ N,
donde usamos la notaciń de multi´
o ındices.
D(K), con la topolog´ derivada de la anterior sucesiń de seminormas, es
ıa o
un espacio localmente convexo metrizable.

Sea ahora {Kj } una sucesiń de compactos tal que
o
Kj ⊂ Kj+1 , ∀ j ∈ N,
(5.1)
Rn = ∪j∈N Kj .

´ ˜

Es claro que la aplicaciń inclusiń ij : D(Kj ) → D(Kj+1 ), es continua y
o o
que
D = ∪j∈N D(Kj ),
con lo que se puede considerar en D la topolog´ l´ıa ımite inductivo de los
espacios D(Kj ). Esta topolog´ no depende de la sucesiń particular de
ıa o
compactos tomada satisfaciendo (5.1).

La convergencia en D, derivada de la anterior topolog´ se expresa de la
ıa,
forma siguiente: si {φk } es una sucesiń de elementos de D y φ ∈ D, se tiene
o
φk → φ si y solamente si, existe algń compacto K tal que se cumplen las
u
dos condiciones siguientes:
i) sop φk ⊂ K, ∀ k ∈ N,
ii) Para cualquier multi´ındice α, se tiene Dα φk → Dα φ, uniformemente en
K.

Definiciń 5.1. Una funciń generalizada (o distribuciń) (en el sen-
o o o
tido de Sobolev-Schwartz), es un funcional lineal y continuo de D en C.

Al espacio vectorial complejo de funciones generalizadas, lo notaremos
por D . Si f ∈ D y φ ∈ D, escribiremos (f, φ) en lugar de f (φ).

En D consideraremos la topolog´ σ(D , D), que es la topolog´ local-
ıa ıa
mente convexa generada por la familia de seminormas {pφ , φ ∈ D}, donde
pφ : D → R, pφ (f ) = |(f, φ)|, ∀ f ∈ D .
De esta topolog´ deriva la siguiente convergencia: si {fk } es una sucesiń de
ıa o
elementos de D y f ∈ D , entonces fk → f, si y solamente si, para cualquier
φ ∈ D se tiene (fk , φ) → (f, φ).

Ejemplos de funciones generalizadas.
1) El ejemplo m´s simple de funciń generalizada lo constituye la generada
a o
por una funciń localmente integrable, de la manera siguiente: si f : Rn → C
o
es una funciń localmente integrable, definimos la distribuciń (a la que
o o
notamos tambiń por f )
e

(5.2) (f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ D.

Las funciones generalizadas que se definen de la manera anterior, a partir
de funciones localmente integrables, se llamarń regulares. En otro caso,
a
diremos que son singulares.
Cada funciń localmente integrable, define, de acuerdo con (5.2), una funciń
o o
generalizada. Se sigue del lema de Du Bois Reymond que cada funciń ge-
o
neralizada regular est´ definida a partir de una unica funciń localmente
a ´ o
integrable. As´ pues, existe una correspondencia biyectiva entre las funcio-
ı
nes generalizadas regulares y las funciones localmente integrables, lo que

64 ´ ˜

lleva a identificarlas, hablńdose de propiedades de tal funciń localmente
a o
integrable (como por ejemplo la diferenciabilidad), cuando en realidad lo
son de la funciń generalizada regular asociada.
o

Las funciones localmente integrables suelen describir las distribuciones
(o densidades) de masas, cargas, fuerzas, etc. De ah´ que a las funciones
ı
generalizadas (Sobolev) se les llame tambiń distribuciones (Schwarz).
e

2) El ejemplo m´s simple de funciń generalizada singular lo constituye
a o
la funciń δ de Dirac:
o
(δ, φ) = φ(0), ∀ φ ∈ D.

A pesar de que las funciones generalizadas son funcionales lineales y conti-
nuos de D en C, y que no tiene sentido, rigurosamente hablando, la expresiń o
f (x), para f ∈ D y x ∈ R n , es posible definir una nociń sumamente util,
o ´
la de soporte de una distribuciń. Esto lo hacemos a continuaciń.
o o

Si Ω es un dominio de Rn , D(Ω) es el subconjunto de D formado por
aquellas funciones test cuyo soporte est´ contenido en Ω.
a
Si f ∈ D y Ω es un dominio de Rn , se dice que f es cero en Ω si (f, φ) =
0, ∀ φ ∈ D(Ω). En este caso escribiremos f (x) = 0, ∀x ∈ Ω. Como una
consecuencia l´gica, si f1 , f2 ∈ D , diremos que f1 = f2 en Ω si f1 − f2 = 0
o
en Ω.
- Si f ∈ D , f ∈ C p (Ω) significa que existe alguna funciń f0 ∈ C p (Ω) tal
o
que
(f, φ) = f0 (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ D(Ω).

Definiciń 5.2. Si f ∈ D , el conjunto de todos aquellos puntos de Rn tales
o
que f no es nula en ningń entorno de tales puntos, es el soporte de f, que
u
se denotar´ por sop f.
a
Se deduce de la definiciń anterior que
o
(f, φ) = 0, ∀ f ∈ D , ∀ φ ∈ D, t.q. sop f ∩ sop φ = ∅.

Hablemos a continuaciń de la derivaciń de funciones generalizadas. Para
o o
ello, pensemos que si f ∈ C p (Rn ) y φ ∈ D, entonces para cada multi´ ındice
α, con |α| ≤ p, la f´rmula de integraciń por partes proporciona
o o

(Dα f, φ) = (Dα f (x))φ(x) dx =

= (−1)|α| f (x)(Dα φ(x)) dx = (−1)|α| (f, Dα φ).

La anterior relaciń puede aprovecharse para definir la derivada, de cualquier
o
orden, de cualquier funciń generalizada.
o

´ ˜

Definiciń 5.3. Si f ∈ D y α es un multi´
o ındice cualquiera, se define
Dα f ∈ D , como
(Dα f, φ) = (−1)|α| (f, Dα φ), ∀ φ ∈ D.

Si notamos por {Dα f (x)} a la derivada cl´sica de la funciń f, cuando
a o
exista, entonces si f ∈ D , satisface f ∈ C p (Ω), se cumple que
Dα f (x) = {Dα f (x)}, ∀ x ∈ Ω, |α| ≤ p.

Las principales propiedades de la derivaciń de funciones generalizadas
o
estń en el siguiente teorema.
a

Teorema 5.4. Se cumplen:
1) Cualquier funciń generalizada admite derivadas de cualquier orden. En
o
particular, la funciń generalizada definida a trav´s de una funciń local-
o e o
mente integrable, admite derivadas de todos los ´rdenes (de ah´ que se diga
o ı
que, en el sentido de las distribuciones, cualquier funciń localmente inte-
o
grable puede derivarse indefinidamente).
Adem´s, para cualquier f ∈ D y cualquier par de multi´
a ındices α, β, se tiene
Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ).
2) Si f ∈ D y a ∈ C ∞ (Rn ), entonces la funciń generalizada af se define
o
como
(af, φ) = (f, aφ), ∀ φ ∈ D.
Pues bien, la f´rmula de Leibniz para la derivaciń del producto af es v´lida.
o o a
As´ por ejemplo
ı,
∂(af ) ∂a ∂f
= f +a .
∂x1 ∂x1 ∂x1
3) Para cada f ∈ D y cada multi´ ındice α, se tiene sop Dα f ⊂ sop f.
4) Si fk → f, en D , entonces Dα fk → Dα f, en D , para cualquier multi´ındice
α.

Usando las anteriores propiedades, se tienen los siguientes ejemplos sig-
nificativos, relacionados con la derivaciń de funciones generalizadas.
o

1) Si f ∈ D (R) es tal que f ∈ C 1 (−∞, x0 ] y f ∈ C 1 [x0 , +∞), entonces
f = {f (x)} + [f ]x0 δ(x − x0 ),
donde
[f ]x0 = f (x0 +) − f (x0 −)
y
(δ(x − x0 ), φ) = (δ, φ(x + x0 )), ∀ φ ∈ D.

66 ´ ˜

Como caso particular, obtenemos
θ (x) = δ(x),
donde θ es la funciń de Heaviside:
o
1, x ≥ 0,
θ(x) =
0, x < 0.
M´s generalmente, si f : R → R, es tal que f y f son continuas, excepto en
a
un conjunto finito de puntos x1 < x2 < ... < xk , donde f tiene una discon-
tinuidad de salto hj , 1 ≤ j ≤ k, y f es localmente integrable, entonces, en
el sentido de las funciones generalizadas, se obtiene
k
f = {f (x)} + hj δ(x − xj ),
j=1

2) Si
∞
1
f (x) = cos nx,
n2
n=1
entonces, en el sentido de las funciones generalizadas, se tiene
∞
1
f (x) = − sen nx,
n
n=1
∞
f (x) = − cos nx,
n=1
.......

3) La soluciń general de la ecuaciń
o o
xm u = 0
en D (R), est´ dada por la f´rmula
a o
m−1
u= ck δ (k) (x)
k=0
donde ck , 0 ≤ k ≤ m − 1, son constantes arbitrarias.

4) La soluciń general de la ecuaciń diferencial ordinaria
o o
u(m) = 0
en D (R), es un polinomio arbitrario de grado m − 1.
d 1
5) ln |x| = P ( ), donde
dx x
− +∞
1 φ(x)
(P ( ), φ) = lim + dx, ∀ φ ∈ D.
x →0+ −∞ x

´ ˜

6) Para n = 2,
∆ ln |x| = 2πδ(x).

7) Si n ≥ 3, entonces
1
∆ = −(n − 2)σn δ(x),
|x|n−2
donde σn es el ´rea de la superficie dada por la esfera unidad en Rn .
a

8) Cuando n = 3, las funciones
eik|x| e−ik|x|
E(x) = − , E(x) = − ,
4π|x| 4π|x|
satisfacen la ecuaciń
o
∆E + k 2 E = δ(x).

9) Si
θ(t) |x|2
E1 (x, t) = exp − 2 ,
(2a(πt)1/2 )n 4a t
entonces
∂E1
− a2 ∆E1 = δ(x, t).
∂t
10) Si
1
E2 (x, t) = θ(at − |x|),
2a
entonces
La E1 = δ(x, t),
∂2
donde La es el operador de ondas, La = 2 − a2 ∆.
∂t
Nos ocupamos a continuaciń de la nociń de producto directo de fun-
o o
ciones generalizadas.

Si f (x) y g(y) son funciones localmente integrables en Rn y Rm , respecti-
vamente, la funciń f (x)g(y) es tambiń localmente integrable en Rn+m . Por
o e
tanto, define una funciń generalizada regular perteneciente a D (Rn+m ),
o
mediante la f´rmula
o
(f (x)g(y), φ) = f (x)g(y)φ(x, y) dy dx =
= (f (x), (g(y), φ(x, y))).
para cualquier φ ∈ D(Rn+m ).La f´rmula anterior puede aprovecharse para
o
definir el producto directo de dos funciones generalizadas de la forma si-
guiente:

68 ´ ˜

Definiciń 5.5. Si f (x) ∈ D (Rn ) y g(y) ∈ D (Rm ), se define el producto
o
directo de f y g, f (x).g(y) ∈ D (Rn+m ), como
(f (x).g(y), φ) = (f (x), (g(y), φ(x, y))), ∀ φ ∈ D(Rn+m ).

Las propiedades del producto directo quedan reflejadas en el siguiente
teorema.

Teorema 5.6. 1) Conmutatividad: Si f (x) ∈ D (Rn ) y g(y) ∈ D (Rm ),
entonces
f (x).g(y) = g(y).f (x)
2) Continuidad: Si fk → f, en D (Rn ), entonces
fk (x).g(y) → f (x).g(y),
en D (Rn+m ).
3) Asociatividad: Si f ∈ D (Rn ), g ∈ D (Rm ), h ∈ D (Rk ), entonces
f (x).(g(y).h(z)) = (f (x).g(y)).h(z)
4) Derivaciń del producto directo:
o
Dx (f (x).g(y)) = Dα f (x).g(y)
α

5) Multiplicaciń por funciones regulares: Si a ∈ C ∞ (Rn ), entonces
o
a(x)(f (x).g(y)) = (a(x)f (x)).g(y).
6) Traslaciń de la variable independiente:
o
(f.g)(x + h, y) = f (x + h).g(y)

Tratamos seguidamente la nociń y principales propiedades de la convo-
o
luciń de funciones generalizadas. Como hemos hecho previamente en
o
m´s de una ocasiń, partimos del caso de funciones generalizadas regulares,
a o
para posteriormente considerar la situaciń general.
o

Sean f y g funciones localmente integrables definidas en Rn , tal que la
funciń
o
h(x) = |g(y)f (x − y)| dy,
es tambiń localmente integrable en Rn . En este caso, a la funciń
e o

(f ∗ g)(x) = f (y)g(x − y) dy =
(5.3)
= g(y)f (x − y) dy = (g ∗ f )(x),

se le llama convoluciń de f por g.
o

Algunas condiciones suficientes para que la funciń h anterior, sea local-
o
mente integrable en Rn , son:

´ ˜

1) Una de las funciones f o g tiene soporte compacto.
2) Si n = 1, las funciones f y g son nulas cuando x < 0.
3) Las funciones f y g son integrables en Rn . Adem´s, en este caso, la
a
convoluciń de f por g, es tambiń integrable en Rn .
o e

Como la funciń (5.3) es localmente integrable en Rn , define una funciń
o o
generalizada regular, de la forma usual. Utilizando el Teorema de Fubini,
puede probarse:

(5.4) (f ∗ g, φ) = f (x)g(y)φ(x + y) dx dy, ∀ φ ∈ D.

Usando sucesiones que en D converjan a 1, nociń que vamos a definir
o
inmediatamente, se puede expresar la convoluciń de una forma m´s conve-
o a
niente. En efecto, diremos que la sucesiń {ηk }, de elementos de D, converge
o
a 1 en Rn , si para cualquier compacto K ⊂ Rn , existe un natural n0 , tal que
ηk (x) = 1, ∀ k ≥ n0 , ∀ x ∈ K, y para cualquier multi´ ındice α, existe una
α η (x)| < c , ∀ x ∈ Rn , ∀ k ∈ N.
constante cα , tal que |D k α
Es fćil probar que siempre existen sucesiones del tipo anterior. Adem´s,
a a
si {ηk }, es cualquier sucesiń convergente a 1 en R2n , entonces la expresiń
o o
(5.4) se puede escribir de la forma
(f ∗ g, φ) = lim (f (x)g(y), ηk (x; y)φ(x + y)),
(5.5) k→∞
∀ φ ∈ D.
Ahora, pueden aprovecharse las expresiones (5.4) y (5.5), para dar la si-
guiente definiciń, as´ como para el teorema que enunciamos a continuaciń:
o ı o

Definiciń 5.7. Sean f, g ∈ D , teniendo g soporte compacto. Se define la
o
convoluciń de f por g, f ∗ g ∈ D , como
o
(f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), φ(x + y)), ∀ φ ∈ D.

Teorema 5.8. En las condiciones de la definiciń anterior, se tiene
o
(f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), η(y)φ(x + y)), ∀ φ ∈ D,
donde η es cualquier elemento de D, que sea igual a 1, en un entorno del
soporte de g.

Nota. La convoluciń puede definirse en situaciones m´s generales que
o a
las contempladas en la definiciń (5.7). Por ejemplo, sean f, g ∈ D , tales
o
que cumplen lo siguiente: para cualquier sucesiń {ηk }, de elementos de
o
D(R2n ), convergente a 1 en R2n , se tiene la existencia del l´
ımite
lim (f (x).g(y), ηk (x; y)φ(x + y))
k→∞

70 ´ ˜

y este l´
ımite es independiente de la sucesiń {ηk } considerada. En este caso,
o
al funcional (lineal)
(f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), φ(x + y)) =
= lim (f (x).g(y), ηk (x; y)φ(x + y)),
k→∞
∀ φ ∈ D,
se le llama convoluciń de f por g, si dicho funcional es continuo en D.
o
Es fćil probar que si la convoluciń f ∗g existe, tambiń existe la convoluciń
a o e o
g∗f y
f ∗ g = g ∗ f.
Adem´s, de la continuidad del producto directo, respecto de f y g, se sigue
a
la continuidad de la convoluciń f ∗ g, respecto de f y g.
o

En particular, se tiene la siguiente f´rmula, de gran inter´s en la resoluciń
o e o
de problemas no homogńeos:
e
f ∗ δ = δ ∗ f = f, ∀ f ∈ D .

La relaciń entre la convoluciń y diferenciaciń de funciones generaliza-
o o o
das, es la siguiente:

Teorema 5.9. Si la convoluciń f ∗g existe, entonces, para cualquier multi´
o ındice
α, existen las convoluciones Dα f ∗ g, f ∗ Dα g y
Dα f ∗ g = Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα g.

Una de las utilidades del producto de convoluciń es la “regularizaciń de
o o
funciones generalizadas”, que precisamos a continuaciń.
o

Sea f ∈ D y φ ∈ D. Como φ tiene soporte compacto, la convoluciń f ∗ φ
o
existe y adem´s,
a
f ∗ φ = (f (y), φ(x − y)) ∈ C ∞ (Rn ).
Tomemos ahora las funciones test siguientes: para cada ∈ R+ , def´
ınase
 2

c exp − 2 , |x| < ,
ω (x) = − |x|2

0, |x| ≥ ,
donde la constante c se elige para que

ω (x) dx = 1.

A las funciones
(5.6) f (x) = f ∗ ω

´ ˜

se les llama “regularizantes” de la funciń generalizada f. El nombre se
o
justifica en base a que son funciones pertenecientes a C ∞ (Rn ) y al siguiente
resultado:

Teorema 5.10. Sea f ∈ D y para cada ∈ R+ , f , definida en (5.6).
Entonces
lim f (x) = f (x), en D .
→0+

Usando el resultado anterior, puede probarse que D es denso en D , en el
sentido de que cada funciń generalizada f ∈ D , es l´
o ımite d´bil de funciones
e
test. En efecto, sea f ∈ D y f los regularizantes de f. Si tomamos, para
∈ R+ , η (x), una funciń test que sea igual a 1 en la esfera de centro 0 y
o
1
radio , entonces se puede demostrar que

lim (η f , φ) = (f, φ), ∀ φ ∈ D.
→0+

Uno de los m´todos m´s efectivos que existen para demostrar la existencia
e a
de soluciones de problemas muy diversos que se plantean en ecuaciones en
´
derivadas parciales, es el m´todo de las transformadas. Estas, al relacionar
e
de manera directa la derivaciń y la multiplicaciń (vánse las propiedades
o o e
2) y 3) de los Teoremas 5.14 y 5.16, reducen muchos problemas de e.d.p.
lineales con coeficientes constantes, a problemas algebraicos o bien a proble-
mas de e.d.o. con par´metros.
a
Seguidamente describimos la nociń de transformada de Fourier de fun-
o
ciones generalizadas de crecimiento lento, especialmente apropiadas
para el uso de dicha transformada, por las propiedades que se verń poste-
a
riormente.

Definiciń 5.11. Una funciń φ ∈ C ∞ (Rn ), se dice r´pidamente decre-
o o a
ciente en infinito, si
lim |xα Dβ φ(x)| = 0,
|x|→+∞

para cualquier par de multi´
ındices α, β.

El subconjunto de C ∞ (Rn ), formado por aquellas funciones r´pidamente
a
decrecientes en infinito, es un espacio vectorial complejo al que denotamos
por S(Rn ) o simplemente por S.

Si α, β, son multi´
ındices cualesquiera, podemos considerar, en S, las se-
minormas
pα,β φ = sup x∈Rn |xα Dβ φ(x)|.

72 ´ ˜

Tenemos as´ una familia numerable de seminormas en S, que define una
ı
topolog´ localmente convexa metrizable.
ıa
La convergencia en S, derivada de la topolog´ anterior, puede expresarse
ıa
de la forma siguiente: si {φk } es una sucesiń de elementos de S y φ ∈ S,
o
entonces φk → φ, si y solamente si, para cualquier par de multi´
ındices α, β,
se tiene
xα Dβ φk (x) → xα Dβ φ(x),
de manera uniforme en Rn .

Es claro que D ⊂ S, de manera continua. Adem´s, puede mostrarse
a
fćilmente que la anterior inclusiń es estricta (la funciń exp (−|x|2 ) per-
a o o
tenece a S pero no a D). No obstante, D es denso en S.

Definiciń 5.12. Una funciń generalizada de crecimiento lento es
o o
un funcional lineal y continuo de S en C.
Al espacio vectorial complejo de funciones generalizadas de crecimiento
lento lo notamos por S . En S , consideraremos la topolog´ d´bil σ(S , S), de
ıa e
la que deriva la convergencia siguiente: si {fk } es una sucesiń de elementos
o
de S y f ∈ S , entonces fk → f si y solamente si
(fk , φ) → (f, φ), ∀ φ ∈ S.
De lo anterior se sigue que S ⊂ D , de manera continua.

Ejemplos de funciones generalizadas de crecimiento lento.
a) Si f es una funciń localmente integrable en Rn , tal que, para algń
o u
m ≥ 0, se tiene que

(5.7) |f (x)|(1 + |x|)−m dx < +∞

entonces f define un elemento de S , de la manera usual, es decir,

(5.8) (f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ S.

A tales elementos de S , se les llama funciones generalizadas regula-
res de crecimiento lento. Sin embargo, conviene recalcar que no toda
funciń localmente integrable define, a trav´s de (5.8), un elemento de S
o e
(por ejemplo f (x) = ex , en R). Tambiń, no toda funciń localmente inte-
e o
grable perteneciente a S , satisface (5.7).
Es posible (pero no elemental), probar que cualquier elemento de S es una
derivada (distribucional) de una funciń continua satisfaciendo (5.7). Esta
o
es la razń por la que a los elementos de S se les llama funciones generali-
o
zadas de crecimiento lento.

b) Si f ∈ S , entonces Dα f ∈ S , para cada multi´
ındice α.

´ ˜

c) Cada funciń f ∈ Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ +∞, define una funciń generali-
o o
zada de crecimiento lento a trav´s de la f´rmula usual
e o
(f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ S.

Tambiń, de la misma manera, cualquier polinomio con coeficientes cons-
e
tantes, define un elemento de S .

El producto directo y el producto de convoluciń de los elementos de S , se
o
define de manera an´loga al caso de D . De hecho, si f ∈ S (Rn ), g ∈ S (Rm ),
a
entonces, puesto que S ⊂ D , se tiene que f (x).g(y) ∈ D (Rn+m ), y puede
demostrarse que f (x).g(y) ∈ S (Rn+m ).
El producto directo de funciones generalizadas de crecimiento lento es con-
mutativo, asociativo y continuo en S (Rn+m ), con respecto de f o g. Por
ejemplo, esto significa que si fk → f en S (Rn ), entonces fk (x).g(y) →
f (x).g(y), en S (Rn+m ).

Si f ∈ S y g ∈ D , con soporte compacto, entonces f ∗ g ∈ S y se puede
escribir de la forma
(f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), η(y)φ(x + y)), ∀ φ ∈ S,
soporte de g.

Dedicamos la parte que sigue de este apńdice al tema de la transformada
e
de Fourier. Comenzamos con dicho concepto en el espacio S.

Definiciń 5.13. Si φ ∈ S, se define su transformada de Fourier, F (φ),
o
como la funciń
o
F (φ)(ξ) = φ(x)ei<ξ,x> dx,
donde < ξ, x > es el producto escalar usual en Rn .

Las principales propiedades se ponen de manifiesto en el Teorema si-
guiente:

Teorema 5.14. Se cumplen:
1) Para cada φ ∈ S, su transformada de Fourier, F (φ), es una funciń o
acotada y continua.
2) Dα F (φ)(ξ) = F ((ix)α φ)(ξ), para cada multi´
ındice α y cada φ ∈ S.
3) F (Dα φ)(ξ) = (−iξ)α F (φ)(ξ), para cada multi´ındice α y cada φ ∈ S.
4) F (φ) ∈ S, ∀ φ ∈ S.
5) F : S → S, es biyectiva y continua. Adem´s, para cada φ ∈ S, se cumple
a
φ = F −1 (F (φ)) = F (F −1 (φ)),

74 ´ ˜

donde, para cada ψ ∈ S,
1 1
F −1 (ψ)(x) = ψ(ξ)e−i<ξ,x> dξ = F (ψ)(−x).
(2π)n (2π)n

Sea ahora f ∈ L1 (Rn ). Su transformada de Fourier, F (f ), es una funciń
o
acotada y continua en Rn y por tanto define un elemento de S , a trav´s de
e
la f´rmula
o
(F (f ), φ) = F (f )(ξ)φ(ξ) dξ, ∀ φ ∈ S.
Mediante el Teorema de Fubini, se prueba que
(F (f ), φ) = (f, F (φ)),
que puede usarse para dar la definiciń de transformada de Fourier de un
o
elemento de S .

Definiciń 5.15. Si f ∈ S , se define F (f ) ∈ S , como
o
(F (f ), φ) = (f, F (φ)), ∀ φ ∈ S.

Enunciamos el Teorema siguiente, sobre las propiedades m´s importantes
a
de F.

Teorema 5.16. 1) F : S → S es biyectiva y continua. Adem´s,
a
1
F −1 (f ) = F (f (−x)), ∀ f ∈ S .
(2π)n
2) Si f ∈ S , entonces
Dα F (f ) = F ((ix)α f ),
para cada multi´
ındice α.
3)
F (Dα f ) = (−iξ)α F (f ),
para cada f ∈ S y cada multi´ ındice α.
4)
F (f (x − x0 )) = exp (i < ξ, x0 >)F (f ),
para cada f ∈ S y x0 ∈ Rn .
5) Si f ∈ S y ξ0 ∈ Rn , entonces
F (f )(ξ + ξ0 ) = F (ei<ξ0 ,x> f )(ξ).
6) Si f ∈ S (Rn ) y g ∈ S (Rm ), entonces
F (f (x).g(y)) = F (f )(ξ).F (g)(η).
7) Si f ∈ D tiene soporte compacto, entonces su transformada de Fourier
se puede expresar de la forma
F (f )(ξ) = (f (x), η(x)ei<ξ,x> ),

´ ˜

soporte de f.
8) Si f ∈ S y g ∈ D tiene soporte compacto, entonces
F (f ∗ g) = F (f )F (g).

Seguidamente, consideramos los espacios de Sobolev. En lo que sigue,
Ω denotar´ un subconjunto abierto de Rn y las funciones que aparezcan se
a
considerarń con valores reales.
a

Comenzamos con la definiciń del espacio de Sobolev W m,p (Ω), que es el
o
conjunto de funciones de L p (Ω) tales que todas las derivadas, en el sentido

distribucional, hasta el orden m, pertenecen tambiń a Lp (Ω).
e

Definiciń 5.17. Sean m ∈ N ∪ {0} y p tal que 1 ≤ p ≤ ∞. El espacio de
o
Sobolev W m,p (Ω) se define como
W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀ α / |α| ≤ m},
donde Dα u se entiende en el sentido distribucional, es decir,

u(Dα φ) = (−1)|α| (Dα u)φ, ∀ φ ∈ C0 (Ω),
∞
Ω Ω
∞
(C0 (Ω) denota al subconjunto de funciones de C ∞ (Ω) con soporte com-
pacto).

Claramente W m,p (Ω) es un subespacio vectorial de Lp (Ω).
En W m,p (Ω) consideraremos la norma

(5.9) u m,p,Ω = Dα u Lp (Ω) ,
|α|≤m

o, cuando 1 ≤ p < ∞, la norma equivalente (a la que notamos igual)
 1/p
p
(5.10) u m,p,Ω = Dα u Lp (Ω)
 .
|α|≤m

A veces se usar´ la seminorma
a
|u|m,p,Ω = Dα u Lp (Ω) .
|α|=m

Un caso especialmente significativo es cuando p = 2. Denotaremos por
H m (Ω) al espacio W m,2 (Ω) y por . m,Ω la correspondiente norma . m,2,Ω .

76 ´ ˜

´
Esta deriva del producto escalar

(5.11) (u, v)m,Ω = Dα uDα v, ∀ u, v ∈ H m (Ω).
|α|≤m Ω

Las propiedades algebraico-topol´gicas de los espacios definidos, las enun-
o
ciamos en el siguiente Teorema.

Teorema 5.18. El espacio W m,p (Ω) es un espacio de Banach real, con la
norma (5.9) (o (5.10)). Si 1 < p < ∞, es adem´s reflexivo y si 1 ≤ p < ∞,
a
separable. Tambiń, H m (Ω), con el producto escalar (5.11), es un espacio
e
de Hilbert separable.

Introducimos a continuaciń un subespacio importante de W m,p (Ω).
o

m,p
Definiciń 5.19. W0 (Ω) denotar´ la clausura de C0 (Ω) en W m,p (Ω).
o a ∞

m,p
En general, W0 (Ω) es un subespacio (cerrado) estricto de W m,p (Ω),
salvo cuando Ω = Rn , en cuyo caso, ambos espacios coinciden. Adem´s, a
m,p
si 1 ≤ p < ∞, W0 (Ω) es un espacio de Banach separable, con la norma
m,2
(5.9) (o (5.10)), reflexivo si 1 < p < ∞. Tambiń, W0 (Ω), con el pro-
e
ducto escalar (5.11) es un espacio de Hilbert separable, al que notaremos
m
por H0 (Ω).

Cuando n = 1 y Ω = (a, b), un intervalo acotado, se tienen caracteri-
zaciones muy utiles de los espacios anteriormente definidos, que ayudan a
´
entender la naturaleza de sus elementos. Por ejemplo, para los espacios de
Hilbert H m (a, b), se tendr´
ıa:

H m (a, b) est´ formado por aquellas funciones tales que ellas y sus deriva-
a
das (en el sentido cl´sico), hasta el orden m−1, son absolutamente continuas,
a
perteneciendo adem´s la derivada de orden m al espacio L2 (a, b). Son este
a
tipo de caracterizaciones las que facilitan el estudio de los problemas de
contorno en dimensiń uno.
o

Muchas veces, cuando se quiera probar un resultado determinado, se
prueba ´ste para funciones suficientemente regulares y despu´s se trata de ex-
e e
tender el mismo para funciones del espacio de Sobolev correspondiente. Para
ello es muy importante conocer las posibles propiedades de aproximaciń de
o
´stas, por funciones regulares. En este sentido, el siguiente Teorema es de
e
gran utilidad:

Teorema 5.20. Si 1 ≤ p < ∞, C ∞ (Ω) ∩ W m,p (Ω) es denso en W m,p (Ω).

´ ˜

Se ha de destacar que la conclusiń del Teorema anterior es falsa si p = ∞.
o

Resultados como el anterior permiten demostrar otros muy interesantes
tales como los siguientes:
a) Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ W m,p (Ω) tal que u es nula en Ω K, con K ⊂ Ω,
m,p
compacto. Entonces u ∈ W0 (Ω).
b) Sea G : R → R una funciń Lipschitziana tal que G(0) = 0. Entonces,
o
1,p 1,p
si Ω es acotado, 1 < p < ∞ y u ∈ W0 (Ω), se tiene que G o u ∈ W0 (Ω).
1
Como consecuencia, si Ω es acotado y u ∈ H0 (Ω), se tiene que las funciones
|u|, u + y u− pertenecen a H 1 (Ω), donde
0

u+ (x) = max {u(x), 0},
u− (x) = max {−u(x), 0}.
c) Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C(Ω), tal que u = 0 en ∂Ω. Entonces
1,p
u ∈ W0 (Ω).

Otro resultado b´sico en el estudio de problemas de contorno de tipo
a
el´
ıptico es la siguiente desigualdad, conocida con el nombre de desigualdad
de Poincar´. Hay otras muchas desigualdades importantes, como las de
e
Poincar´-Wirtinger, de Hardy, o las de Gagliardo-Nirenberg. Son muy utiles
e ´
en el estudio de problemas no lineales.

Teorema 5.21. Sea Ω acotado y 1 ≤ p < ∞. Entonces existe una constante
positiva C(Ω, p), tal que
1,p
(5.12) |u|0,p,Ω ≤ C(Ω, p) |u|1,p,Ω , ∀ u ∈ W0 (Ω).

Como consecuencia, la aplicaciń u → |u|1,p,Ω , define una norma sobre
o
1,p 1
W0 (Ω) equivalente a u 1,p,Ω . Por tanto, sobre H0 (Ω), la forma bilineal
n
∂u ∂v
(u, v) =
Ω i=1 ∂xi ∂xi
define un producto escalar que da lugar a la norma |.|1,Ω , equivalente a
. 1,Ω .

m,p ∂u m−1,p
Si u ∈ W0 (Ω), entonces ∈ W0 (Ω). Usando este hecho, puede
∂xi
probarse una desigualdad de Poincar´, m´s general que (5.12), obtenińdose
e a e
m,p
que, en W0 (Ω), |.|m,p,Ω es una norma equivalente a . m,p,Ω .

En la definiciń que se da de espacio de Sobolev no se pone de mani-
o
fiesto, de manera expl´ıcita, si sus elementos han de satisfacer condiciones
de regularidad. Sin embargo, ya hemos comentado que en dimensiń uno,
o

78 ´ ˜

existen caracterizaciones muy utiles de ellos, donde se ve que las funciones
´
pertenecientes a dichos espacios han de satisfacer condiciones de regulari-
dad apropiadas. No existen resultados tan claros en dimensiones superiores,
pero s´ que se puede probar la existencia de inclusiones continuas de los
ı
espacios de Sobolev en espacios del tipo Lq (Ω), e incluso a veces en espacios
de funciones regulares, lo que es muy importante a la hora de establecer
resultados de regularidad de las soluciones d´biles. Tales inclusiones serń
e a
a veces compactas, facilitando enormemente el uso de tćnicas del An´lisis
e a
Funcional.

Dados espacios normados X e Y, diremos que X est´ inmerso en Y, si
a
existe una aplicaciń I : X → Y, lineal, inyectiva y continua. En este caso,
o
escribiremos
X → Y.
Si, adem´s, I es compacta, es decir, I aplica subconjuntos acotados de X
a
en subconjuntos relativamente compactos de Y, se dice que X est´ inmerso
a
de manera compacta en Y y se notar´ a
X → → Y.
En los teoremas que siguen aparecen los siguientes espacios:
j
- CB (Ω). Es el espacios de funciones de clase C j (Ω), tales que todas sus
derivadas parciales, hasta el orden j, estń acotadas en Ω. Es un espacio de
a
Banach con la norma
u j
CB (Ω)
= max |α| ≤ j sup x ∈ Ω |Dα u(x)|.

- C j (Ω). Es el espacio de funciones de clase C j (Ω), tales que todas sus
derivadas parciales, hasta el orden j, estń acotadas y son uniformemente
a
continuas en Ω. Es un espacio de Banach con la norma
u C j (Ω) = max |α|≤j sup x ∈ Ω |Dα φ(x)|

- Si 0 < λ ≤ 1, C j,λ (Ω) es el espacio de funciones de clase C j (Ω), tales
que todas sus derivadas parciales, hasta el orden j, son H¨lder-continuas,
o
con exponente λ. Es decir, para cada α, |α| ≤ j, la cantidad
|Dα u(x) − Dα u(y)|
sup x,y ∈ Ω, x=y
|x − y|λ
es finita. Es un espacio de Banach con la norma
u C j,λ (Ω) = u C j (Ω) +

|Dα u(x) − Dα u(y)|
+ max |α|≤j sup x,y ∈Ω, x=y
|x − y|λ
Los teoremas de inmersiń necesitan adem´s una condiciń de tipo geom´trico
o a o e
sobre el dominio Ω. Esta condiciń puede ser muy variada; por ejemplo, se
o

´ ˜

puede suponer que la frontera de Ω es Lipschitziana, o que se verifica la
propiedad del cono. Aqu´ asumiremos en adelante, salvo que expl´
ı ıcitamente
se diga otra cosa, que Ω es acotado y con frontera de clase C 1 ; equivalente-

mente, diremos que Ω es un dominio regular.

Teorema 5.22. Sea Ω un abierto acotado y regular de Rn , k ∈ N ∪ {0} y
1 ≤ p < ∞. Entonces se tienen las siguientes inmersiones:
n np
1) W m+k,p (Ω) → W m,q (Ω), si k < , q ∈ [p, ].
p n − kp
n
2) Si k = , entonces W m+k,p (Ω) → W m,q (Ω), para cualquier q ∈ [p, +∞).
p
j
Adem´s, si p = 1, entonces W m+n,1 → CB (Ω).
a
j n
3) W m+k,p (Ω) → CB (Ω), si k > .
p
n n n
4) Si < k < 1 + , entonces W m+k,p (Ω) → C m,λ (Ω), para λ ∈ (0, k − ].
p p p
5) W m+k,p (Ω) → C m,λ (Ω), si k = 1 + n y λ ∈ (0, 1).
p

Teorema 5.23. Sea Ω un abierto acotado y regular de Rn , k ∈ N y 1 ≤ p <
∞. Entonces se tienen las siguientes inmersiones compactas:
n np
1) W m+k,p (Ω) → → W m,q (Ω), si k < y q ∈ [1, ).
p n − kp
n
2) W m+k,p (Ω) → → W m,q (Ω), si k = y q ∈ [1, +∞).
p
3) W m+k,p (Ω) → → C m (Ω), si k > n .
p
n
Si adem´s,
a > k − 1, entonces W m+k,p → → C m,λ (Ω), para cualquier
p
n
λ ∈ (0, k − ).
p
m,p
Respecto de las inmersiones satisfechas por los espacios W0 (Ω), se tiene
que son v´lidas todas las de los dos teoremas anteriores, reemplazando los
a
m+k,p
correspondientes espacios W m+k,p (Ω) por W0 (Ω), sin necesidad de su-
poner regularidad del abierto y acotado Ω. Adem´s, la acotaciń de Ω no es
a o
necesaria para las inmersiones continuas (Teorema (5.22)); en cambio, es im-
prescindible para las inmersiones compactas, como se puede comprobar con
ejemplos fćiles en dimensiń uno. Para el caso de dominios no acotados, son
a o
necesarias condiciones adicionales a las de tipo geom´trico aqu´ impuestas,
e ı
para tener inmersiones compactas; por ejemplo, la llamada “casiacotaciń” o
del dominio Ω.

References
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80 ´ ˜

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Las siguientes direcciones de internet pueden ser utiles:
´
(1) http://www.ugr.es/∼acanada/
Aqu´ se puede encontrar informaciń sobre el programa del curso,
ı o
m´todo de evaluaciń, resumen de los contenidos fundamentales, etc.
e o
(2) http://mathworld.wolfram.com/
Muy util para consultar temas de Matem´ticas.
´ a
(3) http://scienceworld.wolfram.com/physics/
Como la anterior pero para temas de f´ ısica.
(4) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html
Para consultar temas sobre historia de las Matem´ticas.
a
´ ´
Departamento de Analisis Matematico, Universidad de Granada, 18071 Gra-
nada, Spain.
E-mail address: acanada@ugr.es

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