Tomo 4.1

Ángulos

Sumas con la misma respuesta

Juega solo o en grupo
Reglas (1) Escribe los números del 1 al 10 .
(2) Coloca las tarjetas de manera que al sumar las que están
en los renglones resulte lo mismo que al sumar las que
están en las columnas.
▲ Grúa ▲ La torre inclinada de Pisa
（Italia） Ejemplo
② ③
① 10＋2＋3＋7＝22 ¡Qué lástima!,
7 6 9 casi lo logro.
② 7＋6＋9＝22
3 1
③ 9＋1＋4＋8＝22
2 4
④ 8＋5＋10＝23
10 5 8
① ④

▲ Montaña rusa
2 3

Números grandes
Nihao Konnichiwa
Hello

Buenas
1,304,196,000
tardes
China
127,654,000 294,043,000
Japón Estados Unidos

41,060,000 Jambo Bom Dia
España

Hello
6,301,463,000
En todo el mundo

31,987,000 178,470,000
Kenya Brasil
19,731,000
Australia
(Año 2003）
Arriba se muestra el número de habitantes de varios países. ¿Cuántos
1 Números grandes
habitantes tiene cada país?

Yo puedo leer la
1 Veamos cómo leer la población de Japón:
unidades de millón

centenas de millar

unidades de millar
decenas de millón

decenas de millar

población de
127,654,000 personas
centenas

unidades
decenas

España

4 1 0 6 0 0 0 0 ① ¿En qué lugar está el número 2?
41 millones 60 mil
habitantes
Yo veo en la tabla que ... ② ¿Cuántos grupos de 10 millones están representados
por el número 1?
¿Cuál de los países tiene un número de habitantes con 8 dígitos? Lee el
número de habitantes de estos países. Veamos cómo leer y escribir números más grandes que
una decena de millones.

4 5

Miles de millones Millones Miles Cientos
El número que es igual a 10 grupos de 10 millones

unidades de millar de millón
centenas de millar de millón
decenas de millar de millón

unidades de millar
centenas de millón
se escribe 100, 000, 000 y se lee “cien millones”.

decenas de millar
unidades de millón
centenas de millar
decenas de millón
Una centena de millón es igual a 10 000 grupos de

centenas

unidades
decenas
¿Hay algún otro país cuya
diez mil. población se exprese con
un número de 9 dígitos?

E.E.U.U. 2 9 4 0 4 3 0 0 0
③ Leamos la población China
Millones Miles Cientos
El Mundo
de Japón.

unidades de millar
decenas de millar
unidades de millón
centenas de millar
centenas de millón

decenas de millón

El número 6,301,463,000 se lee “seis mil trescientos un millones

centenas

unidades
decenas
cuatrocientos sesenta y tres mil” (6 mil 301millones 463 mil).

1 2 7 6 5 4 0 0 0
3 Escribe los siguientes números.
El número de arriba se lee “ciento veintisiete millones seiscientos ① 10 grupos de cien millones son mil millones y se escribe como
cincuenta y cuatro mil” .
② 10 grupos de mil millones son diez mil millones y se escribe
como .
2 Escribe y lee los números que corresponden a la población de ③ 10 grupos de cien mil millones son un billón y se escribe como
Estados Unidos, China y la de todo el mundo. .

6 6-1

4 Esta es la distancia que recorre la luz en un año: Billones Miles de mil ones Millones Miles Cientos

9,460,000,000,000 Km

unidades de millar de billón

unidades de millón
centenas de millón

centenas de millar

unidades de millar
decenas de millón
centenas de billón

unidades de billón

decenas de millar
decenas de billón
① ¿En qué lugar está el 4 en ese número?

centenas

unidades
② ¿Cuántas centenas de millar de millón expresa el 9 en

decenas
ese número?

10 veces 100 mil millones se escribe
1,000,000,000,000 y se lee “un billón”. 4 0 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Km

También se escribe “1 billón”.
Un billón es igual a un millón de millones 6 Lee los siguientes números.

(1,000,000 de millones). ① 30,600,000,000 Kg（cantidad de papel que se usó en Japón
en 2002）
Miles de mil ones Millones Miles Cientos ② 193,000,000,000,000 l（reserva de petróleo en Japón en 2002）

unidades de billón

centenas de millón

centenas de millar
decenas de millón

decenas de millar
unidad de millón

unidad de millar

¿Notas que uno, diez,
Los números grandes se leen empezando por la
centenas

unidades

cien y mil
decenas

se repiten? derecha, en un número muy grande cada grupo de 3
dígitos se separa con comas.

9 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Km

③ Lee el número que describe la distancia que recorre la luz en un año. Para leer números grandes

¡Usa una coma para
5 El siguiente número es la distancia de la 9,387,416,025,710,364 separar el número en
grupos de 3 dígitos!
Miles de Billones Miles de Millones Miles Cientos
Estrella Polar a la Tierra. Léelo. billones millón Empieza por la
derecha.

7 7-1

2 Observa el número 30,980,000,000,000 en la tabla de abajo.
2 Números enteros
Escribe en el los dígitos que se piden.
1 Veamos el número 6,441,900,000,000,000. ① 30,980,000,000,000 está formado por 30 grupos de 1 billón y
① ¿Qué valor representa 44 en ese número? ¿Millones o billones? grupos de mil millones.
② ¿Cuántas veces más grande es el valor del 4 de la izquierda que el
del 4 de la derecha? ② 30,980,000,000,000 está formado por grupos de 10 billones,
10 veces grupos de 100 mil millones y 8 grupos de 10 mil millones.
Billones Miles de mil ones Millones Miles Cientos

unidadesde millar de millón
unidades de billón
centenas de billón

③ 30,980,000,000,000 está formado por
decenas de billón

unidades de millón
centenas de millón

grupos de 100
centenas de millar

unidades de millar
decenas de millón

decenas de millar

millones.
centenas

unidades
decenas

Billones Miles de mil ones Millones
Miles de billones

Miles Cientos


centenas de billón
6 4 4 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

unidades de millón
centenas de millón

centenas de millar

unidades de millar
decenas de millón
unidades de billón

decenas de millar
decenas de billón

centenas

unidades
decenas
Observa que cuando un número se multiplica por 10 se aumenta un
cero a la derecha, por esto el número se mueve un lugar a la izquierda.

3 0 9 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Todos los números se expresan usando el 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos números son los “dígitos”.
En general, los números como 0, 1, 305 y
30,980,000,000,000 también se escribe 30 billones 980 mil
36,000,000 se llaman “números enteros”.
millones.

8 8-1

3 Escribe y lee las siguientes cantidades: 10 veces y 100 veces 5 ¿Cuál número es más grande?
3,256,900 . Luego divide 3,256,900 entre 10, escribe y lee el resultado. ① 110,950,000 o 111,095,000

Miles de Cientos
② 213,610,000 o 203,161,000
Millones Miles
Millones

Para 500,

centenas de millón

unidades de millón

unidades de millar
centenas de millar
decenas de millón

decenas de millar
50
500 10 veces
5000 10 veces
¿De acuerdo?

centenas

unidades
decenas
1 Escribamos estas cantidades con números.
① El total de 20 grupos de 1 billón y 2500 grupos de 100 millones
② El total de 4 grupos de 10 billones, 7 grupos de 10 mil millones y
dividido 3 grupos de 100 mil.
10 veces 3 2 5 6 9 0 0 por 10
100 veces
10

2 ¿Cuántas centenas de millón hay en 870,000,000,000?
4 Escribe en la tabla de abajo el resultado de 10 mil veces 10 mil y
10 mil veces 100 millones. Luego esos números. 3 Escribe estos números.

Billones Miles de mil ones Millones Miles Cientos
① 10 veces 6 mil millones.
② 100 veces 400 mil.

centenas de millón

unidades de millón
unidades de billón

centenas de millar
centenas de billón

decenas de millón

③ 80 mil millones dividido en 10.
decenas de millar
decenas de billón

unidad de millar
centenas

unidades
decenas

9 9-1

Números más grandes que 100 billones
1 Repasemos lo que has aprendido sobre números grandes páginas 6〜7
● Hemos aprendido que un billón es 1 millón de millones (un 1 seguido de
① El número que se forma con 10 grupos de 10 millones es .
12 ceros). Un trillón es 1 millón de billones (un 1 seguido de 18 ceros).
El número que es 10 grupos de 100 billones es .
● Un cuatrillón es un número muy grande, es un millón de
② 100 millones es grupos de 10 mil. Un trillón es
trillones (un 1 seguido de 24 ceros). Por ejemplo,
grupos de 100 millones.
si contamos diciendo un número cada segundo, nos
tomaría cerca de 30 millones de años contar desde
2 Escribe las siguientes cantidades usando números y luego léelos.
1 a un cuatrillón.
páginas 8〜9
● Hay números más grandes que 1 cuatrillón. El quin-
① El total de 46 grupos de 1 trillón y 2375 grupos de 100 millones.
tillón, sextillón, septillón, octillón, nonillón…
② El total de 20 grupos de 10 trillones y 40 grupos de 10 billones.
El sistema japonés de conteo es como sigue: unidad,
③ El número que resulta de 10 veces 180 billones.
decena, centena, miles; unidad, decena, centena,
④ El número que resulta al dividir 23 trillones entre 10.
miles (man); unidad, decena, centena, miles (oku);
unidad, decena, centena, miles (cho)… Por ejemplo,
el número 31 4159 2653 5897 se lee “31 cho, Escribe en tu cuaderno lo que has aprendido acerca de
4159 oku, 2653 man, 5897. Cada sección se lee números grandes. Aborda sobre los siguientes temas.
separadamente, 4159 oku se lee “cuatro mil ciento ★Lo que entendiste.
cincuenta y nueve oku”. Jinkoki(塵劫記)
★Lo que te interesó más.
El sistema japonés de conteo se creó en China. Se ★Lo que te fue difícil.
encuentra en el libro titulado Jinkuoki que escribió Mitsuyoshi Yoshida ★Las ideas de tus compañeros.
en 1627. En ese libro aparece el número Gogasha, se dice que éste es el ★Lo que quieres hacer para
número de granos de arena que hay en el Río Ganges. El número continuar.
Muryotaisu es un 1 seguido de 60 ceros.

1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
¡Este es un Muryotaisu!

10 11

Filas de monedas
1 Escribe los números o las palabras correctas en el .
de 1 yen
・Entender los números grandes.
¡Calcula la longitud de filas formadas por 2 cm
① El 9 en 36,496,000,000 está en el lugar de
monedas de 1 yen.
② 465 billones es grupos de 1 billón.
① ¿Qué longitud tiene cada fila?
③ Un trillón es igual a veces 10 billones. Peso 1 g
10 monedas…　　　 cm

100 monedas…　　　 cm ＝ m
2 Lee los siguientes números. ・Leer números grandes 10000 monedas… cm ＝ m
① La distancia del Sol a la Tierra: 149,600,000 Km 100,000,000 monedas…　　　 cm ＝ m
② Depósitos bancarios en 2003 en Japón: 735,000,000,000,000 yenes. ＝ Km

3 Escribe estas cantidades usando números. ② La distancia de Tokio a
Escribir números que se expresan en diferentes estilos.
Kagoshima es alrededor de 1000
Tokyo
① El número que corresponde a 100 veces 340 millones. Km. ¿Cuántas monedas de 1 yen
1000Km
② El total de 3 grupos de 1 trillón y 48 grupos de 100 millones. necesitas para cubrir esta distancia?
Kagoshima
③ El número que corresponde a 58013 grupos de 100 millones.

③ La longitud del ecuador es
4 Construye números de 10 cifras usando los 10 símbolos del 0 al 9. aproximadamente 40,000 Km.
・Comprender el tamaño del número con base en el sistema decimal.
¿Cuántas monedas de 1 yen
① Escribe el número mayor. necesitas para rodear con un
② Escribe el número menor. círculo a la Tierra?
③ Escribe el número que está antes del número mayor.
④ Escribe el número que sigue al número menor.

■ Ir a la Pág. 13

12 13

Usando la calculadora 2 Teclea números grandes en la calculadora y luego léelos.

1 Suma cuatro números de 3 dígitos usando la calculadora como se muestra a
continuación.
① Forma números de 3 dígitos, empieza en el 7 y
continúa en el sentido de las manecillas del reloj.
789 ＋ 963 ＋ 321 ＋ 147 ＝ 2220

3 Haz las siguientes sumas usando la calculadora.
① 27272727 ＋ 25252525
＋＋＋ Intenta algunos
② 18181818 ＋ 35353535 otros cálculos.

③ 9090909 ＋ 45454545

Separando números en grupos de 3
② Ahora comienza en el 8 y continúa en el sentido de las
manecillas reloj. Cuando escribimos números grandes es conveniente separarlos con una

896 ＋ 632 ＋ 214 ＋ 478 ＝ “,” para formar grupos de 3 dígitos. Lee los siguientes números.

③ Ahora comienza en el 9 y continúa en el sentido contrario numbers. Read the following numbers.

a las manecillas del reloj.
987 ＋ 741 ＋ 123 ＋ 369 ＝

Ahora comienza en la tecla que quieras y continúa girando en
④
el sentido del reloj o girando en el sentido contrario.

＋＋＋＝

14 15

1
Círculos y esferas
1 Busca cuerpos redondos.
Juguemos al tiro de
Las llantas de argollas. ¿Dónde nos colo-
bicicleta son
redondas.
camos para que todos
tengamos la misma posi-
bilidad de acertar?
¿Qué tal en
línea recta?

Las pelotas de
futbol también
son redondas.
Pararse en
cualquier
lugar no es
justo.

Hagamos un
cuadrado.

Trata de encontrar
otros cuerpos
redondos. Las distancias
al blanco son
diferentes.
2 Usa un cuerpo redondo para dibujar
un círculo. Los jugadores de
¿Qué deberíamos las esquinas están
Voy a dibujar un hacer? más lejos del
círculo con un frasco blanco.
de té.

16 17

2 Dibuja una figura redonda doblando una
hoja de papel.

Método de Takashi Método de Tomoko Método de Yoshio

¿Con cuál método se hará mejor una figura redonda?
Los puntos que están a la misma distancia de otro “punto”
forman una figura redonda que se llama
radio
“circunferencia”. Ese “punto” se llama centro
radio
“centro”. Una línea recta que une el radio

centro con cualquier punto de la
¿Cómo nos colocamos
para que cada uno esté circunferencia se llama “radio”. Recuerda que todos los radios
a la misma distancia ¡Mira! Hicimos una
del blanco? forma redonda. de una circunferencia tienen la misma longitud.

La figura que dibujamos en el problema 1 de la página anterior es una
1 Círculos
circunferencia de radio 3　cm. El punto A es el centro de esa circunferencia.
1 ¿Cómo podemos dibujar 3 Usa una cuerda para dibujar una circunferencia cuyo radio mida
una figura redonda?
2 metros, en el patio de tu escuela.
① Dibuja puntos de manera
¡Podemos usar esta
que cada uno esté a 3　cm del circunferencia para el
juego de la argolla!
punto A.
② Dibuja una figura redonda ¡O podemos usarla para un
juego de pelota!
como se muestra a la derecha.

18 19

Cómo dibujar una circunferencia y sus propiedades. 6 Escribe en los el número o la palabra que falta para que las
siguientes afirmaciones sean correctas.
c
4 El compás es una herramienta que se usa para dibujar circunferencias.
① El diámetro es veces el radio.
① Usa un compás para trazar una circunferencia cuyo radio mida 4 cm.
② El punto que está a la mitad del diámetro es el .
(1) Abre el (2) Rota el com-
③ Si doblas una circunferencia a lo largo de su se forman dos secciones iguales.
compás según pás para dibu-
④ Hay muchos diámetros en una circunferencia, pero todos tienen longitud.
la longitud jar la circun-
del radio. ferencia.
⑤ es la línea recta más larga de todas las líneas
que unen dos puntos de una circunferencia.

② Dibuja otra circunferencia con diferente radio y el mismo centro.
7 Usa un compás para trazar una circunferencia que sea

Radio y Diámetro del mismo tamaño que la circunferencia de la derecha.

5 Traza otra circunferencia con ① ¿Qué necesitas conocer para dibujar una

centro en A. circunferencia?

① Traza la circunferencia con ② ¿Cómo puedes encontrar el centro de

un radio de 3 cm. una circunferencia?
A
② Traza un radio y luego extiéndelo
en línea recta hasta tocar otro punto
de la circunferencia. Recorta el círculo y examína-
Si conozco el radio o
lo. Si lo doblamos para hacer
el diámetro, también
2 secciones
conozco el tamaño de
iguales, ….
la circunferencia.

radio
Una línea recta que está limitada por 2 centro
diametro
puntos de la circunferencia y que pasa radio Traza las circunferencias que tienen los siguientes diámetros.
por su centro se llama “diámetro”. ① 8　cm ② 12 cm ③ 14 cm

20 21

Construcción de modelos Cómo usar el compás
8 Haz estos dibujos usando un compás. • Un compás puede usarse para otros propósitos.
① Puedes dividir una línea recta en segmentos de la misma longitud.
Trata de hacer segmentos de 3 cm
sobre la línea de abajo.

② Puedes comparar longitudes.
¿Cuál de estos segmentos de recta es el más largo?

➃
Hagamos un trompo
③ Puedes trasladar longitudes. Copia el segmento sobre el segmento .
¿Qué tan largo es el segmento comparado con el segmento ?

22 23

2 Esferas Si cortamos una esfera a la mitad veremos un círculo.
El centro, el radio y el
diámetro de ese círculo
son “el centro, el radio diametro
radio
y el diámetro de la
1 Examina la forma de una pelota. Desde arriba Desde arriba centro
esfera”.
① ¿Qué aspecto tiene una pelota si la ves
desde arriba y si la ves de lado?
⑤ ¿Cómo
② Rueda una pelota. De lado De lado podemos
encontrar el
Un objeto que tiene el aspecto de una circunferencia
diámetro de
visto desde cualquier posición se llama “esfera”
una esfera?

③ Observa objetos que tengan la forma de una esfera.
Circunferencias y esferas
•　Observa objetos que
tienen forma de
circunferencias y esferas.

¿Puedes encontrar
el centro y el
④ ¿Cómo es la forma de la sección que se obtiene al cortar una esfera? radio?

¿Dónde deberíamos cortar la esfera para obtener la mayor sección?

24 25

1 Las siguientes preguntas se refieren páginas 19-20 1 Dibuja las siguientes circunferencias. • Trazar circunferencias dado su radio o su diámetro.

a la circunferencia de la derecha. ① Una circunferencia cuyo radio mide 6 cm
① ¿Cómo se llama el punto (a)? ② Una circunferencia cuyo radio mide 10 cm

② ¿Cómo se llaman los segmentos (b) y (c)? 2 Se trazó una circunferencia en un
cuadrado como se muestra a la
2 Escribe las palabras o números correctos en el . páginas 20-21 derecha. Encuentra su radio y traza
① Un segmento de recta que toca a la circunferencia en 2 puntos y pasa por otra circunferencia del mismo tamaño.
el centro se llama . •　Entender las propiedades del diámetro.

② La longitud de un diámetro es veces el radio.
3 ¿Cuál de los contornos es más largo, el del rectángulo o el del cuadrado?
Encuentra la repuesta usando el compás.
3 Dibuja las siguientes circunferencias. página 20 •　Entender cómo se comparan longitudes usando el compás.

① Una circunferencia cuyo diámetro mida 4 cm.
② Una circunferencia cuyo radio mida 4 cm.

4 Usa un compás para comparar la longitud de los siguientes
segmentos de recta. página 23

4 Los 3 círculos de abajo son del mismo tamaño. Encuentra el diámetro
de uno de ellos. • Obtener el radio y el diámetro de circunferencias que se traslapan.

5 Compara la longitud de estas líneas trasladando los segmentos de la línea B

a la línea . página 23

Ir a la página 28

26 27

La búsqueda División
del tesoro
1 ¿En cuál árbol está el tesoro?
1 Propiedades de la división
• cm desde el punto A. es la respuesta de 28÷4.
• cm desde el punto B. es el radio de un círculo cuyo diámetro 1 Hay 24 chocolates que se repartirán equitativamente entre
mide 8 cm.
niños. ¿Cuántos chocolates recibirá cada niño?
① Escribe números diferentes en el y calcula las respuestas.
⑥
Si los chocolates se reparten entre 4 niños, ¿cuántos recibirá cada
⑨
③ ⑦ uno? Si hay 8 niños, ¿cuántos

④ chocolates recibirá cada uno?

①A B
. .
⑧
②
⑤ Si hay 4 niños,
24 ÷ 4 ＝
6 para cada niño

2 Había un antiguo plato que-
Si hay 8 niños,
brado en el cofre del tesoro.
24 ÷ 8　＝
La forma
original era una
circunferencia.
3 para cada niño
Dibuja la circunferencia. Si el número de niños se duplica,
el número de chocolates para cada
niño disminuye a la mitad.

Para trazar una circunferencia
igual a ésta tengo que encontrar
su centro y su radio.
Veamos qué propiedades hay para la división.

28 29

② ¿Qué propiedades hay para el divisor y la 3 Analiza la siguiente situación: para hacer 3 segmentos de la misma longitud
respuesta? Si el divisor se duplica , la se cortó una cinta de metros en segmentos de metros cada una.
respuesta ........
① Si una cinta de 24 metros se corta en segmentos de 8 metros,
③ Comprueba esto en las siguientes divisiones. ¿cuántas segmentos se forman?

24 m

8m 8m 8m

2 Analiza la siguiente situación: Se reparten chocolates. Si 24 ÷ 8 = 3

cada niño recibe 3, ¿cuántos niños hay?
① Escribe diferentes números en el y observa la relación que ② Expresa esto mediante una división usando el y el .
hay entre el y la respuesta.
m
÷3
m m m

÷ ＝3
Observa que
hay algunas
propiedades.

③ Encuentra los números correctos para el y el . ¿Notas que
hay algunas propiedades que relacionan a estas operaciones?

Yo encontré una
propiedad en la tabla de
multiplicación del 3.

② ¿Qué propiedades hay para el dividendo y la respuesta?
Comprueba esto haciendo algunas divisiones.

30 31

④ Compara las tarjetas 12÷4＝3 y 6÷2＝3 .
2 División de decenas y centenas

1 Si repartes equitativamente 80 cartulinas de colores entre 2 niños,
¿cuántas recibirá cada uno?

Si el dividendo y el divisor
Si el dividendo y el divisor se dividen entre , la ① Expresa ese problema con una división. ÷
se multiplican por , la respuesta es la misma.
Número total de Número de
respuesta de la división hojas niños
es la misma.
② Representa esa división usando grupos de 10 hojas.
⑤ Comprueba estas propiedades haciendo otras divisiones.
÷
hojas niños
Podemos comprobarlo
con 18÷6＝3 ③ ¿Cuántas cartulinas recibirá cada niño?
2 Si repartes equitativamente 800 cartulinas de colores entre 2
niños. ¿Cuántas hojas recibirá cada niño?
① Expresa mediante una división este problema.
② ¿Cuántas cartulinas debemos poner en cada grupo para reducir esa
En la división, la respuesta no cambia si el
división a 8÷2?
dividendo y el divisor se multiplican o dividen por
el mismo número.

4 Usa esas propiedades para encontrar los números que faltan en las ③ ¿Cuántas cartulinas recibirá cada niño?

siguientes operaciones.

① 32 ÷ 8 ＝ 8 ÷ ② 14 ÷ 2 ＝ ÷8 ①　60÷ 2 ②　80÷ 4 ③　600÷ 2 ④　800÷ 4

32 33

1 Usa las propiedades de la división para encontrar los números que faltan.
・Entender las reglas de división.

①　12÷3=24÷ ②　18÷6 = ÷2
③ ④　

⑤ ⑥　

2 Resuelve las siguientes divisiones.
• Entender la división de decenas y centenas.

①　40÷ 4 ②　60÷ 3 ③　50÷ 5
④　300÷ 3 ⑤　400÷ 2 ⑥　900÷ 3

3 Queremos dividir 1200 hojas de
papel de color en grupos de 300
hojas. ¿Cuántos grupos podemos
hacer?
Piensa cómo hacer esta división
utilizando 12÷3.

• Entender cómo calcular con números grandes usando las propiedades de la división.

34

Pensemos cómo calcular
1 Hay 4 cajas con 12 caramelos en
cada una. Se reparten equitativamente
los 48 caramelos entre 3 niños.
¿Cuántos recibirá cada uno?

① Expresa este problema con una división.

÷　　　
caramelos niños

② Piensa cómo obtener la respuesta usando
lo que has aprendido.

Piensa en diferentes maneras
de obtener la respuesta. Explica
¿La respuesta será
tus ideas usando expresiones
mayor que 10?
matemáticas o figuras.

La idea de Akira ▼

Doy 1 caja a cada uno de los 3 niños. Luego reparto los 12 caramelos
de la caja que sobra entre los 3 niños: 12 ÷ 3 ＝ 4
Como hay 12 caramelos en una
caramelos caramelos caramelos
caja, la cantidad de caramelos para un niño para un niño para un niño

por niño es
caramelo

caramelo

caramelo

12 ＋ 4 ＝16

35

La idea de Yoshiko ▼ La idea de Hiroshi ▼

Primero observé en la tabla de Yo separé 48 en dos partes

multiplicar la respuesta 48: iguales, obtuve 24.

8 × 6 ＝48
Luego arreglé los bloques en la misma
forma que 8x6 y los separé en 3 grupos:

24 ÷ 3 ＝ 8
48
24 ÷ 3 ＝ 8

6÷3＝2, Son dos grupos de 8

Por último hice 8×2＝ Por último hice 8×2＝

La idea de Haruka ▼ La idea de Kenta ▼

48 = 30 + 18

Usé una propiedad de la
división. Como los dividendos
son iguales, la respuesta se
caramelos para un niño
multiplica por 2 si el divisor
30 ÷ 3 ＝10
se divide entre 2.
18 ÷ 3 ＝ 6
10 ＋ 6 ＝

2 Calcula 56÷4 usando diversas maneras.

36

División con números de un dígito
1 División en la forma vertical

1 Queremos repatir equitativamente 48
caramelos entre 9 niños. ¿Cuántos
recibirá cada niño y cuántos sobrarán?

÷　　　

Número total Número
de caramelos de niños

Cómo calcular 48÷9 en la forma vertical
• Escribe una expresión como la de la derecha.
(1) Escribe 5 arriba del lugar 9 4 8
“9x6 ＝ 54” esto es
de las unidades de 48.

Dividir
muy grande, entonces 5
necesito “9x5”, que
(2) Escribe 45 debajo de 9 4 8
es igual a 45.
48 porque “9 x 5 ＝ 45”
5
Multiplicar
(3) Resta 45 de 48. El resto 9 4 8
45 es el número de
es 3. caramelos que se dan a 4 5
los niños.
(4) Observa que el resto 3 5
Restar

es menor que el divisor 9. 9 4 8
4 5
3 es el número de
3
caramelos que sobran

La división puede ser calculada en la forma vertical tal como la
suma y la multiplicación.

37

2 Queremos repartir equitativa- El orden al escribir
mente 48 caramelos entre 8 (1) 48
8 4 8
niños. ¿Cuántos caramelos (2) 48
(3) 48
recibirá cada uno?
(4) 8 48
Piensa cómo calcular la
respuesta usando la forma vertical. La operación 48÷8 puede resolverse
en la forma vertical.

En una división la respuesta se llama “cociente”; 6 y 5
son el cociente en las operaciones de abajo. En una división
el resto se llama “residuo”, en la operación 48 ÷9 el
cociente es 5 y el residuo es 3.

48 ÷ 8 ＝ 6 48 ÷ 9 ＝ 5 3
Dividendo Divisor Cociente Dividendo Divisor Cociente Residuo

3 Cómo comprobar que el cociente en una división es correcto.

① 48 ÷ 8 ＝ 6
8 × 6 ＝
Divisor Cociente Dividendo

② 48 ÷9 ＝ 5 residuo 3
9 × 5 ＋ 3 ＝
Divisor Cociente Residuo Dividendo

Haz estas divisiones en la forma vertical y comprueba tus respuestas.
① 13÷2 ② 62÷7 ③ 32÷5 ④ 57÷8 ⑤ 7÷3
⑥ 21÷7 ⑦ 30÷6 ⑧ 54÷9 ⑨ 36÷4 ⑩ 8÷2
38

2 División con cocientes de dos dígitos

1 Queremos repartir equitativamente 69 hojas de papel de color
entre 3 niños. ¿Cuántas hojas recibirá cada uno?

① Expresa este problema con una división.
÷　　　 ¿Cuántas hojas recibirá
aproximadamente cada niño?
hojas niños
decenas unidades
② Piensa cómo obtener el cociente de
69÷3 usando la idea que se muestra
en la figura de la derecha.

60 ÷ 3 ＝
69÷ 3
09 ÷3＝

Total

2 Queremos repartir equitativamente 72 hojas de papel de color entre
3 niños. ¿Cuántas hojas recibirá cada uno?

① Expresa este problema con una división. ÷

② Piensa cómo calcular la respuesta.
Si dividimos 7
grupos de 10
Piensa cómo hacer una división cuyo cociente entre 3 niños
es un número de 2 dígitos. sobrarán hojas.

39

Cómo calcular 72÷3
(1) Vamos a repartir 7 paquetes de 10 hojas de papel
¿Por qué es
de color entre 3 niños. ¿Cuántos paquetes recibirá cada mejor repartir
primero los
niño y cuántas hojas sobrarán? paquetes?

decenas unidades

7÷3
También tenemos
(2) Separemos las 10 hojas del que repartir lo
que sobra entre
paquete que sobra y agreguemos los 3 niños.

las 2 hojas que quedan

(3) Repartamos las 12 hojas que sobran entre los 3 niños.

12÷3

(4) ¿Cuántas hojas recibirá cada niño?
Paquetes de 10…7÷3＝2, sobra 1
Hojas sobrantes … 12÷3＝4
60 ÷ 3 ＝
72÷ 3
12 ÷ 3 ＝

Total

40

Cómo calcular 72÷3 en la forma vertical 3 En la ilustración de abajo, el niño
2 7 ÷ 3 Cociente 2 está calculando 92 ÷ 4 en la forma

Dividir
3 7 2 residuo 1
Escribe 2 en el lugar vertical. ¿Cuál es su error? Corrige
de las decenas.
Lugar de las decenas

2 3×2＝6 el error y termina esa división.

Multiplicar
3 7 2 El 6 significa que
6 hemos repartido 6
de los 7 paquetes
de10 hojas.
2
7－6＝1

Restar
3 7 2
6 El residuo debe
1 ser menor que el
divisor.

2 Baja el 2 al lugar
Bajar

3 7 2 de las unidades 4 9 2
6
1 2

2 4 1 2 ÷3 ＝4
Dividir

3 7 2 Escribe 4 en el
6 lugar de las
1 2 unidades.

Cuando haces una
2 4 3×4＝12
Lugar de las unidades

Multiplicar

división en la forma
3 7 2
6 vertical, empieza con el
El 12 significa que
1 2 número que está en la
hemos distribuido
1 2
12 hojas. posición de mayor valor.

2 4 12－12＝0
Restar

3 7 2 Haz estas divisiones en la
6
forma vertical.
1 2
1 2 ① 54÷ 2 ② 68÷ 4
0
③ 34 ÷ 2 ④ 84 ÷3

41

4 Explica cómo se hicieron ① 24 ② 34
3 74 2 69
las divisiones en los incisos 60 60
① y ②. 14 9
12 8
2 1
5 ¿Cuál de estas dos divisiones 0
30 30 3 2
se realizó correctamente? 3 92 3 92 0
90 90 2
2 2 ¿de acuerdo?
0
Comprobemos
2

①　85÷ 7 ②　94÷ 4 ③　86÷ 3 ④　75÷ 6
⑤　68÷ 3 ⑥　45÷ 2 ⑦　85÷ 4 ⑧　56÷ 5
⑨　54÷ 5 ⑩　82÷ 4 ⑪　61÷ 2 ⑫　42÷ 4

1 Haz estas divisiones en la forma vertical. páginas 40 - 42

①　78÷3 ②　96÷ 8 ③　38÷2 ④　55÷ 5
⑤　48÷4 ⑥　77÷ 6 ⑦　56÷3 ⑧　90÷ 7
⑨　83÷ 2 ⑩　65÷3 ⑪　98÷9 ⑫　81÷4
2 6 niños fueron a la playa y recogieron
90 conchitas. ¿Cuántas conchitas les
tocan a cada uno si se las reparten
equitativamente?
páginas 40 - 42
42

3 Cálculo de (número de 3 dígitos) ÷ (número de 1 dígito)

1 En mi escuela hay 639 hojas de papel de color. Se repartieron
equitativamente entre 3 grupos, ¿cuántas hojas se dieron a cada grupo?

① Construye una división para este problema.
② Di aproximadamente cuántas hojas 600 ÷ 3 ＝

son para cada grupo. 639 ÷ 3 03 0 ÷ 3 ＝

③ Piensa cómo obtener la respuesta. 00 9 ÷ 3 ＝

Total
2 Se repartirán equitativamente 536 hojas de papel de color entre 4 grupos.
¿Cuántas hojas recibirá cada grupo? Piensa cómo calcular la respuesta.

536 ÷ 4

① Hagamos paquetes de 100 hojas. ¿Cuántos paquetes de 10

5 ÷4 ＝
se forman con las hojas
residuo restantes?
Número de paquetes

② Reparte los paquetes de 10. ÷4 ＝ residuo
③ Reparte las hojas que sobraron. ÷4 ＝

④ ¿Cuántas hojas recibirá cada grupo?
536 ÷ 4 ＝
⑤ Piensa cómo calcular el cociente usando la forma vertical de la división.
43

Centenas Decenas Unidades
¿En qué lugar
4 5 3 6
comenzamos
a dividir?

100

5÷4

1
Divide el
4 5 0 número de
4 paquetes
Centenas Decenas Unidades 1 de 100.
4 5

10

13÷4
1 3
4 5 3 Divide el
4 número
1 3 de paquetes
1 2 de 10.
1 4 13

Centenas Decenas Unidades

1 3 4
16÷4 4 5 3 6
4
Divide el
1 3
número de
1 2
hojas sueltas
1 6 que sobran.
1 6
0 4 16

44

3 Haz estas divisiones en la forma vertical.
①　482 ÷ 2 ②　264 ÷ 2 ③　936÷ 3 ④　848÷ 4
⑤　628 ÷ 4 ⑥　861 ÷ 7 ⑦　725÷ 5 ⑧　867÷ 3

4 Hay 254 hojas de papel de color. Si se reparten equitativamente
entre 3 niños, ¿cuántas hojas recibirá cada niño y cuántas sobran?
¿El número de hojas
para cada niño será
mayor que 100?

254÷ 3
① ¿Pueden repartirse las hojas sin abrir un paquete de 100?
② Piensa en este problema abriendo los dos paquetes de 100 hojas para
formar paquetes de 10. 254 es grupos de 10 y 4 hojas sueltas.

8 8 4
3 2 3 2 5 3 2 5 4 3 2 5 4
2 4 2 4
2÷3 25÷3 1 4 1 4
El cociente en el lugar Podemos obtener el 1 2
de las centenas es cero, cociente en el lugar de 2
por eso no lo escribimos. las decenas.

Si el cociente es menor que 100, comenzamos en el
lugar de las decenas.

①　316 ÷ 4 ②　552 ÷ 6 ③　173 ÷ 2 ④　581 ÷ 9

45

5 Veremos con detalle cómo realizar algunas divisiones.

① ¿Cómo obtenemos el cociente en la forma vertical?
(a) 420÷ 3 (b) 859 ÷ 8

140 140 107 107
3 420 3 420 8 859 8 859
300 300 800 800
120 120 50 59
120 120 00 56
0 0 59 3
0 56
0 3

② Haz las siguientes divisiones y comprueba tus respuestas como sigue:
(divisor) x (cociente) + (residuo) = (dividendo)

①　740÷2 ②　650÷5 ③　840÷6 ④　810÷ 3
⑤　742÷7 ⑥　618÷ 3 ⑦　958÷9 ⑧　825÷ 4

Cálculo mental

•Haz 72÷4 usando cálculo mental.
¿Cómo podemos Para hacer 7÷4…
encontrar la respuesta “4 multiplicado por 2
en el lugar de las es 8”, “4 multiplicado
decenas? por 1 es 4”, así
tenemos…

40÷ 4 (4 multiplicado por 1 es igual a 4) 10
72÷4
32÷ 4 (4 multiplicado por 8 es igual a 32) 8 Total

46

4 ¿Qué operación aritmética debes usar?

1 Los niños de cuarto grado fueron al museo en 3 autobuses.
Había 38 niños en cada autobús. ¿Cuántos niños había en total?
Niños en cada autobús Número Total

0 38 （niños）
Número de niños
Número de autobuses
0 1 2 3（autobuses）

2 Repartimos equitativamente 56l de jugo de naranja entre 7 grupos.
¿Cuánto se dio a cada grupo?
① ¿Qué datos conoces?
② ¿Qué necesitas obtener?
③ Escribe lo que sabes en los y calcula la respuesta.
Cantidad para cada grupo Total

0 Q
Litros de jugo
Número de grupos
0 1

3 En una competencia participaron 48 niños. Se organizaron en
equipos de 4, ¿cuántos equipos se formaron?
① ¿Qué datos conoces? ¿Qué necesitas obtener?
② Escribe en los los datos que conoces y calcula la respuesta.
Total

Número 0 （niños）
de niños
Número
de equipos 0 1 （equipos）

47

1 Haz las siguientes divisiones. páginas 44~46

①　548÷4 ②　259÷7 ③　624÷3 ④　367÷9
⑤　457÷6 ⑥　543÷5 ⑦　963÷8 ⑧　728÷6

2 Mariko y sus 5 amigas hicieron 360 pájaros doblando
papel. Cada una hizo el mismo número de pájaros,
¿cuántos pájaros hizo cada niña?
páginas 44~45

3 Hay 436 lápices que se darán como premio en una competencia escolar.
Los lápices están en cajas con 3 lápices en cada una. ¿Cuántas cajas hay?
¿Cuántos lápices más se necesitan para tener 150 cajas?

páginas 44~45

ab r a s
al Suma, Diferencia, Producto, Cociente
P

• La respuesta a una adición se llama “suma”.
• La respuesta a una resta se llama “diferencia”.
• La respuesta a una multiplicación se llama “producto”.
• La respuesta a una división se llama “cociente” y el resto se llama “residuo”.
wa Suma: sa Diferencia:

和 Significa “reunir, agregar”
差 Significa “resultado de
quitar, de comparar”
500millones ¿Cuántas centenas
¿Cuántas centenas
de millón son la
de millón hay?
diferencia?
800millones
Cociente:
seki Producto: shou
Significa “repartir, medir
積 Significa “reunir en grupos del
mismo tamaño” 商 o comparar mediante una
división”
¿Cuántos hay en ¿Cuántos baldes
total? de 10 litros?

48

División usando tarjetas

Construyamos divisiones usando las tarjetas 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 y 6 .

① Hagamos una división donde el cociente sea un número de 1 dígito.
Ejemplo 6 ÷ 2 , 1 2 ÷ 3 ¿Cuántas divisiones
como éstas podemos
hacer?

② Hagamos una división donde el cociente
¿Cuál de estas
sea un número de 2 dígitos.
divisiones tiene
el mayor
Ejemplo 4 2 ÷ 3 , 1 5 2 ÷ 4
cociente?

÷ , ÷

③ Hagamos una división donde el cociente sea un número de 3 dígitos.
Ejemplo 3 1 4 ÷ 2 ÷

¿Cuánto es
1245÷3 ? ÷

④ ¿Podemos construir con estas tarjetas una división en la que
el cociente sea un número de 4 dígitos? 1572
2 3145
÷ 2000
¿Cuánto es
3145÷2 ?
110
100
÷
1 4
1 4
Hagamos más 5
divisiones 4
como éstas. 1

49

Un juego
1 ¿Cómo puedes calcular 294÷3 en la forma vertical? con la división
• Entender cómo hacer la división en la forma vertical. • Haz equipo con un compañero y construye divisiones utilizando tarjetas numeradas del 1 al 9.

① ¿En qué lugar debes empezar a calcular el cociente? . 3 2 9 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9
② El residuo 2 en el lugar de las decenas significa
① Elige 4 de las 9 tarjetas para construir divisiones donde el residuo sea
2 grupos de .
muy pequeño.
③ El cálculo en el lugar de las unidades es ÷3. . ÷
El jugador que construya la división que deje el residuo más pequeño
2 Haz estas divisiones usando la forma vertical.
es el ganador.
• Hacer divisiones de (2 dígitos) ÷ (1 dígito) y (3 dígitos) ÷ (1 dígito) en la forma vertical.
Si los residuos son iguales, gana el
① 34÷4 ② 50÷6 ③ 72÷5 ④ 86÷2 jugador cuyo cociente sea menor.
⑤ 59÷4 ⑥ 70÷5 ⑦ 97÷6 ⑧ 67÷3
⑨ 174÷6 ⑩ 759÷4 ⑪ 589÷7 ⑫ 177÷3 Ejemplo Los jugadores eligen 3 4 7 8
⑬ 828÷3 ⑭ 240÷5 ⑮ 914÷7 ⑯ 528÷5 478÷3 : cociente 159, residuo 1
738÷4 : cociente 184, residuo 2
3 En una competencia escolar 125 niños correrán en grupos de 6.
es el ganador
• ⋅Construir divisiones y entender el significado del residuo.

② Elige 4 de las 9 tarjetas y construye divisiones donde el residuo sea tan
① ¿Cuántos grupos de 6 niños se pueden formar?
grande como sea posible.
② Hay unos niños que no alcanzan a formar un grupo de 6.
¿Cuántos niños son? ÷ .
Gana el que construya la división que deje el residuo más grande. Si los
residuos son iguales, gana el jugador cuyo cociente sea mayor.
4 Encuentra todos los números enteros cuyos cocientes sean 8 cuando se
dividen entre 6.
Ejemplo Los jugadores eligen 2 3 5 9
• Entender la relación entre dividendo, divisor, cociente y residuo.
■Ir a página 51 ■Ir a página 103
es el ganador.
50 51

Organización de datos 1 Organización de tablas

En la tabla se muestran las 1 Organicemos los datos de la tabla de la página anterior.

lesiones que ocurrieron en 3
días en la escuela de Masashi. ① Concentra los datos de acuerdo al Número de alumnos para cada lugar
Número de
Lugar de la lesión alumnos
lugar donde ocurrieron las lesiones.
patio
Completa la tabla de la derecha.
pasillo
¿Dónde hubo lesiones con mayor
aula
frecuencia?
gimnasio
Comenta con tus compañeros escaleras
tus conclusiones. Total

Observa dónde
ocurrieron las lesiones ② Información sobre el tipo de lesiones.
y de qué tipo son.
Número de alumnos por cada lesión
Completa la tabla de la derecha. Número de
Tipo de lesión alumnos
Registro de lesiones ¿Qué lesión ocurrió con mayor
cortadura
Grado Lugar Lesión Grado Lugar Lesión frecuencia? contusión
o o
4 patio cortadura 6 patio torcedura de un dedo Comenta con tus compañeros rasguño
⋅
5o pasillo contusión 6o gimnasio torcedura
5o pasillo contusión 2o patio rasguño tus conclusiones. fractura
1o aula rasguño 1o aula rasguño torcedura de un dedo
¿Puedes hacer una tabla
3o gimnasio rasguño 5o aula cortadura
que permita ver dónde
3o patio fractura 5o gimnasio rasguño torcedura
ocurrieron las lesiones, de
6o gimnasio rasguño 3o escaleras contusión qué tipo fueron y cuántos Total
5o aula cortadura 4o gimnasio torcedura alumnos las sufrieron?
4o patio rasguño 2o patio contusión
5o gimnasio rasguño 6o aula rasguño ¿Cómo harías una tabla que te permita ver los lugares y el tipo
3o gimnasio contusión 4o pasillo contusión de lesiones?

52 53

Registro de lesiones
2 Organización de los datos
Grado Lugar Lesión Grado Lugar Lesión
4o patio cortadura 6o patio torcedura de un dedo 1 Masao pidió a sus compañeros que dibujaran un para indicar
5o pasillo contusión 6o gimnasio torcedura
si tienen peces o pajaritos.
5o pasillo contusión 2o patio rasguño
1o aula rasguño 1o aula rasguño
3o gimnasio rasguño 5o aula cortadura
3o patio fractura 5o gimnasio rasguño
6o gimnasio rasguño 3o escaleras contusión
5o aula cortadura 4o gimnasio torcedura
4o patio rasguño 2o patio contusión
5o gimnasio rasguño 6o aula rasguño
3o gimnasio contusión 4o pasillo contusión

2 Organicemos esos datos de manera más eficiente. ① ¿Cómo pueden agrupar los datos a partir de los que dibujaron?
Completa la tabla de abajo. Esto te permitirá observar la frecuencia ¿Cuántos niños dibujaron dos ? ¿Cómo llamarías a ese grupo?
con que ocurre cada lesión de acuerdo al lugar en que se presentó. ¿Cuántos niños dibujaron un ? ¿Cómo llamarías a este grupo?
Tipos de lesión y lugares donde ocurrieron (niños) Organiza los datos de los niños que escribieron un agrupando
Tipos torcedura
cortadura contusión rasguño fractura de un dedo torcedura Total los que tienen peces y los que tienen pájaros.
Lugar
patio
¿Cuántos niños hay en cada grupo?
pasillo
aula ¿Cuántos niños no dibujaron ningún círculo? ¿Cómo llamarías
gimnasio
a este grupo?
escalera
Total

① ¿Cuál es el tipo de lesión más Vamos a hacer lo
(niños)
mismo en nuestra
frecuente? escuela. ② Completa la siguiente Peces
Total
② ¿Dónde ocurrió el mayor número de tabla. Sí No
Sí

Pájaros
2
lesiones? No
Total

54 55

③ ¿Cuántos niños sólo tienen pájaros?
④ ¿Cuántos niños tienen peces? 1 Esta tabla muestra un registro de lesiones de los alumnos de cuarto
grado de la escuela de Sachiko. Completa con estos datos la tabla de abajo.
• ⋅Comprender cómo hacer una tabla para mostrar dos cosas a la vez.

Niños que tuvieron lesiones
Nombre Lugar Tipo de Lesión Nombre Lugar Tipo de Lesión
1 Reiko lleva un registro de los accidentes de tráfico en su ciudad. Completa la Maeda patio rasguño Oishi patio contusión
Ota aula cortadura Yamada patio contusión
tabla de abajo y comenta con tus compañeros lo que notas. páginas 53~54
Oba aula rasguño Yamamoto gimnasio rasguño
Accidentes con niños de la escuela Tanaka gimnasio torcedura Morita gimnasio contusión
(en la ciudad donde vive Reiko durante un año)
Nakamura pasillo contusión KobayashiH aula rasguño
cuándo causa cuándo causa Sasaki aula torcedura de un dedo Ayashi gimnasio rasguño
jugando corre en la calle jugando cruza delante de los autos
en el camino hacia o desde una clase camina fuera del paso peatonal en el camino hacia o desde una clase corre en la calle Lugar y tipo de lesión (niños)
jugando corre en la calle comprando corre en la calle Rasguño Total
jugando corre en la calle jugando cruza en luz roja Gimnasio
en el camino hacia o desde la escuela fuera del paso peatonal jugando corre en la calle
jugando cruza en luz roja en el camino hacia o desde la escuela cruza delante de los autos
comprando cruza delante de los autos en el camino hacia o desde la escuela corre en la calle
jugando corre en la calle jugando camina fuera del paso peatonal Total
en el camino hacia o desde la escuela corre en la calle jugando corre en la calle
comprando camina fuera del paso peatonal en el camino hacia o desde la escuela corre en la calle 2 Tomoko registró cuáles de sus compañeros tienen hermanos o hermanas.
jugando cruza en luz roja en el camino hacia o desde la escuela camina fuera del paso peatonal
Hay 36 alumnos en la clase. • ⋅Hacer y leer una tabla
(niños)
Tienen hermanos…12 Hermanos
Total
Accidentes con niños de la escuela (niños) Sí No
Tienen hermanas…9
corre en la cruza en luz cruza delante

Hermanas
causa camina fuera del
total No tienen hermanos o hermanas…18
Sí
cuándo calle paso peatonal roja de los autos
jugando Completa con estos datos No
en el camino hacia o desde una clase
la tabla de la derecha. Total 36
en el camino hacia o desde la escuela

comprando
total
■ Ir a página 58 ■ Ir a página 104

56 57

¡Hagamos carteles! Ángulos
• Hemos registrado el número de alumnos que
tuvieron lesiones.
Vamos a hacer carteles para pedirles que
sean más cuidadosos.

1 Ángulos

1 Los ángulos de abajo son parte de unos triángulos.

① ¿Cuál de ellos es un ángulo recto?
② ¿Cuál es el ángulo que tiene menor apertura?

Cuando trazas dos líneas rectas a partir de un mismo
punto se forma una figura que se llama “ángulo”.
El punto que comparten ambas un lado
del ángulo
rectas se llama “vértice del ángulo”.
ángulo
Las dos líneas rectas son un lado
vértice del ángulo
“los lados del ángulo”. del ángulo

• Usa información que te permita hacer carteles usando números.
58 59

C
A

D

E

B

2 Tamaño de los ángulos Imagínate que estos animales cierran su boca.
La amplitud del giro que permite llevar un lado
1 Observa las bocas de los animales en esta página y la siguiente. de un ángulo hasta que coincide con el otro
medida del ángulo
lado se llama “tamaño del ángulo”.
① ¿Qué animal está abriendo
¿Cómo podemos
más su boca? comparar los ángulos ③ Señala los animales de acuerdo Piensa cómo puedes
que forman cuando comparar el tamaño
② ¿Qué animal está abriendo su boca abren su boca? con el tamaño de los ángulos que de dos ángulos.

menos que todos? forman sus bocas.

¡Veamos cómo expresar y medir ángulos!

60 61

La idea de Hiroshi ▼ La idea de Masako ▼
Cómo expresar el tamaño de los ángulos
Trazo uno de los ángulos en una Construí esta figura para Hay una unidad para expresar el tamaño de los ángulos con precisión.
hoja de papel transparente y lo ver cuántas veces cabe un
coloco sobre el otro ángulo. ángulo en ella El “grado” es una unidad que sirve para medir el
tamaño de los ángulos. Imagínate que el ángulo de una
vuelta completa se divide en 360 partes. El tamaño de
una de esas partes es “un grado” y se escribe 1°.

3 El tamaño de los ángulos se mide con un instrumento geométrico
El tamaño de un ángulo depende del giro que debe aplicarse que se llama “transportador”.
a uno de sus lados hasta hacerlo coincidir con el otro.
① ¿Cuántos grados mide el ángulo de la sección 2 ?
No depende de la longitud de los lados.
80 90 100 110
un grado 70 100 80 7
0 120
2 Usa dos tiras de cartulina para construir estos 60 110
0 60 13
0 12
5 0 50 0
13
ángulos como se muestra en las figuras.

14 0
14 0

0 30
150 4

4
0

150 20
0
80 170 1 20 3

160 10 0
60

170 1
¡Si giramos

0 10
una tira cambia
l 0

80
1
el tamaño del
g ángulo!
¡Hay 2 ¿Cuál escala
escalas! debería leer?

El tamaño del ángulo es igual a 2 ángulos rectos. ② ¿Cuántos grados miden los ángulos , , y g de la sección 2 ?
¿Cuáles de estos ángulos son iguales a 1 ángulo recto, a 3 ángulos
rectos, a 4 ángulos rectos? 1 ángulo recto ＝ 90°, 4 ángulos rectos ＝ 360°
El ángulo que mide 4 ángulos rectos se llama “ángulo de una
vuelta completa”. El ángulo que mide 2 ángulos rectos se llama
Al tamaño de un ángulo se le llama “medida del ángulo”.
“ángulo de media vuelta”.

62 63

Cómo usar el transportador
5 Encuentra una manera para medir ángulos más grandes que 180°.
(1) Coloca el centro de tu transportador sobre el vértice del ángulo.
¿Cómo uso el
(2) Haz coincidir el lado recto del 80 100 1
transportador?
70 100 90 80 710 12
60 110 0 6 0
0 120 0 130
5 0 50
transportador con el lado inicial 13

140 0
50 40

4
140

1500 20
180 170 16 0 30

3
01

160 10 0
0 10 2
del ángulo.

170 180
0 línea
(3) Lee la medida que indica el vértice del ángulo,
centro del transportador
otro lado del ángulo.

4 ¡Mide ángulos que veas en diferentes lugares!

Con un
transportador de
360° puedes medir
cualquier ángulo.

Si la longitud de uno
de los lados es más 0 línea
corta, ¿qué deberías
hacer?

6 La figura de la derecha muestra 2
líneas rectas que se intersectan.

Mide en ① El ángulo mide 60°. ¿Cuántos
diferentes
lugares. grados mide el ángulo ?
② Compara las medidas de los ángulos
y .
64 65

Cómo construir ángulos

7 Construyamos un ángulo de 50° 1 Mide estos ángulos. páginas 63~65

(1) Traza una línea recta a partir de ① ② ③

un punto. Este punto será el vértice
del ángulo.

(2) Coloca el centro del transportador
sobre el vértice del ángulo, de 2 ¿Cuál es la medida de los ángulos ,　　　　　　y ?
manera que la marca 0° quede página 66
sobre uno de sus lados. ① ②

(3) Marca un punto donde dice 50°

(4) Une con una línea recta el punto que
marcaste y el vértice del ángulo. Esta línea 3 Dibuja ángulos con las siguientes medidas. página 66
es el otro lado del ángulo que mide 50°. ① 120 ° ② 300 °

8 Construye ángulos que midan respectivamente 35°, 125° y 280°.
¿Identificas ángulos en estas fotografías?
Ángulos de un triángulo

9 Observa los ángulos de
estos triángulos.
① Mide cada uno de esos 6 ángulos y escribe sus medidas en los .
② Aquí se muestran
2 triángulos. ¿Cuánto miden los
ángulos que están marcados?

66 67

Trazo de figuras
1 Hagamos un resumen de lo que sabes acerca de ángulos.
• ⋅Expresar el tamaño de los ángulos como un número.
1 Traza un cuadrado como se indica a continuación.
① El es la unidad para medir el tamaño de los ángulos. 2 cm
(1) (2) (3) (4)
② 1° es la medida del ángulo que se forma al dividir en partes iguales 90 90
un ángulo de una vuelta completa. 2 cm

2 Mide estos ángulos. • Medir ángulos con un transportador. （2 cm）（derecha 90 ）（2 cm）（ derecha 90 ）

(5) (6) (7)

2 cm
90
2 cm
（2 cm）（ derecha 90 ）（2 cm）

3 Construye dos ángulos, uno de 100° y otro de 270°.
• Construir ángulos utilizando un transportador.
•　Piensa por qué estos trazos te conducen a construir un cuadrado.

4 ¿Cuánto miden los ángulos , , y ?
2 Traza otras figuras usando las indicaciones que se dan. Repite el trazo
• Pensar en ángulos desde 2　triángulos.
inicial hasta completar una figura cerrada.

① 5cm, girar 60° a la derecha. ② 5cm, girar 120° a la derecha.

60° 120°
5 cm
5 cm

③ 5cm, girar 36° a la derecha.

5 cm 36°

■ Ir a página 69

68 69

7

1 Escribe los números correctos en el . 1 1 Traza diferentes triángulos
① 510　　billones 700 millones está formado por grupos de 100　billones, usando los números del reloj
grupos de 10　billones y grupos de 100　millones. como se muestra a la derecha.
② 6　trillones 40 billones está formado por grupos de 1　trillón y
grupos de 10　billones.

2 Traza 2 circunferencias que tengan el mismo centro. Una cuyo
2
radio mida 3 cm y otra cuyo diámetro mida 8 cm.

3 Haz estas divisiones en la forma vertical. 4

① 73 ÷3 ② 63 ÷ 4 ③ 56 ÷ 2 ④ 93 ÷9
⑤ 398 ÷2 ⑥ 647 ÷8 ⑦ 816 ÷4 ⑧ 646 ÷ 7

4 Se repartieron equitativamente 460 cartulinas de colores
entre 6 niños.
¿Cuántas recibió cada uno? ¿Cuántas sobraron? 4

5 ¿Cuál es la medida en grados de estos ángulos? 6

2 Compara los triángulos que ¡Puedes hacer
hiciste con los de tus compañeros. muchos triángulos!
6 Traza los ángulos que tengan las medidas que se indican. 6

① 25 ° ② 90 ° ③ 170 °

70 71

Triángulos
¿En qué
son
1 Triángulos isósceles y triángulos equiláteros diferentes?

1 Agrupa los triángulos que Hay popotes
de 4 colores.
sean del mismo tipo.
Algunos triángulos
Profesora ¿Qué es lo que notas
quedan con un lado
al poner los triángulos
horizontal.
en el pizarrón de
corcho?

❷
❶ ❸

Haz triángulos usando popotes de diferentes longitudes. Fíjalos sobre un
tablero colgándolos de uno de sus vértices. ❻ ❼

❹
❺ ¡Unos triángulos cambian
su posición si se fijan
¡El triángulo ❹ no tendrá en otro vértice!
un lado horizontal si se fija
en otro vértice!

❽ ❿
❾

¡Los triángulos de diferentes
¡Los triángulos hechos con
colores nunca tienen un
popotes del mismo color siempre
lado horizontal!
tienen un lado horizontal!

Yo agrupé los triángulos según
el número de colores: 1 color,
Hiroshi 2 colores y 3 colores.

① Agrupemos los triángulos como lo hizo Hiroshi.

Piensa cómo trazar diferentes tipos de triángulos.

72 73

El método de la profesora El método de Hiroshi

Triángulos que al fijarlos Triángulos que al fijarlos Triángulos que al fijarlos nunca Azul, azul, rojo Azul, azul, azul Amarillo, azul, verde
pueden tener un lado horizontal siempre tienen un lado horizontal pueden tener un lado horizontal

❷ ❼
❸

❶ ❽ ❻

El mismo color
Los 3 lados tienen la misma longitud ③ ¿Qué tipo de triángulos están en las columnas , significa la misma
longitud.
② ¿Qué tipo de triángulos están en las columnas ,　　　　　　　y ? Piensa en la y ? Piensa en la longitud de sus lados y escribe
longitud de los lados y escribe tus conclusiones en el último renglón de la tabla. tus conclusiones en el último renglón de la tabla.

74 75

④ Traza los triángulos y y mide la longitud de sus lados. 3 Traza los triángulos y y verifica las
longitudes de sus lados.

Un triángulo en el que sus 3

Marca un punto en cada vértice. Traza una línea recta que una cada lados tienen la misma longitud se
pareja de vértices.
llama “triángulo equilátero”
Un triángulo que tiene al menos
dos lados de la misma longitud se 4 Observa los triángulos equiláteros que hay en tu entorno.
llama ”triángulo isósceles”

2 Observa los triángulos isósceles que hay en tu alrededor.

5 ¿Cuál de estos triángulos es equilátero?

¿Cuáles de estos triángulos son isósceles?

Haz un triángulo isósceles y un
¿Qué instrumento
usarías para triángulo equilátero usando dos
comprobar que
triángulos idénticos.
son isósceles?

76 77

Ángulos de triángulos isósceles y triángulos equiláteros A
2 Cómo trazar triángulos
6 Observa el tamaño de los ángulos en los triángulos isósceles y
1 Piensa cómo trazar un triángulo isósceles
triángulos equiláteros. 4cm 4cm
(2 ) cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 4 cm,
(1 ) respectivamente. B 3cm C

① Yo tracé el lado BC. Ahora estoy
intentando localizar el vértice A
como lo muestro a continuación.

(3 ) (4 )

② Haz el trazo usando un compás como se indica abajo.
① ¿Cuánto mide cada ángulo?
② ¿Cuántos ángulos miden lo mismo en un triángulo isósceles?
③ ¿Cuántos ángulos miden lo mismo en un triángulo equilátero?
4 cm 4 cm
¿Cuánto miden cada uno de sus ángulos?

3 cm
En un triángulo isósceles, hay 2
③ Mide los 3　ángulos.
ángulos que miden lo mismo.
En un triángulo equilátero, cada
Traza estos triángulos:
uno de sus 3 ángulos mide 60°.
① Un triángulo isósceles cuyos lados midan 4　cm, 6 cm y 6　cm.
② Un triángulo isósceles cuyos lados midan 5　cm, 5　cm y 8　cm.

78 79

2 En la figura de la izquierda se 4 Traza los siguientes triángulos.
muestra un lado de un triángulo ① Un triángulo isósceles en el que uno de los lados mida 4 cm y los
equilátero. Su longitud es 5 cm. ángulos en sus extremos midan 50°.

① Construye los otros lados de ese A

triángulo equilátero.

¿Puedo trazarlo como lo hice 50° 50°
para un triángulo isósceles? B 4 cm C

② Encuentra cuánto miden sus 3 ángulos. Yo tracé el lado BC. Construí los
Mide la longitud de los
ángulos de 50° en sus extremos y completé 2 lados para comprobar
que el triángulo es
3 Hagamos un triángulo isósceles las líneas para construir los otros 2 lados. isósceles.

doblando una hoja de cartulina como ② Un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 5 cm y 6 cm.
A
se muestra a la derecha.
① ¿Cuánto mide el ángulo ? 4 cm 5 cm

② ¿Podemos hacer un triángulo
equilátero?
B C
6 cm
③ Haz diferentes triángulos isósceles
Yo lo hice de la misma manera en
y ponlos encima de los otros como que tracé un triángulo isósceles.

se muestra a la derecha. ③ Un triángulo donde 2 de sus lados midan 3 cm y 5 cm y el ángulo
formado por estos lados mida 80°.
A

① Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 4　cm. 3 cm
② Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 7　cm.
80°
③ Traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 8　cm, 8　cm y 6　cm.
B 5 cm C

80 81

3 Hagamos patrones
1 ¿De qué tipo son estos triángulos? páginas 76~77
1 Traza y recorta triángulos isósceles y equiláteros del mismo tamaño
en cartulina de colores. Usa esos triángulos para
hacer patrones.

2 El radio de la circunferencia de páginas 76~77, 79~80

la derecha mide 5 cm y su centro es

Yo hice una figura agradable el punto A.
con 6 triángulos equiláteros.
8cm
① ¿De qué tipo es el triángulo ? A
② ¿De qué tipo es el triángulo ?
5cm
Busca en tu entorno
5cm
patrones geométricos
hechos con triángulos.

3 Traza estos triángulos. páginas 79~81

① ②
80 °
6 cm 6 cm 4 cm 4 cm
Vamos a hacer
otros patrones.

4 cm

82 83

Dibujo de triángulos con la misma forma y tamaño
Un triángulo tiene 3 lados
y 3 ángulos, en total son 6 ¿Podemos construir un
elementos. ¿Podemos triángulo idéntico a otro,
construir un triángulo igual usando cualquier combi-
1 Tracemos un triángulo que a otro si conocemos 3 de nación de esos 3 elementos?
esos elementos?
tenga la misma forma y tamaño
que el triángulo de la derecha. ③ ¿Con cuáles de los siguientes elementos puedes construir un
triángulo que sea idéntico a otro? No puedo dibujar el mismo
triángulo aún cuando conozca
(1) La longitud del lado AB y la medida de 3 de los elementos.

los ángulos y .

① Tracemos una línea que tenga la (2) La medida de los ángulos , ,y .

misma longitud que la del lado BC. (3) La longitud de los lados AB y AC y la

¿Qué es lo siguiente que medida del ángulo .

necesitamos saber para trazar B C

este triángulo? 2 Dibuja un triángulo idéntico
al que se muestra a la derecha.
La idea de Yoshiko▼ La idea de Tamotsu▼
Escribe abajo cuáles elementos
usaste.

Elementos que usé:

Puedo construir el triángulo ABC Puedo construir el triángulo ABC si

si conozco la medida de los ángulos conozco la medida del ángulo y la

cuyos vértices son y . longitud del lado AB.

② ¿Hay algún otro método? Intenta encontrarlo.

84 85

Hagamos
1 Escribe los números correctos en el . ⋅Entender las caracteristicas de los triángulos. dados diferentes
① Un triángulo isósceles tiene lados de la misma longitud y • Haz las 4 caras de este dado usando triángulos equiláteros.
ángulos con la misma medida.
② Un triángulo equilátero tiene lados de la misma longitud y
ángulos con la misma medida.

2 Construye los siguientes triángulos. ¿Qué tipo de triángulos son?
⋅Dibujar triángulos donde se dan las longitudes de los 3 lados.

① Un triángulo cuyos lados miden 6 cm, 4 cm y 4 cm.
② Un triángulo cuyos lados miden 5 cm.
• Haz las 8 caras de este dado usando triángulos equiláteros.
① ②

3 Los radios de estas 2 circunferencias miden 4 cm y sus centros son
los puntos A y B. BD y AE son sus diámetros. Construye una figura • Haz las 20 caras de este dado usando triángulos equiláteros.
idéntica a ésta y responde las siguientes preguntas.
⋅Comprender las características de los triángulos y las circunferencias.
① Identifica los triángulos isósceles. Si no
estás seguro de la longitud de los lados,
verifícala midiendo.
② ¿Qué tipo de triángulo es CDB?
Verifica midiendo sus ángulos.

■ Ir a página 87 ■ Ir a página 106 ■ Ir a página 108

86 87

8
División con números de dos dígitos
1 Expliquemos cómo hacer la división de
la derecha en la forma vertical.
① Se empieza a calcular el cociente en el 4 3 5 7

lugar de las .
② El residuo en el lugar de las decenas
significa grupos de .
③ El cálculo del cociente en el lugar de las
unidades es ÷4 y el residuo es .
④ Al terminar la división ¡Es muy útil la Tenemos 6 cajas con 10 caramelos en cada una. Repartiremos
forma vertical!
el residuo es .
equitativamente los caramelos entre 20 niños. ¿Cuántos recibirá cada uno?

60 ÷ 20 ＝
Yo usé las propiedades
2 Haz estas divisiones en la forma vertical. de la división: Total Número Caramelos
60÷20
① 245÷5 ② 473÷4 ↓÷2 ↓÷2
de niños por niño

30÷10
El número que necesitamos es
↓÷5 ↓÷5
el que falta de ×20＝60.
6÷2
Si damos 1 caramelo a cada
El número para cada niño se calcula en la misma
niño, 1 ×20＝20. Si damos 2
forma que cuando dividimos 6 caramelos entre
caramelos a cada niño, 2×20＝
2 niños.
40, así que…

Si pongo a los niños en 2 grupos y a las 6 cajas
Fíjate dónde anotas
en 2 grupos…
el primer dígito del
cociente.

Piensa　cómo　puedes　dividir　con　números　de　2　dígitos.

88 89

Calculemos en la forma vertical
1 División con números de 2 dígitos (1)
3 Se repartirán equitativamente 84 lápices entre 21 niños.
1 Hay 80 pliegos de cartulina de colores. A cada alumno le dieron 20
¿Cuántos lápices recibirá cada uno? Piensa cómo obtener la
pliegos. ¿Cuántos niños recibieron cartulinas?
respuesta calculando en la forma vertical.
÷ ＝ ¿Cuántos
grupos de 20
Total de Pliegos Número de hay en 80?
pliegos por alumno alumnos

La idea de Susumu ▼ La idea de Ayumi ▼

Pensé en paquetes de 10 cartulinas Yo usé las propiedades de la división
① ¿En qué lugar se escribe el primer dígito del cociente?
80÷20＝
21 8 4
↓ ↓
÷2 ÷2
¿Podemos dividir
40÷10＝ 8 entre 21?
8 ÷ 2 ＝ 4
↓ ↓
÷5 ÷5 2 8
Total de pliegos Pliegos por alumno Número de alumnos
② Piensa en 80÷20 ¿Es lo mismo que 8÷2?
8 ÷ 2＝

80÷20＝puede reducirse a 8÷2. ③ El cociente es 4. Comprueba si esta respuesta es correcta.

2 Se empacaron 140 manzanas en cajas con 30 manzanas en cada Cómo calcular 84 ÷ 21 en la forma vertical
una. ¿Cuántas cajas se usaron y cuántas manzanas quedaron sueltas? 4 4 4
El residuo es 21 8 4 2 8 21 8 4 21 8 4
140÷30＝ cociente residuo .
2, ¿estás de 84 84
acuerdo? 0
Dónde iniciar Divide Multiplica Resta

Quedan 2
grupos de 10.
Haz las siguientes divisiones en la forma vertical.
① 99÷33 ② 84÷42 ③ 63÷21 ④ 64÷32
① 60÷30 ② 160÷40 ③ 70÷20 ④　320÷60 ⑤ 48÷23 ⑥ 97÷32 ⑦ 29÷13 ⑧ 91÷44

90 91

¿En que lugar empezamos
a escribir el cociente?
El cociente no se
Cómo iniciar el cálculo del cociente (1) 33 96 Cómo iniciar el cálculo del cociente (2) empieza a escribir aquí.
34 17
4 Pensemos cómo calcular 96÷33 en la forma vertical. 6 Pensemos cómo calcular 170÷34 en la forma vertical.

① Observa que 90÷30 es lo mismo que 9÷3. ① ¿En qué lugar se escribió el primer dígito del cociente?
34 170
② ¿Es correcto el cociente? ② Pensemos en 170÷30. Calcula un cociente

3 3
Disminuir 1 unidad en el cociente
2 provisional usando 17÷3
33 96 3 9 33 96 No podemos hacer 33 96
esta resta Cómo calcular 170÷34 en la forma vertical
99 66
30 es menor que 33 30 5 5 5
34 170 3 17 34 170 34 170
170 170
Llamaremos “cociente provisional” al primer intento que 0
hacemos para calcular el cociente. Si el cociente provisional es Donde iniciar Divide Multiplica Resta

muy grande, hay que intentar con uno más pequeño.
Cómo iniciar el cálculo del cociente (3)

5 Pensemos cómo calcular 68÷16 en la forma vertical. 7 Veamos cómo calcular 326÷36 en la forma vertical.
① Calcula un cociente Pienso 6 ① ¿En qué lugar se escribió el primer dígito del cociente?
60÷10 y … 1 6
provisional. No se puede restar ② Nota que 320÷30 es igual a 32÷3
② Multiplica el divisor por el 16×6＝96. El 6
6 Cómo calcular 326÷36 en la forma vertical
es muy grande…
16 68
cociente provisional. 96 10 9 9 9
36 326 3 32 3 32 36 326 36 326
③ Remplazarlo con un 16×5 es igual 5
No se puede restar

a 80. También 324 324
5 es muy 16 68 2
número menor en 1. grande. 80
Donde iniciar Divide Intenta otra vez Multiplica Resta
④ Remplazarlo con el 4
¡Ya está! 4 es
Se puede restar

siguiente número menor. el cociente 16 68
correcto. Si el cociente provisional es 10 o
64
mayor que 10, remplázalo con 9.
4

①　54÷14 ②　60÷12 ③　68÷24 ④　79÷13 ① 255÷51 ② 284÷71 ③ 191÷24 ④ 218÷38
⑤　70÷14 ⑥　69÷15 ⑦　97÷16 ⑧　72÷15 ⑤ 208÷21 ⑥ 217÷25 ⑦ 257÷29 ⑧ 143÷18

92 93

2 División con números de 2 dígitos
2 2 2
1 Se repartirán equitativamente 322 cartulinas de colores entre 14 14 32 2 14 32 2 14 32 2 14 32 2
28 28
alumnos. ¿Cuántas cartulinas le tocan a cada uno? 4
Donde iniciar Divide Multiplica Resta

① Escribe una división. 2 2 3 2 3 2 3
¿Pueden repartirse 3 paquetes
14 32 2 14 32 2 14 32 2 14 32 2
28 28 28 28
con 100 cartulinas cada uno
4 2 4 2 4 2 4 2
② ¿En qué lugar empezarás a entre 14 niños, sin tener que
4 2 4 2
abrir un paquete?
0
calcular el cociente?
Baja el número Divide Multiplica Resta
③ Cambia los paquetes de 100 por paquetes de 10, ¿cuántos paque-
tes de 10 se forman?
Primero decidimos en qué lugar empezaremos el cálculo, escribimos
④ Reparte los paquetes de 10 cartulinas ( ahí el primer dígito del cociente. Después multiplicamos, restamos y

(
entre los 14 niños.
10 cartulinas
Paquetes con
bajamos el número que queda. Si es necesario repetimos esos pasos.
Cartulinas
sueltas
÷14 ¡Al hacer la división debemos decidir qué hacer!

⑤ Imagínate que abres los paquetes
)
)

2 Calcula 980÷28 en la forma
de 10 cartulinas que sobran, ¿cuántas 2
14 32 2 2 8 9 8 0
vertical. ¿En qué lugar escribirás el
cartulinas son? 28
4 primer dígito del cociente?
⑥ Reparte las cartulinas que quedan
entre los 14 niños.
2 3
÷14 14 32 2
⑦ ¿Cuántas cartulinas se dan a cada niño? 28 ① 736÷16 ② 810÷18 ③ 851÷26
4 2
¿Cuántas cartulinas sobran? ④ 585÷39 ⑤ 612÷36 ⑥ 578÷23

94 95

Hicimos esto
Divisiones donde hay 0 en el cociente
3 Propiedades de la división y la multiplicación en la página 32.
3 Veamos cómo calcular 607÷56 56 60
1 Haz estos cálculos usando estas propiedades de la división:
① ¿En qué lugar se ha escrito el primer dígito
10
del cociente? 56 607 En una división, el cociente no cambia si el dividendo y el divisor
560
② ¿Qué dígito ocupa el lugar de las unidades 47 se multiplican por un mismo número.
en el cociente? Tampoco cambia el cociente si el dividendo y el divisor se dividen
entre un mismo número.
4 El cálculo de 859÷21
40 40
se muestra a la derecha. Explica ① 1500 ÷ 500 ＝ ② 24000 ÷ 3000 ＝
21 859 21 859
los métodos de cálculo de los 840 840 ÷ ÷ ÷ ÷
19 19 ÷ ＝ ÷ ＝
alumnos y . 00
19
2 Compara las 2 operaciones que se dan y escribe los números que faltan en los
① 40×6 ＝240 ② 80×3 ＝240
× ÷ ÷ ×
80×3 ＝240 40×6 ＝240
1 Haz estas divisiones:
③ 40×6 ＝240 ④ 80×6 ＝480
① 705÷34 ② 913÷13 ③ 856÷42
× × ÷ ÷
④ 531÷26 ⑤ 576÷56 ⑥ 942÷47
80×6 ＝480 40×6 ＝240
⑤ 40×6 ＝240 ⑥ 40×12＝480
2 Completa las siguientes divisiones, si hay errores corrígelos.
① ② 21 ③ 10 × × ÷ ÷
22 446 31 645 57 704 40×12＝480 40×6 ＝240
440 620 570
6 25 34 Nota que algunas propiedades Verifica esas propiedades
31 son de la multiplicación y aplicándolas en otras
6 otras de la división. operaciones.

96 97

1 Haz estas divisiones en la forma vertical. páginas 89~96 1 Resumamos cómo dividir números de 2 dígitos.
① 40÷20 ② 240÷60 ③ 130÷40 ・Entender la división de números de 2 cifras en la forma vertical.
32 768
④ 96÷32 ⑤ 97÷27 ⑥ 85÷19 ① El cociente se empezó en el lugar de las
⑦ 344÷43 ⑧ 385÷56 ⑨ 411÷45 ② En el lugar de las decenas el cociente se calcula ÷ .
⑩ 672÷28 ⑪ 453÷17 ⑫ 738÷24 ③ El cálculo del cociente en el lugar de las unidades es ÷32.

2 Haz las siguientes divisiones en la forma vertical.
2 Se repartieron equitativamente 113 huevos entre 12 niños. ¿Cuántos se ・Entender la división con números de 2 dígitos en la forma vertical.

les dieron a cada niño y cuántos sobraron? ① 64÷21 ② 74÷15 ③ 505÷55
página 93
④ 715÷42 ⑤ 567÷28 ⑥ 736÷36

3 Una profesora compró unas plumas que cuestan 75 yenes cada una,
3 Tenemos un carrete de listón que mide 7m 60cm. ¿Cuántos trozos de 50 cm
pagó en total 900 yenes. ¿Cuántas plumas compró?
pueden obtenerse de este carrete y cuánto listón sobra?
página 95 ・Expresar un problema mediante una expresión matemática.

4 Explica por qué el resultado de 320÷40 es el mismo que el de 32÷4.
Diferentes maneras de dividir en otros países ・Explicar usando las propiedades de división.

• Cómo se hace la división en dos países diferentes.
984÷23 5 Encuentra los números que faltan, se
Alemania 42 Canadá
984 23
trata de que obtengas el mismo resultado 12 2
2 92z 42 si multiplicas 3 números en línea recta
10
30
64
46 en cualquier dirección. 6 36
984 ：23 18
－690
294 ・Usar la multiplicación y la división en diferentes formas.
18
－230
64 En Alemania comienzan
－46 con un cociente provisional
muy pequeño y luego repiten. Ir a la página 100 Ir a la página 107 Ir a la página 110
18

98 99

Cálculo de múltiplos
El gusano devorador Longitud de un salto
de cálculos
1 Escribe los números correctos en el 1 La estatura de Hiroshi es 135 cm.
① a 5 Sugerencia Él salta 270 cm.
4 3 b c • d 8 es la respuesta a 4× a y significa
d 8
¿Cuántas veces es la longitud de su
que hay d 8 grupos de 10
e f salto comparada con su altura?
g 0 • g 0 es la respuesta de 4×5
Longitud de su salto 270B
1
Estatura 135B
② 3 a Sugerencia Veces
Longitud de su salto 0 270B 1 （Veces）
2 b 7 6 c • De 76－7 d ＝4, obtienes d
7 d Estatura 135B
• De 2 b3×3＝7 d obtienes b .
4 e 2 En una competencia de salto de longitud un atleta saltó 8 m 50 cm.
Veces
• De 2 × × a ＝ 48 obtienes a .
b 0 1 （Veces）
4 8 Su estatura es 170 cm. ¿Cuántas veces es la longitud de su salto
0
El 9 en el lugar de las
comparada con su estatura?
③ ④ unidades es el producto
de 2 números. ¿Cuáles
7 2 7 son esos números? 3 Un sapo puede saltar 40 veces la longitud de su cuerpo.
7 4
6 ① La longitud del cuerpo de un sapo es 5 cm. ¿Cuántos metros
9 No podemos resolver este
pudo saltar?
problema si los lugares de los
2 no son correctos.
② Si pudieras saltar 40 veces tu estatura, ¿cuántos m y cm
2 Inventa problemas 1 2 1 podrías saltar?
como los anteriores 2 8 3 3 7 8 3 7
y pide a tus 2 8

compañeros que 5 7
5 6
los resuelvan.
1 1

100 101

¿Qué hay detrás de los números?

• Elige un color para cada residuo
y colorea la figura. Residuo de la
Color
división

0
1
2
¿Qué hay detrás de los números? 4

Construcción de tablas 5

Hagamos carteles para la escuela 7 ¡Elige los
colores que más
te gusten!
¿Qué descubriste? 8

En busca del tesoro 7

División con números grandes 8

102 103

Construcción de tablas ① Haz una tabla donde sea fácil ver el grado escolar de los alumnos y los tipos de lesiones.
¿Qué diferencias notas en esta tabla si la comparas con la de la página anterior?

Registro de lesiones
Grado escolar de los alumnos y tipos de lesión (niños)
Grado Lugar Tipo de lesión Grado Lugar Tipo de lesión Lesión
Grado Cortadura Contusión Rasguño Fractura Torcedura T. de dedo Total
4 o Patio Cortadura 6 o Patio Torcedura del dedo escolar

5o Pasillo Contusión 6o Gimnasio Torcedura 1o
5o Pasillo Contusión 2o Patio Rasguño
2o
1o Aula Rasguño 1o Aula Rasguño
3o Gimnasio Rasguño 5o Aula Cortadura 3o
3o Patio Fractura 5o Gimnasio Rasguño
4o
6o Gimnasio Rasguño 3o Escaleras Contusión
5o Aula Cortadura 4o Gimnasio Torcedura 5o
4o Patio Rasguño 2o Patio Contusión
5o Gimnasio Rasguño 6o Aula Rasguño 6o
3o Gimnasio Contusión 4o Pasillo Contusión Total

1 Compara la tabla de la página 54 con la que se muestra abajo. ② Construye una tabla distinta usando los datos de las lesiones de los
Nota que aquí hay dos tipos de información que es más fácil observar, alumnos.
¿cuáles son? Luego completa esta tabla. (niños)
Lugares y tipos de lesiones (niños) Total
Lesión Torcedura
Cortadura Contusión Rasguño Fractura Torcedura Total
Lugar del dedo
Patio
Pasillo
Aula
Gimnasio
Escalera
Total

2 ¿Podemos construir otros tipos de tablas usando los datos de las lesiones
de los alumnos? Total

104 105

Hagamos carteles para la escuela ¿Qué descubriste?

• Los carteles que se muestran a la derecha • Haz estas divisiones. Luego encuentra tus respuestas en

son fáciles de entender. Haz carteles combinando la figura de abajo e ilumina esos espacios de color rojo.

triángulos, cuadriláteros y circunferencias. Intenta ¿Qué observas?

que tus carteles sean útiles en distintos lugares de
tu escuela. ① 60÷30 ② 320÷60 ③ 99÷33
④ 48÷23 ⑤ 98÷14 ⑥ 68÷24
⑦ 70÷14 ⑧ 69÷15 ⑨ 97÷16
⑩ 284÷71 ⑪ 260÷51 ⑫ 191÷24
⑬ 218÷38 ⑭ 257÷29 ⑮ 143÷18
⑯ 736÷16 ⑰ 585÷39 ⑱ 705÷34

17 7 4 6 residuo 20 41
4
residuo residuo
uo
25 8 6
residuo 9 8 2 20 res
id
residuo residuo
residuo 2
3 23 25 5 2
3 residuo 6
5 residuo 2 5 residuo10
2 residuo 2
7
8 residuo 25
5 46 4
2 residuo
4 residuo 3
1
8 residuo 1 20 5
5 residuo 6
6 residuo 1 residuo
5 residuo 4 7 residuo 2 20 7
residuo 1 5 17
4 5 residuo residuo 22
45 residuo 23
residuo 28
residuo 9 2 residuo16 5 1
6 7 5
15 7 residuo residuo
residuo 33 8 17 3

5
7

o1
20

idu
① ¿Qué significan estas imágenes?

res
13

20
4 residuo 4 9 residuo14 2 residuo 5
② Haz muchos carteles para tu escuela y muéstralos a tus compañeros.

106 107

En busca del tesoro ① Usa un compás para trazar algunos puntos donde puede estar
escondido el tesoro. Hay muchos puntos
posibles.

¡Mira!
Los puntos hacen
una línea recta.

A B
Puño de roca Palmera A B

1 ¿Dónde deberíamos buscar el
El tesoro está
② Otra pista: el tesoro está a 7 cm de los puntos A y B.
tesoro?
escondido en un lugar Marquemos en la figura una X para indicar dónde está el tesoro.
¡No podemos buscarlo si no que está a la misma
2 La línea AB es un lado de un
conocemos las reglas! distancia del puño de
roca y la palmera.
triángulo. Traza los dos lados que
D
faltan para completar un triángulo
isósceles.
A B ① Dibuja otros 5 triángulos
Puño de roca C Palmera A B
isósceles en los que uno de sus
Creo que está en C porque Yo creo que está
es el punto medio de AB en el punto D. lados sea la línea AB.
② Une los vértices distintos a A y B
Traza con un compás 2 circunferencias
que se intersecten, una con centro en A con una línea.
¿Cómo podemos
y la otra con centro en B. Los radios de
encontrar el lugar que
está a la misma distancia
ambas circunferencias deben ser iguales. ③ ¿Dónde corta esa línea a la línea AB?
Esas circunferencias se cortan en dos
de A y de B?
puntos, ambos puntos están a la misma ④ Traza un sexto triángulo
distancia de A y de B.
isósceles. ¿Qué observas?
108 109

División con números grandes 4 Hay 1400 hojas de papel. Se quieren hacer paquetes de 400
hojas. ¿Cuántos paquetes se pueden hacer?
1 Yoshiko tiene 12 rosetas y Sanae tiene 3. ① Escribe una expresión matemática para resolver este problema.

Yoshiko ÷
Sanae

¿Cuántas veces más es la cantidad de rosetas que tiene Yoshiko ② Escribe una expresión matemática usando paquetes de 100 hojas.
comparadas con las de Sanae?
Escribe una expresión para contestar esta pregunta.

÷ ＝
14÷4 cociente 3, residuo 2.
2 TTakeshi tiene 1200 yenes y Daisuke tiene 300.

Takeshi
③ ¿Cuántas hojas sobran?
Daisuke

¿Cuántas veces más es el dinero que tiene Takeshi comparado ¿Podemos decir que ¿Tenemos 3 paquetes de
el residuo es 2? 100 y un residuo de 2?
con el que tiene Daisuke? Eso parece extraño...

① Usemos un dibujo para encontrar cuántas veces más es el dinero
que tiene Takeshi comparado con el de Daisuke. 5 Tenemos 2800 yenes. Una pelota cuesta 500 yenes. ¿Cuántas
pelotas podemos comprar? ¿Cuánto dinero nos sobra?
Takeshi

Daisuke
Si pensamos en el número
② Escribe una expresión que te permita de monedas de 100 yenes,
6 Para hacer un festival escolar se
obtenemos 12÷3 reunieron 3500 globos. Los vamos a
resolver este problema.
poner en cajas con 30 globos en cada
÷ ＝
una. ¿Cuántas cajas podemos completar?

3 ¿Cuántas veces 300 yenes es igual a 12000 yenes? ¿Cuántos globos sueltos quedarán?

110 111

Respuestas

página 11 página 70
1 ① cien millones, un trillón 1 ① 5, 1, 7 ② 6, 4
② 10000, 10000 3 ① 24, residuo 1 ② 15, residuo 3
2 ① 46,237,500,000,000 ③ 28 ④ 10, residuo 3
Cuarenta y seis trillones doscientos treinta ⑤ 199 ⑥ 80, residuo 7
y siete billones quinientos millones. ⑦ 204 ⑧ 92, residuo 2
② 200,400,000,000,000 4 76 cartulinas, sobran 4 hojas
Doscientos trillones cuatrocientos 5 40° 250°
billones página 83
③ 1,800,000,000,000 1 triángulo isósceles
Un trillón y ochocientos billones triángulo isósceles
④ 2,300,000,000,000 triángulo equilátero
Dos trillones trescientos billones triángulo isósceles
página 26 triángulo equilátero
1 ① centro 2 ① triángulo isósceles
② (b) radio (c) diámetro ② triángulo equilátero
2 ① diámetro ② 2 página 88
4 ，， 1 ① Decenas ② 3, 10
5 es más largo que . ③ 37 ④ 1
página 42 2 ① 49 ② 118, residuo 1
1 ① 26 ② 12 ③ 19 ④ 11 página 98
⑤ 12 ⑥ 12, residuo 5 1 ① 2 ② 4
⑦ 18, residuo 2 ⑧ 12, residuo 6 ③ 3 , residuo 10 ④ 3
⑨ 41, residuo 1 ⑩ 21, residuo 2 ⑤ 3 , residuo 16 ⑥ 4 , residuo 9
⑪ 10, residuo 8 ⑫ 20, residuo 1 ⑦ 8 ⑧ 6 , residuo 49
2 15 conchitas ⑨ 9 , residuo 6 ⑩ 24
página 48 ⑪ 26, residuo 11 ⑫ 30, residuo 18
1 ① 137 ② 37 ③ 208 2 9 huevos, residuo 5 huevos.
④ 40, residuo 7 ⑤ 76, residuo 1 3 15 trozos de listón, sobran 10cm
⑥ 108, residuo 3 ⑦ 120, residuo 3
⑧ 121, residuo 2
2 60 pájaro
3 145 cajas, 14 lápices
página 67
1 ① 55° ② 110° ③ 320°
2 ① 120° 135° 75°

112

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