El documento presenta un resumen de los contenidos de matemáticas de 6o grado organizados en 12 temas. Los temas incluyen multiplicación y división con fracciones, área aproximada, razones, variación proporcional directa y resumen. Cada tema contiene ejemplos y ejercicios para explicar y practicar los conceptos matemáticos.

1. 6º grado
6 o 7 Multiplicación y división con fracciones (1) 10 Razones
grado Vol.1 Estructura del Contenido vol. 2
8 Multiplicación y división con fracciones (2) 11 Variación proporcional directa
9 Área aproximada 12 Resumen
¡Estudiemos temas
Números y sus operaciones que te interesarán!
5º grado
1 Múltiplos y divisores ･････････････4
Números decimales y
números enteros Múltiplos y múltiplos comunes ････････ 4
1 90
Divisores y divisores comunes･･････ 11
2
Un breve examen sobre múltiplos･･･18
5º grado
Fracciones 3 Fracciones ･･･････････････････ 23
91
Comparación de fracciones ･･････ 24
1
Suma y resta con fracciones ･･････････ 29
2
94
2 Estimación de productos y cocientes ･････ 20 Operaciones con fracciones y decimales ･･ 34
Figuras
3er grado
4 Tipos de sólidos････････････ 37
････････････
Cajas rectangulares
Prismas rectangulares y cubos ･･････ 37
1
4º grado Redes ･･････････････････････････ 39
2
Círculos y esferas Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas ･･･ 43
3
Prismas y cilindros ････････････････47
4 96
¿Cuál es la distancia más corta? ･････51
Tamaño y medida
3er grado
5 Volumen ･････････････････････ 53 92
Volumen
Volumen ･･･････････････････････ 53
1
Fórmulas para calcular el volumen
2 56 98
Volúmenes grandes ････････････ 59
3
Volumen de un prisma ････････････ 64 6 Medición con otro tipo de unidad ･･ 70
El volumen de distintos cuerpos ････ 67 1 Media aritmética ･･････････････ 71
93
5º grado 2 Midamos usando otro tipo de unidad 74
División de números decimales 3 Velocidad･･････････････････････81
100
El promedio y la aglomeración en relación con el medio ambiente ･ 88
Repaso(1) ･････････････････････68

2. Configuraciones con cuadrados
Haz equipo con uno de tus compañeros y acomoda cuadrados del
Cómo mismo tamaño como se muestra en la siguiente figura.
jugar
¡Piensa de manera inversa!
Inicia con el último cuadrado
que colocaste.
▲ El volumen de agua en la represa de Kurobe es doscientos millones de m3.
El volumen del molde
▲
de pan es 5000 cm3.
▼ El volumen de agua de la
piscina es 250 cm3.
▼ El volumen de una
goma es 15 cm3.
2 3

3. Múltiplos y divisores
20 cm
Queremos hacer un periódico
mural rectangular para
mostrar unos dibujos que
¿Cómo calculamos
hicimos. ¿Cómo debemos
el ancho y el largo
construirlo para que no
apropiado del
queden huecos entre las
periódico mural?
imágenes?
15 cm
Para resolver el problema utiliza tarjetas de 2 cm por
3 cm como se muestra en la página 5.
2 cm
1 Múltiplos y múltiplos comunes 3 cm
10 cm
Múltiplos
1 Alinea las tarjetas de izquierda a derecha y encuentra la relación entre
el número de tarjetas y el ancho del periódico mural.
① Anota los datos del número de tarjetas y el ancho del periódico mural en
la siguiente tabla.
Número de tarjetas y ancho total
5 cm
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Ancho (cm) 3 6 9
② Encuentra la relación que hay en los números que indican el
ancho de las tarjetas.
Identifica los números que son múltiplos de otro número, como lo hiciste
con la longitud y el número tarjetas.
0
15 cm
10 cm
5 cm
0
4 5

4. Múltiplos comunes
Los múltiplos de 3 son los números enteros que se obtienen Colocaremos en la
pared un tapiz de El ancho y el largo
al multiplicar por 3, por ejemplo, 3×1, 3×2, 3×3, … forma cuadrada hecho deben ser iguales.
con nuestros dibujos.
Ahora encuentra una fórmula
para la longitud.
2 Alinea las tarjetas verticalmente, de arriba hacia abajo. Luego encuentra
la relación entre el número de tarjetas y la longitud correspondiente.
① Completa la tabla y encuentra la relación entre el número de tarjetas y la 3 Acomoda las tarjetas de izquierda a derecha y de abajo para arriba para formar un cuadrado.
longitud. ① ¿Cuántos cm miden los lados del cuadrado? Usa la cuadrícula de la pági-
Número de tarjetas y longitud na 5 para encontrar la respuesta.
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8 ② Marca con distintos colores los múltiplos de 2 y de 3 en la
siguiente recta numérica.
Longitud ( cm) 2 4 6
Múltiplos de 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
② ¿De qué número son múltiplos esas longitudes?
Múltiplos de 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 Hagamos una torre con cajas de galletas
de 5 cm de altura. ③ Se puede construir un cuadrado formado por rectángulos cuyo largo y
① ¿Cuál es la altura de la torre formada ancho sean múltiplos de 2 y de 3 respectivamente. Verifica eso usando la
por 6 cajas? cuadrícula de la página 5.
② La altura de la torre cambia cada vez que 5 cm
Si un número es múltiplo de 2 y de 3 se le llama múltiplo
agregamos una caja. ¿De qué número son múltiplos las alturas de la torre?
común. El mínimo común múltiplo es el menor de los
2 Escribe los primeros 5 múltiplos de los siguientes números.
múltiplos comunes.
① múltiplos de 8 ② múltiplos de 9
6 7

5. ④ ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y 3?
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.
Todos los múltiplos comunes de 3 y 4 son múltiplos del
4 ¿Cómo podemos encontrar el mínimo común múltiplo de 3 y 4?
mínimo común múltiplo.
La idea de Yoshio▼
5 En la siguiente figura
Anoto los múltiplos de 3 y 4 e identifico los múltiplos comunes.
Múltiplos de 3: 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , … se muestran cajas
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , … apiladas, las de galletas
miden 6 cm de altura y
las de malvaviscos 8 cm.
La idea de Keiko▼
De los múltiplos del 4, identifico los que son divisibles entre 3.
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , … ① ¿De qué número es múltiplo la altura total de las cajas de galletas?
② ¿De qué número es múltiplo la altura de la pila de cajas de malvaviscos?
③ ¿Qué altura deben tener las dos pilas de cajas para que sean iguales?
¿Cuántas cajas tiene cada pila?
Construyamos listas de múltiplos
④ Escribe los primeros 3 números en los que la altura de ambas pilas de
•Escribe en la cinta los múltiplos de 2 arriba de los múltiplos de 3. Los
cajas es la misma.
múltiplos comunes de 2 y 3 están donde quedan alineados los puntos
negros de ambas listas.
Los agujeros 1 Escribe los primeros 4 múltiplos comunes para cada una de las
muestran los
siguientes parejas de números y encuentra su mínimo común múltiplo.
múltiplos.
① (5,2) ② (3,9) ③ (4,6)
2 Imagina dos torres hechas con cajas, en la primera torre la altura de cada
caja es 6 cm y en la segunda la altura de cada caja es 9 cm. ¿Cuál es la altura
mínima en la que las torres medirán lo mismo?
8 9

6. ¿Cómo ordenar los múltiplos? 2 Divisores y divisores comunes
• En la tabla de abajo encerramos en un círculo cada múltiplo de 2.
¿Quedan alineados los múltiplos de 2? Marca los Queremos cubrir con
Haz lo mismo para los múltiplos de otros múltiplos cuadrados iguales ¿Cómo calculamos
de 3. el marco que está el ancho y largo
números. en la pared sin apropiados para
dejar huecos. este marco?
Múltiplos de 2 Múltiplos de 3
Divisores
1 Cubre con cuadrados 18 B
cm
del mismo tamaño un
rectángulo de 12 x 18 cm.
¿Cuántos cm puede medir 12 B
cm
Múltiplos de Múltiplos de cada lado del cuadrado?
Para empezar trata de imaginar qué longitud
pueden tener los lados de los cuadrados si los
ordenas verticalmente y sin huecos.
① ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados para acomodarlos
verticalmente sobre una plantilla de 12 cm de largo sin dejar huecos?
10 11

7. Cuando se ordenan verti- 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm Cuando se acomodan horizon- 18 cm
1 cm 1 cm
calmente los cuadrados 2 cm talmente los cuadrados en la
3 cm 4 cm 1 cm
en la plantilla de 12 cm plantilla de 18 cm de largo
2 cm
de largo, la longitud de 12 cm
sin dejar huecos, la longitud 2 cm
sus lados puede ser 1cm, de sus lados puede ser 1 cm,
3 cm
2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm y 2 cm, 3 cm, 6 cm, 9 cm y 18 cm.
3 cm
12 cm.
Se incluye el cuadrado de
② Divide 12 entre 1, 2, 3, 4, 6, y 12. 18 cm por lado porque se
alinearon horizontalmente.
Los divisores de 12 son los números enteros entre los que se 1 ，2 ，3 ，6 ，9 y 18 son los divisores de 18.
puede dividir 12 dejando cero como residuo.
Divisores comunes
1，2，3，4，6，12 son divisores de 12. ⑤ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si se colocan
vertical y horizontalmente sin dejar huecos?
Recuerda que en un
cuadrado el largo y el
③ ¿Qué observas si se agrupan los divisores de 12 como se muestra a Verticalmente…… 1 2 3 4 6 12 (cm) ancho miden lo mismo.
continuación? Horizontalmente… 1 2 3 6 9 18 (cm)
1×12＝12
Se llaman divisores comunes de 12 y 18 los números que
2 ×6 ＝12
son divisores tanto de 12 como de 18.
3 ×4 ＝12
El máximo común divisor es el mayor de los divisores
En el conjunto de los divisores de un número entero se incluye el 1 y el comunes.
número mismo. Trata de pronosticar qué longitud Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6.
tendrán los lados de distintos
cuadrados si los acomodamos ⑥ ¿Cuál es el máximo común divisor de 12 y 18?
en la plantilla sin dejar huecos.
④ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si los acomodamos 1 Encuentra todos los divisores de 6, 8 y 36.
horizontalmente en una plantilla de 18 cm de largo sin dejar huecos? 2 Escribe todos los divisores comunes de 8 y 36.
12 13

8. 2 Veamos cómo puedes encontrar los divisores comunes de 18 y 24. Relación entre múltiplos y divisores
La idea de Yoshio ▼ 4 Piensa en los divisores de 18.
① Construye rectángulos usando 18 tarjetas cuadradas para encontrar los
Anoto los divisores de 18 y 24 para identificar los divisores comunes.
divisores de 18.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
La idea de Keiko▼
Hago una lista de los divisores de 18 e identifico cuáles de ellos son ② ¿18 es múltiplo de los divisores que encontraste en ①?
divisores de 24.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
•3 y 6 son divisores de 18
•18 es múltiplo de 3 y 6
El máximo común divisor de 18 y 24 es 6. 24÷1＝24
24÷2＝12
•2 y son divisores de 18
•18 es múltiplo de y 9.
3 Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
Números que sólo son divisibles entre 1 y sí mismos
① (8, 16) ② (15, 20) ③ (12, 42) ④ (13, 9)
•Algunos números como 2, 3, 5 y 7 sólo son divisibles entre 1 y
entre sí mismos. Busca ese tipo de números en la siguiente lista.
Observa que en la pareja (13, 9) sólo hay un divisor común.
Divide entre 2, 3, 4, … para encontrarlos
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
¿Entre cuántos alumnos podemos repartir equitativamente 8
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
lápices y 12 cuadernos?
14 15

9. 1 Vamos a trabajar con los números del 1 al 50. páginas 4~7, 11~13 1 Escribe 3 múltiplos de los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor; encuentra también todos sus divisores. ・Encontrar múltiplos y divisores.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
① 16 ② 13 ③ 24
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 Para las siguientes parejas de números escribe 3 múltiplos comunes de
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 menor a mayor y encuentra su mínimo común múltiplo.
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ・Encontrar múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo.
① (3, 5) ② (12, 18) ③ (10, 20)
① Identifica en la tabla los múltiplos de 3 y anótalos.
3 Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de
② Identifica en la tabla los múltiplos de 7 y anótalos.
números y encuentra su máximo común divisor.
・Encontrar divisores comunes y el máximo común divisor.
③ Identifica en la tabla los múltiplos comunes de 3 y 7 y anótalos.
① (9, 15) ② (4, 11) ③ (12, 24)
④ Identifica en la tabla los divisores de 28 y anótalos. 4 De la estación salen un tren y un autobús cada 12 y 8 minutos respecti-
vamente. A las 9 de la mañana coincide la salida de ambos transportes.
⑤ Identifica en la tabla los divisores de 32 y anótalos. ¿A qué hora volverán a salir juntos un tren y un autobús?
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
⑥ Identifica en la tabla los divisores comunes de 28 y 32 y anótalos.
5 Toma una hoja de papel cuadriculado de 30 cm de ancho y 12 cm de
Escribe los primeros 3 múltiplos comunes de las siguientes parejas de números
largo y recorta cuadrados del mismo tamaño de tal forma que no te sobre
2
e identifica su mínimo común múltiplo.
papel. ¿Cuántos cm por lado puede medir el cuadrado más
grande?¿Cuántos cuadrados de ese tamaño puedes recortar?
páginas 7~8
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
① (3, 6) ② (8, 10) ③ (5, 15)
6 Los números como el 2, el 3 y el 5 sólo pueden dividirse entre
3 Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números e 1 y entre sí mismos. Encuentra el mayor número menor que 100
identifica su máximo común divisor. páginas 13~14 para el cual se cumple esta condición.
① (6, 12) ② (18, 20) ③ (32, 42) ・Entender que algunos números pueden dividirse sólo entre 1 y sí mismos.
■ Ir a la página 18 Ir a la página 90
16 17

10. 3 Múltiplos de 5
Un breve examen
sobre múltiplos ¿20, 25 y 26 son múltiplos de 5?¿Por qué?
Si ÷ ( ) es entero
1 Múltiplos de 2
con residuo cero,
① ¿10, 20 y 100 son múltiplos de 2? ¿Por qué? es un múltiplo de ( ).
4 Múltiplos de 9
① Encuentra los mayores múltiplos de 9 que puedas restar de 10 y de 100. ¿Cuál es
② ¿34 y 35 son múltiplos de 2? la diferencia cuando esos múltiplos de 9 se restan de 10 y de 100?
¿Por qué?
10 100
Si el último dígito es , 9 Múltiplo de 9 99 Múltiplo de 9
el número es un múltiplo de 2. Diferencia 1
Diferencia 1
2 Múltiplos de 4
① ¿100 es un múltiplo de 4? ¿Por qué? ② ¿234 es un múltiplo de 9? 200 30 4
② ¿136 y 137 son múltiplos de 4? ¿Por qué? Encuentra los mayores múltiplos
Diferencia 2
Diferencia 4
Diferencia 3
de 9 que puedas restar de 200,
30 y 4.
¿Cuál es la diferencia cuando
restas esos múltiplos de 9 de
200, 30 y 4?
¿La suma de esas diferencias es un múltiplo de 9?
③ Si la suma de los dígitos de un número es un múltiplo de 9, se cumple que ese
Si los dos últimos dígitos de un número son múltiplos de , número es un múltiplo de 9. Trata de explicar por qué.
el número es un múltiplo de 4.
18 19

11. Estimación de productos y cocientes 2 Un elefante africano pesa 6350 Kg y
Yushiko 38 Kg.
1 La escuela organizó un paseo al
¿Cuántas veces el peso de Yushiko es
que asistieron 315 estudiantes que
igual al peso del elefante?
pagaron 190 yenes por su boleto
de tren para trasladarse al lugar. 6350 ÷ 38
¿cuánto se pagó aproximadamente
por los pasajes de tren?
① Redondea el divisor y el dividendo al valor posicional del primer dígito
190×315
y estima el cociente.
① Para calcular el costo aproximado redondea el costo del boleto 6000 ÷ 40
de 190 a 00 y el número de estudiantes de 315 a 00. ÷10 ÷10
② Estima el producto con los números redondeados: 600 ÷ 4
190×315→200×300
③ Usa una calculadora para ver qué tan acertado es el resultado de ② Encuentra el resultado de 6350÷38 con tu calculadora y compáralo
esta estimación. con la estimación que hiciste.
1 Aproximadamente, ¿cuántas veces
es la altura de la Torre de Tokio com-
1 9 0 × 3 1 5 parada con la de la Estatua de la
Libertad de Nueva York?
2 Estima el valor de los siguientes
cocientes y compara el resultado con
tu calculadora.
Estima el resultado de las siguientes multiplicaciones. ① 37960÷78
① 498×706 ② 2130×587 ② 90135÷892 333 m 46 m
20 21

12. 3
Fracciones
1 Escribe las equivalencias entre fracciones que se indican. Usa la siguiente
imagen para responder. Tres alumnos hicieron sándwiches de distintas formas.
¿Cuál de ellos tiene más pan?
Las rebanadas de pan son del mismo tamaño en todos los casos.
El sándwich de Yasuo▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y utilicé 2.
El sándwich de Hiroshi▼
Dividí una rebanada de pan
en 3 partes iguales y usé 2.
El sándwich de Akiko ▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y usé 3.
2 1 Si una rebanada de pan es 1 unidad, la cantidad de pan en el
① ②
3＝ ＝ 4＝ 2
sándwich de Yasuo puede expresarse como 4 . Expresa la cantidad
3 5 de pan en los sándwiches de Hiroshi y Akiko usando fracciones.
③ ④
5＝ 10 ＝ ＝ ＝ ＝
2
Yasuo: de rebanada Hiroshi: de rebanada Akiko: de rebanada
4
22 23

13. 3 1 1 1
1 ② Expresa en términos de , y .
Comparación de fracciones 4 8 12 16
¿Cómo podemos comparar
3 3×
4 ＝ 4× ＝ 8
2 3 2 3 ?
y pueden compararse y
4 4 3 4
porque los denominadores son Una fracción puede expresarse
de diferentes maneras multiplicando
iguales.
3 3× por el mismo número el numerador
4 ＝ 4× ＝ 12 y el denominador.
Comparemos fracciones con diferentes denominadores.
3 3×
4 ＝ 4× ＝ 16
2 3
1 Piensa cómo comparar 3 y 4 .
2
① Expresa de distintas formas con fracciones equivalentes. 2 3
3
③ Compara y expresándolos como fracciones con el mismo
3 4
denominador.
2 3
3＝ 4＝
2
Expresa en términos de sextos, novenos y doceavos. ④ Observa el sándwich de la página 23, ¿cuál tiene más pan?
3
¿Cuál es la relación entre los numeradores y denominadores de
Comparemos fracciones doblando papel
fracciones equivalentes? 2 3
•Toma una hoja de papel y haz dobleces para expresar y como
3 4
fracciones con el mismo denominador.
Ambas piezas de papel
están dobladas en 12
partes iguales.
Doblar en 3. Doblar en 4.
Obtenemos fracciones equivalentes si multiplicamos o
dividimos el numerador y el denominador por un mismo
Doblar en 4. Doblar en 3.
1
número. ▲ ▲×■ ▲ ▲÷■ 2 3
＝ ， ＝ ＝ 12 ＝
● ●×■ ● ●÷■ 3 4
24 25

14. Común denominador Encontremos un común denominador
3 4 5 7
2 Compara y . Para ello construye fracciones equivalentes que 4 Encuentra fracciones equivalentes a y con el mismo denominador.
4 5 6 8
tengan igual denominador. ¿Qué denominadores puedes utilizar para
Así lo hizo Kenta ▼ Así lo hizo Yuko▼
compararlas? Identifica y marca cada uno de ellos.
Multipliqué los dos denominadores Elegí el 24 como común denomi-
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 para obtener un común nador porque es el mínimo común
……
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 denominador. múltiplo de 6 y 8.
5 5× 40 5 5× 20
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 6 ＝ 6× ＝ 48 6 ＝ 6× ＝ 24
……
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
7 7× 42 7 7× 21
8 ＝ 8× ＝ 48 8 ＝ 8× ＝ 24
Puedes comparar fracciones con denominadores diferentes
si las transformas en fracciones que tengan el mismo Es conveniente elegir el mínimo común múltiplo como denominador
denominador. común, es decir, el menor de los denominadores comunes.
Encontrar “un común denominador” significa trans- 5 Transforma estas fracciones a fracciones equivalentes y compáralas.
formar fracciones con denominadores diferentes en 1 2
① y El mínimo común múltiplo de 4 y 7 es .
4 7
fracciones equivalentes con el mismo denominador.
1 1× 2 2×
4 ＝ 4× ＝ 7 ＝ 7× ＝
3 2 4
Compara y . Utiliza fracciones equivalentes que tengan el mismo
3 7 1 2
denominador. Nota que los denominadores 21 y 42 son múltiplos de 3 y 7. ② y El mínimo común múltiplo de 3 y 9 es .
3 9
1 1×
2 4 3 ＝ 3× ＝
3 ＝ 21 ＝ 42 7 ＝ 21 ＝ 42
3 5
③ y El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es .
4 6
Los denominadores 21 y 42 son ambos múltiplos de 3 y 7.
3 3× 5 5×
4 ＝ 4× ＝ 6 ＝ 6× ＝
26 27

15. Simplificación de fracciones Si divides el numerador y el denominador entre su
6 Encuentra la fracción equivalente que tenga el menor máximo común divisor, como lo hizo la niña de la
numerador y el menor denominador. sección 7 de la página anterior, simplificarás la
fracción en un sólo paso.
1 Obtén fracciones equivalentes con un común denominador para comparar
estas parejas de fracciones.
① ( 2 ，4 )
3 5
② ( 1 ，3 )
2 8
③ ( 5 ，8 )
6 9
④ ( 12 ，5 )
7
8
2 Simplifica al máximo las siguientes fracciones.
8 3 16 18
① ② ③ ④
10 21 20 24
Simplificar una fracción significa dividir el numerador
y denominador entre un divisor común para hacerla
2 Suma y resta con fracciones
más simple. 1 1
1 Los envases de la figura tienen y litro de leche respectivamente.
3 2
Decimos que hemos simplificado una fracción cuando obtenemos el Si se vierte el contenido de ambos en un solo envase, ¿cuántos litros de
numerador y el denominador más pequeños. leche hay?
Yo puedo hacer,
7 Explica el procedimiento que usaron estos alumnos para simpli- 1 1
y , pero ....
3 3
ficar la fracción 12 .
18 ＋ 1
？
1
2
3
1 1
3＋2
① Imagina cómo calcular la respuesta.
¿Qué estrategia puedes usar?
Piensa cómo sumar fracciones con diferentes denominadores.
28 29

16. 1 1
② Observa la figura de abajo para explicar cómo calcular + . 3 Busca cómo sumar las siguientes fracciones.
3 2
¿Cómo cambiarlos a frac- Cuando la respuesta
Yo no puedo calcular la 1 5
respuesta porque los denomi- ciones con el mismo
3＋6 ＝ ＋ 6 es mayor que 1 es
nadores son diferentes. denominador? más fácil leerla si la
expresas como un
número mixto.
＝
1 1
3＋2 ＝ 6 ＋ 6
＝ ＝
Si usas el mismo denominador 3 5
Puedes sumar fracciones con sólo tienes que sumar los
4 ¿Cuál es la diferencia entre y de litro de jugo?
4 8
denominadores diferentes si numeradores para sumar las
fracciones ① Obtén un denominador común y verifica cuál es mayor. Escribe la
obtienes fracciones equivalentes expresión para conocer la diferencia.
con un denominador común.
3 5
4 ＝ 8
3 1
2 Descubre cómo calcular
10 ＋ 6 .
3 1
② Analiza cómo hacer la siguiente resta:
10 ＋ 6 ＝ ＋ Si simplificas las
fracciones, trata de Todo lo que se necesitas es
3 5
4－8 ＝ －
obtener un denominador
hacerlo tanto como te
＝ común.
sea posible.
＝
＝
2 1 1 1 2 1 3 7 4 13 11 1
① ＋ ② ＋ ③ ＋ ① ＋ ② ＋ ③ ＋
3 4 2 5 5 6 8 10 5 15 12 4
1 1 5 1 1 3 6 3 5 1 3 7
④ ＋ ⑤ ＋ ⑥ ＋ ④ － ⑤ － ⑥ －
2 10 12 3 4 20 7 4 8 4 4 10
30 31

17. Puedes restar fracciones con denominadores diferentes
1 Obtén un denominador común y compara las siguientes parejas
si obtienes fracciones equivalentes que tengan un de fracciones. páginas 26~27
denominador común.
① ( 2 1
，
3 2 ) ② ( 3 ，5 )
4 7
③ ( 1 ，18 )
6
5
④ ( 4 ，12 )
9
5
5 3
6 － 10
5 Encuentra cómo calcular . 2 Simplifica tanto como sea posible las siguientes fracciones.
página 28
5 3
6 －10 ＝ － ¿Qué diferencia hay ①
4
②
6
③
21
④
16
⑤
75
8 9 28 24 100
entre este caso y el de
la sección 4 ?
＝ 3 Realiza las siguientes sumas y restas. páginas 29~32
2 1 3 4 1 5 5 1
① ＋4 ② ＋7 ③ ＋6 ④
7 5 4 6＋3
＝
7 1 11 7 8 3 5 3
⑤
9 －6 ⑥
12 －8 ⑦
7 －4 ⑧
3 －4
7 5 . 4 Masahiro tiene 3 m de cinta e Hiroko tiene 4 m de cinta.
6 Encuentra cómo calcular － 4 5
5 6
páginas 29~32
7 5 ① ¿Quién tiene más cinta? ¿Cuántos metros más tiene?
5－6 ＝ －
El procedimiento es el ② ¿Cuánto miden las dos cintas juntas?
mismo para fracciones
＝ mayores que 1.
5 Revisa la operación 1 ＋ 2 ＝ 3 ¿El cálculo es correcto? ¿Por qué?.
3 5 8
páginas 29-31
2 1 2 1 7 3
①
3
－6 ②
5 － 15
③
15 － 10
8 7 7 3 22 2
7 －8 6 － 4 15 － 3
④ ⑤ ⑥
32 33

18. Operaciones con fracciones y decimales
1 Coloca en el el número correcto para encontrar una fracción equivalente.
・Encontrar fracciones equivalentes.
3
1 Cuál tiene más, ¿un recipiente con de litro de chocolate o un
5 1 3 2 4
① ＝ 6 ＝ ② ＝ ＝ 15
recipiente con 0.7 litros 1Ol 1Ol 3 5
de leche. ¿Cuántos litros más? 2 Simplifica las siguientes fracciones a su expresión más simple.
・Comprender la simplificación de fracciones.
No puedo com-
5 6 24 30 45
parar fracciones y ① ② ③ ④ ⑤
3 10 8 32 42 100
decimales. Chocolate l leche 0.7 l
5
3 Encuentra un común denominador para las siguientes fracciones y compáralas.
La idea de Takahiro ▼ La idea de Miho ▼ ・Comparar fracciones.
Yo transformé la fracción en Yo cambié el número decimal a 1 2 2 1 5 7 4 3
① ， ② ， ③ ， ④ ，
4 5 3 6 6 9 9 7
número decimal y luego comparé. fracción y luego comparé.
4 Realiza las siguientes operaciones.
3 3 6
5 ＝ 3÷5＝ 0.7＝ ，5 ＝ 10 ・Sumar y restar fracciones con denominadores diferentes.
1 1 1 2 4 5 3 5
0.7－0.6＝ ① ② ③ ④
7 6 5＋4 12 ＋3 9 － 18 4－7
10 － 10 ＝
3 5
5 Tenemos dos recipientes: uno con litros de leche, y el otro con 6 de litro
4
1 de leche.
2 Busca cómo calcular 0.2＋ 6 . ・Usar sumas y restas con fracciones para resolver problemas.
① Encuentra el resultado transformando la ① ¿Cuál de los dos recipientes tiene más leche? ¿Cuántos litros más?
No puede
fracción a un número decimal.
dividirse. ② ¿Cuántos litros de leche hay en total?
¿Cómo puedo
1
6 ＝0.1666……
hacerlo?
6 Elige 4 números entre el 3, 4, 5, 6 y 7 y anótalos en los siguientes recuadros.
② Calcula la respuesta expresando el decimal como fracción. A continuación realiza la operación que se indica y escribe el resultado.
2 1 1 1 ¿Con cuál combinación de números obtienes el resultado mayor?
0.2＝ 10 ＝ 5 5＋6＝ ＋ ＝
・Construir expresiones con un propósito dado.
＋
Es conveniente hacer las operaciones con fracciones y
decimales expresando el decimal como fracción.
Ir a la página 91 ■ Ir a la página 94
34 35

19. 4
Tipos de sólidos
1 Escribe el nombre de las partes de una caja.
Recolecta cajas de distintas formas y tamaños. Observa la forma de sus caras
para clasificar las cajas en grupos.
En tercer grado, estudiamos los
términos cara, vértice y aristas.
2 Observa la caja de la siguiente
figura y responde.
1 Prismas rectangulares y cubos
①¿Qué tipo de cuadrilátero es la cara
ⓐ? 1 Kaori organizó las cajas de esta forma:
En los cuadriláteros, hemos estudiado el
cuadrado, rectángulo, paralelogramo,
rombo y trapecio.
② ¿Cuántas aristas hay?
① ¿En qué se basó Kaori para formar los grupos?
③ ¿Cuántos vértices hay?
Los cajas de la figura de arriba son cuerpos geométricos limitados por
superficies planas o curvas.
Observa la forma de las cajas y piensa cómo construirlas.
36 37

20. Un cuerpo limitado por rectángulos, cuadrados, o ambos, se 2 Redes
llama prisma rectangular.
Desarrollos planos de prismas rectangulares y cubos
Al cuerpo limitado por cuadrados se le llama cubo.
1 La figura de la derecha es un prisma rectangular.
① Abre y desdobla el prisma a lo largo de sus aristas.
vértices
cara
cara
aristas aristas
prisma rectangular cubo
La superficie plana que forma la cara de un prisma rectangular
o de un cubo es un ejemplo de un plano.
② Arma la figura.
Dos caras de un prisma o de un cubo están en planos que son
paralelos o son perpendiculares
2 Completa la siguiente tabla con los números y términos A la figura que se forma al cortar una caja por sus aristas y colocarla
que faltan. sobre un plano se le llama desarrollo plano de la caja.
Prisma rectangular Cubo
Forma
Rectángulos o cuadrados
Caras
Número
Longitud
Aristas
Número
Vertices Número
38 39

21. ③ ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede formar un prisma 3 Construye una caja igual al prisma
rectangular? rectangular que se muestra a la derecha.
2 cm
ⓐ ① Termina los trazos del desarrollo plano.
5cm 5 cm
1cm
1cm
ⓑ ⓒ
2 Arma la figura que se forma con el siguiente desarrollo plano.
① Colorea la cara opuesta a A N
la que forman los puntos D C B M L
BGJM.
② Identifica y marca los
puntos que se superponen
con el punto L.
E F G J K
③ Colorea la arista que se
H I
superpone a la arista HI. ② Copia el desarrollo plano en una hoja de papel y ármalo.
40 41

22. 4 Dibuja un desarrollo plano con el que se pueda armar un
3 Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas
cubo con aristas de 5 cm.
Caras perpendiculares y caras paralelas
①¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede armar un cubo?
1 Remueve la tapa de un prisma
ⓐ ⓑ ⓒ
rectangular y coloca escuadras en
las caras interiores.
¿Se puede armar un cubo con 2 Ahora coloca una escuadra
desarrollos planos diferentes?
sobre las caras exteriores del cubo
② Diseña diferentes desarrollos planos con los que se pueda armar un cubo. para medir los ángulos rectos.
Las caras adyacentes de un cubo y de un prisma
rectangular son perpendiculares.
3 Observa la posición de las caras de una caja rectangular como la que
se muestra abajo.
① ¿Qué caras son perpendiculares?
② ¿Cuáles no lo son?
Las caras que no se intersectan, como ⓑ y ⓓ,ⓔ y ⓒ,
son caras paralelas.
42 43

23. 4 Identifica los pares de caras paralelas Caras y aristas perpendiculares
en el prisma rectangular de la derecha. 7 Coloca verticalmente un lápiz sobre el escritorio.
5 Observa el siguiente prisma rectangular. D
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la A C
B H
arista AB?
E
G
F
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AB? El lápiz en la imagen ⓑ es perpendicular a la cubierta del escritorio.
D D
A C A
C 8 La figura de la derecha es un D
B
H B
H prisma rectangular.
A C
E G E
G ① Observa la arista BF, B
H
F F ¿es perpendicular a la cara EFGH?
G
6 Identifica el paralelismo y la perpendicularidad de las caras de ② Observa la figura e identifica las E
un cubo. aristas perpendiculares a EFGH. F
Considera este salón de clases.
① ¿Qué cara es paralela al piso Identifica las aristas
del salón? perpendiculares al
piso del salón de
②¿Qué caras son clases.
perpendiculares al
piso del salón?
44 45

24. ¿Desde que ángulo puedes
ver más caras de un prisma?
Bosquejo
4 Prismas y cilindros
1 Observa que los siguientes cuerpos se construyen a partir de dos
caras paralelas.
9 Dibuja un prisma rectangular de tal modo que puedas ver todas
sus caras.
¿Cómo puedes
ver todas las
① ¿Qué forma tienen las caras coloreadas en cada uno de ellos? Compara
caras?
la forma y el tamaño de esas caras.
② ¿Qué forma tienen las caras que no están coloreadas?¿Cuántas de esas
Traza las aristas que no
se pueden ver usando caras tiene cada cuerpo?
líneas punteadas.
③ ¿Qué caras son perpendiculares?
Un bosquejo es la representación A los cuerpos como ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓ base
aristas
de una figura en la que puedes se les llama prismas.
ver todas sus partes, las aristas Las caras paralelas de un prisma que vértices
paralelas mantienen su cara lateral
alto tienen el mismo tamaño y forma, se
largo
propiedad en el dibujo. ancho llaman bases.
Las caras rectangulares que unen las base
Las dimensiones de un prisma rectangular son ancho, largo y alto bases de un prisma se llaman caras laterales.
Podemos observarlas en 3 aristas que se unen en un Cuando las bases son triángulos se forma un prisma triangular;
arista
mismo vértice. cuando son cuadriláteros se forma un prisma cuadrangular; cuando
arista arista es un pentágono se forma un prisma pentagonal y así sucesivamente.
El tamaño de un cubo se determina por el largo de Los cubos son casos particulares de prismas.
una de sus aristas.
46 47

25. ④ ¿Cómo se llaman los cuerpos ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓ de la página anterior?
1 Repasemos las principales características de los prismas rectangulares y los cubos.
⑤ Completa la siguiente tabla anotando el número de vértices,
Estos números ① Los prismas rectangulares se clasifican de acuerdo a la página 38
aristas y caras de los prismas que se indican.
sugieren algunas
forma de sus .
Prisma Prisma Prisma Prisma reglas, ¿cierto?
triangular cuadrangular pentagonal hexagonal ② Un prisma rectangular posee caras de forma
Número de vértices 3×2＝6 o una combinación de rectángulos y cuadrados.
Número de aristas 3×2＋3＝9 Las caras de los cubos son .
Número de caras 2＋3＝5 ③ Los prismas rectangulares y los cubos
tienen aristas y vértices.
2 Observa los siguientes cuerpos.
2 Dibuja un desarrollo plano para armar el página 41
prisma rectangular de la derecha.
3 cm
3 cm 5 cm
3 Recorta en una hoja de papel las figuras que se indican y construye un prisma
① ¿Qué forma tiene la cara que lo limita? rectangular. ¿Cuántas figuras de cada una necesitas?
② Compara la forma y el tamaño de las caras paralelas. páginas 39~40
El cuerpo que se muestra a 4 cm 4 cm 4 cm
la derecha se llama cilindro. 2 cm
base 4 cm 6 cm 6 cm 2 cm
Sus caras paralelas tienen la misma
forma y tamaño, las cuales se llaman páginas 47~48
bases. La cara curva se llama cara cara 4 Observa el siguiente prisma.
lateral
lateral. ① ¿Cuál es el nombre del prisma de la derecha?
La cara lateral del cilindro es ② ¿Qué tipo de figuras son las caras ⓑ, ⓒ y ⓓ?
base
③ ¿Cuáles caras son perpendiculares a la cara ⓑ.
una superficie curva.
48 49

26. ¿Cuál es la distancia
1 Observa el siguiente prisma rectangular. más corta?
D
・Entender la relación entre las aristas y entre caras y aristas.
C • Una hormiga debe recorrer el prisma de la siguiente figura desde el vértice A
A H
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AE? hasta el vértice G para comerse la galleta.
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AE? B G ¿Cuál es la distancia más corta?
La hormiga puede ir de A a C
E
③ ¿Cuál de las caras es paralela a la cara ABCD? siguiendo la diagonal y luego de C
F a G. Pero la distancia es la misma
④ ¿Qué aristas son perpendiculares a la cara ? Yo creo que la ruta más corta
que la idea de Hiroshi.
es de A a B y luego de B a G
siguiendo la diagonal.
D
2 Dibuja los desarrollos planos para construir los siguientes cubos y prismas
C
rectangulares.
・Dibujar desarrollos planos de cubos y prismas rectangulares.
A
B
① Un cubo cuyas aristas miden 4 cm. H
G
4 cm
4 cm E
12 cm
4 cm
4 cm
4 cm
F
② Un prisma rectangular con 6 cm de largo, ¿Hay una ruta más corta?
4 cm de ancho y 2 cm de alto.
• Dibuja un desarrollo plano para construir el prisma rectangular de arriba.
2 cm
6 cm 4 cm
① Verifica que la línea que
E H
3 Añade las caras faltantes para completar los siguientes desarrollos planos. une a A con G es la más
A D
・Diseñar diferentes desarrollos planos.
E H
corta.
① ② ② ¿En dónde cruza la línea F
B C
G
AG la arista BG? F G
E H
• Si ahora la hormiga parte desde el vértice E y cruza las aristas AB y BC hacia
el vértice G, ¿cuál es la ruta más corta?
Dibuja un desarrollo plano para verificar tu respuesta.
■ Ir a la página 51 Ir a la página 96
50 51

27. 5
Volume
Volumen
1 ¿Cómo se mide el volumen de agua en un recipiente?
2l
Las unidades y se usan para medir el volumen.
2 ¿Cómo se mide el peso?
Preparemos una gelatina.
1 Volumen
1 Preparamos dos porciones de gelatina como los que se muestran a continuación.
Las unidades y se usan para medir el peso.
3 ¿Cómo se mide el área? 33cm
cm
2cm
2 cm
4cm
4 cm
3
3 cm 3cm
3 cm
3cm
3 cm
① Piensa cómo puedes comparar el volumen de ambas porciones.
¿Podemos medir
el volumen de un
sólido?
Veamos cómo comparar, expresar y calcular el volumen de cuerpos geométricos.
El área se expresa usando unidades .
52 53

28. La idea de Satoshi ▼ ② Cuenta el número de cubos de gelatina de 1 cm por lado o cuenta el
Yo los pongo juntos y corto la parte extra para compararlos. número de bloques para comparar el volumen de cada cuerpo.
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
2 ¿Cuántos cubitos de 1 cm por lado se necesitan para construir el cubo y
el prisma rectangular que se muestran a continuación?
La idea de Yoko ▼ ① ② ③
Yo corto secciones de 1 cm y cuento el número de cubos con aristas de 1 cm. 2 cm
2 cm
1 cm
3 cm 2 cm
2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
3 Construye diferentes cuerpos utilizando 12 cubitos de 1 cm por lado.
Nota que todos ellos tienen el mismo volumen.
La idea de Mayumi ▼
Yo construí cuerpos de la misma forma con cubitos de 1 cm por lado.
Comparé su tamaño contando el número de bloques.
La expresión numérica del tamaño de un cuerpo, como el
de la gelatina y el de los bloques, es la “medida del volumen”.
54 55

29. Un cubo cuyas aristas miden 1 cm es una unidad de volumen. El volumen de un ③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay? ¿Cuántos centímetros cúbicos son?
cuerpo es el número de cubos que lo conforman.
¿Qué necesitamos
para calcular el volumen
Al volumen de un cubo con aristas de 1 cm se le llama
2 × 3 × 4 ＝ de un cuerpo?
“un centímetro cúbico” y se escribe 1cm .
3
Cubos de Cubos de Cubos Total
largo ancho de alto de cubos
El cm3 es una unidad de volumen.
1 cm
1 cm 1 cm
Nota que el número de cubos de 1 cm3 en el largo es igual al largo del cuerpo,
4 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. el número de cubos de 1 cm3 de ancho es equivalente al ancho del cuerpo y la
① ② altura corresponde al número de cubos de 1 cm3 apilados.
2 × 3 × 4 ＝ (cm3)
2 cm
4 cm
largo ancho altura volumen
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
El volumen de un prisma rectangular se calcula con una
2 Fórmulas para calcular el volumen fórmula que relaciona el largo, el ancho y la altura.
1 Imagina cómo calcular el volumen de Volumen de un prisma rectangular＝largo ancho altura
un prisma rectangular.
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en la 4 cm
2 Calcula el volumen de los siguientes prismas rectangulares.
primera capa?
① ② ③
② ¿Cuántas capas hay?
3 cm 2 cm
capa 4 8 cm
capa 3 5 cm
3 cm
10 cm
capa 2 8 cm 5.4 cm
3 cm 2.5 cm
4 cm
capa 1
56 57

30. 3 Calcula el volumen de este cubo.
3 Volúmenes grandes
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 caben en
1 Piensa cómo calcular el volumen del prisma
este cubo?
3 cm
rectangular de la derecha.
② ¿Cuántos cm mide su volumen?
3
3 cm ① ¿Cuántos cubos de 1 metro por lado 2m
3 cm
2m
hay en ese prisma? 3m
En un cubo, el largo, ancho y la altura son iguales, por
esto su volumen puede calcularse usando esta fórmula: Al volumen de un cubo con aristas
Volumen del cubo ＝(arista)x(arista)x(arista) de 1 metro de largo se le llama metro
1m
cúbico y se escribe 1 m3.
1m 1m
② ¿Cuántos metros cúbicos hay en el prisma rectangular del inciso anterior?
1 Encuentra el volumen del prisma rectangular y el cubo que se muestran a continuación.
① ② 2 Veamos cuántos centímetros cúbicos 1m
equivalen a un metro cúbico.
5 cm 1m
2 cm ① Si alineamos cubos de 1 cm sobre
3
8 cm 1m
4 cm 5 cm 5 cm
la base, ¿cuántos cubos hay a lo largo
1 m＝100 cm
2 Localiza a tu alrededor un prisma rectangular y un cubo y calcula su y ancho?
volumen.
② ¿Cuántas capas hay?
Construye una caja cuyo volumen sea igual a 200 cm3 ③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en total?
¿Cuántos centímetros cúbicos son? capa 4
Diseña distintas cajas cuyo
capa 3
volumen sea 200 cm3.
capa 2
1 cm
capa 1
1 cm
100 × 100 × 100 ＝ 1 cm
largo ancho altura volumen
1m3＝1,000 000 cm3
58 59

31. 3 Calcula el volumen del 4 Observa la relación que hay entre cantidad de agua y el volumen.
siguiente prisma rectangular.
10 cm 1m
10 cm
① Imagina cómo calcular la 1m
1 cm
1 cm
respuesta.
② ¿Cuántos metros cúbicos mide 2m 1 cm 1 cm3
10 cm
1 m3
el volumen de este prisma? 1m
50 cm 3m
¿A cuántos centímetros cúbicos
equivale su volumen?
① ¿Cuántos cm3 caben en un 1 l＝ cm3
recipiente de 1 l?
1 Calcula el volumen de este ② 1 l = 1000 ml
20 cm
prisma rectangular.
2m ¿Cuántos cm3 es 1 ml? 1 ml ＝ cm3
20 cm
2 ¿Cuántos metros cúbicos mide el ③ ¿Cuántos litros de agua
volumen de este prisma rectangular? caben en un tanque de 1 m3?
¿A cuántos centímetros cúbicos equivale 1m 1 m3 ＝ cm3
3m
su volumen? 0.5 m
＝ l
La capacidad de 1m3
•¿Cuántos niños caben en una
caja de 1 m3 ? 5 Imagina cómo calcular el volumen
del siguiente cuerpo.
3 cm
¿Qué puedes hacer para 7 cm
calcular el área del cuerpo 5 cm
con esta forma ?
8 cm 5 cm
60 61

32. La idea de Akira ▼
5 cm
1 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
Yo lo separé en 2 prismas
3 cm ① ② páginas 57~58
rectangulares.
7 cm
5×3×7＋5×5×4 5 cm
5 cm
＝105＋100 4 cm
12 cm
＝205 Respuesta: 205 cm3 9 cm
9 cm 9 cm
6 cm 7 cm
La idea de Yuko ▼
5 cm
Yo resté el prisma rectangular pequeño 2 ¿Cuál es el volumen en m3 del cubo y el prisma rectangular que se muestran
al prisma rectangular grande. 5 cm a continuación? páginas 59~60
8×5×7－5×5×3 7 cm
5 cm ① ②
3 cm
＝280－75
＝205 Respuesta: 205 cm3
8 cm
6 Moldeamos un elefante con la plastilina de un prisma rectangular 3 cm
4m 6 cm
y un cubo. Calcula el volumen del elefante.
60 cm
4m 4m
3 ¿Cuál es el volumen en cm3 y m3 de 400l de agua? página 61
5 cm 6 cm 4 Calcula el volumen del siguiente cuerpo.
6 cm
2 cm 2 cm 6 cm páginas 61~62
6 cm 4 cm
3 cm
8 cm 6 cm
62 63

33. Volumen de un prisma
La idea de Hisashi ▼
Como el volumen es la mitad del prisma
1 Considera el prisma rectangular rectangular se tiene que:
que se muestra a continuación. (3×4×8)÷2
＝96÷2
① Escribe la fórmula para calcular el 8 cm
＝48 Respuesta: 48cm3
volumen de un prisma rectangular.
× × 4 cm 3 cm
base La idea de Mami ▼
largo ancho altura
La base del prisma triangular es un triángulo
② La base de este prisma rectangular es un base
rectángulo por lo que el volumen puede
altura
rectángulo. ¿Qué parte del prisma se calcularse así:
expresa con la multiplicación largo x ancho altura
área de la base × altura
en la fórmula del inciso anterior? base ＝(4×3÷2)×8
＝6×8 base
Puedes hacer un
largo × ancho × alto ＝48 Respuesta: 48cm 3
prisma rectangular
apilando hojas de
de base papel.
3 Considera el siguiente cuerpo
El volumen de cualquier prisma puede calcularse con como un prisma para calcular
la expresión:
su volumen.
Volumen de un prisma＝área de la base altura
Puedes imaginar este
cuerpo como un prisma que
tiene una base formada
como esta: .
2 Calcula el volumen del prisma que se 7cm 8 cm
5 cm
muestra a continuación. Considera que 8 cm
3 cm
5 cm
la base es un triángulo rectángulo.
4 cm 3 cm
64 65

34. El volumen de
1 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. distintos cuerpos
・Utilizar una fórmula para el cálculo del volumen.
① ② •Todos los cuerpos tienen volumen. ¿Cómo podemos encontrar el volumen de un
cuerpo que no sea un cubo o un prisma rectangular?
Podemos calcular el volumen de un objeto irregular, por ejemplo, una piedra.
12 cm 5m
La colocamos en agua, la altura del agua se incrementará debido al volumen de la
5m 5m piedra. Veamos esto a continuación.
5 cm 9 cm
2 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
10 cm
・Encontrar distintas formas para calcular el volumen. 10 cm
1 cm
más alto
③ ④ marca
3 cm 3 cm 1m 1m
1 litro
4 cm
4 cm 2m
5m
9 cm 5 cm 5m
2 cm
3 Calcula el volumen del prisma • Mide el volumen de tu cuerpo usando la tina de baño o un estanque.
2 cm
rectangular que se forma a partir de
este desarrollo plano. 2 cm
・Calcular el volumen a partir del desarrollo plano de un
cuerpo.
4 ¿Con cuántas cubetas de agua
60 cm
puedes llenar el depósito que 30
cm
se muestra? 20 cm
・Expresar el volumen con diferentes
unidades.
Ir a la página 67 Ir a la página 92 ■ Ir a la página 98
66 67

35. 7 Observa el siguiente prisma rectangular y responde a las preguntas. 4
A
1 Encuentra los 3 primeros múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo de los ① ¿Qué caras son perpendiculares a la cara ⓐ?
D
siguientes pares de números. 1 ¿Qué cara es paralela a la cara ⓐ? B
① ( 9 , 12 ) ② ( 15 , 5 ) ③ ( 7 , 11 ) ② ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AB? C
¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
2 Encuentra todos los divisores y el máximo común divisor de las siguientes
parejas de números. 1 E
① ( 6 , 15 ) ② ( 14 , 28 ) ③ ( 16 , 9 ) F
H
8 Dibuja el desarrollo plano para el cubo que se muestra 4
G
3 Para una actividad es necesario dividir al grupo en equipos del mismo 1 a continuación.
tamaño. Si hacemos grupos de 6 o 7 alumnos, tres de ellos se quedan sin equipo.
Se sabe también que hay menos de 50 alumnos.
¿Cuántos alumnos hay?
3 cm
4 Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión. 3 3 cm 3cm
8 12 30 20 36 9 Calcula el volumen de cada uno de los 4 cuerpos que se muestran a continuación. 5
① ② ③ ④ ⑤
12 16 45 48 60
②
2cm
①
2cm
5 Transforma las parejas de fracciones en fracciones equivalentes con 2cm
3 cm
común denominador. 3
8 cm
4cm
① ( 4 2
,
9 3 ) ② ( 5 2
,
8 7 ) ③ ( 5
,
12 15
7
) ③ ④
8cm 10 cm
3cm 3cm
6 Realiza las siguientes sumas y restas. 3
3 cm
6cm
1 3 3 3 5 5 3 cm
① ② ③
3＋7 5＋4 ＋6 9cm
12
4cm 3cm
4 2 5 7 13 4 9cm 3 cm
④ ⑤ ⑥
5－3 6－9 10 － 5
3cm
9cm
68 69

36. Medición con otro 1 Media aritmética
tipo de unidad
1 Si ambos hubieran leído el mismo número de páginas por día,
Cada mañana los alumnos de 6º grado leen un libro. Hiromi y Kenji escogieron el
¿cuántas páginas leería cada uno por día?
mismo título, sin embargo, Hiromi leyó durante cinco días y Kenji cuatro días
porque faltó un día a la escuela. Compara el número de páginas que lee cada uno ① ¿Cuántas páginas leyó Hiromi por día?
de ellos por día. (páginas) （páginas）
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
② ¿Cuántas páginas leyó Kenji por día?
（páginas） （páginas）
Páginas leídas por Hiromi 8 8
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Quinto día Total 6 6
Número de páginas 5 7 3 4 6 25
4 4
Páginas leídas por Kenji 2 2
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Total 0 0
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Número de páginas 8 5 5 6 24
El número de días de lectura y el
total de páginas son diferentes. ③ ¿Quién leyó más páginas por día?
¿Cómo se puede calcular el número
de páginas que leen por día?
70 71

37. Al proceso en el cual se representan diferentes cantidades por una sola se
3 ¿Cuál de las siguientes gallinas pone los huevos más pesados?
le llama “promediar”
Encuentra el peso promedio en cada caso y compáralos.
2 Observa los siguientes envases con jugo.
① Vamos a promediar la cantidad de jugo
56 g 58 g 56 g 61 g 54 g 57 g
para que cada uno de los envases contenga
la misma cantidad.
2 1 5
La idea de Kumiko ▼ La idea de Yasuo ▼
57 g 53 g 60 g 58 g 56 g 53 g 55 g
Vierto todo el jugo en otro recipiente y
después reparto equitativamente el jugo Puedes calcular el promedio si conoces la cantidad
entre los recipientes pequeños. total y el número de objetos.
4 La siguiente tabla muestra el número de libros que leyeron 5 alumnos
De los recipientes que contienen
mayor cantidad de jugo, en el grupo de Tadashi durante agosto.
extraigo parte de éste y lo ¿Cuántos libros en promedio lee cada alumno?
paso a los que tienen menos.
Libros leídos por alumno
② Reflexiona cómo calcular el promedio. Nombre Tadashi Yutaka Kenta Sayaka Yuko
( 4＋2＋1＋5 ) ÷ 4 ＝ Número de libros 4 3 0 5 2
Jugo en los 4 envases número de promedio de jugo por envase
envases
La media aritmética puede incluir decimales. La parte decimal aparente-
Para calcular el promedio dividimos la cantidad total de jugo entre mente no tiene sentido, como ocurre con el número de libros, pero da infor-
los 4 envases. mación importante
Al resultado que se obtiene al promediar números o canti- ino s
T érm En japonés “media aritmética” es 平均..
dades se le llama media aritmética.
平 均
Significa
En el caso del jugo tenemos: Significa emparejar
plano
Promedio＝total de jugo÷número de envases
72 73

38. Piensa cómo medir la aglomeración de alumnos
2 Midamos usando otro tipo de unidad
1 Las fotografías ⓐ, ⓑ y ⓒ muestran a
ⓐ 2 tapetes, 12 alumnos ① ¿En cuál de las fotografías hay más aglomeración?
un conjunto de alumnos parados sobre unos
tapetes. ¿En cuál de las ilustraciones ⓐ,ⓑ ⓑ 3 tapetes, 12 alumnos •en ⓑ o en ⓒ →
y ⓒ se presenta la mayor aglomeración de ⓒ 3 tapetes, 15 alumnos
alumnos por tapete? Cuando el número de tapetes es el mismo, la fotografía con
alumnos es la que tiene más aglomeración.
ⓐ 2 tapetes, 12 alumnos
•ⓐ o ⓑ →
Cuando se tiene el mismo número de alumnos, la fotografía con
tapetes es la más aglomerada.
¿Qué tal si promediamos
respecto al número de
•ⓐ o ⓒ →
ⓑ 3 tapetes, 12 alumnos tapetes?
El número de tapetes y alumnos
es distinto en cada caso.
② Veamos cuántos alumnos están sobre cada tapete.
ⓒ 3 tapetes, 15 alumnos
ⓐ ⓑ ⓒ
74 75

39. ③ El área de cada tapete es 1m2. ¿Cuántos alumnos hay por metro cuadrado? 2 La tabla de la derecha muestra la
población y el área de las ciudades
Población y área
ⓐ 12 ÷ 2 ＝ del Este y el Centro Oeste. Población
Área (Km2)
Calcula cuántos habitantes (habitantes)
ⓑ 12 ÷ 3 ＝ Ciudad
273,600 72
hay por Km para ver en cuál de
2
del Este
ⓒ 15 ÷ 3 ＝
Centro Oeste 22,100 17
ellas está más aglomerada la
Número de Área Número de niños
niños por m2 población.
La aglomeración se expresa mediante la razón de dos Al número de habitantes por Km2 se le llama densidad
cantidades: el número de alumnos y el área. de población y con ese valor se puede medir la
Para el área se utilizan unidades como el m2 o el Km2. aglomeración en una ciudad o municipio.
Cuando se agrupan personas de forma desordenada el
Hokkaido
número de ellas por m permite medir la aglomeración.
2 83,453 Km2
Calcula la densidad de población de 5,662,856
cada una de las siguientes prefecturas,
redondea el resultado al primer
Niigata Aomori
decimal. 12,582 Km2 9,606 Km2
Osaka 2,463,740 1,487,451
Hiroshima 1,893 Km2
Fukuoka 8,477 Km 2
8,643,677
4,971 Km2 Población en 2003
2,870,542
5,001,592
Tokyo
2,187 Km2
Kumamoto
11,996,460
7,404 Km2
1,866,553 Shizuoka
1 En un arenero de 8 m2 se encuentran jugando 10 niños. En otro arenero de 7,779 Km2 ¿Cuál es la densidad
Kochi Kagawa de población donde
13 m , hay 13 niños jugando. ¿En cuál de ellos hay una aglomeración mayor?
2
7,105 Km2 1,876 Km2 3,769,776
Kagoshima tú vives?
2 En un tren de 7 vagones viajan 1,260 pasajeros mientras que en el de 8 813,237 1,031,185
9,187 Km2
vagones viajan 1,850 pasajeros. 1,775,636
Okinawa
¿En cuál hay mayor aglomeración? 2,271 Km2
1,353,212
76 77

40. 3 Los alumnos cultivaron papas 5 En la tlapalería hay dos tipos de rollos de alambre; uno de ellos mide
en el huerto escolar y lograron cosechar 6 m y pesa 390 g y el otro mide
0
43.2 Kg de la parcela de 6 m y
2
8 m y pesa 480 g. Peso
62.1 Kg de la parcela de 9 m2. ¿Cuál de esos alambres es más Longitud
0 1
¿Cuál parcela es más productiva? pesado?
0
Compara con los valores del peso de Compara el peso por metro Peso
las papas por m2. de alambre. Longitud
0 1
0 43.2 Kg）
（ Peso (Kg) ? 43.2
Peso A indicadores como la densidad de población, cosecha por m2,
Área (m2) 1 6
Área costo por ejemplar, entro otros, se les llama medida por unidad.
0 1
Peso (Kg) ? 62.1
0 62.1 Kg）
（
Peso Área (m2) 1 9 6 Imagina un alambre que pesa 20 g por metro y responde a las
Área siguientes preguntas.
0 1
① ¿Cuánto pesa un rollo de ese alambre que mide 15 m de largo?
4 En la papelería puedes comprar un paquete de 10 cuadernos 0 20
por 1,200 yenes o un paquete de Peso
Peso (g) 20 ?
Longitud
8 cuadernos por 1,040 yenes. 0 1 Longitud (m) 1 15
¿Cuál de los paquetes es más caro?
Compara el costo por cuaderno. Peso Total ＝ peso por 1m × longitud
0 1200
（yenes） ② Si recortamos un segmento de ese alambre y su peso es de 340g,
Costo ¿cuántos metros mide ese segmento?
Número de
cuadernos 0 1 10 (cuadernos） 0 20
Peso
0 1040
（yenes） Peso (g) 20 340
Longitud
Costo 0 1 Longitud (m) 1 ?
Número de
cuadernos 0 1 8 (cuadernos）
78 79

41. 7 Una máquina puede bombear 240l de agua en 8 minutos y una segunda
3 Velocidad
máquina puede bombear 300 l de agua en 12 minutos.
Cómo medir la velocidad
¿Cuál de esas máquinas bombea más agua por minuto?
Un equipo de alumnos construyó modelos a escala de autos solares y quieren
0 0 conocer a qué velocidad pueden desplazarse.
Volumen de Volumen de
agua agua Para investigarlo, se dividieron en dos grupos. Uno de ellos midió el tiempo que
Tiempo Tiempo necesita el vehículo para trasladarse cierta distancia y el otro registró la distancia
01 8 (minutos） 01 12 (minutos） que recorrió el auto en un tiempo determinado.
8 Las fotocopiadoras ⓐ de la papelería pueden
reproducir 300 hojas en 4 minutos y la ⓑ
380 hojas en 5 minutos.
① ¿Cuál de las fotocopiadoras es más rápida?
② ¿Cuántas hojas puede reproducir la Número de hojas
copiadora ⓐ en 7 minutos? Minutos
③ ¿En cuántos minutos puede la
Número de hojas
fotocopiadora ⓑ producir 1,140 copias?
Minutos
Número de 0 （hojas）
Piensa cómo puedes decidir cuál de los autos es el más rápido.
hojas
Tiempo Si la distancia es la misma, Si el tiempo de recorrido es
0 1 （minutos） el auto que la recorre en el el mismo, el auto que cubre
menor tiempo es el más la mayor distancia es el
rápido. más rápido.
Si la distancia y tiempo son
¿Por qué no las comparamos
diferentes para cada vehículo,
como lo hicimos para medir
Si un pequeño tractor puede arar 900m2 de tierra en 3 horas, ¿cuántos m2 ¿cómo puedo comparar su
la aglomeración en los
velocidad?
puede arar en 8 horas? tapetes?
80 81

42. 1 En la siguiente tabla se registraron las distancias y el tiempo de
La velocidad se mide como la distancia recorrida por unidad
recorrido de los autos solares. Distancia y tiempo de tiempo. Velocidad＝distancia tiempo
① ¿Qué auto es el más rápido? Auto Distancia (m) Tiempo(min)
Compara la velocidad de 40 5
2 El tren bala Hikari recorre los
los autos solares. 30 5
553 Km entre Tokio y Shin-
30 4
Osaka en 3 horas.
•Entre ⓐ y ⓑ. es más rapido.
El tren Toki recorre los 334 Km
•Entre ⓑ y ⓒ. es más rapido. entre Tokio y Niigata en
•Entre ⓐ y ⓒ. es más rapido. 2 horas.
① ¿Cuál de esos trenes es
La velocidad se puede comparar si el tiempo es el mismo o si la distancia es la misma. más rápido?
La velocidad se puede expresar de distintas formas dependiendo
Mismo tiempo Misma distancia de la unidad de tiempo. La velocidad se mide por unidad:
La distancia que recorrió cada auto en 1 minuto. El tiempo que cada auto tardó en recorrer la distancia.
Velocidad por hora: se expresa en términos de la distancia
recorrida en una hora.
Velocidad por minuto: se expresa en términos de la distancia
recorrida en un minuto.
Velocidad por segundo: se expresa en términos de la distancia
② Calcula cuántos metros por minuto recorrió cada auto y compara la velocidad.
recorrida en un segundo.
③ Calcula cuánto tiempo tardan en recorrer 1 m y compara su velocidad.
Si comparamos la velocidad con los tiempos de recorrido de los autos por unidad de
② ¿A cuántos Km por hora viaja el tren Toki?
distancia, el menor tiempo es el del más rápido.
Si comparamos la velocidad con las distancias que recorrieron por unidad de tiempo, 1 Una persona recorrió 50 metros en 8 segundos y otra 60 metros en 10 segundos.
la mayor distancia es la del más rápido. ¿Quién es más rápido? Compara la velocidad expresándola en metros por segundo.
2 Una persona caminó 432 m en 6 minutos y otra 280 m en 4 minutos. ¿Quién es más
rápido? Compara su velocidad expresándola en metros por minuto.
82 83

43. 3 Un maratonista recorrió Calculemos la distancia y el tiempo
0 36
（Km）
36 Km en 2 horas. Distancia 4 Piensa en un auto que circula a 40 Km por hora.
① ¿Cuántos Km por hora recorrió? Tiempo ① ¿Cuántos Km recorre en 2 horas?
0 1 2 (horas）
② ¿Cuántos metros por minuto ② ¿Cuántos Km recorre en 3 horas?
recorrió? 0 40
③ ¿Cuántos metros por segundo Distancia
Tiempo
recorrió? 0 1 2 3 ( horas）
Distancia＝velocidad tiempo Distancia (Km) 40 ？ ？
Tiempo(horas) 1 2 3
Maratón Oume (Ciudad de Oume, Tokio)
5 Si una bicicleta recorre 400 metros por segundo, ¿cuántos minutos
×60 ×60 tarda en recorrer 2,400 metros?
velocidad por velocidad por velocidad por
segundo minuto hora 0 400 2400 (m) Distancia (m)
（C） 400 2400
÷60 ÷60 Distancia
Tiempo (minutos) 1 ？
Tiempo
por 60 segundos por 60 minutos 0 1
por segundo （minutos）
por minuto por hora
Si se tarda minutos en recorrer la distancia, podemos calcular la respuesta de esta manera:
Distancia ＝ velocidad × tiempo
Analiza los casos ⓐ, ⓑ y ⓒ para identificar cuál es el más rápido.
2400 ＝ 400 ×
ⓐ Un auto que viaja a 30 Km por hora.
＝ 2400 ÷ 400 ¡Haz un diagrama
ⓑ Una bicicleta que recorre 510 metros por minuto.
para resolver
ⓒ Un corredor de 100 m planos recorre 10 metros por segundo. Tiempo＝distancia velocidad esto!
Velocidad al caminar Responde las siguientes preguntas acerca de una persona que
•Mide el tiempo que necesitas para caminar 50 m y calcula tu velocidad por camina 80 metros por minuto.
segundo, por minuto y por hora. ① ¿Cuántos metros recorre en 5 minutos?
Es útil promediar ② ¿Cuántos minutos tarda en recorrer 2,000 metros?
la velocidad a la
que caminas.
84 85

44. 1 La siguiente tabla muestra el número de latas vacías que recolectó Masako en cinco 1 En la ciudad donde vive Yoshiko habitan alrededor de 39,000 personas en una
días. ¿Cuántas latas recolectó por día en promedio? área de aproximadamente 50 Km2. Calcula la densidad de población de esa ciudad.
・Entender cómo calcular la densidad de población.
Número de latas página 72
Día Uno Dos Tres Cuatro Cinco 2 El tren ⓐ viaja a 1.8 Km por minuto y el tren ⓑ a 100 Km por hora. ¿Cuál
Número de latas 6 7 5 8 8 tren es más rápido? ・Entender el cambio de unidades, por minuto y por hora.
2 ¿En cuál de los trenes ⓐ y ⓑ van más 3 Un tifón se movió a una velocidad de 25 Km por hora.
aglomerados los pasajeros? ・Entender la relación: distancia = velocidad x tiempo.
páginas 74~77
ⓐ 1,080 pasajeros en 6 vagones ① ¿Cuántos Km se desplaza en 12 horas?
ⓑ 1,640 pasajeros en 8 vagones ② Considerando la misma velocidad,
¿cuántas horas tardará en trasladarse
3 En la papelería hay dos tipos de cajas de lápices de colores, la primera tiene 400 Km?
12 lápices y cuesta 600 yenes; la segunda tiene 8 lápices y cuesta 440 yenes.
¿Qué caja es más cara? página 78
4 Takashi se propuso leer 25 páginas de un libro por día. Leyó un promedio de
4 Una huerta de 180 m2 produce 432 Kg de naranjas. 23 páginas durante 6 días, de domingo a viernes. ¿Cuántas páginas debe leer el
¿Cuántos Kg de naranjas produce por m2 página 78 sábado para cumplir su propósito?
・Entender la expresión promedio = total : número de eventos
5 Un automóvil que circula a una velocidad de 48 Km por hora demora
4 minutos en atravesar un túnel. páginas 82~83 5 Se obtuvo la siguiente información de los alumnos del sexto grado durante un concurso
① ¿Cuántos metros por minuto de barra fija en la escuela de Masao.
equivalen a 48 Km por hora? A partir de la tabla, calcula el promedio de dominadas que hizo un alumno considerando a
② ¿Cuántos metros mide de todos los alumnos del sexto grado. ・Entender la media aritmética como unidad de medición.
largo el túnel? Número de dominadas y número de alumnos de sexto grado
Número de dominadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de alumnos 3 0 2 4 5 16 9 10 4 6 1
■ Ir a la página 88 ■ Ir a la página 93 ■ Ir a la página 100
86 87

45. El promedio y la
aglomeración en relación
con el medio ambiente.
En Japón la población no es ajena a los cambios que provoca el calentamiento
global, como la elevación del nivel del mar y la reducción en la producción de
alimentos. Una de las causas del calentamiento global son los altos índices de
bióxido de carbono en el ambiente.
1 Analicemos cuánto bióxido de carbono se genera
en Japón por persona. Secretos del mínimo común múltiplo
y del máximo común divisor 1
Generación de bióxido de carbono anual y población
Bióxido de carbono Población Producción de bióxido
Año Descifrando un código secreto 3
(por diez mil Kg) (por diez mil) de carbono por persona
1960 6,960,000 9,430
¿Cómo es una caja de 1,000 cm3? 5
1970 22,200,000 10,467
1980 27,270,000 11,706
El juego de la velocidad 6
1990 30,860,000 12,361
2000 36,610,000 12,693
Suma y resta con números mixtos 3
2 La siguiente tabla muestra la producción de bióxido de carbono por habitante Construyamos cubos y rellenémoslos 4
en diferentes países. ¿Qué conclusiones obtienes de esto?
Construyamos la caja con
Producción de bióxido de carbono por habitante en diferentes países (1996） 5
capacidad máxima
Estados Unidos
¿Cuántas monedas hay? 6
Rusia
Japón
Francia
China
India
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
（M）
88 89

46. Secretos del mínimo común múltiplo
Descifrando un código secreto
y del máximo común divisor
•Relaciona el resultado de las siguientes sumas y restas con el código en las tarjetas.
•Encuentra el mínimo común múltiplo ⓒ y el máximo común divisor de los
Debes completar todos los cuadros para ver el mensaje.
números ⓐ y ⓑ como se muestra en el ejemplo.
Mínimo común Máximo
× múltiplo común divisor Probablemente Código secreto
6 9 54 18 3 necesites una
columna extra. 1 1 A 1 1 B
2＋4＝ 3－6＝
4 8
7 14
1 1 C 1 1 D
5 20 2＋3＝ 3－4＝
12 16
1 1 E 1 1 F
4 6 4＋5＝ 5－6＝
3 5 1 1 G 1 1 H
9 12 4＋6＝ 6－8＝
10 30 A B C D E F G H
8 24
9 36
Tarjetas de respuestas
14 28
13 11
r t m e i
1 1 3 9 1
30 12 4 20 6
28 30
32 42
x i r s o
8 5 4 5 1
15 12 9 6 24
① Anota tus conclusiones.
¡Este es el mensaje!
Secreto
② A partir de tus conclusiones calcula el mínimo común múltiplo y el máximo •Guarda tu código secreto y pídele a tus compañeros que intenten descifrarlo.
común divisor para las siguientes parejas de números.
(18, 27) (21, 28) (18, 32)
90 91

47. ¿Cómo es una caja de 1,000 cm3? El juego de la velocidad
•Observa a tu alrededor e identifica (Redondea al décimo más cercano)
cajas cuya capacidad sea aproxi- Reglas ① Decidan quién inicia con “piedra-papel-tijera”
1,000 cm3
② El jugador lanza el dado cuatro veces.
madamente de 1,000 cm3. 10 cm
Calcula la velocidad usando los dígitos de los primeros dos lanzamientos
10 cm 10 cm
(❶, ❷) y el tiempo de recorrido con los dígitos de los siguientes
① Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. lanzamientos (❸, ❹).
❶ ❷
cm
B
La velocidad al desplazarse Km en hora (s) es ●Km por hora.
cm
B
❸
El tiempo de recorrido cuando se desplaza Km a una velocidad
cm
B
cm
B
cm
B
cm
B ❹
de Km por hora es ▲horas.
cm
B ③ Calcula la distancia que te mueves usando la velocidad por hora
y el tiempo que obtuviste al tirar los dados.
cm
B
cm
B
cm
B Si me desplazo▲horas a ●Km por hora, la distancia recorrida es .
cm
B ④ Marca la distancia que recorres sobre el tablero de juego.
Gana el primer jugador que llega a la meta en el Km 40.
cm
B
cm
B
cm •¡A jugar!
cm
B B
② Busca a tu alrededor cuerpos cuyo volumen sea aproximadamente 1,000 cm3 y
registra sus medidas en una tabla como la que se muestra a continuación.
Sal Me
id a ta
Comparte tu tabla con tus compañeros.
Nombre Largo Ancho Alto Volumen
Diccionario 19 cm 14 cm 4 cm 1064 cm3
0 10 20 30
92 93

48. Suma y resta con números mixtos
Suma y resta con números mixtos
1
3 En casa de la familia Midori había un garrafón con 2 2
litros de jugo naranja.
5
Durante la semana se consumió 1 litros de jugo. ¿Cuánto jugo queda en el garrafón?
6
1 Si almacenamos 1
1
2 Kg de papel en una caja que pesa 1
2
Kg, ① Escribe una expresión matemática para encontrar el resultado.
3
¿cuál es el peso del papel y la caja juntos? ② Piensa cómo hacer los cálculos.
① Escribe una expresión matemática para obtener la respuesta. La idea de Yoshie ▼
② Piensa cómo realizar los cálculos. Cambié las fracciones mixtas a 1 5
2＝ 2 ， 6＝ 6
2 1
fracciones impropias:
La idea de Hisashi ▼
Cambié las fracciones mixtas a Después hice el cálculo: 2 1 － 1 5 ＝
2 － 6 ＝ 6 － 6 ＝ 6
1 2
2＝ 2 ， 3＝ 3
1 1 2 6
fracciones impropias:
6 ＝
Por último reduje la respuesta a los términos más simples:
Después calculé la suma: 1 1 ＋ 1 2 ＝
2 3 2 ＋ 3 ＝ 6 ＋ 6 ＝ 6
6 ＝
Por último cambié a fracción mixta . La idea de Akira ▼
6
Hice las operaciones con números
La idea de Masayo ▼ enteros y las fracciones por separado.
Sumé los números enteros y las 1 5 3 5
2
2 －1 6＝2 6－1 6
fracciones propias por separado.
1 2 Encontré que no puede restar 5 de 3
1 ＋1 ＝1
6 ＋
1 6 6
2 3 6
por lo que expresé el 2 como 1+1 en la fracción: 2 3 ＝1 9
6 6
＝ 6
9 5
6－ 6＝ 6 ＝
1 1
＝ 6
2 Haz las siguientes sumas. 4 Haz las siguientes restas. Intenta resolver las
Marca con un ✔ las
① 3 1 operaciones que 3 1
operaciones que aún
1
8＋ 2
1 puedes resolver. ① 2 4 － 1 6 no has logrado
hacer.
② 2 3 1 3
1
3＋ 4
1 ② 3 3 － 1 4
94 95

49. Construyamos cubosy rellenémoslos
Construyamos cubos y rellenémoslos
Este prisma rectangular está lleno de
cubos.
Apila prismas rectangulares del mismo ¿Puedes calcular qué tamaño deben tener los
tamaño para construir un cubo. cubos para rellenar por completo con ellos
¿Puedes hacerlo? cualquier prisma rectangular?
3 Vamos a llenar la caja que se
1 Apila bloques como los que se muestran a muestra a continuación con cubos,
continuación y construye un cubo. sin dejar huecos.
① Completa la siguiente tabla con múltiplos del ¿Cuántos cm deben medir las 6 cm
4 cm
12 cm 18 cm
largo, ancho y alto del bloque. 6 cm aristas del cubo?
2 cm
① Encuentra los divisores del largo, ancho y alto de la caja.
Largo (cm) 2 4 Divisores de 12（ ）determina común de
El divisor
Divisores de 18（ ） las aristas del cubo.
la longitud
Ancho (cm) 6 12
Alto (cm) 4 8 Divisores de 6 （ ）
② Anota 3 múltiplos comunes del Los múltiplos comunes
representan posibles longi- ② Anota todos los divisores comunes del largo, ancho y alto.
largo, ancho y alto. tudes de los lados del cubo.
③ ¿Cuántos cm miden las aristas del cubo de mayor tamaño con el que
③ ¿Cuántos cm puede medir la arista más pequeña del cubo? puedes rellenar la caja sin dejar huecos? ¿Cuántos cubos de este tamaño
se necesitan?
2 Construye un cubo usando los siguientes bloques. 4 Intenta llenar con cubos los prismas rectangulares que se muestran a continuación
¿Cuántos cm mide la arista del cubo más pequeño que se puede construir? y encuentra el largo máximo que puede medir la arista de los cubos para rellenar cada
① ② prisma sin dejar huecos. ¿Cuántos cubos de ese tamaño se necesitan?
① ② ③
3 cm
10 cm
12 cm 5 cm
30 cm 10 cm
5 cm 7 cm 10 cm
30 cm 3 cm 7 cm
24 cm 36 cm 10 cm
96 97

50. Construyamos la caja con capacidad máxima
Construyamos la caja con capacidad máxima
② Si varía el alto de la caja de 0.5 cm a 1 cm, 1.5 cm, 2 cm y
así sucesivamente; ¿cuánto cambia su largo, su ancho y su
Construye una caja sin tapa volumen? Completa la siguiente tabla.
a partir de un cuadrado cuyos
Alto (cm) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
lados miden 12 cm.
Largo (cm) 11 10 9 8
Dibuja en una hoja de papel
Ancho (cm) 11 10 9
los desarrollos planos que se
muestran en la siguiente figura Volumen (cm3) 60.5 100
y arma dos cajas.
③ Expresa la relación entre la altura de la caja y su volumen
en un gráfico de líneas.
(cm2)
150
100
Volumen
50
0 05
. 1 15 . 2 25 . 3 35 . 4 45 . (cm)
Altura
① Si la altura de la caja es 3 cm, ¿cuántos cm mide de largo y ancho?
¿De cuantos cm3 es el volumen de la caja? ④ ¿Cuántos cm mide el alto de la caja cuando la gráfica muestra el mayor
volumen? ¿Qué volumen se obtiene
cuando la altura es 1.99
cm y 2.01 cm?
98 99

51. ¿Cuántas monedas hay?
¿Cuántas monedas hay?
La idea de Koichi ▼
Total del renglón del 1: 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
El número de monedas en cada Total del renglón del 2: 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90
celda de la tabla de multiplicar es Total del renglón del 3: 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＝135
igual al resultado de la multiplicación … … …
Noté que la suma total de cada renglón es múltiplo de 45 .Tenemos 45 grupos de
a que corresponde.
45 monedas del renglón del 1 al del 9, entonces tenemos 45x45＝2,025 monedas.
¿Cuál es el número total de monedas?
¿Eso significa que necesito
sumar todos los productos que La idea de Masumi▼
muestra la tabla de multiplicar?
La media aritmética del renglón del 1 es:
Respuestas en la tabla de multiplicar
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)÷9＝5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Por lo anterior podemos reemplazar la respuesta con el valor de la media
aritmética, como se observa en la tabla de multiplicación del ①. Después podemos
2 4 6 8 10 12 14 16 18 calcular la media aritmética para las otras columnas como sigue:
(5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＋40＋45)÷9＝25
3 6 9 12 15 18 21 24 27
El resultado de la media aritmética para todos los productos de la tabla de
4 8 12 16 20 24 28 32 36 multiplicación es 25, como se indica en la tabla ②. Como hay 81 grupos de 25
monedas, la respuesta es 25x81=2,025
5 10 15 20 25 30 35 40 45 ① Media del número de monedas para cada renglón. ② Media del número de monedas para todos los renglones.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 25 25 25 25 25 25 25 25
6 12 18 24 30 36 42 48 54 10 10 10 10 10 10 10 10 10 25 25 25 25 25 25 25 25 25
15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25
20 20 20 20 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 25 25 25
7 14 21 28 35 42 49 56 63 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
30 30 30 30 30 30 30 30 30 25 25 25 25 25 25 25 25 25
8 16 24 32 40 48 56 64 72 35
40
35
40
35
40
35
40
35
40
35
40
35
40
35
40
35
40
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
45 45 45 45 45 45 45 45 45 25 25 25 25 25 25 25 25 25
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Intenta calcular el número de monedas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Podemos encontrar la ¡Eso toma mucho con otras estrategias. 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Yo quiero
3 6 9 12 15 18 21 24 27
respuesta si sumamos tiempo! intentar con 4 8 12 16 20 24 28 32 36
1＋2＋3＋4＋5＋… ¿Hay una forma grupos de 9 5 10 15 20 25 30 35 40 45
más fácil? números 6 12 18 24 30 36 42 48 54
como éstos. 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
100 101

52. Respuestas Respuestas
Página 16 Página 36 ② Divisores comunes…1，2，7，14 7 ① …Cara perpendicular
1 ① 3， 9，
6， 12， 18， 24，
15， 21， 1 cara arista vértice Máximo común divisor…14 ， ， ，
27，30，33，36，39，42，45， 2 ① rectángulo ② 12 ③ 8 ③ Divisor común…1 cara paralela…
48 Máximo común divisor…1 ② aristas perpendiculares…
② 7， 14， 21， 28，35，42，49 Página 49 3 45 alumnos AD，BC，AE，BF
③ 21， 42 1 ① cara ② rectángulo, cuadrado 2 3 2 5 aristas paralelas…DC，HG，EF
4 ① 3 ② 4 ③ 3 ④ 12
④ 1， 2， 4， 7，14，28 ③ 12， 8 9 ① 96cm3 ② 8cm3
3
⑤ 1， 2， 4， 8，16，32 3 cubo con 4cm aristas…6 de ⑤ 5 ③ 336cm3 ④ 540cm3
⑥ 1， 2， 4 prisma rectangular con 2cm，4cm y
2 ① Múltiplos comunes…6， 12，18 6cm aristas…2 de ，2 de ，
5 ① ( 4 , 6)
9 9 Página 86
② ( 56 , 56 )
Mínimo común múltiplo…6 2 de 35 16 1 6.8 latas
② Múltiplos comunes…40， 80，120 prisma rectangular con 2cm，4cm y 2
③ ( 60 , 60 )
25 28
Mínimo común múltiplo…40 4cm aristas…2 de ，4 de 3 el segundo tipo
③ Múltiplos comunes…15， 30，45 prisma rectangular con 4cm，4cm y 6 16
① 21
27
② 20
5
③ 4
4 2.4 Kg
Mínimo común múltiplo…15 6cm aristas…2 de ，4 de 5 ① 800 m por minuto
2 1 1
3 ① Divisores comunes…1， 2，3， 6 4 ① prisma triangular ④ 15 ⑤ 18 ⑥ 2 ② 3,200 m
Máximo común divisor…6 ② rectángulo rectángulo
② Divisores comunes…1， 2 rectángulo
Máximo común divisor…2 ③ ， ，
③ Divisores comunes…1， 2
Máximo común divisor…2 Página 52
1 l，dl (ml)
Página 22 2 Kg, g
4 6 2 3 área
1 ① 6 ，9 ② 8
1 2 3 4
③ 6 ④ 2 ，4 ，6 ，8 Página 63
1 ① 504cm3 ② 729cm3
Página 33 2 ① 64m3 ② 10.8cm3
1 Fracciones grandes 3 400000cm3， 0.4m3
2 3 5 4 4 216cm3
① 3 ② 4 ③ 18 ④ 9
1 2 3 2
2 ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 3 Páginas 68~69
3 1 ① Múltiplos comunes…36， 72，108
⑤ 4
Mínimo común múltiplo…36
15 41 13 7
3 ① 28 ② 35 ③ 12 ④ 6 ② Múltiplos comunes…15， 30，45
11 1 11 11 Mínimo común múltiplo…15
⑤ 18 ⑥ 24 ⑦ 28 ⑧ 12
③ Múltiplos comunes…77， 154，231
1 Mínimo común múltiplo…77
4 ① La cinta de Hiroko es mayor por 20 m.
31
2 ① Divisores comunes…1，3
② 20 m Máximo común divisor…3
102 103

53. 104