Transformacion de coordenadas

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
ALVITES CALIPUY MELBA ELIZABETH Página 1
INTRODUCCION: En geometría analítica, al igual que en física, es muy importante
elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al
máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se
realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se puede
considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro por rotación.
DEFINICIÓN: Transformación es una operación por la cual una relación, expresión o
figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
ECUACIÓN ORDINARIA ECUACIÓN CANÓNICA TRANSFORMADA
2 2 2
( ) ( ) (1)x h y k r 2 2 2
(2)x y r
Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados paralelamente a sí mismos, hemos
transformado las coordenadas ( , )x y de un punto cualquiera de la circunferencia en
las coordenadas ( , )x y y como resultado hemos transformado la ecuación (1) en la
ecuación más simple (2).
La operación de mover los ejes coordenados en el plano coordenado a una posición
diferente, paralelos a los ejes primitivos y dirigidos en el mismo sentido, se llama
traslación de los ejes coordenadas.

TRASLACIÓN DE EJES. Sean OX y OY los ejes primitivos y O X y O Y ,
paralelos respectivamente a los anteriores, los nuevos ejes. Sean también (h, k) las
coordenadas de O con respecto al sistema inicial.
Supongamos que (x, y) son las
coordenadas de un punto P con respecto
a los ejes primitivos, ( , )x y las
coordenadas, del mismo punto, respecto
de los nuevos. Para determinar x e y en
función de x , y ; h y k se tiene:
x MP MM M P h x
y NP NN N P k y
Por tanto, las ecuaciones de la traslación
de ejes son:
x x h , y y k
Relación para simplificar una ecuación o para obtener las nuevas coordenadas de
un punto.
Relación para trasladar los ejes coordenadas a un punto dado
Ejemplo 1: Las nuevas coordenadas del punto P(7,4), al trasladar los ejes al nuevo
origen ( 3,6)O son:
Sea 3h 6k
x x h=7 ( 3) 10
y y k =4 6 2
Luego las nuevas
coordenadas del punto
son: (10, 2)P
x x h
y y k
x x h,
y y k

Ejemplo 2: Determinar la nueva ecuación de la recta 2 4 6 0x y después de
trasladar los ejes al nuevo origen (2,4)O . Trazar los sistemas y la recta.
Solución:
Con 2h y 4k , tenemos:
x x h , y y k
2x x 4y y
Sustituyendo los valores de x y y en la ecuación de la recta: 2 4 6 0x y
2 2 4 4 6 0x y
2 4 4 16 6 0x y
2 4 14 0x y
Como se observa en la figura, la recta no se mueve al encontrar el nuevo sistema, lo
único que cambia es la ecuación en que pasa, de 2 4 6 0x y a 2 4 14 0x y ; la
pendiente no cambia, pero sí la intersección con los eje x y y.
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la curva 2 2
2 3 8 6 7x y x y cuando se traslada el
origen de coordenadas al punto 1,2 .
Solución:
Sustituyendo 2xx , 1y y en la ecuación dada se
obtiene:
2 2
2 2 3 1 8 2 6 1 7x y x y .
Desarrollando y simplificando, se llega a la ecuación de la
curva referida a los nuevos ejes. 2 2
2 3 18x y .
2 2
1
9 6
x y
Esta es la ecuación de la elipse con centro en el nuevo origen, con el eje mayor sobre el
eje x y de semiejes 3a , 6b

Ejemplo 4: Por medio de una traslación de ejes, transformar la ecuación
13524643 22
yxyx en otra en la cual los coeficientes de los términos de
primer grado sean nulos.
Solución:
Sustituyendo x e y por los valores hx e y k , respectivamente.
13524643 22
yxyx
2 2
3 4 6 24 135x h y k x h y k
Desarrollando y agrupando tenemos:
2 2 2 2
3 4 6 6 8 24 3 4 6 24 135x y h x k y h k h k .
Si deseamos eliminar x , y debemos hacer cero sus coeficientes:
De 066h y 0248k se obtiene 1h y 3k , con lo cual resulta
10243 22
yx .
Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje real o transversal sobre
el eje x y semieje igual a 34 .
Otro método.
A veces, para eliminar los términos de primer grado de una ecuación, se sigue el método
que se da a continuación.
Dada la ecuación 13524643 22
yxyx completando cuadrados tenemos:
2 2
3 1 4 3 102x y
Sustituyendo 1x por x e 3y por y se tiene: 2 2
3 4 102x y
.

ROTACIÓN DE EJES: Sean OX y OY los ejes primitivos y O‘X‘ y O’Y’ los nuevos
ejes, siendo O el origen común de ambos sistemas. Representemos por el ángulo
X‘OX de la rotación. Supongamos que (x, y) son las coordenadas de un punto P del
plano con respecto a los ejes primitivos, y ( , )x y las coordenadas del mismo punto,
respecto de los nuevos ejes.
Para determinar x e y en función de x , y , , se
tiene:
x OM ON MN
cosx y sen
y MP MM MP NN MP
cosx sen y
Por lo tanto, las formulas de la rotación de los ejes
coordenados son:
Por simplicidad el ángulo de rotación siempre se considera agudo o recto y positivo.
Si se quiere obtener los valores de x y de y , se resuelve el sistema anterior
considerando que las incógnitas son x , y .
Luego:
Llamadas ecuaciones recíprocas de rotación
Ejemplo 5: Hallar las nuevas coordenadas del punto (3, 4)P , cuando los ejes
coordenados giran un ángulo de 30º entorno a su origen.
Solución:
cosx x ysen cosy y xsen
3cos30º ( 4) 30ºsen 4cos30º 3 30ºsen
3 3 1
4
2 2
3 1
( 4) 3
2 2
3 3
2
2
3
2 3
2
Por lo tanto las coordenadas son ,P x y son:
3 3 3
2, 2 3
2 2
cosx x y sen
cosy x sen y
cosx x ysen
cosy y xsen

Ejemplo 6: Obtenga una ecuación en las variables x , y de la gráfica de 4xy bajo
un ángulo de rotación de los ejes alrededor del origen con 45º
Solución:
Se tiene
2
1
º45cos y
2
1
º45sen . Si se tiene
cosx x y sen cosy x sen y
1 1
2 2
x x y
1 1
2 2
y x y
2
x y
x
2
x y
y
Sustituyendo en la ecuación 4xy , se tiene:
4
2 2
x y x y
2 2
4
2
x y
2 2
8x y
2 2
1
8 8
x y
Ejemplo 7: Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el término en xy
de la ecuación 1613367 22
yxyx
Solución:
Sustituyendo en la ecuación dada
cosx x y sen
cosy x sen y
Se obtiene:
16cos13coscos36cos7
22
ysenxysenxsenyxsenyx
(*)
Desarrollando y reduciendo términos semejantes:
yxsensenxsensen 22222
cos36cos1213cos36cos7 +
16cos13cos367 222
ysensen
Para eliminar el término en x'y', igualamos a cero el coeficiente de dicho término y
despejamos
2 2
12 cos 6 3 cos 0sen sen
2 2
2 cos 3 cos 0sen sen
Recordar: 2 2 cossen sen

2 2
cos cos2sen
Luego tenemos: 2 2
2 cos 3 cos 0sen sen
2 3 cos2 0sen
Luego
2
3
cos2
sen
Entonces 2 60º , de donde 30º
Sustituyendo este valor de en (*), la ecuación se reduce a : 2 2
4 4x y ,
2 2
1
4 1
x y
Que representa una elipse de centro en el origen y que tiene sus ejes sobre los nuevos.
Los semiejes mayor y menor son, respectivamente, a = 2, b = 1.
Ejemplo 8: Hallar las coordenadas del punto ( 1,3) cuando los ejes coordenados son
trasladados primero al nuevo origen (4,5) y después se les gira un ángulo de 60º.
Solución:
- Coordenadas de los ejes originales x y y: ( , ) ( 1,3)P x y . Entonces 1x y
3y
- Cuando los ejes son trasladados al nuevo origen, las coordenadas son:
, (4,5)h k
x x h, y y k
1 4
5
x 3 5
2
y
Luego 5x y 2y
Entonces: cosx x y sen cosy y x sen
5cos60º 2 60ºx sen 2cos60º ( 5) 60ºy sen

1 3
5 2
2 2
x
1 3
2 5
2 2
y
5
2 3
2
x
5 3
1
2
y
Ejemplo 9: Si 2y x es la ecuación después de una rotación de 53º, hallar su
ecuación en el sistema XY.
Solución:
Se sabe que: cosx x ysen
cosy y xsen
Como 53º
Entonces:
cos53º 53ºx x ysen cos53º 53ºy y xsen
3 4
5 5
x x y
3 4
5 5
y y x
Reemplazando: 2y x
3 4 3 4
2
5 5 5 5
y x x y
3 4 6 8y x x y
0 10 5x y
2x y

FORMA GENERAL La ecuación de segundo grado es:
022
FEyDxCyBxyAx
Para eliminar el término Bxy de la ecuación, el ángulo de giro se escoge de la siguiente
manera:
Si A= C, entonces 45º
Si
tan 2
t 2
B
A C
A C
A C
co
B
,
tener en cuenta que:
1 cos2
2
sen ,
1 cos2
cos
2
El ángulo de rotación queda restringido al intervalo 0º 90º , de manera que
para 2 es 0º 2 180º
Ejemplo 10: Eliminar el término en xy de la ecuación 1613367 22
yxyx
Solución:
Como A=7 , C=13, entonces:
tan 2
B
A C
=
6 3 6 3
3
7 13 6
tan 2 3
Entonces 2 60º , de donde 30º
Luego sustituyendo en la ecuación dada con:
cosx x y sen
cos30º 30ºx y sen
3 1
2 2
x y
3
2
x y
cosy x sen y
30º cos30ºx sen y
3
2
x y
Luego reemplazando en 1613367 22
yxyx
Tenemos:
2 2
3 3 3 3
7 6 3 13 16
2 2 2 2
x y x y x y x y
Simplificando se tiene:
2 2
1
4 1
x y
(Ver fig. del ejercicio 7)

SIMPLIFICACION DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS.
Acabamos de ver que, por una traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, es
posible transformar muchas ecuaciones en formas más simples. Es entonces 1ógico
inferir que se puede efectuar una simplificación mayor aún aplicando ambas
operaciones a la vez. Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una
traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama
simplificación por transformación de coordenadas.
Ejemplo 11: Representar la gráfica de 2 2
3 2 3 2 10 9 0x xy y x y a su forma
más simple mediante una rotación de ejes y una traslación.
Solución:
Por rotación:
Como A= C, entonces 45º .
Las ecuaciones de la rotación son
2
x y
x
2
x y
y
Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuación, 2 2
3 2 3 2 10 9 0x xy y x y
2 2
3 2 3 2 10 9 0
2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y x y x y
Tenemos:
2 2
4 8 12 2 8 2 18 0x y x y
De tal manera que se ha eliminado el término xy
Por traslación:
Para eliminar los términos de primer grado, completamos cuadrados:
2 2
4 8 12 2 8 2 18 0x y x y
2 2
4 12 2 8 8 2 18 0x x y y
2 2
4 3 2 8 2 18 0x x y y
2 2 2
3 2 3 2 2 2
4 8 18 0
2 2 2 4
x y
2 2
3 2 2
4 18 8 4 18 0
2 2
x y

2 2
3 2 2
4 8 4
2 2
x y
2 2
3 2 2
2 2
1
11
2
x y
Sean
3 2 2
,
2 2
x x y y
Tenemos:
2 2
1
11
2
x y
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE SEGUNDO GRADO
La ecuación general de segundo grado 022
FEyDxCyBxyAx , excepto en
casos particulares, corresponde a una sección cónica. Se demuestra que si
2
4I B AC
ACB 42
< 0 , la curva es una elipse,
042
ACB , la curva es una parábola,
ACB 42
> 0 , la curva es una hipérbola.
En los casos particulares, la ecuación representar (degeneración) dos rectas siempre que
el primer miembro se pueda descomponer en el producto de dos factores lineales, un
punto o rectas imaginarias.
Teniendo en cuenta el valor de 222
4 FBCDAEBDEACF
1) Si 0, entonces la ecuación 022
FEyDxCyBxyAx
a) 0I , elipse
b) 0I , hipérbola
c) 0I , parábola
2) Si 0
a) 0I , punto real o vacío
b) 0I , dos rectas concurrentes
c) 0I , dos rectas paralelas coincidentes o vacío.

Ejemplo 12: Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación:
2 2
4 4 6 3 2 0x xy y x y
Solución:
Dado que A=4 B=-4 C=1, tenemos ACB 42
=0, puede ser una parábola.
Agrupando términos, esta ecuación se puede descomponer en factores:
2 2
4 4 3 2 2 0x xy y x y
2
2 3 2 2 0x y x y
2 1 2 2 0x y x y
Se trata de las rectas paralelas: 2 1 0x y , 2 2 0x y
Ejemplo 13: Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación:
2 2
3 4 3 15x xy y
Solución:
Dado que A=3 B= 4 3 C=-1, tenemos ACB 42
=60>0
La cónica es una hipérbola.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En cada uno de los siguientes ejercicios transformar la ecuación dada trasladando
los ejes coordenados al nuevo origen O .
a) 2 2
6 4 0; O ( 3, 2)x y x y
b) 2 3
6 9 0, O ,0
2
y x
c) 2 2
3 4 12 8 4 0; O ( 2,1)x y x y
d) 3 4 13 0; O ( 4,3)xy x y
2. Aplicando las fórmulas de la traslación de ejes, hxx , kyy , reducir las
ecuaciones siguientes a su forma más simple y establecer la naturaleza de la figura
que representan.
a) 05462
xyy
b) 2 2
3 4 12 8 4 0x y x y
c) 2 2
2 3 4 12 20 0x y x y
d) 2
4 6 17 0y x y

3. Los ejes de coordenadas han girado un ángulo de 60º. Las coordenadas de los
puntos )4,32(A , )0,3(B , )32,0(C están determinadas en el nuevo sistema.
Calcular las coordenadas de estos mismos puntos en el sistema de coordenadas
primitivo.
4. Dadas las rectas 2 3 6 0x y y 4 3 12 0x y determine el nuevo origen
donde se deben trasladar los ejes x e y de modo que las ecuaciones de las rectas
dadas carezcan de términos libres.
5. Hallar las nuevas coordenadas del punto dado cuando los ejes rotan el ángulo dado
a) 3, 4 ; 30º
b) º180;1,3
c) (1, 2); 45º
d) 2,3 2 ; 45º
e) 1,0 ; 90º
6. Cuáles son las coordenadas del punto cuando los ejes se giran el ángulo
especificado y luego el origen se traslada al punto especificado.
a) Punto P(3,6), ángulo 30º , O’(2, -6)
b) Punto P(2,2), ángulo 45º , O’(-1,1)
7. Por traslación de los ejes coordenados el nuevo al nuevo origen O’(3,3) y después
rotación en un ángulo de 30º las coordenadas de un cierto punto P se transforman
en (7,6). Encuentre las coordenadas de P con respecto a los ejes originales.
8. Hallar la transformada de la ecuación dada, al girar los ejes de coordenadas un
ángulo dado.
a) 2
3 3 1 0; 60ºy xy
b) 2 2
2 3 4; 30ºx xy y
c)
3 4
3 4 10 0; ,cos
5 5
x y sen
d) 2 2
2 2 4 3 0; 45ºx xy y x y
e) 3 3y x ; 60º
f) 2 2 4 3
11 24 4 30 40 45 0; ,cos
5 5
x xy y x y sen
9. Eliminar los términos de primer grado de las ecuaciones siguientes completando
cuadrados perfectos.
a) 2 2
2 6 8 7 0x y x y
b) 2 2
4 6 3 0x y x y
c) 0108643 22
yxyx
d) 017101252 22
yxyx

10. Considere una rotación 45º, para graficar 2xy , indique sus elementos principales.
11. Por una rotación de 45º de los ejes coordenados, una ecuación de segundo grado se
transforma en 2 2
2 4 8x y . Hallar la ecuación original.
12. Por una rotación de ejes la ecuación 2 2
3x xy y , se transforma en
2 2
1A x B y . Hallar A B
13. Por una traslación de ejes, la ecuación 2
2 2 1 0x x y se transformó en
2
x k y . Hallar k
14. Hallar la nueva ecuación de 3 3y x , después de haber girado los ejes 60º.
15. Si 2y x es la ecuación después de una rotación de 53º, hallar su ecuación en el
sistema XY.
16. Mediante una traslación de ejes coordenados, si es posible, reducir la ecuación:
a)
(4 6)
(2 1)
x
y
x
a la forma x y a , a es constante
b) 2 2
2 2 4 37 0xy y xy x y a la forma
2
x y a ,
17. Por una rotación de 60º de los ejes coordenados, una ecuación de segundo grado se
transforma en 2 2
3 3x y . Hallar la ecuación original.
18. Por una rotación de ejes, transformar la ecuación 3 4 5x y , en otra que no tenga
término en y .
19. Mediante una traslación de ejes adecuado, transformar la ecuación:
2 2
7 8 18 0x xy y x y en otra que no tenga términos de primer grado.
20. Al efectuar una rotación, se obtiene un ángulo cuya medid es º , la pendiente de la
recta : 3 6 0L x y en el nuevo sistema es infinita. Halle º y la ecuación en el
nuevo sistema.
21. Por una traslación de coordenadas al nuevo origen (-2,3) seguido de una rotación de
45º; la ecuación de una curva se ha reducido a la ecuación
2 2
4 4x y .
Hallar la ecuación original.
22. La nueva ecuación de una curva después de una rotación según un ángulo cuya
medida de 37º es: 2 2
39( ) 64( ) 4 100 0x y x y . Hallar la ecuación original.
23. Por una rotación de ejes simplificar la ecuación 2 2
2 3 4x xy y (dar respuesta
la distancia de los focos).

24. Por medio de una rotación de ejes y una traslación, reduce las ecuaciones a su forma
más simple, trazar los ejes coordenados.
a) 2 2
9 24 16 90 130 0x xy y x y
b) 2 2
8 4 5 36x xy y
c) 2 2
4 3 3 30x xy y
d) 2 2
3 2 3 2 10 9 0x xy y x y
e) 2 2
9 4 6 12 36 44 0x xy y x y
f) 2 2
10 1 0x xy y x y
25. Hallar la naturaleza de las cónicas siguientes teniendo en cuenta el valor de
discriminante ACB 42
.
a) 2 2
2 3 2 22 35 0x xy y x y
b) 2 2
3 18 27 5 7 4x xy y y y
c) 2 2
2 3 2 22 35 0x xy y x y
d) 2 2
3 0x xy y x
e) 2 2
2 3 3 2 0x xy y x y
f) 2 2
16 24 9 30 40 0x xy y x y

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