Este documento describe las transformaciones de coordenadas, en particular la rotación de ejes, como una herramienta para simplificar la ecuación de una curva. Explica cómo determinar el ángulo de rotación para eliminar el término Bxy de la ecuación general de segundo grado. Proporciona ejemplos de rotación de ejes para simplificar ecuaciones cónicas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA
PLANTEL 9 “PEDRO DE ALBA”
TURNO MATUTINO
*DE LA CUEVA PASTÉN PATSY ITSEL
*HERNÁNDEZ CRUZ NORMA VERÓNICA
*SALAZAR CORONA ANDREA NAGGIVE
GRUPO 505
MATEMÁTICAS
PROF. ING. PABLO DÁVILA SILVA
TERCER PARCIAL
“ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE EJES”
FECHA DE ENTREGA: 11/MARZO/2009
CICLO ESCOLAR 2008-2009

2. ::TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS::
Una transformación es una operación por la cual una
relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo
una ley dada la cual se expresa en una o más ecuaciones
que reciben el nombre de ecuaciones de transformación.
El objeto primordial de la Geometría Analítica es deducir
las propiedades de las curvas geométricas y el estudio de
sus ecuaciones. Se facilita su estudio cuando se logra
simplificar su ecuación, lo cual se logra mediante una
transformación de los ejes de coordenadas, cuyo proceso
se reduce a 2 movimientos: una de traslación y otro de
rotación.
::ECUACIÓN GENERAL DESEGUNDO GRADO::
Se conoce como ecuación general de segundo grado a la
expresión algebraica del tipo:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
En donde A, B y C no son cero a la vez. Esta ecuación
general representa a todas las cónicas.
Hasta ahora se han estudiado los casos en los que se
carece del término Bxy, es decir, B = 0, lo cual
representa las cónicas en posición horizontal o vertical.
Por otro lado, cuando el coeficiente B de la ecuación
general, es distinto de cero, significa que la cónica se
encuentra en una posición diferente a la normal, es
decir, se encuentra en posición diagonal con respecto al
sistema de coordenadas XY.

3. ::SIMPLIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA CÓNICA::
Cuando la ecuación de una cónica tiene términos lineales
indica que el centro de la cónica se encuentra fuera del
origen. De la misma manera, cuando la ecuación presenta
un término Bxy, indica que la gráfica de la curva se
encuentra en posición oblicua con respecto a los ejes de
coordenadas. De acuerdo con esto, se puede decir que la
complejidad de la ecuación de una cónica depende de su
posición relativa con respecto a los ejes de coordenadas.

4. Con frecuencia resulta práctico trabajar con ecuaciones
más simples, que carezcan de los términos Bxy, Dx y Ey.
Una estrategia para simplificar la ecuación de una cónica
consiste en generar un nuevo sistema de ejes ubicados y
orientados de manera que, sin que la curva pierda sus
propiedades y dimensiones reales, pueda ser expresada de
manera más simple. A este procedimiento se le conoce como
transformación de coordenadas. Cuando la transformación
consiste en generar un nuevo sistema de ejes paralelos y
con sentido análogo a los originales, la transformación
es conocida como traslación de ejes.
La ecuación de la elipse con los ejes Y’- X’, carece de
términos Dx y Ey.
Cuando la transformación de ejes consiste en establecer
un nuevo sistema de ejes paralelos a los ejes de la
cónica, se habla de una rotación de ejes.
La ecuación de la elipse con los ejes Y’- X’, carece del términos Bxy

5. ::ROTACIÓN DE EJES::
La rotación de ejes consiste en que dado un sistema de
ejes cartesianos, hallar otro de tal forma que sus ejes
formen un ángulo cualquiera con referencia a los
primeros, coincidiendo los orígenes de ambos sistemas.
Sean 0X, 0Y los ejes originales y sean 0X', 0Y', los
nuevos ejes girados a un ángulo  con respecto a los
primeros como se indica:

6. Para determinar x y y en función de x', y' y el ángulo 
se tiene:
x = MNONOM  = x' cos  - y' sen 
y = MMPMPM ''  = x' sen  + y' cos 
Por consiguiente las fórmulas de rotación de coordenadas
son:
x = x' cos  - y' sen 
y = x' sen  + y' cos 
En la traslación, los ejes de coordenadas pueden tener el
mismo origen pero diferente dirección con respecto a los
ejes de la cónica dada, es decir, los nuevos ejes X’–Y’
presentan cierto ángulo de inclinación con respecto a los
ejes originales X – Y.
Considérese:
Se puede observar que:
x = = – ó
x’ cos q – y’ sen q

7. y = = + ó
x’ sen q + y’ cos q
Estas relaciones de rotación de ejes, se aplican
generalmente a dos casos de transformaciones:
 Cuando se giran los ejes con base a un ángulo
cualquiera.
 Cuando se giran los ejes un ángulo específico para
eliminar el término Bxy.
::DETERMINACIÓN DEL ÁNGULO DE ROTACIÓN::
Dada una ecuación general de la forma:
Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0;
...siempre es posible determinar el ángulo q de rotación
de manera que se elimine el término Bxy.
De acuerdo con las fórmulas de rotación:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q;
...y haciendo la sustitución en la ecuación tenemos:
Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0
A(x’ cos q – y’ sen q )2 + B(x’ cos q – y’ sen q )( x’
sen q + y’ cos q ) +
C(x’ sen q + y’ cos q )2 + D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’
sen q + y’ cos q ) + F = 0

8. ...desarrollando los productos:
A(x’2 cos2 q – 2x’y’ sen q cosq + y’2 sen2 q ) +
B(x2’ senq cos q +x’ y’ cos2 q – x’y’ sen2 q – y’2senq cos
q )+ C(x’2 sen2 q + 2x’y’ sen q cosq + y’2 cos2 q ) +
D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’ sen q + y’ cos q ) + F = 0
...de donde:
Ax’2 cos2 q – 2Ax’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q +
Bx2’ senq cos q + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q – By’2senq
cos q Cx’2 sen2 q + 2Cx’y’ sen q cosq +C y’2 cos2 q + Dx’
cos q – Dy’ sen q + Ex’ sen q + E y’ cos q + F = 0
...ordenando y reduciendo los términos en función de x’2,
x’y’; y y’2:
Ax’2 cos2 q + Bx2’ senq cos q + Cx’2 sen2 q
– 2Ax’y’ sen q cosq + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q +
2Cx’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q – By’2senq cos q + C y’2
cos2 q
+Dx’ cos q + Ex’ sen q + E y’ cos q – Dy’ sen q + F = 0
...factorizando:
x’2 (A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) +
x’y’ (– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq
) + y’2 (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) x’ (D cos q + E
sen q ) + y’ ( E cos q – D sen q ) + F = 0

9. ...o bien:
(A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) x’2 +
(– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq )
x’y’ + (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) y’2 + (D cos q
+ E sen q ) x’ + ( E cos q – D sen q ) y’ + F = 0
...factorizando nuevamente el término x’y’, se tiene:
(2(C–A) sen q cosq) + B (cos2 q – sen2 q) x’y’
Si se proponen nuevos coeficientes A’, B’, C’, D’, E’ y
F’, para la ecuación de manera que:
A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q
B’ = 2(C–A) sen q cosq) + B (cos2 q – sen2 q )
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
D’ = D cos q + E sen q )
E’ = E cos q – D sen q
F’ = F Fórmulas de rotación
Entonces la nueva ecuación se puede expresar como:
A’x’2 +B’x’y’ +C’y’2 +D’x’ + E’y’ + F’ = 0
Cuando se desea eliminar el término x’y’, se debe
seleccionar el ángulo q de rotación de manera que B’ = 0;
de manera que:
B’ = 2(C–A) sen q cosq) + B (cos2 q – sen2 q ) = 0

10. Si se aplican identidades a la expresión anterior se
tiene:
B’ = (C– A) sen2 q + B cos 2q ó
(C– A) sen2 q + B cos 2q = 0
...de donde:
B cos 2q = – (C– A) sen2 q
; quitando el signo negativo:
; aplicando propiedades de las
fracciones equivalentes
o ; aplicando identidad trigonométrica: tanj
= senj /cosj
fórmula del ángulo de rotación
°°EJEMPLOS°°
1. Transfórmese la ecuación 2x2 – 4y2 + 5 = 0, girando los
ejes 30º.
Dado que el ángulo solicitado es 30º, se obtienen los
valores de sen q,cos q y se sustituyen:
sen 30º =
cos 30º =

11. Sustituyendo en las fórmulas:
x = x’ cos 30º – y’ sen 30º ; x = x’ – y’ ó x =
–
y = x’ sen 30º + y’ cos 30º y = x’ + y’ ó y = +
Sustituyendo en la ecuación:
2( – )2 – 4( + )2 + 5 = 0
Desarrollando: 2( ) –4( ) =
–5
= –5
= –20
2x’2 –12 x’y’–10y’2 + 20 = 0 que es la ecuación buscada.
Observe que en la ecuación original no aparecía el
término Bxy y en la ecuación obtenida sí aparece. Esto se
debe a que la posición original de la gráfica de la
ecuación era normal con respecto a los ejes iniciales.
Posteriormente se obtuvo una ecuación cuyos ejes de la
gráfica no tienen la misma orientación que los
originales.

12. 2. Simplifique la siguiente ecuación por rotación de
manera que carezca del término Bxy: 8x2 – 12xy + 17y2 – 80
= 0
De acuerdo con los coeficientes de la ecuación se tiene:
A = 8
B = –12
C = 17
D = 0
E = 0
F = –80
Ahora se debe determinar el ángulo de rotación que
permite eliminar el término Bxy:
= =
...por lo que, determinando la función inversa (arco
tangente) se tiene:
Tan–1 = 53.30; lo que nos indica que 2q = 53.30º;
por lo que el valor de q , es:
q = = 26.56º
Ahora se determina sen q y cos q:
sen q = 0 .4472
cos q = 0.8944
Aplicando las fórmulas de rotación se tiene:

13. A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q;
A’ = 8(0.8944)2 –12 (0.4472) (0.8944) + 17(0.4472)2;
A’ = 6.4 – 4.8 + 3.4 = 5
B’ = 2(C–A) (sen q cosq) + B (cos2 q – sen2 q)
B’= 2(17– 8) (0.8944)(0.4472) – 12 (0.89442–0.44722)
B’= 18(0.4) – 12(0.6) = 0
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
C’ = 8(0.4472)2 + 12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.8944)2
C’ = 1.6 + 4.8 + 13.6 = 20
D’ = D cos q + E sen q
D’ = 0(0.8944) + 0 ( 0.4472) = 0
E’ = E cos q – D sen q
E’ = 0(0.8944) – 0(0.4472) = 0
F’ = –80
De acuerdo con los resultados, la ecuación: 8x2 – 12xy +
17y2 – 80 = 0; ya transformada es:
5x’2 + 20y’2 – 80 = 0 ó x’2 + 4y’2 –16 = 0
Observe que el término B’ es igual a cero. Siempre que se
aplique el ángulo correcto, el resultado será B’ = 0, es
decir, se eliminará dicho término.
Por otro lado, es importante que tenga presente que la
rotación de ejes se puede realizar utilizando las
fórmulas de los coeficientes A’, B’, ..., o bien,
sustituyendo las relaciones:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q; directamente en la ecuación
dada.

14. Debe tener cuidado al aplicar la fórmula del ángulo de
rotación; pues cuando los coeficientes A y C
son iguales, el valor de la tangente se indetermina por
lo que nos indica que el ángulo 2q = 90º y q = 45º
Algunas veces es necesario realizar una transformación de
traslación y rotación a una misma ecuación. En esos casos
la transformación se realiza de manera secuencial.
::SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN
DE COORDENADAS::
Si trasladando ejes coordenados o rotándolos obtenemos
ecuaciones más simples, entonces si aplicamos a una
ecuación estos dos procesos simultáneamente podremos
obtener una simplificación mayor este proceso se llama
simplificación por transformación de coordenadas.
Primero consideremos una traslación del los ejes a un
nuevo origen O’(h, k), la cual posteriormente es seguida
de una rotación de los ejes en torno a O’ de un ángulo 
como vemos en la siguiente figura:

15. Sea P un punto cualquiera y sean (x,y), (x’,y’) y
(x’’,y’’) sus coordenadas respectivamente a X-Y (ejes
originales), X’-Y’ (ejes trasladados) y X’’- Y’’ (ejes
rotados) para la traslación tenemos que:
x = x’ + h e y = y’ + k
Para la rotación queda que:
x’ = x’’ cos  - y ‘’ sen 
y’ = x’’ sen  + y’’ cos 
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una
traslación seguido de una rotación las ecuaciones de
transformación del sistema original al nuevo sistema son:
x = x’’ cos  - y ‘’ sen  + h
y = x’’ sen  + y’’ cos  + k
Donde  es el ángulo de rotación y (h,k) las
coordenadas del nuevo origen.
°°EJEMPLOS°°
1. Hallar las nuevas coordenadas del punto P(-1,3) cuando
los ejes coordenados son trasladados al origen O’(4,5) y
después se giran un ángulo de 60º.