Este documento resume las propiedades fundamentales de las matrices y los determinantes, incluyendo: (1) propiedades de suma y multiplicación de matrices, (2) propiedades de matrices especiales como diagonales, ortogonales y simétricas/antisimétricas, y (3) propiedades de operaciones como transpuesta, conjugada, inversa y determinante.

1. PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES
(a) Suma de matrices y multiplicación de un escalar (d) Propiedades de matrices diagonales:
por una matriz:
Si A y B son matrices diagonales:
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 1. A + B diag ( a11 + b11 , a22 + b22 ,..., ann + bnn )
=
3. α ( A + B ) = α A + α B 2. AB = diag ( a11b11 , a22b22 ,..., annbnn )
4. (α + β ) A = A + β A
α 3. α A = diag (α a11 , α a22 ,..., α ann )
5. α ( β A ) = (αβ ) A
6. A + 0 = A Donde “0” es (e) Propiedades de la inversa:
7. A + ( − A ) =0 la matriz nula
1. A−1 es única
2. ( A−1 ) = A
−1
(b) Multiplicación de matrices:
1. A ( B + C ) = AB + AC 3. ( AB ) = B −1 A−1
−1
2. ( A + B ) C =AC + BC 1
4. (α A )
−1
= A−1 ∀ α ≠ 0
3. A ( BC ) = ( AB ) C α
4. α ( AB ) (α A ) B A (α B )
( ) =(A )
−1
= = 5. An −1
n
5. A0n 0= 0n
= nA
6. ( A ) = ( A )
−1 T
T −1
6. BI n I= B
= nB
7. En general, AB ≠ BA (la multiplicación no es 1
7. A−1 = ( Adj A) donde Adj A es la adjunta de A
det ( A )
conmutativa)
8. AB = 0 no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0
9. AB = AC no implica necesariamente que B = C
(f) Propiedades de la transpuesta:
(c) Propiedades de la traza:
1. ( AT ) = A
T
1. tr ( A + B= tr ( A ) + tr ( B )
)
2. ( A + B ) =AT + BT
T
2. tr ( AB ) = tr ( BA )
3. tr (α A ) α ⋅ tr ( A )
= 3. ( AB ) = BT AT
T
4. tr ( AT ) = tr ( A ) 4. (α A ) = α AT
T
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
Asignatura: Álgebra Lineal Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta

2. PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES
(g) Propiedades de matrices simétricas/antisimétricas: (k) Propiedades de los determinantes:
Si A es una matriz cuadrada: 1. El valor de un determinante no varía si se intercambian
1. A + AT = matriz simétrica sus filas por sus columnas; es decir: det ( A ) = det AT ( )
2. A − AT = matriz antisimétrica 2. det ( λ A ) = λ det ( A )
n
donde n es el orden de A
3. det ( AB ) = det ( A ) det ( B )
Si A y B son matrices simétricas/antisimétricas:
3. A + B también es simétrica/antisimétrica ( )
4. det A−1 =
1
det ( A )
suponiendo que A−1 existe
4. α A también es simétrica/antisimétrica
5. AB no necesariamente es simétrica/antisimétrica 5. Si todos los elementos de una fila o columna de un
determinante son nulos, el valor del determinante es nulo.
6. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el
(h) Matriz ortogonal: valor del determinante es cero.
1. AT = A−1 7. Si un determinante tiene dos filas o columnas
proporcionales, el valor del determinante es cero.
= =
2. AAT AT A I
8. Si todos los elementos de una fila o columna se
multiplican por un mismo escalar, el valor del determinante
(i) Propiedades de la conjugada: queda multiplicado por dicho escalar.
( )
9. Si en un determinante se intercambian dos de sus filas o
1. A = A columnas, el valor del determinante cambia de signo, pero
2. ( A + B ) =A + B
mantiene su valor absoluto.
10. Si a una fila o columna de un determinante se le suma el
3. ( AB ) A ⋅ B
= (en este orden) múltiplo de cualquier otra (fila o columna), el valor del
determinante no varía.
4. (α A ) α ⋅ A
= 11. El determinante de una matriz triangular es igual al
producto de los elementos de su diagonal principal.
(j) Propiedades de la conjugada-transpuesta: 12. Si det ( A ) = 0 , A es una matriz singular.
13. Si det ( A ) ≠ 0 , A es una matriz no singular.
( )
*
1. A* =A
2. ( A + B ) =A* + B*
*
(l) Propiedad de la adjunta:
3. ( AB ) = B A
* * *
1. A ( Adj A )
= ( Adj A) A
= det ( A ) ⋅ I n
4. (α A ) = α ⋅ A*
*
donde A es una matriz cuadrada de orden n
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
Asignatura: Álgebra Lineal Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta