Este documento describe diferentes tipos de transformaciones de coordenadas, incluyendo de coordenadas rectangulares a polares, polares a rectangulares, traslación de ejes y rotación de ejes. Explica cómo realizar estas transformaciones mediante el uso de ecuaciones trigonométricas y de transformación. También incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas transformaciones a ecuaciones como las de una circunferencia.

1. Transformación de
Coordenadas
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
MERIDA / MERIDA / ING QUIMICA
Autor: Alexandra Camargo Pineda
CI: 26.808.283
Carrera: Ing. Química
Asignatura: Introducción a la Ing. Química
MERIDA, DICIEMBRE DE 2021

2. Transformación de coordenadas
Una transformación es un proceso mediante el cual una ecuación es
convertida en una ecuación distinta a través de una ley la cual se
manifiesta por medio de una o más expresiones denominadas
ecuaciones de transformación. La transformación de coordenadas se
define como la variación de ubicación que experimentan los ejes de
referencia en un sistema de coordenadas debido a la traslación o
rotación de los ejes o por una combinación de los dos, con el fin de
hacer más sencilla una expresión de una curva. Diversos tipos de
ecuaciones pueden sufrir transformaciones de coordenadas como
ecuaciones de circunferencia, parábola, entre otros.

3. Coordenadas rectangulares a polares
Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), en donde, r es
la distancia y θ es el ángulo. Estas coordenadas pueden ser relacionadas
con las coordenadas rectangulares o cartesianas usando trigonometría,
un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. Resulta que usamos la
función tangente para encontrar al ángulo y el teorema de Pitágoras para
encontrar a la distancia, r.

4. ¿Cómo transformar de coordenadas
rectangulares a coordenadas polares?
Recordamos que las coordenadas rectangulares
son escritas de la forma (x, y) y las coordenadas
polares son escritas de la forma (r, theta), en donde, r
es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el
ángulo formado por la línea y el eje x. Estas
coordenadas son relacionadas usando trigonometría.
Observemos el siguiente diagrama:
Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en
términos de las coordenadas rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la base
del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura. Además, vemos que la distancia r
corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para
encontrar la longitud de la hipotenusa:

5. El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la tangente de un
ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y y el
lado adycente es el componente x. Entonces, tenemos:
Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde -frac{pi}{2} hasta frac{pi}{2}, esto no
cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el
valor incorrecto de {{tan}^{-1}}. Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos
usar lo siguiente para arreglar esto:

6. Ejemplo
Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas
polares?
Solución
Tenemos los valores x=3, ~y=4.
Usamos las fórmulas dadas arriba
junto con estos valores para
encontrar las coordenadas
polares. Entonces, el valor de r es
encontrado usando el teorema de
Pitágoras:
Ahora, encontramos el
valor de θ usando la
tangente inversa:
Tanto el componente en x
como el componente en y son
positivos, por lo que el punto
está en el primer cuadrante.
Esto significa que el ángulo
obtenido es el correcto.
Las coordenadas polares son
(5, 0.93 rad).

7. Coordenadas polares a rectangulares
Las coordenadas polares son definidas usando la distancia, r, y al ángulo, θ. Por otra parte las
coordenadas rectangulares, también conocidas como coordenadas cartesianas, son definidas por x y
por y. Podemos encontrar ecuaciones que relacionen a estas coordenadas usando un triángulo
rectángulo y las funciones trigonométricas seno y coseno.
¿Cómo transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares?
Las coordenadas polares tienen la forma (r, theta), en donde, r es la distancia del punto desde el origen y
θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas
tienen la forma (x, y). Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos
trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.
Consideremos el siguiente diagrama:

8. Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y
podemos encontrar las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:
Ejemplo
Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5, frac{pi}{3}), ¿cuáles
son sus coordenadas rectangulares?

9. Solución
Podemos observar los valores r=5
y theta=frac{pi}{3}. Usamos las
fórmulas encontradas anteriormente
para convertir a coordenadas
rectangulares. Entonces, el valor de x
es encontrado usando la función
coseno:
El valor de y es encontrado usando la
función seno:
Entonces, las coordenadas
rectangulares son (2.5, 4.33).

10. Translación de ejes
La traslación de ejes es un tipo de transformación de coordenadas qué
consiste en desplazar uno o ambos ejes de un sistema de coordenadas
rectangulares a una ubicación distinta de la inicial de tal forma que estos
ejes se encuentran paralelos a los ejes iniciales y con una dirección idéntica
a los mismos. La traslación de ejes se emplea con el propósito principal de
hacer más sencillas las ecuaciones de curvas y se lleva a cabo mediante el
uso de expresiones conocidas como ecuaciones de traslación de ejes. Para
realizar una traslación de ejes se debe reemplazar las ecuaciones de
traslación de ejes en la expresión que se desea simplificar y resolviendo las
operaciones algebraicas, que se obtienen al reemplazar las ecuaciones de
traslación de ejes, se obtiene como resultado una nueva ecuación qué es
mucho más simple de operar que la ecuación inicial. Las ecuaciones de
traslación de ejes serán iguales a: x = x’ + h y = y’ + k

11. Todo esto se puede observar a través
del siguiente ejemplo:
Una circunferencia con centro en
(1,2) y un radio de r = 3 posee como
ecuación: x − 1 2+(y − 2)2= 32 x − 1 2+(y
− 2)2= 9
Transforme la ecuación trasladando
los ejes de coordenadas al nuevo
origen (1,2). Se sustituye el punto (1,2)
en las ecuaciones de traslación de ejes
para luego reemplazar las mismas en la
ecuación de circunferencia dada
obteniéndose así la ecuación
transformada.
x = x’ + h y = y’ + k x=x’+1 y=y’+2 x − 1
2+(y − 2)2= 9 x′+1 − 1 2+(y′+2 − 2)2= 9
(x′)2+(y′)2= 9
La rotación de ejes
Es un tipo de transformación donde, a partir de
un sistema de coordenadas planteado, se
encuentra otro sistema de coordenadas de tal
modo que sus ejes produzcan un ángulo con
respecto a los ejes iniciales y que su origen sea el
mismo que el del sistema de coordenadas inicial.
Al igual que la traslación de ejes, la rotación se
efectúa con el propósito principal de convertir
una expresión de curva en una ecuación mucho
más sencilla y se lleva a cabo a través de las
siguientes ecuaciones: x= x´cosθ – y´senθ y=
x´cosθ + y´senθ Estás ecuaciones reciben el
nombre de ecuaciones de rotación de los ejes.

12. Para llevar a cabo una rotación de ejes se debe sustituir las ecuaciones de rotación de los ejes en la
expresión que se desea simplificar y resolver las operaciones algebraicas que se obtienen de reemplazar
dichas ecuaciones. De esta manera se obtiene como resultado una ecuación más sencilla de analizar que
la anterior. Todo esto se puede observar a través del siguiente ejemplo: Transformar la expresión
y2+yx+x2=1 girando los ejes coordenados a un ángulo de 45˚. Primero se sustituye en las ecuaciones de
rotación de los ejes el ángulo dado y luego se sustituyen las mismas en la expresión dada obteniéndose
de esta manera la ecuación transformada.
Representación Gráfica de una Circunferencia en
coordenadas polares

13. Representación grafica de una parábola en
coordenadas polares

14. Bibliografía
• https://www.neurochispas.com/wiki/coordenadas-
rectangulares-a-polares/
• https://www.neurochispas.com/wiki/coordenadas-
polares-a-rectangulares/