La transformada de Fourier es una transformación matemática que convierte señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con aplicaciones en física e ingeniería. Permite descomponer funciones periódicas en una serie de frecuencias mediante coeficientes de Fourier. La transformada de Fourier se usa comúnmente para analizar el espectro de frecuencias de señales y tiene aplicaciones como compresión de audio MP3 y reducción de ruido.
2. Transformada de Fourier: Definición
es una transformación matemática empleada para transformar señales
entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que
tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo
capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio
término se refiere tanto a la operación de transformación como a
la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido
musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de
Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de
amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos
representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo
original.
3. Fourier: Biografía
Matemático francés, que descubrió las series matemáticas y el teorema
integral que llevan su nombre, nacido el 21 de marzo de 1768 en Auxerre
(Francia). Hijo de un sastre, a los ocho años quedó huérfano. Ingresa en la
Escuela Militar de su ciudad natal, pero al no ser de origen noble no puede
llegar a artillero; posteriormente continúa su formación en una abadía
benedictina, pero la abandona antes de profesar como religioso. Durante
la Revolución francesa, logra escapar de la muerte, e ingresa en la École
Normale de París, en la que llegó a ser profesor de enseñanza superior.
4. Transformada de Fourier
En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función f con valores reales o complejos y definida en
la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de
la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición
facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la
transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada
de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
5. Transformada de Fourier
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas
áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la
combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad,
la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En
procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse
como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias
diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
6. Transformada de Fourier:
Definición formal
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función:
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable.
Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es
una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia
dominada puede demostrarse que F(f) es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está
definida por:
7. Transformada de Fourier: Operaciones
básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
integrable f:
Cambio de escala:
Traslación:
Traslación en la variable transformada:
Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables:
Derivada de la transformada: Si f y t ? f(t) son integrables, la transformada de
Fourier F(f) es diferenciable:
8. Transformada de Fourier:
Transformadas básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor
multiplicativo diferente de siendo frecuente en ingeniería el uso de un
factor unidad en la transformada directa y un factor de en la
transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus
transformadas de Fourier con un factor unidad. Si uno desea utilizar otro
factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.
9. Transformada de Fourier:
Inversa
La idea del teorema de inversión es que dado una función f, la transformada de Fourier
inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la
transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es
invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es
necesariamente integrable.
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean
invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más
natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones ? rápidamente
decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:
Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la
transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de
Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función f en este
espacio, vale el teorema de inversión (1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la
transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.
10. Transformada de Fourier:
Aplicación en ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio de la
frecuencia» una señal para así obtener información que no es evidente en
el dominio del tiempo. Se demuestra matemáticamente que una señal
periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos
formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las
ondas se pueden descomponer en un sumitario de señales
trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada
frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden
llegar a diversos experimentos muy interesantes:
1- La voz humana recorre el espectro de los 300Hz a los 3400Hz. 2- Si
conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos
conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño
de filtros de radio-transistores.
11. Transformada rápida de Fourier
FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un
eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier
discreta(DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia
variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado
digital en general a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales o
los algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros.
12. Transformada de Fourier:
Aplicaciones
MP3
Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco
Análisis en frecuencia de cualquier señal discreta.
Tratamiento de imagen (JPEG)) y audio
Análisis de materiales y estadística
Síntesis, mediante la transformada inversa IFFT
