1. 1. SERIE DE FOURIER
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Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y
periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de
Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha
función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como
combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático
francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del
calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados
iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta
sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis
vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En
ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los
componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un
sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Definición [editar]
Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:
Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma
compleja:

2. Los coeficientes ahora serían:
Teorema De Dirichlet: Convergencia a una función periódica [editar]
Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo
tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades,
de período 2p. Sean
y
entonces la serie converge a
En donde ,y
Forma exponencial [editar]
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si
la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:
Ejemplos de séries de fourier [editar]

3. Grafico de una función periódica
Animación de las 5 primeras séries de fourier.
Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una série de Fourier en expansión
muy simplificada.
En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:
Si la série de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:
|
Ingeniería
El análisis de señales en el dominio del tiempo se realiza a través de las series de Fourier, por
cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:
Por lo tanto:

4. Aplicaciones
 Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la
superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud
variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
 Análisis en el comportamiento armónico de una señal
 Reforzamiento de señales.
 Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal
de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace
y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
Formulación Moderna
Realmente el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir,
para funciones que cumplan que:
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con
L2(* − π,π+). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de L2([
− π,π+) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de funciones exponenciales
es una base ortonormal del espacio L2(* − π,π+.
El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los
coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

5. En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de
cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos
términos tienen cuadrados sumables.
Formulación general
Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a
la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.
Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas
identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si
se pierde la "propiedad de homomorfismo".
Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales.
Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una
gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-
Liouville.
2. TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
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Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación).
En matemáticas, la transformada de Fourier discreta, designada con frecuencia por la
abreviatura DFT (del inglés discrete Fourier transform), y a la que en ocasiones se denomina
transformada de Fourier finita, es una transformada de Fourier ampliamente empleada en
tratamiento de señales y en campos afines para analizar las frecuencias presentes en una señal
muestreada, resolver ecuaciones diferenciales parciales y realizar otras operaciones, como
convoluciones. La transformada de Fourier discreta puede calcularse de modo muy eficiente
mediante el algoritmo FFT.
La secuencia de n números complejos x0, ..., xn-1 se transforma en la secuencia de n números
complejos f0, ..., fn-1 mediante dicha transformada según la fórmula
siendo e la base de los logaritmos naturales, i la unidad imaginaria (i2 = − 1), y π el número pi.
Esta transformada se nota con frecuencia mediante el símbolo , como en o en
.
La transformada de Fourier discreta inversa (por sus siglas en inglés IDFT, Inverse Discrete
Fourier Transform) se calcula, por otra parte, mediante:

6. .
Nótese que el factor de normalización que multiplica a la transformada y a su inversa (en las
fórmulas dadas, 1 y 1/n) y los signos de los exponentes son convencionales, y pueden diferir en
otras presentaciones de la transformada de Fourier discreta. Lo importante es que la DFT y la
IDFT tengan exponentes de signos contrarios y que el producto de sus factores de
normalización sea 1/n. Un factor de normalización de tanto para la transformada
directa como para la inversa hace las transformaciones unitarias, lo que presenta ciertas
ventajas teóricas, pero en la práctica suele ser más conveniente realizar la operación de
escalado una única vez.
3. SEÑAL DIGITAL
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La señal digital es un tipo de señal generada por algún tipo de fenómeno electromagnético en
que cada signo que codifica el contenido de la misma puede ser analizado en término de
algunas magnitudes que representan valores discretos, en lugar de valores dentro de un cierto
rango. Por ejemplo, el interruptor de la luz sólo puede tomar dos valores o estados: abierto o
cerrado, o la misma lámpara: encendida o apagada (véase circuito de conmutación).
Los sistemas digitales, como por ejemplo el ordenador, usan lógica de dos estados
representados por dos niveles de tensión eléctrica, uno alto, H y otro bajo, L (de High y Low,
respectivamente, en inglés). Por abstracción, dichos estados se sustituyen por ceros y unos, lo
que facilita la aplicación de la lógica y la aritmética binaria. Si el nivel alto se representa por 1 y
el bajo por 0, se habla de lógica positiva y en caso contrario de lógica negativa.
Cabe mencionar que, además de los niveles, en una señal digital están las transiciones de alto
a bajo y de bajo a alto, denominadas flanco de subida y de bajada, respectivamente. En la
figura se muestra una señal digital donde se identifican los niveles y los flancos.
Señal digital: 1) Nivel bajo, 2) Nivel alto, 3) Flanco de subida y 4) Flanco de bajada.

7. Señal digital con ruido
Es conveniente aclarar que, a pesar de que en los ejemplos señalados el término digital se ha
relacionado siempre con dispositivos binarios, no significa que digital y binario sean términos
intercambiables. Por ejemplo, si nos fijamos en el código Morse, veremos que en él se utilizan,
para el envío de mensajes por telégrafo eléctrico, cinco estados digitales, que son:
punto, raya, espacio corto (entre letras), espacio medio (entre palabras) y espacio
largo (entre frases)
Referido a un aparato o instrumento de medida, decimos que es digital cuando el resultado de
la medida se representa en un visualizador mediante números (dígitos) en lugar de hacerlo
mediante la posición de una aguja, o cualquier otro indicador, en una escala.
Ventajas de las señales digitales
1. Ante la atenuación, puede ser amplificada y reconstruida al mismo tiempo, gracias a
los sistemas de regeneración de señales.
2. Cuenta con sistemas de detección y corrección de errores, en la recepción.
3. Facilidad para el procesamiento de la señal. Cualquier operación es fácilmente
realizable a través de cualquier software de edición o procesamiento de señal.
4. Permite la generación infinita sin pérdidas de calidad. Esta ventaja sólo es aplicable a
los formatos de disco óptico; la cinta magnética digital, aunque en menor medida que
la analógica (que sólo soporta como mucho 4 o 5 generaciones), también va perdiendo
información con la multigeneración.
5. Las señales digitales se ven menos afectadas a causa del ruido ambiental en
comparación con las señales analógicas.
Inconvenientes de las señales digitales
1. Necesita una conversión analógica-digital previa y una decodificación posterior en el
momento de la recepción.
2. Requiere una sincronización precisa entre los tiempos del reloj del transmisor con
respecto a los del receptor.
3. La señal digital requiere mayor ancho de banda que la señal analogica para ser
transmitida.

8. 4. En la transformación de una señal analógica a una digital siempre existira un margen
de error ya que una señal analógica continua tiene valores infinitos, y una señal digital
actualmente su numero de valores es finito
4. SEÑAL ANALOGA
Se conoce como señal análoga, aquella cuyo valor varía con el tiempo y en forma
continua, pudiendo asumir un número infinito de valores entre sus límites mínimos y
máximos.
A continuación se citan algunos parámetros físicos muy utilizados en los procesos
industriales, tal que, en forma de señal análoga pueden ser controlados y medidos.
temperatura
velocidad
presión
flujo,
- nivel, etc.
REPRESENTACION DE LAS CANTIDADES BINARÍAS
Dado que el PLC recepciona la información proveniente del proceso ya sea en forma
discreta o análoga, donde la información se almacena en forma de una agrupación binaria,
es preciso por lo tanto, disponer de un medio de representación que facilite su manejo y
mejore la capacidad de procesamiento.
Para ello se emplean con mayor frecuencia tres tipos de representación para la
información, éstos son: bit, byte y palabra, en algunos casos se utilizan la doble palabra.
BIT
El bit es la unidad elemental de información donde sólo puede tomar dos valores un "1" ó
un "0 ", es decir, un bit es suficiente para representar una señal binaria.
BYTE

9. El byte es una unidad compuesta por una agrupación ordenada de 8 bits, es decir, ocho
dígitos binarios. Los bits se agrupan de derecha a izquierda tomando como número de bit
del 0 al 7.
En un byte se puede representar el estado de hasta ocho señales binarias, puede usarse
para almacenar un número cuya magnitud como máximo sería:
Número máximo de un byte = 1 1 1 1 1 1 1 1 = 28 _1 = 255
PALABRA
Para obtener mayor capacidad de procesamiento a veces se agrupan los bytes formando lo
que se denomina las palabras.
La palabra es una unidad mayor compuesta de 16 bits = 2 bytes. Los bits de una palabra se
agrupan de derecha a izquierda tomando como número de bit del 0 al 15.
En una palabra se pueden representar hasta 16 señales binarias, puede usarse para
almacenar un número cuya magnitud como máximo sería
Número máximo en una Palabra = 216 - 1 = 65535
DIRECCIONAMIENTO DE BITS
Cuando se elabora un programa de control, se van indicando las diferentes instrucciones
de mando donde en cada instrucción se indica que operación se debe ejecutar, también
figura la dirección exacta del módulo y canal o terminal de conexión de las señales de E/S
involucradas en el proceso.
El direccionamiento puede realizarse de dos formas
- Direccionamiento Fijo
- Direccionamiento Variable
DIRECCIONAMIENTO FIJO

10. Cuando la dirección de las señales de E/S queda determinada por la posición o puesto de
enchufe en que están ubicados los módulos de E/S respecto a la CPU, se dice que el
direccionamiento es fijo. Además, un direccionamiento fijo puede ser del tipo Octal (byte)
o hexadecimal
DIRECCIONAMIENTO FIJO DEL TIPO OCTAL (BYTE)
Un direccionamiento del tipo octal queda determinado cuando a cada módulo de E/S se le
agrupa los terminales por bytes, es decir, en grupos de 8 bits del (0 al 7).
En este caso, en la dirección se especificará el byte correspondiente al terminal
seleccionado y que pertenece al puesto de enchufe según L posición que ocupa.
DIRECCIONAMIENTO FIJO DEL TIPO HEXADECIMAL
Este direccionamiento se diferencia del anterior en el agrupamiento de los termínales,
siendo para este caso del tipo hexadecimal, ósea en grupos de 16 bits del (0 al F).

11. 5. MODULACIÓN FSK – PSK - QAM
En un sistema de transmisión digital, la información de la fuente original puede ser en forma
digital o analógica. Si está en forma analógica, tiene que convertirse a pulsos digitales, antes de
la transmisión y convertirse de nuevo a la forma analógica, en el extremo de recepción. En un
sistema de radio digital, la señal de entrada modulada y la sedal de salida demodulada, son
pulsos digitales.
TRANSMISIÓN POR DESPLAZAMIENTO DE FRECUENCIA (FSK)
El FSK binario es una Forma de modulación angular de amplitud constante, similar a la
modulación en frecuencia convencional, excepto que la señal modulante es un flujo de pulsos
binarios que varía, entre dos niveles de voltaje discreto, en lugar de una forma de onda
analógica que cambia de manera continua. La expresión general para una señal FSK binaria es
v(t) = V c cos [ ( w c + v m(t) D w / 2 )t ] (1)
donde v(t) = forma de onda FSK binaria
V c = amplitud pico de la portadora no modulada
w c = frecuencia de la portadora en radianes
v m(t) = señal modulante digital binaria
D w = cambio en frecuencia de salida en radianes
De la ecuación 1 puede verse que con el FSK binario, la amplitud de la portadora V c se
mantiene constante con la modulación. Sin embargo, la frecuencia en radianes de la portadora
de salida ( w c) cambia por una cantidad igual a ± D w/2. El cambio de frecuencia ( D w/2) es
proporcional a la amplitud y polaridad de la señal de entrada binaria. Por ejemplo, un uno
binario podría ser +1 volt y un cero binario -1 volt, produciendo cambios de frecuencia de + D
w/2 y - D w/2, respectivamente. Además, la rapidez a la que cambia la frecuencia de la

12. portadora es igual a la rapidez de cambio de la señal de entrada binaria v m(t). Por tanto, la
frecuencia de la portadora de salida se desvía entre ( w c + D w/2) y ( w c - D w/2) a una
velocidad igual a f m (la frecuencia de marca).
Transmisor de FSK
La salida de un modulador de FSK binario, es una función escalón en el dominio del tiempo.
Conforme cambia la señal de entrada binaria de 0 lógico a 1 lógico, y viceversa, la salida del
FSK se desplaza entre dos frecuencias: una frecuencia de marca o de 1 lógico y una frecuencia
de espacio o de 0 lógico. Con el FSK binario, hay un cambio en la frecuencia de salida, cada vez
que la condición lógica de la señal de entrada binaria cambia. Un transmisor de FSK binario
sencillo se muestra en la figura l.
FIGURA 1
Consideraciones de ancho de banda del FSK
FIGURA 2
La figura 2 muestra un modulador de FSK binario que a menudo son osciladores de voltaje
controlado (VCO). El más rápido cambio de entrada ocurre, cuando la entrada binaria es una

13. onda cuadrada. En consecuencia, si se considera sólo la frecuencia fundamental de entrada, la
frecuencia modulante más alta es igual a la mitad de la razón de bit de entrada.
La frecuencia de reposo del VCO se selecciona de tal forma que, cae a medio camino, entre las
frecuencias de marca y espacio. Una condición de 1 lógico, en la entrada, cambia el VCO de su
frecuencia de reposo a la frecuencia de marca; una condición de 0 lógico, en la entrada,
cambia cl VCO de su frecuencia de reposo a la frecuencia de espacio. El índice de modulación
en FSK es
MI = Df / f a (2)
donde MI = índice de modulación (sin unidades)
Df = desviación de frecuencia (Hz)
f a = frecuencia modulante (Hz)
El peor caso, o el ancho de banda más amplio, ocurre cuando tanto la desviación de frecuencia
y la frecuencia modulante están en sus valores máximos. En un modulador de FSK binario, Df
es la desviación de frecuencia pico de la portadora y es igual a la diferencia entre la frecuencia
de reposo y la frecuencia de marca o espacio. La desviación de frecuencia es constante y,
siempre, en su valor máximo. f a es igual a la frecuencia fundamental de entrada binaria que
bajo la condición del peor caso es igual a la mitad de la razón de bit (f b). En consecuencia,
para el FSK binario,
FIGURA 3
donde ï f m - f s ï/ 2 = desviación de frecuencia
f b = razón de bit de entrada
f b /2 = frecuencia fundamental de la señal de entrada binaria
En un FSK binario el índice de modulación, por lo general, se mantiene bajo 1.0, produciendo
así un espectro de salida de FM de banda relativamente angosta. Debido a que el FSK binario
es una forma de modulación en frecuencia de banda angosta, el mínimo ancho de banda
depende del índice de modulación. Para un índice de modulación entre 0.5 y 1, se generan dos
o tres conjuntos de frecuencias laterales significativas. Por tanto, el mínimo ancho de banda es
dos o tres veces la razón de bit de entrada.

14. Receptor de FSK
El circuito que más se utiliza para demodular las señales de FSK binarias es el circuito de fase
cerrada (PLL), que se muestra en forma de diagrama a bloques en la figura 3. Conforme cambia
la entrada de PLL entre las frecuencias de marca y espacio, el voltaje de error de cc a la salida
del comparador de fase sigue el desplazamiento de frecuencia. Debido a que sólo hay dos
frecuencias de entrada (marea y espacio), también hay sólo dos voltajes de error de salida.
Uno representa un 1 lógico y el otro un 0 lógico. En consecuencia, la salida es una
representación de dos niveles (binaria) de la entrada de FSK. Por lo regular, la frecuencia
natural del PLL se hace igual a la frecuencia central del modulador de FSK. Como resultado, los
cambios en el voltaje de error cc, siguen a los cambios en la frecuencia de entrada analógica y
son simétricos alrededor de 0 V.
Transmisión de desplazamiento mínimo del FSK
La transmisión de desplazamiento mínimo del FSK (MSK), es una forma de transmitir
desplazando la frecuencia de fase continua (CPFSK). En esencia, el MSK es un FSK binario,
excepto que las frecuencias de marca y espacio están sincronizadas con la razón de bit de
entrada binario. Con MSK, las frecuencias de marca y espacio están seleccionadas, de tal forma
que están separadas de la frecuencia central, por exactamente, un múltiplo impar de la mitad
de la razón de bit [f m y f s = n( f b / 2 ), con n = entero impar]. Esto asegura que haya una
transición de fase fluida, en la señal de salida analógica, cuando cambia de una frecuencia de
marca a una frecuencia de espacio, o viceversa.
TRANSMISIÓN DE DESPLAZAMIENTO DE FASE (PSK)
Transmitir por desplazamiento en fase (PSK) es otra forma de modulación angular, modulación
digital de amplitud constante. El PSK es similar a la modulación en fase convencional, excepto
que con PSK la señal de entrada es una señal digital binaria y son posibles un número limitado
de fases de salida.

15. PSK DE OCHO FASES (8-PSK)
Un PSK de ocho fases (8-PSK), es una técnica para codificar M-ario en donde M= 8. Con un
modulador de 8-PSK, hay ocho posibles fases de salida. Para codificar ocho fases diferentes, los
bits que están entrando se consideran en grupos de 3 bits, llamados tribits (2 3 = 8).
Transmisor PSK de ocho fases
Un diagrama a bloques de un modulador de 8-PSK se muestra en la figura 11. El flujo de bits
seriales que están entrando se introduce al desplazador de bits, en donde se convierte a una
salida paralela de tres canales (el canal I, o en fase; el canal Q, o en cuadratura y el canal C, o
de control). En consecuencia, la tasa de bits, en cada uno de los tres canales, es f b/3. Los bits
en los canales I y C’ (C negado), entran al convertidor de los niveles 2 a 4 del canal I, y los bits
en los canales Q y C’ entran el convertidor de los niveles 2 a 4, del canal Q. En esencia, los
convertidores de los niveles 2 a 4 son convertidores digital a análogo (DAC) de entrada
paralela. Con 2 bits de entrada, son posibles cuatro voltajes de salida. El algoritmo para los
DAC es bastante sencillo. El bit I o Q determina la polaridad de la señal analógica de salida (1
lógico = +V y 0 lógico = –V), mientras que la C o el bit C’ determina la magnitud (1 lógico =
1.307V y 0 lógico = 0.541V). En consecuencia, con dos magnitudes y dos polaridades, son
posibles cuatro condiciones de salida diferentes.
FIGURA 11
En la figura 12 puede verse que la separación angular, entre cualquiera de dos fasores
adyacentes, es de 45°, la mitad de lo que es con QPSK. Por tanto, una señal 8-PSK puede
experimentar un cambio de fase de casi ±22.5°, durante la transmisión, y todavía tener su
integridad. Además, cada fasor es de igual magnitud; la condición tribit (información actual) se
contiene, de nuevo, sólo en la fase de la señal.
Consideraciones del ancho de banda para el 8-PSK
Con el 8-PSK ya que los datos se dividen en tres canales, la tasa de bits en el canal I, Q, o C, es
igual a un tercio de la tasa de datos de entrada binarios (f b/3), (El derivador de bits estira los
bits I, Q y C a tres veces su longitud de bit de entrada). Debido a que los bits I, Q y C tienen una
salida simultánea y en paralelo, los convertidores de nivela de 2 a 4, también ven un cambio en
sus entradas (y en consecuencia sus salidas) a una tasa igual a f b/3.

16. FIGURA 12
Receptor 8-PSK
La figura 13 muestra un diagrama a bloques de un receptor de 8-PSK. El derivador de potencia
dirige la señal de 8-PSK de entrada, a los detectores de producto I y Q, y al circuito de
recuperación de la portadora. El circuito de recuperación de la portadora reproduce la señal
original del oscilador de referencia. La señal de 8-PSK que está entrando se mezcla con la
portadora recuperada, en el detector de productos I y con un portadora de cuadratura en el
detector de producto Q. Las salidas de los detectores de producto son señales PAM, de nivel 4,
que alimentan a los convertidores análogos a digital (ADC), del nivel 4 a 2. Las salidas del
convertidor de nivel 4 a 2, canal I, son los bits I y C, mientras que las salidas del convertidor de
nivel 4 a 2, canal Q, son los bits Q y C’. El circuito lógico de paralelo a serial conviene los pares
de bit, I/C y Q/C’, a flujos de datos de salida serial I, Q y C.
FIGURA 13

17. PSK DE DIECISÉIS FASES (16-PSK)
El PSK de dieciséis fases (16-PSK) es una técnica de codificación M-ario, en donde M = 16; hay
16 diferentes fases de salida posibles. Un modulador de 16-PSK actúa en los datos que están
entrando en grupos de 4 bits (2 4 = 16), llamados quadbits (bits en cuadratura). La fase de
salida no cambia, hasta que 4 bits han sido introducidos al modulador. Por tanto, la razón de
cambio de salida y el mínimo ancho de banda son iguales a un cuarto de la tasa de bits que
están entrando (f b/4). La tabla de verdad y el diagrama de constelación para un transmisor de
16-PSK se muestran en la figura 14.
FIGURA 14
MODULACIÓN DE AMPLITUD EN CUADRATURA (QAM)
La modulación de amplitud en cuadratura (QAM), es una forma de modulación digital en
donde la información digital está contenida, tanto en la amplitud como en la fase de la
portadora trasmitida.
QAM DE OCHO (8-QAM)
El QAM de ocho (8-QAM), es una técnica de codificación M-ario, en donde M = 8. A diferencia
del 8-PSK, la señal de salida de un modulador de 8-QAM no es una señal de amplitud
constante.
Transmisor de QAM de ocho
La figura 15 muestra el diagrama a bloques de un transmisor de 8-QAM. Como pueda verse, la
única diferencia, entre el transmisor de 8-QAM y el transmisor de 8-PSK es la omisión del
inversor entre el canal C y el modulador da producto Q.

18. FIGURA 15
Consideraciones del ancho de banda para el QAM de ocho
En el 8-QAM, la tasa de bits, en los canales I y Q, es un tercio de la tasa binaria de entrada, al
igual que con el 8-PSK. Como resultado, la frecuencia de modulación fundamental más alta y la
razón de cambio de salida más rápida en 8-QAM, son iguales que para el 8-PSK. Por tanto, el
mínimo ancho de banda requerido para 8-QAM es f b/3, al igual que en el 8-PSK.
Receptor de QAM de ocho
Un receptor de 8-QAM es casi idéntico al receptor de 8-PSK. Las diferencias son los niveles
PAM, en la salida de los detectores de producto, y las señales binarias a la salida de los
convertidores análogo a digital. Debido a que hay dos amplitudes de transmisión posibles, con
8-QAM, que son diferentes de aquellas factibles con el 8-PSK, los cuatro niveles PAM
demodulados son diferentes de aquellos en 8-PSK. En consecuencia, el factor de conversión
para los convertidores analógico a digital, también tienen que ser diferentes. Además, con el 8-
QAM las señales de salida binarias del convertidor analógico a digital, del canal I, son los bits I y
C, y las señales de salida binarias del convertidor analógico a digital, del canal Q, son los bits Q
y C.
QAM DE DIECISÉIS (16-QAM)
Así como en 16-PSK, el 16-QAM es un sistema M-ario, en donde M= 16. Actúa sobre los datos
de entrada en grupos de cuatro (2 4 = l6). Como con el 8-QAM, tanto la fase y la amplitud de la
portadora transmisora son variados.
Transmisor QAM de dieciséis
El diagrama a bloques para un transmisor de 16-QAM se muestra en la figura 16. Los datos de
entrada binaria se dividen en cuatro canales: El I, I’, Q y Q’. La tasa de bits de rada canal es
igual a un cuarto de la tasa de bits de entrada (f b/4).

19. FIGURA 16
Consideraciones del ancho de banda para el QAM de dieciséis
Con el l6-QAM, ya que los datos de entrada se dividen en cuatro canales, la tasa de bits en el
canal I, I’, Q o Q’ es igual a un cuarto de la tasa de datos de entrada binarios (f b/4). (El
derivador de bits estira los bits I, I’, Q y Q’, a cuatro veces su longitud de bits de entrada).
Además, debido a que estos bits tienen salidas de manera simultánea y en paralelo, los
convertidores de nivel 2 a 4 ven un cambio en sus entradas y salidas a una fase igual a un
cuarto de la tasa de datos de entrada.
RESUMEN DE FSK, PSK Y QAM
Las distintas formas de FSK, PSK y QAM se resumen en la tabla 1
Eficiencia BW
Modulación Codificación BW (Hz) Baudio
(bps/Hz)
FSK Bit áfb fb [1
BPSK Bit fb fb 1
QPSK Dibit fb/2 fb/2 2
8-QPSK Tribit fb/3 fb/3 3
8-QAM Tribit fb/3 fb/3 3
16-QPSK Quadbit fb/4 fb/4 4
16-QAM Quadbit fb/4 fb/4 4
TABLA 1: RESUMEN DE LA MODULACIÓN DIGITAL

20. Rendimiento de error de PSK
El rendimiento de error de bit para los distintos sistemas de modulación digital multifase está
directamente relacionado con la distancia entre puntos en un diagrama de espacio de estado
de la señal.
Para los sistemas de PSK, la fórmula general para los puntos del umbral es
TP = ± p/M (8)
en donde M es el número de estados de señal.
Para PSK, la fórmula general para la distancia máxima entre puntos de señalización se da por
sen q = sen(360º/2M) = d / 2D (9)
en donde d = distancia de error
M = número de fases
D = amplitud pico de la señal
resolviendo para d
d = 2D sen(180º/M) (10)
Los niveles más altos de modulación (por ejemplo, entre mayor sea el valor de M) requieren de
una mayor relación de la densidad de potencia de energía por bit a ruido, para reducir el
efecto de la interferencia de ruido. En consecuencia, entre más alto sea el nivel de modulación
más pequeña será la separación angular entre puntos de señal, y más pequeña la distancia de
error.
La expresión general para la probabilidad de error del bit de un sistema PSK de fase-M es
(11)
en donde erf(z) = función de error
(12)
con
en donde E b/N 0 = relación de densidad de potencia de energía por bit a ruido

21. C/N = relación de potencia de portadora a ruido
B/f b = relación del ancho de banda de ruido a la tasa de bits
Sustituyendo la ecuación 11 puede mostrarse que QPSK proporciona el mismo rendimiento de
error que el BPSK. Esto se debe a que la reducción en 3dB, en distancia de error para QPSK, se
desplaza por la reducción en 3dB en su ancho de banda. Por tanto, ambos sistemas
proporcionan un rendimiento óptimo.
Rendimiento de error del QAM
Para un gran número de puntos de señal (por ejemplo, sistemas M-ario mayores a 4), el QAM
funcionará mejor que el PSK. Esto se debe a que la distancia, entre dos puntos de señalización
en un sistema de PSK, es más pequeña que la distancia entre puntos en un sistema QAM
comparable. La expresión general para la distancia entre puntos de señalización adyacentes
para un sistema QAM con nivel L en cada eje es
(13)
en donde d = distancia de error
L = número de niveles en cada eje
D = amplitud pico de la señal
Al comparar la ecuación 10 con la ecuación 13, puede verse que los sistemas QAM tienen una
ventaja sobre los sistemas PSK, con el mismo nivel de potencia de la señal pico.
La expresión general para la probabilidad de error de bit de un sistema QAM de nivel L es
(14)
en donde erfc(z) = función de error complementaria
(15)
La figura 21 muestra el rendimiento de error para los sistemas QAM de 4, 16, 32 y 64 como
función de E b/N 0. La tabla 2 indica las mismas relaciones de potencia de la portadora a ruido
y las relaciones de la densidad de potencia de energía por bit a ruido, para una probabilidad de
error de 10 -6 para varios esquemas de modulación PSK y QAM.

22. FIGURA 21
Relación C/NRelación E b/N
Modulación
(dB) 0 (dB)
BPSK 10.6 10.6
QPSK 13.6 10.6
4-QAM 13.6 10.6
8-QAM 17.6 10.6
8-PSK 18.5 14
16-PSK 24.3 18.3
16-QAM 20.5 14.5
32-QAM 24.4 17.4
64-QAM 26.6 18.8
TABLA 2: COMPARACIÓN DEL RENDIMIENTO DE VARIOS ESQUEMAS PARA MODULACIÓN
DIGITAL (BER = 10 -6)

23. Rendimiento de error del FSK
La probabilidad de error para los sistemas FSK se evalúa en forma un tanto diferente a los PSK
y QAM. Hay en esencia sólo dos tipos de sistemas FSK: no coherente (asíncronos) y coherentes
(síncronos). Con FSK no coherente, el transmisor y el receptor no están sincronizados en
frecuencia o fase. Con FSK coherente, las señales de referencia del receptor local están
cerradas, en frecuencia y en fase, con las señales transmitidas. La probabilidad de error para
FSK no coherente es
(16)
La probabilidad de error para FSK coherente es
(17)
FIGURA 22
La figura 22 muestra las curvas de probabilidad de error, para FSK coherente y no coherente
para varios valores de E b/N 0. De las ecuaciones 16 y 17 puede determinarse que la
probabilidad de error para FSK no coherente es mayor que la del FSK coherente para iguales
relaciones de la densidad de potencia de energía por bit a ruido.

24. ASK: Modulación digital de amplitud.
Consiste en cambiar la amplitud de la sinusoide entre dos valores posibles; si uno de los
valores es cero se le llama OOK (On-Off keying). La aplicación más popular de ASK son
las transmisiones con fibra óptica ya que es muy fácil "prender" y "apagar" el haz de luz;
además la fibra soporta las desventajas de los métodos de modulación de amplitud ya que
posee poca atenuación. Otra aplicación es el cable transoceánico.
El modulador es un simple multiplicador de los datos binarios por la portadora. A
continuación se ilustra un ejemplo de un mensaje en banda base y el resultado de modular
en ASK(OOK).
ASK puede ser definido como un sistema banda base con una señal para el "1"
igual a s1(t) y una señal para el cero igual a s0(t) = 0.
Definamos una señal b(t) que toma el valor de 1 cuando el bit enviado es un
UNO y –1 cuando el bit enviado es un CERO.
La señal ASK puede expresarse como:
Como se observa b(t) es una onda NRZ polar, por lo tanto su espectro, que es
infinito, quedará trasladado a fc . Como el espectro de b(t) es un Sinc2 con cortes
cada fb=1/tb, y como siempre se elige fc mucho mayor quefb, entonces el espectro
de la señal ASK quedará:
Se observa que el ancho de banda práctico es 2fb el cual es el doble del requerido
en transmisión banda base. Otro parámetro que será muy útil sobre todo en
modulación multinivel es la constelación que a continuación definiremos:
La constelación consiste en representar la señal modulada en función de una o
varias funciones ortonormales (ortogonales de energía unitaria).
Por ejemplo si fc = nfb la función u1(t) definida como sigue, tiene energía unitaria
en un intervalo de tiempo igual a tb.
La gráfica de xASK(t) en función de u1(t) recibe el nombre de constelación. En
este caso luciría como:
La distancia entre los posibles valores de la señal es muy importante, ya que
representará la fortaleza que tiene la modulación frente al ruido. Observe que si
los símbolos están más distanciados, será mas difícil que uno se convierta en otro
por efectos del ruido añadido en el sistema.
6. CONVERSIÓN ANALÓGICA-DIGITAL
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Una conversión analógica-digital (CAD) (o ADC) consiste en la transcripción de señales
analógicas en señales digitales, con el propósito de facilitar su procesamiento (codificación,
compresión, etc.) y hacer la señal resultante (la digital) más inmune al ruido y otras
interferencias a las que son más sensibles las señales analógicas.
Comparación de las señales analógica y digital
Una señal analógica es aquella cuya amplitud (típicamente tensión de una señal que proviene
de un transductor y amplificador) puede tomar en principio cualquier valor, esto es, su nivel en
cualquier muestra no está limitado a un conjunto finito de niveles predefinidos como es el caso
de las señales cuantificadas.
Esto no quiere decir que se traten, en la práctica, de señales de infinita precisión (un error muy
extendido): las señales analógicas reales tienen todas un ruido que se traduce en un intervalo
de incertidumbre. Esto quiere decir que obtenida una muestra de una señal analógica en un

25. instante determinado, es imposible determinar cuál es el valor exacto de la muestra dentro de
un intervalo de incertidumbre que introduce el ruido. Por ejemplo, se mide 4,3576497 V pero
el nivel de esa muestra de la señal de interés puede estar comprendida entre 4,35 V y 4,36 V y
no es físicamente posible determinar ésta con total precisión debido a la naturaleza
estocástica del ruido. Sólo el más puro azar determina qué valores se miden dentro de ese
rango de incertidumbre que impone el ruido. Y no existe (ni puede existir) ningún soporte
analógico sin un nivel mínimo de ruido, es decir, de infinita precisión. Por otro lado, si se
pudiera registrar con precisión infinita una señal analógica significaría, de acuerdo con la
Teoría de la Información, que ese medio serviría para registrar infinita información; algo
totalmente contrario a las leyes físicas fundamentales de nuestro universo y su relación con la
entropía de Shannon.
En cambio, una señal digital es aquella cuyas dimensiones (tiempo y amplitud) no son
continuas sino discretas, lo que significa que la señal necesariamente ha de tomar unos
determinados valores fijos predeterminados en momentos también discretos.
Las señales analógicas no se diferencian, por tanto, de las señales digitales en su precisión
(precisión que es finita tanto en las analógicas como en las digitales) o en la fidelidad de sus
formas de onda (distorsión). Con frecuencia es más fácil obtener precisión y preservar la forma
de onda de la señal analógica original (dentro de los límites de precisión impuestos por el ruido
que tiene antes de su conversión) en las señales digitales que en aquéllas que provienen de
soportes analógicos, caracterizados típicamente por relaciones señal a ruido bajas en
comparación.
¿Por qué digitalizar? [editar]
Sistema Analógico Digital.
Ventajas de la señal digital
1. Cuando una señal digital es atenuada o experimenta perturbaciones leves, puede ser
reconstruida y amplificada mediante sistemas de regeneración de señales.
2. Cuenta con sistemas de detección y corrección de errores, que se utilizan cuando la
señal llega al receptor; entonces comprueban (uso de redundancia) la señal, primero
para detectar algún error, y, algunos sistemas, pueden luego corregir alguno o todos
los errores detectados previamente.
3. Facilidad para el procesamiento de la señal. Cualquier operación es fácilmente
realizable a través de cualquier software de edición o procesamiento de señal.
4. La señal digital permite la multigeneración infinita sin pérdidas de calidad.

26. 5. Es posible aplicar técnicas de compresión de datos sin pérdidas o técnicas de
compresión con pérdidas basados en la codificación perceptual mucho más eficientes
que con con señales analógicas.
Inconvenientes de la señal digital
1. Se necesita una conversión analógica-digital previa y una decodificación posterior, en
el momento de la recepción.
2. Si no se emplean un número suficientes de niveles de cuantificación en el proceso de
digitalización, la relación señal a ruido resultante se reducirá con relación a la de la
señal analógica original que se cuantificó. Esto es una consecuencia de que la señal
conocida como error de cuantificación que introduce siempre el proceso de
cuantificación sea más potente que la del ruido de la señal analógica original, en cuyo
caso, además, se requiere la adición de un ruido conocido como "dither" más potente
aún con objeto de asegurar que dicho error sea siempre un ruido blanco y no una
distorsión. En los casos donde se emplean suficientes niveles de cuantificación, la
relación señal a ruido de la señal original se conservará esencialmente porque el error
de cuantificación quedará por debajo del nivel del ruido de la señal que se cuantificó.
Esto, naturalmente, es lo normal.
3. Se hace necesario emplear siempre un filtro activo analógico pasa bajo sobre la señal a
muestrear con objeto de evitar el fenómeno conocido como aliasing, que podría hacer
que componentes de muy alta frecuencia quedaran registrados como componentes
falsos de frecuencia más baja. Asimismo, durante la reconstrucción de la señal en la
posterior conversión D/A, se hace necesario también aplicar un filtro activo analógico
del mismo tipo (pasa bajo) conocido como filtro de reconstrucción. Para que dicho
filtro sea de fase lineal en la banda de interés, siempre se debe dejar un margen
práctico desde la frecuencia de Nyquist (la mitad de la tasa de muestreo) y el límite de
la banda de interés (por ejemplo, este margen en los CD es del 10%, ya que el límite de
Nyquist es en este caso 44,1 kHz / 2 = 22,05 kHz y su banda de interés se limita a los 20
kHz).
Digitalización
La digitalización o conversión analógica-digital (conversión A/D) consiste básicamente en
realizar de forma periódica medidas de la amplitud (tensión) de una señal (por ejemplo, la que
proviene de un micrófono si se trata de registrar sonidos, de un sismógrafo si se trata de
registrar vibraciones o de una sonda de un osciloscopio para cualquier nivel variable de tensión
de interés), redondear sus valores a un conjunto finito de niveles preestablecidos de tensión
(conocidos como niveles de cuantificación) y registrarlos como números enteros en cualquier
tipo de memoria o soporte. La conversión A/D también es conocida por el acrónimo inglés ADC
(analogue to digital converter).
En esta definición están patentes los cuatro procesos que intervienen en la conversión
analógica-digital:
1. Muestreo: el muestreo (en inglés, sampling) consiste en tomar muestras periódicas de
la amplitud de onda. La velocidad con que se toma esta muestra, es decir, el número
de muestras por segundo, es lo que se conoce como frecuencia de muestreo.
2. Retención (en inglés, hold): las muestras tomadas han de ser retenidas (retención) por
un circuito de retención (hold), el tiempo suficiente para permitir evaluar su nivel
(cuantificación). Desde el punto de vista matemático este proceso no se contempla, ya

27. que se trata de un recurso técnico debido a limitaciones prácticas, y carece, por tanto,
de modelo matemático.
3. Cuantificación: en el proceso de cuantificación se mide el nivel de voltaje de cada una
de las muestras. Consiste en asignar un margen de valor de una señal analizada a un
único nivel de salida. Incluso en su versión ideal, añade, como resultado, una señal
indeseada a la señal de entrada: el ruido de cuantificación.
4. Codificación: la codificación consiste en traducir los valores obtenidos durante la
cuantificación al código binario. Hay que tener presente que el código binario es el
más utilizado, pero también existen otros tipos de códigos que también son utilizados.
Durante el muestreo y la retención, la señal aún es analógica, puesto que aún puede tomar
cualquier valor. No obstante, a partir de la cuantificación, cuando la señal ya toma valores
finitos, la señal ya es digital.
Los cuatro procesos tienen lugar en un conversor analógico-digital.
Ejemplo de Digitalización [editar]
Un ordenador o cualquier sistema de control basado en un microprocesador no puede
interpretar señales analógicas, ya que solo utiliza señales digitales. Es necesario traducir, o
transformar en señales binarias, lo que se denomina proceso de digitalización o conversión de
señales analógicas a digitales.
En la gráfica inferior se observa una señal analógica, que para ser interpretada en un
ordenador ha de modificarse mediante digitalización. Un medio simple es el muestreado o
sampleado. Cada cierto tiempo se lee el valor de la señal analógica.
1. Si el valor de la señal en ese instante está por debajo de un determinado umbral, la
señal digital toma un valor mínimo (0).
2. Cuando la señal analógica se encuentra por encima del valor umbral, la señal digital
toma un valor máximo (1).

28. Digitalización por muestreado de una señal analógica.
El momento en que se realiza cada lectura es ordenado por un sistema de sincronización que
emite una señal de reloj con un período constante. Estas conversiones analógico-digitales son
habituales en adquisición de datos por parte de un ordenador y en la modulación digital para
transmisiones y comunicaciones por radio.
Compresión
La compresión consiste en la reducción de la cantidad de datos a transmitir o grabar, pues hay
que tener en cuenta que la capacidad de almacenamiento de los soportes es finita, de igual
modo que los equipos de transmisión pueden manejar sólo una determinada tasa de datos.
Para realizar la compresión de las señales se usan complejos algoritmos de compresión
(fórmulas matemáticas).
Hay dos tipos de compresión:
1. Compresión sin pérdidas: en esencia se transmite toda la información, pero
eliminando la información repetida, agrupándola para que ocupe menos, etc.
2. Compresión con pérdidas: se desprecia cierta información considerada irrelevante.
Este tipo de compresión puede producir pérdida de calidad en el resultado final.
Ejemplo
La música en el formato digital se almacena en el CD. Un sistema óptico de diodos láser lee los
datos digitales del disco cuando éste gira y los transfiere al Conversor digital-analógico. Este
transforma los datos digitales en una señal analógica que es la reproducción eléctrica de la
música original. Esta señal se amplifica y se envía al altavoz para poder disfrutarla.
Cuando la música original se grabó en el CD se utilizó un proceso que esencialmente, era el
inverso del descrito aquí, y que utilizaba un Conversor analógico-digital.
DIGITAL VS. ANALÓGICO:
Ruido Digital:
Cuándo los datos son transmitidos usando métodos analógicos, una cierta cantidad de "ruido"
entra dentro de la señal. Esto puede tener diferentes causas: datos transmitidos por radio
pueden tener una mala recepción, sufrir interferencias de otras fuentes de radio, o levantar
ruidos de fondo del resto del universo. Pulsos eléctricos que son enviados por cableados
pueden ser atenuados por la resistencia de los mismos, y dispersados por su capacitancia, y
variaciones de temperatura pueden acrecentar o disminuir estos efectos. Cualquier variación
puede proveer una gran cantidad de distorsión en una señal analógica.
En el caso de las señales digitales, aún las pequeñas variaciones en la señal pueden ser
ignoradas de forma segura. En una señal digital, estas variaciones, se pueden sobreponer,
pues, cualquier señal cercana a un valor particular será interpretada como ese valor.
Display Analógico vs. Digital: Facilidad en la lectura:

29. En la lectura humana de la información, los métodos digitales y analógicos resultan ambos de
gran utilidad. Si lo que se requiere es una impresión instantánea de resultados, los medidores
analógicos usualmente ofrecen la información de una manera rápida, cuando lo que se
requiere es exactitud los digitales son los preferidos. Leer medidores analógicos requiere
tiempo y un poco de experiencia en el campo, esto comparado con que escribir un valor en un
display digital es limitarse a copiar los números.
En los casos en que la exactitud y la rapidez son requeridas por igual, los displays duales son la
mejor opción.
Pérdida sistemática de los Datos:
Cuándo se desea convertir una señal analógica a una digital, para ser procesada por otros
sistemas digitales, algunos datos pueden perderse. El conversor análogo-digital sólo tiene una
cierta resolución, considerando que el ojo humano es capaz de detectar 10.000 intensidades
de un mismo color, el CCD en una cámara digital será únicamente capaz de detectar 256
intensidades y esto en una resolución de sólo un megapixel ó aproximadamente.
BUSCADORES:
ASK.COM ESPAÑA : es.ask.com
ALTAVISTA es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al_digital
GOOGLE : digital/procesamiento-digital