Breves conceptos teóricos sobre la Transformada de Fourier. Aplicaciones

1. Transformada de
Fourier

2. Serie de Fourier (I)
 Las series de Fourier describen señales periódicas
como una combinación de señales armónicas
(sinusoidales).
 Con esta herramienta podemos analizar una señal
periódica en términos de su contenido de
frecuencias o espectro.
 Nos permitió establecer la dualidad o equivalencia
entre tiempo y frecuencia de forma que
operaciones realizadas en el dominio del tiempo
tienen su dual en el dominio de la frecuencia.

3. Serie de Fourier (II)
 La forma exponencial de la serie de Fourier
describe una función periódica de período T
y frecuencia fundamental de la
siguiente manera:
00 2
2
f
T
π=
π
=ω
( )tf
( )
 ++++++=
==
ωωω−
−
ω−
−
+∞
∞−
ω
∑
tjtjtjtj
tjn
n
eCeCCeCeC
eCtf
0000
0
2
2101
2
2

4. Cálculo de los coeficientes:
 La potencia contenida en una señal puede
evaluarse a partir de los coeficientes de su
correspondiente serie de Fourier.
( )∫
ω−
=
T
tjn
n dtetf
T
C
0
0
1
Relación de Parseval:
( ) ∑∫
+∞
∞−
==
2
0
21
n
T
f Cdttf
T
P

5.  Espectro de señales periódicas: los coeficientes
son los coeficientes espectrales de la señal
 La gráfica de esos coeficientes en función de n
(índice armónico) o de la frecuencia se
denomina espectro.
 Tenemos dos tipos de gráficos, uno de magnitud
o amplitud con los y otro de fase
 La función como la función son
funciones discretas de la frecuencia.
nC ( )tf
0ω=ω n
nC ( )nφ
nC ( )nφ

6.  Forma de la señal
 Espectro discreto de amplitud
( )tf
2
a
− 2
a
2
T
− 2
T t
0V
10
1
20
1
=
=
T
a
2
1
=
T
a
π=
π
=
π
=ω 20
22
10
10
T
2
0V
π−
ω−
40
2 0
nC
0
π
ω
40
2 0 0ωn

7.  Forma de la señal
 Espectro discreto de amplitud
( )tf
2
T
− 2
T t
4
1
20
1
=
=
T
a
5
1
=
T
a
π=
π
=
π
=ω 8
22
4
10
T
2
a
− 2
a
5
0V
π−
ω−
40
5 0
nC
0
π
ω
40
5 0 0ωn
π
ω
80
10 0
π−
ω−
80
10 0

8.  Forma de la señal
 Espectro discreto de amplitud
( )tf
2
T
− 2
T t
10
1
2
1
20
1
===
T
a
Ta π=
π
=
π
=ω 4
22
2
10
T
2
a
− 2
a
20
0V
π−
ω−
40
10 0
nC
0
π
ω
40
10 0 0ωn
π
ω
80
20 0
π−
ω−
80
20 0

9. Transformada de Fourier (I)
 Queremos ampliar el concepto de serie de Fourier
a señales no periódicas.
Podemos visualizar una señal no periódica como
una señal continua de período infinito:
o El espaciado entre frecuencias se aproxima a
cero y es por lo tanto una función continua.
o Los coeficientes disminuyen y tienden a
cero.
nC

10. Transformada de Fourier (II)
 Se define la transformada de Fourier de y se
indica como:
 Sujeto a la condición suficiente pero no necesaria
de
espectro continuo de
amplitud
espectro continuo de fase
( )tf
( )ωF
( ) ( )[ ] ( )∫
ω−
∞−
∞+
==ω dtetftfFF tj
( ) ( ) ( )ωφ
ω=ω j
eFF
( ) ( )
( )ω
ω
=ωφ −
F
F
Re
Im
tg 1
( )∫ ∞<
∞−
∞+
dttf
( ) ( ) ( )ω+ω=ω FFF 22
ImRe

11.  Forma de la señal
 Espectro continuo de amplitud
( )tf
t
0Cuando 0 →ω∞→T
2
a
− 2
a
( )



>
<
=
2
20
;0
;
a
a
t
tV
tf
( ) ( )
2
2
0
sen
a
a
aVtfFF
ω
ω
==ω
a
π2
a
π−2
( )ωF
ω
a
V0

12. Relación entre la serie y la
transformada de Fourier
 es la función envolvente de
 Si tomamos una muestra de a intervalos
regulares la función resultante es el espectro de
amplitud de una señal periódica de período
 Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se
corresponde con señales periódicas en el dominio
del tiempo.
( )ωF
( )ωF
nC
0
1
0 f
T =
0f

13. Transformada inversa de Fourier para
una función
 Las expresiones (1) y (2) constituyen el par de
transformadas de Fourier.
 La expresión (1) transforma la función en el
dominio del tiempo en su función equivalente en el
dominio de la frecuencia y viceversa.
( )tf
( )ωF
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ωω=
ω=ω
ω
∞−
∞+
π
ω−
∞−
+∞
∫
∫
deFtf
dtefF
tj
tj
2
1
2
1

14. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (I)
1. Linealidad o superposición:
2. Derivada: si
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF
( ) ( )[ ] ( ) ( )ω+ω=+ 22112211 FaFatfatfaF
sarbitrariaconstantesy 21 aa
( )[ ] ( )ω= FtfF
( ) ( )ωω=





Fj
dt
tdf
F

15. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (II)
3. Cambio de escala o escalonamiento:
4. Desplazamiento en el tiempo:
( )[ ] ( )aa
FatfF ω
= 1
( )[ ] ( )ω=− ω−
FettfF tj 0
0
factor=a
( )[ ] ( )ω= FtfF
( )[ ] ( )ω= FtfF

16. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (III)
5. Modulación:
a.
b.
6. Convolución: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF
( ) ( )[ ] ( ) ( )ω⋅ω=⊕ 2121 FFtftfF
( )[ ] ( ) realconstante; 0 =ωω= FtfF
( ) ( )0][ 0
ω−ω=ω
FetfF tj
( )[ ] ( ) ( )02
1
02
1
0cos ω+ω+ω−ω=ω FFttfF

17. Aplicaciones: calculamos la transformada
de Fourier de algunas funciones
 Forma de la serie:
 Espectro continuo de amplitud:
 Espectro continuo de fase:
( )



<
≥
=
α−
00
0
t
te
tf
t
t
e α−
( )tf
t
( )
( ) 22
1
1
ω+α
=ω
ω+α
=ω
F
j
F
( ) 





α
ω
−=ωφ −1
tg
( )ωφ
( )ωF
a
1
ω
α
α2
α3
α4
α− 3
α− 2
α 0
α− 4
ω

18.  Forma de la serie:
 Espectro continuo de amplitud:
( ) ( ) ttptf a 0cosω⋅=
( )tf
t
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
sen
2
sen
ω+ω
ω+ω
+
ω−ω
ω−ω
=ω
aa
F
( )ωF
t0cosω
( )tpa
2
a
−
2
a
t
t
ω

19. Transformada de
Fourier