series/de/fourer-oh-25

1. En matemáticas,una serie de Fourier,que es llamada asíen honor de Joseph Fourier (1768-1830),es una
representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente,aplicándolas a la
solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área
de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.Muchas tipos de otras transformadas relacionadas
con la de Fourier han sido definidas desde entonces.
Definición de la serie de Fourier
Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos
preguntamos:si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de
coeficientes 0,1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior,cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos
determinar los coeficientes mediante el producto interno.Al multiplicar la ecuación anterior por e
integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad,cada término del lado derecho de la última ecuación es cero,excepto cuando m=n.
En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son

2. En otras palabras, (1)
En la que (2)
La ecuación 2,en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
El conjunto de funciones
(1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que fes una función definida en el intervalo [-p,p] que se
puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces,los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de
Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p,se obtiene
(3)
Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de
(3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:
(5)
por la ortogonalidad tenemos que

3. y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así (6)
Por último si multiplicamos a (2) por , integramos yaplicamos los resultados
llegamos a (7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Series de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores,los coeficientes de (9),(10) y
(11) se transforman en
.
En forma parecida,cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
, n=0,1,2,...,

4. Resumen de las constantes de la series de Fourier
a. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
en que
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
en donde
Serie de Fourier en forma compleja
Cálculo de Cn:

6. Ejemplo:
Calcular la serie compleja de
fourier para :
f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p
rad/s

7. Aplicaciones de la Serie de Fourier
Ejemplo 1:
Aplicaciones en circuitos,de forma senoidal
la serie de fourier tiene el siguiente aspecto
a0 / 2 ® valor medio
a1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourier
w 0 ... ® frecuencia (2·p /T)
n · w 0 ... ® harmónicos
Ejemplo 2:

9. f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) - 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+....
Ejemplo 3:
Entonces;tenemos el siguiente procedimiento

10. + =
Analíticamente tenemos:
En matemáticas y, en particular,en análisis funcional,la Transformada de Laplace de una función f(t) definida
para todos los números reales t≥ 0 es la función F(s), definida por:

11. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales.
Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación
y división.Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas,mucho más
fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida.Ésta se puede calcular
mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada.La realización de este
cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación,habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace,generalmente se refiere a la versión unilateral.También
existe la transformada de Laplace bilateral,que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Definición de la Transformada de Laplace
Definición básica.Si f(t) está definida cuando , la integral impropia se define como
un límite:
Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente,si no existe el límite, la integral no existe
y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La
situación proporciona una transformación lineal muyimportante:
Sea f una función definida para . Entonces la integral
se llama transformada de Laplace de f, siempre ycuando la integral converja.
Evaluar L{1}.
Solución
L es una transformada lineal,para una
suma de funciones se puede escribir
siempre que las dos integrales converjan;por consiguiente,
Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior
Condiciones suficientes para la existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)}
existe para s>c.
Demostración

12. La integral existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en
que es continua.Ahora
cuando s>c.Como converge, la integral converge, de acuerdo con la prueba
de comparación para integrales impropias.Esto a su vez, implica que existe para s>c. La existencia
de e implica que existe cuando s>c.
Transformadas de algunas funciones básicas
a) b)
c) d)
e) f)
g)
Transformada inversa
Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
Algunas transformadas inversas
a) b)
c) d)
e) f)
g)
es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es,en sí,una
transformación lineal;esto es,si y son constantes,
en donde F y G son las transformadas de las funciones fy g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única.Es posible
que y, sin embargo, .
Comportamiento de F(s) cuando

13. Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial para t>T,
entonces
Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el
intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el
máximo de y c indica el máximo de , entonces
para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .
Teoremas de traslación
Primer teorema de traslación
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
Demostración La demostración es inmediata
Segundo teorema de traslación
Si y a>0, entonces
Demostración Expresamos a como la suma de dos integrales:
.
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces
Derivadas de transformadas
Si y n=1,2,3,..., entonces

14. Transformada de una derivada
Si f(t), f’(t),..., son continuas en , son de orden exponencial,y si es
continua parte por parte , entonces
en donde
Teorema de la convolución
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en y de orden exponencial,
Demostración Sean
Y .
Al proceder formalmente obtenemos
Mantenemos fija y escribimos ,de modo que
Transformada de una función periódica
Si f(t) es continua por tramos en , de orden exponencial y periódica con periodo T,
(a)
Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:
(b)
Escribiendo t=u+T,la última de las integrales de (a) se transforma en
Por consiguiente,la ecuación (b) es
Al despejar se llega al resultado de la ecuación (a).

15. La transformada inversa
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:
EJEMPLO 3:

16. Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos
EJEMPLO 2:

17. Transformadas de Circuitos:
Análisis de la Caída de Tensión Análisis para Corriente
Resistencia
Inductancia

18. Capacitor
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función
periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta
matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través
de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho
más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se
debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando
estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y
publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas
veces análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta
sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis
vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En
ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los
componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un
sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.