1) El documento presenta resúmenes biográficos de Brook Taylor y Joseph Fourier, reconocidos matemáticos del siglos XVII-XVIII que estudiaron las series de Taylor y Fourier. 2) Luego define conceptos como funciones periódicas, expansión periódica, coeficientes y series de Fourier, y presenta teoremas relacionados. 3) Finalmente, introduce conceptos como transformadas de Fourier, propiedades de las series de Fourier y su aplicación en ingeniería eléctrica.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ESTADO BOLIVARCURSO PNF ELECTRICIDADNOCTURNO TRABAJO DE MATEMATICAS RELACIONADO CON SERIE DE FOURIER Y SERIE DE TAYLOR DOCENTE: Alumnos: LIC. Wuilmer Colmenares Barrios, Juan. C.I:10.953.186 Hernández, Alexander. C.I: 14.986.060 Rondón, Alexander. C.I: 10.049.368 Serrada, Richard. C.I: 14.968.552 Ciudad Bolívar, Abril de 2.010.

2. Reseña histórica de Taylor y Fourier La breve reseña data, de los siglos XVII y XVIII, con dos personajes estudiosos en la ciencia de las “ matemáticas “, como lo fueronTaylor y Fourier, que brevemente se estarán resumiendo: Primeramente relataremos al Inglés, Brook Taylor, nació en 1685 en Edmonton, de una familia de buena posición social, lo que le permitió estudiar en la universidad y en 1709 se licenció en Cambridge. Su primer gran trabajo, entre los teoremas de Taylor, lo escribió en 1708, denominado Methodus incrementorum directa e inversa, pero no pudo ser publicado hasta 1715, cuando ya era miembro de la Royal Society. También publicó Linear Perspective, la obra sobre perspectiva. Durante 1712 y 1724, publicó otros trece artículos sobre experimentos con capilares,magnetismo y termómetros. Ésta es la época de mayor producción de Taylor, ya que a partir de aquí empezaron sus desgracias”. En 1721 rompe relaciones con su padre, debido a que decide casarse con una mujer de menor posición social. Al cabo de dos años, ésta fallece durante el parto, y el hijo que esperaban también. Consigue recuperarse a duras penas, y a los dos años, en 1725, encuentra el amor con su segunda esposa, Sabetta Sawbridge. A los cuatro años muere su padre, y solo un año después Sabetta muere, nuevamente durante el parto, aunque en este caso la hija que esperaban sobrevive. Brook Taylor, fallece en Londres en 1731 a los 46 años de edad, recordado por siempre como uno de los grandes análistas en los razonamientos matemáticos, ya que trabajo en ecuaciones de derivadas parciales, cambio de variable, las relaciones entre derivadas de una función y la derivada inversa, entre otros. Conocida parte de la histórica de Taylor, resumiremos un poco la vida y obras realizadas por Joseph Fourier, también conocido como estudioso de las matemáticas: Su nombre de cuna fue, Jean Baptiste Joseph Fourier”, nació en 1768 en Auxerre, y murió el 16 de Mayo de 1830, en París. Es por lo tanto, posterior a Taylor, quizá una o dos “generaciones matemáticas” posteriores a Taylor. Se trata de uno de los “matemáticos aplicados”, más preocupado por la aplicación práctica de las matemáticas que en la claridad y transparencia de las demostraciones.

3. Su infancia no fue tan cándida, ya que tenía catorce hermanos y quedó huérfano cuando tenía diez (10) años. Gracias al obispo de Auxerre, consiguió entrar en el Colegio Militar de Auxerre, donde empezó a interesarse por las matemáticas. En 1787 sintió la llamada e inició su camino al sacerdocio. Pero su interés por las matemáticas era más fuerte y decidió dejar el seminario. Al volver a Auxerre fue nombrado profesor de matemáticas en el colegio de los Benedictos, y en 1794, cuando fue creada la Escuela Normal, fue nombrado profesor como premio a sus trabajos en Auxerre. Tras lo Normal, Fourier fue destinado a la Politécnica. Fourier preparaba ingenieros y matemáticos en la Politécnica cuando Napoleón, en 1798, decidió que formara parte de la Legión de la Cultura para civilizar Egipto. Permaneció en Egipto forzadamente, y cuando los franceses reconocieron que debían ser los británicos y no ellos los que regeneraran a los egipcios, el desilusionado Fourier volvió a Francia”. Fourier compuso su obra inmortal, la Theoria analytique de la chaleur. Ofrecía tantas perspectivas que la Academia alentó a Fourier para que la continuase, acordando que la teoría matemática del calor fuese propuesta para el Gran Premio en 1812. Un detalle de la personalidad de Fourier es el siguiente: él no digirió muy bien las críticas a su trabajo, y menos aún que, aunque le concedieron el premio del concurso, no publicaran su trabajo. Lo guardó celosamente, y cuando en 1822 fue elegido secretario de la sección de matemáticas de la Academia de las Ciencias, aprovechó su posición para publicar su trabajo, del cual no cambió ni una coma”.

4. Series de Fourier Definición 1 (Funciones periódicas) Una función f(t) tiene un período T o es periódica con período T si para todo t, f(t+T)=f(t), donde T es una constante positiva. El valor más pequeño de T>0 se llama el período principal o período fundamental o simplemente el período de f(t). Ejemplo 1La función sen (x) tiene períodos , ya que todas son iguales a sen (x) Ejemplo 2Sea a€R. Si f(x) tiene período entonces tiene período T. (sustituyendo ) Ejemplo 3Si f tiene período T entonces Jean Fourier

5. Definición 2 (Expansión periódica ) Sea una función f definida en el intervalo [0,T). La expansión periódica de f se define por la siguiente fórmula: Teorema 1Sea f continua en . Asumiendo que la serie converge uniformemente a f para todo . Entonces

6. Definición (Coeficientes de Fourier, series de Fourier) Los números an y bn se denominan los coeficientes de Fourier de f. Cuando an y bn están descritos como en (2), la serie trigonométrica (1) se denomina la serie de Fourier de la función f. Nota Si f es cualquier función integrable entonces los coeficientes an y bn pueden ser calculados. Sin embargo no existe certeza de que la serie de Fourier convergerá a f si f es una función arbitraria integrable. En general, se dice: esto indica que la serie podría o no converger a f en algunos puntos. Ejemplo Sea f(x) definida en el intervalo [0,T] y determinada por fuera de este intervalo por su extensión periódica , i.e. asumiendo que f(x) tiene período T. La serie de Fourier correspondiente a f(x) (con ) es:

7. donde los coeficientes de Fourier an y bn son: (1) (2) Teorema 2 Supongamos que f es continua a trozos y periódica. Entonces la serie (1) con coeficientes (2) converge a : 1. f(x) si x es un punto de continuidad. 2. si x es un punto de discontinuidad. Esto significa que, en cualquier x dentro del intervalo -L y L, la serie de Fourier converge al promedio entre el límite izquierdo y el derecho de f(x) en x. Si f es continua en x, entonces los límites izquierdo y derecho son iguales a f(x), y la serie de Fourier converge a la misma f(x). Si f tiene una discontinuidad en x entonces la serie de Fourier converge al punto medio en la discontinuidad.

8. Teorema 3 (Desigualdad de Bessel) Sea f una función integrable en el intervalo [0,T]. Sean an, bn, cn los coeficientes de Fourier de f. Entonces: Teorema 4 (Lema de Riemann) Sea f integrable y an y bn los coeficientes de Fourier de f. Entonces: lo que implica Teorema 5 (Identidad de Parseval) Si an y bn son coeficientes de Fourier correspondientes a f(x) y si f(x) satisface las condiciones Dirichlet

9. Transformadas de Fourier Una serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una función dentro un intervalo. Si una función esta definida sobre toda la recta real, puede ser representarse con una serie Fourier si es periódica. Si no es periódica, entonces no puede representarse con una serie Fourier para todo x. Aun en este caso es posible representar la función en términos de senos y cosenos, pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier. La motivación proviene de considerar formalmente las series de Fourier como funciones con período 2T y hacer tender T al infinito. Suponiendo y Tomando y reemplazando la fórmula de la integral por los coeficientes de Fourier:

10. La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida, y en el límite ( ) tendríamos: Una función se denomina la transformada de Fourier de f(x), si: (10) existe. (11) Se denomina la transformada inversa de Fourier de .La transformada de Fourier de f es por lo tanto una función de una nueva variable . Esta función, evaluada en ,es Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con cualquieras dos constantes cuyo producto sea .

11. Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como: es La transformada inversa de Fourier se calcula así:

12. Teorema 8 (La integral de Fourier) 1. Si f(x) y f'(x) son funciones definidas continuas a trozos en un intervalo finito 2. y converge, i.e. f(x) es completamente integrable en Entonces:

13. Propiedades de Serie De Fourier Linealidad Si , entonces: Dado que la transformada de Fourier de f(t) y g(t) existe. Escalado Si y , entonces: Corrimiento en tiempo S i y , entonces:

14. Corrimiento en frecuencia Si y , entonces: Simetría Si , entonces: Usando la formula de la transformada inversa de Fourier por lo tanto: Modulación Si y , entonces:

15. Derivada en tiempo Sea y asumiendo que f(n) es continua a trozos. Suponiendo que Entonces: En particular: y

16. Derivada en frecuencia Dado y asumiendo que f sea continua a trozos. Entonces: En particular: y Convolución Si f y g ambas tienen transformadas de Fourier, entonces la convolución f*g de las funciones f y g se define como: El teorema de muestreo Una función f(t) se considera limitada en banda si su transformada de Fourier es diferente de cero solamente en un intervalo de longitud finita. Esto implica que para cierto L, si

17. Transformada Rápida de Fourier (FFT) A menudo nos interesa extraer las propiedades de una función f, a partir de medidas de los valores de f a intervalos regulares en tiempo. Si esta función discreta f tiene período , f esta descrita por el vector:

18. Ejercicios de Serie de Fourier (Condiciones de Ortogonalidad) Sea . Evalué las siguientes integrales: Las soluciones: 1.

19. 2. 3.

20. Encuentre la representación de Fourier representación (periodo ) de: Las soluciones: 1. 2. 3.

21. Aplicaciones de la Serie de Fourier a la Ingeniería Eléctrica Ejemplo 1: Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal la serie de Fourier tiene el siguiente aspecto a0 / 2 valor medio a1, a2, b1, b2, ... coeficientes de Fourier w 0 ... frecuencia (2·p /T) n · w 0 ... harmónicos

22. Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

23. Entonces tenemos Analíticamente tenemos:

24. Serie de Taylor La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas. Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores. A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos. Brook Taylor

25. Fórmula de Taylor Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes. El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a. Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor: f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas. Para funciones que tienen derivada (n+1)-énesima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.

26. Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto: f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1 El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x. La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia. Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada. La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico. La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones. 1.- Aproximación de la función y = sen (x) 2.-Aproximación de la función y = cos (x)

27. 3.-Aproximación de la función y = ex 4.-Aproximación de la función y = ln (1+x) En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-énesima derivada de f en el punto a.

28. Definición La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

29. Series de Taylor notables La función coseno. Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos. Las dos imágenes de arriba puestas juntas.

30. Propiedades Función exponencial y logaritmo natural Serie geométrica Teorema del binomio para y cualquier complejo

31. Funciones trigonométricas Donde Bs son los Números de Bernoulli

32. Funciones hiperbólicas Función W de Lambert Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) sonNúmeros de Euler.

33. Ejercicio de series de Taylor Exprese Como serie de Maclaurin. Solución: Hallamos las derivadas n-enésimas :

34. Ejercicio de Serie de Taylor aplicada a la Ingeniería Eléctrica

35. Transformadas de Circuitos: Resistencia Análisis de la Caída de Tensión Análisis para Corriente Inductancia Capacitor

36. Anexos Grandes Matemáticos Zu Chongzhi George Boole Daniel Bernoulli Archimedes Ibn al-Haytham Niels Henrik Abel Carl Friedrich Gauss Gallileio Galilei Joseph Fourier Leonhard Euler Euclides Rene Descartes Isaac Newton Paolo Ruffini Blaise Pascal Brook Taylor Pierre-Simon Laplace Sofia Kovalevskaya