Diego Torres, profile picture
Subido porDiego Torres
PPT, PDF972 vistas

Trigonometria

El documento introduce conceptos básicos de trigonometría. Explica que la trigonometría se refiere a la medición de triángulos y que Tales de Mileto midió la altura de una pirámide usando sombras y proporcionalidad. También define las seis funciones trigonométricas básicas y explica cómo calcular sus valores para ángulos comunes como 30°, 45° y 60°.

Incrustar presentación

Descargado 31 veces
TRIGONOMETRATRIGONOMETRA
2 INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
3 • NOCIONES PREVIAS • SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO. • R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA • R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
NOCIONES PREVIAS 1.1. a.a. Proporcionalidad de segmentos yProporcionalidad de segmentos y semejanzasemejanza b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES 2.2. TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS
5 1.a. Proporcionalidad de1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza Sombra del árbol grande (S) S. árbol pequeño (s) H h Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H h S s OA’ A B’ B )alidadproporcionderazón(k 'AA 'BB 'OA 'OB == H h S s = Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
6 Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. O A’A B’ B 'OB 'B'A OB AB tambieno 'OB 'OA OB OA == 1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES O A’ A B’ B C’ D’ E’ EDC B’’ C’’ D’’ E’’ r r’
7 Medida de ángulosMedida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2π π π/2
8 Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 210º S. centesimal 50g 60g 100g Radianes 2π/3 5π/6 S.sexagesimal 140º 240º S. centesimal 350g 90g 25g Radianes 7π/8 3
9 Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º S. centesimal 66g 66m 66s 50g 133g 33m 33s 60g 233g 33m 33s 100g 166g 66m 66s Radianes S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14” S. centesimal 155g 55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m 66s 25g 190g 98m 59s Radianes 3 3 π 4 π 10 3π 6 7π 2 π 3 2π 6 5π 8 7π 18 14π 4 7π 20 9π 3 4π 8 π
10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) Cˆsen C"B "B"A C'B 'B'A BC AB === Cˆgcot "B"A C"A 'B'A C'A AB AC === Cˆeccos "B"A C"B 'B'A C'B AB BC === Cˆcos C"B C"A C'B C'A BC AC === Cˆtg C"A "B"A C'A 'B'A AC AB === Cˆsec C"A C"B C'A C'B AC BC === Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son CA” B” A B A` B` semejantes porque tienen los ángulos iguales. En consecuencia los lados son proporcionales :
11 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO a c hipotenusa opuestocateto Cˆsen == a b hipotenusa adyacentecateto Cˆcos == c a opuestocateto hipotenusa Cˆeccos == b a adyacentecateto hipotenusa Cˆsec == b c adyacentecateto opuestocateto Cˆtg == c b opuestocateto adyacentecateto Cˆgcot == Cˆcos 1 Cˆsec = Cˆsen 1 Cˆeccos = Cˆtg 1 Cˆgcot = Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Se definen seis razones trigonométricas C A B a b c Cateto adyacente o contiguo a C CatetoopuestodeC
12 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO a c Cˆsen = a b Cˆcos = Cˆsen 1 a c a a c a Cˆeccos === Cˆcos 1 a b a a b a Cˆsec === Cˆcos Cˆsen a b a c b c Cˆtg === Cˆsen Cˆcos a c a b c b Cˆgcot === Sea ABC un triángulo rectángulo en A. C A B a b c Cateto adyacente o contiguo a C CatetoopuestodeC Cˆcos 1 Cˆsec = Cˆsen 1 Cˆeccos = Cˆtg 1 Cˆgcot = Cˆcos Cˆsen Cˆtg = Cˆsen Cˆcos Cˆgcot =
13 VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO B CA a b C 1 a c Cˆsen0 ≤=≤ 1 a b Cˆcos0 ≤=≤ 1 c a Cˆeccos ≥= 1 b a Cˆsec ≥= +∞<=< b c Cˆtg0 +∞<=< c b Cˆgcot0 En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa. Es decir: 0 < c < a 0 < b < a En consecuencia:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º 1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º 2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º
15 R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) A B C Sea ABC un triángulo equilátero H ll l l/2 x B C H l 60º 30º Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide Trazamos una altura CH 60º Podemos calcular x en función de l, aplicando el 2 2 2 l 2 l x =      + Tª de Pitágoras 4 l lx 2 22 −= 4 ll4 x 22 2 − = 4 l3 x 2 2 = 4 l3 x 2 = 2 3l x = 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
16 B C H l l/2 2 3l 60º 30º 2 3 l2 3l l 2 3l º60sen === 2 º60cos 1 º60sec == 3 2 º60sen 1 º60eccos == 3 3 3 1 º60tg 1 º60gcot === 2 1 l2 l l 2 l º60cos === 3 2 32 2 1 2 3 º60cos º60sen º60tg ==== 2 1 l2 l l 2 l º30sen === 2 3 l2 3l l 2 3l º30cos === 3 3 3 1 32 2 2 3 2 1 º30tg ==== 2 º30sen 1 º30eccos == 3 2 º30cos 1 º30sec == 3 3 33 3 3 º30tg 1 º30gcot ==== R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) Observa que: sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg60º = tg 30º sec 60º =cosec30º Cosec 60º =sec30º
17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) Sea ABCD un cuadrado l l x 45º Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide Trazamos la diagonal AC 90º Podemos calcular x en función de l, aplicando el 222 llx += Tª de Pitágoras 22 l2x ⋅= 2 l2x ⋅= 2lx = 45º y el ángulo C mide 45º A B CD lA B C l 45º
18 2 2 2 1 2l l º45sen === 2 2 22 2 2 º45cos 1 º45sec ==== 1 1 1 º45tg 1 º45gcot === 1 l l º45tg == RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) 45º l A B C l 45º 2l 2 2 2 1 2l l º45cos === 2 2 2 º45sen 1 º45eccos === Observa que: sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º
19 R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A α Si el ángulo B mide α grados, el ángulo C mide α−º90 α−α º90y α−º90 AB C b a c α==α− cos a c )º90(sen ( ) α==α− sen a b º90cos ( ) α==α− gcot b c º90tg ( ) ( ) α= α = α− =α− eccos sen 1 º90cos 1 º90sec ( ) ( ) α= α = α− =α− sec cos 1 º90sen 1 º90eccos ( ) ( ) α= α = α− =α− tg gcot 1 º90tg 1 º90gcot
20 R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α radianes, el ángulo C mide α− π α 2 y α− π 2 α AB C b a c α− π 2 α==α− π cos a c ) 2 (sen α==      α− π sen a b 2 cos α==      α− π gcot b c 2 tg α= α =       α− π =      α− π eccos sen 1 2 cos 1 2 sec α= α =       α− π =      α− π sec cos 1 2 sen 1 2 eccos α= α =       α− π =      α− π tg gcot 1 2 tg 1 2 gcot
21 RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA α AB C b a c 222 acb =+ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: Si dividimos la expresión anterior por a2 2 2 2 2 2 2 a a a c a b =+ Expresándolo de otra forma: 1 a c a b 22 =      +      ( ) ( ) 1cossen 22 =α+αO lo que es lo mismo: 1cossen 22 =α+α 1cossen 22 =α+α Que normalmente expresaremos de la forma:
22 Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2 2 2 2 2 2 2 b a b c b b =+ Expresándolo de otra forma: ( ) ( )22 eccosgcot1 α=α+ α=α+ 22 sectg1 α AB C b a c 222 acb =+ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: 2 2 2 2 2 2 c a c c c b =+ ( ) ( )22 sectg1 α=α+ α=α+ 22 eccosgcot1 OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
23 R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º senα cos α senα senα senα senα 1 Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1radio=1 1 P(x,y) O X Y α
Circunferencia goniométrica 1.1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERAR.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2.2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UNVALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULOÁNGULO 3.3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LAVALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTECOTANGENTE 4.4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5.5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºR.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6.6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºR.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7.7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOSR.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
25 CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas X Y O a Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 1
26 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA y 1 y r 'y radio ordenada sen ====α x 1 x r 'x radio abscisa cos ====α x y 'x 'y abscisa ordenada tg ===α X Y O a 1 P(x,y) Q(x’,y’) r A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)
27 SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 a A senα cos α senβ cos β senγ cos γ senδ cos δ b B g C d D -1 0 1 El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 1sen1 ≤α≤− 1cos1 ≤α≤−-1 -1 1 ++_ _ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ _ + +
28 TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 A a tgα cotg α tgβ cotg β tgγ cotg γ tgδ cotg δ g C d D B b La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor . +∞≤α≤∞− tg +∞≤α≤∞− gcot + _ + _ TANGENTE Y COTANGENTE
29 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º A 60º 120º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) A’ 60º x y -x y == yº120sen =º60sen =−= xº120cos =− º60cos = − = x y º120tg =− x y =− º60tg 2 3 2 1 − 3− 2º120sec −= 3 32 º120eccos = 3 3 º120gcot −= Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
30 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º A 45º 135º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º) A’ 45º x y -x y == yº135sen =º45sen =−= xº135cos =− º45cos = − = x y º135tg =− x y =− º45tg 2 2 2 2 − 1− 2º135sec −= 2º135eccos = 1º135gcot −= Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
31 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º 150º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 150º (quitamos 30º a 180º) A 30º x y A’ 30º -x y == yº150sen =º30sen =−= xº150cos =− º30cos = − = x y º150tg =− x y =− º30tg 2 1 2 3 − 3 3 − 3 32 º150sec −= 2º150eccos = 3º150gcot −= Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
32 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a A 180º-a -1 -1 1 X Y O 1 a y 180º- a a y p-a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a A’ a x y -x y ( ) yº180sen =α− α= sen ( ) xº180cos −=α− α−= cos ( ) x y º180tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α=α−π sensen ( ) α=α−π coscos ( ) α−=α− tgº180tg
33 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º -1 -1 1 X Y O 1 210º 30º A x y A’ 30º-x -y yº210sen −= =−= º30sen xº210cos −= =−= º30cos x y º210tg − − = x y = == º30tg En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º). Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 2 1 − 2 3 − 3 3 3 32 º210sec −= 2º210eccos −= 3º210gcot =
34 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º -1 -1 1 X Y O 1 225º 45º 45º -x -y En la circunferencia goniométrica dibujamos 225º (añadimos 45º a 180º). Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. =−= yº225sen =− º45sen =−= xº225cos =− º45cos = − − = x y º225tg = x y =º45tg 2 2 − 2 2 − 1 2º225sec −= 2º225eccos −= 1º225gcot =
35 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º -1 -1 1 X Y O 1 240º En la circunferencia goniométrica dibujamos 240º (añadimos 60º a 180º). Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. =º240sen =− º60sen =º240cos =− º60cos =º240tg =º60tg 2 3 − 2 1 − 3 2º240sec −= 3 32 º240eccos −= 3 3 º240gcot =
36 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º a A -1 -1 1 X Y O 1 a y 180º+ a a y p+a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a A’ 180º+a a x y -x -y ( ) yº180sen −=α+ α−= sen ( ) xº180cos −=α+ α−= cos ( ) x y º180tg − − =α+ x y = α= tg ( ) α−=α+π sensen ( ) α−=α+π coscos ( ) α=α+π tgtg
37 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º -1 -1 1 X Y O 1 300º En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º). =º300sen =− º60sen 2 3 − =º300cos =º60cos 2 1 =º300tg =− º60tg 3− 2º300sec = 3 32 º300eccos −= 3 3 º300gcot −=
38 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º -1 -1 1 X Y O 1 315º En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). =º315tg 1º45tg −=− =º315sen =− º45sen 2 2 − =º315cos =º45cos 2 2 2º315sec = 2º315eccos −= 1º315gcot −=
39 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º) -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º). =º330cos =º30cos =º330sen =− º30sen 2 1 − 2 3 =º330tg =− º30tg 3 3 − 3 32 º330sec = 2º330eccos −= 3º330gcot −=
40 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º a A -1 -1 1 X Y O 1 a y 360º-a a y 2 p-a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a A’ 360º-a a x y -y ( ) yº360sen −=α− α−= sen ( ) xº360cos =α− α= cos ( ) x y º360tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α−=α−π sen2sen ( ) α=α−π cos2cos ( ) α−=α−π tg2tg
41 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS a A -1 -1 1 X Y O 1 a y - a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a A’ -a x y -y ( ) ysen −=α− α−= sen ( ) xcos =α− α= cos ( ) x y tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α−=α− sensen ( ) α=α− coscos ( ) α−=α− tgtg
42 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA a A -1 -1 1 X Y O 1 Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a x y ( ) =α+π2sen αsen ( ) =α+π2cos αcos ( ) =α+π2tg αtg ( ) α=α+ senº360sen ( ) α=α+ cosº360cos ( ) α=α+ tgº360tg Ζ∈π+α k,k2 Ζ∈+α k,kº360 2p+α
43 -1 -1 1 X Y O 1 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º a A a y 270º+a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a A’ 270º+a a x y ( ) xº270sen −=α+ α−= cos ( ) yº270cos =α+ α= sen ( ) y x º270tg − =α+ y x −= α−= gcot α+ π α 2 3 y y -x α−=      α+ π cos 2 3 sen α=      α+ π sen 2 3 cos α−=      α+ π gcot 2 3 tg
44 -1 -1 1 X Y O 1 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a A a y 90º - a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a A’ 90º-aa x y ( ) xº90sen =α− α= cos ( ) yº90cos =α− α= sen ( ) y x º90tg =α− α= gcot α− π α 2 y y x α=      α− π cos 2 sen α=      α− π sen 2 cos α=      α− π gcot 2 tg
45 SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. sen 0º = 0 sen 90º = 1 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0
46 COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. cosen 0º = 1 cosen 90º = 0 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cosen 180º = -1 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cosen 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cosen 360º = 1
47 TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞. tg 0º = 0 tg 90º → + ∞. -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0. tg 90º → - ∞ tg 180º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. . tg 270º → + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0. tg 270º → - ∞ tg 360º = 0
48 COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 0º → + ∞ cotg 90º =0 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞ cotg 180º → - ∞ Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 180º → + ∞ cotg 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0 a - ∞ cotg 360º → - ∞
49 VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO 1sen1 ≤α≤− 1cos1 ≤α≤− 1sec ≥α +∞<α<∞− tg +∞<α<∞− gcot 1sec −≤α 1eccos ≥α1eccos −≤α ++_ _ SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE _ _ + + + _ + _ SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO 2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO 3.3. FUNCIÓN TANGENTEFUNCIÓN TANGENTE 4.4. FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN COTANGENTE 5.5. FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN SECANTE 6.6. FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN COSECANTE
51 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π 2 1 2 1 − 2 3 2 3 − 1 1− 2 2 2 2 − 0 a sen a 2 2 − 2 2 − 2 2 2 2 2 1 − 2 1 − 2 1 2 1 2 3 − 2 3 − 2 3 2 3 0 1 0 01− 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π24 3π 4 5π 4 7π 0
52 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
53 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 2 π 3 π 4 π 6 π π2 3 11π 4 7π 3 5π 3 2π 4 3π 6 5π π 6 7π 4 5π 3 4π 2 1 2 1 − 2 3 2 3 − 1 1− 2 2 2 2 − 0 2 3π a COS a 2 2 − 2 2 − 2 2 2 2 2 1 − 2 1 − 2 1 2 1 2 3 − 2 3 − 2 3 2 3 01 0 11− 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π24 3π 4 5π 4 7π 0
54 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
55 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3 3 − 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0 3 3 3− 3
56 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
57 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 3 3 − 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0 3 3 3− 3
58 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x
59 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0
60 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
61 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0
62 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA (Segunda parte)(Segunda parte) Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
64 INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. 3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD 4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO 5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO 6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DEÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERONHERON
66 SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS A O X Y N M β α+β P B α α Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. ( ) ==β+α OB BP sen = α⋅β⋅+α⋅β⋅ = OB sencosOBcossenOB = α⋅+α⋅ = OB senOAcosAB ( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. = + OB ANAM
67 COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS A O X Y N M β α+β P B α α Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. ( ) = − = − ==β+α OB BMON OB NPON OB OP cos = α⋅β⋅−α⋅β⋅ = OB sensenOBcoscosOB = α⋅−α⋅ = OB senABcosOA ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos
68 COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS (otra forma de deducir la fórmula) ( ) =β+αcos β⋅α−β⋅α= sensencoscos ( ) =      β+α− π 2 sen ( ) =      β−+      α− π 2 sen=      β−α− π 2 sen ( ) ( ) =β−⋅      α− π +β−⋅      α− π = sen 2 coscos 2 sen ( ) =β−⋅α+β⋅α= sensencoscos ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos
69 TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS ( ) =β+αtg = β⋅α−β⋅α β⋅α+β⋅α sensencoscos sencoscossen = β⋅α β⋅α − β⋅α β⋅α β⋅α β⋅α + β⋅α β⋅α = coscos sensen coscos coscos coscos sencos coscos cossen β⋅α− β+α tgtg1 tgtg ( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos ( ) = β⋅α− β+α =β+α tgtg1 tgtg tg Si dividimos numerador y denominador por cosa. cosb Simplifi- cando ( ) ( ) = β+α β+α cos sen
70 R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) ( )[ ] =β−+αsen( ) =β−αsen ( ) ( ) =β−⋅α+β−⋅α sencoscossen 1 ( ) =β−⋅α+β⋅α= sencoscossen β⋅α−β⋅α= sencoscossen ( )[ ] =β−+αcos( ) =β−αcos ( ) ( ) =β−⋅α−β−⋅α sensencoscos ( ) =β−⋅α−β⋅α= sensencoscos β⋅α+β⋅α= sensencoscos ( ) =β−αtg ( ) ( ) = β−⋅α− β−+α tgtg1 tgtg( ) ( ) = β−⋅α− β−+α tgtg1 tgtg ( )[ ] =β−+αtg = β⋅α+ β−α = tgtg1 tgtg
71 R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS ( ) =β+αsen ( ) =β+αcos ( ) =β+αtg ( ) =β−αsen β⋅α−β⋅α sencoscossen ( ) =β−αcos β⋅α+β⋅α sensencoscos ( ) =β−αtg β⋅α+ β−α tgtg1 tgtg β⋅α+β⋅α sencoscossen β⋅α−β⋅α sensencoscos β⋅α− β+α tgtg1 tgtg
72 R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) ( ) =α+αsen ( ) =α+αcos ( ) =α+αtg =α2sen =α⋅α+α⋅α sencoscossen =α⋅α−α⋅α sensencoscos = α⋅α− α+α tgtg1 tgtg α⋅α⋅ cossen2 =α2cos α−α 22 sencos =α2tg α− α 2 tg1 tg2 =α2sen α⋅α⋅ cossen2 =α2cos α−α 22 sencos =α2tg α− α 2 tg1 tg2
73 R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) =α2cos =α−α 22 sencos =αtg =α−α− 22 sensen1 α− 2 sen21 =α2 sen2 α− 2cos1 =α2 sen 2 2cos1 α− 2 2cos1 α− ±=αsen =α2cos =α−α 22 sencos =α+−α 22 cos1cos 1cos2 2 −α =α2 cos2 α+ 2cos1 =α2 cos 2 2cos1 α+ 2 2cos1 α+ ±=αcos α+ α− ± 2cos1 2cos1 2 cos1 2 sen α− ±= α 2 cos1 2 cos α+ ±= α α+ α− ±= α cos1 cos1 2 tg
1.1. Teorema del senoTeorema del seno 2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno
75 TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Cˆsen c Bˆsen b Aˆsen a == El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Consideremos un triángulo ABC.    ⋅= ⋅= Bˆsenah Aˆsenbh C C ⇒⋅=⋅⇒ BˆsenaAˆsenb Bˆsen b Aˆsen a =⇒ Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:    ⋅= ⋅= Bˆsench Cˆsenbh A A BˆsencCˆsenb ⋅=⋅⇒ Cˆsen c Bˆsen b =⇒ hC hA C BA ab c H Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
76 Medida de los ángulos en una circunferencia  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A B C Οα α 180º-2 α β β 180º-2β 360º-(180º-2 α+180º- 2 β)= =360º - 360º + 2 α+2 β = = 2 α+2 β = 2 (α + β) 2(α+β) Ο 2(α+β) α+β γ 2 γ
77  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales γ 2γ γ γ γ 180º 90º  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. Medida de los ángulos en una circunferencia
78 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. R2 Cˆsen c Bˆsen b Aˆsen a === Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. = Aˆsen a Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: A a C B A’ R2 1 R2 º90sen R2 'Aˆsen a === Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). R2 'Aˆsen a =
79 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo hC C BA ab c H La superficie del triángulo ABC es: chc 2 1 S ⋅= En el triángulo AHC : ⇒= b h Aˆsen C AˆsenbhC ⋅= Sustituyendo en la primera expresión: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅=
80 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: Por el Teorema del seno : Sustituyendo en la primera expresión: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= C BA ab c R ⇒= R2 Aˆsen a R2 a Aˆsen = R2 a bc 2 1 S ⋅⋅=
81 TEOREMA DEL COSENO h C BA ab c H m c-m ( ) =−+= 222 mcha Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: =+−+= 222 mcm2ch =+−+−= 2222 mcm2cmb (en AHC) =+−+−= 2222 mcm2cmb cm2cb 22 −+= (Como en AHC m = b . cos A) Aˆcoscb2cba 222 ⋅−+= Bˆcosca2cab 222 ⋅−+= Cˆcosba2bac 222 ⋅−+= Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
82 A C c B b a C B A b a c 222 cba +< 222 cba +> CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Aˆcoscb2cba 222 ⋅−+= Si A < 90º ⇒ cos A >0 ⇒ 222 cba +=Si A = 90º ⇒ cos A = 0 ⇒ Si A > 90º ⇒ cos A < 0 ⇒ ab c BA C ( Teorema de Pitágoras )
83 CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón Por el Tª del coseno La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= AˆsenbcS2 ⋅⋅= =⋅⋅= AˆsenbcS4 2222 ( ) =−⋅⋅ Aˆcos1bc 222 =⋅⋅−⋅= Aˆcosbcbc 22222 cb2 acb Aˆcos 222 −+ = ( ) = ⋅⋅ −+ ⋅⋅−⋅ 22 2222 2222 cb4 acb bcbc ( ) = −+−⋅⋅ = 4 acbbc4 222222 ( )( )= +−−−++ = 4 acbbc2acbbc2 222222 ( )( ) ( )( )= −−−+ = 4 cbaacb 2222 hC C BA ab c H
84 CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón Si a+b+c=2p La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= AˆsenbcS2 ⋅⋅= =⋅⋅= AˆsenbcS4 2222 ( )( )( )( ) = +−−+−+++ = 4 cbacbaacbacb ... ⇒ b+c-a=2p-2a=2(p-a) .... ( ) ( ) ( ) = −⋅−⋅−⋅ = 4 bp2cp2ap2p2 ( ) ( ) ( )=−⋅−⋅−⋅= bpcpapp4 =2 S ( ) ( ) ( ) ⇒−⋅−⋅−⋅ bpcpapp ( ) ( ) ( )cpbpappS −⋅−⋅−⋅= (p será el semiperímetro) FÓRMULAFÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN FÓRMULAFÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN hC C BA ab c H ( )( ) ( )( )= −−−+ = 4 cbaacb 2222
85 Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
86 PÁGINAS WEB http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/ APPUNTI.HTM http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html http://descartes.cnice.mecd.es/ http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm

Más contenido relacionado

PPT
Clase 1 semejanza triangulos
porsamuelpereiramartinez
 
PPT
Disoluciones ii unidades químicas de concentración
porClases Cpech
 
PPTX
ECUACIONES CUADRÁTICAS
pormarco-campos
 
PPT
Introduccion Trigonometría
porClaudia Rosana Carpman
 
DOCX
áNgulos coterminales
porMarcoTulio Polo Canedo
 
PDF
Examen resuelto trigonometria
porlibia nurys espitia hernandez
 
PDF
Ejercicios para el parcial 2 estequiometria avanzada
porRodolfo Alvarez Manzo
 
DOC
Fórmulas concentración
porbesteiroalonso
 
Clase 1 semejanza triangulos
porsamuelpereiramartinez
 
Disoluciones ii unidades químicas de concentración
porClases Cpech
 
ECUACIONES CUADRÁTICAS
pormarco-campos
 
Introduccion Trigonometría
porClaudia Rosana Carpman
 
áNgulos coterminales
porMarcoTulio Polo Canedo
 
Examen resuelto trigonometria
porlibia nurys espitia hernandez
 
Ejercicios para el parcial 2 estequiometria avanzada
porRodolfo Alvarez Manzo
 
Fórmulas concentración
porbesteiroalonso
 

La actualidad más candente

PPT
Presentación situaciones didácticas
porltatangelo
 
PPTX
Aplicacioes de trigonometria
poriralys83
 
PPT
Estequiometria
porRoberto Gutiérrez Pretel
 
PPT
Propiedades Coligativas
por3DSalesianos
 
PPTX
Transformaciones funciones trigonométricas.pptx
porPaola Andrea Ropero R.
 
PPTX
Trabajo de trigonometria, razones trigonometricas
porAngie Julieth
 
PPT
Balanceo de Ecuaciones Químicas
porLeomarSant
 
DOCX
Cálculos estequiometricos mol masa, masa-masa
porVanessa Bastidas R
 
PDF
Semana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricas x
porRodolfo Carrillo Velàsquez
 
PDF
Practica 264 grado de un polinomio
porFREDY ZAPATA
 
PPTX
Hallar la fórmula molecular de la vitamina c
porDiego Martín Núñez
 
PDF
Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas ccesa007
porDemetrio Ccesa Rayme
 
ODP
Química del carbono. Polímeros y macromoléculas
porRafael Ruiz Guerrero
 
Presentación situaciones didácticas
porltatangelo
 
Aplicacioes de trigonometria
poriralys83
 
Estequiometria
porRoberto Gutiérrez Pretel
 
Propiedades Coligativas
por3DSalesianos
 
Transformaciones funciones trigonométricas.pptx
porPaola Andrea Ropero R.
 
Trabajo de trigonometria, razones trigonometricas
porAngie Julieth
 
Balanceo de Ecuaciones Químicas
porLeomarSant
 
Cálculos estequiometricos mol masa, masa-masa
porVanessa Bastidas R
 
Semana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricas x
porRodolfo Carrillo Velàsquez
 
Practica 264 grado de un polinomio
porFREDY ZAPATA
 
Hallar la fórmula molecular de la vitamina c
porDiego Martín Núñez
 
Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas ccesa007
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Química del carbono. Polímeros y macromoléculas
porRafael Ruiz Guerrero
 

Similar a Trigonometria

PPT
Trigonometría teoría completa, resumen.
porJennyLaraQuispe
 
PPTX
Trigonometria ppt
porcesericksito
 
PPTX
Trigonometría
porITECO
 
PPS
Relaciones trigonometricas
porJOSÉ ANTONIO LINERO NIETO
 
PPTX
TRIGONOMETRIA.pptx
poreugeniofenyn
 
PPT
Unidad 9
pormatedivliss
 
PPT
Razones trigonometricas de un angulo agudo
porPreUmate
 
PDF
Trigonometría
porandres1768
 
PDF
Tema 7. trigonometría.
porBeatriz Hernández
 
PDF
Quincena7
porLuis Calderón Vera
 
PDF
Resumen Trigonometría
porjhbenito
 
PDF
Pdf trigonometria
porMiguel Torres Vallejos
 
PDF
Pdf trigonometria
porMiguel Torres Vallejos
 
PDF
07 trigonometria
porEly Jhony Muñoz Marrufo
 
DOC
Trigonometria teoría y practica
porGraciela Marta Petrocelli
 
PPT
GuiaU5MateDos.ppt
porGiancarloCelis
 
PDF
Clase_1_trigonometr_a_en_el_tri_ngulo_2025.pdf
porcatalinabano
 
PDF
7- Trigonometria fórmulas y sus propiedades.pdf
porJoseCedeo555787
 
PPT
Trigonometria 1
porno trabajo
 
PDF
Funciones
porMartin Glez Martinez
 
Trigonometría teoría completa, resumen.
porJennyLaraQuispe
 
Trigonometria ppt
porcesericksito
 
Trigonometría
porITECO
 
Relaciones trigonometricas
porJOSÉ ANTONIO LINERO NIETO
 
TRIGONOMETRIA.pptx
poreugeniofenyn
 
Unidad 9
pormatedivliss
 
Razones trigonometricas de un angulo agudo
porPreUmate
 
Trigonometría
porandres1768
 
Tema 7. trigonometría.
porBeatriz Hernández
 
Quincena7
porLuis Calderón Vera
 
Resumen Trigonometría
porjhbenito
 
Pdf trigonometria
porMiguel Torres Vallejos
 
Pdf trigonometria
porMiguel Torres Vallejos
 
07 trigonometria
porEly Jhony Muñoz Marrufo
 
Trigonometria teoría y practica
porGraciela Marta Petrocelli
 
GuiaU5MateDos.ppt
porGiancarloCelis
 
Clase_1_trigonometr_a_en_el_tri_ngulo_2025.pdf
porcatalinabano
 
7- Trigonometria fórmulas y sus propiedades.pdf
porJoseCedeo555787
 
Trigonometria 1
porno trabajo
 
Funciones
porMartin Glez Martinez
 

Último

DOCX
Tema ilustrado 5.docxrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
pormartarodriguezjareno
 
PPTX
Arquitectura Biomiméticc rrrh tt t a.pptx
pormarkosrj45
 
DOCX
AaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaTema ilustrado 6.docx
pormartarodriguezjareno
 
PDF
Muah_20260108_201028_0000.pdfffffffffffdd
porissmailirayhane2013
 
PPT
Taller_Comunicación.pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
porHaroldPurizacaLlajar3
 
PDF
tripticisiskskskskaakalaoaisisiskao_academico_final.pdf
porLeonardoLeon64
 
Tema ilustrado 5.docxrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
pormartarodriguezjareno
 
Arquitectura Biomiméticc rrrh tt t a.pptx
pormarkosrj45
 
AaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaTema ilustrado 6.docx
pormartarodriguezjareno
 
Muah_20260108_201028_0000.pdfffffffffffdd
porissmailirayhane2013
 
Taller_Comunicación.pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
porHaroldPurizacaLlajar3
 
tripticisiskskskskaakalaoaisisiskao_academico_final.pdf
porLeonardoLeon64
 

Trigonometria

  • 1.
  • 2.
    2 INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente,medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
  • 3.
    3 • NOCIONES PREVIAS •SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO. • R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA • R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
  • 4.
    NOCIONES PREVIAS 1.1. a.a.Proporcionalidad de segmentos yProporcionalidad de segmentos y semejanzasemejanza b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES 2.2. TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS
  • 5.
    5 1.a. Proporcionalidad de1.a.Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza Sombra del árbol grande (S) S. árbol pequeño (s) H h Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H h S s OA’ A B’ B )alidadproporcionderazón(k 'AA 'BB 'OA 'OB == H h S s = Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
  • 6.
    6 Si varias paralelasdeterminan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. O A’A B’ B 'OB 'B'A OB AB tambieno 'OB 'OA OB OA == 1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES O A’ A B’ B C’ D’ E’ EDC B’’ C’’ D’’ E’’ r r’
  • 7.
    7 Medida de ángulosMedidade ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2π π π/2
  • 8.
    8 Expresa los siguientesángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 210º S. centesimal 50g 60g 100g Radianes 2π/3 5π/6 S.sexagesimal 140º 240º S. centesimal 350g 90g 25g Radianes 7π/8 3
  • 9.
    9 Ángulos en lostres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º S. centesimal 66g 66m 66s 50g 133g 33m 33s 60g 233g 33m 33s 100g 166g 66m 66s Radianes S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14” S. centesimal 155g 55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m 66s 25g 190g 98m 59s Radianes 3 3 π 4 π 10 3π 6 7π 2 π 3 2π 6 5π 8 7π 18 14π 4 7π 20 9π 3 4π 8 π
  • 10.
  • 11.
    11 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DEUN ÁNGULO AGUDO a c hipotenusa opuestocateto Cˆsen == a b hipotenusa adyacentecateto Cˆcos == c a opuestocateto hipotenusa Cˆeccos == b a adyacentecateto hipotenusa Cˆsec == b c adyacentecateto opuestocateto Cˆtg == c b opuestocateto adyacentecateto Cˆgcot == Cˆcos 1 Cˆsec = Cˆsen 1 Cˆeccos = Cˆtg 1 Cˆgcot = Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Se definen seis razones trigonométricas C A B a b c Cateto adyacente o contiguo a C CatetoopuestodeC
  • 12.
    12 RELACIÓN ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO a c Cˆsen = a b Cˆcos = Cˆsen 1 a c a a c a Cˆeccos === Cˆcos 1 a b a a b a Cˆsec === Cˆcos Cˆsen a b a c b c Cˆtg === Cˆsen Cˆcos a c a b c b Cˆgcot === Sea ABC un triángulo rectángulo en A. C A B a b c Cateto adyacente o contiguo a C CatetoopuestodeC Cˆcos 1 Cˆsec = Cˆsen 1 Cˆeccos = Cˆtg 1 Cˆgcot = Cˆcos Cˆsen Cˆtg = Cˆsen Cˆcos Cˆgcot =
  • 13.
    13 VALORES QUE PUEDENTOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO B CA a b C 1 a c Cˆsen0 ≤=≤ 1 a b Cˆcos0 ≤=≤ 1 c a Cˆeccos ≥= 1 b a Cˆsec ≥= +∞<=< b c Cˆtg0 +∞<=< c b Cˆgcot0 En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa. Es decir: 0 < c < a 0 < b < a En consecuencia:
  • 14.
    RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45ºy 60º 1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º 2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º
  • 15.
    15 R.T. DE LOSÁNGULOS 30º y 60º (1) A B C Sea ABC un triángulo equilátero H ll l l/2 x B C H l 60º 30º Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide Trazamos una altura CH 60º Podemos calcular x en función de l, aplicando el 2 2 2 l 2 l x =      + Tª de Pitágoras 4 l lx 2 22 −= 4 ll4 x 22 2 − = 4 l3 x 2 2 = 4 l3 x 2 = 2 3l x = 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
  • 16.
    16 B C H l l/2 2 3l 60º 30º 2 3 l2 3l l 2 3l º60sen === 2 º60cos 1 º60sec == 3 2 º60sen 1 º60eccos== 3 3 3 1 º60tg 1 º60gcot === 2 1 l2 l l 2 l º60cos === 3 2 32 2 1 2 3 º60cos º60sen º60tg ==== 2 1 l2 l l 2 l º30sen === 2 3 l2 3l l 2 3l º30cos === 3 3 3 1 32 2 2 3 2 1 º30tg ==== 2 º30sen 1 º30eccos == 3 2 º30cos 1 º30sec == 3 3 33 3 3 º30tg 1 º30gcot ==== R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) Observa que: sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg60º = tg 30º sec 60º =cosec30º Cosec 60º =sec30º
  • 17.
    17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE45º (1) Sea ABCD un cuadrado l l x 45º Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide Trazamos la diagonal AC 90º Podemos calcular x en función de l, aplicando el 222 llx += Tª de Pitágoras 22 l2x ⋅= 2 l2x ⋅= 2lx = 45º y el ángulo C mide 45º A B CD lA B C l 45º
  • 18.
    18 2 2 2 1 2l l º45sen === 2 2 22 2 2 º45cos 1 º45sec ==== 1 1 1 º45tg 1 º45gcot=== 1 l l º45tg == RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) 45º l A B C l 45º 2l 2 2 2 1 2l l º45cos === 2 2 2 º45sen 1 º45eccos === Observa que: sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º
  • 19.
    19 R.T. DE ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOS Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A α Si el ángulo B mide α grados, el ángulo C mide α−º90 α−α º90y α−º90 AB C b a c α==α− cos a c )º90(sen ( ) α==α− sen a b º90cos ( ) α==α− gcot b c º90tg ( ) ( ) α= α = α− =α− eccos sen 1 º90cos 1 º90sec ( ) ( ) α= α = α− =α− sec cos 1 º90sen 1 º90eccos ( ) ( ) α= α = α− =α− tg gcot 1 º90tg 1 º90gcot
  • 20.
    20 R.T. DE ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOS Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α radianes, el ángulo C mide α− π α 2 y α− π 2 α AB C b a c α− π 2 α==α− π cos a c ) 2 (sen α==      α− π sen a b 2 cos α==      α− π gcot b c 2 tg α= α =       α− π =      α− π eccos sen 1 2 cos 1 2 sec α= α =       α− π =      α− π sec cos 1 2 sen 1 2 eccos α= α =       α− π =      α− π tg gcot 1 2 tg 1 2 gcot
  • 21.
    21 RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA α AB C b a c 222 acb=+ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: Si dividimos la expresión anterior por a2 2 2 2 2 2 2 a a a c a b =+ Expresándolo de otra forma: 1 a c a b 22 =      +      ( ) ( ) 1cossen 22 =α+αO lo que es lo mismo: 1cossen 22 =α+α 1cossen 22 =α+α Que normalmente expresaremos de la forma:
  • 22.
    22 Si dividimos laexpresión anterior por b2 o por c2 2 2 2 2 2 2 b a b c b b =+ Expresándolo de otra forma: ( ) ( )22 eccosgcot1 α=α+ α=α+ 22 sectg1 α AB C b a c 222 acb =+ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: 2 2 2 2 2 2 c a c c c b =+ ( ) ( )22 sectg1 α=α+ α=α+ 22 eccosgcot1 OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
  • 23.
    23 R.T. DE LOSÁNGULOS 0º Y 90º senα cos α senα senα senα senα 1 Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1radio=1 1 P(x,y) O X Y α
  • 24.
    Circunferencia goniométrica 1.1. R.T.DE ÁNGULO CUALQUIERAR.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2.2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UNVALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULOÁNGULO 3.3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LAVALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTECOTANGENTE 4.4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5.5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºR.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6.6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºR.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7.7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOSR.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
  • 25.
    25 CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferenciade radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas X Y O a Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 1
  • 26.
    26 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UNÁNGULO CUALQUIERA y 1 y r 'y radio ordenada sen ====α x 1 x r 'x radio abscisa cos ====α x y 'x 'y abscisa ordenada tg ===α X Y O a 1 P(x,y) Q(x’,y’) r A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)
  • 27.
    27 SENO Y COSENODE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 a A senα cos α senβ cos β senγ cos γ senδ cos δ b B g C d D -1 0 1 El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 1sen1 ≤α≤− 1cos1 ≤α≤−-1 -1 1 ++_ _ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ _ + +
  • 28.
    28 TANGENTE Y COTANGENTEDE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 A a tgα cotg α tgβ cotg β tgγ cotg γ tgδ cotg δ g C d D B b La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor . +∞≤α≤∞− tg +∞≤α≤∞− gcot + _ + _ TANGENTE Y COTANGENTE
  • 29.
    29 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE120º A 60º 120º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) A’ 60º x y -x y == yº120sen =º60sen =−= xº120cos =− º60cos = − = x y º120tg =− x y =− º60tg 2 3 2 1 − 3− 2º120sec −= 3 32 º120eccos = 3 3 º120gcot −= Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
  • 30.
    30 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE135º A 45º 135º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º) A’ 45º x y -x y == yº135sen =º45sen =−= xº135cos =− º45cos = − = x y º135tg =− x y =− º45tg 2 2 2 2 − 1− 2º135sec −= 2º135eccos = 1º135gcot −= Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
  • 31.
    31 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE150º 150º -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 150º (quitamos 30º a 180º) A 30º x y A’ 30º -x y == yº150sen =º30sen =−= xº150cos =− º30cos = − = x y º150tg =− x y =− º30tg 2 1 2 3 − 3 3 − 3 32 º150sec −= 2º150eccos = 3º150gcot −= Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
  • 32.
    32 RELACIÓN ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a A 180º-a -1 -1 1 X Y O 1 a y 180º- a a y p-a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a A’ a x y -x y ( ) yº180sen =α− α= sen ( ) xº180cos −=α− α−= cos ( ) x y º180tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α=α−π sensen ( ) α=α−π coscos ( ) α−=α− tgº180tg
  • 33.
    33 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE210º -1 -1 1 X Y O 1 210º 30º A x y A’ 30º-x -y yº210sen −= =−= º30sen xº210cos −= =−= º30cos x y º210tg − − = x y = == º30tg En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º). Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 2 1 − 2 3 − 3 3 3 32 º210sec −= 2º210eccos −= 3º210gcot =
  • 34.
    34 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE225º -1 -1 1 X Y O 1 225º 45º 45º -x -y En la circunferencia goniométrica dibujamos 225º (añadimos 45º a 180º). Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. =−= yº225sen =− º45sen =−= xº225cos =− º45cos = − − = x y º225tg = x y =º45tg 2 2 − 2 2 − 1 2º225sec −= 2º225eccos −= 1º225gcot =
  • 35.
    35 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE240º -1 -1 1 X Y O 1 240º En la circunferencia goniométrica dibujamos 240º (añadimos 60º a 180º). Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. =º240sen =− º60sen =º240cos =− º60cos =º240tg =º60tg 2 3 − 2 1 − 3 2º240sec −= 3 32 º240eccos −= 3 3 º240gcot =
  • 36.
    36 RELACIÓN ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º a A -1 -1 1 X Y O 1 a y 180º+ a a y p+a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a A’ 180º+a a x y -x -y ( ) yº180sen −=α+ α−= sen ( ) xº180cos −=α+ α−= cos ( ) x y º180tg − − =α+ x y = α= tg ( ) α−=α+π sensen ( ) α−=α+π coscos ( ) α=α+π tgtg
  • 37.
    37 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE300º -1 -1 1 X Y O 1 300º En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º). =º300sen =− º60sen 2 3 − =º300cos =º60cos 2 1 =º300tg =− º60tg 3− 2º300sec = 3 32 º300eccos −= 3 3 º300gcot −=
  • 38.
    38 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE315º -1 -1 1 X Y O 1 315º En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). =º315tg 1º45tg −=− =º315sen =− º45sen 2 2 − =º315cos =º45cos 2 2 2º315sec = 2º315eccos −= 1º315gcot −=
  • 39.
    39 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE330º (las mismas que las de –30º) -1 -1 1 X Y O 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º). =º330cos =º30cos =º330sen =− º30sen 2 1 − 2 3 =º330tg =− º30tg 3 3 − 3 32 º330sec = 2º330eccos −= 3º330gcot −=
  • 40.
    40 RELACIÓN ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º a A -1 -1 1 X Y O 1 a y 360º-a a y 2 p-a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a A’ 360º-a a x y -y ( ) yº360sen −=α− α−= sen ( ) xº360cos =α− α= cos ( ) x y º360tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α−=α−π sen2sen ( ) α=α−π cos2cos ( ) α−=α−π tg2tg
  • 41.
    41 RELACIÓN ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS a A -1 -1 1 X Y O 1 a y - a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a A’ -a x y -y ( ) ysen −=α− α−= sen ( ) xcos =α− α= cos ( ) x y tg − =α− x y −= α−= tg ( ) α−=α− sensen ( ) α=α− coscos ( ) α−=α− tgtg
  • 42.
    42 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UNÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA a A -1 -1 1 X Y O 1 Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a x y ( ) =α+π2sen αsen ( ) =α+π2cos αcos ( ) =α+π2tg αtg ( ) α=α+ senº360sen ( ) α=α+ cosº360cos ( ) α=α+ tgº360tg Ζ∈π+α k,k2 Ζ∈+α k,kº360 2p+α
  • 43.
    43 -1 -1 1 X Y O 1 RELACIÓN ENTRELAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º a A a y 270º+a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a A’ 270º+a a x y ( ) xº270sen −=α+ α−= cos ( ) yº270cos =α+ α= sen ( ) y x º270tg − =α+ y x −= α−= gcot α+ π α 2 3 y y -x α−=      α+ π cos 2 3 sen α=      α+ π sen 2 3 cos α−=      α+ π gcot 2 3 tg
  • 44.
    44 -1 -1 1 X Y O 1 RELACIÓN ENTRELAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a A a y 90º - a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a A’ 90º-aa x y ( ) xº90sen =α− α= cos ( ) yº90cos =α− α= sen ( ) y x º90tg =α− α= gcot α− π α 2 y y x α=      α− π cos 2 sen α=      α− π sen 2 cos α=      α− π gcot 2 tg
  • 45.
    45 SENO DE 0º, 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. sen 0º = 0 sen 90º = 1 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0
  • 46.
    46 COSENO DE 0º, 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. cosen 0º = 1 cosen 90º = 0 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cosen 180º = -1 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cosen 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cosen 360º = 1
  • 47.
    47 TANGENTE DE 0º, 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞. tg 0º = 0 tg 90º → + ∞. -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0. tg 90º → - ∞ tg 180º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. . tg 270º → + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0. tg 270º → - ∞ tg 360º = 0
  • 48.
    48 COTANGENTE DE 0º, 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 0º → + ∞ cotg 90º =0 -1 -1 1 X Y O 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞ cotg 180º → - ∞ Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 180º → + ∞ cotg 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0 a - ∞ cotg 360º → - ∞
  • 49.
    49 VALORES Y SIGNOQUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO 1sen1 ≤α≤− 1cos1 ≤α≤− 1sec ≥α +∞<α<∞− tg +∞<α<∞− gcot 1sec −≤α 1eccos ≥α1eccos −≤α ++_ _ SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE _ _ + + + _ + _ SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
  • 50.
    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓNSENO 2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO 3.3. FUNCIÓN TANGENTEFUNCIÓN TANGENTE 4.4. FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN COTANGENTE 5.5. FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN SECANTE 6.6. FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN COSECANTE
  • 51.
    51 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN SENO f(x)=sen x 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π 2 1 2 1 − 2 3 2 3 − 1 1− 2 2 2 2 − 0 a sen a 2 2 − 2 2 − 2 2 2 2 2 1 − 2 1 − 2 1 2 1 2 3 − 2 3 − 2 3 2 3 0 1 0 01− 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π24 3π 4 5π 4 7π 0
  • 52.
    52 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN SENO f(x)=sen x
  • 53.
    53 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 2 π 3 π 4 π 6 π π2 3 11π 4 7π 3 5π 3 2π 4 3π 6 5π π 6 7π 4 5π 3 4π 2 1 2 1 − 2 3 2 3 − 1 1− 2 2 2 2 − 0 2 3π a COS a 2 2 − 2 2 − 2 2 2 2 2 1 − 2 1 − 2 1 2 1 2 3 − 2 3 − 2 3 2 3 01 0 11− 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π24 3π 4 5π 4 7π 0
  • 54.
    54 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
  • 55.
    55 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3 3 − 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0 3 3 3− 3
  • 56.
    56 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
  • 57.
    57 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 3 3 − 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0 3 3 3− 3
  • 58.
    58 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x
  • 59.
    59 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0
  • 60.
    60 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
  • 61.
    61 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 1 1− 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5π π 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 3 11π π2 4 π 4 3π 4 5π 4 7π0
  • 62.
    62 GRÁFICA DE LAFUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
  • 63.
  • 64.
    64 INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente,medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
  • 65.
    1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE LA SUMARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. 3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD 4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO 5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO 6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DEÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERONHERON
  • 66.
    66 SENO DE LASUMA DE DOS ÁNGULOS A O X Y N M β α+β P B α α Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. ( ) ==β+α OB BP sen = α⋅β⋅+α⋅β⋅ = OB sencosOBcossenOB = α⋅+α⋅ = OB senOAcosAB ( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. = + OB ANAM
  • 67.
    67 COSENO DE LASUMA DE DOS ÁNGULOS A O X Y N M β α+β P B α α Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. ( ) = − = − ==β+α OB BMON OB NPON OB OP cos = α⋅β⋅−α⋅β⋅ = OB sensenOBcoscosOB = α⋅−α⋅ = OB senABcosOA ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos
  • 68.
    68 COSENO DE LASUMA DE DOS ÁNGULOS (otra forma de deducir la fórmula) ( ) =β+αcos β⋅α−β⋅α= sensencoscos ( ) =      β+α− π 2 sen ( ) =      β−+      α− π 2 sen=      β−α− π 2 sen ( ) ( ) =β−⋅      α− π +β−⋅      α− π = sen 2 coscos 2 sen ( ) =β−⋅α+β⋅α= sensencoscos ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos
  • 69.
    69 TANGENTE DE LASUMA DE DOS ÁNGULOS ( ) =β+αtg = β⋅α−β⋅α β⋅α+β⋅α sensencoscos sencoscossen = β⋅α β⋅α − β⋅α β⋅α β⋅α β⋅α + β⋅α β⋅α = coscos sensen coscos coscos coscos sencos coscos cossen β⋅α− β+α tgtg1 tgtg ( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos ( ) = β⋅α− β+α =β+α tgtg1 tgtg tg Si dividimos numerador y denominador por cosa. cosb Simplifi- cando ( ) ( ) = β+α β+α cos sen
  • 70.
    70 R.T. DE LADIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) ( )[ ] =β−+αsen( ) =β−αsen ( ) ( ) =β−⋅α+β−⋅α sencoscossen 1 ( ) =β−⋅α+β⋅α= sencoscossen β⋅α−β⋅α= sencoscossen ( )[ ] =β−+αcos( ) =β−αcos ( ) ( ) =β−⋅α−β−⋅α sensencoscos ( ) =β−⋅α−β⋅α= sensencoscos β⋅α+β⋅α= sensencoscos ( ) =β−αtg ( ) ( ) = β−⋅α− β−+α tgtg1 tgtg( ) ( ) = β−⋅α− β−+α tgtg1 tgtg ( )[ ] =β−+αtg = β⋅α+ β−α = tgtg1 tgtg
  • 71.
    71 R.T. DE LASUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS ( ) =β+αsen ( ) =β+αcos ( ) =β+αtg ( ) =β−αsen β⋅α−β⋅α sencoscossen ( ) =β−αcos β⋅α+β⋅α sensencoscos ( ) =β−αtg β⋅α+ β−α tgtg1 tgtg β⋅α+β⋅α sencoscossen β⋅α−β⋅α sensencoscos β⋅α− β+α tgtg1 tgtg
  • 72.
    72 R.T. DEL ÁNGULODOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) ( ) =α+αsen ( ) =α+αcos ( ) =α+αtg =α2sen =α⋅α+α⋅α sencoscossen =α⋅α−α⋅α sensencoscos = α⋅α− α+α tgtg1 tgtg α⋅α⋅ cossen2 =α2cos α−α 22 sencos =α2tg α− α 2 tg1 tg2 =α2sen α⋅α⋅ cossen2 =α2cos α−α 22 sencos =α2tg α− α 2 tg1 tg2
  • 73.
    73 R.T. DEL ÁNGULOMITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) =α2cos =α−α 22 sencos =αtg =α−α− 22 sensen1 α− 2 sen21 =α2 sen2 α− 2cos1 =α2 sen 2 2cos1 α− 2 2cos1 α− ±=αsen =α2cos =α−α 22 sencos =α+−α 22 cos1cos 1cos2 2 −α =α2 cos2 α+ 2cos1 =α2 cos 2 2cos1 α+ 2 2cos1 α+ ±=αcos α+ α− ± 2cos1 2cos1 2 cos1 2 sen α− ±= α 2 cos1 2 cos α+ ±= α α+ α− ±= α cos1 cos1 2 tg
  • 74.
    1.1. Teorema delsenoTeorema del seno 2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno
  • 75.
    75 TEOREMA DEL SENO Los ladosde un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Cˆsen c Bˆsen b Aˆsen a == El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Consideremos un triángulo ABC.    ⋅= ⋅= Bˆsenah Aˆsenbh C C ⇒⋅=⋅⇒ BˆsenaAˆsenb Bˆsen b Aˆsen a =⇒ Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:    ⋅= ⋅= Bˆsench Cˆsenbh A A BˆsencCˆsenb ⋅=⋅⇒ Cˆsen c Bˆsen b =⇒ hC hA C BA ab c H Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
  • 76.
    76 Medida de losángulos en una circunferencia  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A B C Οα α 180º-2 α β β 180º-2β 360º-(180º-2 α+180º- 2 β)= =360º - 360º + 2 α+2 β = = 2 α+2 β = 2 (α + β) 2(α+β) Ο 2(α+β) α+β γ 2 γ
  • 77.
    77  Todos losángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales γ 2γ γ γ γ 180º 90º  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. Medida de los ángulos en una circunferencia
  • 78.
    78 Consecuencia del TEOREMADEL SENO La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. R2 Cˆsen c Bˆsen b Aˆsen a === Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. = Aˆsen a Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: A a C B A’ R2 1 R2 º90sen R2 'Aˆsen a === Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). R2 'Aˆsen a =
  • 79.
    79 Consecuencia del TEOREMADEL SENO Área de un triángulo hC C BA ab c H La superficie del triángulo ABC es: chc 2 1 S ⋅= En el triángulo AHC : ⇒= b h Aˆsen C AˆsenbhC ⋅= Sustituyendo en la primera expresión: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅=
  • 80.
    80 Consecuencia del TEOREMADEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: Por el Teorema del seno : Sustituyendo en la primera expresión: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= C BA ab c R ⇒= R2 Aˆsen a R2 a Aˆsen = R2 a bc 2 1 S ⋅⋅=
  • 81.
    81 TEOREMA DEL COSENO h C BA ab c H mc-m ( ) =−+= 222 mcha Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: =+−+= 222 mcm2ch =+−+−= 2222 mcm2cmb (en AHC) =+−+−= 2222 mcm2cmb cm2cb 22 −+= (Como en AHC m = b . cos A) Aˆcoscb2cba 222 ⋅−+= Bˆcosca2cab 222 ⋅−+= Cˆcosba2bac 222 ⋅−+= Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
  • 82.
    82 A C c B b a C B A b a c 222 cba +< 222 cba+> CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Aˆcoscb2cba 222 ⋅−+= Si A < 90º ⇒ cos A >0 ⇒ 222 cba +=Si A = 90º ⇒ cos A = 0 ⇒ Si A > 90º ⇒ cos A < 0 ⇒ ab c BA C ( Teorema de Pitágoras )
  • 83.
    83 CONSECUENCIAS DEL TEOREMADEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón Por el Tª del coseno La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= AˆsenbcS2 ⋅⋅= =⋅⋅= AˆsenbcS4 2222 ( ) =−⋅⋅ Aˆcos1bc 222 =⋅⋅−⋅= Aˆcosbcbc 22222 cb2 acb Aˆcos 222 −+ = ( ) = ⋅⋅ −+ ⋅⋅−⋅ 22 2222 2222 cb4 acb bcbc ( ) = −+−⋅⋅ = 4 acbbc4 222222 ( )( )= +−−−++ = 4 acbbc2acbbc2 222222 ( )( ) ( )( )= −−−+ = 4 cbaacb 2222 hC C BA ab c H
  • 84.
    84 CONSECUENCIAS DEL TEOREMADEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón Si a+b+c=2p La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc 2 1 S ⋅⋅= AˆsenbcS2 ⋅⋅= =⋅⋅= AˆsenbcS4 2222 ( )( )( )( ) = +−−+−+++ = 4 cbacbaacbacb ... ⇒ b+c-a=2p-2a=2(p-a) .... ( ) ( ) ( ) = −⋅−⋅−⋅ = 4 bp2cp2ap2p2 ( ) ( ) ( )=−⋅−⋅−⋅= bpcpapp4 =2 S ( ) ( ) ( ) ⇒−⋅−⋅−⋅ bpcpapp ( ) ( ) ( )cpbpappS −⋅−⋅−⋅= (p será el semiperímetro) FÓRMULAFÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN FÓRMULAFÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN hC C BA ab c H ( )( ) ( )( )= −−−+ = 4 cbaacb 2222
  • 85.
    85 Trigonometría es larama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
  • 86.