Este documento presenta un índice sobre el tema de la trigonometría. Incluye secciones sobre la medida de ángulos, las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas de ángulos notables como 30°, 45° y 60°, las identidades trigonométricas fundamentales, los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos, y la resolución de triángulos rectángulos. También incluye ejemplos y problemas de ejercicios sobre estos temas.

1. I . Trigonometría
INDICE:
• 1 Medida de ángulos
• 2 Razones trígonométricas
• 3 Razones trigonométricas de cualquier ángulo
• 4 Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
• 5 Relaciones trígonométricas fundamentales
• 6 Ángulos complementarios
• 7 Ángulos suplementarios
• 8 Ángulos que se diferencian en 180°
• 9 Ángulos opuestos
• 10 Ángulos negativos y mayores de 360º
• 11 Razones trigonométricas de otros ángulos
• 12 Resolución de triángulos rectángulos
• 13 Resumen
• Ejercicios y problemas 1
• Ejercicios y problemas 2
• Problemas triángulos rectángulos
1). Medida de ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen
común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas
del reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1Grado sexagesimal (°)

2. Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a
cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radián (rad)
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
2 rad = 360°
rad = 180°
30º rad
/3 rad º
2).Razones trigonométricas

3. Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto
contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.

4. Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
3).Razones trigonométricas de cualquier
ángulo

5. Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de
coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de
coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las
agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1

6. Signo de las razones trigonométricas
4).Razones trigonométricas de 30º, 45º y
60º
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si
trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado
queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras,
tenemos que la altura es:

7. Seno, coseno y tangente de 45º

8. Razones trigonométricas de ángulos notables
5).Identidades (o relaciones)
trigonométricas fundamentales
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α

9. Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Identidades trigonométricas II
Identidades trígonométricas fundamentales
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α

10. Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

11. Razones trigonométricas del ángulo doble

12. Razones trigonométricas del ángulo mitad

13. Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas

14. 6).Ángulos complementarios
Son aquéllos cuya suma es 90º ó /2 radianes.

15. 7).Ángulos suplementarios
Son aquéllos cuya suma es 180° ó radianes.

16. 8).Ángulos que se diferencian en 180°
Son aquéllos cuya resta es 180° ó radianes.

17. 9).Ángulos opuestos
Son aquéllos cuya suma es 360º ó 2 radianes.

18. 10).Ángulos negativos y mayores de 360º
El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del
reloj.
-α = 360° - α
Mayores de 360º
Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.

19. 11).Razones trigonométricas de otros
ángulos

20. Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
Ángulos que suman 270º ó 3/2 π rad

21. Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad

22. 12).Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos
lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

23. Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos

24. Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°

25. b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

26. II. Trigonometría. Ejercicios (1)
1) Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
1 ) 3 rad
2) 2π/5rad.
3) 3π/10 rad.
2) Expresa en radianes los siguientes ángulos:
1)316°
2) 10°
3) 127º
3) Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
4) Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
5) Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.
6) Calcula las razones de los siguientes ángulos:
1)225°
2) 330°
3) 2655°
4) −840º
7) Comprobar las identidades:
1)
2)

27. 3)
4)
5)
8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el
triángulo
9) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el
triángulo.
10) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el
triángulo.
11) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el
triángulo.
12) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el
ángulo de elevación del sol en ese momento.
13) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo
de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
14) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene
como arco correspondiente uno de 70°
15) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80
m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
16) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa
su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
17) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la
circunferencia inscrita y circunscrita.
Resolución de los ejercicios 1 –a- 17:
1
Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

28. 1) 3 rad
2) 2π/5rad.
3) 3π/10 rad.
2
Expresa en radianes los siguientes ángulos:
1) 316°
2) 10°
3) 127º

29. 3
Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
4
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
5
Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

30. 6
Calcula las razones de los siguientes ángulos:
1) 225°
2) 330°
3) 2655°

31. 4) −840º
7
Comprobar las identidades:
1)
2)

32. 3)
4)
5)
8
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

33. 9
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
10
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

34. 11
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
12
Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de
elevación del sol en ese momento.

35. 13
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de
depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
14
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como
arco correspondiente uno de 70º

36. 15
Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y
130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
16
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

37. 17
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la
circunferencia inscrita y circunscrita.

38. II. Trigonometría. Ejercicios (2)
1) Sabiendo que cosec α = 3, calcular las restantes razones trigonométricas.
2) Calcula las razones de los siguientes ángulos:
1) -150º
2) 1740°
3) Simplificar las fracciones:
1)
2)
3)
4) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una
circunferencia de 49 centímetros de radio.
5) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y
la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
Resolución de los ejercicios 1 –a- 5:
1
Sabiendo que cosec α = 3, calcular las restantes razones trigonométricas.

39. 2
Calcula las razones de los siguientes ángulos:
1) -150º
2) 1740°

40. 3
Simplificar las fracciones:
1)
2)
3)

41. 4
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una
circunferencia de 49 centímetros de radio.
5
Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de
B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

42. III) Examen resuelto de Trigonometría I
1
Calcula el sen 3x, en función de sen x.
2
Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.

43. 3
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1)

44. 2)
3)

45. 4
Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
5
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de
48° 15'. Calcular los lados.

46. OJO ¡! Faltan según el indice y el RESUMEN AL FINAL.