Este documento introduce el concepto de límite en funciones, incluyendo definiciones informales y formales, así como ejemplos de evaluación de límites y situaciones en las que no existen. Se discuten teoremas relacionados y se presenta un enfoque formal para demostrar límites utilizando la definición de ε-δ. También se incluyen ejemplos adicionales para ilustrar diferentes comportamientos de funciones en relación con el concepto de límite.

1. U2. LÍMITE Y CONTINUIDAD
Parte 1-Introducción al concepto
de límite. Definición informal y
formal.
Cálculo I
Dra. Ing. Calvo Olivares, Romina

2. TEMAS A ESTUDIAR
Definición de límite de una función en un punto. Definición de límites en
el infinito. Álgebra de límites. Indeterminaciones. Límites notables.
Funciones Continuas. Teorema de Bolzano. Teorema de los valores
intermedios. Teorema de Weierstrass.
BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA
▪ STEWART, J., REDLIN, L. & WATSON, S., Precálculo Matemáticas para el
Cálculo; 6ta edición, Cengage Learning, 2012.
▪ STEWART, J., Cálculo de una Variable-Trascendentes tempranas; 7ma
edición, Cengage Learning, 2012.
▪ THOMAS, G., Cálculo una Variable, 12da edición, Pearson Education,
2010.
▪ LARSON, R. AND EDWARDS, B. Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010.
Apuntes de clase.

3. Introducción al concepto de Límite
1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06
0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 ? 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06

4. Nótese que nos
interesa saber
qué ocurre en
torno a 𝒙 = 𝟐 y
no en 𝒙 = 𝟐
Cómo se
comporta la
función? Hacia
dónde tiende?
Introducción al concepto de Límite

5. Definición informal del Límite de una Función

6. Definición informal del Límite de una Función
Ejemplo 1: Estimación numérica de un límite
Evaluar la función 𝑦 =
𝑥
𝑥+1−1
en varios puntos cercanos a 𝑥 = 0 y usar el resultado para estimar el
límite:
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥 + 1 − 1
-0.01 -0.001 -0.0001 0 0.001 0.001 0.01
1.99499 1.99950 1.99995 ? 2.00005 2.00050 2.00499
Solución: se toman valores lo suficientemente cercanos (infinitesimalmente) a cero por izquierda y por
derecha.
𝒙 se aproxima a 0 por izquierda 𝒙 se aproxima a 0 por derecha
𝒇(𝒙) se aproxima a 2 𝒇(𝒙) se aproxima a 2
Esto significa que al encontrar el límite de
𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 0, no se
considera 𝑥 = 0. De hecho, 𝑓(𝑥) no
necesita estar definida cuando 𝑥 = 0. Lo
único que importa es cómo se define f
cerca de 0. Figura extraída de Larson & Edwards.
Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 49

7. La función puede no estar definida en 𝑥 = 𝑐 y aún así 𝑓(𝑥) parece
aproximarse a un límite a medida que 𝑥 se aproxima a c.
La existencia o inexistencia de 𝒇(𝒙) en 𝒙 = 𝒄 no guarda
relación con la existencia del límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 se
aproxima a 𝒄.
Ejemplo 2: encontrar el límite de 𝑓(𝑥) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como:
𝑓 𝑥 = ቊ
1, 𝑥 = 2
3, 𝑥 ≠ 2
Definición informal del Límite de una Función
Se observa que a medida que nos acercamos a 2 tanto por
izquierda como por derecha, la función tiende a 3.
Matemáticamente:
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 3
Solución: se grafica la función y para analizar el límite se toman valores cercanos a 2 por izquierda y
por derecha.

8. Límites que no existen
1. Comportamiento distinto por la derecha y por la izquierda
1.1 Evaluar lim
𝑥→0
𝑥
𝑥
Solución: recordemos la definición de valor absoluto:
𝑥 = ቊ
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Por lo tanto, se tiene que:
𝑥
𝑥
= ቊ
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−1, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Para evaluar el límite, debemos analizar en torno a cero, es decir, por izquierda y por derecha:
lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0+
1 = 1
lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0+
(−1) = −1
Como los límites laterales son distintos, es decir,
lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
≠ lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥
Entonces NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Larson & Edwards.
Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 50

9. Límites que no existen
1. Comportamiento distinto por la derecha y por la izquierda (continuación)
1.2 Evaluar lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = ቊ
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Solución: para evaluar el límite, debemos analizar en torno a cero, es decir, por izquierda y por
derecha:
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
1 = 1
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
0 = 0
Como los límites laterales son distintos, es decir,
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥)
Entonces NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Thomas, G., Cálculo una
Variable, 12da edición, Pearson Education,
2010. Pag. 48

10. Límites que no existen
2. Comportamiento no acotado
2.1 Evaluar lim
𝑥→0
1
𝑥2
Solución: para evaluar el límite, debemos analizar en torno a cero, es decir, por izquierda y por
derecha. Se observa que a medida que nos acercamos al 0, la función toma valores arbitrariamente
grandes:
lim
𝑥→0+
1
𝑥2
= ∞
lim
𝑥→0−
1
𝑥2
= ∞
Como los límites laterales no tienden a un valor finito,
NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Larson & Edwards.
Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag.
50

11. Límites que no existen
2. Comportamiento no acotado
2.2 Evaluar lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = ൝
1
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Solución: para evaluar el límite, debemos analizar en torno a cero, es decir, por izquierda y por
derecha. Se observa que a medida que nos acercamos al 0, la función toma valores arbitrariamente
grandes:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞
Como los límites laterales no tienden a un valor finito,
NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Thomas, G., Cálculo una
Variable, 12da edición, Pearson Education,
2010. Pag. 48

12. Límites que no existen
3. Comportamiento oscilante
3.1 Evaluar lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
Solución: a medida que 𝑥 toma valores más cercanos a 0, 𝑓(𝑥) toma valores entre -1 y 1. Es decir,
que por pequeño que se elija 𝛿, siempre es posible encontrar 𝑥1 y 𝑥2 que disten menos de 𝛿
unidades de 0 tales que:
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥1
= 1 y 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
= −1
Como los límites laterales no tienden a un valor único
cuando 𝑥 tiende a cero:
lim
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= 1 ∧ lim
𝑥→0−
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= −1
lim
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= 1 ∧ lim
𝑥→0−
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= 1
NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Larson & Edwards. Cálculo
I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 51.

13. Límites que no existen
3. Comportamiento oscilante
3.2 Evaluar lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) siendo 𝑓(𝑥) = ቐ
0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
Solución: a medida que 𝑥 toma valores más cercanos a 0, 𝑓(𝑥) por derecha toma valores entre -1 y
1. Es decir, que por pequeño que se elija 𝛿, siempre es posible encontrar 𝑥1 y 𝑥2 que disten menos
de 𝛿 unidades de 0 tales que:
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥1
= 1 y 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
= −1
Por izquierda, la función tiende a 0.
Como los límites laterales no tienden a un valor único
cuando 𝑥 tiende a cero:
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 1 ∧ lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = −1
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 0
NO EXISTE LÍMITE.
Figura extraída de Thomas, G., Cálculo una
Variable, 12da edición, Pearson Education,
2010. Pag. 48

14. Límites que no existen
Comportamientos asociados a la NO EXISTENCIA de
límite:
• 𝑓 𝑥 se aproxima a números diferentes, cuando los
valores de 𝑥 se acercan por la derecha o por la
izquierda de un valor c.
• 𝑓 𝑥 aumenta o disminuye en su valor sin límite a
medida que 𝑥 se aproxima a 𝑐.
• 𝑓 𝑥 oscila entre dos valores a medida que 𝑥 se
aproxima a 𝑐.

15. Hacia la definición formal de límite
Para demostrar que el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → 𝑐 es igual a 𝐿, se necesita demostrar
también que la distancia entre 𝑓(𝑥) y 𝐿 puede hacerse “tan pequeña como queramos”
si 𝑥 se mantiene “suficientemente cerca” de c.
Ejemplo 3: considere 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 cerca de 𝑐 = 4. Intuitivamente 𝑓 𝑥 está cerca de 7 cuando 𝑥
está cerca de 4. Pero ¿Qué tan cerca de 𝑐 = 4 debe estar 𝑥 para hacer que 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 difiera
de 7, por ejemplo en menos de 2 unidades?
Solución: para qué valores de 𝑥 es 𝑓 𝑥 − 7 < 2?
Al mantener a 𝑥 a menos de una unidad de
𝑐 = 4, se mantiene a 𝑓(𝑥) a menos de 2
unidades de 𝑓(𝑐) = 7.
Figura y contenido extraídos de Thomas, G.,
Cálculo una Variable, 12da edición, Pearson
Education, 2010. Pag. 57

16. Definición formal del Límite de una Función
∃ un número positivo 𝜹 tal que 𝒙 ∈ (𝒄 −
𝜹, 𝒄) o 𝒙 ∈ 𝒄, 𝒄 + 𝜹 , o equivalentemente
𝟎 < 𝒙 − 𝒄 < 𝜹
Si 𝑓(𝑥) se acerca de manera arbitraria a un número 𝐿 a medida que 𝑥 se
aproxima a 𝑐 por cualquiera de sus lados, se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando
𝑥 se aproxima a 𝑐 es 𝐿, y se escribe:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
“𝑓(𝑥) se acerca de manera arbitraria a 𝐿”
“𝑥 se aproxima a 𝑐”
∃ un número positivo 𝜺 tal que 𝒇(𝒙) ∈
(𝑳 − 𝜺, 𝑳 + 𝜺) o equivalentemente
𝒇(𝒙) − 𝑳 < 𝜺
Figura extraída de Larson & Edwards. Cálculo I,
Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 52.
Interpretación gráfica

17. Definición formal del Límite de una Función
DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE
Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 (salvo posiblemente en 𝑐) y
𝐿 un número real. La afirmación:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
Significa que para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que si:
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳 implica que: EL LÍMITE EXISTE y ES IGUAL A L (único)
Figura y contenido extraídos y adaptados de
Thomas, G., Cálculo una Variable, 12da
edición, Pearson Education, 2010. Pag. 58
Una manera de interpretar tal definición es suponer que realizamos una
medición de precisión, por ejemplo del espesor de una pieza mecánica.
Podemos intentar obtener tal espesor 𝐿, pero como la máquina y el proceso
no son perfectos, debemos quedar satisfechos con un espesor 𝑓(𝑥) entre
𝐿 − 𝜀 y 𝐿 + 𝜀 .
El 𝛿 es la medida de qué tan preciso se debe
establecer el control para 𝑥 de forma que se
garantice este grado de precisión en el espesor.
Cuanto más estricta sea la tolerancia para el error,
más ajuste se debe hacer para 𝛿. Esto es, el valor
de 𝛿 (que determina qué tan estricto debe ser el
control) depende del valor 𝜀, que es la tolerancia
de error.

18. Definición formal del Límite de una Función
La definición formal de límite NO DICE cómo determinar el límite de una función, pero permite verificar que un límite supuesto es
correcto.
Comprobación de la definición formal
Ejemplo 4: demostrar que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
5𝑥 − 3 = 2
Solución: aplicamos la definición formal de límite.
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
En este caso, establecemos 𝑐 = 1, 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 y 𝐿 = 2.
Por tanto, para cualquier 𝜀 > 0 dado, tenemos que encontrar un 𝛿 > 0 adecuado, de manera que si 𝑥 ≠ 1 y 𝑥
está a una distancia menor a 𝛿 de 𝑐 = 1, esto siempre que:
0 < 𝑥 − 1 < 𝛿
Se cumple que 𝑓(𝑥) está a una distancia menor a 𝜀 de 𝐿 = 2, es decir:
5𝑥 − 3 − 2 < 𝜀
Para determinar el valor de 𝛿, es necesario primero trabajar con la Tesis para encontrar una expresión que pueda
compararse con la hipótesis. De este modo:
5𝑥 − 5 < 𝜀 aplicamos propiedad de valor absoluto: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
5 𝑥 − 1 < 𝜀
5 𝑥 − 1 < 𝜀 al comparar esta expresión con la hipótesis 𝑥 − 1 < 𝛿 se tiene que:
5 𝑥 − 1 < 5𝛿 = 𝜀 → 𝜹 =
𝜺
𝟓
Lo cual prueba que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
5𝑥 − 3 = 2
Hipótesis Tesis

19. Comprobación de la definición formal
Ejemplo 4 (continuación): demostrar que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
5𝑥 − 3 = 2
El valor de 𝛿 =
𝜀
5
no es el único que hará que 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 implique 5𝑥 − 5 < 𝜀. Cualquier
valor positivo más pequeño para 𝛿 también funcionará. La definición no pregunta por el “mejor”
valor positivo de 𝛿, sólo por uno que funcione (aunque la demostración por definición sí nos
permite encontrar el mínimo valor que hace que la definición se cumpla).
Interpretación gráfica:
Figura y ejemplo extraídos y adaptados de
Thomas, G., Cálculo una Variable, 12da
edición, Pearson Education, 2010. Pag. 60

20. Ejemplo 5: demostrar que lim
𝑥→1
𝑥2
+ 5𝑥 − 9 = − 3 e interpretar gráficamente.
Solución: aplicamos la definición formal de límite.
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
En este caso, establecemos 𝑐 = 1, 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 − 9 y 𝐿 = 3.
∀𝜀 > 0 ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 → 𝑥2
+ 5𝑥 − 9 − −3 < 𝜀
Para determinar el valor de 𝛿, es necesario primero trabajar con la Tesis para encontrar una expresión que pueda
compararse con la hipótesis. De este modo:
𝑥2
+ 5𝑥 − 6 < 𝜀 factorizamos y aplicamos propiedad de valor absoluto: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
𝒙 − 𝟏 𝑥 + 6 < 𝜀 (𝟏)
Se puede observar que el factor en color azul está acotado por hipótesis 𝑥 − 1 < 𝛿. Por ello, a partir de este
acotamiento se trabajará algebraicamente para acotar el factor 𝑥 + 6 :
𝑥 − 1 < 𝛿
−𝛿 < 𝑥 − 1 < 𝛿 sumamos 7 a los tres miembros de la desigualdad
−𝛿 + 𝟕 < 𝑥 − 1 + 𝟕 < 𝛿 + 𝟕
−𝛿 + 7 < 𝑥 + 6 < 𝛿 + 7 para poder plantear “hacia atrás” la definición de valor absoluto se plantea
y se sabe que −𝛿 − 7 < −𝛿 + 7, por lo cual:
−𝛿 − 7 < −𝛿 + 7 < 𝑥 + 6 < 𝛿 + 7
𝒙 + 𝟔 < 𝜹 + 𝟕 (𝟐)
Hipótesis Tesis
Comprobación de la definición formal

21. Comprobación de la definición formal
Comparamos la hipótesis y la expresión (2) con (1):
𝑥 − 1 𝒙 + 𝟔 < 𝛿 𝛿 + 7 = 𝜀
𝛿2
+ 7𝛿 = 𝜀 para despejar 𝛿(𝜀) se deben completar cuadrados para formar un trinomio cuadrado
𝛿2
+ 7𝛿 +
49
4
−
49
4
= 𝜀
𝛿 +
7
2
2
= 𝜀 +
49
4
𝜹 = 𝜺 +
𝟒𝟗
𝟒
−
𝟕
𝟐
El valor de 𝛿 = 𝜀 +
49
4
−
7
2
no es el único que hará que 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 implique
𝑥2
+ 5𝑥 − 6 < 𝜀. Cualquier valor positivo más pequeño para 𝛿 también funcionará.
Ejemplo 5 (continuación): demostrar que lim
𝑥→1
𝑥2
+ 5𝑥 − 9 = − 3 e interpretar gráficamente.

22. Comprobación de la definición formal
Ejemplo 5 (continuación): demostrar que lim
𝑥→1
𝑥2
+ 5𝑥 − 9 = − 3 e interpretar gráficamente.
Para hacer una interpretación gráfica, se toma
arbitrariamente un épsilon, en este caso tomamos
como ejemplo: 𝜀 = 0,8 con lo cual 𝛿 ≅ 0,1125
𝑐 − 𝛿 = 1 − 0,1125 = 0,8875
𝑐 + 𝛿 = 1 + 0,1125 = 1,1125
𝑓 𝑐 − 𝛿 = 𝑓 0,8875 ≅ −3,775 ≅ 𝐿 − 𝜀 = −3,8
𝑓 𝑐 + 𝛿 = 𝑓 1,1125 ≅ −2,1998 ≅ 𝐿 + 𝜀 = −2,2
Elaboración propia.

23. Uso de la definición para demostrar teoremas
Pocas veces empleamos la definición formal de límite para verificar límites específicos, la definición
formal de límite usualmente sirve para hacer demostraciones como vamos a ver en los siguientes
casos.
Demuestre por definición que: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒙 = 𝒄
Desarrollo: aplicamos la definición formal de límite.
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
En este caso, 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝐿 = 𝑐, por lo cual se tiene que:
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑥 − 𝑐 < 𝜀
Por hipótesis se tiene que 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 y por tesis 𝑥 − 𝑐 < 𝜀, de la comparación surge que 𝜀 = 𝛿.
Esto indica que la definición se cumplirá y la implicación será verdadera cuando se tome un 𝛿 menor
o igual que 𝜀.
Figura extraída de Larson & Edwards. Cálculo I,
Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 59.

24. Uso de la definición para demostrar teoremas
Demuestre por definición que: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒌 = 𝒌 , siendo 𝒌 una constante
Desarrollo: aplicamos la definición formal de límite.
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
En este caso, 𝑓(𝑥) = 𝑘 y 𝐿 = 𝑘, por lo cual se tiene que:
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > Τ
0 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑘 − 𝑘 < 𝜀
0 < 𝜀
Como 𝑘 − 𝑘 = 0 utilizamos cualquier número positivo para 𝛿 y la implicación se cumplirá. Esto
indica que la definición se cumplirá y la implicación será verdadera cualquiera sea el 𝛿 que se tome.
Figura extraída y adaptada de Thomas, G.,
Cálculo una Variable, 12da edición, Pearson
Education, 2010. Pag. 60