El documento presenta el capítulo 1 sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de manera intuitiva a través de ejemplos y luego formalmente mediante una definición precisa. Explica cómo calcular límites y demostrarlos formalmente usando la definición. El objetivo es definir límites, realizar demostraciones formales de ellos, describirlos gráficamente y calcularlos.

1. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
1
1
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
1.2 LÍMITES LATERALES
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.4 CÁLCULO DE LÍMITES
1.5 LÍMITES AL INFINITO
1.6 LÍMITES INFINITOS
1.7 OTROS LÍMITES
OBJETIVOS:
• Definir Límites.
• Realizar demostraciones formales de límites.
• Describir gráficamente los límites.
• Calcular límites.

2. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
2
2 1
1.90 4.80
1.95 4.90
1.99 4.98
2.01 5.02
2.05 5.10
2.10 5.20
x y x
= +
" "
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante
que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral
Definida, están basados en límites.
Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e
interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función f con regla de correspondencia 1
2
)
( +
= x
x
f en
la cercanía de 2
=
x .
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
( ) 5
1
2
lím
2
=
+
→
x
x
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:
Fig. 1.1

3. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
3
2
5 6
1
0.90 6.90
0.95 6.95
0.99 6.99
1.01 7.01
1.05 7.05
1.10 7.10
x x
x y
x
+ −
=
−
" "
Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
1
6
5
)
(
2
−
−
+
=
x
x
x
x
f , en la cercanía de 1
=
x .
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 7
1
6
5
lím
2
1
=
−
−
+
→ x
x
x
x
.
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por otro lado, la regla de correspondencia
1
6
5
)
(
2
−
−
+
=
x
x
x
x
f es equivalente a
1
;
6
)
( ≠
+
= x
x
x
f (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
Fig. 1.2

4. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
4
Una función f tiene límite L en un punto
0
x , si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable x se aproxima a
tomar el valor 0
x . Esto se denota como:
0
lím ( )
x x
f x L
→
=
Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que
2
lím2 1 5
x
x
→
+ = o que
2
1
5 6
lím 7
1
x
x x
x
→
+ −
=
−
. Para esto, debemos garantizar formalmente el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores
no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo
cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo
para estos dos ejemplos, sino para cualquier función.
Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente:
PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un
punto 0
x (que x está en torno a 0
x ), bastará con considerarla perteneciente a
un intervalo o vecindad, centrado en 0
x , de semiamplitud muy pequeña, la
cual denotaremos con la letra griega ∂ (delta). Es decir:
0 0
x x x
− ∂ < < +∂
Transformando la expresión anterior tenemos:
δ
<
−
δ
<
−
<
δ
−
−
∂
+
<
−
<
−
∂
−
∂
+
<
<
∂
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Restando " 0
x "
Empleando la definición
de valor absoluto

5. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
5
Y, para que x no sea 0
x , bastará con proponer que 0
0 x x
< − < ∂ ¿POR
QUÉ?.
SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos
expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de
semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε
(épsilon). Es decir:
( )
L f x L
ε ε
− < < +
Transformando la expresión anterior tenemos:
ε
ε
ε
ε
ε
<
−
+
<
−
<
−
+
<
<
−
L
x
f
L
x
f
L
x
f
L
)
(
)
(
)
(
Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un
punto, de la siguiente manera:
Sea f una función de variable real y sean ε y ∂
cantidades positivas muy pequeñas.
Suponga que f se aproxima a L cuando x se
aproxima a 0
x , denotado como
0
lím ( )
x x
f x L
→
= , esto
significa que para toda proximidad que se desee
estar con f en torno a L, deberá poderse
definir un intervalo en torno a 0
x en el cual
tomar x, sin que necesariamente 0
x x
= , que nos
garantice el acercamiento.
Es decir:
( )
0
0
lím ( ) 0, 0 0 ( )
x x
f x L tal que x x f x L
ε δ δ ε
→
= ≡ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
La definición indica que para asegurar que una función tiene límite
deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε .
Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:
Restando " L "
Aplicando la definición de valor absoluto

6. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
6
Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales.
Ejemplo 1
Demostrar formalmente que ( ) 5
1
2
lím
2
=
+
→
x
x
.
SOLUCIÓN:
Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se
trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número
cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2
la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en
2 1
x + con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos
fijemos.
Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con 1
2 +
= x
y , tanto como nos propusiéramos estar
(para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual
tomar x que garantice aquello, es decir:
( ) ε
δ
δ
ε <
−
+
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ 5
1
2
2
0
0
,
0 x
x
que
tal
En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente.
Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:
( )
( )
( )
0 2 0 2 2 2
0 2 2 2
0 2 2 2
0 2 4 2
0 2 4 5 5 2
0 2 1 5 2
x x
x
x
x
x
x
δ δ
δ
δ
δ
δ
δ
< − < ⇒ < − <
⇒ < − <
⇒ < − <
⇒ < − <
⇒ < − + − <
⇒ < + − <
Ahora, podemos decir que
2
ε
δ = sirve (puede ser un valor menor); es decir, que si tomamos
2
2
2
2 ε
ε +
<
<
− x nos permite asegurar lo propuesto.
Suponga que 1
.
0
=
ε ; es decir, si quisiéramos que 1
2 +
= x
y esté a menos de 0.1 de 5, será posible si
tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de 05
.
0
2
1
.
0
=
=
δ . Es decir para que f
esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05.
Multiplicamos por 2 (porque en el
consecuente aparece 2x )
Propiedades del valor absoluto
Sumamos y restamos 5 (debido a que
aparece -5 en el consecuente)
Agrupamos
Fig. 1.3

7. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
7
No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se
quiera estar. Veamos, más cerca 01
.
0
=
ε , bastará con tomar a la x a no menos de 005
.
0
2
01
.
0
=
=
δ
de 2. Es decir que si tomamos 005
.
2
995
.
1 <
< x garantiza que 01
.
5
)
(
99
.
4 <
< x
f .
Ejemplo 2
Demostrar formalmente que
2
1
5 6
lím 7
1
x
x x
x
→
+ −
=
−
.
SOLUCIÓN:
Debemos asegurar que
1
6
5
2
−
−
+
=
x
x
x
y se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté
próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con
1
6
5
2
−
−
+
=
x
x
x
y , tanto como nos
propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo
(existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:
ε
δ
δ
ε <
−
−
−
+
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ 7
1
6
5
1
0
0
,
0
2
x
x
x
x
que
tal
Ahora transformamos el antecedente:
( )
( )
( )( )
2
0 1 0 1 7 7
0 6 7
6 1
7
1
5 6
7
1
x x
x
x x
x
x x
x
δ δ
δ
< − < ⇒ < − + − <
⇒ < + − <
+ −
⇒ − < ∂
−
+ −
⇒ − < ∂
−
Con ε
δ = , aseguramos lo propuesto; es decir, tomando ε
ε +
<
<
− 1
1 x .
Ejemplo 3
Demostrar formalmente que 2
2
lím 4
x
x
→
= .
SOLUCION:
Debemos garantizar que ε
δ
δ
ε <
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ 4
2
0
0
,
0 2
x
x
que
tal
Entonces:
( )
( )( )
2
0 2 0 2 2 2
0 2 2 2
0 4 2
x x x x
x x x
x x
δ δ
δ
δ
< − < ⇒ < − + < +
⇒ < − + < +
⇒ < − < +
Ahora acotemos 2
x + . Exijamonos 1
∂ ≤ , esto quiere decir que la x estaría a una distancia no mayor
de 1, en torno a 2, es decir 1 3
x
≤ ≤ , lo cual implica que:
2 2 5 2 5
x x
≤ + ≤ ⇒ + ≤
El último resultado implica que:
2 5
x
∂ + ≤ ∂
Sumamos y restamos 7 (debido a que
aparece -7 en el consecuente)
Agrupamos ( )
6
x + y la
dividimos y multiplicamos por ( )
1
x −
(debido a que el primer término del consecuente
aparece dividido por ( )
1
x − )
Multiplicamos por 2
x + (debido a que
el consecuente tiene una diferencia de
cuadrados perfectos)
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto

8. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
8
Continuando con la demostración:
2 2
4 2 5 4 5
δ
− < + ≤ ∂ ⇒ − < ∂
x x x
Por tanto,
5
ε
δ = sirve; es decir, al considerar 2 2
5 5
x
ε ε
− < < + aseguramos lo que se quiere
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir min 1,
5
ε
δ
⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
(el menor entre
1 y
5
ε
).
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que 2
3
lím 9
x
x
→−
= .
SOLUCION:
Debemos garantizar que 2
0, 0 0 3 9
tal que x x
ε δ δ ε
∀ > ∃ > < + < ⇒ − <
Por lo tanto:
( )
( )( )
2
0 3 0 3 3 3
0 3 3 3
0 9 3
x x x x
x x x
x x
δ δ
δ
δ
< + < ⇒ < + − < −
⇒ < + − < −
⇒ < − < −
Acotamos 3
−
x . Si nos proponemos un 1
∂ ≤ , entonces 4 2
− ≤ ≤ −
x , lo cual implica que:
4 3 3 2 3 7 3 5
3 7
3 7
x x
x
x
− − ≤ − ≤ − − ⇒ − ≤ − ≤ −
⇒ − ≤
⇒ ∂ − ≤ ∂
Entonces:
2 2
9 3 7 9 7
x x x
δ
− < − ≤ ∂ ⇒ − < ∂
Por tanto,
7
ε
δ = sirve; es decir tomar 3 3
7 7
x
ε ε
− − < < − + asegura lo que se quiere demostrar,
siempre y cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir min 1,
7
ε
δ
⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
.
Ejemplo 5
Demostrar formalmente que 2
lím
4
=
→
x
x
.
SOLUCION:
Debemos garantizar que ε
δ
δ
ε <
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ 2
4
0
0
,
0 x
x
que
tal
entonces:
( ) ( )( )
( )
0 4 0 2 2
0 2 2
1
0 2
2
δ δ
δ
δ
< − < ⇒ < − + <
⇒ < − + <
⇒ < − <
+
x x x
x x
x
x
Factorizamos 4
−
x para
diferencia de cuadrados
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto
Despejamos
Multiplicamos por 3
x − (debido a que el consecuente
tiene una diferencia de cuadrados perfectos)
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto

9. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
9
Acotamos
1
2
+
x
. Igual a los casos anteriores, consideramos 1
∂ ≤ ; es decir debemos tomar a x a
una distancia no mayor de 1 entorno a 4, entonces 3 5
≤ ≤
x , esto implica que:
3 5 3 2 2 5 2
1 1 1
3 2 2 5 2
1 1
3 2
2
3 2
2
x x
x
x
x
≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +
⇒ ≥ ≥
+ + +
⇒ ≤
+
+
∂ ∂
⇒ ≤
+
+
Entonces:
1
2 2
3 2 3 2
2
δ
∂ ∂
− < ≤ ⇒ − <
+ +
+
x x
x
Por lo tanto, ( )
2
3 +
= ε
δ ; es decir, si tomamos ( ) ( )
2
3
4
2
3
4 +
+
<
<
+
− ε
ε x aseguramos lo
que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir
( )
{ }
min 1, 3 2
δ ε
= +
Ejemplo 6
Demostrar formalmente que 3
27
lím 3
x
x
→
= .
SOLUCION:
Debemos garantizar que 3
0, 0 0 27 3
tal que x x
ε δ δ ε
∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3 3 3 3 3
2
3 3 3
3
2
3 3
0 27 0 27 27 27
0 3 3 9
0 3
3 9
x x x x
x x x
x
x x
δ δ
δ
δ
⎛ ⎞
< − < ⇒ < − + + <
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⇒ < − + + <
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ < − <
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ahora bien, acotamos
( )
2
3 3
1
3 9
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x x
. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1 ( )
1
∂ ≤ ,
en torno a 27, entonces 26 28
x
≤ ≤ , esto implica que:
Factorizamos ( )
27
x −
para diferencia de cubos
Propiedad del valor absoluto
Despejamos
Primero sacamos raíz cúbica,
luego multiplicamos por 3 y
finalmente sumamos 9

10. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2
2
3 3
3 3
2
2
3 3
3 3
3 26 9 3 9 3 28 9
26 28
26 28
26 3 26 9 3 9 28 3 28 9
1 1 1
26 3 26 9 3 9 28 3 28 9
1 1
26 3 26 9
3 9
26 3 26 9
3 9
⎧ + ≤ + ≤ +
⎪
≤ ≤ ⇒ ⎨
≤ ≤
⎪
⎩
⇒ + + ≤ + + ≤ + +
⇒ ≥ ≥
+ + + + + +
⇒ ≤
+ +
+ +
∂ ∂
⇒ ≤
+ +
+ +
x
x
x
x x
x x
x x
x x
Entonces:
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
2
3 3 3 3
3 3
3 3
26 3 26 9 26 3 26 9
3 9
δ ∂ ∂
− < ≤ ⇒ − <
⎛ ⎞ + + + +
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x x
x x
Por lo tanto, ( )
2
3 3
26 3 26 9
δ ε ⎛ ⎞
= + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
; es decir, si tomamos
( ) ( )
2 2
3 3 3 3
27 26 3 26 9 27 26 3 26 9
ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + < < + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x aseguramos lo propuesto siempre y
cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir ( )
{ }
2
3 3
min 1, 26 3 26 9
δ ε
⎛ ⎞
= + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 7
Demostrar formalmente que
1
1 1
lím
1 2
x
x
x
→
−
=
−
.
SOLUCION:
Debemos garantizar que
1 1
0, 0 0 1
1 2
x
tal que x
x
ε δ δ ε
−
∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
−
La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es
mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego
transformar el antecedente.
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 2
1 1
2
1 1
1 1
2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
ε
ε
ε
ε
ε
−
− <
−
−
− <
− +
− <
+
− +
<
+
− −
<
+
Factorizamos el denominador
( )
1
x − para diferencia de cuadrados
Simplificamos ( )
1
x −
Restamos
Propiedad distributiva
Por otro lado sacamos raíz
cúbica y elevamos al cuadrado

11. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
11
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
2 1
1 1
2 1 1
1
2 1
1
2 1
1 2 1
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x
ε
ε
ε
ε
ε
−
<
+
− +
<
+ +
−
<
+
−
<
+
⎡ ⎤
− < +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
0 1 0 1
0 1 1
0 1
1
1
0
2 1 2 1 1
1
0
2 1 2 1
2 1
0
2 1 2 1
2 1
0
2 1 2 1
1
2
0
2 1 2 1 2 1
1 1
0
2
1 2 1
1 1
0
2
1 1 2 1
1 1
0
1 2 2 1
x x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x
x x x
x
x x
δ δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
< − < ⇒ < − <
⇒ < − + <
⇒ < − <
+
−
⇒ < <
+ + +
−
⇒ < <
+ +
− −
⇒ < <
+ +
− +
⇒ < <
+ +
+
⇒ < − <
+ + +
⇒ < − <
+ +
−
⇒ < − <
+ − +
−
⇒ < − <
− +
Acotamos
( )
2
1
2 1+ x
. Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1,
entonces 0 2
x
≤ ≤ , esto implica que:
Factorizamos para diferencia de
cuadrados
Propiedad del valor absoluto
Despejamos
Dividimos todos los términos
entre ( )
2 1 x
+
Transformamos el 1 en (2 – 1)
Agrupamos
Separamos en dos términos
Simplificamos
Multiplicamos por la
conjugada el primer término
Resolvemos la resta del 2 con el 1
Multiplicamos y dividimos por ( )
1 x
+
Producto notable
Aplicamos la propiedad del cociente
del valor absoluto
Despejamos

12. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
0 2 1 1 2 1
1 1 2 1
2 2 1 2 2 1
1 1 1
2 2 1 2 2 1
1 1
2
2 1
2
2 1
≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ +
⇒ ≤ + ≤ +
⇒ ≤ + ≤ +
⇒ ≥ ≥
+ +
⇒ ≤
+
∂ ∂
⇒ ≤
+
x x
x
x
x
x
x
Entonces:
( )
( )
( )
2
1 1
1 1
1 2 2 1 2 2
2 1
δ
− −
∂ ∂
− < ≤ ⇒ − <
− −
+
x x
x x
x
Por lo tanto, 2
δ ε
= sirve; es decir, si tomamos 1 2 1 2
x
ε ε
− < < + aseguramos lo propuesto, siempre y
cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir { }
min 1, 2
δ ε
=
Ejemplo 8
Demostrar formalmente que
4
4
lím 4
2
x
x
x
→
−
=
−
.
SOLUCION:
Debemos garantizar que
4
0, 0 0 4 4
2
x
tal que x
x
ε δ δ ε
−
∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
−
Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente:
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
4
4
2
2 2
4
2
2 4
2
2 2
2
4
2
4
2
4 2
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x x
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
−
− <
−
− +
− <
−
+ − <
− <
− +
<
+
−
<
+
−
<
+
− < +
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
Factorizamos el numerador ( )
4
x −
para diferencia de cuadrados
Simplificamos ( )
2
x −
Restamos
Multiplicamos y dividimos por ( )
2
x +
Realizamos el Producto Notable
Aplicamos la propiedad del cociente del
valor absoluto
Despejamos

13. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
13
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
4
0 4 0
2 2
2 2
0
2
2
0 2
2
0 2 4 4
2
0 2 4
2
2 2
0 4
2
2
4
0 4
2
2
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
< − < ⇒ < <
+ +
− +
⇒ < <
+
+
⇒ < − <
+
⇒ < − + − <
+
⇒ < + − <
+
+ −
⇒ < − <
+
−
−
⇒ < − <
+
−
Acotamos
1
2
+
x
. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 5
≤ ≤
x ,
esto implica que:
3 5 3 2 2 5 2
1 1 1
3 2 2 5 2
1 1
3 2
2
3 2
2
≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +
⇒ ≥ ≥
+ + +
⇒ ≤
+
+
∂ ∂
⇒ ≤
+
+
x x
x
x
x
Entonces:
( ) ( )
4 4
4 4
3 2 3 2
2
2 2
δ
− ∂ − ∂
− < ≤ ⇒ − <
+ +
+
− −
x x
x
x x
Por lo tanto, ( )
3 2
δ ε
= + sirve; es decir, si tomamos ( ) ( )
4 3 2 4 3 2
x
ε ε
− + < < + +
aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir
( )
{ }
min 1, 3 2
δ ε
= +
Factorizamos ( )
4
x − para diferencia de
cuadrados
Dividimos todos los términos entre ( )
2
x +
Simplificamos ( )
2
x +
Sumamos y restamos 4
Agrupamos
Multiplicamos y dividimos ( )
2
x −
Realizamos el Producto Notable

14. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
14
Ejemplo 9
Demostrar formalmente que
2
1 1
lím
2
x x
→
= .
SOLUCION:
Debemos garantizar que
1 1
0, 0 0 2
2
tal que x
x
ε δ δ ε
∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
Analicemos el consecuente:
2 2
1 1 2
2 2 2 2
x x
x
x x x x
− −
−
− = = =
Ahora trabajando con el antecedente:
( )
2
0 2 0
2 2
1 1
0
2 2
1 1
0
2 2
δ
δ
δ
δ
−
< − < ⇒ < <
⇒ < − <
⇒ < − <
x
x
x x
x x
x x
Acotamos
1
2x
. Considerando 1
∂ ≤ ; tenemos 1 3
≤ ≤
x , esto implica que:
1 1 1
2 2 6
2 2 6
1 1
2 2
2 2
x
x
x
x
≤ ≤ ⇒ ≥ ≥
⇒ ≤
∂ ∂
⇒ ≤
Entonces:
1 1 1 1
2 2 2 2 2
δ ∂ ∂
− < ≤ ⇒ − <
x x x
Por lo tanto, 2
δ ε
= sirve; es decir, si tomamos 2 2 2 2
x
ε ε
− < < + aseguramos lo que se quiere
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1
∂ ≤ , es decir { }
min 1, 2
δ ε
=
Veamos ahora como proceder si en el ejemplo anterior tenemos a x cerca
de 0.
Ejemplo 10
Demostrar formalmente que
1
1
lím 1
x x
→
= .
SOLUCION:
Debemos garantizar que
1
0, 0 0 1 1
tal que x
x
ε δ δ ε
∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
Analicemos el consecuente:
Dividimos para 2x

15. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
15
1 1
1 1
1
x x
x
x x x x
− −
−
− = = =
Ahora trabajando con el antecedente:
( )
1
0 1 0
1
0 1
1
0 1
δ
δ
δ
δ
−
< − < ⇒ < <
⇒ < − <
⇒ < − <
x
x
x x
x x
x x
Acotamos
1
x
. Aquí si tomamos 1
∂ ≤ tenemos problemas porque 0 2
≤ ≤
x y x no puede ser 0;
elijamos mejor
1
2
∂ ≤ (puede ser otro valor), ahora
1 3
2 2
≤ ≤
x , lo cual implica que:
1 2 1
2 2 2
3
x x x
∂
≥ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ∂
Entonces:
1 1
1 2 1 2
δ
− < ≤ ∂ ⇒ − < ∂
x x x
Por lo tanto,
2
ε
δ = sirve; es decir, si tomamos 1 1
2 2
x
ε ε
− < < + aseguramos lo que se quiere
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que
1
2
∂ ≤ , es decir
1
min ,
2 2
ε
δ
⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa
que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la
función.
Ejercicios Propuestos 1.1
1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límite:
a)
2
3
9
lím 6
3
x
x
x
→
−
=
−
b) ( )
2
lím 2 5 1
x
x
→
− = −
c)
2
6
5 6
lím 7
6
x
x x
x
→−
+ −
= −
+
d) 5
1
3
2
3
2
lím
2
2
3
1
=
−
−
−
+
→ x
x
x
x
x
e) 2
2
lím
2
=
→
x
x
f)
1
1
lím 2
1
x
x
x
→
−
=
−
g)
3
8
lím 2
x
x
→
=
h)
3 3
lím
x a
x a
→
=
Dividimos para x

16. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
16
2. Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función:
a)
2
1
3
9 1
lím 2 , 0.01
3 1
x
x
x
ε
→
−
= =
−
b)
4 4
2 8
2 2
lím 2 , 10
x a
x a
a
x a
ε −
→
−
= =
−
c)
0
lím 2, 0.08
1 1
x
x
x
ε
→
= =
+ −
3. Sea ℜ
→
ℜ+
:
f tal que x
x
f =
)
( encuentre un valor de “ ∂ ” para que 01
.
3
)
(
99
.
2 <
< x
f
siempre que ∂
<
−
< 9
0 x
4. Sea 3
)
( x
x
f = . Empleando la definición de límite, establezca un intervalo en el cual tomar " x " para
que )
(x
f esté a menos de 0.1 de 1
1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE.
Sea f una función de una variable real.
Si f tiene límite en 0
x
x = , entonces este
es único. Es decir, si L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
y
M
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
entonces M
L = .
Demostración:
Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos
hipótesis:
:
1
H L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
≡ 1
1
0
1
1 )
(
0
0
,
0 ε
δ
δ
ε <
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ L
x
f
x
x
que
tal
:
2
H M
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
≡ 2
2
0
2
2 )
(
0
0
,
0 ε
δ
δ
ε <
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀ M
x
f
x
x
que
tal
Como se dice para todo 1
ε y para todo 2
ε entonces supongamos que ε
ε
ε =
= 2
1 .
Tomemos { }
2
1,∂
∂
=
∂ min para estar con x , en la vecindad de 0
x .
Simultáneamente tenemos:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
−
<
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀
ε
ε
δ
δ
ε
M
x
f
L
x
f
x
x
talque
)
(
)
(
0
0
,
0 0
lo cual quiere decir también que:
ε
δ
δ
ε 2
)
(
)
(
0
0
,
0
)
(
0 <
−
+
−
⇒
<
−
<
>
∃
>
∀
−
x
f
M
M
x
f
L
x
f
x
x
talque
Por la desigualdad triangular b
a
b
a +
≤
+ , tenemos:
b
a
b
a
x
f
M
L
x
f
x
f
M
L
x
f )
(
)
(
)
(
)
( −
+
−
≤
−
+
−
entonces como ε
2
)
(
)
(
−
+
−
≤
− x
f
M
L
x
f
L
M podemos decir que ε
2
− L
M
Ahora bien, suponiendo que L
M −
=
2
1
ε se produce una contradicción porque tendríamos
( )
L
M
L
M −
− 2
1
2 lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que M
L = . L.Q.Q.D

17. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
17
Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto)
Sea ( )
x
sen
x
f 1
)
( =
Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0”
( )
1
0
1
1
0
1
2
1
3
2
3
2
1
2
1
π
π
π
π
π
π
−
−
−
−
−
=
7
7
x
sen
y
x
Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores
son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero.
Veamos su gráfica.
1.2 LÍMITES LATERALES
Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento
y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre
frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en
intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar
formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto
por una sola dirección.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
x
sen
y
1
Fig. 1.4

18. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
18
1.2.1 LÍMITE POR DERECHA
Cuando x se aproxima a tomar el valor de 0
x ,
pero sólo por su derecha ( )
∂
+
0
0
x
x
x , f se
aproxima a tomar el valor de 1
L ; significa que f
puede estar tan cerca de 1
L , tanto como se
pretenda ( ε
∀ ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el
cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:
0
1 0 1
lím ( ) 0, 0 ( )
x x
f x L tal que x x f x L
ε ε
+
→
⎛ ⎞
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 1
Una función creciente en ( )
∞
,
0
x
Ejemplo 2
Una función decreciente en ( )
∞
,
0
x
Fig. 1.5

19. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
19
1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA.
Cuando x se aproxima a tomar el valor de
0
x , pero sólo por su izquierda
( )
0 0
x x x
− ∂ , f se aproxima a tomar el
valor de 2
L ; significa que f puede estar
tan cerca de 2
L , tanto como se pretenda
( ε
∀ ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo
en el cual tomar x que nos garantice
aquello. Es decir:
0
2 0 2
lím ( ) 0, 0 ( )
x x
f x L tal que x x f x L
ε ε
−
→
⎛ ⎞
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 1
Una función decreciente en ( )
0
,x
−∞
Ejemplo 2
Una función creciente en ( )
0
,x
−∞
Fig. 1.6
Fig. 1.7

20. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
20
Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de
límite en un punto que fue dada al comienzo.
De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge
el siguiente teorema.
1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Si f es una función con límite en 0
x
entonces se cumple que tanto por
izquierda como por derecha f tiende al
tomar el mismo valor. Es decir:
( ) L
x
f
L
x
f
L
x
f
x
x
x
x
x
x
=
∧
=
≡
= −
+
→
→
→
)
(
lím
)
(
lím
)
(
lím
0
0
0
Si se da que )
(
lím
)
(
lím
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x −
+
→
→
≠ , se dice que )
(
lím
0
x
f
x
x→
no existe.
Ejemplo 1
Sea
2
2
)
(
−
−
=
x
x
x
f . Hallar )
(
lím
2
x
f
x→
:
SOLUCIÓN:
Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:
( ) ⎩
⎨
⎧
−
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
=
−
−
=
2
;
1
2
;
1
2
;
2
2
2
;
2
2
2
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Esto quiere decir que su gráfica es:
De la gráfica observamos que 1
)
(
lím
2
=
+
→
x
f
x
y 1
)
(
lím
2
−
=
−
→
x
f
x
; entonces se concluye que
existe
no
x
f
x
)
(
lím
2
→
.
Fig. 1.8

21. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
21
Ejemplo 2
Demostrar formalmente que ( ) 6
lím
3
=
→
x
f
x
si ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
3
,
3
3
3
,
4
3
,
2
x
x
x
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la
izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que ( ) 6
lím
3
=
+
→
x
f
x
y que ( ) 6
lím
3
=
−
→
x
f
x
.
PRIMERO, ( )
3
lím 2 6 0, 0 0 3 2 6
x
x tal que x x
ε ε
+
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Ahora trabajando el antecedente:
( ) ( )
0 3 0 2 3 2
0 2 6 2
0 2 6 2
− ∂ ⇒ − ∂
⇒ − ∂
⇒ − ∂
x x
x
x
Si
2
ε
∂ = ; es decir, tomando
2
3
3
ε
+
x garantizamos la afirmación que
3
2 6
+
→
=
x
lím x .
SEGUNDO,
( )
( ) ( )
3
lím 3 3 6 0, 0 0 3 3 3 6
x
x tal que x x
ε ε
−
→
− = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − −
Ahora trabajando el antecedente:
( ) ( )
( )
( )
( )
0 3 0 3 3 3
0 9 3 3
0 6 3 3 3
0 3 3 6 3
0 3 3 6 3
0 3 3 6 3
− ∂ ⇒ − ∂
⇒ − ∂
⇒ + − ∂
⇒ − − + ∂
⇒ −⎡ − − ⎤ ∂
⎣ ⎦
⇒ − − ∂
x x
x
x
x
x
x
Si
3
ε
=
∂ ; es decir, tomando 3
3
3
− x
ε
garantizamos que ( )
3
lím 3 3 6
x
x
−
→
− = .
Ejemplo 3
Demostrar formalmente que ( )
x
f
x 2
lím
→
no existe, si ( )
⎩
⎨
⎧
+
≥
−
=
2
,
1
2
,
1
x
x
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la
izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es
decir: ( ) ( )
x
f
x
f
x
x −
→
+
→
≠
2
2
lím
lím .
Note que, ( )
2
lím 1 1
x
x
+
→
− = y que ( )
2
lím 1 3
x
x
−
→
+ =
PRIMERO,
( )
( ) ( )
2
lím 1 1 0, 0 0 2 1 1
x
x tal que x x
ε ε
+
→
− = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − −
Ahora trabajando el antecedente:

22. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
22
( )
( )
( )
0 2 0 1 1
0 1 1
0 1 1
− ∂ ⇒ − − ∂
⇒ − − ∂
⇒ − − ∂
x x
x
x
Si ε
=
∂ ; es decir, tomando ε
+
2
2 x garantizamos que ( )
2
lím 1 1
x
x
+
→
− = .
SEGUNDO,
( )
( ) ( )
2
lím 1 3 0, 0 0 2 1 3
x
x tal que x x
ε ε
−
→
+ = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ + −
Ahora trabajando el antecedente:
( )
( )
( )
( )
0 2 0 3 1
0 3 1
0 1 3
0 1 3
− ∂ ⇒ − − ∂
⇒ − + ∂
⇒ −⎡ + − ⎤ ∂
⎣ ⎦
⇒ + − ∂
x x
x
x
x
Si ε
=
∂ ; es decir, tomando 2
2
− x
ε garantizamos que ( )
2
lím 1 3
x
x
−
→
+ = .
Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando
que ( )
x
f
x 2
lím
→
no existe
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que a b
( )
2
lím 2 2
x
x x
+
→
− =
SOLUCIÓN:
a b
( )
( ) a b
( )
2
lím 2 2 0, 0 0 2 2 2
x
x x tal que x x x
ε ε
+
→
− = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − −
No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir a b 2
x = .
Trabajando el antecedente:
¨
( )
a b
( )
a b
( )
0 2 0 2 4 2
0 2 2 2 2
0 2 2 2
0 2 2 2
− ∂ ⇒ − ∂
⇒ − − ∂
⇒ − − ∂
⇒ − − ∂
x x
x
x x
x x
Si
2
ε
∂ = ; es decir, tomando 2 2
2
x
ε
+ garantizamos que a b
( )
2
lím 2 2
x
x x
+
→
− = .

23. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
23
Ejercicios Propuestos 1.2
1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales:
a. 0
lím
0
=
→
x
x
b. ( ) 3
lím
2
−
=
→
x
f
x
; si ( )
⎩
⎨
⎧
−
≥
−
=
2
,
4
5
2
,
7
2
x
x
x
x
x
f
c. ( ) 3
lím
2
=
→
x
f
x
; si ( )
⎩
⎨
⎧
+
≥
−
=
2
,
1
2
,
1
2
x
x
x
x
x
f
d. a b
( )
2
lím 2 3
x
x x
−
→
− =
e. a b
( )
3
lím 3 6
x
x x
+
→
− =
2. Demostrar formalmente que ( )
x
f
x 1
lím
→
no existe, si ( )
⎩
⎨
⎧
+
≥
−
=
1
,
2
1
,
1
3
x
x
x
x
x
f
3. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique.
a. ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
1
,
3
1
,
1
1
,
2
x
x
x
x
f ; ( )
x
f
x 1
lím
→
b. ( )
2
2
x
f x
x
+
=
+
; ( )
2
lím
x
f x
→−
; ( )
2
lím
x
f x
→
c. ( )
⎩
⎨
⎧
−
≥
−
=
2
,
4
5
2
,
7
2
x
x
x
x
x
f ; ( )
x
f
x 2
lím
→
d. ( ) a b
f x x x
= − ; ( )
x
f
x −
→0
lím , ( )
0
lím
x
f x
+
→
e. ( )
a b
( )
( )
, 1
3 , 1 4
, 4
x x x
f x Sgn x x
x x
μ
⎧ + ≤ −
⎪
= − − ≤
⎨
⎪
⎩
; ( )
1
lím
x
f x
→−
( )
5
2
, lím
x
f x
→−
4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes:
• R
f
Dom =
• f es decreciente en ( ) ( )
2
,
0
3
, ∪
−
−∞
• f es creciente en ( ) ( )
+∞
∪
− ,
2
0
,
3
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
−
∀
∃
∀ 2
)
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
⇒
+
∀
∃
∀ )
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
+
⇒
−
∀
∃
∀ 1
)
(
2
0
,
0
0 x
f
x
x
• ( ) ( ) 0
2
3 =
=
− f
f y 5
)
0
( =
f
5. Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes:
• R
f
Dom =
• f es creciente en ( ) ( )
,0 0,3
−∞ ∪
• f decreciente en ( )
∞
,
3
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 3
)
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
⇒
∀
∃
∀ )
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 5
)
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• ( ) ( ) 0
)
6
(
3
3 =
=
=
− f
f
f y 2
)
0
( =
f

24. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
24
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y g funciones con límite en 0
x ;
es decir, suponga que
0
lím ( )
x x
f x L
→
= y
0
lím ( )
x x
g x M
→
= . Entonces:
1.
0
lím
x x
k k
→
= , k R
∀ ∈
2.
0
0
lím
x x
x x
→
=
3.
0 0
lím ( ) lím ( )
x x x x
kf x k f x kL
→ →
= = , k R
∀ ∈
4. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = +
5. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
− = − = −
6. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x LM
→ → →
= =
7. 0
0
0
lím ( )
( )
lím
( ) lím ( )
x x
x x
x x
f x
f x L
g x g x M
→
→
→
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
;siempre que
0
lím ( ) 0
x x
g x
→
≠
8. [ ]
0 0
lím ( ) lím ( )
n
n n
x x x x
f x f x L
→ →
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, n N
∀ ∈
9.
0 0
lím ( ) lím ( ) n
n
n
x x x x
f x f x L
→ →
= =
siempre que
0
lím ( ) 0
x x
f x
→
≥ cuando n es par.
Demostraciones
1. ( )
0
0
lím 0, 0/ 0
x x
k k x x k k
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
El consecuente de la implicación es verdadero porque ε
0 . Por tanto, la proposición es siempre
verdadera, incluso si el valor de verdad del antecedente es falso.
2. ( )
0
0 0 0
lím 0, 0/ 0
x x
x x x x x x
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Si ε
=
∂ la proposición es verdadera.

25. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
25
3. ( )
0
0
lím ( ) 0, 0/ 0 ( )
x x
kf x kL x x kf x kL
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Observe el consecuente, la expresión ε
− kL
x
kf )
( es equivalente a
( ) ε
− L
x
f
k )
( .
Por hipótesis, en la cercanía de 0
x , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:
0
0, 0/ 0 ( )
x x f x L
ε ε
∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Si tomamos
k
ε
ε = ( )
f x L
k
ε
⇒ −
( )
k f x L ε
⇒ −
( )
kf x kL ε
⇒ −
por tanto kf se aproximará a kL .
4. Debemos demostrar que si
L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
M
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
entonces [ ] M
L
x
g
x
f
x
x
+
=
+
→
)
(
)
(
lím
0
Asegurar que L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
significa que:
1
1
0
1
1 )
(
0
0
,
0 ε
ε
−
⇒
∂
−
∃∂
∀ L
x
f
x
x
que
tal
Y asegurar que M
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
significa que:
2
2
0
2
2 )
(
0
0
,
0 ε
ε
−
⇒
∂
−
∃∂
∀ M
x
g
x
x
que
tal
Tomemos 1 2
2
ε
ε ε
= = , entonces , si trabajamos con { }
1 2
min ,
∂ = ∂ ∂ se cumple que:
0
( )
2
0
( )
2
f x L
x x
g x M
ε
ε
⎧
−
⎪
⎪
− ∂ ⇒ ⎨
⎪ −
⎪
⎩
Sumando término a término la desigualdad resulta:
2
2
)
(
)
(
ε
ε
+
−
+
− M
x
g
L
x
f
Y por la desigualdad triangular ( ) ( ) M
x
g
L
x
f
M
x
g
L
x
f −
+
−
≤
−
+
− )
(
)
(
)
(
)
(
Por lo tanto ( ) ( ) ε
+
−
+ M
L
x
g
x
f )
(
)
(
Finalmente, se observar que:
( ) ( ) ε
ε
+
−
+
⇒
∂
−
∃∂
∀ M
L
x
g
x
f
x
x )
(
)
(
0
/
0
,
0 0
lo que nos asegura que [ ] M
L
x
g
x
f
x
x
+
=
+
→
)
(
)
(
lím
0
5. Debemos demostrar que si
L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
M
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
entonces [ ]
0
lím ( ) ( )
x x
f x g x LM
→
=
Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:
0
1 : lím ( )
x x
H f x L
→
= 1 1 0 1 1
0, 0 0 ( )
tal que x x f x L
ε ε
≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
0
2 : lím ( )
x x
H g x M
→
= 2 2 0 2 2
0, 0 0 ( )
tal que x x g x M
ε ε
≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
En la segunda hipótesis, asumamos que 2 1
ε = , entonces

26. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
26
( )
( )
( ) 1
1 1
1 1
g x M
g x M
M g x M
−
− −
− +
Por la desigualdad triangular:
1 1
M M
+ + ( )
1 1 1
M M M
≡ − + + +
( )
1 1
M M
+ − + − ( )
1 1 1
M M M
≡ − + − +
Como ( ) 1
g x M
+ y 1 1
M M
+ + se concluye que ( ) 1
g x M
+
Como ( )
1
M g x
− y ( )
1 1
M M
− + − se concluye que ( ) ( )
1
M g x
− +
Entonces: ( ) 1
g x M
+ y además ( ) ( )
1
( ) 1
g x f x L M
ε
− +
Bien, se observa que si trabajamos con { }
1 2
min ,
∂ = ∂ ∂
( ) ( )
1
0
2
( ) 1
0
( )
g x f x L M
x x
g x M
ε
ε
⎧ − +
⎪
− ∂ ⇒ ⎨
−
⎪
⎩
Si decidimos que 1
1
M
ε
ε =
+
y 2
L
ε
ε =
Entonces
( )
( )
( )
( ) 1
2 1
( )
2
g x f x L M
M
g x M
L
ε
ε
⎧
− +
⎪ +
⎪
⎨
⎪ −
⎪
⎩
( ) ( )
2
( )
2
g x f x L
L g x M
ε
ε
⎧
−
⎪
⎪
⎨
⎪ −
⎪
⎩
Sumando término a término:
( ) ( ) ( )
g x f x L L g x M ε
− + −
Por la desigualdad triangular:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a
a b a
g x f x L L g x M g x f x L L g x M ε
− + − ≤ − + −
( ) ( ) ( )
( )
f x g x Lg x Lg x LM ε
− + −
( )
( )
f x g x LM ε
−
Hemos concluido que:
( )
0
0, 0 0 ( )
tal que x x f x g x LM
ε ε
∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Es decir: [ ]
0
lím ( ) ( )
x x
f x g x LM
→
= L.Q.Q.D.

27. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
27
El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector.
Observe que el recíproco del teorema anterior es falso.
Ejemplo
Suponga que se tiene
⎩
⎨
⎧
≤
=
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
f y
⎩
⎨
⎧
≥
=
0
;
1
0
;
0
)
(
x
x
x
g
entonces ( )
⎩
⎨
⎧
=
≠
=
+
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
g
f
Observe que:
0
lím ( )
x
f x
→
no existe y que
0
lím ( )
x
g x
→
tampoco existe, sin embargo ( )
0
lím ( ) 1
x
f g x
→
+ =
(existe). Es decir, “ Si ( )
g
f + es una función con límite en un punto, entonces no podemos
asegurar que f y g también tienen límite en ese punto”
El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones.
Ejemplo
Calcular ( )
2
3
lim 2
2
−
+
→
x
x
x
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:
( )
8
2
)
2
(
3
2
)
1
3
,
8
(
2
lim
3
lim
)
5
4
(
2
lim
3
lim
lim
2
3
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
+
=
−
+
→
→
→
→
→
→
y
inciso
x
x
y
inciso
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.
1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sea f una función polinomial o una
función racional, entonces
0
0
lím ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
siempre que 0
( )
f x esté definida y que el
denominador no sea cero para el caso de
una función racional.

28. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
28
De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de
sustitución.
Ejemplo
Calcular ( )
2
3
lim 2
2
−
+
→
x
x
x
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:
( ) 8
2
)
2
(
3
2
2
3
lim 2
2
2
=
−
+
=
−
+
→
x
x
x
Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en
ciertas situaciones.
1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO
Sean f , g y h funciones tales que
( ) ( ) ( )
g x f x h x
≤ ≤ para toda x próxima a
0
x con la posible excepción de 0
x . Si
0
lím ( )
x x
g x L
→
= y
0
lím ( )
x x
h x L
→
= entonces
0
lím ( )
x x
f x L
→
= .
DEMOSTRACIÓN.
Tenemos tres hipótesis:
:
1
H ( )
0
1 1 0 1 1
lím ( ) 0, 0/ 0 ( )
x x
g x L x x g x L
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
:
2
H ( )
0
2 2 0 2 2
lím ( ) 0, 0/ 0 ( )
x x
h x L x x h x L
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
:
3
H )
(
)
(
)
(
0
/
0 3
0
3 x
h
x
f
x
g
x
x ≤
≤
⇒
∂
−
∃∂
Ahora, suponiendo que ε
ε
ε =
= 2
1 y tomando { }
3
2
1 ,
, ∂
∂
∂
=
∂ min , tenemos:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
−
⇒
∂
−
∃∂
∀
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
,
0 0
x
h
x
f
x
g
L
x
h
L
x
g
x
x ε
ε
ε
Que quiere decir que:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
+
−
+
−
⇒
∂
−
∃∂
∀
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
,
0 0
x
h
x
f
x
g
L
x
h
L
L
x
g
L
x
x ε
ε
ε
ε
ε

29. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
29
Lo cual significa que: ε
ε +
≤
≤
− L
x
h
x
f
x
g
L )
(
)
(
)
( ,
Y de manera simplificada se podría decir que: ε
ε +
− L
x
f
L )
(
Por lo tanto ε
ε
−
⇒
∂
−
∃∂
∀ L
x
f
x
x )
(
0
/
0
,
0 0 ,
Que no es otra cosa que L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
L.Q.Q.D.
Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado
Ejemplo 1
Sea 2 2
1 ( ) 1
x f x x
− ≤ ≤ + para toda x próxima a 0, excepto en 0. Hallar )
(
lím
0
x
f
x→
.
SOLUCIÓN:
Llamemos
2
1
)
( x
x
g −
= y
2
( ) 1
h x x
= + . Calculando límites tenemos:
( )
2
0 0
lím ( ) lím 1 1
x x
g x x
→ →
= − = y ( )
2
0 0
lím ( ) lím 1 1
x x
h x x
→ →
= + = .
Y como )
(
)
(
)
( x
h
x
f
x
g ≤
≤ en la vecindad de 0
=
x , por el teorema del emparedado se concluye que:
1
)
(
lím
0
=
→
x
f
x
O más simplemente: ( ) ( )
2 2
0 0 0
lím 1 lím ( ) lím 1
x x x
x f x x
→ → →
− ≤ ≤ +
1
)
(
lím
1
0
≤
≤
→
x
f
x
por lo tanto 1
)
(
lím
0
=
→
x
f
x
Ejemplo 2
Use el teorema del emparedado para demostrar que: 0
1
sen
lím
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→ x
x
x
SOLUCIÓN:
No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que
0
1
lím sen
x x
→
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
no existe.
También hacerlo en término de ε
∂ − , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro
mecanismo.
La función ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
x
x
f
1
sen
)
( es acotada, es decir que 1
1
sen
0 ≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
x
.
Al multiplicar por x tenemos: 1
1
sen
0 x
x
x
x ≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤ ;
luego tomando límite resulta x
x
x
x
x
x 0
0
0
lím
1
sen
lím
0
lím
→
→
→
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤ , que equivale a 0
1
sen
lím
0
0
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
→ x
x
x
y llegamos a lo que queríamos, es decir: 0
1
sen
lím
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→ x
x
x
.

30. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
30
Ejemplo 3
Hallar
x
Senx
x 0
lím
→
SOLUCIÓN:
Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función
x
Senx
x
f =
)
(
Del gráfico tenemos que:
( )
2
)
1
(
tg
1
x
AreaR = ,
( )
2
)
1
( 2
2
x
AR = ,
( )
2
)
(sen
cos
3
x
x
AR =
Observe que 3
2
1 R
R
R A
A
A ≥
≥ , entonces
( ) ( ) ( )
2
sen
cos
2
1
2
)
1
(
tg 2
x
x
x
x
≥
≥
PRIMERO: Si +
→ 0
x . Multiplicando por 2 y dividiendo para x
sen resulta:
( ) ( )
x
x
x
x
x
x
x
sen
2
sen
cos
2
sen
2
2
sen
2
)
1
(
tg
2
≥
≥
x
x
x
x
cos
sen
cos
1
≥
≥
que es lo mismo que
x
x
x
x
cos
1
sen
cos ≤
≤
tomando límite
x
x
x
x
x
x
x cos
1
lím
sen
lím
cos
lím
0
0
0 +
+
+
→
→
→
≤
≤
1
sen
lím
1
0
≤
≤
+
→ x
x
x
entonces 1
sen
lím
0
=
+
→ x
x
x
SEGUNDO: En cambio, si −
→ 0
x . Multiplicando por 2 y dividiendo para x
sen resulta:
x
x
x
x
cos
sen
cos
1
≤
≤ (Se invierte el sentido de la desigualdad porque 0
sen
x
que es lo mismo que:
x
x
x
x
cos
1
sen
cos ≤
≤
tomando límite:
x
x
x
x
x
x
x cos
1
lím
sen
lím
cos
lím
0
0
0 −
−
−
→
→
→
≤
≤
1
sen
lím
1
0
≤
≤
−
→ x
x
x
entonces 1
sen
lím
0
=
−
→ x
x
x
Finalmente
0
sen
lím 1
x
x
x
→
=
Observe la gráfica:
x
sen
x
cos
2
R
x
tg
x
1
1
3
R
1
R
Fig. 1.9

31. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
31
Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.
2. Use el teorema del emparedado para demostrar que:
a. 0
1
lím 2
4
0
=
→ x
Sen
x
x
b. ( ) 0
1
1
sen
1
lím 2
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
→ x
x
x
3. Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser
verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo.
a. ( )
( ) ( )
( )
0 0
lím lím 0
x x x x
f x L f x L
→ →
= ⇒ − =
b. Si ( )
0
lím ( ) ( )
x x
f x g x
→
− existe, entonces también existen
0
lím ( )
x x
f x
→
y
0
lím ( )
x x
g x
→
c. Si ( ) ( )2
4
3
5 x
x
g −
≤
+ , entonces ( ) 5
lím
4
−
=
→
x
g
x
d. Si ( )
0
f x no está definida, entonces el
0
lím ( )
x x
f x
→
no existe
e. Si ( )
0
f x existe, entonces
0
lím ( )
x x
f x
→
existe
f. Suponga que g es una función tal que 0
)
(
lím
0
=
→
x
g
x
. Si f es una función cualquiera,
entonces ( ) 0
)
(
lím
0
=
→
x
fg
x
g. Si )
(
)
( x
g
x
f ≠ para toda x , entonces el
0 0
lím ( ) lím ( )
x x x x
f x g x
→ →
≠
sen x
y
x
=
Fig. 1.10

32. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
32
1.4 CALCULO DE LÍMITES
En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede
bastar.
Ejemplo 1
Calcular a b
( )
1
lím
x
x x
+
→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución:
a b
( )
1
lím 1 1 1 1 0
x
x x
+
+
→
− = − = − =
c f
d g
e h (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)
Ejemplo 2
Calcular a b
( )
1
lím
x
x x
−
→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución
a b
( )
1
lím 1 1 1 0 1
x
x x
−
−
→
− = − = − =
c f
d g
e h (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)
Ejemplo 3
Calcular a b ( )
( )
1
lím 2 1 1
x
x Sgn x
−
→
− + −
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:
a b ( )
( ) a b
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
lím 2 1 1 lím 2 1 lím 1
2(1 ) 1 1 1
1 0
0 1
1
x x x
x Sng x x Sng x
sng
sng
− − −
→ → →
− −
− −
− + − = − + −
= − + −
= +
= −
= −
c f
d g
e h
c f
d g
e h
Ejercicios Propuestos 1.4
Calcular:
1. 4
6
2
lím
4
−
−
+
→
x
x
2.
x
x
x −
−
−
+
→ 3
1
4
lím
3
3. ( )
0
lím 2
x
x Sgnx
+
→
−
4.
a b
3
3
lím
3
x
x
x
+
→
−
−
7.
a b ( )
( )
2
0
tan
lím
x
x Sgn x
x
μ
+
→
+
8. a b
2
lím sen
x
x
π
→
9. ( )
2
2
lím cos
x
x π
π +
→−
+
c f
d g
e h

33. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
33
5.
a b
0
1
lím
1
x
x
x
+
→
−
+
6.
a b
2
2
2
1
lím
1
x
x x
x
+
→
−
−
c f
d g
e h
10. ( ) ( ) ( )
5
lím 5 1 3
x
x x x
μ μ μ
+
→
+ + − − −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de
sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la
forma:
0
0
0
0
0
1
0
∞
∞
∞
∞ − ∞
•∞
∞
Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones
debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos
0
0
,
suponga que sea igual a una constante c, es decir
0
0
c
= entonces 0 0c
=
sería verdadera para todo c. Analice el resto de indeterminaciones.
Ejemplo 1
Calcular
2
1
5 6
lím
1
x
x x
x
→
+ −
−
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución tenemos
( )
2
2
1
1 5 1 6
5 6 0
lím
1 1 1 0
x
x x
x
→
+ −
+ −
= =
− −
una
indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:
( )( )
( )
2
1 1 1
6 1
5 6
lím lím lím 6
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
+ −
+ −
= = +
− −
Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: ( )
1
lím 6 1 6 7
x
x
→
+ = + =

34. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
34
Ejemplo 2
Calcular
2
2
7 10
lím
2
x
x x
x
→
− +
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( )
0
0
2
2
10
2
7
22
=
−
+
−
(Indeterminación)
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
( )( )
( )
2
2 2 2
2 5
7 10
lím lím lím( 5)
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = −
− −
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
2
lím( 5) 2 5 3
→
− = − = −
x
x
Ejemplo 3
Calcular
4
5 14
lím
2
x
x x
x
→
+ −
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0
0
2
4
14
4
5
4
=
−
−
+
(Indeterminación)
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
( )( )
( )
4 4 2
7 2
5 14
lím lím lím 7
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
+ −
+ −
= = +
− −
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
( )
4
lím 7 4 7 9
x
x
→
+ = + =
SEGUNDO METODO:
Podemos hacer un Cambio de Variable: 2
u
x = . Este caso x
u = , y cuando 4
→
x , 2
→
u
Por tanto el límite en la nueva variable sería:
2
2
5 14
lím
2
u
u u
u
→
+ −
−
Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:
( )( )
( )
2
2 2 2
7 2
5 14
lím lím lím 7 9
2 2
u u u
u u
u u
u
u u
→ → →
+ −
+ −
= = + =
− −
Ejemplo 4
Calcular
1
1
lím
1
x
x
x
→
−
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0
0
1
1
1
1
=
−
−
(Indeterminación)
Racionalizando el numerador y simplificando:

35. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
35
( )( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1 1
lím lím lím
1 2
1 1 1 1
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
⎡ ⎤
− + −
• = = =
⎢ ⎥
− + − + +
⎣ ⎦
Ejemplo 5
Calcular 3
1
1
lím
1
x
x
x
→
−
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0
0
1
1
1
1
3
=
−
−
(Indeterminación)
Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:
PRIMER METODO:
Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:
( )
( )
2
3 3
2
3
1 3 3
1
1 1
lím
1 1 1
x
x x
x x
x x x x
→
⎡ ⎤
+ +
− +
⎢ ⎥
• •
⎢ ⎥
− + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
3 3
1
1 1 1 1 1
3
lím
2
1 1 1 1
x
x x x
x x
→
− + + + +
= =
− + +
SEGUNDO METODO:
Cambio de Variable:
6
u
x = . Entonces Si 1
1 →
⇒
→ u
x
Reemplazando tenemos:
6 3
2
3 6
1 1
1 1
lím lím
1
1
u u
u u
u
u
→ →
− −
=
−
−
Y factorizando:
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 3
lím lím
1 1 1 1 1 2
u u
u u u u u
u u u
→ →
− + + + + + +
= = =
− + + +
Ejemplo 6
Calcular
a b
2
2
3 2 2
lím
4
x
x x
x
−
→
− −
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límite consideramos a b
( ) 2
2 2
2
lím 3 2 lím
4
x x
x
x
x
− −
→ →
⎛ − ⎞
− ⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
Entonces, para el primer límite tenemos: a b
( )
2
lím 3 2 3
x
x
−
→
− = ¿Por qué?
Y para el segundo límite, resulta:
( )( )
( )
( )( )
( ) 4
1
2
1
lím
2
2
2
lím
2
2
2
lím
4
2
lím
4
2
lím
2
2
2
2
2
2
2
−
=
+
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Por lo tanto
a b
2
2
3 2 2 1 3
lím (3)
4 4
4
x
x x
x
−
→
− − ⎛ ⎞
= − = −
⎜ ⎟
− ⎝ ⎠

36. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
36
Ejercicios Propuestos 1.5
Calcular:
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
Otros límites se calculan empleando la expresión
0
sen
lím 1
x
x
x
→
= que en forma
generalizada sería:
0
sen
lím 1; ( )
u
u
donde u u x
u
→
= =
Ejemplo 1
Calcular
( )
0
sen
lím
x
kx
x
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( )
( )
sen 0 0
0 0
=
k
(Indeterminación)
Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el
teorema principal de límites:
( )
0 0
1
sen
sen
lím lím (1)
x x
kx
kx
k k k k
kx kx
→ →
= = =
Se podría decir que
( )
0
sen
lím
u
k u
k
u
→
= ; k ∈
1.
3
9
lím
2
3 −
−
→ x
x
x
2.
4
2
lím 2
2 −
−
→ x
x
x
3.
2
8
lím
3
2 −
−
→ x
x
x
4.
2
2
4
9 20
lim
3 4
x
x x
x x
→
− +
− −
5.
2
2
2
3 10
lim
5 14
x
x x
x x
→
− −
+ −
6.
3 2
3 2
1
5 3
lim
2 7 4
x
x x x
x x x
→
+ − +
+ − +
7.
3 2
3 2
2
2 10
lim
2 2 4
x
x x x
x x x
→−
+ − +
+ − −
8.
4
2
lím
4 −
−
→ x
x
x
9.
2
1 1
lim
2
x
x
x
→
− −
−
10.
8
2
lím
3
8 −
−
→ x
x
x
11.
2
1
lím 2
3
1 −
+
−
→ x
x
x
x
12.
( )
1
1
lím
2
1 −
+
+
−
→ x
a
x
a
x
x
13.
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
→ 2
3
3 2
1 1
1
2
x
x
x
lim
x
14. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→ 3
1 1
2
1
3
lím
x
x
x
15.
8
3
7
lím
3
8 −
−
+
→ x
x
x
16.
a b
2
2
3 2 2
lím
4
x
x x
x
+
→
− −
−

37. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
37
Ejemplo 2
Calcular
0
sen3
lím
sen5
x
x
x
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( )
( )
( )
( )
sen 3 0 0
sen 5 0 0
= (Indeterminación)
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y
luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior:
3
0
0 0
0
5
sen3 sen3
lím
sen3 3
lím lím
sen5 sen5
sen5 5
lím
→
→ →
→
= = =
x
x x
x
x x
x x x
x x
x
x x
Ejemplo 3
Calcular 2
0
1 cos
lím
x
x
x
→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
P
1
2
1 cos0 0
0 0
−
= (Indeterminación)
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
( )
2
sen
2
2 2
0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lím lím
1 cos 1 cos
→ →
− + −
⎡ ⎤
• =
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
x
x x
x x x
x x x x
2 2
2 2
0 0 0
2
0
sen 1
lím lím lím
(1 cos ) 1 cos
sen 1 1
lím
2 2
→ → →
→
⎛ ⎞⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x
x
x sen x
x x x x
x
x
Ejemplo 4
Calcular
( )
2
0
1 cos
lím
x
kx
x
→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( ) ( )
2
1 cos 0 1 cos 0 1 1 0
0 0 0 0
− − −
= = =
k
(Indeterminación)
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
sen
2
2 2
0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lím lím
1 cos 1 cos
→ →
⎡ ⎤
− + −
• =
⎢ ⎥
+ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
kx
x x
kx kx kx
x kx x kx
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
0 0 0
2
2
0
sen 1
lím lím lím
(1 cos ) 1 cos
sen 1
lím
2 2
→ → →
→
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
x x x
x
k
kx sen kx
x kx x kx
kx k
x

38. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
38
Se puede decir que
( ) 2
2
0
1 cos
lím
2
u
k u k
u
→
−
=
Ejemplo 5
Calcular
0
1 cos
lím
x
x
x
→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 cos0 0
0 0
−
= (Indeterminación)
Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:
( )
2
0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lím lím
1 cos 1 cos
→ →
− + −
⎡ ⎤
• =
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
x x
x x x
x x x x
P
N
2
0 0 0
0
0
1
1
sen sen sen
lím lím lím
(1 cos ) 1 cos
sen sen0 0
lím 0
1 cos0 2
→ → →
→
= =
+ +
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= = =
⎜ ⎟
⎜ ⎟ +
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
x x x
x
x x x
x x x x
x
x
Se puede decir que
( )
0
1 cos
lím 0
u
k u
u
→
−
=
Ejemplo 6
Calcular
sen sen
lím
x a
x a
x a
→
−
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen sen 0
0
−
=
−
a a
a a
(Indeterminación)
PRIMER MÉTODO:
Cambiando variable a
x
u −
= . Entonces si x a
→ , 0
u → y además a
u
x +
=
Reemplazando y simplificando tenemos:
( ) ( )
( )
( )
( )
sen
0 0
0
0
0 0
0
1
sen sen sen cos cos sen sen
lím lím
sen cos cos sen sen
lím
sen cos cos 1 sen
lím
cos 1 sen
sen cos
lím lím
sen
cos lím sen
u a
u u
u
u
u u
u
u a a u a u a a
u u
u a u a a
u
u a u a
u
u a
u a
u u
u
a a lí
u
+
→ →
→
→
→ →
→
+ − + −
=
+ −
=
+ −
=
−
= +
⎡ ⎤
= +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )
0
0
cos 1
cos (1) (0)
cos
u
u
m
u
a sena
a
→
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= +
=
SEGUNDO MÉTODO:

39. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
39
Empleando la identidad: sen sen 2cos sen
2 2
x a x a
x a
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2cos sen
sen sen 2 2
lím lím
x a x a
x a x a
x a
x a x a
→ →
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
− −
Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema
principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites)
1
2cos sen 2cos sen
2 2 2 2
lím lím lím cos
2
2
2 2
→ → →
+ − + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
− −
x a x a x a
x a x a x a x a
a
x a x a
Ejemplo 7
Calcular
( )
( )
3
2
2
1
1 sen
lím
1
x
x
x
π
→
+
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( )
( )
3
2
2
1 sen 1 1 0
0 0
1 1
π
+ −
= =
−
(Indeterminación)
Haciendo cambio de variable: 1
u x
= − entonces 1
x u
= + y si 1
x → entonces 0
u →
Reemplazando y simplificando:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
3
3
2
2
2 2
1 0
3 3
2 2
2
0
3 3 3 3
2 2 2 2
2
0
3 3
2 2
2
0
3
2
2
0
1 sen 1
1 sen
lím lím
1
1 sen
lím
1 sen cos cos sen
lím
1 sen 0 cos 1
lím
1 cos
lím
π
π
π π
π π π π
π π
π
→ →
→
→
→
→
+ +
+
=
−
+ +
=
+ +
=
+ + −
=
−
=
x u
u
u
u
u
u
x
u
x
u
u
u u
u
u u
u
u
u
El último límite se lo puede calcular directamente con la formula
( ) 2
2
0
1 cos
lím
2
u
k u k
u
→
−
=
P
( ) 2
3
2 2
3 2
9
2 4
2
0
1 cos
9
lím
2 2 8
π
π π
π
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = = =
k
u
u
u
El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico.
Multiplicando por el conjugado y simplificando:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3 3
2 2 2
2 2
3 3
0 0
2 2
2 3
2
2 3
0
2
2
3
2
3
0 0
2
1 cos 1 cos 1 cos
lím lím
1 cos 1 cos
sen
lím
1 cos
sen 1
lím lím
1 cos
π π π
π π
π
π
π
π
→ →
→
→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
⎡ ⎤
+
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u u
u
u u
u u u
u u u u
u
u u
u
u u

40. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
40
Multiplicando y dividiendo por
3
2
π
y obteniendo límite:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3
2 2
3 3
0 0
2 2
2
3
2 2
3
2 3
0 0
2
3
2
1
2
2
sen 1
lím lím
1 cos
sen 1
lím lím
1 cos
3 1
2 2
9
8
π π
π π
π
π
π
π
π
π
→ →
→ →
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
u u
u u
u
u u
u
u
u
Ejemplo 8
Calcular
0
lím
1 cos
x
x
x
−
→ −
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0 0
0
1 cos0
− −
=
−
(Indeterminación)
Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando:
N
N
2
0 0
2
0
2
0
0
0
1
1
1 cos 1 cos
lím lím
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
lím
sen
1 cos
lím
sen
1 cos
lím
sen
1 cos
lím
sen
1 cos0
sen
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
− −
−
−
−
−
→ →
→
→
→
→
+ +
=
− + −
+
=
+
=
+
=
+
=
−
+
=
−
= −

41. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
41
Ejercicios propuestos 1.6
Calcular:
1.
0
sen 2 tan3
lím
x
x x
x
+
→
+
2.
x
x
x
x
cos
2
2
sen
lím
0
−
+
→
3.
( )2
2
3
sen
1
lím
2
π
→ −
+
π
x
x
x
4. ( ) 2
1
lím 1 tan
x
x x
π
→
−
5.
( )
2
tan
lím
2
x
x
x
π
→− +
6.
1
cos
2
lím
1
x
x
x
π
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
7.
3
sen
3
lím
1 2cos
x
x
x
π
π
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
8.
( )
0
cot
2
lím
tan 2
x
x
x
π
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
9.
0
arcsen
lím
x
x
x
→
10.
0
arctan 2
lím
sen3
x
x
x
→
Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el
cálculo de otros límites, es el de ( )x
x
x
f
1
1
)
( +
= cuando x tiende a “0 ”.
Hagamos una tabla de valores:
( )
5937
.
2
10
.
0
65329
.
2
05
.
0
7048
.
2
01
.
0
7319
.
2
01
.
0
7895
.
2
05
.
0
86797
.
2
10
.
0
1
1
7
7
−
−
−
+
= x
x
y
x
Se observa que: ( )
1
0
lím 1 x
x
x e
→
+ = ¡HAY QUE DEMOSTRARLO!
( ) x
x
y
1
1+
=
e
Fig. 1.11

42. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
42
Más generalmente tenemos que ( )
1
0
lím 1 u
u
u e
→
+ = donde )
(x
u
u = .
Ejemplo 1
Calcular ( )
1
0
lím 1 sen x
x
x
→
+
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos ( ) ∞
=
+ 1
0
sen
1 0
1
(Indeterminación)
Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos ( )
1
0
lím 1 u
u
u e
→
+ = .
Si consideramos x
u sen
= , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión,
por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :
( ) ( )
1
sen
sen 1
1
1
sen sen
0 0
lím lím 1 sen
1 sen
x
x
x
x x x
x x
e
x e e
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ →
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= + = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
Ejemplo 2
Calcular ( )
1
0
lím cos x
x
x
→
SOLUCIÓN:
Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma
∞
1 .
Para utilizar ( )
1
0
lím 1 u
u
u e
→
+ = primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener:
( )
( ) x
x
x
1
0
1
cos
1
lím −
+
→
luego consideramos 1
cos −
= x
u y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:
( )
( ) 0
0
cos 1
lím
0
cos 1
cos 1
lím 1 cos 1 x
x
x
x
e
x
x
x
x
x e →
−
→
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+ − =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Por tanto:
( )
1
0
0
lím 1
cos x
x
e
x
→
= = .
Ejemplo 3
Calcular
2
2
1
1
2
lím
1
x x
x x
x x
+ +
−
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )
2
2
1 1 1 3
0
1 1
2 2
1
1 1 2
+ +
− ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Indeterminación)
Sumamos y restamos 1 a la base:

43. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
43
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1
1
1
1
2 2
lím lím 1 1
1 1
2 1
lím 1
1
1
lím 1
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x
x
x
+ +
+ +
−
−
→ →
+ +
−
→
+ +
−
→
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ − + ⎞
= +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
−
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Multiplicamos y dividimos el exponente por
1
1
x
x
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
:
( )
( )
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1 1
1 1
1
1 1
1 lím
1
1
1 1
lím
1 1
1 1
lím
1
1
lím 1
1
x
u
x
x
x x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
u
x x x
x x x
x x
x x
x
x
e
e
e
→
→
→
⎛ ⎞
− + +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
+
⎝ ⎠ −
⎝ ⎠
−
⎛ ⎞
− + +
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
+
⎝ ⎠ −
⎝ ⎠
→
⎛ ⎞
− −
⎛ ⎞ + +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
+ −
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
− + +
⎛ ⎞
⎜
⎜ ⎟⎜
+
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
−
⎛ ⎞
⎢ ⎥
+ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
=
2
1 1 1 1 3
1 1 1 2
e e
⎟
⎟
⎛ ⎞
− + +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ −
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠⎝ ⎠
= =
Ejemplo 4
Calcular
tan
2
3
lím 4
x
k
x k
x
k
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
( )
tan tan
2 2 tan
2
3 3
lím 4 4 4 3 1
x k
k k
x k
x k
k k
π π
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − = − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Indeterminación)
Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:
tan tan
2 2
3
3 tan
2
1
3
3
3
3 tan
2
lím
3 3
lím 4 lím 1 3
3
lím 1 3
x x
k k
x k x k
x x
k k
x
k
x k
e
x x
k k
x k
x x
k k
x
k
e
π π
π
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
→
−
→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= + −
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u x k
= − de donde x u k
= + y si
x k
→ entonces 0
u → .

44. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
44
( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
3
3
lím 3 tan lím 3 tan
2 2
3 3
lím 3 tan
2
3 3 3
lím tan
2 2
sen
3 2 2
lím
cos
2 2
3
lím
x k u
u
u
u
u
u k u k
x x
k k k k
u k u k
k k
k u k
u
k k
u
u k
k
u
k
u
k
π
π
π π
π π
π π
π π
→ →
→
→
→
→
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
−
⎛ ⎞ ⎝ ⎠
= ⎜ ⎟
⎛ ⎞
⎝ ⎠ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
P P
N N
( )
( )
P
0 1
0 1
0
1
0
0
1
sen cos cos sen
2 2 2 2
cos cos sen sen
2 2 2 2
cos
3 2
lím
sen
2
cos
2
3 3 1
lím
sen
2
2
2
2
u
u
u u
k k
u u
k k
u
k
u
k
u
k
u
k
u
k k
u
k
k
u
k u
k
π π π π
π π π π
π
π
π
π
π
π
π
→
→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠
= = ⎜
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 6
lím 3 tan
2
x k
x x
k k
π
π
→
⎞
⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Finalmente:
tan 6
2
3
lím 4
x
k
x k
x
e
k
π
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→
⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 5
Calcular
0
1
lím
kx
x
a
x
→
−
SOLUCIÓN:
Sustituyendo tenemos
0
0
0
1
)
0
(
=
−
k
a
.
Considerando 1
−
= kx
a
u , entonces ( )
1
ln
ln
1 +
= u
x a
k
y si 0
→
x también 0
→
u
Haciendo cambio de variable, tenemos:
( ) ( ) ( )
1
0 0 0
ln
lím lím ln ln lím
ln 1 ln 1 ln 1
u u u
k a
u u u
k a k a
u u u
→ → →
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ + +
⎝ ⎠
Multiplicando, numerador y denominador por
u
1
, resulta:
( )
( ) ( )
1
1
1
0 0
1 1 1
ln lím ln lím ln ln ln
ln 1 ln 1
ln 1 u
u
u u
u
e
u
k a k a k a k a k a
u e
u
→ →
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
= = = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ ⎡ ⎤
+
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠

45. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
45
El resultado
0
1
lím ln
k u
u
a
k a
u
→
−
= puede ser utilizado para calcular otros límites.
Ejemplo 4
Calcular
2
0
3 1
lím
x
x x
→
−
SOLUCIÓN:
Empleando el resultado anterior:
2
0
3 1
lím 2ln3
x
x x
→
−
=
Ejemplo 5
Calcular
2 4
0
3 5
lím
x x
x x
→
−
SOLUCIÓN:
Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:
( )
2 4 2 4
0 0
2 4
0
2 4
0 0
2 4
0
3 5 3 1 5 1
lím lím
3 1 5 1
lím
3 1 5 1
lím lím
3 5
lím 2ln3 4ln5
x x x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
→ →
→
→ →
→
− − − +
=
− − −
=
− −
= −
−
= −
Ejercicios Propuestos 1.7
Calcular:
1. ( )
csc
0
lím 1 tan
x
x
x
→
+
2. ( )
csc
2
lím 1 cos
x
x
x
π
→
+
3. ( ) 2
1
0
lím cos x
x
x
→
4. ( )
tan
2
lím sen
x
x
x
π
→
5.
2
2
2
2 3
3
4
lím
1
x x
x x
x x
+ +
− −
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
6.
2
2
2 6
2
2
3
lím
1
x x
x x
x x
+ +
− −
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
7. ( )
tan
2
1
lím 4 3
x
x
x
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→
−
8.
x
e x
x
1
lím
3
0
−
→
9.
x
e
e bx
ax
x 3
sen
lím
0
−
→
10.
2 3
0
lím
tan
x x
x
e e
x
→
−
11.
x
bx
ax
x
2
2
lím
0
−
→
12.
0
2
lím ; 0
x h x h x
h
a a a
a
h
+ −
→
+ −
13. ( )
1
0
lím x x
x
x e
→
+
14.
( )
( )
( )
( )
0
ln cos
lím
ln cos
x
ax
bx
→
Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos
algebraicos.

46. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
46
Ejemplo 1
Demuestre que
0
1 1
lím
n
x
k x k
x n
→
+ −
=
SOLUCIÓN:
Por producto notable se puede decir que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 2 1
1 2
términos
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n
n
kx kx kx kx kx
kx kx kx
− − − −
− −
⎡ ⎤
⎡ + − ⎤ = + − + + + + + + +
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= + − + + + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
0 0
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 1 1
1 1
1 1
lím lím
1 1 1
1 1
lím
1 1 1
lím
1 1 1
lím
1 1 1
1 0
n n
n n
n
n
n n
x x n n
n n
x n n
n n
x n n
n n
x n n
n
n
kx kx
k x
k x
x x kx kx
k x
x kx kx
k x
x kx kx
k
kx kx
k
k
− −
− −
→ →
− −
→
− −
→
− −
→
−
⎡ ⎤
+ + + + +
+ − ⎢ ⎥
+ − ⎣ ⎦
= •
⎡ ⎤
+ + + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ −
=
⎡ ⎤
+ + + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
⎡ ⎤
+ + + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
+ + + + +
=
+
( )
( )
1 2
0
1 0 1
1 1 1
1 1
lím
n
n
n veces
n
x
k
k
k x k
x n
−
→
+ + + +
=
+ + +
+ −
=
El resultado anterior puesto de forma general
0
1 1
lím
n
u
ku k
u n
→
⎡ ⎤
+ −
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
puede
ser utilizado para calcular rápidamente otros límites.
Ejemplo 2
Calcular
3
0
27 3
lím
x
x
x
→
− −
SOLUCIÓN:
Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no
deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior.
( )
P
3
3 3
3
0 0 0
3
3
0 0
3
0
27 27
3 27 1 3
27 3 27 27
lím lím lím
1
1 1
1 1
27
3 1 3
27 27
lím 3lím 3
3
27 3 1
lím
27
→ → →
→ →
→
−
− − −
− −
= =
⎛ ⎞
+ − −
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠
+ − −
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
= = =
− −
= −
n
x x x
k
x x
x
x x
x
x x x
x
x
x x
x
x

47. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
47
Ejemplo 3
Calcular
5
30
2 2
lím
30
x
x
x
→
+ −
−
SOLUCIÓN:
Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero,
para poder utilizar la formula. Hagamos 30
u x
= − de donde 30
x u
= + y 0
u → . Reemplazando,
simplificando y calculando el límite:
( )
5 5 5
30 0 0
3
5 5
0 0
5
5
0 0
5
0
5
30
2 2 30 2 2 32 2
lím lím lím
30 30 30
32 32 32
2 32 2
32 32 32
lím lím
1
1 2 1 1
2 1 2 32
32
lím lím
1 1
1 1
32 32
2 lím 2
5
2 2 1
lím
30 80
x u u
u u
u u
u
x
x u u
x u u
u u
u u
u
u
u u
u
u
x
x
→ → →
→ →
→ →
→
→
+ − + + − + −
= =
− + −
+
− + −
= =
⎛ ⎞
+ −
⎜ ⎟
+ − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞
+ − ⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ −
=
−
Ejemplo 4
Calcular
4
3
0
1 2 1 3
lim
1 1
x
x x
x
→
⎛ ⎞
+ − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites:
( )
4 4
3 3
0 0
4
3
0
4
3
0
4
0 0
3
0
4
3
0
1 2 1 3 1 2 1 1 3 1
lim lim
1 1 1 1
1 2 1 1 3 1
lim
1 1
1 2 1 1 3 1
lim
1 1
1 2 1 1 3 1
lim lim
1 1
lim
2 3
1 2 1 3 4 2
lim 6
1
1 1
3
x x
x
x
x x
x
x
x x x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
→ →
→
→
→ →
→
→
+ − − + − − − +
=
− − − −
+ − − − −
=
− −
+ − − −
−
=
− −
+ − − −
−
=
− −
⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟
⎛ ⎞
+ − − ⎝ ⎠
= = −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠ −

48. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
48
Ejemplo 5
Calcular
4
3
1
14 2 2 4 3
lim
2 1
x
x x
x
→
⎛ ⎞
+ − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Aquí 1
u x
= − de donde 1
x u
= + y 0
u → .
Reemplazando, simplificando y calcular el límite:
( ) ( )
( )
( )
4 4
3
1 0 3
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
14 2 1 2 4 3 1
14 2 2 4 3
lim lim
2 1 2 1 1
14 2 2 2 4 3 3
lim
2 1 1
16 2 2 1 3
lim
1 1
16 16 2
2 1 3
16
lim
1 1
2 1 2 1 3
8
lim
1 1
2 1 1 3
8
lim
1 1
2l
x u
u
u
u
u
u
u u
x x
x u
u u
u
u u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
→ →
→
→
→
→
→
+ + − − +
+ − −
=
− − − + −
+ + − − −
=
− − −
+ − −
=
− −
+
− −
=
− −
+ − −
=
− −
⎛ ⎞
+ − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
− −
=
4
3
0
1 1 3
8
im
1 1
u
u
u
u
→
+ − −
− −
4
3
0
4
3
0
4
0 0
3
0
4
3
1
1 1 1 3 1
8
2lim
1 1
1 1
1 3 1
8
2lim
1 1
1 1
1 3 1
8
lim lim
2
1 1
lim
1
3 1 3
8
14 2 2 4 3 49 147
4 2 32 2
lim 2 2 6
1 1 32 16
2 1
3 3
u
u
u u
u
x
u
u
u
u
u
u u
u
u
u
u
u u
u
u
x x
x
→
→
→ →
→
→
+ − − − +
=
− −
+ − ⎛ ⎞
− −
− ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
− −
+ − ⎛ ⎞
− −
− ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
− −
−
⎛ ⎞
− +
⎜ ⎟
+ − − ⎛ ⎞
⎝ ⎠
= = = − = −
⎜ ⎟
−
− − ⎝ ⎠
−
Ejercicios Propuestos 1.8
Calcular:
1.
3
3
2
2
lím
3
6 −
+
−
−
+
→ x
x
x
x
2.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
+
→ 3
8
80
26 4
3
1 x
x
x
lím
x
3.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
+
→ 2
9
20
2
4
3
7 x
x
x
lím
x
4.
3
2
2
3 2 3 2
lím
4
x
x x
x
+
→
− − +
−

49. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
49
1.5 LÍMITES AL INFINITO.
En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una
función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al
infinito.
Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma
valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente
manera lím ( )
x
f x L
→∞
=
Ejemplo 1
Formalmente sería:
Decir que lím ( )
x
f x L
→∞
= significa que f
puede estar tan cerca de L, tanto como
se pretenda estarlo ( 0
ε
∀ ), para lo cual
deberá poderse determinar el intervalo
en el cual tomar a x, N
∃ (una número muy
grande), que lo garantice. Es decir:
( )
lím ( ) 0, 0 ( )
x
f x L N tal que x N f x L
ε ε
→∞
= ≡ ∀ ∃ ⇒ −
Fig. 1.12

50. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
50
Ejemplo 2
Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma
valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de
la siguiente manera lím ( )
x
f x L
→−∞
= .
Ejemplo 1
Formalmente sería:
Decir que lím ( )
x
f x L
→−∞
= significa que f
puede estar tan cerca de L , tanto como
se pretenda estarlo, 0
∀ε , para lo cual
deberá poderse determinar el intervalo
en el cual tomar a x , N
∃ (una número muy
grande), que lo garantice. Es decir:
( )
lím ( ) 0, 0 ( )
x
f x L N tal que x N f x L
ε ε
→−∞
= ≡ ∀ ∃ − ⇒ −
Fig. 1.13
Fig. 1.14

51. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
51
Ejemplo 2
Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene
una asíntota horizontal y L
= .
Aquí también podemos hacer demostraciones formales.
Ejemplo
Demostrar formalmente que 0
1
lím =
∞
→ x
x
SOLUCIÓN:
Empleando la definición tenemos:
ε
ε
−
⇒
∃
∀
≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞
→
0
1
0
,
0
0
1
x
N
x
que
tal
N
x
lím
x
Transformando el antecedente:
1 1
x N
x N
Se observa que tomando
ε
1
=
N aseguraríamos el acercamiento. Siempre y cuando ε sea un número
pequeño que origine un N muy grande.
Por ejemplo si se quisiera que
x
y
1
= esté a menos de 01
.
0
=
ε de 0, bastaría con tomar a
1
0.01
x
es decir 100
x .
Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x
de mayor exponente si se trata de funciones racionales.
Fig. 1.15

52. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
52
Ejemplo 1
Calcular
2
2
2 3 1
lím
5 1
x
x x
x x
→∞
+ −
+ −
SOLUCIÓN:
Aquí se presenta la indeterminación:
∞
∞
Dividiendo numerador y denominador para 2
x , tenemos:
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 3 1 3 1
2
2
lím lím
1 1 5
5 1 5
x x
x x
x
x x x x
x x
x x
x x x
→∞ →∞
+ − + −
= =
+ −
+ −
(No olvide que 0 ;
k
k
≈ ∈
∞
)
Este resultado indica que la gráfica de ( )
2
2
2 3 1
5 1
x x
f x
x x
+ −
=
+ −
tiene una asíntota horizontal 2
5
y =
Ejemplo 2
Calcular
2
1
lím
1
x
x
x x
→+∞
−
+ +
SOLUCIÓN:
Aquí se presenta la indeterminación:
∞
∞
Dividiendo numerador y denominador para x :
2
1
lím
1
x
x
x
x x
x
→+∞
−
+ +
Al introducir la x dentro del radical quedará como 2
x :
2
2
2 2 2
1 1
1
lím lím 1
1 1
1 1
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
→+∞ →+∞
− −
= =
+ +
+ +
Este resultado indica que la gráfica de ( ) 2
1
1
x
f x
x x
−
=
+ +
tiene una asíntota horizontal 1
y = en el
infinito positivo.
Ejemplo 3
Calcular
2
1
lím
1
x
x
x x
→−∞
−
+ +
SOLUCIÓN:
Ahora se presenta la indeterminación:
−∞
∞
Aquí hay que dividir numerador y denominador para x
− :
2
1
lím
1
x
x
x
x x
x
→∞
−
−
+ +
−

53. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
53
Al introducir la x
− dentro del radical quedará como 2
x :
2
2
2 2 2
1 1
1
lím lím 1
1 1
1 1
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
→−∞ →−∞
− − +
− − = = −
+ +
+ +
Este resultado indica que la gráfica de ( ) 2
1
1
x
f x
x x
−
=
+ +
tiene una asíntota horizontal 1
y = − en el
infinito negativo.
Ejemplo 4
Calcular ( )
2 2
lim 1 1
x
x x x x
→+∞
+ + − − −
SOLUCIÓN:
Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el
x con mayor exponente:
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
lim 1 1
1 1
1 1 2 1
lim lim
1 1 1 1
1
1
1
2 lim 2 1
2
1 1 1 1
1 1
x
x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞
+ + + − −
+ + − − − ⋅
+ + + − −
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
+
⎛ ⎞
= = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + + − −
En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la
identidad: ( )
1
1
u
u
u
lím e
→∞
+ = ¡DEMUÉSTRELA!
Ejemplo
Calcular ( )
2
lím 1
x
x
x→∞
+ .
Solución:
Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:
( )2
2
2
2
1
lím 1
x
x
x
e
→∞
⎡ ⎤
+ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Se puede concluir que: ( )
lím 1
u k
k
u
u
e
→∞
+ =

54. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
54
Ejercicios propuestos 1.9
1. Demostrar formalmente que 0
1
lím =
−∞
→ x
x
2. Calcular:
1.
3 2
3
5 3 4 3
lím
3 1
x
x x x
x x
→∞
− + −
+ +
2. 2
3
lím
2 5 1
x
x
x x
→−∞ − +
3.
( ) ( )
5
2
3
3
2
lím 5
2
3
+
−
+
∞
→ x
x
x
x
4.
( )
3
3
2
lím
x
x
x
x +
+
∞
→
5. lím
x
x
x x x
→∞
+ +
6.
3 2
1
lím
1
x
x
x
→∞
+
+
7.
( )( )( )
3
2 3 3 5 4 6
lím
3 1
x
x x x
x x
→∞
− + −
+ −
8.
( )
1
!
sen
lím 2
+
∞
→ x
x
x
x
9.
2
3 3
lím
1
x
x
x
→∞
−
+
10.
5
lím
2
x
x
x
→−∞ −
11.
3 2
3
3 2 1
lím
8
x
x x x
x
→∞
+ − +
−
12.
2
1
lím
x
x
x
→−∞
+
13.
2
2 1
3
x
x
lím
x
→−∞
−
14.
2
5
2
x
x
lím
x
→−∞
−
+
15.
2
3 1
lím
1
x
x
x
→−∞
+
−
16.
3
6
5 1
lím
2
x
x
x
→−∞
−
+
17.
2
lím
x
x x x
→∞
+ −
18. ( )
x
x
x
x
−
−
+∞
→
1
lím 2
19. ( )
2 2
lím 1
x
x x x x
→∞
+ + − −
20. ( )
2 4 2
lím 2
x
x x x
→+∞
− − +
21. ( )
lím 3 2
x
x x x
→+∞
+ − +
22.
x
x x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
∞
→ 1
1
lím
23.
2
1
lím
3
x
x
x
x
+
→∞
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
24.
2
lím ln
5
x
x
x
x
→∞
⎡ ⎤
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎢ ⎥
−
⎝ ⎠
⎣ ⎦
1.6 LÍMITES INFINITOS
Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto 0
x , tanto por
izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir
∞
=
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
. Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no
tiene límite en 0
x .

55. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
55
Sea M un número muy grande positivo.
Entonces
0
lím ( )
x x
f x
→
= ∞ significa que cuando
a x está próxima a 0
x “, a una distancia
no mayor de ∂ ( 0
0 x x
− ∂), f será
mayor que M. Es decir:
M
x
f
x
x
que
tal
M
x
f
x
x
⇒
∂
−
∃∂
∀
≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
=
→
)
(
0
0
,
0
)
(
lím 0
0
Ejemplo
Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto
0
x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes
negativos; es decir −∞
=
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
. Diremos, en este caso, que f decrece sin
límite o que f no tiene límite en 0
x . Es decir:
Sea M una cantidad muy grande positiva.
Entonces:
M
x
f
x
x
que
tal
M
x
f
x
x
−
⇒
∂
−
∃∂
∀
≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∞
=
→
)
(
0
0
,
0
)
(
lím 0
0
Fig. 1.16

56. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
56
Ejemplo
Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un
punto 0
x , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir
∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
. Lo cual significa:
Sea M un número muy grande positivo.
Entonces:
0
lím ( )
x x
f x
+
→
= ∞ 0
0, 0 0 ( )
M tal que x x f x M
≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒
Ejemplo
Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota
vertical 0
x
x = .
Fig. 1.17
Fig. 1.18

57. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
57
Ejemplo 1
Calcular
( )
2
1
1
lim
1
x
x
→
−
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución:
( ) ( )
2 2
1
1 1 1
lim
0
1 1 1
x
x
→
= = = +∞
− −
(No existe)
La gráfica de ( )
( )
2
1
1
f x
x
=
−
tiene una asíntota vertical 1
x = y tanto por izquierda como por derecha la grafica
crece sin límite.
Ejemplo 2
Calcular
2
3
lim
2
x
x
x
+
→
+
−
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución:
2
3 2 3 5
lim
2 2 2 0
x
x
x
+
+ +
+ +
→
+ +
= = = +∞
− −
(No existe)
La gráfica de ( )
3
2
x
f x
x
+
=
−
tiene una asíntota vertical 2
x = y por su derecha la grafica crece sin límite.
PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.
Se pueden describir otros comportamientos.
1.7 OTROS LÍMITES.
Para decir ∞
=
∞
→
)
(
lím x
f
x
, f toma valores muy grandes positivos cada vez
que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que:
M
x
f
N
x
que
tal
N
M
⇒
∃
∀ )
(
0
,
0
Ejemplo
Fig. 1.19

58. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
58
1.7.1 Asíntotas Oblicuas.
Si se observa que ( )
lím ( ) 0
→∞
− + =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
x
f x mx b se dice que la gráfica de f tiene
por asíntota oblicua la recta = +
y mx b.
En tal caso los siguientes límites existen:
( )
lim
→∞
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
f x
m
x
y ( )
lim
→∞
= −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
x
b f x mx ¿PORQUÉ?
Y sería la manera de calcular los elementos de la recta.
Ejercicios Propuestos 1.10
1. Defina formalmente y describa gráficamente:
a) −∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
b) ∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
c) −∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
x
d) −∞
=
∞
→
)
(
lím x
f
x
e) ∞
=
−∞
→
)
(
lím x
f
x
f) −∞
=
−∞
→
)
(
lím x
f
x
2. Demuestre formalmente que:
a) +∞
=
+
→ x
x
1
lím
0
b) −∞
=
−
→ x
x
1
lím
0
( )
=
y f x
x
y
=
+
y
mx
b
Fig. 1.20

59. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
59
3. Calcular:
1.
1
1
lim 1
1
x x
+
→
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
2.
1
lim
1
x
x
x
−
→
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
3. 2
3
3
lim
9
x
x
x
−
→
+
−
4.
2
2
7
1
lim
49
x
x
x
−
→−
+
−
5.
2
4
16
lim
4
x
x
x
+
→
−
−
6.
6
5
lim
1
x
x
x
→−∞ +
7.
2 3
2
6 4
lim
4 5 7
x
x x
x x
→∞
− +
+ −
8. lim 2
x
x
→∞
9. lim 1 2
x
x
→−∞
−
10.
5
1
lim
x
x
x
→∞
+
4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ( ) [ ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞
= ,
2
1
,
1
2
,
f
Dom
• 1
1
0
)
( −
=
∨
=
⇔
= x
x
x
f
• [ ]
0, 0, 0 2 ( )
∀ ∃∂ ∀ − − ∂ ⇒
N x x f x N
• [ ]
0, 0, 0 2 ( )
∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒
N x x f x N
• 0, 0, ( ) 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ ⇒ −
⎣ ⎦
M x x M f x
• 0, 0 , ( ) 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ − ⇒ −
⎣ ⎦
M x x M f x
• 1
)
0
( =
f
5. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
• [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
∀
∃∂
∀ 1
)
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• 0 0, 0 ( ) 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ +
⎣ ⎦
x x f x
• [ ]
ε
ε
⇒
∀
∃
∀ )
(
,
0
0 x
f
N
x
x
N
• [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
0
• 0
)
0
( =
f
6. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
• 0 0, 0 ( ) 2
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃∂ ∀ ∂ ⇒ −
⎣ ⎦
x x f x
• [ ]
0 0, 0 1 ( )
∀ ∃∂ ∀ + ∂ ⇒
N x x f x N
• [ ]
0 0, 0 1 ( )
∀ ∃∂ ∀ − − ∂ ⇒ −
N x x f x N
• ( )
0 0, ( ) 2 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ ⇒ − +
⎣ ⎦
M x x M f x x
• 0 0, ( )
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ − ⇒
⎣ ⎦
M x x M f x
7. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
• 0 0, 0 1 ( ) 3
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ −
⎣ ⎦
x x f x
• [ ]
0 0, 0 2 ( )
∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ −
N x x f x N
• [ ]
0 0, 0 2 ( )
∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒
N x x f x N
• 0 0, ( ) 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ − ⇒ + −
⎣ ⎦
M x x M f x x
• 0 0, ( ) 1
ε ε
⎡ ⎤
∀ ∃ ∀ ⇒ +
⎣ ⎦
M x x M f x

60. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
60
Misceláneos
1. Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.
1. Si 3
2
5
)
(
lím
2
=
−
−
+
→
x
x
f
x
, entonces 0
)
(
lím
2
=
+
→
x
f
x
2. Si f y g son funciones tales que 1
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
g
x
, entonces
1
)
(
lím )
(
0
=
+
→
x
g
x
x
f
3. Sea f una función de variable real tal que )
(
lím x
f
a
x +
→
existe y 1
)
(
lím =
−
+
→
x
f
a
x
a
x
. Entonces
0
)
(
lím =
+
→
x
f
a
x
.
4. Sean f y g funciones tales que ∞
=
+
→
)
(
lím x
f
a
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím x
g
a
x
. Entonces el
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
a
x +
→
no existe.
5. Sean f y g funciones tales que e
x
g
a
x
=
+
→
)
(
lím y ( )
)
(
ln
)
( x
g
x
f = . Entonces
( ) 1
)
(
lím =
+
→
x
g
f
a
x
D
6. Si 1
)
(
lím
0
=
+
→
x
x
f
x
entonces 0
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
7. Si [ ]
)
(
)
(
lím x
g
x
f
a
x
+
→
existe, entonces existen )
(
lím x
f
a
x→
y ( )
x
g
a
x→
lím
8. Si ( )
x
g
x
f ≠
)
( para toda x , entonces ( )
x
g
x
f a
x
a
x →
→
≠ lím
)
(
lím
9. Si ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
→
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
a
x
existe y 0
)
(
lím =
→
x
f
a
x
entonces 0
)
(
lím =
→
x
g
a
x
10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces:
( )
( )
)
(
lím
))
(
(
lím x
g
f
x
g
f
IR
a a
x
a
x →
→
=
∈
∀
11. Si
a
x
a
a
x
x
a
x
−
−
−
−
+
→
2
2
lím existe entonces 0
=
a .
12. Si [ ]
)
(
)
(
lím x
g
x
f
a
x→
existe y )
(
lím x
f
a
x→
existe entonces )
(
lím x
g
a
x→
existe.
13. Si +∞
=
→
)
(
lím x
f
a
x
entonces −∞
=
−
→
)
(
lím x
f
a
x
14. ( )
( ) ( )
1
lím 3 1 2 0, 0, 0 1 3 1 2
x
x x x x
ε ε
→
⎡ ⎤
− = ⇔ ∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ − −
⎣ ⎦
15. Si 0
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
g
x
entonces 0
)
(
)
(
lím
0
=
+
→
x
g
x
f
x
.
16. Existen dos funciones de variable real f y g tales que 0
)
(
lím
)
(
lím
0
0
=
=
+
→
+
→
x
g
x
f
x
x
y
e
x
g
x
f
x
=
+
→ )
(
)
(
lím
0
17. Si lím ( ) 0
x
f x
→∞
= y
( )
lím 2
( )
x
f x
g x
→∞
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
entonces lím ( ) 0
x
g x
→∞
=
18. No existen dos funciones f y g tales que
0
lím ( ) 0
x
f x
→
= ,
0
lím ( ) 0
x
g x
→
= y
0
( )
lím 5
( )
x
f x
g x
→
=
19. Si 3
)
(
lím =
→
x
f
a
x
, 2
)
(
lím −
=
→
x
g
a
x
, entonces
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
lím
3 −
+
−
+
→ x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
=1

61. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
61
2. Empleando la definición de límite, demuestre que:
1. 2
2
4
lím
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
→
x
x
2.
2
1
2 1
lím 3
1
x
x x
x
+
→
− −
=
−
3. 4
2
4
lím
2
2
−
=
+
−
+
−
→
x
x
x
4. 0
3
lím
3
=
−
+
→
x
x
5. 2
1
lím
5
=
−
+
→
x
x
3. Determine
1.
2
3
lím 2
x
x x
+
→
+
c f
d g
e h
2.
x
x
e x
x
4
sen
2
cos
lím
3
0
−
+
→
3. 2
0
3
cos
cos
lím
x
x
x
x
−
+
→
4.
x
x x
x
3
5
2
3
2
lím ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+∞
→
5.
1
lím
2
1 −
−
+
→ x
e
xex
x
6.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− π
+
π
→ 2
2
cos
lím
x
x
x
7.
tan
4
2
3
lím 4
2
x
x
x
π
+
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. 3
2arctan
lím
1
x
x
x
e
π
→∞
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
9. ( )
2
tan 2
4
lím sen2
x
x
x
π +
→
10.
x
x
e x
x
5
sen
3
cos
lím
2
0
−
→
11. ( ) ( )
lím ln 2 1 ln 2
x
x x
→+∞
⎡ + − + ⎤
⎣ ⎦
12.
2
lím arctan
1
x
x
x
→−∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
+
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
13.
( )
x
e
lím
x
x
+
+∞
→
1
ln
14.
1
1
1
lím 2
2
1
−
−
−
−
+
→
x
x
x
x
15. ( )
sec
2
lím 1 cot
x
x
x
π +
→
+
16.
0
lím ( )
x
f x
→
donde
2
1 cos3
; 0
( ) 5 ; 0
sen10 tan
; 0
sen2
x
x
x
f x x
x x
x
x
−
⎧
⎪
⎪
= =
⎨
⎪ −
⎪
⎩
20. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞
→
x
x
x
x
sen
1
sen
lím
21.
( )
2
1
arctan arctan1
lím
1
x
x
x
+
→
−
−
22.
1
2
1
lím
2
1
−
−
−
→
x
x
x
x
23.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→ 2
1
2
1
2
1
arcsen
arcsen
lím
x
x
x
24.
0
sen
lím
x
x
x
+
→
25. a b
( )
0
lím Sgn( ) 1 ( 1)
x
x x x
μ
+
→
⎡ ⎤
+ + −
⎣ ⎦
26.
( )
x
x
x
sen
sen
lím
0+
→
27. a b a b
( )
0
lím
x
x x
→
+ −
28. ( ) ( )
2
lím tan x
x
x
π
π
→
−
29.
2
2
2 5
2
2
3
lím
1
x x
x x
x x
+ +
− −
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
30. ( )
3
2 3 3
lím 1 1
x
x x x
→+∞
⎡ ⎤
+ − −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
31.
( )
6
6
3
2
sen
lím
cos
x
x
x
π
π
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
32.
2
2 2
0
1 cos
lím
sen
x
x
x x
→
−
33. ( )
1
2ln
lím 1 2 x
x
x
→+∞
+
34. 3
64
8
lím
4
x
x
x
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
35.
1
2
0
1 5
lím
1 3
x
x
x
x
→
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
36. ( )
0
lím 1 cos cot
x
x x
→
−
37.
5
2
0
cos2 1
lím
x
x
xe x x
x
−
→
⎛ ⎞
− − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
38.
3
0
cos2
lím
sen5
x
x
e x
x x
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
39.
0
lím
1 1
x
x
x x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− − +
⎝ ⎠

62. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
62
17.
2 7
0
lím
sen 2 tan9
x x
x
e e
x x
+
→
−
+
18.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
→ 1
1
1
1
lím
1 x
x
x
19. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
→ x
x
x
x 2
cos
1
3
sen
lím
0
40. ( )
3 3
lím 1
x
x x
→∞
+ −
41. lím
x
x
x a
x a
→∞
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
4. Calcular )
(
lím
0
x
f
x +
→
si 1
)
(
x
x
f
para 0
≠
x
5. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ε
ε
−
⇒
∂
∃∂
∀ 3
)
(
0
:
0
,
0 x
f
x
• N
x
f
x
N
⇒
∂
+
∃∂
∀ )
(
3
0
:
0
,
0
• 0, 0 : 0 3 ( )
N x f x N
∀ ∃∂ − − ∂ ⇒ −
• ε
ε
−
⇒
∃
∀ 1
)
(
:
0
,
0 x
f
M
x
M
• 0, 0: ( )
M x M f x
ε ε
∀ ∃ − ⇒
6. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ( ) ( ) ( )
Dom , 1 1,1 1,
f = −∞ − ∪ − ∪ +∞
• [ ]
ε
ε
⇒
∂
∃∂
∀ )
(
0
0
,
0 x
f
x
• [ ]
M
x
f
x
M −
⇒
∂
−
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
M
x
f
x
M
⇒
∂
−
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
M
x
f
x
M
⇒
∂
+
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
ε
ε
+
⇒
∃
∀ 1
)
(
0
,
0 x
f
N
x
N
• [ ]
ε
ε
⇒
−
∃
∀ )
(
0
,
0 x
f
N
x
N

63. Moisés Villena Muñoz Respuestas
1
CAPITULO 1: Límites
Ejercicios Propuestos 1.1
1. a) =∈
∂ b)
2
∈
=
∂ c) =∈
∂ d)
2
∈
=
∂ e) ( )
2
2
2
+
∈
=
∂
f) ∂ =∈ g) ( )
[ ]
4
7
2
7 3
1
3
2
+
+
=∈
∂
h) ( ) ( ) 3 2
3
3 2
1
1 a
a
a
a +
−
+
−
=∈
∂
2. a) 003
.
0
=
∂ b) 8
1
10 2 1
a
∂ =
+
c) 08
.
0
=
∂
3. ( ) 05
.
0
3
8
01
.
0 =
+
=
∂
4. 1
.
1
9
.
0
x
Ejercicios Propuestos 1.2
3. a) existe
no
x
f
lím
x
=
→
)
(
1
b) ( ) existe
no
x
f
lím
x
=
−
→ 2
( )
2
1
x
lím f x
→
=
c) ( ) 3
2
−
=
→
x
f
lím
x
d) ( ) existe
no
x
f
lím
x
=
→0
e) existe
no
x
f
x
=
−
→
)
(
lím
1 2
11
)
(
lím
2
5
−
=
−
→
x
f
x
Ejercicios Propuestos 1.3
3. a) V b) F c) V d) F e) F f) F g) F
Ejercicios Propuestos 1.4
1) 2 2) 1 3) -2 4) 0 5) -1
6) 0 7) 1 8)0 9) -1 10) 1
Ejercicios Propuestos 1.5
1) 6 2) 1
4
− 3) 12 4) 1
5
− 5) 11
9
6) 4
5
7) 15
2
8) 1
4
9) 1
2
10) 1
12
11) 1
9
12) 1 a
− 13) 1
9
14) 1
2
15) 1
72
16) 1
Ejercicios Propuestos 1.6
1) 5 2) 1 3)
2
9 4)
π
2 5) π
6) π 7)
3
3 8)
2
1 9) 1 10)
3
2
Ejercicios Propuestos 1.7
1) e 2) 1 3) 2
1
−
e 4) 1 5)
7
8
e
−
6)
2
e−
7) π
6
e 8) 3 9) ( )
3
b
a − 10) 1
−

64. Moisés Villena Muñoz Respuestas
2
11) ( ) 2
ln
b
a − 12) 0 13) 2
e 14) ( )
2
a
b
Ejercicios Propuestos 1.8
1) 1
− 2) 1
6
3)
27
112 4)
8
1
−
Ejercicios Propuestos 1.9
1) 5 2) 0 3) 72 4) 2 5) 1
6) 0 7) 8 8) 0 9) 3 10) 5
11) 3 12) 1
− 13) 3
2
− 14) 1
− 15) 3
−
16) 5
− 17) 2
1 18) 2
1
− 19) 1 20) 2
1
21) 2
1 22) 2
−
e 23) 4
−
e 24) 7
Ejercicios Propuestos 1.10
3.
1) +∞ 2) −∞ 3) −∞ 4) +∞ 5) −∞
6) −∞ 7) +∞ 8) +∞ 9) +∞ 10) +∞
Misceláneos de límites
1. 1) F 2) F 3) V 4) F 5) V 6) V 7) F 8) F 9) F
10) V 11) V 12) F 13) F 14) V 15) F 16) V 17) V 18) F
19) F
2. 1)
2
2
+
=
ε
δ 2) ( )
2
3 +
= ε
δ 3) ε
δ = 4) ε
δ 2
= 5) ε
δ =
3. 1) 15 2) 4
3 3) 4 4)
12
e 5) e
3 6) 1
− 7) π
6
e 8) 3
2 9) 2
1
−
e
10) 5
2 11) 2
ln 12) 4
π 13) 1 14) 2
1 15) e 16) 2
9 17) 11
5
− 18) 0
19) 2
3 20) 0 21) 2
1 22) ∞ 23)
3
3
2
24) 1 25) 1 26) 1 27) 0
28) 2 29) 9
13
−
e 30) 1 31) 2 32) 2
1 33) 1 34) 3 35)
4
e 36) 0
37) 3
− 38) 4
3 39) 1
− 40) 0 41)
2a
e

65. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
63
2
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON
FUNCIONES
2.3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
2.4 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
OBJETIVOS:
• Definir formalmente continuidad de una función de
una variable real en un punto y en un intervalo.
• Realizar demostraciones formales de continuidad.
• Construir funciones continuas.

66. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
64
Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función
en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento
justamente en el punto.
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su
gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera
alzar la mano. Esto en términos formales sería:
2.1.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de una variable real definida en
un intervalo abierto )
,
( b
a y sea )
,
(
0 b
a
x ∈ . Se dice que
f es continua en 0
x si
0
0
lím ( ) ( )
x x
f x f x
→
= . Es decir, si
se cumplen tres cosas:
1. )
( 0
x
f está definida
2. L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
(existe); y
3. )
( 0
x
f
L =
Caso contrario, se dice que f es discontinua en 0
x
Ejemplo
Una función continua en un punto 0
x
Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto 0
x , tenemos:
Fig. 2.1

67. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
65
Ejemplo 1
La función no es continua en 0
x , debido a que
0
lím ( )
x x
f x no existe
→
Ejemplo 2
La función no es continua en 0
x , debido a que
0
lím ( )
x x
f x no existe
→
Ejemplo 3
La función no es continua en 0
x , debido a que )
(
)
(
lím 0
0
x
f
x
f
x
x
≠
→
Fig. 2.2
Fig. 2.3
Fig. 2.4

68. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
66
Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una
discontinuidad esencial.
Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible,
porque sería cuestión de definir a f en el punto 0
x con el valor de L para tener
ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso
el límite existe.
Ejemplo 4
1
6
5
)
(
2
−
−
+
=
x
x
x
x
f no está definida en 1
=
x y su gráfica es la de 1
;
6
)
( ≠
+
= x
x
x
f que
no es continua en 1
=
x . (tiene un hueco)
Definiéndola continua tenemos
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
+
=
1
;
7
1
;
1
6
5
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
Ejemplo 5
Determine el valor de A , de ser posible, para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
=
2
;
2
;
2
4
)
(
2
x
A
x
x
x
x
f
sea continua en 2
x = .
SOLUCIÓN:
Para que f sea continua en 2
x = será cuestión de definirla en este punto con el valor de )
(
lím
2
x
f
x→
si es
que existe; es decir, hacer que )
(
lím
)
2
(
2
x
f
f
A
x→
=
= .
Calculando el límite tenemos:
( )( ) ( ) 4
2
lím
2
2
2
lím
2
4
lím
2
2
2
2
=
+
=
−
+
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Por tanto 4
=
A
Fig. 2.5

69. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
67
Ejemplo 6
Calcular el valor de “ A , de ser posible, para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
=
0
;
0
;
1
)
(
2
x
A
x
x
e
x
f
x
sea continua en 0
x = .
SOLUCIÓN:
La función está definida para todo número real excepto 0
=
x . El asunto será definirla en este punto con el
valor de )
(
lím
0
x
f
x→
si es que existe; es decir, )
(
lím
)
0
(
0
x
f
f
A
x→
=
= .
Calculando el límite tenemos:
2
1
lím
2
0
=
−
→ x
e x
x
. (Recuerde que
0
1
lím ln
kx
x
a
k a
x
→
−
= )
Por tanto 2
=
A
Ejercicios Propuestos 2.1
1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.
1.
4
16
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f
2. ( ) ( )
2
2 ; 2
2 ; 2
x x
f x
x
⎧ + ≠ −
⎪
= ⎨
= −
⎪
⎩
3.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
=
1
;
1
0
;
0
;
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
4.
2
2 3
; 1
( ) 5
2 3 ; 1
x
x
f x
x x x
−
⎧
≤ −
⎪
= ⎨
⎪ − + −
⎩
5.
2
1 2 ; 3
( )
2 5 ; 3
x x x
f x
x x
⎧ + − ≤
= ⎨
−
⎩
6. ( )
1
; 2
1
1 ; 2
x
f x x
x x
⎧
≥
⎪
= −
⎨
⎪ −
⎩
7. ( )
1
; 0
1
1
; 0
1
x
x
f x
x
x
⎧
⎪
⎪ +
= ⎨
⎪ ≥
⎪ −
⎩
8. ( ) ( 2) Sgn( 2)
f x x x
μ
= − + +
9.
1
( )
2
= +
c f
d g
d g
e h
f x x
10. a b
( ) = −
f x x x
11. a b ( )
( ) sen ; 2 ,2
π π
= ∈ −
f x x x
2. Calcular el valor de A , de ser posible, para que f sea continua en todo R .
1.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
=
3
;
3
;
9
3
)
( 2
x
A
x
x
x
x
f
2. ( )
2 2
; 6
6
; 6
x
x
f x x
A x
⎧ − −
≠
⎪
= ⎨ −
⎪ =
⎩
3. ( )
2
3
2 3
; 1
1
; 1
x x
x
f x x
A x
⎧ + −
≠
⎪
= −
⎨
⎪ =
⎩
4. ( )
3
3 2
; 1
1
; 1
x
x
f x x
A x
⎧ + −
⎪ ≠
= ⎨ −
⎪ =
⎩
5.
sen
; 0
( )
; 0
x
x
x
f x
A x
⎧
≠
⎪
= ⎨
⎪ =
⎩

70. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
68
2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES
Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la
puede determinar haciendo uso del siguiente teorema.
2.2.1 TEOREMA
Sean f y g funciones de variable real
continuas en el punto 0
x , entonces
también lo serán: k f , g
f + , g
f − , g
f . ,
g
f ( )
0
)
( 0 ≠
x
g , n
f ,n f ( par
es
n
si
x
f 0
)
( 0 )
Demostración.
Demostremos lo siguiente:
Si f y g son funciones continuas en el punto 0
x entonces
g
f + también es continua en 0
x
Las hipótesis serían :
1
H
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= y
:
2
H
0
0
lim ( ) ( )
x x
g x g x
→
=
Como [ ]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x
→ → →
+ = + entonces
[ ]
0
0 0
lim ( ) ( ) ( ) ( )
x x
f x g x f x g x
→
+ = +
Es decir
( ) ( )
0
0
: lim ( ) ( )
x x
C f g x f g x
→
+ = +
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Lo cual indica que la función g
f + también es continua en 0
x
Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector.
Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la
interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si
tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas)
continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también
continuas.
Para el caso de la función compuesta tenemos.

71. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
69
2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.
Sean f y g funciones de variable real. Si
g es continua en 0
x y f continua en
)
( 0
x
g entonces g
f D es continua en 0
x
Demostración.
Tenemos las siguientes hipótesis:
1
H : g es continua en 0
x , es decir
0
0
lim ( ) ( )
x x
g x g x
→
= , lo cual significa que
1 0
ε
∀ , 1 0
∃∂ tal que, si 0 1
x x
− ∂ entonces ( ) ( )
0 1
g x g x ε
−
2 :
H f es continua en ( )
0
g x , es decir
( )
( )
( )
0
0
lim ( )
x g x
f x f g x
→
= , lo cual significa que
2 0
ε
∀ , 2 0
∃∂ tal que, si ( )
0 2
x g x
− ∂ entonces ( ) ( )
( )
0 2
f x f g x ε
−
En la segunda hipótesis si hacemos ( )
x g x
= tenemos:
( ) ( )
0 2
g x g x
− ∂ ⇒ ( )
( ) ( )
( )
0 2
f g x f g x ε
−
En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si 1 2
ε = ∂ .
Considerando las dos hipótesis juntas:
( ) ( )
0 1 0 2
x x g x g x
⎡ ⎤
− ∂ ⇒ − ∂
⎣ ⎦ ∧ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0 2 0 2
g x g x f g x f g x ε
⎡ ⎤
− ∂ ⇒ −
⎣ ⎦
Se cumple que:
0 1
x x
− ∂ ⇒ ( )
( ) ( )
( )
0
f g x f g x ε
−
O lo que es lo mismo ( )
( ) ( )
( )
0
0
lim
x x
f g x f g x
→
= . Esto indica que f g
D es continua en 0
x
En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en
cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma
el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones
de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo
vamos a decir a continuación.

72. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
70
2.3 CONTINUIDAD LATERAL
2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA
Sea f una función de variable real. f es
continua por la derecha de 0
x si
)
(
)
(
lím 0
0
x
f
x
f
x
x
=
+
→
Ejemplo
Es decir, f sólo por la derecha de 0
x se aproxima y llega a ser ( )
0
f x .
2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA
Sea f una función de variable real. f es
continua por la izquierda de 0
x si
)
(
)
(
lím 0
0
x
f
x
f
x
x
=
−
→
Es decir, f sólo por la izquierda de 0
x se aproxima y llega a ser ( )
0
f x .
Ejemplo
Fig. 2.6
Fig. 2.7

73. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
71
En conclusión, si f es continua en 0
x significa que tanto por derecha como por
izquierda f se aproxima y llegar a ser ( )
0
f x .
Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo ,
bastaría con decir existe continuidad en todo punto de . Es decir:
Sea f una función de variable real. f es
continua en si
0
0 0
lím ( ) ( )
x x
x f x f x
→
⎡ ⎤
∀ ∈ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas
en todo , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general
todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno.
Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante
aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.
2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
2.4.1 CONTINUIDAD EN ( )
b
a,
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo abierto ( )
b
a, si es
continua en todo punto interior de ( )
b
a, .
Es decir ( )
0
0 0
, ;lím ( ) ( )
x x
x a b f x f x
→
∀ ∈ =
Ejemplo 1
Una función continua en ( )
b
a,
Fig. 2.8

74. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
72
Ejemplo 2
Otra función continua en ( )
b
a,
2.4.2 CONTINUIDAD EN [ ]
b
a,
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo cerrado [ ]
b
a, si
es continua en ( )
b
a, y además continua a la
derecha de a ( )
(
)
(
lím a
f
x
f
a
x
=
+
→
) y a la
izquierda de b ( )
(
)
(
lím b
f
x
f
b
x
=
−
→
).
Ejemplo
Una función continua en [ ]
b
a,
Fig. 2.10
Fig. 2.9

75. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
73
2.4.3 CONTINUIDAD EN [ )
b
a,
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo semiabierto [ )
b
a, ,
si es continua en ( )
b
a, y además continua a
la derecha de a .
Ejemplo 1
Una función continua en [ )
b
a,
Ejemplo 2
Otra función continua en [ )
b
a,
Fig. 2.12
Fig. 2.11

76. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
74
2.4.4 CONTINUIDAD EN ( ]
b
a,
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo semiabierto ( ]
b
a, ,
si es continua en ( )
b
a, y además continua a
la izquierda de b.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio resuelto 1
Hallar a , de ser posible, para que
2
2 ; 2
( ) 8 ; 2
5 ; 2
⎧ −
⎪
= =
⎨
⎪ +
⎩
x a x
f x x
x a x
sea continua en todo .
SOLUCIÓN:
Fig. 2.13
Fig. 2.14

77. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
75
Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos.
Debemos procurar que f sea continua en 2
=
x , lo que significa que:
( )
2
2 2
lím( 2 ) lím(5 ) 2
4 2 10 8
2
x x
x a x a f
a a
a
− +
→ →
− = + =
− = + =
= −
Es decir, que la función
2
4 ; 2
( ) 8 ; 2
5 2 ; 2
⎧ +
⎪
= =
⎨
⎪ −
⎩
x x
f x x
x x
será continua en todo R .
Ejercicio resuelto 2
Hallar a , de ser posible, para que
2
2 ; 1
( ) 5 ; 1
3 ; 1
x a x
f x x
x a x
⎧ +
⎪
= =
⎨
⎪ −
⎩
sea continua en todo .
SOLUCIÓN:
Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en 1
x = , lo que significa que:
( )
2
1 1
lím(2 ) lím( 3 ) 1
2 1 3 5
x x
x a x a f
a a
− +
→ →
+ = − =
+ = − =
Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en .
Ejercicio resuelto 3
Hallar los valores de a y b , de ser posible, para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≤
≤
−
+
−
−
=
3
;
5
3
3
;
3
;
2
)
(
x
x
b
x
b
ax
x
a
x
x
f
sea continua en todo .
SOLUCIÓN:
Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los
respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en 3
−
=
x y en 3
=
x , lo que significa dos
cosas:
1.
( )
3 3
lím (2 ) lím ( ) 3
2(3) 3
2 6
− +
→− →−
− = + = −
− = +
− =
x x
x a ax b f
a a b
a b
2.
( )
3 3
lím( ) lím( 5 ) 3
(3) 5(3)
3 15
5
− +
→ →
+ = − =
/ /
+ = −
= −
= −
x x
ax b b x f
a b b
a
a
reemplazando el valor de a en la primera ecuación obtenida, resulta:
16
6
)
5
(
2
−
=
=
−
−
b
b
Es decir, que la función
2 5 ; 3
( ) 5 16 ; 3 3
16 5 ; 3
+ −
⎧
⎪
= − − − ≤ ≤
⎨
⎪− −
⎩
x x
f x x x
x x
será continua en todo R .

78. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
76
Ejercicio resuelto 4
Analizar la continuidad de la función
6
9
)
(
−
−
=
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la
inecuación 0
6
9
≥
−
−
x
x
.
Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( ]
6,9 , que será también su intervalo de continuidad.
Ejercicio resuelto 5
CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LA PROPOSICIÓN. Justifique formalmente su
respuesta.
“Si f es una función de variable real continua en y se conoce que
( ) ( )
( )
3
0
1 2
lim 1
3
x
f x f x x
sen x
→
⎛ ⎞
+ − + −
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, entonces ( ) ( )
1 0 2
f f
= + .”
SOLUCIÓN:
Primero calculemos ( ) ( )
( )
3
0
lim 1 2
x
f x f x x
→
+ − + − .
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
3
3
0 0
3
0 0
0
1
3
0
1 2
lim 1 2 lim 3
3
1 2
lim lim 3
3
1 0
lim 1 2 0
x x
x x
x
f x f x x
f x f x x sen x
sen x
f x f x x
sen x
sen x
f x f x x
→ →
→ →
→
⎛ ⎞
+ − + −
+ − + − = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ − + −
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
+ − + − =
Como f es continua, entonces:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
0
lim 1 2 0 1 0 0 2
1 0 2
x
f x f x x f f
f f
→
+ − + − = + − + −
= − −
Finalmente, igualamos los dos resultados:
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2 0 1 0 2
f f f f
− − = ⇒ = +
Por tanto la proposición es VERDADERA.
Ejercicio resuelto 6
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
1. Dom f =
2. f es continua en ( ) ( ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞ ,
1
1
,
2
2
,
3. [ ]
ε
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 2
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
4. [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
5. [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
6. [ ]
M
x
f
N
x
x
N
M −
⇒
∀
∃
∀ )
(
,
0
,
0
7. [ ]
ε
ε
+
⇒
+
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
0
2
,
0
,
0 x
f
x
x
8. [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
1
0
,
0
,
0 x
f
x
x
9. 1
)
2
(
,
0
)
3
(
,
0
)
1
(
,
1
)
0
(
,
1
)
2
( =
=
=
−
=
=
− f
f
f
f
f

79. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
77
SOLUCIÓN:
Las condiciones dadas significan:
1. Intervalos de continuidad ( ) ( ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞ ,
1
1
,
2
2
,
2. 2
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
asíntota horizontal 2
=
y para x negativos.
3. −∞
=
+
−
→
)
(
lím
2
x
f
x
asíntota vertical 2
−
=
x por derecha
4. ∞
=
+
→
)
(
lím
1
x
f
x
asíntota vertical 1
=
x por derecha
5. −∞
=
∞
→
)
(
lím x
f
x
6. 2
)
(
lím
2
−
=
−
−
→
x
f
x
límite por izquierda de 2
−
=
x
7. 2
)
(
lím
1
=
−
→
x
f
x
límite por izquierda de 1
=
x
8. Puntos que pertenecen a f
Por tanto la grafica sería:
Ejercicios Propuestos 2.2
1. Hallar los valores de a y b , de ser posible, para que f sea continua en R .
1.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
+
≤
=
4
;
6
2
4
1
;
1
;
)
(
2
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
2.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
+
≤
=
4
;
2
4
1
;
1
;
)
(
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
3.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
+
+
=
2
;
3
2
1
;
1
;
1
)
(
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
4.
2 ; 1
( ) ; 1 3
2 3 ; 3
x a x
f x ax b x
ax b x
+ −
⎧
⎪
= + − ≤
⎨
⎪ − ≥
⎩
5. a b
2sen ;
2
( ) cos ;
2 2
sen ;
2
π
π π
π
⎧− ≤ −
⎪
⎪
= + −
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
x x
f x a x bx x
x x
Fig. 2.15

80. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
78
2. Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
1.
1
2
sen
)
(
−
=
x
x
x
f
2.
3
2
1
)
(
2
+
+
=
x
x
x
h
3.
12
5
6
8
2
)
(
2
3
2
−
+
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
f
4. ( )
3 2
3 2
2 18
2 8
x x x
f x
x x x
+ − +
=
+ − −
5.
1
( )
sen 2
x
f x
x
−
=
6.
2
2
1
( ) sen
1
x
f x
x
⎛ ⎞
+
= ⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
3. Sean las funciones:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
0
;
1
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
x
f y
2
1
)
( x
x
g +
=
Para que valores de x , es continua: a) ( )( )
x
g
f D b) ( )( )
x
f
g D
4. Determine el máximo valor de k para que la función:
2
( ) 2
f x x
= −
c f
d g
e h sea continua en el intervalo
[ )
k
+
3
,
3
5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ f es continua en ( ) ( ]
10
,
2
2
,
5 ∪
−
ƒ 0
)
10
(
)
3
( =
= f
f
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ 3
)
(
5
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ f es continua en ( ] ( ) ( )
∞
∪
∪
−∞ ,
3
3
,
0
0
,
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
−
∀
∃
∀ )
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
∀
∃∂
∀ )
(
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
3
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
3
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
ε
ε
+
⇒
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ 0
)
7
(
,
2
)
5
(
)
3
( =
=
= f
f
f
2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES
CONTINUAS
Sea f una función de variable real
definida en el intervalo cerrado [ ]
b
a, . Si f
es continua en [ ]
b
a, entonces para toda
( ) ( )
( ) ,
⎡ ⎤
∈ ⎣ ⎦
f x f a f b existe un [ ]
0 ,
x a b
∈ .

81. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
79
Ejemplo
Demuestre que la ecuación 0
2
3
3
=
−
+ x
x tiene una solución real entre 0 y 1.
SOLUCIÓN:
Definamos la función 2
3
)
( 3
−
+
= x
x
x
f .
Observamos que: 2
)
0
( −
=
f y 2
)
1
( =
f
y como f es continua en [ ]
1
,
0 , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio,
tenemos que si ( ) 0
=
f x existirá un x elemento de [ ]
1
,
0 que lo satisfaga. Es decir: [ ]
1
,
0
∈
∃x tal
que 0
2
3
)
( 3
=
−
+
= x
x
x
f
Ejercicios Propuestos 2.3
1. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.
2. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.
3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
a) Si f es continua y no tiene ceros en [ ]
b
a, , entonces 0
)
(
x
f para toda x en [ ]
b
a, o
0
)
(
x
f , ∈
∀x [ ]
b
a,
b) Si f es continua en 0
x y 0
)
( 0
x
f , hay un intervalo ( )
∂
+
∂
− 0
0 , x
x tal que 0
)
(
x
f en ese
intervalo.
c) El producto de dos funciones f y g es continua en 0
x , si f es continua en 0
x pero g no.
Fig. 2.16
Fig. 2.17

82. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
80
d) Si f es continua en 0
x y g es discontinua en 0
x , entonces g
f + es discontinua en 0
x .
e) Toda función continua en ( )
b
a, es acotada.
f) Toda función acotada en [ ]
b
a, es continua en [ ]
b
a,
g) Si f es continua e inyectiva en [ ]
b
a, entonces su función inversa
1
−
f es continua en [ ]
b
a,
4. Demuestre que la ecuación: 0
1
3
4 3
5
=
+
−
− x
x
x tiene una solución en el intervalo [2,3].
5. Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras,
demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de
tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.
Misceláneos
1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
a) )
(
lím
)
(
lím x
f
x
f
a
x
a
x −
+
→
→
= entonces f es continua en a
x = .
b) Si f y g son funciones continuas en a
x = entonces la función fg también es continua en a
x = .
c) La función de variable real con regla de correspondencia
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
−
+
−
=
2
;
2
2
;
4
2
2
)
( 2
x
x
x
x
x
x
f es
continua en 2
=
x .
d) Si f es una función tal que IR
f
dom = y IR
a ∈
∀ lím ( )
x a
f x
→
existe, entonces f es continua en
todo su dominio.
e) Si f es una función continua en [ ]
b
a, tal que 0
)
(
a
f y 0
)
(
b
f entonces existe al menos un
( )
b
a
c ,
∈ tal que 0
)
( =
c
f .
f) Si f es una función de IR en IR tal que [ ]
x
x
f sen
)
( = entonces f es continua en π
=
x .
g) Sea f una función continua en [ ]
b
a, tal que 0
)
(
)
(
• b
f
a
f entonces no existe un valor [ ]
b
a
c ,
∈
tal que 0
)
( =
c
f .
h) Si f y g son funciones que no son continuas en a
x = entonces la función g
f + no es continua en
a
x = .
i) La función
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
=
2
;
2
2
;
1
)
( 2
x
x
x
x
x
x
f es continua en todo su domino.
j) Sea f una función de variable real con regla de correspondencia
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
=
0
;
0
0
;
cos
1
)
( 2
x
x
x
x
x
f ,
entonces f es continua en todo su dominio.
2. Determine el valor de a para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
π
−
=
π
π
2
2
;
1
;
cos
2
cot
)
(
x
ax
x
x
x
x
x
f sea continua en
2
π
=
x
3. Sea f una función de variable real tal que
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
−
−
+
−
≤
−
=
1
;
1
1
;
1
1
;
1
)
(
2
2
4
5
2
x
x
x
x
B
Ax
Bx
Ax
x
x
x
f
Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.

83. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
81
4. Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones:
• f es continua en los intervalos ( )
0
,
−∞ ; [ ]
1
,
0 ; ( )
+∞
,
1 .
• 0
)
5
(
)
3
(
)
0
( =
=
= f
f
f 1
)
2
(
)
1
( =
= f
f
• 1
)
(
0
−
=
−
→
x
f
lim
x
−∞
=
−∞
→
)
(x
f
lim
x
• [ ]
N
x
f
x
N
⇒
δ
−
δ
∃
∀ )
(
1
0
0
0
• [ ]
ε
ε
−
⇒
∃
∀ 1
)
(
0
0 x
f
M
x
M
• ( )[ ]
0
)
(
5
,
3
∈
∀ x
f
x
5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ ( ) [ )
+∞
∪
−
∞
−
= ,
0
1
,
Domf
ƒ [ ) ( ]
+∞
∪
= ,
,
1 e
e
rgf
ƒ 1
)
0
( =
f
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∀
∃
∀ e
x
f
N
x
x
N )
(
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
+
−∂
∀
∃∂
∀ )
(
0
1
,
0
,
0
6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ Dom f=IR,
ƒ 0
)
(
x
f para ( ] ( )
1
,
0
1
, ∪
−
−∞
∈
x
ƒ 1
)
(
0
)
1
(
)
0
(
1
)
1
(
0
=
∧
=
=
∧
=
− +
→
x
f
lím
f
f
f
x
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
ε
ε
+
⇒
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
0
(
)
(
0
,
0
,
0 f
x
f
x
x
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0 x
f
x
x

84. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
83
3
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA
TANGENTE.
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OBJETIVOS:
• Definir derivada.
• Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas
normales a una curva.
• Realizar demostraciones formales de derivada.
• Calcular derivadas.

85. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
84
Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue
resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da
inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM
LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por
describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo
una trayectoria, después veremos que es el mismo problema.
Empecemos primero estudiando el problema geométrico.
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto 0
x , Fig. 3.1.
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
0 tg 0
( ) ( )
y f x m x x
− = −
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe la Fig. 3.2
x
y
0
x
0
y
( )
y f x
=
Fig. 3.1

86. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
85
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( )
0 0
, ( )
x f x y
( )
0 0
, ( )
x h f x h
+ + sería
0 0
sec
( ) ( )
f x h f x
m
h
+ −
=
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
0 0
tg
0
( ) ( )
lím
h
f x h f x
m
h
→
+ −
=
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y
que sea función del tiempo; es decir ( )
e f t
= . Suponga ahora que se quiere
determinar la velocidad media m
v en un intervalo de tiempo [ ]
0 0
,
t t h
+ , esta
estaría dada por:
( ) ( )
0 0
0 0
m
f t h f t
e
v
t t h t
+ −
Δ
= =
Δ + −
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo t
Δ cada vez más pequeño; es decir:
x
y
0
x h
+
( )
0
f x
( )
y f x
=
0
x
( )
0
f x h
+
h
( ) ( )
0 0
f x h f x
+ −
N
N
Fig. 3.2

87. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
86
( ) ( )
0 0
0 0 0
lim lim lim
m
t t h
f t h f t
e
v v
t h
Δ → Δ → →
+ −
Δ
= = =
Δ
Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
Sea f una función de variable real. Sea 0
x
un punto del dominio de f . La derivada de
f en 0
x , denotada como ( )
0
´
f x , se define
como:
h
x
f
h
x
f
x
f h
)
(
)
(
lím
)
´( 0
0
0
0
−
+
= →
Siempre que este límite exista.
Cuando la derivada en 0
x existe se dice que es f es diferenciable en 0
x .
Otras notaciones que se emplean para la derivada son: ´
y o x
D y .
Leibniz utilizó la notación
dy
dx
.
En cualquier caso, la derivada en x sería:
0
( ) ( )
´( ) lím
h
f x h f x
f x
h
→
+ −
=

88. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
87
3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para
algunos casos resulta muy útil.
En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: 0
h x x
= −
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
´( ) lím lím
( ) ( )
lím
h x x
x x
f x h f x f x x x f x
f x
h x x
f x f x
x x
→ →
→
+ − + − −
= =
−
−
=
−
Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3.
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( )
)
(
, 0
0 x
f
x y ( )
)
(
, x
f
x sería:
0
sec
0
( ) ( )
f x f x
m
x x
−
=
−
. Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada
por:
0
0
tg
0
( ) ( )
lím
x x
f x f x
m
x x
→
−
=
−
x
y
x
( )
0
f x
( )
y f x
=
0
x
( )
f x
0
x x
−
( ) ( )
0
f x f x
−
N
N
Fig. 3.3

89. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
88
Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1
f x x
= +
SOLUCIÓN:
( ) [ ]
0
0
0
0
0
( ) ( )
´( ) lím
2 1 2 1
lím
2 2 1 2 1
lím
2
lím
lím2
´( ) 2
h
h
h
h
h
f x h f x
f x
h
x h x
h
x h x
h
h
h
f x
→
→
→
→
→
+ −
=
+ + − +
⎡ ⎤
⎣ ⎦
=
+ + − −
=
=
=
=
Empleando la forma alternativa:
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
´( ) lím
2 1 2 1
lím
2 1 2 1
lím
2 2
lím
2
lím
lím 2
´( ) 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f x
→
→
→
→
→
→
−
=
−
+ − +
=
−
+ − −
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=
Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada 2
( )
f x x
=
SOLUCIÓN:
( )
( )
( )
x
x
f
h
x
h
h
x
h
h
x
h
xh
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
h
h
h
2
)
´(
2
lím
2
lím
2
lím
lím
)
(
)
(
lím
)
´(
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
=
+
=
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
=
→
→
→
→
→

90. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
89
Empleando la forma alternativa:
( )( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
2 2
0
0
0 0
0
0
0 0
0 0
( ) ( )
´( ) lím
lím
lím
lím
´( ) 2
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
f x x
→
→
→
→
−
=
−
−
=
−
− +
=
−
= +
= +
=
Ejercicios propuestos 3.1
1. Sea ( ) 2
2 1
f x x x
= − + .
a) Calcule el valor de
(2.5) (2)
0.5
f f
−
b) Calcule el valor de
(2.3) (2)
0.3
f f
−
c) Calcule el valor de
(2.1) (2)
0.1
f f
−
d) Calcule el valor de ( )
´ 2
f .Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
2. Hallar ´(3)
f , considerando la gráfica:
3. Empleando la definición, determine la derivada de:
a) ( ) 3 2
f x x
= + d)
2
( ) 2 1
f x x x
= − + −
b) ( ) 2 1
f x x
= − + e)
3
( ) 2
f x x
=
c)
2
( ) 2 3
f x x x
= + − f)
2
3
1
)
(
+
=
x
x
f
( )
y f x
=

91. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
90
3.5 DIFERENCIABILIDAD
Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una
función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será
derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a
derivabilidad para funciones de una variable real.
3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en 0
x , es decir
)
´( 0
x
f existe, entonces f es continua en
0
x
Demostración.
Expresemos lo siguiente:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0 x
f
x
f
x
f
x
f +
−
=
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por ( )
0
x
x − , suponga 0
x x
≠ ,
tenemos:
( ) )
(
)
(
)
(
)
( 0
0
0
0
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f +
−
−
−
=
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
( ) )
(
)
(
)
(
)
( 0
0
0
0
0
0
0
0
x
f
lím
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím
x
f
lím
x
x
x
x
x
x
x
x →
→
→
→
+
−
−
−
=
La expresión
0
0 )
(
)
(
0 x
x
x
f
x
f
lím
x
x −
−
→
es igual )
´( 0
x
f , debido a que de hipótesis se dice que f es
derivable en 0
x . Entonces:
( )
[ ]
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0
)
´(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
)
(
tan
0
0
0
)
´(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
f
x
f
lím
x
f
x
f
x
f
x
f
lím
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím
x
f
lím
x
x
x
f
te
cons
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
=
+
=
+
=
+
−
−
−
=
→
→
→
→
→
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en 0
x . L.Q.Q.D.

92. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
91
Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en
0
x entonces no es diferenciable en 0
x .
También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable.
Ejemplo
Hallar )
1
´(
f para 1
)
( −
= x
x
f
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa de la derivada:
1
1
lím
1
0
1
lím
1
)
1
(
)
(
lím
)
1
´(
1
1
1
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
→
→
→
x
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
x
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:
1. 1
1
lím
1
1
lím
1
1
=
=
−
−
+
+
→
→ x
x x
x
2.
( ) ( ) 1
1
1
1
1
1
−
=
−
=
−
−
−
−
−
→
→ x
x
lím
x
x
lím
Como los límites laterales son diferentes, entonces
1
1
lím
)
1
´(
1 −
−
=
→ x
x
f
x
no existe.
Observando la gráfica de 1
−
= x
y , Fig. 3.4
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de
1
=
x , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en 1
=
x . Esta función aunque es
continua en 1
=
x , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica
diferenciabilidad.
Fig. 3.4

93. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
92
3.5.2 DERIVADAS LATERALES.
Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla
unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha del punto 0
x
de una función f se define como:
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lím
)
´( 0
0
0
0
−
+
= +
→
+
o por la forma
alternativa:
0
0
0
)
(
)
(
lím
)
´(
0 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x −
−
= +
→
+
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda del punto 0
x
de una función f se define como:
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lím
)
´( 0
0
0
0
−
+
= −
→
−
o por la forma
alternativa:
0
0
0
)
(
)
(
lím
)
´(
0 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x −
−
= −
→
−
Por tanto, para que )
´( 0
x
f exista, se requiere que las derivadas laterales
existan y sean iguales. Es decir, si )
´(
)
´( 0
0
−
+
≠ x
f
x
f , se dice que f no es
derivable en 0
x y su gráfica no será suave en ese punto.
Ejemplo
Hallar )
2
´(
f para
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
=
2
;
1
2
;
1
2
)
( 2
x
x
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
Primero veamos si que es continua en 2
=
x .
Como ( ) 3
1
2
2
=
−
−
→
x
lim
x
y ( ) 3
1
2
2
=
−
+
→
x
lim
x
entonces f si es continua en 2
=
x -
Segundo. Para hallar )
2
´(
f debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición
a la izquierda y la derecha de 2
=
x .

94. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
93
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
2
2
lim
2
4
2
lim
2
1
2
2
1
2
lim
)
2
´(
2
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
= −
−
−
→
→
→
−
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
( ) ( ) ( )( ) 4
2
2
2
lim
2
4
lim
2
1
2
1
lim
)
2
´(
2
2
2
2
2
2
=
−
−
+
=
−
−
=
−
−
−
−
= +
+
+
→
→
→
+
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
Por tanto, Como ( )
+
−
≠ 2
´
)
2
´( f
f entonces )
2
´(
f no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en
un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.
Ejemplo
Sea 3
)
( x
x
f = hallar )
0
´(
f
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa:
( )
existe
no
f
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
x
∞
=
=
−
=
−
−
=
→
→
→
)
0
´(
1
lím
0
lím
0
)
0
(
)
(
lím
)
0
´(
3
2
0
3
0
0
Lo que ocurre es que la recta tangente, en 0
=
x , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5
Por tanto, si una función es diferenciable
en un punto 0
x ocurren tres cosas:
1. Es continua en ese punto
2. Es suave en ese punto
3. La recta tangente no es vertical en
ese punto
Fig. 3.5

95. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
94
Un problema de diseño
Ejemplo
Sea:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
=
2
;
2
;
)
( 2
x
x
x
b
mx
x
f Determine m y b para que f sea diferenciable en todo su dominio.
SOLUCIÓN:
Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en
todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que
debemos centrarnos en dos cosas:
1. f debe ser continua en 2
=
x , es decir:
( ) ( ) ( )
2
2 2
lím 2 lím
2 4
x x
mx b f x
m b
− +
→ →
+ = =
+ =
2. f debe ser suave en 2
=
x , es decir: )
2
´(
)
2
´( −
+
= f
f
( )( ) ( ) 4
2
2
2
2
2
4
2
)
2
(
)
(
)
2
´(
2
2
2
2
2
=
+
=
−
+
−
=
−
−
=
−
−
=
+
+
+
+
→
→
→
→
+
x
lím
x
x
x
lím
x
x
lím
x
f
x
f
lím
f
x
x
x
x
( ) ( ) ( ) m
x
x
m
lím
x
b
m
b
mx
lím
x
b
m
b
mx
lím
x
f
x
f
lím
f
x
x
x
x
=
−
−
=
−
−
−
+
=
−
+
−
+
=
−
−
=
−
−
−
−
→
→
→
→
−
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
(
)
2
´(
2
2
2
2
Por tanto 4
=
m y al reemplazar en la primera ecuación 4
)
4
(
2 =
+ b tenemos 4
−
=
b
Ejercicios Propuestos 3.2
1. Hallar ´(1)
f para 2
2 1; 1
( )
2 ; 1
x x
f x
x x
+
⎧
= ⎨
+ ≥
⎩
2. Hallar )
3
´(
f para
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
−
+
−
=
3
;
17
6
3
;
10
)
(
2
x
x
x
x
x
f
3. Hallar )
2
´(−
f para
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≥
−
−
+
=
2
;
7
2
;
1
2
)
( 2
x
x
x
x
x
f
4. Sea la función f definida por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≤
+
=
2
;
2
;
2
)
(
2
x
b
ax
x
x
x
x
f .
Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en 2
=
x
5. Sea la función f definida por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
≤
+
=
1
;
2
3
1
;
3
)
( 2
x
bx
ax
x
b
ax
x
f
Determine los valores para a y b para f que sea derivable en todo su dominio.
6. Sea la función f definida por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
+
+
=
1
;
1
1
;
)
(
2
x
x
x
c
bx
ax
x
f .
Determine a , b y c para que )
1
´(
f exista.

96. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
95
3.6 DERIVACIÓN
El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este
trabajo se dispone de técnicas y reglas.
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las
fórmulas siguientes:
1. R
k
k
Dx ∈
∀
= ;
0
)
(
2. 1
)
( =
x
Dx
3. ( )
1
)
( −
= n
n
x
x
n
x
D
4. x
x
x e
e
D =
)
(
5. a
a
a
D x
x
x ln
)
( =
6.
x
x
Dx
1
)
(ln =
7.
a
x
x
D a
x
ln
1
)
(log =
8. x
x
Dx cos
)
(sen =
9. x
x
Dx sen
)
(cos −
=
10. 2
(tan ) sec
x
D x x
=
11. 2
(cot ) csc
x
D x x
= −
12. (sec ) sec tan
x
D x x x
=
13. (csc ) csc cot
x
D x x x
= −
Demostraciones:
Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:
1. Sea ( )
f x k
= . Hallaremos su derivada empleando la definición:
0
( ) ( )
´( ) lím
h
f x h f x
f x
h
→
+ −
=
0
0
lím
lím
)
(
0
0
=
=
−
=
→
→ h
h
k
k
k
D
h
h
x (La derivada de una constante es cero)

97. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
96
2. Sea ( )
f x x
= entonces:
( )
0 0
( ) lím lím 1
x
h h
x h x h
D x
h h
→ →
+ −
= = =
3. Sea ( ) n
f x x
= entonces:
( )
0
( ) lím
n n
n
x
h
x h x
D x
h
→
+ −
= . Consideraremos n∈` . Desarrollando el
binomio y simplificando:
( )
( )
( )
( )
( )
N
1
1 2 2 1
2
0 0
1
1 2 2 1
2
0
1
1 2 2 1
2
0
1
1 2 2
2
0
0 0
0
...
( ) lím lím
...
lím
...
lím
lím ...
n n
n n n n n n
n n
n
x
h h
n n
n n n n
h
n n
n n n n
h
n n
n n n
h
x nx h x h nxh h x
x h x
D x
h h
nx h x h nxh h
h
h nx x h nxh h
h
nx x h nxh
−
− − −
→ →
−
− − −
→
−
− − − −
→
−
− − −
→
⎡ ⎤
+ + + + + −
+ − ⎣ ⎦
= =
+ + + +
=
⎡ ⎤
/ + + + +
⎣ ⎦
=
/
= + + +
N
( )
1
0
1
( )
n
n n
x
h
D x n x
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
4. Sea ( ) x
f x e
= entonces:
( ) ( )
0 0 0 0
1
1 1
( ) lím lím lím lím
x h h
x h x x h x
x x x
x
h h h h
e e e
e e e e e
D e e e
h h h h
+
→ → → →
− −
− −
= = = = =
6. Sea ( ) ln
f x x
= entonces:
( )
x
x
D
e
x
h
x
h
h
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
x
D
x
x
h
h
h
h
h
h
x
x
x
h
1
)
(ln
ln
1
lím
ln
1
ln
lím
1
ln
lím
ln
lím
ln
ln
lím
)
(ln
1
1
0
1
0
0
0
0
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
−
+
=
→
→
→
→
→
8. Sea ( )
f x sen x
= entonces:
[ ]
( ) ( )
x
x
D
x
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
x
h
x
x
x
h
x
h
x
x
D
x
h
h
h
h
h
h
h
x
cos
)
(sen
)
1
(
cos
)
0
(
sen
senh
lím
cos
)
1
(cosh
lím
sen
cos
senh
lím
)
1
(cosh
sen
lím
cos
senh
)
1
(cosh
sen
lím
sen
cos
senh
cosh
sen
lím
sen
)
sen(
lím
)
(sen
0
0
0
0
0
0
0
=
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
+
=
−
+
=
→
→
→
→
→
→
→
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.

98. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
97
Ejemplo 1
Si ( ) 4
f x = entonces ( )
´ 0
f x = (FORMULA 1)
Ejemplo 2
Si ( ) 2
f x x
= entonces ( ) 2 1
´ 2 2
f x x x
−
= = (FORMULA 3)
Ejemplo 3
Si ( ) ( )
1
2
f x x x
= = entonces ( ) ( )
1
2
1
1
2
1
´
2
f x x
x
−
= = (FORMULA 3)
Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la recta tangente a ( ) 3
f x x
= en 1
x =
SOLUCIÓN:
Observe la Fig. 3.6
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:
( )
0
0 x
x
m
y
y −
=
−
El punto sería:
0 1
x = y ( )
3
0 0
( ) 1 1
y f x
= = =
La pendiente sería:
2
0 1
´( ) ´(1) 3 3
tg x
m f x f x
=
= = = =
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: 1 3( 1)
y x
− = −
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen
comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos
casos.
( ) 3
f x x
=
Recta tangente
Fig. 3.6

99. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
98
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una
constante, entonces:
1. ( ( )) ´( )
d
kf x kf x
dx
= (Múltiplo constante)
2. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
+ = + (Suma)
3. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
− = − (Resta)
4. ( ( ) ( )) ´( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x f x g x f x g x
dx
= + (Producto)
5.
[ ]
2
( ) ´( ) ( ) ( ) ´( )
( ) ( )
d f x f x g x f x g x
dx g x g x
⎛ ⎞ −
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(Cociente)
Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
[ ]
0
0
0
( ) ( )
( ( )) lím
( ) ( )
lím
( ) ( )
lím
´( )
h
h
h
d kf x h kf x
kf x
dx h
k f x h f x
h
f x h f x
k
h
kf x
→
→
→
+ −
=
+ −
=
+ −
=
=
2.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím lím
´( ) ´( )
h
h
h h
f x h g x h f x g x
d
f x g x
dx h
f x h f x g x h g x
h
f x h f x g x h g x
h h
f x g x
→
→
→ →
+ + + − +
+ =
+ − + + −
=
+ − + −
= +
= +
3.
[ ] [ ]
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
h
f x h g x h f x g x
d
f x g x
dx h
→
+ + −
=
Al numerador le sumamos y restamos ( ) ( )
f x g x h
+
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
lím
h
f x h g x h f x g x f x g x h f x g x h
h
→
+ + − − + + +
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:

100. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
99
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lím
( ) ( ) ( )
lím
( ) ( )
lím ( ) lim
( ) ( )
lím lim ( ) lim
´
h
h
h h
h h h
f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
h
f x h f x g x h g x h g x f x
h
f x h f x g x h g x
g x h f x
h h
f x h f x g x h g x
g x h f x
h h
f x g
→
→
→ →
→ → →
+ + − + + + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ − + + + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ +
+ − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ +
( ) ( ) ( )
´
x f x g x
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.
Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)
Si ( )
1
3
3
4
4
f x x
x
−
= = entonces ( ) ( ) ( )
1
1 4
3 3 3
1
1
3
4
´ 4 4
3
d
f x x x x
dx
− −
− −
= = − = −
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)
Si ( )
2
4 3
f x x
x
= − + entonces
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1
´ 4 2 3 4 2 0
2
d d d
f x x x x
dx dx dx x
− −
⎛ ⎞
= − + = + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 3 (Derivada del producto)
Si ( ) x
f x xe
= entonces ( ) ( ) ( ) ( )
´ 1 1
x x x x x
d d
f x x e x e e xe e x
dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + = + = +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
Si ( ) ( )( )
2 3
2 1
f x x x
= + + entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 3 2 3
3 2 2
4 4 2
4 2
´ 2 1 2 1
2 0 1 2 3 0
2 2 3 6
5 6 2
d d
f x x x x x
dx dx
x x x x
x x x x
x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + + + + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + + + +
= + + +
= + +

101. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
100
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
[ ]
( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x
dx
= + +
¡Generalícela!
Ejemplo 5 (Derivada del producto)
Si ( ) ln
x
f x e senx x
= entonces
( )
´ ln ln ln
1
ln cos ln
x x x
x x x
d d d
f x e senx x e senx x e senx x
dx dx dx
e senx x e x x e senx
x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
Si ( )
2
3
2
1
x
f x
x
+
=
+
entonces
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
2 3 2 3
3 2 2
2 2
3 3
4 4 2 4 2
2 2
3 3
2 1 2 1 2 1 2 3
´
1 1
2 2 3 6 6 2
1 1
d d
x x x x x x x x
dx dx
f x
x x
x x x x x x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + − + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
+ +
+ − − − − +
= =
+ +
Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.
Ejemplo 7
Determine ( ),
0
f ′ si ( ) ( )( ) ( )
1 2 ... 100
f x x x x x
= + + + .
SOLUCIÓN:
La derivada de f sería
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
´ 1 1 2 100 1 2 100 1 1 ... 100
f x x x x x x x x x x
= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ahor
a evaluamos la derivada en cero:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0
´ 0 1 0 1 0 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 0 1 1 ... 0 100
´ 0 1 2 100 100!
f
f
= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =

102. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
101
Ejemplo 8
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )
2, 5
− − y que son tangentes
a la curva definida por la ecuación 2
4
y x x
= + .
SOLUCIÓN:
Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7
Note que el punto ( )
2, 5
− − no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que
hay dos).
La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en 0
x x
= , es decir
( ) 0
0 0
´ 2 4 2 4
tg x x
m f x x x
=
= = + = +
La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( )
2, 5
− − y ( )
0 0
,
x y , es decir:
( )
( )
0 0
0 0
5 5
2 2
tg
y y
m
x x
− − +
= =
− − +
El punto ( )
0 0
,
x y pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir:
2
0 0 0
4
y x x
= + . Al
reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
2
0 0 0
0 0
5 4 5
2 2
tg
y x x
m
x x
+ + +
= =
+ +
Ahora igualamos las pendientes y encontramos 0
x :
( )( )
2
0 0
0
0
2 2
0 0 0 0
2
0 0
0 0
0 0
4 5
2 4
2
2 8 8 4 5
4 3 0
3 1 0
3 1
x x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
+ +
+ =
+
+ + = + +
+ + =
+ + =
= − ∨ = −
( )
2, 5
− −
( )
0 0
,
x y
( )
0 0
,
x y
( ) 2
4
f x x x
= +
Fig. 3.7

103. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
102
Estos valores los reemplazamos en
2
0 0 0
4
y x x
= + , y obtenemos los respectivos 0
y :
( ) ( )
2
0 3 4 3 9 12 3
y = − + − = − = −
( ) ( )
2
0 1 4 1 1 4 3
y = − + − = − = −
Por tanto, los puntos de tangencia son ( )
3, 3
− − y ( )
1, 3
− − .
Las respectivas pendientes serían:
( )
( )
2 3 4 2
2 1 4 2
tg
tg
m
m
= − + = −
= − + = +
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
( ) ( )
( )
( )
3 2 3
3 2 3
2 9
y x
y x
y x
− − = − − −
+ = − +
= − −
y
( ) ( )
( )
( )
3 2 1
3 2 1
2 1
y x
y x
y x
− − = − −
+ = +
= −
Ejemplo 9
Si f , g y h son funciones tales que
( ) ( )
( )
2 ( ) 3 ( )
f x g x
h x
f x g x
=
+
, (1) 3
f = , (1) 3
g = − ,
´(1) 2
f = − , ´(1) 1
g = . Determine ´(1)
h .
Solución:
La derivada de h sería:
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
2
2
( ) ( )
´( )
2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
2 ( ) 3 ( )
´( ) ( ) ( ) ´( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ´( ) 3 ´( )
2 ( ) 3 ( )
x
x x
f x g x
h x D
f x g x
D f x g x f x g x f x g x D f x g x
f x g x
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
f x g x
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
+ − +
=
+
+ + − +
=
+
Ahora evaluando en 1:
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
2
2
2
2
´(1) (1) (1) ´(1) 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 ´(1) 3 ´(1)
´(1)
2 (1) 3 (1)
( 2)( 3) (3)(1) 2(3) 3( 3) (3)( 3) 2( 2) 3(1)
2(3) 3( 3)
6 3 6 9 9 4 3
6 9
9 3 9 1
3
36
9
´(1) 4
f g f g f g f g f g
h
f g
h
+ + − +
=
+
− − + + − − − − +
=
+ −
+ − + − +
=
−
− + −
=
−
−
=
= −

104. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
103
Ejemplo 10
Demuestre que las gráficas de ( ) 2
f x senx
= y ( ) 2 cos
g x x
= se intersecan en ángulo
recto en cierto punto tal que 2
0 π
≤
≤ x
SOLUCIÓN:
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: x
x cos
2
sen
2 = , de aquí se obtiene
1
tg =
x , lo cual quiere decir que 4
π
=
x
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son
perpendiculares, es decir 1
2
1 −
=
m
m . Fig. 3.8
Si ( ) 2 sen
f x x
= , entonces ( )
´ 2 cos
f x x
= que en el punto tenemos:
1
2
2
2
cos
2 4
1 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
= π
m
Si ( ) 2 cos
g x x
= , entonces ( )
´ 2 sen
g x x
= − que en el punto tenemos:
1
2
2
2
sen
2 4
2 −
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
= π
m
Por tanto: ( )( ) 1
1
1
2
1 −
=
−
=
m
m L.Q.Q.D.
Ejercicios Propuestos 3.3
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) ( ) 3
4 2ln 3 x
f x x x e
= + −
b) ( ) ( )( )
3 2
2 1
f x x x
= + +
c) ( ) ( )( )
cos
f x x senx x x
= − +
d) ( )
2
1
x
f x
x senx
+
=
e) ( )
1
x
xe
f x
senx
=
+
f) ( ) 2
1
ln
2
x
f x x e x
=
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 2
2 2
f x x x
= + + en el
punto ( )
1,5 .
3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
( ) 2
3 4
f x x
= + y que sea paralela a la recta 3 2 0
x y
+ + = .
Fig. 3.8

105. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
104
4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )
2,5 y que son tangentes a la curva definida
por la ecuación
2
4
y x x
= − .
5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por
3 2
( ) 2 3 24
f x x x x
= + − y
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0
7
12 =
+
− y
x .
6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
2
y x
= .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
2
7 x
y −
= . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
8. Determine ( ),
0
f ′ si ( ) ( )( ) ( )
50
...
2
1 −
−
−
= x
x
x
x
x
f
9. Si f , g y h son funciones tales que
)
(
4
)
(
3
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
h
−
= , 2
)
3
( =
f , 2
)
3
( −
=
g , 1
)
3
´( −
=
f ,
2
)
3
´( =
g . Determine )
3
´(
h .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.
3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea ( )
y f u
= y ( )
u g x
= . Si g es
diferenciable en 0
x y f diferenciable
en ( )
0
g x entonces la función
compuesta ( )( ) ( )
( )
f g x f g x
=
D es
diferenciable en 0
x y
( ) [ ]
0
0 0
( )
( ( ) ´( ) ´( )
x x
g x
d
f g x f g x
dx =
=
O lo que es lo mismo
( )
u g x
dy dy du
dx du dx =
=
Ejemplo 1
Si ( )20
2
2
+
= x
y entonces haciendo 2
)
( 2
+
=
= x
x
g
u tenemos ( ) 20
u
u
f
y =
= de donde
19
20u
du
dy
= y x
dx
du
2
= .

106. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
105
Por tanto ( )( )
x
u
dx
du
du
dy
dx
dy
2
20 19
=
= que al reemplazar u resulta
( )
( )( ) ( )19
2
19
2
2
40
2
2
20 +
=
+
= x
x
x
x
dx
dy
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para
observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de
la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
Si ( )
u
x
x
sen
y 3
3
−
= entonces ( ) ( ) ( )
[ ][ ]
3
3
3
cos
3
´ 2
3
3
−
−
=
−
= x
x
x
x
x
D
senu
D
y x
u
Ejemplo 3
Si
30
2
2
3
1
3
u
x
x
x
x
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
= entonces
( )( ) ( )( )
( )
29
3 2 3 2
2 2
29 2 2 3 2
3 2
2 2
2
3 3
´ 30
1 1
3 6 1 1 3 2
3
30
1 1
x
x x x x x x
y D
x x
x x x x x x x
x x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + + +
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ + − − + +
⎡ ⎤
+ + ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ −
⎣ ⎦
Para el caso de funciones de la forma ( )
( ( )
y f g h x
= haciendo que
( )
v h x
= tenemos ( )
( )
y f g v
= y ahora haciendo que ( )
u g v
= tenemos
( )
y f u
= ; entonces
dy dy du dv
dx du dv dx
= .
O más simplemente ( ) [ ][ ]
´ ´ ( ( )) ´( ( )) ´( )
y f g h x g h x h x
= ⎡ ⎤
⎣ ⎦
Ejemplo 4
Si ( ) ( )
N
4
2
2
4
3
cos
3
cos
u
v
x
x
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
= entonces:

107. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
106
( )
[ ] ( )
[ ]
( )
[ ] ( )
[ ] ( )
( )
[ ] ( )
[ ][ ]
x
x
x
x
D
x
x
x
D
x
y
x
x
6
3
sen
3
cos
4
3
3
sen
3
cos
4
3
cos
3
cos
4
´
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
−
=
−
=
=
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio Resuelto 1
Si ( ) 4
2 =
f , ( ) 6
4
´ =
f , ( ) 2
2
´ −
=
f hallar:
a) [ ]3
)
(x
f
dx
d
en 2
=
x b) ( ) )
2
´(
f
f D
SOLUCIÓN:
a) [ ] [ ] )
´(
)
(
3
)
( 2
3
x
f
x
f
x
f
dx
d
= que en 2
=
x sería:
[ ] ( ) ( ) 96
2
4
3
)
2
´(
)
2
(
3 2
2
−
=
−
=
f
f
b) ( ) [ ] [ ] [ ][ ] 12
)
2
)(
6
(
)
2
´(
)
4
´(
)
2
´(
))
2
(
(
´
´
)
2
(
(
)
2
´(
4
−
=
−
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
= f
f
f
f
f
f
f
f
f
D
Ejercicio Resuelto 2
Si
h
g
f
H
D
= y además: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
;
5
3
;
2
2
;
2
3
;
3
2
;
1
2 −
=
′
=
′
−
=
′
=
=
−
= g
f
h
f
g
h ; determine
( )
2
H ′ .
SOLUCIÓN:
Como
h
g
f
x
H
D
=
)
( entonces:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]2
2
)
(
)
´(
))
(
(
)
(
)
´(
))
(
´(
)
(
)
´(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
´(
x
h
x
h
x
g
f
x
h
x
g
x
g
f
x
h
x
h
x
g
f
x
h
x
g
f
D
x
h
x
g
f
D
x
H x
x
−
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
que en 2
=
x sería:
[ ]
[ ] [ ]
19
)
2
´(
1
)
2
)(
2
(
)
1
)(
3
)(
5
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)
1
)(
3
(
)
3
´(
)
2
(
)
2
´(
))
2
(
(
)
2
(
)
2
´(
))
2
(
(
´
)
2
´(
2
2
3
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
H
f
f
h
h
g
f
h
g
g
f
H

108. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
107
Ejercicio Resuelto 3
Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que )
(
)
( x
f
x
f =
− . Ahora tomando derivada a ambos
miembros de la igualdad tenemos:
[ ] [ ]
[ ]( )
)
´(
)
´(
)
´(
)
´(
)
´(
1
)
´(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
D
x
f
D x
x
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
La última igualdad nos indica que ´
f es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea )
(x
u
u = , entonces:
1. ( ) ´
)
( 1
u
u
n
u
D n
n
x
−
=
2. ´
)
( u
e
e
D u
u
x
=
3. ( ) ´
ln
)
( u
a
a
a
D u
u
x =
4. ´
1
)
(ln u
u
u
Dx =
5. ´
ln
1
)
(log u
a
u
u
D a
x =
6. ( ) ´
cos
)
(sen u
u
u
Dx =
7. ( ) ´
sen
)
(cos u
u
u
Dx −
=
8. ( )
2
(tan ) sec ´
x
D u u u
=
9. ( )
2
(cot ) csc ´
x
D u u u
= −
10. ( )
(sec ) sec tan ´
x
D u u u u
=
11. ( )
(csc ) csc cot ´
x
D u u u u
= −

109. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
108
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) ( ) 2
2 2
f x x x
= − +
b) ( )
1
2 3
f x
x
=
−
c) ( )
x x
x x
e e
f x
e e
−
−
−
=
+
d) ( )
2
2
1
1
x
f x
x
−
=
+
e) ( )
3
cos2
senx
f x
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
f) ( ) ( )
2
ln ln 1
f x x
⎡ ⎤
= +
⎣ ⎦
g) ( )
2
2 2
1 1
ln
4 4 4
x
f x
x x
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
2. Si { }
I
ervalo
un
en
derivable
función
una
es
f
f
V int
/
= . Demuestre que:
[ ]
)
(
'
)
(
'
)
(
)
( x
f
x
f
x
f
x
f
V
f =
−
⇒
−
=
−
∈
∀ (La derivada de una función impar es una función par)
3. Hallar ( ) ( )
x
g
f ′
D , si ( )
2
u
e
u
f = y ( ) ( )
4 2
2
cos
1 x
x
g
u +
=
=
4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo IR
x ∈ , tales que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
,
,
5
3
,
3
3
,
1
2
,
3
2
,
2
,
2 −
=
′
=
−
=
′
=
−
=
′
=
−
=
′
= a
f
a
a
f
f
f
h
h
a
g
a
g .
4
)
´(
,
)
( =
= a
h
a
a
h
En a
x = determine el valor de:
a) ( )´
f
g D b) ( )´
h
g D c) ( )´
g
h D
d) ( )´
g
h
f D
D e)
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
f
g
g
h
g
h
f
D
D
D
D
5. Sea 0
)
0
( =
f y 2
)
0
(
' =
f , encuentre la derivada de ))))
(
(
(
( x
f
f
f
f en 0
=
x .
6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos 1
x y 2
x tales que 2
1)
( x
x
f = y 1
2)
( x
x
f = . Sea
( ) ( )
( )
( )
( )
x
f
f
f
f
x
g = pruebe que )
(
'
)
(
' 2
1 x
g
x
g =
7. Pruebe que si un polinomio )
(x
p es divisible entre ( )2
b
ax + entonces )
(
' x
p es divisible entre ( )
b
ax + .
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ( ) ( ) ( )
2
p x c x ax b
= +
⎡ ⎤
⎣ ⎦ y derívelo.

110. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
109
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de
esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea ( )
y f x
= una función n veces
derivable, entonces:
La primera derivada es:
h
x
f
h
x
f
y
D
dx
dy
x
f
y
h
x
)
(
)
(
lím
)
´(
´
0
−
+
=
=
=
=
→
La segunda derivada es:
( )
h
x
f
h
x
f
y
D
dx
y
d
x
f
y
y
D
h
x
x
)
´(
)
´(
lím
)
´´(
´´
´
0
2
2
2
−
+
=
=
=
=
=
→
La tercera derivada es:
( )
h
x
f
h
x
f
y
D
dx
y
d
x
f
y
y
D
h
x
x
)
´´(
)
´´(
lím
)
´´´(
´´´
´´
0
3
3
3
−
+
=
=
=
=
=
→
En fin, La n ésima
− derivada es:
h
x
f
h
x
f
y
D
dx
y
d
x
f
y
n
n
h
n
x
n
n
n
n )
(
)
(
lím
)
(
1
1
0
−
−
→
−
+
=
=
=
=
Ejemplo 1
Hallar ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− x
Dn
x
2
1
1
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos: ( ) 1
2
1
2
1
1 −
−
=
−
= x
x
y .
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) 4
5
4
5
3
5
3
4
3
4
2
4
2
3
2
3
3
1
2
2
2
2
2
1
!
4
2
2
1
4
3
2
2
)
2
(
2
1
)
4
)(
3
2
(
2
2
1
)
!
3
(
2
2
1
)
3
2
(
2
2
2
1
3
2
´´´
2
2
1
)
!
2
(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
´´
2
2
1
!
1
2
2
1
2
2
1
´
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
×
×
=
−
−
−
×
=
−
=
−
×
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
x
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
IV
Directamente la quinta derivada sería ( )( ) 5
6
2
2
1
!
5
−
−
= x
yV
Por tanto la n-ésima derivada sería: ( )( ) ( ) n
n
n
x
n
y 2
2
1
! 1
+
−
−
=

111. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
110
Ejemplo 2
Hallar
1
1 3
n
x
D
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos: ( )
1
1
1 3
1 3
y x
x
−
= = +
+
.
Obteniendo derivadas:
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2
3 2
4 3
5 4
´ 1 3 3
´´ 2 1 3 3
´´´ 2 3 1 3 3
(2 3 4) 1 3 (3 )
IV
y x
y x
y x
y x
−
−
−
−
= − +
= + +
= − × +
= + × × +
Directamente la quinta derivada sería ( )( ) ( )
6 5
5! 1 3 3
V
y x
−
= − +
Por tanto la n-ésima derivada sería: ( ) ( )( ) ( )
( )
1
1 ! 1 3 3
n n
n n
y n x
− +
= − +
Ejemplo 3
Demuestre que ( ) !
n
x
D n
n
x = ; n∈ `
SOLUCIÓN:
Como n
x
y = entonces:
( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
1
2
3
´
´´ 1
´´´ 1 2
1 2 3 1
1 2 3 1
!
n
n
n
n n n
y nx
y n n x
y n n n x
y n n n n n n x
n n n n
n
−
−
−
−
=
= −
= − −
= − − − − −
= − − −
=
Ejercicio Propuesto 3.5
1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a. ( )
[ ]
2
4
4
cos x
dx
d
b.
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+ x
x
sen
x
dx
d
1
2
2
2
π
c. [ ]
x
n
n
xe
dx
d
d. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− x
D n
x
4
5
e. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
x
x
Dx
1
1
30
f. [ ]
xsenx
dx
d
35
35

112. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
111
2. Determine
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ x
dx
d
x
dx
d
1
1
2
2
3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
( )
0
1
1
1 ... a
x
a
x
a
x
a
D n
n
n
n
n
x +
+
+
+ −
− , n∈`
4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que 1
)
1
( =
P , 3
)
1
´( =
P , 6
)
1
´´( =
P , 12
)
1
´´´( =
P .
Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia
estaban dadas por una ecuación de la forma ( )
y f x
= , esta forma la llamaremos
en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada
en la forma ( , ) 0
F x y = , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se
desea obtener la derivada ´
y de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de
ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de
problema.
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para obtener ´
y en una función implícita ( , ) 0
F x y = sin necesidad de
despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla
como 0
))
(
,
( =
x
f
x
F y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta
las reglas mencionadas lograríamos lo deseado.
Ejemplo
Sea
4 5
0
x y
− = la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la
podemos obtener por una de las siguientes formas:
1. Despejando y (forma explícita:
4
5
y x
= ) entonces:
1
5
4
´
5
y x
−
=
2. Sin despejar y (forma implícita:
4 5
0
x y
− = ).
La consideraremos como ( )
5
4
0
x f x
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦ . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación:
( ) [ ]
( ) ( )
5
4
4
3
0
4 5 ´ 0
x x
D x f x D
x f x f x
⎡ ⎤
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎣ ⎦
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Ahora despejamos ( )
´
f x :
( )
( )
3
4
4
´
5
x
f x
f x
=
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar
( )
4
5
f x x
= :

113. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
112
( )
( )
3 3 3
1
5
4 4 16
4 5
5
4 4 4 4
´
5
5 5
5
x x x
f x x
f x x
x
−
= = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejemplo 2
Sea 1
2
2
=
+ y
x con 0
y ≥ (semicircunferencia), hallar ´
y
SOLUCIÓN:
PRIMER MÉTODO.
Como es posible despejar y , tenemos
2
1
y x
= + −
Entonces:
( ) ( )
1
2
2
1
2
2
´ 1 2
1
y x x
x x
y
x
−
= − −
= − = −
−
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ] 1
)
( 2
2
=
+ x
f
x y tomar derivada a ambos
miembros de la igualdad:
[ ]
( ) ( )
0
)
´(
)
(
2
2
1
)
( 2
2
=
+
=
+
x
f
x
f
x
D
x
f
x
D x
x
que es lo mismo que: 0
´
2
2 =
+ yy
x
despajando ´
y resulta:
2
´
1
x x
y
y x
= − = −
−
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.
Ejemplo
Suponga que la ecuación fuese 1
2
2
−
=
+ y
x
Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener ´
y sería de la misma forma que el ejemplo
anterior.
En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida,
la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener
la derivada y es lo que hemos dejado explicado.
Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo
funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de
obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

114. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
113
Ejercicio Resuelto 1
Hallar ´
y para
3
2
3
2
7
4 y
xy
x =
+
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
( ) ( )
( )
´
6
´
14
7
12
´
6
´
2
7
7
12
2
7
4
2
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
xyy
y
x
y
y
yy
x
y
x
y
D
xy
x
D x
x
=
+
+
=
+
+
=
+
Despejando ´
y resulta:
xy
y
y
x
y
14
6
7
12
´ 2
2
2
−
+
=
Ejercicio Resuelto 2
Hallar ´
y para ( ) 1
2
3
ln 2
2
2
−
=
+
+ x
y
y
x
x
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( )
( ) ( )
[ ]
x
yy
y
y
x
x
yy
y
x
xy
y
x
x
D
y
y
x
x
D x
x
4
´
6
´
2
1
4
´
6
´
2
1
1
1
2
3
ln
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
Despejando ´
y resulta:
y
x
y
x
y 1
2
6
1
4
´
+
−
−
=
Ejercicio Resuelto 3
Hallar ´
y para ( ) y
x
x
y
xy +
+
= 2
2
cos
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) y
x
xy
y
x
x
y
x
yy
xy
xyy
xy
y
y
y
x
x
y
x
yy
yy
x
y
xy
y
x
x
y
D
xy
D x
x
+
+
+
+
+
+
=
−
−
+
+
+
+
+
=
+
−
+
+
=
−
2
´
2
´
2
´sen
2
sen
´
1
1
´
2
´
2
1
sen
cos
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
Despejando ´
y resulta:
( )
( )
2
2
2
sen
2
2
2
2
sen
´
xy
xy
y
x
x
y
y
x
x
y
x
xy
y
y
+
+
+
+
−
+
−
−
=

115. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
114
Ejercicio Resuelto 4
Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es ( )
y
x
sen
y
cos
x +
= en
P(0,0).
SOLUCIÓN:
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto
tg
1
m
mnormal −
=
Ahora ( )
0
,
0
tg ´
y
m = . Obteniendo ´
y resulta:
( ) ( )
( )
( ) [ ]
´
1
)
cos(
´
sen
cos
1
sen
cos
y
y
x
yy
x
y
y
x
D
y
x
D x
x
+
+
=
−
+
+
=
En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: 0
=
x y 0
=
y y luego
despejar ´
y :
( ) [ ]
0
´
´
1
0
1
´
1
)
0
0
cos(
´
0
sen
0
0
cos
=
+
=
+
+
+
=
−
+
y
y
y
y
.
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente
1
0
normal
m = − = −∞
Y su ecuación será:
( )
0
0
0
1
0
=
−
−
=
−
x
x
y
(el eje y ).
Ejercicio Resuelto 5
Sea 2
2 3
2
=
− y
y
x . Encuentre '
'
y en (2,1).
SOLUCIÓN:
Primero se encuentra '
y :
( ) ( )
0
´
6
´
2
2
2
2
2
3
2
=
−
+
=
−
y
y
y
x
xy
D
y
y
x
D x
x
En )
1
,
2
( sería:
2
´
0
´
)
1
(
6
´
)
2
(
)
1
)(
2
(
2 2
2
=
=
−
+
y
y
y
Ahora encontramos '
'
y volviendo a derivar implícitamente:
( ) ( )
( ) 0
´´
6
´
´
12
´´
´
2
´
2
2
0
´
6
´
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
+
=
−
+
y
y
y
yy
y
x
xy
xy
y
D
y
y
y
x
xy
D x
x
En )
1
,
2
( sería:
15
´´
0
´´
6
48
´´
4
8
8
2
0
´´
)
1
(
6
)
2
)(
2
)(
1
(
12
´´
)
2
(
)
2
)(
2
(
2
)
2
)(
2
(
2
)
1
(
2 2
2
=
=
−
−
+
+
+
=
−
−
+
+
+
y
y
y
y
y

116. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
115
Ejercicios Propuestos 3.6
1. Encontrar
dx
dy
para:
a. 1
3
2
3
2
=
+ y
x
b. ( )
ln 1
xy y
+ =
c. ln 0
xy
e y
+ =
d. sec tan
y y xy
+ =
e. ( )
ln 5
xy y
+ =
2. Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones
3
2
4x
y = y 14
3
2 2
2
=
+ y
x
en el punto ( )
2
,
1 son perpendiculares entre sí.
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 5
3 3
3
=
+
+ y
xy
x en el punto
( )
1
,
1
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de ( ) 2
2
3
2
2
8 y
x
y
x =
+ en el punto ( )
1
,
1 −
5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( )
[ ] 2
1
2
=
+
+
− y
x
sen
xy π
en el punto )
1
,
1
(
6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 2
2
3
2
3
=
+ y
x que es paralela a
la recta 0
6 =
+
+ y
x
7. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ) ( )2
2
2
2
4
1 y
y
y
x −
+
= en
el punto ( )
2
,
0 − .
8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación ( ) ( )
y
x
y
x +
= sen
3
2
cos en el
punto ( )
0
,
0 .
9. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación xy
y
x 2
3
2
=
+ donde la recta tangente
a f sea horizontal.
10. Encuentre '
'
y si 0
3
4 2
3
=
+
− y
x
11. Calcula:
2
2
dx
y
d
para 1
3
2
3
2
=
+ y
x
12. Para la función )
(x
f
y = dada en forma implícita por la ecuación
2
tg 4 =
+
−
π
−
y
e
y
x determine
2
2
dx
y
d
en el punto ( )
4
,
2 π .
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:
⎩
⎨
⎧
=
=
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
C
Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo
será hallar directamente
dx
dy
.

117. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
116
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones
paramétricas.
Suponga que )
(t
x
x = y )
(t
y
y = son
funciones continuamente diferenciables,
y que 0
)
´( ≠
t
x para cualquier t de cierto
intervalo. Entonces las ecuaciones
paramétricas definen a y como una
función diferenciable de x y su
derivada es:
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
=
=
Ejemplo 1
Sea la circunferencia con ecuación cartesiana 1
2
2
=
+ y
x , la derivada también puede ser hallada partiendo
de su ecuación paramétrica
⎩
⎨
⎧
=
=
t
y
t
x
C
sen
cos
: , es decir:
y
x
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
−
=
−
=
=
sen
cos
Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2
Sea
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
sent
e
y
t
e
x
t
t
cos
hallar
dy
dx
SOLUCIÓN:
sent
t
t
sent
sent
e
t
e
t
e
sent
e
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
t
t
−
+
=
−
+
=
=
cos
cos
cos
cos
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es
función de t , es decir que )
´(t
y
dx
dy
= ; por tanto:
Segunda derivada: [ ] [ ]
[ ]
)
´´(
)
´(
)
´(
)
´(
2
2
t
y
dt
dx
dt
t
y
d
dx
dt
dt
t
y
d
t
y
dx
d
dx
y
d
=
=
=
=

118. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
117
Tercera Derivada: [ ] [ ]
[ ]
)
´´´(
)
´´(
)
´´(
)
´´(
3
3
t
y
dt
dx
dt
t
y
d
dx
dt
dt
t
y
d
t
y
dx
d
dx
y
d
=
=
=
=
Y así sucesivamente.
Ejemplo 1
Sea
⎩
⎨
⎧
=
=
t
y
t
x
C
sen
cos
: hallar
3
3
d y
dx
.
SOLUCIÓN:
Ya encontramos la primera derivada: ( )
cos
cot
sen
dy
dy t
dt t
dx
dx t
dt
= = = −
−
La segunda derivada sería:
( ) ( ) ( )
2
2
3
2
´ cot csc
csc
d d
y t t
d y dt dt t
dx dx
dx sent
dt dt
− − −
= = = = −
−
La tercera derivada sería:
( ) ( ) ( )
3
2
3
4
3
d d
y´´ csc t 3csc t csctcotgt
d y dt dt 3csc tcotgt
dx dx
dx sent
dt dt
− − −
= = = = −
−
Ejemplo 2
Sea
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
sent
e
y
t
e
x
t
t
cos
hallar
2
2
d y
dx
SOLUCIÓN:
La primera derivada ya la encontramos:
sent
t
t
sent
sent
e
t
e
t
e
sent
e
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
t
t
−
+
=
−
+
=
=
cos
cos
cos
cos
La segunda derivada sería:
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 2 2 2
cos
´
cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos 2cos 2cos cos
t t
t t
d sent t
d
y
d y dt t sent
dt
dx dx
dx
dt dt
t sent t sent sent t sent t
t sent
e t e sent
t sent sent t
t sent
e t e sent
t tsent sen t sen t tsent t
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
= =
− − − + − −
−
=
−
− + +
−
= =
−
− + + + +
=
( )
( )
3
2
3
2
cos
2
cos
t
t
e t sent
d y
dx e t sent
−
=
−

119. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
118
Ejemplo 3
Calcular
n
n
dx
y
d
para:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
=
=
R
m
t
y
t
x
m
;
ln
SOLUCIÓN:
Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:
Primera derivada: m
m
m
mt
t
t
mt
t
mt
dt
dx
dt
dy
dx
dy
=
=
=
=
−
−
−
1
1
1
1
Segunda derivada:
[ ]
m
m
t
m
t
t
m
dt
dx
dt
t
y
d
dx
y
d 2
1
1
2
2
2
)
´(
=
=
= −
−
Tercera derivada:
[ ]
m
m
t
m
t
t
m
dt
dx
dt
t
y
d
dx
y
d 3
1
1
3
3
3
)
´´(
=
=
= −
−
Directamente, la cuarta derivada sería:
m
t
m
dx
y
d 4
4
4
=
Por tanto:
m
n
n
n
t
m
dx
y
d
=
Ejercicios Propuestos 3.7
1. Hallar
dx
dy
para:
a.
( )
( )
⎩
⎨
⎧
−
=
+
=
t
t
sent
a
y
tsent
t
a
x
cos
cos
b.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
+
=
1
1
1
2
2
t
t
y
t
x
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
( )
( )
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
t
a
y
t
t
a
x
cos
1
sen
en
2
π
=
t
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
3
2
3
2
t
t
y
t
t
x
en el punto (1,2)
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
⎩
⎨
⎧
+
=
−
=
t
t
y
t
t
x
2
cos
4
sen
3
3
cos
3
2
sen
4
en 0
=
t
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
=
1
4
2 3
2
t
t
y
t
x
; IR
t ∈ . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas
( )
cos
ln cos
y t
x t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
. Calcule a)
2
2
dx
y
d
y b)
3
3
dx
y
d

120. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
119
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la
derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
Si tenemos ( )
θ
f
r = y como
⎩
⎨
⎧
=
=
)
(
)
cos(
θ
θ
sen
r
y
r
x
Al reemplazar queda
⎩
⎨
⎧
=
=
)
(
)
(
)
cos(
)
(
θ
θ
θ
θ
sen
f
y
f
x
Entonces
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sen
f
f
f
sen
f
d
dx
d
dy
dx
dy
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
)
´(
−
+
=
=
Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su
pendiente, es de la forma:
)
( 0
0
x
x
m
y
y −
=
−
Entonces:
x
y
0
y
0
r
0
x
( )
r f θ
=
( )
0 0
,
r θ
0
θ
Fig. 3.13

121. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
120
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
)
´(
cos
0
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sen
f
f
f
sen
f
d
dx
d
dy
dx
dy
m
sen
f
y
f
x
−
+
=
=
=
=
=
=
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a θ
=
θ
= 3
sen
4
)
(
f
r en 4
0
π
=
θ
SOLUCIÓN:
Observa la gráfica:
En este caso [ ]
2
4
cos
3
sen
4
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
0
2
2
2
2
4
4
4
4
0
0
0
=
=
=
=
θ
θ
=
π
π
π
π
x
f
f
x
y [ ]
2
4
sen
3
sen
4
)
sen(
)
(
)
sen(
)
(
0
2
2
2
2
4
4
4
4
0
0
0
=
=
=
=
θ
θ
=
π
π
π
π
y
f
f
y
Para la pendiente, tenemos: θ
=
θ 3
cos
12
)
´(
f
Entonces:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1
2
6
2
6
4
12
4
12
3
4
cos
3
cos
12
cos
3
4
3
cos
12
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
)
´(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
=
−
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
+
=
−
+
=
m
sen
sen
sen
sen
sen
f
f
f
sen
f
m
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
)
2
(
2
)
(
2
1
0
0
−
=
−
−
=
−
x
y
x
x
m
y
y
Fig. 3.14

122. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
121
Ejercicios propuestos 3.8
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ
3
cos
4
−
=
r en 4
0
π
θ =
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ
3
4sen
r = en 6
0
π
θ =
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ
3
2sen
r = en 6
0
π
θ =
4. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ
3
4
3 sen
r −
= en 3
0
π
θ =
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente
monótona en su dominio entonces f tiene
una inversa.
El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función
que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función
inversa.
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f una función derivable y
estrictamente monótona en un intervalo
I . Si 0
)
´( ≠
x
f en cierto x en I , entonces
1
−
f es derivable en el punto
correspondiente y , y
( )
)
´(
1
1
x
f
y
f
dx
d
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −

123. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
122
Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta
tangente a f ( 1
m ) y la pendiente de la recta tangente a
1
−
f ( 2
m ) se relacionan
de la forma
1
2
1
m
m = . Y que se puede encontrar la derivada de la inversa
1
−
f ,
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer
la regla de correspondencia de
1
−
f .
Ejemplo 1
Sea 1
2
)
( 5
+
+
= x
x
x
f una función estrictamente monótona. Hallar ( )
4
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
f
dx
d
SOLUCIÓN:
En este caso 4 es rango para f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x para reemplazarlo en:
( )
x
f
f
dx
d
´
1
)
4
(
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
Entonces, teniendo 1
2
4 5
+
+
= x
x por inspección deducimos que 1
=
x la satisface.
Por lo tanto,
( ) ( ) 7
1
2
1
5
1
1
´
1
)
4
( 4
1
=
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
f
f
dx
d
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a f en el punto ( )
4
,
1 tiene pendiente 7
=
m y
por tanto su ecuación sería: ( )
1
7
4 −
=
− x
y
En cambio, la recta tangente a
1
−
f en el punto correspondiente ( )
1
,
4 tiene pendiente
7
1
=
m y por
ecuación: ( )
4
7
1
1 −
=
− x
y
Fig. 3.15

124. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
123
Ejemplo 2
Obtenga la derivada para la función inversa de
x
e
x
f =
)
( empleando el teorema de la
derivada de la función inversa.
SOLUCIÓN:
De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ( )
( )
y
f
x
f
dx
d
´
1
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
Como
x
e
y
x
f =
=
)
( tenemos que
x
e
x
f =
)
´( y
y
e
y
f =
)
´( y además al cambiar la variable resulta
y
e
x = , lo cual nos permite decir que: x
y
f =
)
´(
Bien, reemplazando
( ) x
y
f
x
f
dx
d 1
´
1
)
(
1
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir:
1
( ) ln
f x x
−
= , cuya derivada la
determinamos con su definición)
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Inversas
( ) 1
1
;
1
1
arcsen
2
−
−
= x
x
x
Dx
( ) 1
1
;
1
1
arccos
2
−
−
−
= x
x
x
Dx
( ) 2
1
1
arctg
x
x
Dx
+
=
( ) 2
1
arc tg
1
x
D co x
x
= −
+
( ) 1
;
1
1
sec
2
−
= x
x
x
x
arc
Dx
Demostración:
Demostraremos la primera.
Planteemos el problema de la siguiente manera:
Sea x
y
x
f sen
)
( =
= hallar [ ] [ ]
x
D
x
f
D x
x arcsen
)
(
1
=
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[ ] [ ]
)
´(
1
)
(
1
y
f
arcsenx
D
x
f
D x
x =
=
−
Entonces, y
y
f cos
)
´( = . Ahora habrá que encontrar y
cos , sabiendo que seny
x = (cambiando la
variable en la función dada).
Por trigonometría, decir que
1
x
seny = significa que 2
1
cos x
y −
= (observe la figura 3.16)

125. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
124
Por lo tanto, [ ]
2
1
1
cos
1
x
y
arcsenx
Dx
−
=
= L.Q.Q.D.
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función
)
(x
u
u =
( ) 1
1
;
´
1
1
arcsen
2
−
−
= u
u
u
u
Dx
( ) 1
1
;
´
1
1
arccos
2
−
−
−
= u
u
u
u
Dx
( ) ´
1
1
arctg 2
u
u
u
Dx
+
=
( ) 1
;
´
1
1
sec
2
−
= u
u
u
u
u
arc
Dx
Ejemplo
Hallar ´
y para 2
2
ln
tg y
x
x
y
arc +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
SOLUCIÓN:
Derivando implícitamente, tenemos:
( )
[ ]
( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
y
x
y
x
y
y
x
yy
xy
yy
x
y
xy
y
x
yy
x
y
x
x
y
xy
x
y
x
yy
x
x
y
xy
x
y
x
yy
x
y
x
x
y
x
y
y
x
D
y
x
x
y
D
y
x
D
x
y
tg
arc
D
x
y
x
x
x
y
x
x
−
+
=
+
=
−
+
=
−
+
+
=
+
−
+
/
+
/
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
´
´
´
´
´
´
´
2
´
2
´
1
´
2
2
2
1
)
1
(
´
1
1
1
2
1
1
1
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Fig. 3.16

126. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
125
Ejercicios Propuestos 3.9
1. Si ( ) 2
3 3
7
+
+
= x
x
x
f hallar ( )
6
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
f
dx
d
2. Si ( ) 1
3
2
+
−
= x
x
x
f para
2
3
x ; hallar ( )
1
5
d
f
dx
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
3. Hallar ( )
4
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dx
dg
, si g es la función inversa de f tal que: ( ) x
arc
x
x
f tg
ln +
=
4. Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto f
∈
)
4
,
2
( , la recta tangente es paralela a la
recta 0
2
3 =
+
− y
x determine el valor de ( )
4
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
f
dx
d
.
5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función 3
2
)
( 3
−
+
= x
x
x
f en el punto
( )
)
0
(
,
0 1
−
f
6. Determine la ecuación de la recta tangente a la función )
(
1
x
f
y −
= en el punto ( )
1
2, ( 2)
f −
− − donde
IR
x
x
x
x
f ∈
+
+
= ,
3
2
3
)
( 3
7. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de f en ( )
1
2 , (2 )
a f a
−
si se conoce que
a
a
f
a
f 2
)
(
)
´( =
= .
8. Hallar ( )
0
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
f
dx
d
conociendo que la ecuación ( ) 2
3
cos =
−
+ y
x
xy define una función invertible
( )
)
(x
f
y = en un intervalo que contiene el punto 1
=
x y 0
)
1
( =
f
9. Calcular
dx
dy
, para :
a. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
= 1
ln 2
x
x
xarcsenx
y
b. ( )
4
ln
2
2
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= x
x
xarctg
y
c. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
x
senx
arctg
y
cos
5
3
4
d.
( )
senx
x
arctg
e
y +
=
3
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto
complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma
)
(
)
( x
g
x
f
y = , lo
mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente.
Ejemplo 1
Hallar
dx
dy
para x
x
y =
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
x
x
y
x
y x
ln
ln
ln
ln
=
=
Ahora derivando implícitamente, resulta:

127. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
126
( ) ( )
[ ]
[ ]
1
ln
´
1
ln
´
1
ln
)
1
(
´
1
ln
ln
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
x
x
y
x
y
y
x
x
x
y
y
x
x
D
y
D
x
x
x
Ejemplo 2
Hallar
dx
dy
para [ ] x
x
y arctg
2
sen
=
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
[ ]
( )
( )
x
x
y
x
y x
2
sen
ln
arctg
ln
2
sen
ln
ln arctg
=
=
Ahora derivando implícitamente, resulta:
( )
[ ]
( ) ( )( )
( )
[ ] ( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
=
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
D
y
D
x
x
x
2
sen
2
cos
arctg
2
1
2
sen
ln
2
sen
´
2
sen
2
cos
arctg
2
1
2
sen
ln
´
2
2
cos
2
sen
1
arctg
2
sen
ln
1
1
´
1
2
sen
ln
arctg
ln
2
arctg
2
2
Ejemplo 3
Hallar
dx
dy
para
x
x
x
y =
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo.
Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
x
x
y
x
y
x
xx
ln
ln
ln
ln
=
=
Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
( ) ( )
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
ln
ln
ln
ln
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
+
=
+
=
=
Y ahora sí, derivamos implícitamente:

128. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
127
[ ] [ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
+
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
x
D
y
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
1
1
ln
ln
´
ln
1
1
ln
ln
´
ln
1
1
ln
ln
´
1
ln
1
1
ln
)
1
(
´
1
ln
1
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica
Ejemplo
Hallar
dx
dy
para
4
3
2
1
arctg
1
2
x
e
x
x
y
+
+
+
=
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
[ ]
( ) ( ) ( )
x
x
e
x
x
y
e
x
x
y
+
−
+
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
1
ln
arctg
1
ln
2
ln
ln
1
arctg
1
2
ln
ln
4
1
3
1
2
2
1
4
3
2
Ahora derivando implícitamente, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
arctgx
x
x
y
y
e
e
x
arctgx
x
x
y
y
e
arctgx
x
D
y
D
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
´
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
´
1
1
ln
1
ln
2
ln
ln
2
2
2
2
4
1
3
1
2
2
1
Finalmente, reemplazando resulta:
( ) ( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
+
= x
x
x
e
e
x
arctgx
x
x
e
arctgx
x
y
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
1
1
2
´
2
2
4
3
2
Ejercicios Propuestos 3.10
1. Calcular
dx
dy
, para :
a.
4
csc
1
sec
3
3
5
−
+
=
x
tgx
x
y
b.
( )5
3
3 2
4 3
4
1
4
cos
x
x
x
x
x
y
−
−
=
e.
x
n
n
x
y =
f.
( )
( )
x
arctg
x
x
sen
arcsen
y
2
2
2
cos
arccos ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=

129. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
128
c.
( ) ( )
)
(
3
2
1 2
3
3 2
x
e
arcsen
x
x
x
y
+
+
−
=
d.
x
x
y 3
=
g. ( )
( ) x
x
e
arcsen
y
sec
2
1 +
=
h. ( )
( )
( ) ( )
( )
x
arctg
x
sen
y 3
cos
3
ln
=
i. ( ) 2
2
y
x
y
x y
+
=
+
j. ( )
2
1
x
y x
= +
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) ( )
1
ln
1
+
+
=
x
x
e
y en el
punto )
1
,
0
(
3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. 2
=
+ x
y
y
x en el punto )
1
,
1
( .
4. Determine ( )
2
,
1
2
2
dx
y
d
, si existe, para 3
=
+ xy
xy
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a
partir de la función exponencial.
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es
2
)
(
x
x
e
e
senhx
x
f
y
−
−
=
=
=
Por tanto su gráfica sería:
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es:
2
cosh
)
(
x
x
e
e
x
x
f
y
−
+
=
=
=
Fig. 3.17

130. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
129
Por tanto su gráfica sería:
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
Su regla de correspondencia es:
x
x
x
x
e
e
e
e
x
senhx
tghx
x
f
y −
−
+
−
=
=
=
=
cosh
)
(
Por tanto, su gráfica sería:
Se puede demostrar que 1
cosh 2
2
=
− x
senh
x
Fig. 3.19
Fig. 3.18

131. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
130
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
( ) x
x
Dx cosh
senh =
( ) x
x
Dx senh
cosh =
( ) x
h
x
Dx
2
sec
tgh =
( ) x
h
x
c
Dx
2
csc
tgh −
=
( ) x
hx
hx
Dx tgh
sec
sec −
=
( ) x
hxc
hx
Dx tgh
csc
csc −
=
¡Demuéstrelas!
Misceláneos
1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.
a) Si 2
)
2
(
)
2
´(
)
2
´( =
=
= g
g
f entonces
( ) 4
)
2
( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dx
g
f
d D
b) La función x
x
f sen
)
( = no es derivable en 0
=
x
c) Si f y g son derivables en c
x = y 0
)
(
)
´( =
= c
g
c
f y )
(
)
(
)
( x
g
x
f
x
h = entonces
0
)
´( =
c
h .
d) La ecuación de la recta tangente a la curva
3
x
y = en el punto ( )
1
,
1 es ( )
1
3
1 −
=
− x
y .
e) La expresión
2
1
sen
2
π
→ −
−
π
x
x
lim
x
es la derivada de x
x
f sen
)
( = cuando
2
π
=
x .
f) La función 3
5
6
)
( 3
−
+
= x
x
x
f no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g) Si
x
x
x
x
y =
)
( entonces ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
x
x
x
x
x
x
y x
xx 1
ln
ln
)
´( 2
h) Si ( )
)
(
)
( x
f
e
f
x
g = tal que 2
ln
)
0
( =
f , 2
)
0
´( −
=
f y 3
)
2
´( =
f entonces 12
)
0
´( −
=
g
i) Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ]
b
a, y )
(
)
( b
f
a
f = entonces en algún punto
del intervalo abierto ( )
b
a, , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
j) Si f es una función invertible entonces
)
´(
1
)
(
1
x
f
x
f
dx
d
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
.
k) Si f , g y h son funciones tales que ( ) 4
)
2
´( =
h
g
f D
D , 1
)
1
´(
)
1
( −
=
= g
g y
1
)
2
´(
)
2
( =
= h
h entonces 0
)
1
´( =
−
f
l) Si f es una función inversible y derivable tal que 4
)
1
´( =
f y 2
)
1
( −
=
f entonces
1
)
2
(
1
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
f
dx
d
.

132. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
131
m) Si ( )
))
(
1
(
1
)
( x
f
f
f
x
h +
+
= , 1
)
1
( =
f , 1
)
2
( −
=
f , 5
)
1
´( =
f , 2
)
2
´( −
=
f y 3
)
0
´( =
f
entonces 30
)
1
´( −
=
h
n) La función de variable real f con regla de correspondencia
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
−
=
0
;
3
1
0
;
1
;
1
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f es derivable
en todo su dominio.
o) Existen funciones g y h tales que la función
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
+
−
≤
=
1
;
)
(
1
0
;
4
5
3
0
;
)
(
)
( 2
x
x
h
x
x
x
x
x
g
x
f es derivable en
todo .
p) Si tenemos las curvas b
ax
x
x
f +
+
= 2
)
( y cx
x
x
g +
= 3
)
( . Entonces no existen valores
, ,
a b c ∈ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto )
2
,
2
( .
q) Si la ecuación
x
y
y
x = define una función )
(x
f
y = entonces la ecuación de la recta tangente a f
en el punto ( )
1
,
1 es 1
−
= x
y .
r) Si g es la función inversa de x
x
x
f ln
2
)
( +
= entonces
5
2
)
2
´( =
g .
s) Si f es una función de variable real tal que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≤
=
1
;
2
1
;
3
)
( 2
x
x
x
x
x
f entonces )
1
´(
f existe.
t) 2
)
2
(
)
2
´(
)
2
´( =
=
= g
g
f entonces ( ) 4
)
2
´( =
g
f D .
u) Si 0
)
(
)
( =
= c
g
c
f y )
(
)
(
)
( x
g
x
f
x
h = entonces 0
)
´( =
c
h
v) Si C es un lugar geométrico en el plano cuyos puntos satisfacen la ecuación:
{ }
2 2
2 2
1 ; , 0
x y
a b
a b
+ = ∈ −
, entonces la recta tangente a C en cualquier punto
( ) C
y
x
P ∈
0
0, , tiene por ecuación 1
2
0
2
0 =
+
b
y
y
a
y
x
w) Si f y g son funciones de en tales que ´
´ g
f = entonces g
f =
2. Encuentre
dx
dy
para
a. ( ) y
x
e
y
x y
x
cos
2
2
cos
2
2
=
+ +
b. ( ) x
x
x
y
ln
2
1
)
( +
=
c. ( )
( )
x
e
x
x
y 3
2
cos
ln
sen
)
( +
=
d.
2
1 1
arctg
y
x
y
y
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
e.
x
x
x
e
e
x
x
y +
=
)
(
f. x
x
x
x
y +
= cos
)
(
g.
x
x
x
y
3
2
3
2
ln
)
(
−
+
=
h.
4
3
2
1
arctg
1
2
)
(
x
e
x
x
x
y
+
+
+
=
i. ( ) ( )
2
3
)
( x
arctg
x
sen
x
y =
j. ( ) x
e
x
x
y
2
arctg
ln
arcsen
)
( +
=
k. ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
y
x
y
x arctg
ln
l. ( )
x
x
e
e
x
y tg
)
( tg
=
m. ( ) 2
x
y
x y
=
+

133. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
132
3. Hallar [ ]
[ ]
1
)
( 2 +
x
f
dx
d
4. Determine los valores para a , b y c de modo que la función
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
≤
≤
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
;
1
0
;
0
;
sen
)
(
2
1
4
4
x
d
cx
x
b
ax
x
x
x
f
x
Sea continua en 0
=
x y derivable en 1
=
x . Además determine, de ser posible,
[ ] ( )
[ ] ( )
1
´
.
)
2
´( 2
1 +
−
− π
f
f
f
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎩
⎨
⎧
=
=
tant
y
t
x
2
sec
2
en
6
π
−
=
t
6. Si
2
3
)
´( x
e
x
x
f = , 0
)
1
( =
f y ( ) 3
1
)
( 2
+
+
= x
x
g determine el valor de ( ) )
1
´(
f
g D .
7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎩
⎨
⎧
=
=
t
t
y
t
x
cos
sen
cos
en el punto )
0
,
0
( .
8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en 1
=
x donde f , g y h son funciones
diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a ( )
)
(
)
( 2
x
g
x
h
x
f = y se conoce que
2
)
1
( =
g , 2
)
1
´( −
=
g , 3
)
2
´( −
=
h y 1
)
2
( −
=
h
9. Determine los puntos del intervalo [ ]
2
,
1
− donde la función [ ] 1
)
( −
+
= x
x
x
f sea derivable.
10. Determine los valores reales que puede tomar k para que
k
k
f
dx
d
5
1
)
1
( 2
1
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
. Considere que
1
)
4
( =
f y x
x
x
f 10
)
´( 2
+
−
= .
11. Para la función )
(x
f
y = cuyas ecuaciones paramétricas son
⎩
⎨
⎧
−
=
=
t
t
y
t
x
arcsen
arccos
, ( )
1
,
1
−
∈
t determine
3
3
dx
y
d
.
12. Para la función )
(x
f
y = cuyas ecuaciones paramétricas son
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
t
t
y
t
x
ln
1 2
, 0
t determine
3
3
dx
y
d
en el
punto )
0
,
2
(
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas b
ax
x
y +
+
= 2 y 2
x
cx
y −
= tienen una recta tangente
común en el punto )
0
,
1
( .
14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ( ) xy
x
y
y
x =
−
− tg
ln 2 en el punto
)
0
,
1
( .
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto )
2
,
1
( . Donde C está definida por las
ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−
+
t
t
t
t
y
x
3
1
2 2
, { }
0
,
1
−
−
∈ IR
t

134. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
133
16. Hallar
2
2
dx
y
d
para
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
sen
cos
, IR
t ∈
17. Hallar
dx
dy
en el punto ( )
π
,
0 donde x e y satisfacen la ecuación ( ) 0
sen
2
=
−
+
+ x
y
x
xy .
18. Sea )
(x
f
y = función tal que
1
−
= f
h . Sea 0
≥
y si
2
2
1
)
(
+
−
+
=
y
y
y
y
h calcular )
1
´(
f
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
t
a
y
t
a
x
3
3
sen
cos
; [ ]
π
∈ 2
,
0
t ; 0
a en el punto
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
2
2
3
2
2
,a
a .
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y ´
f sean continuas en todo su dominio; donde f
es una función tal que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≥
+
=
0
;
0
;
sen
)
(
x
c
be
x
a
x
x
f x
.
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
( )
( )
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
t
t
y
t
t
x
sen
cos
1
cos
cos
1
en
2
π
=
t .
22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 4
3
cos 2
2
=
+
+ x
xy
y ; en el
punto )
0
,
1
( .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 1
ln =
+ y
xy ; en el punto )
1
,
1
( .
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
3
2
3
2
t
t
y
t
t
x
en el punto ( )
2
,
1 .
25. Demuestre que la derivada de [ ]
)
(cos
sen
)
( x
f
x
x
F = es una función Par.
26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 0
3 =
+
− k
y
x sea tangente a la parábola
definida por 1
5
2 2
+
−
= x
x
y .
27. Hallar ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
x
x
dx
d
1
1
50
50
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
=
−
2
1
2
2
t
t
e
y
e
x
cuando 0
=
t
29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es
6
6
)
( 2
+
−
= x
x
x
f , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
parábola.
30. Si f es una función de en inversible y con regla de correspondencia 10
3
)
( 3
−
+
= x
x
x
f
entonces determine ( )
4
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
f
dx
d

135. CAPITULO 3: La Derivada
Ejercicios Propuestos 3.1
1) a) 2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) ( )
´ 2 2
f =
2) ( )
1
´ 3
2
f =
3) a) ( )
´ 3
f x = b) ( )
´ 2
f x = − c) ( )
´ 2 2
f x x
= + d) ( )
´ 4 1
f x x
= − +
e) ( ) 2
´ 6
f x x
= f) ( ) 2
3
2
3
)
´( 2
3 −
+
−
= x
x
f
Ejercicios Propuestos 3.2
1) ( )
´ 1 2
f = 2) No existe 3) No existe 4) 6
=
a , 4
−
=
b
5) 3
=
a , 1
−
=
b 6) R
c
c
b
c
a ∈
∧
−
=
∧
−
= 2
3
2
Ejercicios Propuestos 3.3
1) a) ( )
2
3
4
3
2
´ 3 x
f x x e
x
−
= + −
b) ( ) 4 2
´ 5 3 4
f x x x x
= + +
c) ( ) ( ) ( )
´ 2 cos 1 cos 1
f x x x x x senx x senx
= + − − − + −
d) ( )
( )
2
2
2 2
cos 1
1
´
x x
x
f x
x senx xsen x
+
−
= −
e) ( )
( )( )
( )
2
1 1 cos
´
1
x
e x senx x x
f x
senx
⎡ + + − ⎤
⎣ ⎦
=
+
f) ( ) ( )
´ 2 ln 1
2
x
xe
f x x x
= ⎡ + + ⎤
⎣ ⎦
2) 4 1
y x
= +
3)
13
3
4
y x
= − +
4) 2 1
y x
= + ; 2 9
y x
= − +
5) 12 81
y x
= + ; 12 44
y x
= −
6) ( )
9
,
3
P
7) 5
3
8) !
50
9)
49
10
Ejercicios Propuestos 3.4
1. a) ( ) 2
1
´
2 2
x
f x
x x
−
=
− +
b) ( )
( )
3
2
´
2 3
x
f x
x
−
=
−
c) ( )
( )
2
2
2
4
´
1
x
x
e
f x
e
=
+
d) ( )
( ) ( )
3
1
2 2
2 2
2
´
1 1
x
f x
x x
=
− +
e) ( )
2
2
cos cos2 2 2
´ 3
cos2 cos 2
senx x x senxsen x
f x
x x
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f) ( )
( ) ( )
2
´
1 ln 1
x
f x
x x
=
+ +
g) ( )
( )
2
2
8
´
4
f x
x x
=
−

136. 3. ( ) ( )
x
e
x
x
g
f
x
2
cos
1
4
sin
)
´(
2
2
cos
1 2
+
−
=
+
D
4. a) 4 b) 8
− c) 2 d) -10 e) 6
−
5. 16
Ejercicios Propuestos 3.5
1. a) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
2
4
2
2
2
4
4
cos
12
16
sin
48
cos x
x
x
x
x
dx
d
−
+
=
b)
( ) ( )
( )3
2
2
2
1
2
cos
2
sin
2
1 x
x
x
x
x
x
xsen
dx
d
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
π
π
π
π
π
c) [ ] x
x
x
n
n
xe
ne
xe
dx
d
+
=
d)
( )
( ) 1
4
!
5
4
5
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− n
n
x
x
n
x
D
e)
( )
( ) 1
1
!
2
1
1
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
n
n
x
x
n
x
x
D entonces
( )
( )31
30
1
!
30
2
1
1
x
x
x
Dx
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
f) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
+
−
=
+
+
+
par
es
n
si
x
x
x
n
impar
es
n
si
x
x
x
n
x
x
dx
d
n
n
n
n
;
sin
cos
1
;
cos
sin
1
sin
1
1
2
2
1
entonces
[ ] x
x
x
nx
x
dx
d
cos
sin
35
sin
35
35
−
−
=
2.
( )
( )4
2
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
dx
d
x
dx
d
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
3. ( )
!
n
an
4. 1
3
3
2
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
p
Ejercicios Propuestos 3.6
1. a) 3
´
y
y
x
= − b)
( )
´
1
y
y
x y
= −
+
c)
2
´
1
xy
xy
y e
y
xye
= −
+
d) 2
´
sec tan sec
y
y
y y y x
=
+ −
e)
( )
2
´
2
y
y
x y
= −
+
3.
5
8
5
3 +
−
= x
y 4. 2
y x
= − 5. 2
+
−
= x
y
6. 2
+
−
= x
y 7. 0
=
x 8. 3
2
y x
=
9. ( )
1,1 10.
3
4
2
64
9
48
´´
y
x
xy
y
−
= 11.
3
1
3
4
3
1
´´
y
x
y =
12. ´´ 3
y = −

137. Ejercicios Propuestos 3.7
1. a) )
tan(
´ t
y = b)
( )
1
1
´ 2
+
+
=
t
t
t
y
2. a
x
y 2
4 π
−
+
= 3. 1
3 −
= x
y 4.
8
41
8
3 +
= x
y
5. x
y 5
= 6. a) ´´ cos
y t
= , b) ´´´ cos
y t
=
Ejercicios Propuestos 3.8
1. 2
2 −
= x
y 2. 8
3 +
−
= x
y 3. 2
2
3 +
−
= x
y
4. ( )
2
3
3
3
12
3
3
12
2
3 3 −
=
−
−
+
x
y
Ejercicios Propuestos 3.9
1.
16
1 2. 1
5
3.
3
2 4. 3
5. 5 5 0
x y
− + = 6. 11 9 0
x y
− − = 7. ( ) 0
1
2
2 =
+
−
+ a
a
y
ax 8. 3
9. a)
1
1
1
arcsin
´
2
2
+
−
−
+
=
x
x
x
x
y b) ( )
2
´ x
arctg
y =
c)
5
cos
3
4
´
+
=
x
y d)
( )
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
= +
2
3
2
1
cos
3
´
3
senx
x
x
x
e
y senx
x
arctg
Ejercicios Propuestos 3.10
1. a)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
+
−
+
=
4
csc
csc
2
3
cos
sec
3
1
5
4
csc
1
sec
´ 3
3
3
2
3
3
5
x
ctgx
x
x
x
senx
x
tgx
x
tgx
x
y
b)
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
−
−
−
−
= 3
3
2
5
3
3 2
4 3
4
15
20
1
3
2
4
4
3
4
1
4
cos
´
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
y
c)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
2
2
2
2
3
3 2
2 3
2
1
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
´ x
x
x
x
e
arcsen
x
x
x
x
x
e
e
arcsen
xe
x
y
d) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
x
x
x
y x
x 1
ln
3
ln
3
´ 3
e) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
= n
x
n
n
x
y x
n
ln
´
f)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
4
2
4
2
2
2
2
cos
1
cos
arccos
1
sin
1
sin
arcsin
1
cos
sin
arctan
2
arccos
)
arcsin(sin
ln
1
arctan
2
´
g) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
e
e
xe
e
x
x
e
y
2
2
2
sec
2
2
1
arcsin
sec
2
1
arcsin
ln
tan
sec
1
arcsin
´
h) ( )
[ ] ( ) ( )
( )
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
y x
3
cos
1
3
sin
ln
ln
3
sin
3
3
sin
3
sin
ln
3
cos
arctan
3
cos
3
3
sin
ln
´
2
3
cos
arctan
i)
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
+
−
+
+
+
+
+
+
−
+
=
2
ln
2
´
2
2
2
2
2
2
j) ( ) ( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
=
2
2
2
2
1
2
1
ln
1
´
x
x
x
x
y
x

138. 2. ( ) 0
1
2
ln =
+
− y
x
3. 0
2 =
−
+ y
x
4. 14
Misceláneos
1. a) V b) V c) F d) V e) V
f) V g) V h) V i) F j) F
k) F l) F m) V n) F o) V
p) F q) F r) F s) F t) V
u) V v) F w) F
2. a)
( ) ( )
( ) ( ) y
x
e
y
x
y
y
x
e
y
x
x
xy
y
y
y
x
y
x
sin
sin
2
2
sin
2
2
cos
´ 2
2
2
2
cos
2
2
2
cos
2
2
2
+
+
−
+
+
−
=
+
+
b) ( ) ( )
( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
=
1
ln
2
1
ln
1
´ 2
2
ln
2
x
x
x
x
x
x
y
x
c)
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
e
e
x
e
x
y
3
3
2
3
3
3
2
cos
cos
ln
sin
sin
3
cos
ln
cos
ln
cos
´
+
+
−
+
+
=
d)
y
y
y
y
y
x
y
1
arctan
1
2
1
´
2
2
3
−
+
+
=
e) ( )
1
ln
ln
´ +
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
= x
x
e
x
e
x
e
x
y x
x
x
x
e x
x
f)
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
y
+
+
+
−
+
=
4
sin
1
2
2
cos
´
g)
2
9
4
6
´
x
y
−
=
h)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
= x
x
x e
e
x
x
x
x
e
x
x
y
1
4
1
1
1
arctan
1
1
3
1
2
1
arctan
1
2
´ 2
2
4
3
2
i) ( ) ( )
2
arctan 2
4
2
´ sin3 ln sin3 3arctan cot 3
1
x x
y x x x an x
x
⎡ ⎤
= +
⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
j)
2
arctan
2 1
arctan
2
ln
1
1
´
2
x
e
x
x
x
y
x
+
+
−
=
k)
( )
2
2
2
´
y
xy
x
x
y
x
y
+
+
−
=
l) ( )
x
x
x
x
e
e
e
x
e
y 2
2
tan
sec
tan
sec
´ +
=
m)
( )
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
+
+
+
+
−
=
ln
2
´
3. )
´(
)
(
2 x
f
x
f
4. R
c
c
d
b
c
a ∈
∧
+
=
∧
=
∧
= 1
1
2
5. 3
2
2 +
−
= x
y
6. ( )
[ ]
2
)
1
(
e
f
g
Dx =
D
7. x
y = ∧ x
y −
=
8. 5
6 +
−
= x
y

139. 9. f es derivable en ( ) ( ) ( )
2
,
1
1
,
0
0
,
1 ∪
∪
−
10. 3
8 =
∨
−
= k
k
11.
3
2
3
1
d y
t
dx
= − −
12.
8
1
1
3
3
−
=
=
t
dx
y
d
13. 3
a = − , 4
b = − , 1
c =
14.
3
2
3
2 −
= x
y
15.
2
3
2
1 +
= x
y
16.
( )3
2
2
sin
cos
2
t
t
e
dx
y
d
t
−
=
17. 2
2
−
= π
dx
dy
18.
27
2
)
1
´( =
f
19.
3
2
2
2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= a
x
y
20. R
c
b
c
a ∈
∧
=
∧
+
= 1
1
21 1
+
= x
y
22. 6
6 −
= x
y
23.
2
3
2
1 +
−
= x
y
24. 1
3 −
= x
y
25. De )
(x
F tenemos ( ) ( )
x
f
x
x
f
x
x
F cos
´
sin
cos
cos
)
´( 2
−
=
y como ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) )
(
cos
´
sin
cos
cos
)
´( 2
x
F
x
f
x
x
f
x
x
F =
−
−
−
−
−
=
−
Por tanto )
´(x
F es PAR
26. 7
−
=
k
27.
( )
( )51
50
50
1
!
50
2
1
1
x
x
x
dx
d
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
28. 3
+
−
= x
y
29.
4
1
−
−
= x
y
30. ( )
15
1
4
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
f
dx
d

140. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
109
4
4.1 MONOTONÍA
4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
4.3 CONCAVIDAD
4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
SOFISTICADAS
4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA
DERIVADAS
4.6 TEOREMA DE ROLLE
4.7 TEOREMA DE CAUCHY
4.8 TEOREMA DE L´HOPITAL
OBJETIVOS:
• Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento
• Determinar extremos
• Determinar intervalos de Concavidad.
• Graficar funciones sofisticadas.
• Utilizar el teorema del valor medio para derivadas.
• Calcular indeterminaciones empleando derivadas.

141. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
110
4.1 MONOTONÍA
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de una función.
4.1.2 Teorema de Monotonía
Sea ƒ una función continua en un
intervalo [ ]
b
a, y diferenciable en todo
punto interior de [ ]
b
a, . Entonces:
1. Si [ ]
b
a
x
x
f ,
,
0
)
´( ∈
∀
entonces ƒ es
creciente en [ ]
b
a,
2.Si [ ]
b
a
x
x
f ,
,
0
)
´( ∈
∀
entonces ƒ es
decreciente en [ ]
b
a, .
DEMOSTRACIÓN.
Se demostrará el primer inciso del teorema.
Suponga que 0
)
´(
x
f entonces 0
)
(
)
(
0
0
0
−
−
→ x
x
x
f
x
f
lím
x
x
; es decir 0
)
(
)
(
0
0
−
−
x
x
x
f
x
f
.
Suponga ahora que x
x
0 , entonces )
(
)
( 0 x
f
x
f , lo cual indica que f es creciente.
Si 0
x x
entonces 0
( ) ( )
f x f x
lo cual también indica que f es creciente
Para el caso 0
)
´(
x
f , la demostración es análoga.
Ejemplo 1
Analice la monotonía de
2
( ) 2 4 5
f x x x
= − +
SOLUCIÓN:
De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento
analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 4
4
)
´( −
= x
x
f
El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene
valores negativos, para lo cual factorizamos )
1
(
4
)
´( −
= x
x
f ; se observa que:
x )
´(x
f f
1
x Negativa (-) decrece
1
x Positiva(+) crece

142. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
111
Ejemplo 2
Analice la monotonía de 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +
SOLUCIÓN:
Analizando la primera derivada 2
´( ) 3 6
f x x x
= −
En la forma factorizada ( )
´( ) 3 2
f x x x
= − se observa que:
x )
´(x
f f
0
x Positiva (+) crece
0 2
x
Negativa (-) decrece
2
x Positiva (+) crece
Ejercicios Propuestos 4.1
1. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= −
3. 3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada
4.2.1 DEFINICIÓN
Sea :
f I R R
⊆ 6 . Suponga “ 0
x ” pertenece al
intervalo I . Entonces:
1. 0
( )
f x es el valor máximo de f en I , si
0
( ) ( )
f x f x
≥ , x I
∀ ∈ . (El mayor de todos)
2. 0
( )
f x es el valor mínimo de f en I , si
0
( ) ( )
f x f x
≤ , x I
∀ ∈ . (El menor de todos)
Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.

143. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
112
Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores
extremos.
4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de
Máximos y Mínimos
Si f es una función continua definida en
un intervalo [ ]
b
a, entonces f alcanza un
valor máximo y un valor mínimo en [ ]
b
a, .
Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que
trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo
una interrogante ¿cómo obtenerlos?
Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es
decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los
denominados Puntos críticos.
4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.
Sea f una función definida en un
intervalo [ ]
b
a, que contiene a “ 0
x ”.
Entonces “ 0
x ” es llamado Punto Crítico si
es:
• Un punto extremo del intervalo, es
decir a
x =
0
, b
x =
0
. Estos serán
denominados Puntos Críticos de
Frontera.
O bien,
• Un punto donde la derivada es igual a
cero; es decir 0
)
´( 0
=
x
f . Estos serán
denominados Puntos Críticos

144. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
113
Estacionarios. (En estos puntos la recta
tangente es horizontal).
O bien,
• Un punto donde la derivada no existe;
es decir )
´( 0
x
f no está definida. Estos
serán denominados Puntos Críticos
Singulares. (En estos puntos la gráfica de f
tiene unos picos. Por ejemplo ( )
f x x
= , tiene un punto
crítico singular (pico) en 0
x = )
4.2.4 TEOREMA
Sea f una función definida en un
intervalo [ ]
b
a, que contiene a “ 0
x ”. Si
)
( 0
x
f es un valor extremo entonces “ 0
x ”
es un Punto Crítico.
Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración,
debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los
extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos
críticos estacionarios y puntos críticos singulares.
DEMOSTRACIÓN.
Sea )
( 0
x
f un valor máximo; es decir ( ) )
(
0 x
f
x
f ≥ , entonces: 0
)
(
)
( 0 ≤
− x
f
x
f
Si 0
x x
, dividiendo por 0
x
x − tenemos 0
)
(
)
(
0
0
≤
−
−
x
x
x
f
x
f
Ahora obteniendo límite 0
)
(
)
(
0
0 0
0
+
+
→
→
≤
−
−
x
x
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím resulta 0
)
´( 0 ≤
+
x
f .
Para 0
x
x , tenemos, obteniendo límite 0
)
(
)
(
0
0 0
0
−
−
→
→
≥
−
−
x
x
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím resulta 0
)
´( 0 ≥
−
x
f
Suponga que f es derivable en 0
x , entonces 0
)
´( 0 =
x
f ; es decir 0
x es un punto crítico estacionario.
Suponga que f no es derivable en 0
x , entonces )
´( 0
x
f no existe; es decir 0
x es un punto crítico singular.
La demostración sería análoga para el caso de que )
( 0
x
f sea un valor mínimo.

145. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
114
Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre
en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.
Además, el teorema anterior nos hace concluir que:
• Si “ 0
x ” no es un punto crítico entonces no será extremo.
• Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos.
• Es suficiente que )
( 0
x
f sea un extremo para que “ 0
x ” sea un punto
crítico.
• Que “ 0
x ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es
suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas
anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran
extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para
clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no
son necesarios, un simple análisis basta.

146. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
115
Ejemplo 1
Determinar los extremos para 5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f en [ ]
3
,
0
SOLUCIÓN:
De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.
1.Puntos críticos de Frontera: 0
0 =
x y 3
0 =
x
2.Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos
analizamos la derivada 4
4
)
´( −
= x
x
f
Ahora
0
)
1
(
4
0
)
´(
=
−
=
x
x
f
, entonces sería: 1
0 =
x .
3.Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada
notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera
debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo .
Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos
críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos
criterios más fuertes, para otros casos):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
)
1
(
11
5
3
4
3
2
3
5
5
0
4
0
2
0
2
2
=
=
+
−
=
=
+
−
=
f
f
f
Por inspección, se determina que:
En 3
0 =
x se encuentra el Valor Máximo f .
Y en 1
0 =
x se encuentra el Valor Mínimo de f .
Ejemplo 2
Determinar los extremos para 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − + en [ ]
2,3
−
SOLUCIÓN:
Primero determinamos los puntos críticos.
1.Puntos críticos de Frontera: ´0 2
x = − y 0 3
x =
2.Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada
2
´( ) 3 6
f x x x
= − , tenemos:
2
´( ) 0
3 6 0
3 ( 2) 0
f x
x x
x x
=
− =
− =
Entonces serían: 0
0 =
x y 0 2
x = .
3.Puntos críticos Singulares: No hay.
Bien, ahora evaluando en la función:
( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 2
3 2
2 2 3 2 3 8 12 3 17
3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3
(0) 3
(2) (2) 3(2) 3 1
f
f
f
f
− = − − − + = − − + = −
= − + = − + =
=
= − + = −

147. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
116
De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto
en 0 3
x = como en 0 0
x = ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en 0 2
x = − .
Ejercicios Propuestos 4.2
1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f en [ ]
2,3
−
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= − en [ ]
3,3
−
3. 3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − + en [ ]
5,3
−
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f en [ ]
1,1
−
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f en [ ]
2,2
−
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f en [ ]
1,2
−
Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos
los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo
de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que
bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar
máximos o mínimos cuando no lo son.
4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
Sea f una función de variable real. Sea
“ 0
x ” un punto del dominio de f . Entonces:
1. )
( 0
x
f es un valor máximo local de f , si
existe un intervalo ( )
b
a, en el dominio
de f que contiene a “ 0
x ” tal que )
( 0
x
f
es el valor máximo de f en ( )
b
a, .
2. )
( 0
x
f es un valor mínimo local de f , si
existe un intervalo ( )
b
a, en el dominio
de f que contiene a “ 0
x ” tal que )
( 0
x
f
es el valor mínimo de f en ( )
b
a, .
3. )
( 0
x
f es un valor extremo local de f ,
si es un máximo o un mínimo local.
Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos.
Observe el siguiente gráfico:

148. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
117
Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.
4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada.
Sea f continua en ( )
b
a, que contiene al
punto crítico “ 0
x ”. Entonces:
1. Si ( )
0
,
,
0
)
´( x
a
x
x
f ∈
∀
y ( )
b
x
x
x
f ,
,
0
)
´( 0
∈
∀
entonces )
( 0
x
f es un valor máximo
local de f .
2.Si ( )
0
,
,
0
)
´( x
a
x
x
f ∈
∀
y ( )
b
x
x
x
f ,
,
0
)
´( 0
∈
∀
entonces )
( 0
x
f es un valor mínimo
local de f .
3.Si )
´(x
f tiene el mismo signo a ambos
lados de “ 0
x ” entonces )
( 0
x
f NO es un
valor extremo de f .

149. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
118
Ejemplo
Para 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +
Analizando la primera derivada ( )
´( ) 3 2
f x x x
= − se observó que:
x )
´(x
f f
0
x Positiva (+) crece
0 2
x
Negativa (-) decrece
2
x Positiva (+) crece
Entonces:
1. Como antes de 0
x = la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3
f = es un
máximo local.
2. Como antes de 2
x = la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1
f = − es un
mínimo local.
Ejercicios Propuestos 4.3
Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= −
3. 3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no
tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos
permite hacerlo.
Ejemplo 1
Trazar la gráfica de 5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f en [ ]
3
,
0 .
SOLUCIÓN:
Se ha obtenido 1
0 =
x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este
punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:
•
•
•
5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f
( )
3
,
1
( )
5
,
0
( )
11
,
3

150. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
119
Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el
análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de
funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector
compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y
además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en
esta sección.
Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.
Ejemplo 2
Graficar 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − + en [ ]
2,3
−
SOLUCIÓN:
Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 0
0 =
x y 0 2
x = , también se determinó que antes de
0
0 =
x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto 0 2
x = ; y después
de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:
Ejercicios Propuestos 4.4
Elabore la gráfica de:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5 3
3 20
y x x
= −
3.
3
1
3
9 2
y x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser
suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son
funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su
.
máx
y
mín
y
3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +

151. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
120
comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace
necesario otros criterios.
Ejemplo.
Graficar
4
5
( )
f x x
=
SOLUCIÓN:
Analizando la derivada
1
5
5
4 4
´( )
5 5
f x x
x
−
= = , tenemos:
Punto Crítico Singular: 0
0 =
x
x )
´(x
f f
0
x Negativa (-) decrece
0
x Positiva (+) crece
Por tanto, se puede decir que su gráfica es:
Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la
curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la
gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los
siguientes comportamientos:
4
5
y x
=

152. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
121
4.3 CONCAVIDAD
4.3.1 Teorema de concavidad
Sea f una función dos veces derivable
sobre un intervalo abierto I. Entonces:
1. Si I
x
x
f ∈
∀
,
0
)
´´( entonces f es
cóncava hacia arriba en I.
2.Si I
x
x
f ∈
∀
,
0
)
´´( entonces f es
cóncava hacia abajo en I.
Ejemplo 1
Analizar la concavidad de
4
3
( )
f x x
=
SOLUCIÓN:
Como la primera derivada de f es
1
5
4
´( )
5
f x x−
=
entonces la segunda derivada es
6
5
5 6
4 4
´´( )
25 25
f x x
x
−
= − = −
Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:
x )
´´(x
f f
0
x Negativa (-) Cóncava hacia abajo
0
x Negativa (-) Cóncava hacia abajo
Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.
Otra definición importante es la que presentamos a continuación.
4.3.2 Puntos de Inflexión
Sea f continua en “ 0
x ”, llamamos a
( )
)
(
, 0
0 x
f
x un punto de inflexión de la
gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a
un lado de “ 0
x ” y cóncava hacia abajo al
otro lado.

153. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
122
Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de
positiva a negativa o de negativa a positiva.
Ejemplo 2
Analizar la concavidad de 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +
SOLUCIÓN:
Como la primera derivada de f es
2
´( ) 3 6
f x x x
= − entonces la segunda derivada es
´´( ) 6 6 6( 1)
f x x x
= − = −
x )
´´(x
f f
1
x Negativa (-) Cóncava hacia abajo
1
x Positiva (+) Cóncava hacia arriba
Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del
comportamiento de la función.
Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica
cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión.
Ejercicios Propuestos 4.5
Determine los intervalos de concavidad:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= −
3.
3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +

154. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
123
Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos,
también se podría aplicar este otro criterio.
4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada
Supóngase que ´
f y ´´
f existen en ( )
b
a,
que contiene a “ 0
x ” y que 0
)
´( 0 =
x
f .
1. Si 0
´´( ) 0
f x entonces )
( 0
x
f es un valor
máximo local de f .
2.Si 0
´´( ) 0
f x entonces )
( 0
x
f es un
valor mínimo local de f .
Ejemplo
Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +
SOLUCIÓN:
De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios.
Puntos críticos Estacionarios: 0
=
x y 2
x = .
Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:
´´( ) 6 6
f x x
= −
a) ´´(0) 6(0) 6 6 0
f = − = − (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.
b) ( )
´´(2) 6 2 6 6 0
f = − = (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.

155. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
124
4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS
Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias
sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:
1.Establecer el dominio de la función.
2.Establecer la simetría de las gráficas.
Es decir, determinar si es par, impar
o ninguna.
3.Establecer las asíntotas horizontales,
verticales u oblicuas.
4.Establecer los puntos críticos de
frontera, estacionarios y singulares.
5.Analizar la monotonía. Es decir,
determinar los intervalos de
crecimiento y los intervalos de
decrecimiento.
6. Establecer los extremos relativos.
7.Analizar la concavidad. Es decir,
determine los intervalos donde es
cóncava hacia arriba y los intervalos
donde es cóncava hacia abajo.
8. Establecer los Puntos de Inflexión.
Ejemplo 1
Graficar 4
243
( )
243
x
f x
x
=
+
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: R
f
Dom =
Paso 2. SIMETRÍA:
( )
4 4
243 243
( ) ( )
( ) 243 243
x x
f x f x
x x
−
− = = − = −
− + +
por tanto f es IMPAR.

156. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
125
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: No hay (¿por qué?)
HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito
4 3
4
4
4
4 4
243 243
243 0
lím lím lím 0
1
243 1
243 243 0
243
x x x
x
x x x
x
x
x
x x
→∞ →∞ →∞
= = = =
+ +
+
+
Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir:
4
243
lím 0
243
x
x
x
→−∞
=
+
Por tanto el eje x ( 0
=
y ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo.
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay. ¿Por qué?
• P.C.E:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
( )
4 3 4
4
2 2 2
4 4 4
2 2 2
2 2
4 4
243 (4 ) 3 81
243 3
´( ) 243 243 243
243 243 243
3 9 9 3 3 3 9
243 243
243 243
x x x x
x
f x
x x x
x x x x x
x x
+ − −
−
= = = =
+ + +
− + − + +
= =
+ +
por lo tanto tenemos P.C.E: 0 3
x = y 0 3
x = −
• P.C.S: no hay. ¿Por qué?
Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
1. En 0 3
x = − la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo
local.
2. En 0 3
x = la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo
local.
Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
4 3 4 4 4 3
2 4
4 4
4 3 4 4 3
4
4
7 3 3 7
3
4
7 3
3
4
3 4
3
4
3
81 4 243 81 2 243 4
´´( ) 729 729
243 243
4 243 243 81 2
729
243
4 243 162 2
729
243
4 405
729
243
4 405
729
243
4
729
x
x x x x x x
f x D
x x
x x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x x
x
x
⎡ ⎤
− − + − − +
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ − + − −
⎣ ⎦
=
+
⎡ ⎤
− − − +
⎣ ⎦
=
+
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
=
+
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
=
+
=
( )( )
( )
( )( )( )
( )
2 2
3
4
3 2
4 4
3
4
405 405
243
4 405 405 405
729
243
x x
x
x x x x
x
− +
+
− + +
=
+
3
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
´
f
f
−
−
−
−
−
−
decrece decrece
crece
3

157. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
126
Entonces:
Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN
Como la segunda derivada cambia de signo tanto en 0
=
x , 4
405
x = y 4
405
x = − entonces existen
tres puntos de inflexión: ( )
( )
4 4
405, 405
f
− − , ( )
0
,
0 y ( )
( )
4 4
405, 405
f .
En conclusión:
x )
´(x
f )
´´(x
f f
4
405
x − - - Decrece y cóncava hacia
abajo
4
405
x = − 0 Punto de inflexión
4
405 3
x
− − - + Decrece y cóncava hacia
arriba
3
x = − 0 + Punto crítico estacionario,
Mínimo local
3 0
x
− + + Crece y cóncava hacia
arriba
0
=
x 0 Punto de inflexión
0 3
x
+ - Crece y cóncava hacia
abajo
3
x = 0 - Punto crítico estacionario,
Máximo local
4
1 405
x
- - Decrece y cóncava hacia
abajo
4
405
x = 0 Punto de inflexión
4
405
x - + Decrece y cóncava hacia
arriba
4
405
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
´´
f
f
−
−
−
−
−
−
4
405
0
+
+
+
+
+
+
2.25
2.25
−
4
243
( )
243
x
f x
x
=
+
( )
4.49;1.68
( )
4.49; 1.68
− −

158. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
127
Ejemplo 2
Graficar
1
1
)
( 2
2
−
+
=
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: { }
1
,
1
−
−
= R
f
Dom
Paso 2. SIMETRÍA:
( ) )
(
1
1
1
)
(
1
)
( 2
2
2
2
x
f
x
x
x
x
x
f =
−
+
=
−
−
+
−
=
− por tanto f es PAR.
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: 1
−
=
x y 1
=
x (calcule los límites laterales)
HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
=
−
+
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
lím
x
x
lím
x
x
Por tanto, 1
=
y es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo.
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay. ¿Por qué?
• P.C.E:
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
1
4
1
2
2
2
2
1
)
2
(
1
1
2
)
´(
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Por lo tanto tenemos 0
0 =
x
• P.C.S: no hay. ¿Por qué?
Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
En 0
0 =
x la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local.
Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
( ) ( )3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
12
´´
1
16
4
4
1
2
1
2
4
1
4
1
4
)
´´(
+
−
+
=
−
+
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
x
f x
Entonces:
1
−
+
+
+
+
+
+ −
−
−
−
−
−
´
f
f
−
−
−
−
decrece decrece
crece
1
0
+
+
+
+
crece
1
−
´´
f
f
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

159. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
128
Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay
En conclusión:
x )
´(x
f )
´´(x
f f
1
−
x + + Crece y cóncava hacia arriba
1
−
=
x Asíntota vertical
0
1
− x + - Crece y cóncava hacia abajo
0
=
x 0 - Punto crítico estacionario,
Máximo local
1
0
x - - Decrece y cóncava hacia
abajo
1
=
x Asíntota vertical
1
x - + Decrece y cóncava hacia
arriba
Ejemplo 3
Graficar
2
( )
1
x
f x
x
=
+
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: { }
1
Dom f R
= − −
Paso 2. SIMETRÍA:
( )
( )
2 2
( )
1 1
x x
f x
x x
−
− = =
− + − +
, por tanto f no es par ni impar.
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en 1
x = − la función no se define
(división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además:
2
1
lím
1
x
x
x
−
→−
= −∞
+
y
2
1 1
x
x
lím
x
+
→−
= +∞
+
HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito
1
1
2
2
−
+
=
x
x
y

160. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
129
2
2 2
2 2 2
1 1
1 1 1
1 0
x
x
x x
lím
x
x
x
x x x
→∞
= = = = ∞
+ + +
Por tanto, no hay asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA:
En ciertas funciones se cumple que: ( )
lím ( ) 0
x
f x mx b
→∞
− + =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
donde
x
x
f
m
x
)
(
lím
∞
→
= y [ ]
mx
x
f
b
x
−
=
∞
→
)
(
lím
Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua
b
mx
y +
=
Entonces, para esta función sería:
2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1
x x x x
x
x
x
x x
m lím lím lím lím
x x x x x
x
x x
→∞ →∞ →∞ →∞
+
= = = = = =
+ +
+
2 2 2
1
1 2 2
x x x
x x x x x
b lím x lím lím
x x x
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− − −
⎡ ⎤
= − = = = −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ − −
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Por tanto, hay una asíntota oblicua 1
y x
= −
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay
• P.C.E:
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2 1 1
´( )
1 1
2 2 2
1 1
2
´( )
1
x
x x x
x
f x D
x x
x x x x x
x x
x x
f x
x
+ −
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
+ − +
= =
+ +
+
=
+
por lo tanto, tenemos P.C.E: 0
=
x y 2
x = −
• P.C.S: no hay
Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de ´
f
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
1. En 2
x = − la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo
local.
2. En 0
x = la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo
local.
Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
2
−
+
+
+
+
+
+ −
−
−
−
−
−
´
f
f
+
+
+
+
+
+
crece crece
decrece
0

161. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
130
( )
( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
2
4
2 2
3
3
2 2 1 2 2 1
2
´´( )
1 1
1 2 2 1 2 2
1
2 4 2 2 4
1
2
´´( )
1
x
x x x x x
x x
f x D
x x
x x x x x
x
x x x x
x
f x
x
⎡ ⎤ + + − + +
+
= =
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
+
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ + + − +
⎣ ⎦
=
+
+ + − −
=
+
=
+
Entonces:
Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN
NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en 1
x = − , pero como no es punto del dominio,
tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión.
En conclusión:
x )
´(x
f )
´´(x
f f
2
x − + - Crece y cóncava hacia abajo
2
x = − 0 - Punto Crítico Estacionario,
Máximo local
2 1
x
− − - - Decrece y cóncava hacia
abajo
1 0
x
− - + Decrece y cóncava hacia
arriba
0
x = 0 + Punto Crítico Estacionario,
Mínimo local
0
x + + Crece y cóncava hacia arriba
1
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
´´
f
f
2
( )
1
x
f x
x
=
+
1
y x
= −
1
x = −

162. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
131
Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener
condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función.
Ejemplo
Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
1. Dom f =
2. f continua en ( ) ( )
∞
∪
−∞ ,
0
0
,
3. 0
)
1
( =
−
f , 0
)
4
(
)
(2
3 =
= f
f , 2
)
0
(
)
3
( =
=
− f
f , 4
)
2
( =
−
f , 2
)
3
( −
=
f , 1
)
1
( =
f
4. ε
−
⇒
−
∀
∃
ε
∀ 1
)
(
:
;
0
,
0 x
f
N
x
x
N
5. ε
−
⇒
∂
∀
∃∂
ε
∀ 3
)
(
0
:
;
0
,
0 x
f
x
x
6. −∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
7. [ ] 0
)
3
(
)
(
lím =
−
−
+∞
→
x
x
f
x
8. 0
)
2
(
' =
−
f ,
9. 0
)
(
'
x
f para 3
2
∨
−
x
x ,
10. 0
)
(
'
x
f ,para 3
0
0
2
∨
− x
x
11. 0
)
1
(
'
' =
f
12. 0
)
(
'
'
x
f para 3
1
3
∨
−
x
x
13. 0
)
(
'
'
x
f para 3
1
0
0
3
∨
∨
− x
x
x
SOLUCIÓN:
Interpretemos las condiciones, tenemos:
1. Dominio de la función.
2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede
esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición.
3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano.
4. 1
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
. Asíntota horizontal 1
=
y , para x negativos.
5. 3
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
. La función se aproxima a 3, por la derecha de 0.
6. −∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
. Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0
7. [ ] 3
)
(
lím −
=
+∞
→
x
x
f
x
Asíntota oblicua 3
−
= x
y para x posoitivos.
8. Punto crítico estacionario en 2
−
=
x
9. f crece en los intervalos ( )
2
,−
−∞ o en ( )
∞
,
3
10. f decrece en los intervalos ( )
0
,
2
− o en ( )
3
,
0
11. Punto de inflexión: ( )
1
,
1
12. f es cóncava hacia arriba en ( )
3
,−
−∞ o en ( )
3
,
1
13. f es cóncava hacia abajo en ( )
0
,
3
− o en ( )
1
,
0 o en ( )
∞
,
3
Entonces la grafica sería:

163. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
132
Ejercicios Propuestos 4.6
1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos,
concavidad, puntos de inflexión:
1. x
x
x
f −
= 4
)
( 2
2. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
= 3 5
3 2
3
5
2
)
( x
x
x
f
3.
2
)
( x
e
x
f −
=
4.
( )
2
2
2
)
(
x
x
x
f
−
=
5. ( )
2
5
3
−
−
=
x
x
x
f
6. ( ) 2
2
9
2
x
x
x
f
−
=
7. x
e
x
f
1
)
( =
8. ( ) ( ) 3
2
3
2
2
2
)
( −
−
+
= x
x
x
f
9.
( )2
2
1
2
)
(
−
−
+
=
x
x
x
x
f
10.
1
2
)
(
2
−
−
+
=
x
x
x
x
f
11.
( )
x
x
x
f
2
2
)
(
+
=
12.
2
3
4
)
(
x
x
x
f
−
=
13.
3
)
(
2
−
=
x
x
x
f
14. x
xe
x
f
1
)
( =
•
•
•
•
D
•
2
3
3
−
= x
y
•

164. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
133
2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
ƒ )
(
)
( x
f
x
f −
=
ƒ 2
)
(
lím −
=
−∞
→
x
f
x
ƒ +∞
=
+
→
)
(
1
x
f
lím
x
ƒ ∞
=
+
−
→
)
(
lím
1
x
f
x
ƒ 0
)
2
/
3
(
'
)
0
(
'
)
3
(
' =
=
=
− f
f
f
ƒ ( ) 0
3 =
−
f , ( ) 1
2
3 −
=
f ,
2
1
)
2
( −
=
f , 0
)
0
( =
f
ƒ 0
)
(
'
x
f en ( )
1
,
0 y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,
2
3
ƒ 0
)
2
(
'
' =
f
3. Bosqueje el gráfico de una función f tal que:
ƒ Dominio f =IR
ƒ Contínua en ( ) ( )
∞
∪
−∞ ,
2
2
,
ƒ f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0
ƒ ε
ε
+
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 1
)
(
2
0
:
;
0
,
0 x
f
x
x
ƒ M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
:
;
0
,
0
ƒ ε
−
⇒
−
∀
∃
ε
∀ 2
)
(
:
;
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ] 0
)
(
lím =
−
+∞
→
x
x
f
x
ƒ ( ) ( ) ( )
2
,
0
,
0
)
(
'
;
,
2
0
,
,
0
)
(
' ∈
∞
∪
−∞
∈
x
para
x
f
x
para
x
f
ƒ ( ) ( ) ( )
∞
∪
−
∈
−
−∞
∈
,
2
2
,
1
,
0
)
(
'
'
;
1
,
,
0
)
(
'
' x
para
x
f
x
para
x
f
4. Suponga que ( )
2
'( ) ( 3)( 1) 2
f x x x x
= − − + y (1) 0
f = , ( )
2 5
f − = , (3) 5
f = − ,
esboce una gráfica para f .
5. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 4) (5) 0
f f
− = = , (0) 8
f = ,
(1) 6
f = , ( )
1 7
f − = − , ( )
2 3
f = − y además la gráfica de su derivada es:
6. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 2) 4
f − = , (1) 0
f = , (2) 1
f = ,
(3) 3
f = y además la gráfica de su derivada es:

165. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
134
7. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 1) 2
f − = , (0) 0
f = , (2) 1
f = ,
(4) 0
f = y además la gráfica de su derivada es:
8. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 1) 1
f − = , (0) 3
f = , (1) 5
f = ,
(2) 1
f = − , ( )
7
2
4
f − = − y además la gráfica de su derivada es:
D
D

166. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
135
4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS
(TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [ ]
b
a, y
derivable en ( )
b
a, entonces, existe al
menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal que
a
b
a
f
b
f
x
f
−
−
=
)
(
)
(
)
´( 0
Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo
cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el
cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual
pendiente.
Demostración:
Sea )
(
)
(
)
( x
g
x
f
x
S −
= donde g es la recta entre los puntos ( )
)
(
, a
f
a y ( )
)
(
, b
f
b ,
entonces podemos obtener su ecuación:
( )
( )
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
y
x
x
m
y
y
−
−
−
=
−
−
=
−
)
(
)
(
)
(
0
0
, es decir
( )
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
g
y −
−
−
+
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
b- a
f
(
b
)
-
f
(
a
)
a b
)
(a
f
)
(b
f
0
x
)
(x
f
y =
Recta Tangente
Recta Secante

167. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
136
Reemplazando, resulta: ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
f
x
S
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Obtengamos ( ) 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
a
a
b
a
f
b
f
a
f
a
f
a
S y
( ) 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
b
a
b
a
f
b
f
a
f
b
f
b
S
Por tanto, ( )
b
a
x ,
0 ∈
∃ tal que 0
)
´( 0 =
x
S
Para lo cual ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
a
b
a
f
b
f
x
f
x
S
)
(
)
(
)
´(
)
´( y 0
)
(
)
(
)
´(
)
´( 0
0 =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
a
b
a
f
b
f
x
f
x
S
Por lo último
a
b
a
f
b
f
x
f
−
−
=
)
(
)
(
)
´( 0 L.Q.Q.D.
Ejemplo 1
Encuentre el número “ 0
x ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si
2
( )
f x x
= en [ ]
1,2
− .
SOLUCIÓN:
Observe que f es continua en [ ]
1,2
− y como ´( ) 2
f x x
= por tanto es diferenciable en ( )
1,2
− se
cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de 0
x en ( )
1,2
− tal que
( )
0
(2) ( 1)
´( )
2 1
f f
f x
− −
=
− −
está garantizada y lo podemos encontrar.
Para lo cual 0 0
´( ) 2
f x x
= y
( )
(2) ( 1) 4 1 3
1
2 1 3 3
f f
− − −
= = =
− −
Igualando y despejando, resulta:
0
0
2 1
1
2
x
x
=
=
.
Geométricamente.
Recta Tangente
Recta Secante
2
( )
f x x
=
[ ]
0.5

168. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
137
Ejemplo 2
Use el teorema del valor medio para demostrar que: b
a
a
sen
b
sen −
≤
−
SOLUCIÓN:
Usemos ( )
f x senx
= . Note que es una función continua en [ ]
,
a b y derivable en ( )
,
a b por tanto de
acuerdo al teorema de Lagrange , existe un ( )
0 ,
x a b
∈ tal que 0
( ) ( )
´( )
f b f a
f x
b a
−
=
−
.
Reemplazando y simplificando
0
cos
senb sena
x
b a
−
=
−
Por otro lado
0
0 cos 1
x
≤ ≤
Entonces 0 1
senb sena
b a
−
≤ ≤
−
Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando.
1
senb sena
b a
senb sena b a
−
≤
−
− ≤ −
Que es lo que se quería demostrar.
Ejemplo 3
Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de
distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una
velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70
km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4
minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora.
SOLUCIÓN:
Sea ( )
e f t
= , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el
cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento.
Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:
7
105
4
60
m
e km km
v
h
t horas
Δ
= = =
Δ
Sea 1
t el momento en que se le mide al camión una velocidad de 1 90km
v
h
= y sea 2
t el momento en que
se mide una velocidad de 2 70km
v
h
= . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un ( )
0 1 2
,
t t t
∈ en el cual
( )
0
´
de
f t
dt
= , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media (105km
h
), lo cual
demuestra que ha superado el límite de velocidad (100km
h
).
Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.

169. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
138
4.6 TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [ ]
b
a, y
derivable en ( )
b
a, y si )
(
)
( b
f
a
f = entonces,
existe al menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal
que 0
)
´( 0 =
x
f
El teorema del valor medio para dos funciones sería:
Ejercicios Propuestos 4.7
1. La función x
x
f =
)
( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es
verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.
2. Sea .
2
)
( 2
4
x
x
x
f −
= Hallar todos los valores de 0
x en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de
Rolle.
3. La altura que alcanza una bola t segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:
32
48
16
)
( 2
+
+
−
= t
t
t
f .
a) Comprobar que f (1) = f (2).
b) Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?
4. Sea .
,
,
;
)
( 2
IR
x
x
x
f ∈
∂
+
+
= δ
β
α
β
α Encontrar el valor de 0
x que satisfaga el teorema del
valor medio para derivadas en [a,b].
5. Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un
camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al
pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha
superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.
6. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos cos
b a b a
− ≤ −

170. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
139
7. Considere
4
5
( )
f x x
= en el intervalo [ ]
1,2
− . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de
Lagrange. Justifique.
8. Considere ( ) 3
f x x
= en el intervalo [ ]
1,8
− . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema
de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.
4.7 TEOREMA DE CAUCHY
Sean f y g funciones continuas en [ ]
b
a, y diferenciables en
( )
b
a, entonces, existe al menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal
que
)
(
)
(
)
(
)
(
)
´(
)
´(
0
0
a
g
b
g
a
f
b
f
x
g
x
f
−
−
=
No olvide demostrarlo.
Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.
4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL
Suponga que 0
)
(
lím
)
(
lím =
=
→
→
x
g
x
f
u
x
u
x
o también
∞
=
=
→
→
)
(
lím
)
(
lím x
g
x
f
u
x
u
x
. Si
)
´(
)
´(
lím
x
g
x
f
u
x→
existe en sentido finito
o infinito; entonces:
)
´(
)
´(
lím
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
x
g
x
f
u
x
u
x →
→
=
Donde −∞
+∞
= −
+
,
,
,
, a
a
a
u
No olvide demostrarlo.
Ejemplo 1
Calcular
x
x
x
sen
lím
0
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
1
0
cos
1
cos
lím
sen
lím
0
0
=
=
=
→
→
x
x
x
x
x

171. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
140
Ejemplo 2
Calcular ( ) x
x
x
1
0
1
lím +
→
SOLUCIÓN:
Transformando la expresión primero, resulta:
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x
+
+
→
+
→
→
→
=
=
=
+
1
ln
lím
1
ln
0
1
ln
0
1
0
0
1
lím
lím
1
lím
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
1
1
1
1
lím
)
1
ln(
lím
0
0
=
+
=
+
→
→
x
x
x
x
x
Por tanto, ( ) e
e
x x
x
=
=
+
→
1
1
0
1
lím
Ejemplo 3
Calcular
3
0
sen
lím
x
x
x
x
−
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
2
0
3
0 3
1
cos
lím
sen
lím
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
→
→
Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea
necesario:
6
1
6
sen
lím
3
1
cos
lím
0
2
0
−
=
−
=
−
→
→ x
x
x
x
x
x
Ejemplo 4
Calcular
3
2
4
1
5
3
lím 2
2
−
+
+
−
∞
→ x
x
x
x
x
SOLUCIÓN:
Note que aquí tenemos:
∞
∞
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
2
8
5
6
lím
+
−
∞
→ x
x
x
Volviendo a aplicar L´Hopital resulta:
4
3
8
6
lím =
∞
→
x
Ejemplo 5
Calcular ( ) x
x
x 2
tg
1
2
lím
π
→
−
SOLUCIÓN:
Observe que aquí tenemos ∞
1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente.
Transformando la expresión primero, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
x
g
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x 2
cot
1
2
2
tg
2
ln
lím
2
ln
tg
1
2
ln
1
2
tg
1
lím
lím
2
lím
π
→
π
π
−
−
→
−
→
π
→
=
=
=
−

172. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
141
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
( ) π
=
−
−
=
−
−
−
=
−
π
π
π
→
π
→
2
1
csc
2
1
lím
cot
)
2
ln(
lím
2
2
2
2
1
2
1 x
x
x
g
x
x
x
Por tanto, ( ) π
π
→
=
−
2
2
tg
1
2
lím e
x x
x
Ejemplo 6
Calcular ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
→ 1
1
ln
1
1 x
x
lim
x
SOLUCIÓN:
Observe que aquí tenemos ∞
−
∞ ..
Transformando la expresión primero, resulta:
( )( )
1
ln
ln
1
1
1
ln
1
1
1 −
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
→
→ x
x
x
x
lim
x
x
lim
x
x
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
( )( ) ( ) ( ) x
x
x
lim
x
x
x
x
lim
x
x
x
x
lim
x
x
x
x
lim
x
x
x
x ln
1
1
ln
1
1
1
1
ln
1
1
1
0
1
1
ln
ln
1
1
1
1
1 +
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
−
=
−
−
−
→
→
→
→
Volviendo a aplicar L´hopital:
2
1
1
1
1
ln
1
1
1
1
=
+
=
+
−
−
→
→
x
lim
x
x
x
lim
x
x
Ejercicios Propuestos 4.8
Calcular:
1.
4
4
10
3
2
2
2 +
−
−
+
+
→ x
x
x
x
lim
x
2.
x
x
x
lim
x tg
sen
2
0
−
→
3.
x
x
x e
e
x
x
lim −
→ −
+
−
tg
sen
0
4.
x
x
c
lim
x
1
tg
0
−
→
5. ( ) x
c
x
lim
x
tg
cos
1
0
−
→
6.
x
x
lim
x cos
1
1
cos
0 −
−
−
→
7. x
x
x
lim
1
∞
→
8.
x
x
x
lim sen
0
→
9. ( ) x
x
x
lim
1
0
cos
→
10. ( )
2
3
2
cos
0
x
x
lim
x→
11. ( )x
x
x
lim
1
2
0
1+
→
12.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
x
ln
x
x
lim 4
3
0
13.
( )
2
0 2
3
cos
ln
x
x
lim
x→
14.
x
x x
x
lim ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→ 1
0
15. ( ) x
x
x
c
lim sen
0
tg
→

173. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
142
Misceláneos
1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y
concavidad, extremos locales y puntos de inflexión
a)
1
2
)
(
−
−
=
x
x
x
f h) 5
5
)
( 2
3
−
−
+
= x
x
x
x
f
b)
1
2
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f i) 3
5
)
( x
x
x
f −
=
c)
1
)
(
2
−
=
x
x
x
f j) ( )
8
)
( 2
3
2
−
= x
x
x
f
d)
1
2
)
(
2
−
=
x
x
f k)
3
4
4
)
(
2
2
+
−
−
=
x
x
x
x
x
f
e) ( )
x
x
x
f −
= 8
)
( 3
f) 1
)
( 3
2
+
=
x
xe
x
f
g)
x
x
x
f
1
)
(
2
−
=
2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
• f es continua en toda su extensión
• 3
)
4
( −
=
−
f , 0
)
0
( =
f , 2
)
3
( =
f
• 0
)
4
´( =
−
f , 0
)
3
´( =
f , 0
)
´(
x
f para 4
−
x , 0
)
´(
x
f para 3
4
− x ,
0
)
´(
x
f para 3
x .
• 0
)
4
´´( =
−
f , 0
)
0
´´( =
f , 0
)
´´(
x
f para 4
−
x
• 0
)
´´(
x
f para 0
4
− x , 0
)
´´(
x
f para 0
x
3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
• +∞
=
→
)
(
lím x
f
a
x
0
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
−∞
=
+∞
→
)
(
lím x
f
x
e
d
b
a
0
• 0
)
(
)
( =
= e
f
c
f , 5
)
( =
b
f , 3
)
0
( =
f , 1
)
(
)
( =
= d
f
a
f
• 0
)
´´( =
b
f , )
´´(c
f no existe, 0
)
´( =
d
f , 0
)
´´(
d
f ,
• ( ) ( )[ ]
0
)
´(
,
,
∪
−∞
∈
∀ x
f
d
c
a
x , ( ) ( )[ ]
0
)
´(
,
,
+∞
∪
∈
∀ x
f
d
c
a
x
• ( ) ( )[ ]
0
)
´´(
,
,
∪
−∞
∈
∀ x
f
b
a
a
x , ( ) ( )[ ]
0
)
´´(
,
,
+∞
∪
∈
∀ x
f
c
c
b
x
4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´
f es:
Suponga que 1
)
1
( −
=
−
f
x
y
1
−
2
3
−

174. MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
143
5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´
f es:
Suponga que 0
)
0
( =
f
6. Calcular :
a) ( )
2
0
lim x
x
senx
+
→
d)
2
0
cos
lim
2
x
x
ex
x
−
→
b)
x
tgx
x
x 4
cos
1
2
sec
lim
2
4
+
−
→π
e) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→ x
x
x
x cos
tan
2
lim
2
π
π
c)
x
senx
arc
x
tgx
x −
−
→0
lim
2
2
−
5
5
−

175. CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada
Ejercicios Propuestos 4.1
1. f crece en ( ) ( )
1,0 2,
− ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( )
, 1 0,2
−∞ − ∪
2. f crece en ( ) ( )
, 2 2,
−∞ − ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( )
2,0 0,2
− ∪
3. f crece en ( ) ( )
, 2 2,
−∞ − ∪ +∞ ; f decrece en ( )
2,2
−
4. f es creciente x R
∀ ∈
5. f crece en ( ) ( )
1,0 1,
− ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( )
, 1 0,1
−∞ − ∪
6. f crece en ( )
1,+∞ ; f decrece en ( )
,1
−∞
Ejercicios Propuestos 4.2
1. ( )
2 73
f − = Máximo ; ( )
2 15
f = − Mínimo
2. ( ) 63
3
5
f = Máximo ; ( ) 63
3
5
f − = − Mínimo
3. ( ) 22
2
3
f − = Máximo ; ( ) 59
5
3
f − = − Mínimo
4. ( )
1 7
f = Máximo ; ( )
1 23
f − = − Mínimo
5. ( )
2 81
f − = Máximo ; ( ) ( )
1 1 0
f f
= − = Mínimo
6. ( ) 4
2 7
f = Máximo ; ( )
1 0
f = Mínimo
Ejercicios Propuestos 4.3
1. ( )
0 17
f = Máximo Local ; ( )
2 15
f = − Mínimo Local ; ( )
1 12
f − = Mínimo Local
2. ( ) 64
2
15
f − = Máximo Local ; ( ) 64
2
15
f = − Mínimo Local
3. ( ) 22
2
3
f − = Máximo Local ; ( ) 10
2
3
f = − Mínimo Local
4. No hay extremo local
5. ( )
0 1
f = Máximo Local ; ( )
1 0
f − = Mínimo Local ; ( )
1 0
f = Mínimo Local
6. ( )
1 0
f = Mínimo Local
Ejercicios Propuestos 4.4
1. f es cóncava hacia arriba en ( ) ( )
,1 7 1 7,
−∞ − ∪ + +∞ ;
f es cóncava hacia abajo en ( )
1 7,1 7
− +
2. f es cóncava hacia arriba en ( ) ( )
2,0 2,
− ∪ +∞ ;
f es cóncava hacia abajo en ( ) ( )
, 2 0, 2
−∞ − ∪
3. f es cóncava hacia arriba en; ( )
0,∞
f es cóncava hacia abajo en ( )
,0
−∞
4. f es cóncava hacia arriba en ( )
1
3
,∞ ;
f es cóncava hacia abajo en ( )
1
3
,
−∞
5. f es cóncava hacia arriba en
1 1
, ,
7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−∞ − ∪ +∞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;

176. f es cóncava hacia abajo en
1 1
,
7 7
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6. f es cóncava hacia arriba en ( ) 3
2
,0 ,
11
⎛ ⎞
−∞ ∪ +∞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
f es cóncava hacia abajo en 3
2
0,
11
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejercicios Propuestos 4.5
1)
2)
( )
15
,
2 −
•
•
•
•
•
( )
12
,
1
−
( )
17
,
0
P.C.E:
P.C.E:
P.C.E:
P.I.
P.I.
Mín.
Absoluto
Mín. Local
Máx.
Local 17
12
4
3 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
y
( )
35
.
1
,
21
.
1 −
( )
32
.
14
,
55
.
0
−
( )
64
,
2
−
•
•
•
( )
64
,
2 −
−
•
•
( )
6
.
39
,
2
−
( )
6
.
39
,
2 −
3
5
20
3 x
x
y −
=

177. 3)
4)
5)
( )
54
.
0
,
7
1
( )
54
.
0
,
7
1
−
•
•
•
• •
4
2
)
1
( −
= x
y
x
y
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-4
-2
0
2
4
6
5
12
3
3 2
3
−
+
−
= x
x
x
y
( )
9
11
3
1
−
P.I.
( )
20
,
3
−
•
•
•
( )
16
,
3 −
( )
2
,
0
2
9
3
3
1
+
−
= x
x
y

178. 6)
Ejercicios Propuestos 4.6
1
1)
( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
( )
45
.
0
,
3 11
2
•
( )
16
.
9
,
5
16
•
•
•
( )
2
.
5
;
9
.
1
x
x
x
f −
= 4
)
( 2

179. 2)
3)
4)
( )
2
2
2
)
(
x
x
x
f
−
=
P.C.E.
P.I. ( )
4
1
,
3
•
( )
3 5
3 2
3
5
2
)
( x
x
x
f −
=
( )
6
,
2
( )
3
2
6
,
1
−
•
•
2
)
( x
e
x
f −
=
( )
e
1
2
1
,
( )
e
1
2
1
,
− •
•

180. 5)
6)
7)
x
e
x
f
1
)
( =
( )
2
2
1
; −
− e
•
2
5
3
)
(
−
−
=
x
x
x
f
2
2
9
2
)
(
x
x
x
f
−
=
P.C.E
Mín. Local

181. 8)
9)
10)
( )2
2
1
2
)
(
−
−
+
=
x
x
x
x
f
( )
125
.
1
;
5 − ( )
11
.
1
;
7 −
• •
1
2
)
(
2
−
−
+
=
x
x
x
x
f
x
y −
=
3
2
3
2
)
2
(
)
2
(
)
( −
−
+
= x
x
x
f
( )
3
4
,
2
( )
3
4
,
2 −
−

182. 11)
12)
( )
x
x
x
f
2
2
)
(
+
=
4
+
= x
y
( )
8
,
2
•
•
( )
3
,
2 −
−
•
x
y =
2
3
4
)
(
x
x
x
f
−
=

183. 13)
14)
( )
12
,
6
3
+
= x
y
3
3
3
)
(
2
−
=
x
x
x
f
1
+
= x
y
x
xe
x
f
1
)
( =
( )
e
,
1
•

184. Ejercicios Propuestos 4.7
2. 0
=
x ,
2
1
=
x ,
2
1
−
=
x .
3. a) 64
)
2
(
)
1
( =
= f
f b) 0
)
´( 0 =
x
f para algún [ ]
2
,
1
0 ∈
x
4.
2
0
b
a
x
+
=
Ejercicios Propuestos 4.8
1) +∞ , 2) 1
− , 3) 1 4) 0 5) 0
6) 1
− 7) 1 8) 1 9) 1 10) 6
−
e
11) e 12) 3
e 13) 4
9
− 14) 1 15) 1
Misceláneos
1)
a)
1
2
)
(
−
−
=
x
x
x
f

185. b)
c)
( )
87
.
1
;
23
.
0
•
•
1
2
)
( 2
−
−
=
x
x
x
f
1
)
( 2
−
=
x
x
x
f

186. d)
e)
1
2
)
( 2
−
=
x
x
f
( )
x
x
x
f −
= 8
)
( 3

187. f)
g)
h)
( )
45
.
0
;
5
.
1
− •
1
)
( 3
2
+
=
x
xe
x
f
x
y =
x
x
x
f
1
)
(
2
−
=
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
5
)
( 2
3
−
−
+
= x
x
x
x
f

188. i)
j)
3
5
)
( x
x
x
f −
=
( )
8
)
( 2
3
2
−
= x
x
x
f

189. k)
6) a) 1 b)
4
1
c) 0 d) 2
3 e) 2
−
3
4
4
)
( 2
2
+
−
−
=
x
x
x
x
x
f

190. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
145
5
5.1 RAZÓN DE CAMBIO
5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
OBJETIVOS:
:
 Resolver problemas de razón de cambio.
 Resolver problemas de máximos y mínimos.
 Aproximarvalores.
 Aproximar funcionesmediante polinomios

191. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
146
5.1 RAZÓN DE CAMBIO
Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable
con respecto a otra variable, para una función )
(x
f
y  , se podría obtener la
derivada o razón de cambio de las variables x y y con respecto al tiempo
t , es decir:
dt
dy
y
dt
dx
. Lo cual nos va a permitir resolver problemas de
aplicación.
Ejemplo 1
Hacia un tanque de forma de cono invertido fluye agua a razón de
3
5
min
m
, si la altura
del tanque es de 10 m. y el radio de la base es de 5 m.
a) ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 3 m. de altura?.
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
Llamemos: 3
M Cantidad de agua que entra en m

3
Q Cantidad de agua que sale en m

3
V Cantidad de agua alojada en m

Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: V
Q
M 

Derivando con respecto al tiempo, resulta:
dt
dV
dt
dQ
dt
dM


Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:
3
5
min
dM m
dt
 y
3
0
min
dQ m
dt
 .
3
5
min
m
5
10
r
h

192. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
147
El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar
la formula del volumen de un cono , es decir: h
r
V 2
3
1 
 .
Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, lo más indicado es que sea en
función de h (¿por qué?).
Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .
Entonces:
2
4
2
5 0
20
min
dM dQ dV
dt dt dt
dh
h
dt
dh m
dt h


 
 

En 3
h  resulta:
 
2
20 20
9 min
3
dh m
dt 

 
b) Suponga ahora que se produce una perforación en lo bajo del recipiente y empieza
a salir agua a razón de
3
2
min
m
, Calcule la rapidez con que se está elevando el
nivel de agua cuando tiene 3 m. de altura?.
2
4
2
5 2
12
min
dM dQ dV
dt dt dt
dh
h
dt
dh m
dt h


 
 

En 3
h  resulta:
 
2
12 12
9 min
3
dh m
dt 

 
10
h
r
5
10 5
h r
 entonces
2
h
r 
reemplazando en la formula para el
volumen del agua alojada, resulta:
3
12
2
3
1
2
h
h
h
V 









por tanto
dt
dh
h
dt
dV 2
4



193. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
148
Ejemplo 2
Una piscina tiene 10 m de largo y 5 m de ancho, 2.5 m de profundidad en el extremo
mas hondo y 1 m en el extremo menos profundo, el fondo es rectangular, se esta
bombeando agua a razón de 4 m3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua
cuando tiene: a) 0.5 m b) 1.5 m
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea
1.5 m. es una situación y otra situación después de los 1.5 m.
a) 0 1.5
h
 
De manera análoga al problema anterior
3 3 3
min min min
m m m
Entra sale Alojado
 
El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la fórmula para un prisma de base
triangular, es decir
5
(5)
2 2
bh
V bh
  .
La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces:
10 1.5
b h
 ,
que resulta:
20
3
b h
 .
Por tanto, el volumen queda:
2
5 20 50
2 3 3
V h h h
 
 
 
 
.
5
10
2.5
1
3
4
min
m
10
1.5
h
b

194. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
149
De aquí resulta
100
3
dV dh
h
dt dt
 .
Reemplazando, se obtiene:
3 3
min min
100
4 0
3
3
0 1.5
25 min
m m dV
Entra sale Alojada
dt
dh
h
dt
dh m
h
dt h
 
 
  
En 0.5
h  resulta
3
3 6
25(0.5) 25 min
dh m
dt
 
b) si 1.5 2.5
h
  , tenemos:
El volumen de agua alojada se lo puede calcular de la siguiente manera:
1 2
1
2 (1.5)(10)(5) 10 (5)
75
50
2
V V V
V h
V h
 
 
 
entonces 50
dV dh
dt dt
 y al reemplazarlo resulta:
3 3
3
min min
4 0 50
2
25 min
m m dV
Entra sale Alojada
dt
dh
dt
dh m
dt
 
 

Note que es independiente de h.
Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez
de cambio es 0; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior
de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia.
10
2.5
h
Contante
Variable
1
V
2
V

195. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
150
Ejemplo 3
Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio
día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta
directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están
volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15).
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
Referencia: 12h15
En 1 hora:
    millas
z
millas
y
millas
x
1000
160
640
600
640
600
2
2






Por tanto:
 
hora
millas
dt
dz
872
1000
)
640
)(
640
160
(
)
600
(
600




Ejercicios Propuestos 5.1
1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es
siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4
pies de longitud?
2. Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inicialmente 10 m3 de agua. En t=0
comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a
salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas?
3. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros
de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5
centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del
depósito? 
3
3
10
1 m
Litro 

  160
4
1
640 









e
vt
e
t
e
v
 2
2
2
160 y
x
z 


derivando con respecto al tiempo
 
 
dz dx dy
2z 2 2 160
dt dt dt
dx dy
160
dz dt dt
dt z
x y
x y
  
 


196. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
151
4. Considere el reservorio de la figura adjunta,
al cual se está vertiendo agua a razón de
50 m3/min. Determine ¿con qué rapidez sube
el nivel del agua, cuando éste tiene?:
a) 2 m. b) 5 m.
5. La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta
uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies
restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calcule
aproximadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es:
a) 4 pies
b) 6 pies
6. Suponga que sevacía el agua de un tanque
esférico de radio 10 pies. Si el nivel del
agua en el tanque es 5 piesy ésta decreciendo a
razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón
disminuye el radio r de la superficie
del agua?
7. Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro
extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con
la que sube el nivel del agua para cualquiervalor de h, donde h es la profundidad del agua.
8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de
1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A quévelocidad aumenta la distancia entre el avióny la estación de radar
1 minuto más tarde?
9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo
aeroplanovuela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por horay pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué
tan rápido seseparan a la 1:00 p.m.?
9'
4'
20' 40'
r
10
20
50
15
25
4
4
m.
2
m.
1
3
2

197. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
152
10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una vuelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una
pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo?
5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS
Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas
prácticos de optimización.
Ejemplo 1
Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x
8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando
por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el
volumen de la caja?
SOLUCIÓN:
De acuerdo a la figura, la caja formada así
tendrá un volumen que se puede calcular con
la formula
xyz
V  .
Observe z
x 
 2
5 , por tanto x
z 2
5 

Observe también que y
x 2
2
8 
 , por tanto x
y 
 4
64 pies
R= 60 pies
R

198. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
153
Reemplazando, el volumen sería:
 
x
x
x
V
x
x
x
x
x
x
V
20
13
2
)
2
5
)(
4
(
)
2
5
(
4
2
3
2









La derivada es: 20
26
6 2


 x
x
dx
dV
Obteniendo los puntos críticos, tenemos:
33
.
3
1
0
20
26
6
0
3
10
2








x
x
x
x
dx
dV
Escogemos p
x 1
 , porque no es posible que 5
.
2

x
Por tanto p
x
y 3
1
4
4 



 y p
x
z 3
)
1
(
2
5
2
5 



 serían las dimensiones
para obtener un volumen máximo. Cuyovalor es: 3
máx 9
)
3
)(
3
(
1 p
xyz
V 


Ejemplo 2
Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los
extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de
área máxima.
SOLUCIÓN:
Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:
El área de triángulo se la calcula con la formula
2
h
b
A


Se observa que
12
3
2
x
y
h 

 y que x
b 2

Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable:
 
12
3
2
12
3
2
3
2
x
x
A
x
x
A












Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:
4
3
2
x
dx
dA



199. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
154
Ahora,
0
4
3
0
2



x
dx
dA
por tanto, despejando resulta 3
2


x
Las dimensiones del triangula de área máxima sería:
  3
4
3
2
2
2 

 x
b y
  2
1
3
12
3
2
3
12
3
2
2








x
y
h
por consiguiente:
   2
máx 3
4
2
2
3
4
2
u
h
b
A 



Ejemplo 3
Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”.
SOLUCIÓN:
Haciendo un esquema tenemos:
El volumen del cilindro se lo calcula con la formula h
r
V 2


Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de
triángulos:
Reemplazando, tenemos:
 
3
2
2
2
r
R
r
R
H
R
rH
HR
r
h
r
V 







 




Entonces:  
2
3
2 r
rR
R
H
dr
dV


 y para el óptimo:  
R
r
r
r
rR
R
H
dr
dV
3
2
2
0
0
3
2
0







Del gráfico observamos que:
H
h
H
R
r 

Entonces:
R
rH
HR
h
rH
HR
hR
hR
HR
rH







200. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
155
Por lo tanto: H
R
RH
HR
R
rH
HR
h
3
1
3
2





Ejemplo 4
A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el
primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas
por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro?
SOLUCIÓN:
Esquemáticamente tenemos:
Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta:
     

45
cos
60
2
60 2
2
2
y
x
y
x
z 




Además como
t
e
v  entonces vt
e  y para cada distancia tenemos:
t
t
v
x x 20

 y t
t
v
y y 30


Reemplazando queda:
     
       
2
2
2
2
2
2
2
2
30
20
60
2
30
20
60
45
cos
60
2
60
t
t
t
t
z
y
x
y
x
z









 
Maximizar z es lo mismo que maximizar
2
z por tanto si D
z 
2
tenemos:
       
2
2
2
2
30
20
60
2
30
20
60 t
t
t
t
D 




Derivando y simplificando resulta:

201. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
156
         
 t
dt
dD
t
t
t
dt
dD
t
t
t
t
dt
dD
2
1200
800
2
1800
600
1200
3600
1200
1800
800
2400
30
20
60
2
30
20
2
)
30
(
30
2
)
20
(
20
60
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
































Y para el óptimo:
 
horas
t
t
t
dt
dD
15
.
1
2
1200
800
2
1800
600
0
2
1200
800
2
1800
600
0










Es decir las 8:09 a.m. estarán más próximos uno del otro
Ejercicios propuestos 5.2
1. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicasy cuyo fondo sea el doble
de largo que de ancho como semuestra en la figura:
Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie.
2. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus otros dos
vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: 0
,
8 2


 y
x
y .
3. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura,
hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro.
4. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña,
que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede
caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar
primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo
minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra
en comparación con la ruta directa por el bosque?
1'
Pared
E
d
i
f
i
c
i
o
Escalera
Piso
x
2x

202. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
157
5. Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura.
6. Hallar el valor del áreamáxima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y
ancho W.
7. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el mismo ejey
con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos
conos para que elvolumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.
8. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio
igual a 10 cm.
9. Inscribir en una esfera dada uncilindro devolumen máximo.
10. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de
    1
2
4


 x
x
f y el eje x, de manera que el área de la regiónsombreada sea máxima.
11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de
100 pies de largo como semuestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área?


10 km
2 km Bosque
Excursionista Cabaña
Carretera
GRANERO
CORRAL
y
x
W
L



1

203. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
158
12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del
A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano Avuela hacia el oeste a 16 km/miny el B vuela hacia
el norte a 64/3 km/min.
a) ¿En cuántos segundos estarán losmás cerca uno del otro?
b) ¿Cuál será su distancia más corta?
13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota:
Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de
modo que AM
AP
3
2

5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES
5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
Supongase que )
(x
f
y  es diferenciable
en “ x” y que dx, la diferencial de una
variable independiente “ x ”, designa un
incremento arbitrario de “ x ”.
La diferencial de “ y ” correspondiente a
la variable dependiente “ y ” se define
como:
dx
x
f
dy )
´(

A B
P
M
C

204. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
159
5.3.2 APROXIMACIONES
Observe la gráfica
Note que dx
x 

Y que, si 0

x entonces dy
y 
 , es decir:
x
x
f
y 

 )
´(
Entonces: x
x
f
x
f
x
x
f 



 )
´(
)
(
)
( 0
0
0
Es decir: x
x
f
x
f
x
x
f 



 )
´(
)
(
)
( 0
0
0
Ejemplo 1
Aproximar 6
.
4
SOLUCIÓN:
Debemos emplear la función x
x
f 
)
( .
Note que 6
.
0
4
6
.
4 
 , entonces 4
0 
x y 6
.
0

x
Para emplear la formula x
x
f
x
f
x
x
f 



 )
´(
)
(
)
( 0
0
0 , Obtenemos:
6
.
0
4
)
( 0
0 





 x
x
x
x
f , 2
4
)
( 0
0 

 x
x
f y
4
1
4
2
1
2
1
)
´(
0
0 


x
x
f
Entonces:
15
.
2
6
.
4
6
.
0
4
1
2
6
.
0
4











205. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
160
Ejemplo 2
Aproximar 
31
sen
SOLUCIÓN:
Para este caso empleamos x
x
f sen
)
(  , por tanto x
x
f cos
)
´( 
Para aplicar la formula x
x
f
x
f
x
x
f 



 )
´(
)
(
)
( 0
0
0 , para la cual definimos:
6
30
0




x ,
180
1




x entonces:
501
.
0
31
sen
180
2
3
5
.
0
31
sen
180
30
cos
)
30
sen(
)
1
30
sen(
)
cos(
)
sen(
)
sen( 0
0
0








































 x
x
x
x
x
5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES
Sea )
(x
f
y  la variación en y cuando varía x se la se la calcula
empleando la formula x
x
f
y 

 )
´(
Ejemplo
El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen
del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor.
SOLUCIÓN:
El volumen del cubo se lo obtiene con la formula 3
l
V  .
Como cm
l 4
.
11
 entonces   3
3
5
.
1481
4
.
11 cm
V 
 .
Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: cm
l 05
.
0


 , se propaga
un error en el valor del volumen calculado.
Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: l
dl
dV
V 

 Es decir:
3
2
2
5
.
19
)
05
.
0
(
)
4
.
11
(
3
3
cm
V
V
l
l
V









Esto quiere decir que   3
5
.
19
5
.
1481 cm
V 

Ejercicios Propuestos 5.3
1. En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular valores aproximados de los números dados.
Compare con los valores reales:
a) 402 b) 3
91
.
26 c) 9
.
35 d) 6
05
.
64
2. El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de
espesor, use diferenciales paracalcular el volumen aproximado de la región interior delmismo.

206. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
161
3. Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6  0.005
pulgadas. Calculesu volumen con una estimación del error.
4. Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precisión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un
radio de 15 cm. Determine el error que tendrá elvolumen de la esfera
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
La ecuación de la recta tangente en el punto  
)
(
, 0
0 x
f
x es
 
0
0
0 )
´(
)
( x
x
x
f
x
f
y 

 es decir  
0
0
0 )
´(
)
( x
x
x
f
x
f
y 

 .
En la vecindad de 0
x , )
(x
f
y  ; por tanto una buena aproximación para una
función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir:
 
0
0
0 )
´(
)
(
)
( x
x
x
f
x
f
x
f 

 .
Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un
polinomio lineal.
Para mayor orden tenemos:
       n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f 0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
!
)
(
...
!
3
)
´´´(
!
2
)
´´(
)
´(
)
(
)
( 









El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función.
NO OLVIDE DEMOSTRARLO.
Si 0
0 
x se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:
      ...
!
3
)
0
´´´(
!
2
)
0
´´(
)
0
´(
)
0
(
)
(
3
2




 x
f
x
f
x
f
f
x
f
Ejemplo
Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para x
e
x
f 
)
( y empleelo para calcular 1
.
0
e .
SOLUCIÓN:
       4
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
!
4
)
(
!
3
)
´´´(
!
2
)
´´(
)
´(
)
(
)
( x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
IV









       
24
6
2
1
0
!
4
0
!
3
0
!
2
0
4
3
2
4
0
3
0
2
0
0
0
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
e
e
x
x














bien, ahora reemplazando 1
.
0

x resulta:
000004166
.
0
000166666
.
0
005
.
0
1
.
0
1
)
1
.
0
( 




f
105170833
.
1
)
1
.
0
( 
f

207. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
162
Ejercicios Propuestos 5.4
1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden“n” para:
a)   x
e
x
f 3
 ; n=4 d)
2
cosh
)
(
x
x
e
e
x
x
f



 ; n=10
b) x
e
x
x
f 
 2
)
( ; n=4 e)
1
1
)
(
2


x
x
f ; n=4
c) x
x
f 
 sen
)
( ; n=3
2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de 0
x .
a)
x
x
f
1
)
(  ; n=4; 1
0 
x c) x
x
f ln
)
(  ; n=4; 1
0 
x
b) x
x
f 
)
( ; n=4; 4
0 
x
Misceláneos
1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de
h
m3
2 .
¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m.
NOTA: Volumen del casquete esférico 








3
2 h
R
h
V Observar la figura.
2. En la ribera de un río de 0.9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km.
Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender
cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y
hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables
entre la fábrica y la planta eléctrica?. RESP. 1125 m. por agua y 2325 por tierra
3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de
min
m3
5 . Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene de 3m.
4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de
radio 4 cm.
5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección
positiva del eje x con la ley del movimiento
2
2
)
( t
t
x
x 
 , en donde x se da en centímetros y t
en minutos. El punto B se mueve sobre la recta x
y  a una rapidez constante de
min
cm
2 .
Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min.
De haberse comenzado a mover.
6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre
A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h.
En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h.
Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista.
7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de
3
2
.
0 m por minuto. El cono
tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua
sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué
rapidez escapa agua del depósito?
8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran
lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar
a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que
dista 10 millas al sur del punto P?

208. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
163
9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de min
pul3
10 . (Ver figura).
a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de
profundidad en el cono?.
b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante?
10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados
reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se
puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m.
11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el
otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9:00 A.M., y el de la
ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.?
12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo
de radio R.?
13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies
por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua
es de 5 pies? Observe la figura
14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de
modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta
100
2 
 y
x . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra
localizado de la manera señalada.
15. En una página de un libro debe haber 150 2
cm de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser
de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que
se gaste la menor cantidad de papel posible.
16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un
rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones
del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera.
17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de
min
m3
5 . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene un nivel de 3m.?.
18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de
radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo.
19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm
por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de
1cm.
20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer
cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen
respectivamente a las rectas x
y 2
 y 30
3 
 y
x .
21. Las rectas 2
:
1 
 x
y
L y 10
2
:
2 

 x
y
L forman un triángulo con el eje x . Encuentre las
dimensiones del rectángulo de mayor área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el
triángulo dado.
22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calcule la razón con la que varía el área
total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas.
23. Dos buses parten de una misma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto
entre sí. Determine la rapidez con la que varía la distancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la
velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectivamente.
24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra
en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 2
3 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona
que se encuentra en el punto M. Determine a quévelocidadvaría la distancia entre la cámaray la persona, en el
instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de

45 . Resp. 3
min
m




O
M
P