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Bloque Temático
Límites y Continuidad
Concepto Límite y Notación
Límites Laterales
Existencia del Límite
Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez
Apertura: Evaluación Diagnóstica
Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los
aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios
para el estudio de los contenidos de este bloque temático.
APERTURA: Evaluación Diagnóstica
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 + 5, hallar:
Ejercicio #1 𝒇 𝟐 =
Ejercicio #2 𝒇 𝟐 =
Ejercicio #3 𝒇
𝒂
𝟓
=
Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la
gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: h 𝑥 = − 𝑥 + 3
5 Trace la gráfica de la función, donde se observen
las intersecciones de x, es decir cuando g 𝑥 = 0
𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐
Competencia Específica
Utilizar la definición de límite de funciones para
determinar analíticamente la continuidad de una función
en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los
diferentes tipos de discontinuidad.
Introducción
Las dos grandes áreas del Cálculo, denominadas Cálculo
Diferencial y Cálculo Integral, se basan en el concepto
fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que
haremos a este importante concepto será intuitivo,
centrado en la compresión de ¿qué es un límite?,
mediante el uso de ejemplos utilizando un proceso
numérico, gráfico y analítico.
Idea intuitiva del límite
Sea la función definida por la ecuación 𝑓 𝑥 =
2𝑥2−3𝑥−2
𝑥−2
para
toda 𝐱 ∈ ℝ, 𝒙 ≠ 𝟐
Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2
X f(x)
1.25
1.5
1.75
1.9
1.99
1.999
1.9999
X f(x)
2.75
2.5
2.25
2.1
2.01
2.001
2.0001
Proceso Analítico Notas
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 − 3𝑥 − 2
𝑥 − 2
𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ℝ − {𝑥|𝑥 = 2}
𝐷 = −∞, 2 ∪ (2, ∞)
lim
𝑥→2
2𝑥2
− 3𝑥 − 2
𝑥 − 2
Factorizando el trinomio de la
forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Por agrupación
lim
𝑥→2
(2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
Realizando la División entera
𝑎 ⋅ 𝑏
𝑎
= 𝑏
lim
𝑥→2
(2𝑥 + 1) Aplicando las propiedades y
teoremas de los límites
Propiedades de Linealidad
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝐾
lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝐿
Teoremas Límites Básicos
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 lim
𝑥→𝑎
𝑏 = 𝑏
Idea intuitiva del límite
De la gráfica puede observarse
que, aunque la función 𝑓 no
esta definida para 𝑥 = 2,
cuando x toma valores muy
cercano a 2 la función se
aproxima a 5, lo que escribimos
como:
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 5
Definición 1
Escriba
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Que se expresa como: “el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙
tiende 𝐚, es igual a 𝑳”
Si podemos acercar arbitrariamente los valores de
𝒇(𝒙) a 𝑳 (tanto como desee) escogiendo una 𝒙 lo
bastante cerca de 𝒂, pero no igual a 𝒂
Definición 2
Definición informal
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Si 𝒇(𝒙) puede hacerse arbitrariamente próximo al
número 𝐿 al tomar 𝑥 suficientemente cerca de,
pero diferente de un número 𝒂, por la izquierda y
por la derecha de 𝒂, entonces el límite de 𝒇(𝒙)
cuando 𝑥 tiende a a es 𝑳.
Notación
El análisis del concepto de límite se facilita al
usar una notación especial. Si el símbolo de
flecha → representa la palabra tiende, entonces
el simbolismo
𝑥 → 𝑎−
Indica que x tiende al número a por la izquierda
𝑥 → 𝑎+
Significa que x tiende a a por la derecha
Límites por dos lados
Si tanto el límite por la
izquierda como el límite
por la derecha existen y
tienen un valor común.
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Existencia o no existencia
La existencia de un límite de una función f cuando x
tiende a a, no depende de si f está definida en a, sino
sólo de si está definida para x cerca del número a.
Por ejemplo:
Se observa aunque
𝑓 −4 = 5
lim
𝑥→−4
16 − 𝑥2
4 + 𝑥
= 8
Límite no existe
En general, el límite por los lados no existe cuando:
Caso 1:
Si alguno de los dos límites laterales
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) o lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) no existe.
Caso 2:
Si lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, pero 𝐿1 ≠ 𝐿2
ActividadDeterminar los siguientes límites,
utilizando para ello la representación
gráfica de la función g, que se da a
continuación:
Actividad
La gráfica de la función definida
por partes
𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐
,
−𝒙 + 𝟏𝟎,
𝒙 < 𝟐
𝒙 > 𝟐
lim
𝒙→𝟐
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𝒙 → 𝟐− 1.9 1.99 1.999
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𝒙 → 𝟐+ 2.1 2.01 2.001
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Actividad
La gráfica de la función definida por partes
𝒇 𝒙 =
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𝒙 → 𝟓+ 5.1 5.01 5.001
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Una forma indeterminada
𝒇 𝒙 =
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𝒙
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lim
𝒙→𝟎−
𝒇(𝒙) =
lim
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Se concluye:
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𝒙→𝟎
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Un límite trigonométrico importante
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Se concluye:
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𝑓(𝑥)
Actividad
Límite trigonométrico
𝒇 𝒙 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙
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𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) =
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Límite y Continuidad

  • 1. Bloque Temático Límites y Continuidad Concepto Límite y Notación Límites Laterales Existencia del Límite Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez
  • 2. Apertura: Evaluación Diagnóstica Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque temático.
  • 3. APERTURA: Evaluación Diagnóstica Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 + 5, hallar: Ejercicio #1 𝒇 𝟐 = Ejercicio #2 𝒇 𝟐 = Ejercicio #3 𝒇 𝒂 𝟓 = Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: h 𝑥 = − 𝑥 + 3 5 Trace la gráfica de la función, donde se observen las intersecciones de x, es decir cuando g 𝑥 = 0 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐
  • 4. Competencia Específica Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
  • 5. Introducción Las dos grandes áreas del Cálculo, denominadas Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la compresión de ¿qué es un límite?, mediante el uso de ejemplos utilizando un proceso numérico, gráfico y analítico.
  • 6. Idea intuitiva del límite Sea la función definida por la ecuación 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−3𝑥−2 𝑥−2 para toda 𝐱 ∈ ℝ, 𝒙 ≠ 𝟐 Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2 X f(x) 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 X f(x) 2.75 2.5 2.25 2.1 2.01 2.001 2.0001
  • 7. Proceso Analítico Notas 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 𝑥 − 2 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ℝ − {𝑥|𝑥 = 2} 𝐷 = −∞, 2 ∪ (2, ∞) lim 𝑥→2 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 𝑥 − 2 Factorizando el trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Por agrupación lim 𝑥→2 (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 𝑥 − 2 Realizando la División entera 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑎 = 𝑏 lim 𝑥→2 (2𝑥 + 1) Aplicando las propiedades y teoremas de los límites
  • 8. Propiedades de Linealidad lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝐾 lim 𝑥→𝑎 𝑐𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝐿 Teoremas Límites Básicos lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 lim 𝑥→𝑎 𝑏 = 𝑏
  • 9. Idea intuitiva del límite De la gráfica puede observarse que, aunque la función 𝑓 no esta definida para 𝑥 = 2, cuando x toma valores muy cercano a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como: lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 = 5
  • 10. Definición 1 Escriba lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 Que se expresa como: “el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende 𝐚, es igual a 𝑳” Si podemos acercar arbitrariamente los valores de 𝒇(𝒙) a 𝑳 (tanto como desee) escogiendo una 𝒙 lo bastante cerca de 𝒂, pero no igual a 𝒂
  • 11. Definición 2 Definición informal lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 Si 𝒇(𝒙) puede hacerse arbitrariamente próximo al número 𝐿 al tomar 𝑥 suficientemente cerca de, pero diferente de un número 𝒂, por la izquierda y por la derecha de 𝒂, entonces el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝑥 tiende a a es 𝑳.
  • 12. Notación El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha → representa la palabra tiende, entonces el simbolismo 𝑥 → 𝑎− Indica que x tiende al número a por la izquierda 𝑥 → 𝑎+ Significa que x tiende a a por la derecha
  • 13. Límites por dos lados Si tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y tienen un valor común. lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿
  • 14. Existencia o no existencia La existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a, no depende de si f está definida en a, sino sólo de si está definida para x cerca del número a. Por ejemplo: Se observa aunque 𝑓 −4 = 5 lim 𝑥→−4 16 − 𝑥2 4 + 𝑥 = 8
  • 15. Límite no existe En general, el límite por los lados no existe cuando: Caso 1: Si alguno de los dos límites laterales lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) o lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) no existe. Caso 2: Si lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿2, pero 𝐿1 ≠ 𝐿2
  • 16. ActividadDeterminar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función g, que se da a continuación:
  • 17. Actividad La gráfica de la función definida por partes 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 , −𝒙 + 𝟏𝟎, 𝒙 < 𝟐 𝒙 > 𝟐 lim 𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝟐− 1.9 1.99 1.999 𝑓(𝑥) 𝒙 → 𝟐+ 2.1 2.01 2.001 𝑓(𝑥)
  • 18. Actividad La gráfica de la función definida por partes 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐, −𝒙 + 𝟔, 𝒙 ≤ 𝟓 𝒙 > 𝟓 lim 𝒙→𝟓 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝟓− 4.9 4.99 4.999 𝑓(𝑥) 𝒙 → 𝟓+ 5.1 5.01 5.001 𝑓(𝑥)
  • 19. Actividad Una forma indeterminada 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒙 𝟏, −𝟏, 𝒙 > 𝟎 𝒙 < 𝟎 lim 𝒙→𝟎− 𝒇(𝒙) = lim 𝒙→𝟎+ 𝒇(𝒙) = Se concluye: lim 𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) =
  • 20. Actividad Un límite trigonométrico importante 𝒇 𝒙 = sin 𝒙 𝒙 Se concluye: lim 𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 𝑓(𝑥) 0 0 0 𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001 𝑓(𝑥) 0 0 0
  • 21. Actividad Un límite por la derecha 𝒇 𝒙 = 𝒙 Se concluye: lim 𝒙→𝟎+ 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 𝑓(𝑥) 𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001 𝑓(𝑥)
  • 22. Actividad Límite trigonométrico 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒙 Se concluye: lim 𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 𝑓(𝑥) 𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001 𝑓(𝑥)