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![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
19
Ejercicios Propuestos 1.2
1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales:
a. 0
lím
0
=
→
x
x
b. ( ) 3
lím
2
−
=
→
x
f
x
; si ( )
⎩
⎨
⎧
−
≥
−
=
2
,
4
5
2
,
7
2
x
x
x
x
x
f
c. ( ) 3
lím
2
=
→
x
f
x
; si ( )
⎩
⎨
⎧
+
≥
−
=
2
,
1
2
,
1
2
x
x
x
x
x
f
d. a b
( )
2
lím 2 3
x
x x
−
→
− =
e. a b
( )
3
lím 3 6
x
x x
+
→
− =
2. Demostrar formalmente que ( )
x
f
x 1
lím
→
no existe, si ( )
⎩
⎨
⎧
+
≥
−
=
1
,
2
1
,
1
3
x
x
x
x
x
f
3. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique.
a. ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
1
,
3
1
,
1
1
,
2
x
x
x
x
f ; ( )
x
f
x 1
lím
→
b. ( )
2
2
x
f x
x
+
=
+
; ( )
2
lím
x
f x
→−
; ( )
2
lím
x
f x
→
c. ( )
⎩
⎨
⎧
−
≥
−
=
2
,
4
5
2
,
7
2
x
x
x
x
x
f ; ( )
x
f
x 2
lím
→
d. ( ) a b
f x x x
= − ; ( )
x
f
x −
→0
lím , ( )
0
lím
x
f x
+
→
e. ( )
a b
( )
( )
, 1
3 , 1 4
, 4
x x x
f x Sgn x x
x x
μ
⎧ + ≤ −
⎪
= − − ≤
⎨
⎪
⎩
; ( )
1
lím
x
f x
→−
( )
5
2
, lím
x
f x
→−
4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes:
• R
f
Dom =
• f es decreciente en ( ) ( )
2
,
0
3
, ∪
−
−∞
• f es creciente en ( ) ( )
+∞
∪
− ,
2
0
,
3
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
−
∀
∃
∀ 2
)
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
⇒
+
∀
∃
∀ )
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
+
⇒
−
∀
∃
∀ 1
)
(
2
0
,
0
0 x
f
x
x
• ( ) ( ) 0
2
3 =
=
− f
f y 5
)
0
( =
f
5. Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes:
• R
f
Dom =
• f es creciente en ( ) ( )
,0 0,3
−∞ ∪
• f decreciente en ( )
∞
,
3
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 3
)
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
⇒
∀
∃
∀ )
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
δ
δ
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 5
)
(
3
0
,
0
0 x
f
x
x
• ( ) ( ) 0
)
6
(
3
3 =
=
=
− f
f
f y 2
)
0
( =
f](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-19-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
20
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y g funciones con límite en 0
x ;
es decir, suponga que
0
lím ( )
x x
f x L
→
= y
0
lím ( )
x x
g x M
→
= . Entonces:
1.
0
lím
x x
k k
→
= , k R
∀ ∈
2.
0
0
lím
x x
x x
→
=
3.
0 0
lím ( ) lím ( )
x x x x
kf x k f x kL
→ →
= = , k R
∀ ∈
4. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = +
5. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
− = − = −
6. [ ]
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x LM
→ → →
= =
7. 0
0
0
lím ( )
( )
lím
( ) lím ( )
x x
x x
x x
f x
f x L
g x g x M
→
→
→
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
;siempre que
0
lím ( ) 0
x x
g x
→
≠
8. [ ]
0 0
lím ( ) lím ( )
n
n n
x x x x
f x f x L
→ →
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, n N
∀ ∈
9.
0 0
lím ( ) lím ( ) n
n
n
x x x x
f x f x L
→ →
= =
siempre que
0
lím ( ) 0
x x
f x
→
≥ cuando n es par.
Demostraciones
1. ( )
0
0
lím 0, 0/ 0
x x
k k x x k k
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
El consecuente de la implicación es verdadero porque ε
0 . Por tanto, la proposición es siempre
verdadera.
2. ( )
0
0 0 0
lím 0, 0/ 0
x x
x x x x x x
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Si ε
=
∂ la proposición es verdadera siempre.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-20-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
21
3. ( )
0
0
lím ( ) 0, 0/ 0 ( )
x x
kf x kL x x kf x kL
ε ε
→
= ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ −
Observe el consecuente, la expresión ε
− kL
x
kf )
( es equivalente a
( ) ε
− L
x
f
k )
( .
Por hipótesis, en la cercanía de 0
x , f se aproxima a L , por tanto kf se aproximará a kL .
4. Debemos demostrar que si
L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
M
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
entonces [ ] M
L
x
g
x
f
x
x
+
=
+
→
)
(
)
(
lím
0
Asegurar que L
x
f
x
x
=
→
)
(
lím
0
significa que:
1
1
0
1
1 )
(
0
0
,
0 ε
ε
−
⇒
∂
−
∃∂
∀ L
x
f
x
x
que
tal
Y asegurar que M
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
significa que:
2
2
0
2
2 )
(
0
0
,
0 ε
ε
−
⇒
∂
−
∃∂
∀ M
x
g
x
x
que
tal
Lo cual quiere decir si tomamos
2
2
1
ε
ε
ε =
= y { }
2
1,∂
∂
=
∂ min tenemos:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
⇒
∂
−
∃∂
∀
2
)
(
2
)
(
0
/
0
,
0 0
ε
ε
ε
M
x
g
L
x
f
x
x
Sumando término a término la desigualdad resulta:
2
2
)
(
)
(
ε
ε
+
−
+
− M
x
g
L
x
f
Y por la desigualdad triangular ( ) ( ) M
x
g
L
x
f
M
x
g
L
x
f −
+
−
≤
−
+
− )
(
)
(
)
(
)
(
Por lo tanto ( ) ( ) ε
+
−
+ M
L
x
g
x
f )
(
)
(
Finalmente, se observar que:
( ) ( ) ε
ε
+
−
+
⇒
∂
−
∃∂
∀ M
L
x
g
x
f
x
x )
(
)
(
0
/
0
,
0 0
lo que nos asegura que [ ] M
L
x
g
x
f
x
x
+
=
+
→
)
(
)
(
lím
0
El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector.
Observe que el recíproco del teorema anterior es falso.
Ejemplo
Suponga que se tiene
⎩
⎨
⎧
≤
=
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
f y
⎩
⎨
⎧
≥
=
0
;
1
0
;
0
)
(
x
x
x
g
entonces ( )
⎩
⎨
⎧
=
≠
=
+
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
g
f
Observe que:
0
lím ( )
x
f x
→
no existe y que
0
lím ( )
x
g x
→
tampoco existe, sin embargo ( )
0
lím ( ) 1
x
f g x
→
+ =
(existe). Es decir, “ Si ( )
g
f + es una función con límite en un punto, entonces no podemos
asegurar que f y g también tienen límite en ese punto”](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-21-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
54
4.
2
2
7
1
lim
49
x
x
x
−
→−
+
−
5.
2
4
16
lim
4
x
x
x
+
→
−
−
9. lim 1 2
x
x
→−∞
−
10.
5
1
lim
x
x
x
→∞
+
4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ( ) [ ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞
= ,
2
1
,
1
2
,
f
Dom
• 1
1
0
)
( −
=
∨
=
⇔
= x
x
x
f
• [ ]
N
x
f
x
N
⇒
∂
−
−
∃∂
∀ )
(
2
0
0
,
0
• [ ]
N
x
f
x
N
⇒
∂
−
∃∂
∀ )
(
2
0
0
,
0
• [ ]
ε
ε
−
⇒
∃
∀ 1
)
(
0
,
0 x
f
M
x
M
• [ ]
ε
ε
−
⇒
−
∃
∀ 1
)
(
0
,
0 x
f
M
x
M
• 1
)
0
( =
f
5. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
• [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
∀
∃∂
∀ 1
)
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
ε
+
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 1
)
(
0
,
0
0 x
f
x
x
• [ ]
ε
ε
⇒
∀
∃
∀ )
(
,
0
0 x
f
N
x
x
N
• [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
0
• 0
)
0
( =
f
Misceláneos
1. Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.
1. Si 3
2
5
)
(
lím
2
=
−
−
+
→
x
x
f
x
, entonces 0
)
(
lím
2
=
+
→
x
f
x
2. Si f y g son funciones tales que 1
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
g
x
, entonces
1
)
(
lím )
(
0
=
+
→
x
g
x
x
f
3. Sea f una función de variable real tal que )
(
lím x
f
a
x +
→
existe y 1
)
(
lím =
−
+
→
x
f
a
x
a
x
. Entonces
0
)
(
lím =
+
→
x
f
a
x
.
4. Sean f y g funciones tales que ∞
=
+
→
)
(
lím x
f
a
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím x
g
a
x
. Entonces el
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
a
x +
→
no existe.
5. Sean f y g funciones tales que e
x
g
a
x
=
+
→
)
(
lím y ( )
)
(
ln
)
( x
g
x
f = . Entonces
( ) 1
)
(
lím =
+
→
x
g
f
a
x
D
6. Si 1
)
(
lím
0
=
+
→
x
x
f
x
entonces 0
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
7. Si [ ]
)
(
)
(
lím x
g
x
f
a
x
+
→
existe, entonces existen )
(
lím x
f
a
x→
y ( )
x
g
a
x→
lím
8. Si ( )
x
g
x
f ≠
)
( para toda x , entonces ( )
x
g
x
f a
x
a
x →
→
≠ lím
)
(
lím
9. Si ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
→
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
a
x
existe y 0
)
(
lím =
→
x
f
a
x
entonces 0
)
(
lím =
→
x
g
a
x
10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces:
( )
( )
)
(
lím
))
(
(
lím x
g
f
x
g
f
IR
a a
x
a
x →
→
=
∈
∀](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-54-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
55
11. Si
a
x
a
a
x
x
a
x
−
−
−
−
+
→
2
2
lím existe entonces 0
=
a .
12. Si [ ]
)
(
)
(
lím x
g
x
f
a
x→
existe y )
(
lím x
f
a
x→
existe entonces )
(
lím x
g
a
x→
existe.
13. Si +∞
=
→
)
(
lím x
f
a
x
entonces −∞
=
−
→
)
(
lím x
f
a
x
14. ( )
( ) ( )
1
lím 3 1 2 0, 0, 0 1 3 1 2
x
x x x x
ε ε
→
⎡ ⎤
− = ⇔ ∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ − −
⎣ ⎦
15. Si 0
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
y ∞
=
+
→
)
(
lím
0
x
g
x
entonces 0
)
(
)
(
lím
0
=
+
→
x
g
x
f
x
.
16. Existen dos funciones de variable real f y g tales que 0
)
(
lím
)
(
lím
0
0
=
=
+
→
+
→
x
g
x
f
x
x
y
e
x
g
x
f
x
=
+
→ )
(
)
(
lím
0
17. Si lím ( ) 0
x
f x
→∞
= y
( )
lím 2
( )
x
f x
g x
→∞
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
entonces lím ( ) 0
x
g x
→∞
=
18. No existen dos funciones f y g tales que
0
lím ( ) 0
x
f x
→
= ,
0
lím ( ) 0
x
g x
→
= y
0
( )
lím 5
( )
x
f x
g x
→
=
19. Si 3
)
(
lím =
→
x
f
a
x
, 2
)
(
lím −
=
→
x
g
a
x
, entonces
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
lím
3 −
+
−
+
→ x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
=1
2. Empleando la definición de límite, demuestre que:
1.
2
1
2 1
lím 3
1
x
x x
x
+
→
− −
=
−
2. 2
1
lím
5
=
−
+
→
x
x
3. 0
3
lím
3
=
−
+
→
x
x
4. 2
2
4
lím
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
→
x
x
5. 4
2
4
lím
2
2
−
=
+
−
+
−
→
x
x
x
3. Determine
1.
2
3
lím 2
x
x x
+
→
+
c f
d g
e h
2.
x
x
e x
x
4
sen
2
cos
lím
3
0
−
+
→
3. 2
0
3
cos
cos
lím
x
x
x
x
−
+
→
4.
x
x x
x
3
5
2
3
2
lím ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+∞
→
5.
1
lím
2
1 −
−
+
→ x
e
xex
x
6.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− π
+
π
→ 2
2
cos
lím
x
x
x
7.
tan
4
2
3
lím 4
2
x
x
x
π
+
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. 3
2arctan
lím
1
x
x
x
e
π
→∞
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
9. ( )
2
tan 2
4
lím sen 2
x
x
x
π +
→
20. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞
→
x
x
x
x
sen
1
sen
lím
21.
( )
2
1
arctan arctan1
lím
1
x
x
x
+
→
−
−
22.
1
2
1
lím
2
1
−
−
−
→
x
x
x
x
23.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→ 2
1
2
1
2
1
arcsen
arcsen
lím
x
x
x
24.
0
sen
lím
x
x
x
+
→
25. a b
( )
0
lím Sgn( ) 1 ( 1)
x
x x x
μ
+
→
⎡ ⎤
+ + −
⎣ ⎦
26.
( )
x
x
x
sen
sen
lím
0+
→
27. a b a b
( )
0
lím
x
x x
→
+ −
28. ( ) ( )
2
lím tan x
x
x
π
π
→
−
29.
2
2
2 5
2
2
3
lím
1
x x
x x
x x
+ +
− −
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-55-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
56
10.
x
x
e x
x
5
sen
3
cos
lím
2
0
−
→
11. ( ) ( )
lím ln 2 1 ln 2
x
x x
→+∞
⎡ + − + ⎤
⎣ ⎦
12.
2
lím arctan
1
x
x
x
→−∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
+
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
13.
( )
x
e
lím
x
x
+
+∞
→
1
ln
14.
1
1
1
lím 2
2
1
−
−
−
−
+
→
x
x
x
x
15. ( )
sec
2
lím 1 cot
x
x
x
π +
→
+
16.
0
lím ( )
x
f x
→
donde
2
1 cos3
; 0
( ) 5 ; 0
sen10 tan
; 0
sen 2
x
x
x
f x x
x x
x
x
−
⎧
⎪
⎪
= =
⎨
⎪ −
⎪
⎩
17.
2 7
0
lím
sen 2 tan9
x x
x
e e
x x
+
→
−
+
18.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
→ 1
1
1
1
lím
1 x
x
x
19. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
→ x
x
x
x 2
cos
1
3
sen
lím
0
30. ( )
3
2 3 3
lím 1 1
x
x x x
→+∞
⎡ ⎤
+ − −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
31.
( )
6
6
3
2
sen
lím
cos
x
x
x
π
π
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
32.
2
2 2
0
1 cos
lím
sen
x
x
x x
→
−
33. ( )
1
2ln
lím 1 2 x
x
x
→+∞
+
34. 3
64
8
lím
4
x
x
x
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
35.
1
2
0
1 5
lím
1 3
x
x
x
x
→
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
36. ( )
0
lím 1 cos cot
x
x x
→
−
37.
5
2
0
cos2 1
lím
x
x
xe x x
x
−
→
⎛ ⎞
− − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
38.
3
0
cos2
lím
sen5
x
x
e x
x x
→
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
39.
0
lím
1 1
x
x
x x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− − +
⎝ ⎠
40. ( )
3 3
lím 1
x
x x
→∞
+ −
41. lím
x
x
x a
x a
→∞
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
4. Calcular )
(
lím
0
x
f
x +
→
si 1
)
(
x
x
f
para 0
≠
x
5. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ε
ε
−
⇒
∂
∃∂
∀ 3
)
(
0
:
0
,
0 x
f
x
• N
x
f
x
N
⇒
∂
+
∃∂
∀ )
(
3
0
:
0
,
0
• 0, 0 : 0 3 ( )
N x f x N
∀ ∃∂ − − ∂ ⇒ −
• ε
ε
−
⇒
∃
∀ 1
)
(
:
0
,
0 x
f
M
x
M
• 0, 0: ( )
M x M f x
ε ε
∀ ∃ − ⇒
6. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
• ( ) ( ) ( )
Dom , 1 1,1 1,
f = −∞ − ∪ − ∪ +∞
• [ ]
ε
ε
⇒
∂
∃∂
∀ )
(
0
0
,
0 x
f
x
• [ ]
M
x
f
x
M −
⇒
∂
−
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
M
x
f
x
M
⇒
∂
−
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
M
x
f
x
M
⇒
∂
+
∃∂
∀ )
(
1
0
0
,
0
• [ ]
ε
ε
+
⇒
∃
∀ 1
)
(
0
,
0 x
f
N
x
N
• [ ]
ε
ε
⇒
−
∃
∀ )
(
0
,
0 x
f
N
x
N](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-56-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
46
Demostración.
Demostremos lo siguiente:
Si f y g son funciones continuas en el punto 0
x entonces
g
f + también es continua en 0
x
Las hipótesis serían :
1
H )
(
)
( 0
0
x
f
x
f
lim
x
x
=
→
y
:
2
H )
(
)
( 0
0
x
g
x
g
lim
x
x
=
→
Como [ ] )
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
x
g
lim
x
f
lim
x
g
x
f
lim
x
x
x
x
x
x →
→
→
+
=
+ entonces [ ] )
(
)
(
)
(
)
( 0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
lim
x
x
+
=
+
→
Es decir ( )
[ ] ( ) )
(
)
( 0
0
x
g
f
x
g
f
lim
x
x
+
=
+
→
Lo cual indica que la función g
f + también es continua en 0
x
Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como
ejercicio al lector.
2.3.2 Teorema del Límite de la composición.
Si f y g son funciones tales que
L
x
g
x
x
=
→
)
(
lím
0
y f es continua en L,
entonces )
(
))
(
(
lím
0
L
f
x
g
f
x
x
=
→
. En particular, si
g es continua en 0
x y f continua en
)
( 0
x
g entonces g
f D es continua en 0
x
En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un
punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en
determinar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto
puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos
de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a definir a continuación.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-62-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
49
2.4.2 CONTINUIDAD EN [ ]
b
a,
Una función f es continua en un intervalo
cerrado [ ]
b
a, si es continua en ( )
b
a, y
además continua a la derecha de a
( )
(
)
(
lím a
f
x
f
a
x
=
+
→
) y a la izquierda de b
( )
(
)
(
lím b
f
x
f
b
x
=
−
→
).
Ejemplo
Una función continua en [ ]
b
a,
2.4.3 CONTINUIDAD EN [ )
b
a,
Una función f es continua en un intervalo
semiabierto [ )
b
a, , si es continua en ( )
b
a, y
además continua a la derecha de a .
Ejemplo 1
Una función continua en [ )
b
a,](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-65-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
50
Ejemplo 2
Otra función continua en [ )
b
a,
2.4.4 CONTINUIDAD EN ( ]
b
a,
Una función f es continua en un intervalo
semiabierto ( ]
b
a, , si es continua en ( )
b
a, y
además continua a la izquierda de b.
Ejemplo 1
Ejemplo 2](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-66-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
51
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio resuelto 1
Hallar los valores de a y b para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≤
≤
−
+
−
−
=
3
;
5
3
3
;
3
;
2
)
(
x
x
b
x
b
ax
x
a
x
x
f
sea continua en todo R .
SOLUCIÓN:
Note que las reglas de correspondencia que definen a f son lineales y por tanto f será continua en
los respectivos intervalos. Entonces debemos procurar que f sea continua en los puntos donde
cambia de regla de correspondencia, es decir en 3
−
=
x y en 3
=
x , lo que significa dos cosas:
1.
6
2
3
)
3
(
2
)
(
lím
)
2
(
lím
3
3
=
−
+
=
−
+
=
− +
−
−
→
−
→
b
a
b
a
a
b
ax
a
x
x
x
2.
5
15
3
)
3
(
5
)
3
(
)
5
(
lím
)
(
lím
3
3
−
=
−
=
−
/
=
/
+
−
=
+ +
−
→
→
a
a
b
b
a
x
b
b
ax
x
x
reemplazando el valor de a en la primera ecuación obtenida, resulta:
16
6
)
5
(
2
−
=
=
−
−
b
b
Es decir, que la función
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
≤
≤
−
−
−
−
+
=
3
;
5
16
3
3
;
16
5
3
;
5
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f será continua en todo R .
Ejercicio resuelto 2
Analizar la continuidad de la función
6
9
)
(
−
−
=
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
El asunto aquí es sinónimo de establecer el dominio natural. Entonces debemos resolver 0
6
9
≥
−
−
x
x
Por tanto, f tendrá gráfica sólo en el intervalo( ]
9
,
6 que será también su intervalo de continuidad.
Ejercicio resuelto 3
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
1. f es continua en ( ) ( ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞ ,
1
1
,
2
2
,
2. [ ]
ε
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 2
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
3. [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
4. [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
5. [ ]
M
x
f
N
x
x
N
M −
⇒
∀
∃
∀ )
(
,
0
,
0
6. [ ]
ε
ε
+
⇒
+
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
0
2
,
0
,
0 x
f
x
x
7. [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
1
0
,
0
,
0 x
f
x
x
8. 1
)
2
(
,
0
)
3
(
,
0
)
1
(
,
1
)
0
(
,
1
)
2
( =
=
=
−
=
=
− f
f
f
f
f](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-67-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
52
SOLUCIÓN:
Las condiciones dadas significan:
1. Intervalos de continuidad ( ) ( ] ( )
+∞
∪
−
∪
−
−∞ ,
1
1
,
2
2
,
2. 2
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
asíntota horizontal 2
=
y para x negativos.
3. −∞
=
+
−
→
)
(
lím
2
x
f
x
asíntota vertical 2
−
=
x por derecha
4. ∞
=
+
→
)
(
lím
1
x
f
x
asíntota vertical 1
=
x por derecha
5. −∞
=
∞
→
)
(
lím x
f
x
6. 2
)
(
lím
2
−
=
−
−
→
x
f
x
límite por izquierda de 2
−
=
x
7. 2
)
(
lím
1
=
−
→
x
f
x
límite por izquierda de 1
=
x
8. Puntos que pertenecen a f
Por tanto la grafica sería:
Ejercicios Propuestos 2.1
1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad e indique los intervalos de continuidad
1.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
=
1
;
1
0
;
0
;
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
2.
4
16
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f
3. )
2
(
)
2
(
)
( +
+
−
= x
Sgn
x
x
f μ
4. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
2
1
)
( x
x
f
5. [ ] x
x
x
f −
=
)
(
6. [ ] ( )
π
π 2
,
2
;
)
( −
∈
= x
senx
x
f](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-68-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
53
2. Analice la continuidad de las siguientes funciones:
1.
x
sen
x
x
f
2
1
)
(
−
=
2.
3
2
1
)
(
2
+
+
=
x
x
x
h
3.
12
5
6
8
2
)
(
2
3
2
−
+
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
f
4.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
1
1
)
( 2
2
x
x
sen
x
f
3. Calcular el valor de A , si existe, para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0
;
0
;
)
(
x
A
x
x
senx
x
f sea continua en todo R .
4. Hallar los valores de a y b para que f sea continua en R .
1.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
+
≤
=
4
;
6
2
4
1
;
1
;
)
(
2
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
2.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
+
≤
=
4
;
2
4
1
;
1
;
)
(
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
3.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
+
+
=
2
;
3
2
1
;
1
;
1
)
(
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
4. [ ]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
+
−
≤
−
=
2
;
2
2
;
cos
2
;
2
)
(
π
π
π
π
x
senx
x
bx
x
a
x
senx
x
f
5. Sean las funciones:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
0
;
1
0
;
0
0
;
1
)
(
x
x
x
x
f y 2
1
)
( x
x
g +
=
Para que valores de x , es continua: a) ( )( )
x
g
f D b) ( )( )
x
f
g D
6. Determine el máximo valor de k para que la función:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
= 2
)
( 2
x
x
f sea continua en el intervalo
[ )
k
+
3
,
3
7. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ ( ) [ )
+∞
∪
−
∞
−
= ,
0
1
,
Domf
ƒ [ ) ( ]
+∞
∪
= ,
,
1 e
e
rgf
ƒ 1
)
0
( =
f
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∀
∃
∀ e
x
f
N
x
x
N )
(
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
+
−∂
∀
∃∂
∀ )
(
0
1
,
0
,
0
8. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ Dom f=IR,
ƒ 0
)
(
x
f para ( ] ( )
1
,
0
1
, ∪
−
−∞
∈
x
ƒ 1
)
(
0
)
1
(
)
0
(
1
)
1
(
0
=
∧
=
=
∧
=
− +
→
x
f
lím
f
f
f
x
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
−
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
ε
ε
+
⇒
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
0
(
)
(
0
,
0
,
0 f
x
f
x
x
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
1
0
,
0
,
0 x
f
x
x](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-69-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
54
9. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ f es continua en ( ) ( ]
10
,
2
2
,
5 ∪
−
ƒ 0
)
10
(
)
3
( =
= f
f
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
+
∀
∃∂
∀ 3
)
(
5
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
,
0
,
0
10. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ f es continua en ( ] ( ) ( )
∞
∪
∪
−∞ ,
3
3
,
0
0
,
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
−
∀
∃
∀ )
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ]
ε
ε
−
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 2
)
(
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
∀
∃∂
∀ )
(
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
M
x
f
x
x
M
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
3
0
,
0
,
0
ƒ [ ]
ε
ε
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
3
0
,
0
,
0 x
f
x
x
ƒ [ ]
ε
ε
+
⇒
∀
∃
∀ 1
)
(
,
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ 0
)
7
(
,
2
)
5
(
)
3
( =
=
= f
f
f
2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES
CONTINUAS
Sea f definida en el intervalo cerrado
[ ]
b
a, y sea w un número entre )
(a
f y
)
(b
f . Si f es continua en [ ]
b
a, entonces
existe al menos un número 0
x entre a y b
tal que w
x
f =
)
( 0 .](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-70-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
55
Ejemplo
Demuestre que la ecuación 0
2
3
3
=
−
+ x
x tiene una solución real entre 0 y 1.
SOLUCIÓN:
Definamos la función 2
3
)
( 3
−
+
= x
x
x
f .
Observamos que: 2
)
0
( −
=
f y 2
)
1
( =
f
y como f es continua en [ ]
1
,
0 , por ser polinómica; aplicando el Teorema del Valor Intermedio,
tenemos que si 0
=
w existirá un x elemento de [ ]
1
,
0 que lo satisfaga. Es decir: [ ]
1
,
0
∈
∃x tal que
0
2
3
)
( 3
=
−
+
= x
x
x
f
Ejercicios Propuestos 2.2
1. Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.
2. Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.
3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
a) Si f es continua y no tiene ceros en [ ]
b
a, , entonces 0
)
(
x
f para toda x en [ ]
b
a, o
0
)
(
x
f , ∈
∀x [ ]
b
a,
b) Si f es continua en 0
x y 0
)
( 0
x
f , hay un intervalo ( )
∂
+
∂
− 0
0 , x
x tal que 0
)
(
x
f en ese
intervalo.
c) El producto de dos funciones f y g es continua en 0
x ,si f es continua en 0
x pero g no.
d) Si f es continua en 0
x y g es discontinua en 0
x , entonces g
f + es discontinua en 0
x .
e) Toda función continua en ( )
b
a, es acotada.
f) Toda función acotada en [ ]
b
a, es continua en [ ]
b
a,
g) Si f es continua e inyectiva en [ ]
b
a, entonces su función inversa
1
−
f es continua en [ ]
b
a,
4. Demuestre que la ecuación: 0
1
3
4 3
5
=
+
−
− x
x
x tiene una solución en el intervalo [2,3].
5. Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras,
demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de
tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-71-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones
56
Misceláneos
1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
a) )
(
lím
)
(
lím x
f
x
f
a
x
a
x −
+
→
→
= entonces f es continua en a
x = .
b) Si f y g son funciones continuas en a
x = entonces la función fg también es continua en a
x = .
c) La función de variable real con regla de correspondencia
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
−
+
−
=
2
;
2
2
;
4
2
2
)
( 2
x
x
x
x
x
x
f es
continua en 2
=
x .
d) Si f es una función tal que IR
f
dom = y IR
a ∈
∀ )
(
lím x
f
a
x +
→
existe, entonces f es continua
en todo su dominio.
e) Si f es una función continua en [ ]
b
a, tal que 0
)
(
a
f y 0
)
(
b
f entonces existe al menos un
( )
b
a
c ,
∈ tal que 0
)
( =
c
f .
f) Si f es una función de IR en IR tal que [ ]
x
x
f sen
)
( = entonces f es continua en π
=
x .
g) Sea f una función continua en [ ]
b
a, tal que 0
)
(
)
(
• b
f
a
f entonces no existe un valor [ ]
b
a
c ,
∈
tal que 0
)
( =
c
f .
h) Si f y g son funciones que no son continuas en a
x = entonces la función g
f + no es continua en
a
x = .
i) La función
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
=
2
;
2
2
;
1
)
( 2
x
x
x
x
x
x
f es continua en todo su domino.
j) Sea f una función de variable real con regla de correspondencia
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
=
0
;
0
0
;
cos
1
)
( 2
x
x
x
x
x
f ,
entonces f es continua en todo su dominio.
2. Determine el valor de a para que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
π
−
=
π
π
2
2
;
1
;
cos
2
cot
)
(
x
ax
x
x
x
x
x
f sea continua en
2
π
=
x
3. Sea f una función de variable real tal que
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
−
−
+
−
≤
−
=
1
;
1
1
;
1
1
;
1
)
(
2
2
4
5
2
x
x
x
x
B
Ax
Bx
Ax
x
x
x
f
Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.
4. Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones:
• f es continua en los intervalos ( )
0
,
−∞ ; [ ]
1
,
0 ; ( )
+∞
,
1 .
• 0
)
5
(
)
3
(
)
0
( =
=
= f
f
f 1
)
2
(
)
1
( =
= f
f
• 1
)
(
0
−
=
−
→
x
f
lim
x
−∞
=
−∞
→
)
(x
f
lim
x
• [ ]
N
x
f
x
N
⇒
δ
−
δ
∃
∀ )
(
1
0
0
0
• [ ]
ε
ε
−
⇒
∃
∀ 1
)
(
0
0 x
f
M
x
M
• ( )[ ]
0
)
(
5
,
3
∈
∀ x
f
x](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-72-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
85
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( )
0 0
, ( )
x f x y
( )
0 0
, ( )
x h f x h
+ + sería
0 0
sec
( ) ( )
f x h f x
m
h
+ −
=
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
0 0
tg
0
( ) ( )
lím
h
f x h f x
m
h
→
+ −
=
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y
que sea función del tiempo; es decir ( )
e f t
= . Suponga ahora que se quiere
determinar la velocidad media m
v en un intervalo de tiempo [ ]
0 0
,
t t h
+ , esta
estaría dada por:
( ) ( )
0 0
0 0
m
f t h f t
e
v
t t h t
+ −
Δ
= =
Δ + −
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo t
Δ cada vez más pequeño; es decir:
x
y
0
x h
+
( )
0
f x
( )
y f x
=
0
x
( )
0
f x h
+
h
( ) ( )
0 0
f x h f x
+ −
N
N
Fig. 3.2](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-75-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
88
Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1
f x x
= +
SOLUCIÓN:
( ) [ ]
0
0
0
0
0
( ) ( )
´( ) lím
2 1 2 1
lím
2 2 1 2 1
lím
2
lím
lím2
´( ) 2
h
h
h
h
h
f x h f x
f x
h
x h x
h
x h x
h
h
h
f x
→
→
→
→
→
+ −
=
+ + − +
⎡ ⎤
⎣ ⎦
=
+ + − −
=
=
=
=
Empleando la forma alternativa:
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
´( ) lím
2 1 2 1
lím
2 1 2 1
lím
2 2
lím
2
lím
lím 2
´( ) 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f x
→
→
→
→
→
→
−
=
−
+ − +
=
−
+ − −
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=
Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada 2
( )
f x x
=
SOLUCIÓN:
( )
( )
( )
x
x
f
h
x
h
h
x
h
h
x
h
xh
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
h
h
h
2
)
´(
2
lím
2
lím
2
lím
lím
)
(
)
(
lím
)
´(
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
=
+
=
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
=
→
→
→
→
→](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-78-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
90
3.5 DIFERENCIABILIDAD
Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una
función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será
derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a
derivabilidad para funciones de una variable real.
3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en 0
x , es decir
)
´( 0
x
f existe, entonces f es continua en
0
x
Demostración.
Expresemos lo siguiente:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0 x
f
x
f
x
f
x
f +
−
=
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por ( )
0
x
x − , suponga 0
x x
≠ ,
tenemos:
( ) )
(
)
(
)
(
)
( 0
0
0
0
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f +
−
−
−
=
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
( ) )
(
)
(
)
(
)
( 0
0
0
0
0
0
0
0
x
f
lím
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím
x
f
lím
x
x
x
x
x
x
x
x →
→
→
→
+
−
−
−
=
La expresión
0
0 )
(
)
(
0 x
x
x
f
x
f
lím
x
x −
−
→
es igual )
´( 0
x
f , debido a que de hipótesis se dice que f es
derivable en 0
x . Entonces:
( )
[ ]
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0
)
´(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
)
(
tan
0
0
0
)
´(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
f
x
f
lím
x
f
x
f
x
f
x
f
lím
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím
x
f
lím
x
x
x
f
te
cons
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
=
+
=
+
=
+
−
−
−
=
→
→
→
→
→
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en 0
x . L.Q.Q.D.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-80-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
96
2. Sea ( )
f x x
= entonces:
( )
0 0
( ) lím lím 1
x
h h
x h x h
D x
h h
→ →
+ −
= = =
3. Sea ( ) n
f x x
= entonces:
( )
0
( ) lím
n n
n
x
h
x h x
D x
h
→
+ −
= . Consideraremos n∈` . Desarrollando el
binomio y simplificando:
( )
( )
( )
( )
( )
N
1
1 2 2 1
2
0 0
1
1 2 2 1
2
0
1
1 2 2 1
2
0
1
1 2 2
2
0
0 0
0
...
( ) lím lím
...
lím
...
lím
lím ...
n n
n n n n n n
n n
n
x
h h
n n
n n n n
h
n n
n n n n
h
n n
n n n
h
x nx h x h nxh h x
x h x
D x
h h
nx h x h nxh h
h
h nx x h nxh h
h
nx x h nxh
−
− − −
→ →
−
− − −
→
−
− − − −
→
−
− − −
→
⎡ ⎤
+ + + + + −
+ − ⎣ ⎦
= =
+ + + +
=
⎡ ⎤
/ + + + +
⎣ ⎦
=
/
= + + +
N
( )
1
0
1
( )
n
n n
x
h
D x n x
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
4. Sea ( ) x
f x e
= entonces:
( ) ( )
0 0 0 0
1
1 1
( ) lím lím lím lím
x h h
x h x x h x
x x x
x
h h h h
e e e
e e e e e
D e e e
h h h h
+
→ → → →
− −
− −
= = = = =
6. Sea ( ) ln
f x x
= entonces:
( )
x
x
D
e
x
h
x
h
h
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
x
D
x
x
h
h
h
h
h
h
x
x
x
h
1
)
(ln
ln
1
lím
ln
1
ln
lím
1
ln
lím
ln
lím
ln
ln
lím
)
(ln
1
1
0
1
0
0
0
0
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
−
+
=
→
→
→
→
→
8. Sea ( )
f x sen x
= entonces:
[ ]
( ) ( )
x
x
D
x
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
x
h
x
x
x
h
x
h
x
x
D
x
h
h
h
h
h
h
h
x
cos
)
(sen
)
1
(
cos
)
0
(
sen
senh
lím
cos
)
1
(cosh
lím
sen
cos
senh
lím
)
1
(cosh
sen
lím
cos
senh
)
1
(cosh
sen
lím
sen
cos
senh
cosh
sen
lím
sen
)
sen(
lím
)
(sen
0
0
0
0
0
0
0
=
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
+
=
−
+
=
→
→
→
→
→
→
→
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-86-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
98
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una
constante, entonces:
1. ( ( )) ´( )
d
kf x kf x
dx
= (Múltiplo constante)
2. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
+ = + (Suma)
3. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
− = − (Resta)
4. ( ( ) ( )) ´( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x f x g x f x g x
dx
= + (Producto)
5.
[ ]
2
( ) ´( ) ( ) ( ) ´( )
( ) ( )
d f x f x g x f x g x
dx g x g x
⎛ ⎞ −
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(Cociente)
Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
[ ]
0
0
0
( ) ( )
( ( )) lím
( ) ( )
lím
( ) ( )
lím
´( )
h
h
h
d kf x h kf x
kf x
dx h
k f x h f x
h
f x h f x
k
h
kf x
→
→
→
+ −
=
+ −
=
+ −
=
=
2.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím lím
´( ) ´( )
h
h
h h
f x h g x h f x g x
d
f x g x
dx h
f x h f x g x h g x
h
f x h f x g x h g x
h h
f x g x
→
→
→ →
+ + + − +
+ =
+ − + + −
=
+ − + −
= +
= +
3.
[ ] [ ]
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
h
f x h g x h f x g x
d
f x g x
dx h
→
+ + −
=
Al numerador le sumamos y restamos ( ) ( )
f x g x h
+
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
lím
h
f x h g x h f x g x f x g x h f x g x h
h
→
+ + − − + + +
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-88-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
100
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
[ ]
( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x
dx
= + +
¡Generalícela!
Ejemplo 5 (Derivada del producto)
Si ( ) ln
x
f x e senx x
= entonces
( )
´ ln ln ln
1
ln cos ln
x x x
x x x
d d d
f x e senx x e senx x e senx x
dx dx dx
e senx x e x x e senx
x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
Si ( )
2
3
2
1
x
f x
x
+
=
+
entonces
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
2 3 2 3
3 2 2
2 2
3 3
4 4 2 4 2
2 2
3 3
2 1 2 1 2 1 2 3
´
1 1
2 2 3 6 6 2
1 1
d d
x x x x x x x x
dx dx
f x
x x
x x x x x x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + − + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
+ +
+ − − − − +
= =
+ +
Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.
Ejemplo 7
Determine ( ),
0
f ′ si ( ) ( )( ) ( )
1 2 ... 100
f x x x x x
= + + + .
SOLUCIÓN:
La derivada de f sería
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
´ 1 1 2 100 1 2 100 1 1 ... 100
f x x x x x x x x x x
= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ahor
a evaluamos la derivada en cero:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0
´ 0 1 0 1 0 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 0 1 1 ... 0 100
´ 0 1 2 100 100!
f
f
= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-90-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
102
Estos valores los reemplazamos en
2
0 0 0
4
y x x
= + , y obtenemos los respectivos 0
y :
( ) ( )
2
0 3 4 3 9 12 3
y = − + − = − = −
( ) ( )
2
0 1 4 1 1 4 3
y = − + − = − = −
Por tanto, los puntos de tangencia son ( )
3, 3
− − y ( )
1, 3
− − .
Las respectivas pendientes serían:
( )
( )
2 3 4 2
2 1 4 2
tg
tg
m
m
= − + = −
= − + = +
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
( ) ( )
( )
( )
3 2 3
3 2 3
2 9
y x
y x
y x
− − = − − −
+ = − +
= − −
y
( ) ( )
( )
( )
3 2 1
3 2 1
2 1
y x
y x
y x
− − = − −
+ = +
= −
Ejemplo 9
Si f , g y h son funciones tales que
( ) ( )
( )
2 ( ) 3 ( )
f x g x
h x
f x g x
=
+
, (1) 3
f = , (1) 3
g = − ,
´(1) 2
f = − , ´(1) 1
g = . Determine ´(1)
h .
Solución:
La derivada de h sería:
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
2
2
( ) ( )
´( )
2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
2 ( ) 3 ( )
´( ) ( ) ( ) ´( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ´( ) 3 ´( )
2 ( ) 3 ( )
x
x x
f x g x
h x D
f x g x
D f x g x f x g x f x g x D f x g x
f x g x
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
f x g x
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
+ − +
=
+
+ + − +
=
+
Ahora evaluando en 1:
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
2
2
2
2
´(1) (1) (1) ´(1) 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 ´(1) 3 ´(1)
´(1)
2 (1) 3 (1)
( 2)( 3) (3)(1) 2(3) 3( 3) (3)( 3) 2( 2) 3(1)
2(3) 3( 3)
6 3 6 9 9 4 3
6 9
9 3 9 1
3
36
9
´(1) 4
f g f g f g f g f g
h
f g
h
+ + − +
=
+
− − + + − − − − +
=
+ −
+ − + − +
=
−
− + −
=
−
−
=
= −](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-92-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
104
4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )
2,5 y que son tangentes a la curva definida
por la ecuación
2
4
y x x
= − .
5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por
3 2
( ) 2 3 24
f x x x x
= + − y
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0
7
12 =
+
− y
x .
6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
2
y x
= .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
2
7 x
y −
= . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
8. Determine ( ),
0
f ′ si ( ) ( )( ) ( )
50
...
2
1 −
−
−
= x
x
x
x
x
f
9. Si f , g y h son funciones tales que
)
(
4
)
(
3
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
h
−
= , 2
)
3
( =
f , 2
)
3
( −
=
g , 1
)
3
´( −
=
f ,
2
)
3
´( =
g . Determine )
3
´(
h .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.
3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea ( )
y f u
= y ( )
u g x
= . Si g es
diferenciable en 0
x y f diferenciable
en ( )
0
g x entonces la función
compuesta ( )( ) ( )
( )
f g x f g x
=
D es
diferenciable en 0
x y
( ) [ ]
0
0 0
( )
( ( ) ´( ) ´( )
x x
g x
d
f g x f g x
dx =
=
O lo que es lo mismo
( )
u g x
dy dy du
dx du dx =
=
Ejemplo 1
Si ( )20
2
2
+
= x
y entonces haciendo 2
)
( 2
+
=
= x
x
g
u tenemos ( ) 20
u
u
f
y =
= de donde
19
20u
du
dy
= y x
dx
du
2
= .](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-94-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
105
Por tanto ( )( )
x
u
dx
du
du
dy
dx
dy
2
20 19
=
= que al reemplazar u resulta
( )
( )( ) ( )19
2
19
2
2
40
2
2
20 +
=
+
= x
x
x
x
dx
dy
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para
observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de
la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
Si ( )
u
x
x
sen
y 3
3
−
= entonces ( ) ( ) ( )
[ ][ ]
3
3
3
cos
3
´ 2
3
3
−
−
=
−
= x
x
x
x
x
D
senu
D
y x
u
Ejemplo 3
Si
30
2
2
3
1
3
u
x
x
x
x
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
= entonces
( )( ) ( )( )
( )
29
3 2 3 2
2 2
29 2 2 3 2
3 2
2 2
2
3 3
´ 30
1 1
3 6 1 1 3 2
3
30
1 1
x
x x x x x x
y D
x x
x x x x x x x
x x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + + +
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ + − − + +
⎡ ⎤
+ + ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ −
⎣ ⎦
Para el caso de funciones de la forma ( )
( ( )
y f g h x
= haciendo que
( )
v h x
= tenemos ( )
( )
y f g v
= y ahora haciendo que ( )
u g v
= tenemos
( )
y f u
= ; entonces
dy dy du dv
dx du dv dx
= .
O más simplemente ( ) [ ][ ]
´ ´ ( ( )) ´( ( )) ´( )
y f g h x g h x h x
= ⎡ ⎤
⎣ ⎦
Ejemplo 4
Si ( ) ( )
N
4
2
2
4
3
cos
3
cos
u
v
x
x
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
= entonces:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-95-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
106
( )
[ ] ( )
[ ]
( )
[ ] ( )
[ ] ( )
( )
[ ] ( )
[ ][ ]
x
x
x
x
D
x
x
x
D
x
y
x
x
6
3
sen
3
cos
4
3
3
sen
3
cos
4
3
cos
3
cos
4
´
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
−
=
−
=
=
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio Resuelto 1
Si ( ) 4
2 =
f , ( ) 6
4
´ =
f , ( ) 2
2
´ −
=
f hallar:
a) [ ]3
)
(x
f
dx
d
en 2
=
x b) ( ) )
2
´(
f
f D
SOLUCIÓN:
a) [ ] [ ] )
´(
)
(
3
)
( 2
3
x
f
x
f
x
f
dx
d
= que en 2
=
x sería:
[ ] ( ) ( ) 96
2
4
3
)
2
´(
)
2
(
3 2
2
−
=
−
=
f
f
b) ( ) [ ] [ ] [ ][ ] 12
)
2
)(
6
(
)
2
´(
)
4
´(
)
2
´(
))
2
(
(
´
´
)
2
(
(
)
2
´(
4
−
=
−
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
= f
f
f
f
f
f
f
f
f
D
Ejercicio Resuelto 2
Si
h
g
f
H
D
= y además: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
;
5
3
;
2
2
;
2
3
;
3
2
;
1
2 −
=
′
=
′
−
=
′
=
=
−
= g
f
h
f
g
h ; determine
( )
2
H ′ .
SOLUCIÓN:
Como
h
g
f
x
H
D
=
)
( entonces:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]2
2
)
(
)
´(
))
(
(
)
(
)
´(
))
(
´(
)
(
)
´(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
´(
x
h
x
h
x
g
f
x
h
x
g
x
g
f
x
h
x
h
x
g
f
x
h
x
g
f
D
x
h
x
g
f
D
x
H x
x
−
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
que en 2
=
x sería:
[ ]
[ ] [ ]
19
)
2
´(
1
)
2
)(
2
(
)
1
)(
3
)(
5
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)
1
)(
3
(
)
3
´(
)
2
(
)
2
´(
))
2
(
(
)
2
(
)
2
´(
))
2
(
(
´
)
2
´(
2
2
3
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
H
f
f
h
h
g
f
h
g
g
f
H](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-96-320.jpg)
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107
Ejercicio Resuelto 3
Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que )
(
)
( x
f
x
f =
− . Ahora tomando derivada a ambos
miembros de la igualdad tenemos:
[ ] [ ]
[ ]( )
)
´(
)
´(
)
´(
)
´(
)
´(
1
)
´(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
D
x
f
D x
x
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
La última igualdad nos indica que ´
f es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea )
(x
u
u = , entonces:
1. ( ) ´
)
( 1
u
u
n
u
D n
n
x
−
=
2. ´
)
( u
e
e
D u
u
x
=
3. ( ) ´
ln
)
( u
a
a
a
D u
u
x =
4. ´
1
)
(ln u
u
u
Dx =
5. ´
ln
1
)
(log u
a
u
u
D a
x =
6. ( ) ´
cos
)
(sen u
u
u
Dx =
7. ( ) ´
sen
)
(cos u
u
u
Dx −
=
8. ( )
2
(tan ) sec ´
x
D u u u
=
9. ( )
2
(cot ) csc ´
x
D u u u
= −
10. ( )
(sec ) sec tan ´
x
D u u u u
=
11. ( )
(csc ) csc cot ´
x
D u u u u
= −](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-97-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
108
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) ( ) 2
2 2
f x x x
= − +
b) ( )
1
2 3
f x
x
=
−
c) ( )
x x
x x
e e
f x
e e
−
−
−
=
+
d) ( )
2
2
1
1
x
f x
x
−
=
+
e) ( )
3
cos2
senx
f x
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
f) ( ) ( )
2
ln ln 1
f x x
⎡ ⎤
= +
⎣ ⎦
g) ( )
2
2 2
1 1
ln
4 4 4
x
f x
x x
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
2. Si { }
I
ervalo
un
en
derivable
función
una
es
f
f
V int
/
= . Demuestre que:
[ ]
)
(
'
)
(
'
)
(
)
( x
f
x
f
x
f
x
f
V
f =
−
⇒
−
=
−
∈
∀ (La derivada de una función impar es una función par)
3. Hallar ( ) ( )
x
g
f ′
D , si ( )
2
u
e
u
f = y ( ) ( )
4 2
2
cos
1 x
x
g
u +
=
=
4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo IR
x ∈ , tales que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
,
,
5
3
,
3
3
,
1
2
,
3
2
,
2
,
2 −
=
′
=
−
=
′
=
−
=
′
=
−
=
′
= a
f
a
a
f
f
f
h
h
a
g
a
g .
4
)
´(
,
)
( =
= a
h
a
a
h
En a
x = determine el valor de:
a) ( )´
f
g D b) ( )´
h
g D c) ( )´
g
h D
d) ( )´
g
h
f D
D e)
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
f
g
g
h
g
h
f
D
D
D
D
5. Sea 0
)
0
( =
f y 2
)
0
(
' =
f , encuentre la derivada de ))))
(
(
(
( x
f
f
f
f en 0
=
x .
6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos 1
x y 2
x tales que 2
1)
( x
x
f = y 1
2)
( x
x
f = . Sea
( ) ( )
( )
( )
( )
x
f
f
f
f
x
g = pruebe que )
(
'
)
(
' 2
1 x
g
x
g =
7. Pruebe que si un polinomio )
(x
p es divisible entre ( )2
b
ax + entonces )
(
' x
p es divisible entre ( )
b
ax + .
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ( ) ( ) ( )
2
p x c x ax b
= +
⎡ ⎤
⎣ ⎦ y derívelo.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-98-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
110
Ejemplo 2
Hallar
1
1 3
n
x
D
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos: ( )
1
1
1 3
1 3
y x
x
−
= = +
+
.
Obteniendo derivadas:
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2
3 2
4 3
5 4
´ 1 3 3
´´ 2 1 3 3
´´´ 2 3 1 3 3
(2 3 4) 1 3 (3 )
IV
y x
y x
y x
y x
−
−
−
−
= − +
= + +
= − × +
= + × × +
Directamente la quinta derivada sería ( )( ) ( )
6 5
5! 1 3 3
V
y x
−
= − +
Por tanto la n-ésima derivada sería: ( ) ( )( ) ( )
( )
1
1 ! 1 3 3
n n
n n
y n x
− +
= − +
Ejemplo 3
Demuestre que ( ) !
n
x
D n
n
x = ; n∈ `
SOLUCIÓN:
Como n
x
y = entonces:
( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
1
2
3
´
´´ 1
´´´ 1 2
1 2 3 1
1 2 3 1
!
n
n
n
n n n
y nx
y n n x
y n n n x
y n n n n n n x
n n n n
n
−
−
−
−
=
= −
= − −
= − − − − −
= − − −
=
Ejercicio Propuesto 3.5
1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a. ( )
[ ]
2
4
4
cos x
dx
d
b.
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+ x
x
sen
x
dx
d
1
2
2
2
π
c. [ ]
x
n
n
xe
dx
d
d. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− x
D n
x
4
5
e. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
x
x
Dx
1
1
30
f. [ ]
xsenx
dx
d
35
35](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-100-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
111
2. Determine
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ x
dx
d
x
dx
d
1
1
2
2
3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
( )
0
1
1
1 ... a
x
a
x
a
x
a
D n
n
n
n
n
x +
+
+
+ −
− , n∈`
4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que 1
)
1
( =
P , 3
)
1
´( =
P , 6
)
1
´´( =
P , 12
)
1
´´´( =
P .
Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia
estaban dadas por una ecuación de la forma ( )
y f x
= , esta forma la llamaremos
en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada
en la forma ( , ) 0
F x y = , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se
desea obtener la derivada ´
y de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de
ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de
problema.
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para obtener ´
y en una función implícita ( , ) 0
F x y = sin necesidad de
despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla
como 0
))
(
,
( =
x
f
x
F y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta
las reglas mencionadas lograríamos lo deseado.
Ejemplo
Sea
4 5
0
x y
− = la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la
podemos obtener por una de las siguientes formas:
1. Despejando y (forma explícita:
4
5
y x
= ) entonces:
1
5
4
´
5
y x
−
=
2. Sin despejar y (forma implícita:
4 5
0
x y
− = ).
La consideraremos como ( )
5
4
0
x f x
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦ . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación:
( ) [ ]
( ) ( )
5
4
4
3
0
4 5 ´ 0
x x
D x f x D
x f x f x
⎡ ⎤
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎣ ⎦
− =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Ahora despejamos ( )
´
f x :
( )
( )
3
4
4
´
5
x
f x
f x
=
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar
( )
4
5
f x x
= :](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-101-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
112
( )
( )
3 3 3
1
5
4 4 16
4 5
5
4 4 4 4
´
5
5 5
5
x x x
f x x
f x x
x
−
= = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejemplo 2
Sea 1
2
2
=
+ y
x con 0
y ≥ (semicircunferencia), hallar ´
y
SOLUCIÓN:
PRIMER MÉTODO.
Como es posible despejar y , tenemos
2
1
y x
= + −
Entonces:
( ) ( )
1
2
2
1
2
2
´ 1 2
1
y x x
x x
y
x
−
= − −
= − = −
−
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ] 1
)
( 2
2
=
+ x
f
x y tomar derivada a ambos
miembros de la igualdad:
[ ]
( ) ( )
0
)
´(
)
(
2
2
1
)
( 2
2
=
+
=
+
x
f
x
f
x
D
x
f
x
D x
x
que es lo mismo que: 0
´
2
2 =
+ yy
x
despajando ´
y resulta:
2
´
1
x x
y
y x
= − = −
−
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.
Ejemplo
Suponga que la ecuación fuese 1
2
2
−
=
+ y
x
Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener ´
y sería de la misma forma que el ejemplo
anterior.
En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida,
la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener
la derivada y es lo que hemos dejado explicado.
Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo
funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de
obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-102-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
113
Ejercicio Resuelto 1
Hallar ´
y para
3
2
3
2
7
4 y
xy
x =
+
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
( ) ( )
( )
´
6
´
14
7
12
´
6
´
2
7
7
12
2
7
4
2
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
xyy
y
x
y
y
yy
x
y
x
y
D
xy
x
D x
x
=
+
+
=
+
+
=
+
Despejando ´
y resulta:
xy
y
y
x
y
14
6
7
12
´ 2
2
2
−
+
=
Ejercicio Resuelto 2
Hallar ´
y para ( ) 1
2
3
ln 2
2
2
−
=
+
+ x
y
y
x
x
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( )
( ) ( )
[ ]
x
yy
y
y
x
x
yy
y
x
xy
y
x
x
D
y
y
x
x
D x
x
4
´
6
´
2
1
4
´
6
´
2
1
1
1
2
3
ln
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
Despejando ´
y resulta:
y
x
y
x
y 1
2
6
1
4
´
+
−
−
=
Ejercicio Resuelto 3
Hallar ´
y para ( ) y
x
x
y
xy +
+
= 2
2
cos
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) y
x
xy
y
x
x
y
x
yy
xy
xyy
xy
y
y
y
x
x
y
x
yy
yy
x
y
xy
y
x
x
y
D
xy
D x
x
+
+
+
+
+
+
=
−
−
+
+
+
+
+
=
+
−
+
+
=
−
2
´
2
´
2
´sen
2
sen
´
1
1
´
2
´
2
1
sen
cos
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
Despejando ´
y resulta:
( )
( )
2
2
2
sen
2
2
2
2
sen
´
xy
xy
y
x
x
y
y
x
x
y
x
xy
y
y
+
+
+
+
−
+
−
−
=](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-103-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
114
Ejercicio Resuelto 4
Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es ( )
y
x
sen
y
cos
x +
= en
P(0,0).
SOLUCIÓN:
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto
tg
1
m
mnormal −
=
Ahora ( )
0
,
0
tg ´
y
m = . Obteniendo ´
y resulta:
( ) ( )
( )
( ) [ ]
´
1
)
cos(
´
sen
cos
1
sen
cos
y
y
x
yy
x
y
y
x
D
y
x
D x
x
+
+
=
−
+
+
=
En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: 0
=
x y 0
=
y y luego
despejar ´
y :
( ) [ ]
0
´
´
1
0
1
´
1
)
0
0
cos(
´
0
sen
0
0
cos
=
+
=
+
+
+
=
−
+
y
y
y
y
.
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente
1
0
normal
m = − = −∞
Y su ecuación será:
( )
0
0
0
1
0
=
−
−
=
−
x
x
y
(el eje y ).
Ejercicio Resuelto 5
Sea 2
2 3
2
=
− y
y
x . Encuentre '
'
y en (2,1).
SOLUCIÓN:
Primero se encuentra '
y :
( ) ( )
0
´
6
´
2
2
2
2
2
3
2
=
−
+
=
−
y
y
y
x
xy
D
y
y
x
D x
x
En )
1
,
2
( sería:
2
´
0
´
)
1
(
6
´
)
2
(
)
1
)(
2
(
2 2
2
=
=
−
+
y
y
y
Ahora encontramos '
'
y volviendo a derivar implícitamente:
( ) ( )
( ) 0
´´
6
´
´
12
´´
´
2
´
2
2
0
´
6
´
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
+
=
−
+
y
y
y
yy
y
x
xy
xy
y
D
y
y
y
x
xy
D x
x
En )
1
,
2
( sería:
15
´´
0
´´
6
48
´´
4
8
8
2
0
´´
)
1
(
6
)
2
)(
2
)(
1
(
12
´´
)
2
(
)
2
)(
2
(
2
)
2
)(
2
(
2
)
1
(
2 2
2
=
=
−
−
+
+
+
=
−
−
+
+
+
y
y
y
y
y](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-104-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
115
Ejercicios Propuestos 3.6
1. Encontrar
dx
dy
para:
a. 1
3
2
3
2
=
+ y
x
b. ( )
ln 1
xy y
+ =
c. ln 0
xy
e y
+ =
d. sec tan
y y xy
+ =
e. ( )
ln 5
xy y
+ =
2. Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones
3
2
4x
y = y 14
3
2 2
2
=
+ y
x
en el punto ( )
2
,
1 son perpendiculares entre sí.
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 5
3 3
3
=
+
+ y
xy
x en el punto
( )
1
,
1
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de ( ) 2
2
3
2
2
8 y
x
y
x =
+ en el punto ( )
1
,
1 −
5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( )
[ ] 2
1
2
=
+
+
− y
x
sen
xy π
en el punto )
1
,
1
(
6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 2
2
3
2
3
=
+ y
x que es paralela a
la recta 0
6 =
+
+ y
x
7. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ) ( )2
2
2
2
4
1 y
y
y
x −
+
= en
el punto ( )
2
,
0 − .
8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación ( ) ( )
y
x
y
x +
= sen
3
2
cos en el
punto ( )
0
,
0 .
9. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación xy
y
x 2
3
2
=
+ donde la recta tangente
a f sea horizontal.
10. Encuentre '
'
y si 0
3
4 2
3
=
+
− y
x
11. Calcula:
2
2
dx
y
d
para 1
3
2
3
2
=
+ y
x
12. Para la función )
(x
f
y = dada en forma implícita por la ecuación
2
tg 4 =
+
−
π
−
y
e
y
x determine
2
2
dx
y
d
en el punto ( )
4
,
2 π .
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:
⎩
⎨
⎧
=
=
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
C
Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo
será hallar directamente
dx
dy
.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-105-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
116
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones
paramétricas.
Suponga que )
(t
x
x = y )
(t
y
y = son
funciones continuamente diferenciables,
y que 0
)
´( ≠
t
x para cualquier t de cierto
intervalo. Entonces las ecuaciones
paramétricas definen a y como una
función diferenciable de x y su
derivada es:
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
=
=
Ejemplo 1
Sea la circunferencia con ecuación cartesiana 1
2
2
=
+ y
x , la derivada también puede ser hallada partiendo
de su ecuación paramétrica
⎩
⎨
⎧
=
=
t
y
t
x
C
sen
cos
: , es decir:
y
x
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
−
=
−
=
=
sen
cos
Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2
Sea
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
sent
e
y
t
e
x
t
t
cos
hallar
dy
dx
SOLUCIÓN:
sent
t
t
sent
sent
e
t
e
t
e
sent
e
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
t
t
−
+
=
−
+
=
=
cos
cos
cos
cos
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es
función de t , es decir que )
´(t
y
dx
dy
= ; por tanto:
Segunda derivada: [ ] [ ]
[ ]
)
´´(
)
´(
)
´(
)
´(
2
2
t
y
dt
dx
dt
t
y
d
dx
dt
dt
t
y
d
t
y
dx
d
dx
y
d
=
=
=
=](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-106-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
117
Tercera Derivada: [ ] [ ]
[ ]
)
´´´(
)
´´(
)
´´(
)
´´(
3
3
t
y
dt
dx
dt
t
y
d
dx
dt
dt
t
y
d
t
y
dx
d
dx
y
d
=
=
=
=
Y así sucesivamente.
Ejemplo 1
Sea
⎩
⎨
⎧
=
=
t
y
t
x
C
sen
cos
: hallar
3
3
d y
dx
.
SOLUCIÓN:
Ya encontramos la primera derivada: ( )
cos
cot
sen
dy
dy t
dt t
dx
dx t
dt
= = = −
−
La segunda derivada sería:
( ) ( ) ( )
2
2
3
2
´ cot csc
csc
d d
y t t
d y dt dt t
dx dx
dx sent
dt dt
− − −
= = = = −
−
La tercera derivada sería:
( ) ( ) ( )
3
2
3
4
3
d d
y´´ csc t 3csc t csctcotgt
d y dt dt 3csc tcotgt
dx dx
dx sent
dt dt
− − −
= = = = −
−
Ejemplo 2
Sea
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
sent
e
y
t
e
x
t
t
cos
hallar
2
2
d y
dx
SOLUCIÓN:
La primera derivada ya la encontramos:
sent
t
t
sent
sent
e
t
e
t
e
sent
e
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
t
t
−
+
=
−
+
=
=
cos
cos
cos
cos
La segunda derivada sería:
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 2 2 2
cos
´
cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos 2cos 2cos cos
t t
t t
d sent t
d
y
d y dt t sent
dt
dx dx
dx
dt dt
t sent t sent sent t sent t
t sent
e t e sent
t sent sent t
t sent
e t e sent
t tsent sen t sen t tsent t
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
= =
− − − + − −
−
=
−
− + +
−
= =
−
− + + + +
=
( )
( )
3
2
3
2
cos
2
cos
t
t
e t sent
d y
dx e t sent
−
=
−](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-107-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
118
Ejemplo 3
Calcular
n
n
dx
y
d
para:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
=
=
R
m
t
y
t
x
m
;
ln
SOLUCIÓN:
Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:
Primera derivada: m
m
m
mt
t
t
mt
t
mt
dt
dx
dt
dy
dx
dy
=
=
=
=
−
−
−
1
1
1
1
Segunda derivada:
[ ]
m
m
t
m
t
t
m
dt
dx
dt
t
y
d
dx
y
d 2
1
1
2
2
2
)
´(
=
=
= −
−
Tercera derivada:
[ ]
m
m
t
m
t
t
m
dt
dx
dt
t
y
d
dx
y
d 3
1
1
3
3
3
)
´´(
=
=
= −
−
Directamente, la cuarta derivada sería:
m
t
m
dx
y
d 4
4
4
=
Por tanto:
m
n
n
n
t
m
dx
y
d
=
Ejercicios Propuestos 3.7
1. Hallar
dx
dy
para:
a.
( )
( )
⎩
⎨
⎧
−
=
+
=
t
t
sent
a
y
tsent
t
a
x
cos
cos
b.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
+
=
1
1
1
2
2
t
t
y
t
x
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
( )
( )
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
t
a
y
t
t
a
x
cos
1
sen
en
2
π
=
t
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
3
2
3
2
t
t
y
t
t
x
en el punto (1,2)
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
⎩
⎨
⎧
+
=
−
=
t
t
y
t
t
x
2
cos
4
sen
3
3
cos
3
2
sen
4
en 0
=
t
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
=
1
4
2 3
2
t
t
y
t
x
; IR
t ∈ . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas
( )
cos
ln cos
y t
x t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
. Calcule a)
2
2
dx
y
d
y b)
3
3
dx
y
d](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-108-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
120
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
)
´(
cos
0
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sen
f
f
f
sen
f
d
dx
d
dy
dx
dy
m
sen
f
y
f
x
−
+
=
=
=
=
=
=
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a θ
=
θ
= 3
sen
4
)
(
f
r en 4
0
π
=
θ
SOLUCIÓN:
Observa la gráfica:
En este caso [ ]
2
4
cos
3
sen
4
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
0
2
2
2
2
4
4
4
4
0
0
0
=
=
=
=
θ
θ
=
π
π
π
π
x
f
f
x
y [ ]
2
4
sen
3
sen
4
)
sen(
)
(
)
sen(
)
(
0
2
2
2
2
4
4
4
4
0
0
0
=
=
=
=
θ
θ
=
π
π
π
π
y
f
f
y
Para la pendiente, tenemos: θ
=
θ 3
cos
12
)
´(
f
Entonces:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1
2
6
2
6
4
12
4
12
3
4
cos
3
cos
12
cos
3
4
3
cos
12
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
)
´(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
=
−
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
+
=
−
+
=
m
sen
sen
sen
sen
sen
f
f
f
sen
f
m
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
)
2
(
2
)
(
2
1
0
0
−
=
−
−
=
−
x
y
x
x
m
y
y
Fig. 3.14](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-110-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
123
Ejemplo 2
Obtenga la derivada para la función inversa de
x
e
x
f =
)
( empleando el teorema de la
derivada de la función inversa.
SOLUCIÓN:
De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ( )
( )
y
f
x
f
dx
d
´
1
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
Como
x
e
y
x
f =
=
)
( tenemos que
x
e
x
f =
)
´( y
y
e
y
f =
)
´( y además al cambiar la variable resulta
y
e
x = , lo cual nos permite decir que: x
y
f =
)
´(
Bien, reemplazando
( ) x
y
f
x
f
dx
d 1
´
1
)
(
1
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir:
1
( ) ln
f x x
−
= , cuya derivada la
determinamos con su definición)
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Inversas
( ) 1
1
;
1
1
arcsen
2
−
−
= x
x
x
Dx
( ) 1
1
;
1
1
arccos
2
−
−
−
= x
x
x
Dx
( ) 2
1
1
arctg
x
x
Dx
+
=
( ) 2
1
arc tg
1
x
D co x
x
= −
+
( ) 1
;
1
1
sec
2
−
= x
x
x
x
arc
Dx
Demostración:
Demostraremos la primera.
Planteemos el problema de la siguiente manera:
Sea x
y
x
f sen
)
( =
= hallar [ ] [ ]
x
D
x
f
D x
x arcsen
)
(
1
=
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[ ] [ ]
)
´(
1
)
(
1
y
f
arcsenx
D
x
f
D x
x =
=
−
Entonces, y
y
f cos
)
´( = . Ahora habrá que encontrar y
cos , sabiendo que seny
x = (cambiando la
variable en la función dada).
Por trigonometría, decir que
1
x
seny = significa que 2
1
cos x
y −
= (observe la figura 3.16)](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-113-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
124
Por lo tanto, [ ]
2
1
1
cos
1
x
y
arcsenx
Dx
−
=
= L.Q.Q.D.
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función
)
(x
u
u =
( ) 1
1
;
´
1
1
arcsen
2
−
−
= u
u
u
u
Dx
( ) 1
1
;
´
1
1
arccos
2
−
−
−
= u
u
u
u
Dx
( ) ´
1
1
arctg 2
u
u
u
Dx
+
=
( ) 1
;
´
1
1
sec
2
−
= u
u
u
u
u
arc
Dx
Ejemplo
Hallar ´
y para 2
2
ln
tg y
x
x
y
arc +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
SOLUCIÓN:
Derivando implícitamente, tenemos:
( )
[ ]
( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
y
x
y
x
y
y
x
yy
xy
yy
x
y
xy
y
x
yy
x
y
x
x
y
xy
x
y
x
yy
x
x
y
xy
x
y
x
yy
x
y
x
x
y
x
y
y
x
D
y
x
x
y
D
y
x
D
x
y
tg
arc
D
x
y
x
x
x
y
x
x
−
+
=
+
=
−
+
=
−
+
+
=
+
−
+
/
+
/
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
´
´
´
´
´
´
´
2
´
2
´
1
´
2
2
2
1
)
1
(
´
1
1
1
2
1
1
1
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Fig. 3.16](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-114-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
126
( ) ( )
[ ]
[ ]
1
ln
´
1
ln
´
1
ln
)
1
(
´
1
ln
ln
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
x
x
y
x
y
y
x
x
x
y
y
x
x
D
y
D
x
x
x
Ejemplo 2
Hallar
dx
dy
para [ ] x
x
y arctg
2
sen
=
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
[ ]
( )
( )
x
x
y
x
y x
2
sen
ln
arctg
ln
2
sen
ln
ln arctg
=
=
Ahora derivando implícitamente, resulta:
( )
[ ]
( ) ( )( )
( )
[ ] ( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
=
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
D
y
D
x
x
x
2
sen
2
cos
arctg
2
1
2
sen
ln
2
sen
´
2
sen
2
cos
arctg
2
1
2
sen
ln
´
2
2
cos
2
sen
1
arctg
2
sen
ln
1
1
´
1
2
sen
ln
arctg
ln
2
arctg
2
2
Ejemplo 3
Hallar
dx
dy
para
x
x
x
y =
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo.
Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
x
x
y
x
y
x
xx
ln
ln
ln
ln
=
=
Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
( ) ( )
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
ln
ln
ln
ln
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
+
=
+
=
=
Y ahora sí, derivamos implícitamente:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-116-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
127
[ ] [ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
+
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
x
D
y
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
1
1
ln
ln
´
ln
1
1
ln
ln
´
ln
1
1
ln
ln
´
1
ln
1
1
ln
)
1
(
´
1
ln
1
)
ln(ln
ln
)
ln(ln
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica
Ejemplo
Hallar
dx
dy
para
4
3
2
1
arctg
1
2
x
e
x
x
y
+
+
+
=
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
[ ]
( ) ( ) ( )
x
x
e
x
x
y
e
x
x
y
+
−
+
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
1
ln
arctg
1
ln
2
ln
ln
1
arctg
1
2
ln
ln
4
1
3
1
2
2
1
4
3
2
Ahora derivando implícitamente, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
arctgx
x
x
y
y
e
e
x
arctgx
x
x
y
y
e
arctgx
x
D
y
D
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
´
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
´
1
1
ln
1
ln
2
ln
ln
2
2
2
2
4
1
3
1
2
2
1
Finalmente, reemplazando resulta:
( ) ( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
+
= x
x
x
e
e
x
arctgx
x
x
e
arctgx
x
y
1
1
4
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
1
1
2
´
2
2
4
3
2
Ejercicios Propuestos 3.10
1. Calcular
dx
dy
, para :
a.
4
csc
1
sec
3
3
5
−
+
=
x
tgx
x
y
b.
( )5
3
3 2
4 3
4
1
4
cos
x
x
x
x
x
y
−
−
=
e.
x
n
n
x
y =
f.
( )
( )
x
arctg
x
x
sen
arcsen
y
2
2
2
cos
arccos ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-117-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
130
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
( ) x
x
Dx cosh
senh =
( ) x
x
Dx senh
cosh =
( ) x
h
x
Dx
2
sec
tgh =
( ) x
h
x
c
Dx
2
csc
tgh −
=
( ) x
hx
hx
Dx tgh
sec
sec −
=
( ) x
hxc
hx
Dx tgh
csc
csc −
=
¡Demuéstrelas!
Misceláneos
1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.
a) Si 2
)
2
(
)
2
´(
)
2
´( =
=
= g
g
f entonces
( ) 4
)
2
( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dx
g
f
d D
b) La función x
x
f sen
)
( = no es derivable en 0
=
x
c) Si f y g son derivables en c
x = y 0
)
(
)
´( =
= c
g
c
f y )
(
)
(
)
( x
g
x
f
x
h = entonces
0
)
´( =
c
h .
d) La ecuación de la recta tangente a la curva
3
x
y = en el punto ( )
1
,
1 es ( )
1
3
1 −
=
− x
y .
e) La expresión
2
1
sen
2
π
→ −
−
π
x
x
lim
x
es la derivada de x
x
f sen
)
( = cuando
2
π
=
x .
f) La función 3
5
6
)
( 3
−
+
= x
x
x
f no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g) Si
x
x
x
x
y =
)
( entonces ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
x
x
x
x
x
x
y x
xx 1
ln
ln
)
´( 2
h) Si ( )
)
(
)
( x
f
e
f
x
g = tal que 2
ln
)
0
( =
f , 2
)
0
´( −
=
f y 3
)
2
´( =
f entonces 12
)
0
´( −
=
g
i) Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ]
b
a, y )
(
)
( b
f
a
f = entonces en algún punto
del intervalo abierto ( )
b
a, , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
j) Si f es una función invertible entonces
)
´(
1
)
(
1
x
f
x
f
dx
d
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
.
k) Si f , g y h son funciones tales que ( ) 4
)
2
´( =
h
g
f D
D , 1
)
1
´(
)
1
( −
=
= g
g y
1
)
2
´(
)
2
( =
= h
h entonces 0
)
1
´( =
−
f
l) Si f es una función inversible y derivable tal que 4
)
1
´( =
f y 2
)
1
( −
=
f entonces
1
)
2
(
1
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
f
dx
d
.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-120-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
132
3. Hallar [ ]
[ ]
1
)
( 2 +
x
f
dx
d
4. Determine los valores para a , b y c de modo que la función
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
≤
≤
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
;
1
0
;
0
;
sen
)
(
2
1
4
4
x
d
cx
x
b
ax
x
x
x
f
x
Sea continua en 0
=
x y derivable en 1
=
x . Además determine, de ser posible,
[ ] ( )
[ ] ( )
1
´
.
)
2
´( 2
1 +
−
− π
f
f
f
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎩
⎨
⎧
=
=
tant
y
t
x
2
sec
2
en
6
π
−
=
t
6. Si
2
3
)
´( x
e
x
x
f = , 0
)
1
( =
f y ( ) 3
1
)
( 2
+
+
= x
x
g determine el valor de ( ) )
1
´(
f
g D .
7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎩
⎨
⎧
=
=
t
t
y
t
x
cos
sen
cos
en el punto )
0
,
0
( .
8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en 1
=
x donde f , g y h son funciones
diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a ( )
)
(
)
( 2
x
g
x
h
x
f = y se conoce que
2
)
1
( =
g , 2
)
1
´( −
=
g , 3
)
2
´( −
=
h y 1
)
2
( −
=
h
9. Determine los puntos del intervalo [ ]
2
,
1
− donde la función [ ] 1
)
( −
+
= x
x
x
f sea derivable.
10. Determine los valores reales que puede tomar k para que
k
k
f
dx
d
5
1
)
1
( 2
1
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
. Considere que
1
)
4
( =
f y x
x
x
f 10
)
´( 2
+
−
= .
11. Para la función )
(x
f
y = cuyas ecuaciones paramétricas son
⎩
⎨
⎧
−
=
=
t
t
y
t
x
arcsen
arccos
, ( )
1
,
1
−
∈
t determine
3
3
dx
y
d
.
12. Para la función )
(x
f
y = cuyas ecuaciones paramétricas son
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
t
t
y
t
x
ln
1 2
, 0
t determine
3
3
dx
y
d
en el
punto )
0
,
2
(
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas b
ax
x
y +
+
= 2 y 2
x
cx
y −
= tienen una recta tangente
común en el punto )
0
,
1
( .
14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ( ) xy
x
y
y
x =
−
− tg
ln 2 en el punto
)
0
,
1
( .
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto )
2
,
1
( . Donde C está definida por las
ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−
+
t
t
t
t
y
x
3
1
2 2
, { }
0
,
1
−
−
∈ IR
t](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-122-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
133
16. Hallar
2
2
dx
y
d
para
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
sen
cos
, IR
t ∈
17. Hallar
dx
dy
en el punto ( )
π
,
0 donde x e y satisfacen la ecuación ( ) 0
sen
2
=
−
+
+ x
y
x
xy .
18. Sea )
(x
f
y = función tal que
1
−
= f
h . Sea 0
≥
y si
2
2
1
)
(
+
−
+
=
y
y
y
y
h calcular )
1
´(
f
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
t
a
y
t
a
x
3
3
sen
cos
; [ ]
π
∈ 2
,
0
t ; 0
a en el punto
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
2
2
3
2
2
,a
a .
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y ´
f sean continuas en todo su dominio; donde f
es una función tal que
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≥
+
=
0
;
0
;
sen
)
(
x
c
be
x
a
x
x
f x
.
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
( )
( )
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
t
t
y
t
t
x
sen
cos
1
cos
cos
1
en
2
π
=
t .
22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 4
3
cos 2
2
=
+
+ x
xy
y ; en el
punto )
0
,
1
( .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 1
ln =
+ y
xy ; en el punto )
1
,
1
( .
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
3
2
3
2
t
t
y
t
t
x
en el punto ( )
2
,
1 .
25. Demuestre que la derivada de [ ]
)
(cos
sen
)
( x
f
x
x
F = es una función Par.
26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 0
3 =
+
− k
y
x sea tangente a la parábola
definida por 1
5
2 2
+
−
= x
x
y .
27. Hallar ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
x
x
dx
d
1
1
50
50
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
=
−
2
1
2
2
t
t
e
y
e
x
cuando 0
=
t
29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es
6
6
)
( 2
+
−
= x
x
x
f , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
parábola.
30. Si f es una función de en inversible y con regla de correspondencia 10
3
)
( 3
−
+
= x
x
x
f
entonces determine ( )
4
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
f
dx
d](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-123-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cáp.4 Aplicacionesde la Derivada
118
4.11.2 TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en
b
a, y
derivable en
b
a, y si )
(
)
( b
f
a
f entonces,
existe al menos un número “ 0
x ” en
b
a, tal
que 0
)
´( 0
x
f
Ejercicios Propuestos 4.12
1. Sea .
2
)
( 2
4
x
x
x
f
Hallar todos los valores de 0
x en el intervalo [-2,2] tales que 0
)
(
' 0
x
f
2. La función x
x
f
)
( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es
verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.
El teorema del valor medio para dos funciones sería:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-161-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
110
4.1 MONOTONÍA
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de una función.
4.1.2 Teorema de Monotonía
Sea ƒ una función continua en un
intervalo [ ]
b
a, y diferenciable en todo
punto interior de [ ]
b
a, . Entonces:
1. Si [ ]
b
a
x
x
f ,
,
0
)
´( ∈
∀
entonces ƒ es
creciente en [ ]
b
a,
2.Si [ ]
b
a
x
x
f ,
,
0
)
´( ∈
∀
entonces ƒ es
decreciente en [ ]
b
a, .
DEMOSTRACIÓN.
Se demostrará el primer inciso del teorema.
Suponga que 0
)
´(
x
f entonces 0
)
(
)
(
0
0
0
−
−
→ x
x
x
f
x
f
lím
x
x
; es decir 0
)
(
)
(
0
0
−
−
x
x
x
f
x
f
.
Suponga ahora que x
x
0 , entonces )
(
)
( 0 x
f
x
f , lo cual indica que f es creciente.
Si 0
x x
entonces 0
( ) ( )
f x f x
lo cual también indica que f es creciente
Para el caso 0
)
´(
x
f , la demostración es análoga.
Ejemplo 1
Analice la monotonía de
2
( ) 2 4 5
f x x x
= − +
SOLUCIÓN:
De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento
analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 4
4
)
´( −
= x
x
f
El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene
valores negativos, para lo cual factorizamos )
1
(
4
)
´( −
= x
x
f ; se observa que:
x )
´(x
f f
1
x Negativa (-) decrece
1
x Positiva(+) crece](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-171-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
112
Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores
extremos.
4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de
Máximos y Mínimos
Si f es una función continua definida en
un intervalo [ ]
b
a, entonces f alcanza un
valor máximo y un valor mínimo en [ ]
b
a, .
Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que
trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo
una interrogante ¿cómo obtenerlos?
Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es
decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los
denominados Puntos críticos.
4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.
Sea f una función definida en un
intervalo [ ]
b
a, que contiene a “ 0
x ”.
Entonces “ 0
x ” es llamado Punto Crítico si
es:
• Un punto extremo del intervalo, es
decir a
x =
0
, b
x =
0
. Estos serán
denominados Puntos Críticos de
Frontera.
O bien,
• Un punto donde la derivada es igual a
cero; es decir 0
)
´( 0
=
x
f . Estos serán
denominados Puntos Críticos](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-173-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
113
Estacionarios. (En estos puntos la recta
tangente es horizontal).
O bien,
• Un punto donde la derivada no existe;
es decir )
´( 0
x
f no está definida. Estos
serán denominados Puntos Críticos
Singulares. (En estos puntos la gráfica de f
tiene unos picos. Por ejemplo ( )
f x x
= , tiene un punto
crítico singular (pico) en 0
x = )
4.2.4 TEOREMA
Sea f una función definida en un
intervalo [ ]
b
a, que contiene a “ 0
x ”. Si
)
( 0
x
f es un valor extremo entonces “ 0
x ”
es un Punto Crítico.
Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración,
debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los
extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos
críticos estacionarios y puntos críticos singulares.
DEMOSTRACIÓN.
Sea )
( 0
x
f un valor máximo; es decir ( ) )
(
0 x
f
x
f ≥ , entonces: 0
)
(
)
( 0 ≤
− x
f
x
f
Si 0
x x
, dividiendo por 0
x
x − tenemos 0
)
(
)
(
0
0
≤
−
−
x
x
x
f
x
f
Ahora obteniendo límite 0
)
(
)
(
0
0 0
0
+
+
→
→
≤
−
−
x
x
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím resulta 0
)
´( 0 ≤
+
x
f .
Para 0
x
x , tenemos, obteniendo límite 0
)
(
)
(
0
0 0
0
−
−
→
→
≥
−
−
x
x
x
x
lím
x
x
x
f
x
f
lím resulta 0
)
´( 0 ≥
−
x
f
Suponga que f es derivable en 0
x , entonces 0
)
´( 0 =
x
f ; es decir 0
x es un punto crítico estacionario.
Suponga que f no es derivable en 0
x , entonces )
´( 0
x
f no existe; es decir 0
x es un punto crítico singular.
La demostración sería análoga para el caso de que )
( 0
x
f sea un valor mínimo.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-174-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
115
Ejemplo 1
Determinar los extremos para 5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f en [ ]
3
,
0
SOLUCIÓN:
De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.
1.Puntos críticos de Frontera: 0
0 =
x y 3
0 =
x
2.Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos
analizamos la derivada 4
4
)
´( −
= x
x
f
Ahora
0
)
1
(
4
0
)
´(
=
−
=
x
x
f
, entonces sería: 1
0 =
x .
3.Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada
notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera
debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo .
Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos
críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos
criterios más fuertes, para otros casos):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
)
1
(
11
5
3
4
3
2
3
5
5
0
4
0
2
0
2
2
=
=
+
−
=
=
+
−
=
f
f
f
Por inspección, se determina que:
En 3
0 =
x se encuentra el Valor Máximo f .
Y en 1
0 =
x se encuentra el Valor Mínimo de f .
Ejemplo 2
Determinar los extremos para 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − + en [ ]
2,3
−
SOLUCIÓN:
Primero determinamos los puntos críticos.
1.Puntos críticos de Frontera: ´0 2
x = − y 0 3
x =
2.Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada
2
´( ) 3 6
f x x x
= − , tenemos:
2
´( ) 0
3 6 0
3 ( 2) 0
f x
x x
x x
=
− =
− =
Entonces serían: 0
0 =
x y 0 2
x = .
3.Puntos críticos Singulares: No hay.
Bien, ahora evaluando en la función:
( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 2
3 2
2 2 3 2 3 8 12 3 17
3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3
(0) 3
(2) (2) 3(2) 3 1
f
f
f
f
− = − − − + = − − + = −
= − + = − + =
=
= − + = −](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-176-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
116
De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto
en 0 3
x = como en 0 0
x = ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en 0 2
x = − .
Ejercicios Propuestos 4.2
1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f en [ ]
2,3
−
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= − en [ ]
3,3
−
3. 3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − + en [ ]
5,3
−
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f en [ ]
1,1
−
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f en [ ]
2,2
−
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f en [ ]
1,2
−
Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos
los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo
de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que
bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar
máximos o mínimos cuando no lo son.
4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
Sea f una función de variable real. Sea
“ 0
x ” un punto del dominio de f . Entonces:
1. )
( 0
x
f es un valor máximo local de f , si
existe un intervalo ( )
b
a, en el dominio
de f que contiene a “ 0
x ” tal que )
( 0
x
f
es el valor máximo de f en ( )
b
a, .
2. )
( 0
x
f es un valor mínimo local de f , si
existe un intervalo ( )
b
a, en el dominio
de f que contiene a “ 0
x ” tal que )
( 0
x
f
es el valor mínimo de f en ( )
b
a, .
3. )
( 0
x
f es un valor extremo local de f ,
si es un máximo o un mínimo local.
Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos.
Observe el siguiente gráfico:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-177-320.jpg)
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118
Ejemplo
Para 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +
Analizando la primera derivada ( )
´( ) 3 2
f x x x
= − se observó que:
x )
´(x
f f
0
x Positiva (+) crece
0 2
x
Negativa (-) decrece
2
x Positiva (+) crece
Entonces:
1. Como antes de 0
x = la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3
f = es un
máximo local.
2. Como antes de 2
x = la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1
f = − es un
mínimo local.
Ejercicios Propuestos 4.3
Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5
3
4
( )
5 3
x
f x x
= −
3. 3
1
( ) 4 2
3
f x x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no
tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos
permite hacerlo.
Ejemplo 1
Trazar la gráfica de 5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f en [ ]
3
,
0 .
SOLUCIÓN:
Se ha obtenido 1
0 =
x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este
punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:
•
•
•
5
4
2
)
( 2
+
−
= x
x
x
f
( )
3
,
1
( )
5
,
0
( )
11
,
3](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-179-320.jpg)
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119
Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el
análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de
funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector
compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y
además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en
esta sección.
Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.
Ejemplo 2
Graficar 3 2
( ) 3 3
f x x x
= − + en [ ]
2,3
−
SOLUCIÓN:
Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 0
0 =
x y 0 2
x = , también se determinó que antes de
0
0 =
x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto 0 2
x = ; y después
de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:
Ejercicios Propuestos 4.4
Elabore la gráfica de:
1. 17
12
4
3
)
( 2
3
4
+
−
−
= x
x
x
x
f
2.
5 3
3 20
y x x
= −
3.
3
1
3
9 2
y x x
= − +
4. 5
12
3
3
)
( 2
3
−
+
−
= x
x
x
x
f
5. ( ) ( )4
2
1
−
= x
x
f
6. ( )4
3
1
)
( −
= x
x
f
Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser
suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son
funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su
.
máx
y
mín
y
3 2
( ) 3 3
f x x x
= − +](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-180-320.jpg)
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129
2
2 2
2 2 2
1 1
1 1 1
1 0
x
x
x x
lím
x
x
x
x x x
→∞
= = = = ∞
+ + +
Por tanto, no hay asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA:
En ciertas funciones se cumple que: ( )
lím ( ) 0
x
f x mx b
→∞
− + =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
donde
x
x
f
m
x
)
(
lím
∞
→
= y [ ]
mx
x
f
b
x
−
=
∞
→
)
(
lím
Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua
b
mx
y +
=
Entonces, para esta función sería:
2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1
x x x x
x
x
x
x x
m lím lím lím lím
x x x x x
x
x x
→∞ →∞ →∞ →∞
+
= = = = = =
+ +
+
2 2 2
1
1 2 2
x x x
x x x x x
b lím x lím lím
x x x
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− − −
⎡ ⎤
= − = = = −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ − −
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Por tanto, hay una asíntota oblicua 1
y x
= −
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay
• P.C.E:
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2 1 1
´( )
1 1
2 2 2
1 1
2
´( )
1
x
x x x
x
f x D
x x
x x x x x
x x
x x
f x
x
+ −
⎡ ⎤
= =
⎢ ⎥
+ +
⎣ ⎦
+ − +
= =
+ +
+
=
+
por lo tanto, tenemos P.C.E: 0
=
x y 2
x = −
• P.C.S: no hay
Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de ´
f
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
1. En 2
x = − la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo
local.
2. En 0
x = la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo
local.
Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
2
−
+
+
+
+
+
+ −
−
−
−
−
−
´
f
f
+
+
+
+
+
+
crece crece
decrece
0](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-190-320.jpg)
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131
Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener
condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función.
Ejemplo
Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
1. Dom f =
2. f continua en ( ) ( )
∞
∪
−∞ ,
0
0
,
3. 0
)
1
( =
−
f , 0
)
4
(
)
(2
3 =
= f
f , 2
)
0
(
)
3
( =
=
− f
f , 4
)
2
( =
−
f , 2
)
3
( −
=
f , 1
)
1
( =
f
4. ε
−
⇒
−
∀
∃
ε
∀ 1
)
(
:
;
0
,
0 x
f
N
x
x
N
5. ε
−
⇒
∂
∀
∃∂
ε
∀ 3
)
(
0
:
;
0
,
0 x
f
x
x
6. −∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
7. [ ] 0
)
3
(
)
(
lím =
−
−
+∞
→
x
x
f
x
8. 0
)
2
(
' =
−
f ,
9. 0
)
(
'
x
f para 3
2
∨
−
x
x ,
10. 0
)
(
'
x
f ,para 3
0
0
2
∨
− x
x
11. 0
)
1
(
'
' =
f
12. 0
)
(
'
'
x
f para 3
1
3
∨
−
x
x
13. 0
)
(
'
'
x
f para 3
1
0
0
3
∨
∨
− x
x
x
SOLUCIÓN:
Interpretemos las condiciones, tenemos:
1. Dominio de la función.
2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede
esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición.
3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano.
4. 1
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
. Asíntota horizontal 1
=
y , para x negativos.
5. 3
)
(
lím
0
=
+
→
x
f
x
. La función se aproxima a 3, por la derecha de 0.
6. −∞
=
−
→
)
(
lím
0
x
f
x
. Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0
7. [ ] 3
)
(
lím −
=
+∞
→
x
x
f
x
Asíntota oblicua 3
−
= x
y para x posoitivos.
8. Punto crítico estacionario en 2
−
=
x
9. f crece en los intervalos ( )
2
,−
−∞ o en ( )
∞
,
3
10. f decrece en los intervalos ( )
0
,
2
− o en ( )
3
,
0
11. Punto de inflexión: ( )
1
,
1
12. f es cóncava hacia arriba en ( )
3
,−
−∞ o en ( )
3
,
1
13. f es cóncava hacia abajo en ( )
0
,
3
− o en ( )
1
,
0 o en ( )
∞
,
3
Entonces la grafica sería:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-192-320.jpg)
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133
2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
ƒ )
(
)
( x
f
x
f −
=
ƒ 2
)
(
lím −
=
−∞
→
x
f
x
ƒ +∞
=
+
→
)
(
1
x
f
lím
x
ƒ ∞
=
+
−
→
)
(
lím
1
x
f
x
ƒ 0
)
2
/
3
(
'
)
0
(
'
)
3
(
' =
=
=
− f
f
f
ƒ ( ) 0
3 =
−
f , ( ) 1
2
3 −
=
f ,
2
1
)
2
( −
=
f , 0
)
0
( =
f
ƒ 0
)
(
'
x
f en ( )
1
,
0 y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,
2
3
ƒ 0
)
2
(
'
' =
f
3. Bosqueje el gráfico de una función f tal que:
ƒ Dominio f =IR
ƒ Contínua en ( ) ( )
∞
∪
−∞ ,
2
2
,
ƒ f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0
ƒ ε
ε
+
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ 1
)
(
2
0
:
;
0
,
0 x
f
x
x
ƒ M
x
f
x
x
M −
⇒
∂
−
∀
∃∂
∀ )
(
2
0
:
;
0
,
0
ƒ ε
−
⇒
−
∀
∃
ε
∀ 2
)
(
:
;
0
,
0 x
f
N
x
x
N
ƒ [ ] 0
)
(
lím =
−
+∞
→
x
x
f
x
ƒ ( ) ( ) ( )
2
,
0
,
0
)
(
'
;
,
2
0
,
,
0
)
(
' ∈
∞
∪
−∞
∈
x
para
x
f
x
para
x
f
ƒ ( ) ( ) ( )
∞
∪
−
∈
−
−∞
∈
,
2
2
,
1
,
0
)
(
'
'
;
1
,
,
0
)
(
'
' x
para
x
f
x
para
x
f
4. Suponga que ( )
2
'( ) ( 3)( 1) 2
f x x x x
= − − + y (1) 0
f = , ( )
2 5
f − = , (3) 5
f = − ,
esboce una gráfica para f .
5. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 4) (5) 0
f f
− = = , (0) 8
f = ,
(1) 6
f = , ( )
1 7
f − = − , ( )
2 3
f = − y además la gráfica de su derivada es:
6. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 2) 4
f − = , (1) 0
f = , (2) 1
f = ,
(3) 3
f = y además la gráfica de su derivada es:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-194-320.jpg)
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135
4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS
(TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [ ]
b
a, y
derivable en ( )
b
a, entonces, existe al
menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal que
a
b
a
f
b
f
x
f
−
−
=
)
(
)
(
)
´( 0
Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo
cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el
cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual
pendiente.
Demostración:
Sea )
(
)
(
)
( x
g
x
f
x
S −
= donde g es la recta entre los puntos ( )
)
(
, a
f
a y ( )
)
(
, b
f
b ,
entonces podemos obtener su ecuación:
( )
( )
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
y
x
x
m
y
y
−
−
−
=
−
−
=
−
)
(
)
(
)
(
0
0
, es decir
( )
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
g
y −
−
−
+
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
b- a
f
(
b
)
-
f
(
a
)
a b
)
(a
f
)
(b
f
0
x
)
(x
f
y =
Recta Tangente
Recta Secante](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-196-320.jpg)
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136
Reemplazando, resulta: ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
f
x
S
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Obtengamos ( ) 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
a
a
b
a
f
b
f
a
f
a
f
a
S y
( ) 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
−
= a
b
a
b
a
f
b
f
a
f
b
f
b
S
Por tanto, ( )
b
a
x ,
0 ∈
∃ tal que 0
)
´( 0 =
x
S
Para lo cual ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
a
b
a
f
b
f
x
f
x
S
)
(
)
(
)
´(
)
´( y 0
)
(
)
(
)
´(
)
´( 0
0 =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
a
b
a
f
b
f
x
f
x
S
Por lo último
a
b
a
f
b
f
x
f
−
−
=
)
(
)
(
)
´( 0 L.Q.Q.D.
Ejemplo 1
Encuentre el número “ 0
x ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si
2
( )
f x x
= en [ ]
1,2
− .
SOLUCIÓN:
Observe que f es continua en [ ]
1,2
− y como ´( ) 2
f x x
= por tanto es diferenciable en ( )
1,2
− se
cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de 0
x en ( )
1,2
− tal que
( )
0
(2) ( 1)
´( )
2 1
f f
f x
− −
=
− −
está garantizada y lo podemos encontrar.
Para lo cual 0 0
´( ) 2
f x x
= y
( )
(2) ( 1) 4 1 3
1
2 1 3 3
f f
− − −
= = =
− −
Igualando y despejando, resulta:
0
0
2 1
1
2
x
x
=
=
.
Geométricamente.
Recta Tangente
Recta Secante
2
( )
f x x
=
[ ]
0.5](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-197-320.jpg)
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137
Ejemplo 2
Use el teorema del valor medio para demostrar que: b
a
a
sen
b
sen −
≤
−
SOLUCIÓN:
Usemos ( )
f x senx
= . Note que es una función continua en [ ]
,
a b y derivable en ( )
,
a b por tanto de
acuerdo al teorema de Lagrange , existe un ( )
0 ,
x a b
∈ tal que 0
( ) ( )
´( )
f b f a
f x
b a
−
=
−
.
Reemplazando y simplificando
0
cos
senb sena
x
b a
−
=
−
Por otro lado
0
0 cos 1
x
≤ ≤
Entonces 0 1
senb sena
b a
−
≤ ≤
−
Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando.
1
senb sena
b a
senb sena b a
−
≤
−
− ≤ −
Que es lo que se quería demostrar.
Ejemplo 3
Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de
distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una
velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70
km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4
minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora.
SOLUCIÓN:
Sea ( )
e f t
= , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el
cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento.
Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:
7
105
4
60
m
e km km
v
h
t horas
Δ
= = =
Δ
Sea 1
t el momento en que se le mide al camión una velocidad de 1 90km
v
h
= y sea 2
t el momento en que
se mide una velocidad de 2 70km
v
h
= . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un ( )
0 1 2
,
t t t
∈ en el cual
( )
0
´
de
f t
dt
= , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media (105km
h
), lo cual
demuestra que ha superado el límite de velocidad (100km
h
).
Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-198-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
138
4.6 TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [ ]
b
a, y
derivable en ( )
b
a, y si )
(
)
( b
f
a
f = entonces,
existe al menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal
que 0
)
´( 0 =
x
f
El teorema del valor medio para dos funciones sería:
Ejercicios Propuestos 4.7
1. La función x
x
f =
)
( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es
verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.
2. Sea .
2
)
( 2
4
x
x
x
f −
= Hallar todos los valores de 0
x en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de
Rolle.
3. La altura que alcanza una bola t segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:
32
48
16
)
( 2
+
+
−
= t
t
t
f .
a) Comprobar que f (1) = f (2).
b) Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?
4. Sea .
,
,
;
)
( 2
IR
x
x
x
f ∈
∂
+
+
= δ
β
α
β
α Encontrar el valor de 0
x que satisfaga el teorema del
valor medio para derivadas en [a,b].
5. Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un
camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al
pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha
superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.
6. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos cos
b a b a
− ≤ −](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-199-320.jpg)
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139
7. Considere
4
5
( )
f x x
= en el intervalo [ ]
1,2
− . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de
Lagrange. Justifique.
8. Considere ( ) 3
f x x
= en el intervalo [ ]
1,8
− . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema
de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.
4.7 TEOREMA DE CAUCHY
Sean f y g funciones continuas en [ ]
b
a, y diferenciables en
( )
b
a, entonces, existe al menos un número “ 0
x ” en ( )
b
a, tal
que
)
(
)
(
)
(
)
(
)
´(
)
´(
0
0
a
g
b
g
a
f
b
f
x
g
x
f
−
−
=
No olvide demostrarlo.
Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.
4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL
Suponga que 0
)
(
lím
)
(
lím =
=
→
→
x
g
x
f
u
x
u
x
o también
∞
=
=
→
→
)
(
lím
)
(
lím x
g
x
f
u
x
u
x
. Si
)
´(
)
´(
lím
x
g
x
f
u
x→
existe en sentido finito
o infinito; entonces:
)
´(
)
´(
lím
)
(
)
(
lím
x
g
x
f
x
g
x
f
u
x
u
x →
→
=
Donde −∞
+∞
= −
+
,
,
,
, a
a
a
u
No olvide demostrarlo.
Ejemplo 1
Calcular
x
x
x
sen
lím
0
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
1
0
cos
1
cos
lím
sen
lím
0
0
=
=
=
→
→
x
x
x
x
x](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-200-320.jpg)
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140
Ejemplo 2
Calcular ( ) x
x
x
1
0
1
lím +
→
SOLUCIÓN:
Transformando la expresión primero, resulta:
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x
+
+
→
+
→
→
→
=
=
=
+
1
ln
lím
1
ln
0
1
ln
0
1
0
0
1
lím
lím
1
lím
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
1
1
1
1
lím
)
1
ln(
lím
0
0
=
+
=
+
→
→
x
x
x
x
x
Por tanto, ( ) e
e
x x
x
=
=
+
→
1
1
0
1
lím
Ejemplo 3
Calcular
3
0
sen
lím
x
x
x
x
−
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
2
0
3
0 3
1
cos
lím
sen
lím
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
→
→
Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea
necesario:
6
1
6
sen
lím
3
1
cos
lím
0
2
0
−
=
−
=
−
→
→ x
x
x
x
x
x
Ejemplo 4
Calcular
3
2
4
1
5
3
lím 2
2
−
+
+
−
∞
→ x
x
x
x
x
SOLUCIÓN:
Note que aquí tenemos:
∞
∞
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
2
8
5
6
lím
+
−
∞
→ x
x
x
Volviendo a aplicar L´Hopital resulta:
4
3
8
6
lím =
∞
→
x
Ejemplo 5
Calcular ( ) x
x
x 2
tg
1
2
lím
π
→
−
SOLUCIÓN:
Observe que aquí tenemos ∞
1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente.
Transformando la expresión primero, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
x
g
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x 2
cot
1
2
2
tg
2
ln
lím
2
ln
tg
1
2
ln
1
2
tg
1
lím
lím
2
lím
π
→
π
π
−
−
→
−
→
π
→
=
=
=
−](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-201-320.jpg)
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142
Misceláneos
1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y
concavidad, extremos locales y puntos de inflexión
a)
1
2
)
(
−
−
=
x
x
x
f h) 5
5
)
( 2
3
−
−
+
= x
x
x
x
f
b)
1
2
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f i) 3
5
)
( x
x
x
f −
=
c)
1
)
(
2
−
=
x
x
x
f j) ( )
8
)
( 2
3
2
−
= x
x
x
f
d)
1
2
)
(
2
−
=
x
x
f k)
3
4
4
)
(
2
2
+
−
−
=
x
x
x
x
x
f
e) ( )
x
x
x
f −
= 8
)
( 3
f) 1
)
( 3
2
+
=
x
xe
x
f
g)
x
x
x
f
1
)
(
2
−
=
2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
• f es continua en toda su extensión
• 3
)
4
( −
=
−
f , 0
)
0
( =
f , 2
)
3
( =
f
• 0
)
4
´( =
−
f , 0
)
3
´( =
f , 0
)
´(
x
f para 4
−
x , 0
)
´(
x
f para 3
4
− x ,
0
)
´(
x
f para 3
x .
• 0
)
4
´´( =
−
f , 0
)
0
´´( =
f , 0
)
´´(
x
f para 4
−
x
• 0
)
´´(
x
f para 0
4
− x , 0
)
´´(
x
f para 0
x
3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
• +∞
=
→
)
(
lím x
f
a
x
0
)
(
lím =
−∞
→
x
f
x
−∞
=
+∞
→
)
(
lím x
f
x
e
d
b
a
0
• 0
)
(
)
( =
= e
f
c
f , 5
)
( =
b
f , 3
)
0
( =
f , 1
)
(
)
( =
= d
f
a
f
• 0
)
´´( =
b
f , )
´´(c
f no existe, 0
)
´( =
d
f , 0
)
´´(
d
f ,
• ( ) ( )[ ]
0
)
´(
,
,
∪
−∞
∈
∀ x
f
d
c
a
x , ( ) ( )[ ]
0
)
´(
,
,
+∞
∪
∈
∀ x
f
d
c
a
x
• ( ) ( )[ ]
0
)
´´(
,
,
∪
−∞
∈
∀ x
f
b
a
a
x , ( ) ( )[ ]
0
)
´´(
,
,
+∞
∪
∈
∀ x
f
c
c
b
x
4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´
f es:
Suponga que 1
)
1
( −
=
−
f
x
y
1
−
2
3
−](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-203-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES
Sea la variación en
)
(x
f
y = y cuando varía se la se la calcula
empleando la formula
x
x
x
f
y ∆
≈
∆ )
´(
Ejemplo
El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen
del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor.
SOLUCIÓN:
El volumen del cubo se lo obtiene con la formula .
3
l
V =
Como entonces
cm
l 4
.
11
= ( ) 3
3
5
.
1481
4
.
11 cm
V =
= .
Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: , se propaga
un error en el valor del volumen calculado.
cm
l 05
.
0
±
=
∆
Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: l
dl
dV
V ∆
≈
∆ Es decir:
3
2
2
5
.
19
)
05
.
0
(
)
4
.
11
(
3
3
cm
V
V
l
l
V
±
≈
∆
±
≈
∆
∆
≈
∆
Esto quiere decir que ( ) 3
5
.
19
5
.
1481 cm
V ±
=
Ejercicios Propuestos 5.3
1. En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular valores aproximados de los números dados.
Compare con los valores reales:
a) 402 b) 3 91
.
26 c) 9
.
35 d) 6 05
.
64
2. El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de
espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo.
3. Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 ± 0.005
pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error.
4. Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precisión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un
radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
La ecuación de la recta tangente en el punto es
es decir
( )
)
(
, 0
0 x
f
x
[ 0
0
0 )
´(
)
( x
x
x
f
x
f
y −
=
− ] [ ]
0
0
0 )
´(
)
( x
x
x
f
x
f
y −
+
= .
En la vecindad de ,
0
x )
(x
f
y ≈ ; por tanto una buena aproximación
para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese
punto; es decir:
[ ]
0
0
0 )
´(
)
(
)
( x
x
x
f
x
f
x
f −
+
≈ .
141](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-219-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante
un polinomio lineal.
Para mayor orden tenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ]n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f 0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
!
)
(
...
!
3
)
´´´(
!
2
)
´´(
)
´(
)
(
)
( −
+
+
−
+
−
+
−
+
≈
El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función.
NO OLVIDE DEMOSTRARLO.
Si 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:
0 =
x
[ ] [ ] [ ] ...
!
3
)
0
´´´(
!
2
)
0
´´(
)
0
´(
)
0
(
)
(
3
2
+
+
+
+
≈ x
f
x
f
x
f
f
x
f
Ejemplo
Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para y empleelo para calcular .
x
e
x
f =
)
( 1
.
0
e
SOLUCIÓN:
[ ] [ ] [ ] [ ]4
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
!
4
)
(
!
3
)
´´´(
!
2
)
´´(
)
´(
)
(
)
( x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
IV
−
+
−
+
−
+
−
+
≈
[ ] [ ] [ ] [ ]
24
6
2
1
0
!
4
0
!
3
0
!
2
0
4
3
2
4
0
3
0
2
0
0
0
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
e
e
x
x
+
+
+
+
≈
−
+
−
+
−
+
−
+
≈
bien, ahora reemplazando 1
.
0
=
x resulta:
000004166
.
0
000166666
.
0
005
.
0
1
.
0
1
)
1
.
0
( +
+
+
+
≈
f
105170833
.
1
)
1
.
0
( ≈
f
Ejercicios Propuestos 5.4
1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para:
a) ; n=4 c)
( ) x
e
x
f 3
= x
x
f π
= sen
)
( ; n=3
b) ; n=4 d)
x
e
x
x
f −
= 2
)
(
1
1
)
(
2
+
=
x
x
f ; n=4
d)
2
cosh
)
(
x
x
e
e
x
x
f
−
+
=
= ; n=10
2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de .
0
x
a)
x
x
f
1
)
( = ; n=4; 1
0 =
x c) ; n=4;
x
x
f ln
)
( = 1
0 =
x
b) x
x
f =
)
( ; n=4; 4
0 =
x
142](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-220-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de
acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.
Ejemplo 1
Calcular ∫ dx
x2
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2.
C
x
C
x
dx
x +
=
+
+
=
+
∫ 3
1
2
3
1
2
2
Ejemplo 2
Calcular
∫ dx
x
1
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2.
C
x
dx
x
dx
x
+
=
=
+
−
+
−
−
∫
∫ 1
1
2
1
2
1
2
1
1
Ejemplo 3
Calcular
∫ +
dx
x2
4
1
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 17.
( ) C
dx
x
x
+
=
+
∫ 2
2
2
arctan
2
1
2
1
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares
hacemos uso de las siguientes propiedades.
1.2.2 PROPIEDADES.
La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es
decir:
1. [ ]
∫
∫ ∫ ±
=
± dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)
(
)
(
2.
∫
∫ ∈
= R
k
dx
x
f
k
dx
x
kf ;
)
(
)
(
4](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-226-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Entonces, aquí sería también x
u ln
= y dx
dv = . Entonces dx
x
du
1
= y
x
dx
v =
=
∫
Por tanto:
C
x
x
x
dx
x
x
x
x
xdx
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∫
∫ ln
1
ln
ln
Ejemplo 6
Calcular
∫ dx
x
x arctg
SOLUCIÓN:
Tomamos x
u y
arctg
= xdx
dv = , entonces: dx
x
du
2
1
1
+
= y
2
2
x
v =
Por tanto:
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
xdx
x
∫
∫
∫
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
arctg
1
1
2
2
arctg
arctg
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta:
1
1
1
1 2
2
2
+
−
=
+ x
x
x
Reemplazando
∫ ∫
∫
∫ −
=
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
x
arctg
1
1
1
1
1
1 2
2
2
2
FINALMENTE: [ ] C
x
x
x
x
xdx
x +
−
−
=
∫ arctg
arctg
arctg 2
1
2
2
1
Ejercicios Propuestos 1.3
Encuentre las antiderivadas de:
1.
∫ dx
e
x x
3
2. ( )
∫ + dx
e
x x
2
1
3. ( )
∫ − xdx
x 3
sen
1
2
4. ( )
∫ − dx
x
x 1
3
sen
5.
∫ −
dx
e
x x
2
2
6. ( )
∫ +
− dx
e
x
x x
2
2
2
3
7. ( )
∫ − xdx
x ln
1
2
11. ( )
∫ dx
x
x 2
arctg
12.
∫ dx
e x
13.
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+ dx
x
x 2
1
ln
14.
∫ dx
x
arcsin
15.
∫ xdx
arctg
16. ( )
∫ dx
x
tan
arc
17. ( )
∫ dx
x
ln
cos
12](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-234-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
TIPO III. Integrales de la forma: nxdx
x
m cos
sen
∫ , ,
nxdx
x
m sen
sen
∫
nxdx
x
m cos
cos
∫
En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como
sea conveniente:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
x
n
m
x
n
m
nx
mx
x
n
m
x
n
m
nx
mx
x
n
m
x
n
m
nx
mx
−
+
+
=
−
−
+
−
=
−
+
+
=
cos
cos
2
1
cos
cos
cos
cos
2
1
sen
sen
sen
sen
2
1
cos
sen
Ejemplo 1
Calcular: dx
x
x
∫ 3
cos
2
sen
SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:
( ) ( )
[ ]
( )
C
x
x
dx
x
xdx
dx
x
x
dx
x
x
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
−
+
+
=
∫ ∫
∫
∫
cos
5
5
cos
2
1
sen
5
sen
2
1
3
2
sen
3
2
sen
2
1
3
cos
2
sen
Ejemplo 2
Calcular xdx
x
x 3
sen
2
sen
sen
∫
SOLUCIÓN:
Agrupando y aplicando identidades, tenemos:
( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
C
x
x
x
xdx
xdx
xdx
dx
x
x
x
x
xdx
x
xdx
x
dx
x
x
x
x
xdx
x
x
xdx
x
x
xdx
x
x
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
−
−
=
−
−
+
−
=
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
cos
4
4
cos
6
6
cos
4
1
2
sen
4
sen
6
sen
4
1
2
sen
4
sen
2
1
0
sen
6
sen
2
1
2
1
cos
3
sen
3
cos
3
sen
2
1
3
sen
cos
3
sen
3
cos
2
1
3
sen
2
1
cos
2
1
cos
2
1
3
sen
2
sen
sen
3
sen
2
sen
sen
16](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-238-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Ejemplo 2
Calcular
( )
∫ + 2
3
2
3
9
x
dx
x
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos t
x tg
3
= entonces dt
t
dx 2
sec
3
=
Reemplazando y resolviendo, resulta:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] C
t
t
tdt
tdt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
tdt
t
t
x
dx
x
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
+
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
cos
sec
3
sen
tg
sec
3
sec
tg
sec
sec
tg
3
sec
1
sec
tg
3
sec
tg
tg
3
sec
tg
3
sec
27
sec
tg
81
sec
3
sec
tg
81
9
tg
9
sec
3
tg
27
sec
3
9
tg
3
tg
3
9
2
2
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
Ahora por trigonometría, del cambio de variable
3
tg
x
t = tenemos el siguiente triángulo:
9
2
+
x
t
Por tanto
3
9
sec
2
+
=
x
t y
9
3
cos
2
+
=
x
t
FINALMENTE,
( )
C
x
x
x
dx
x
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
+
∫ 9
3
3
9
3
9
2
2
2
3
2
3
x
3
22](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-244-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Entonces
3
arcsen
u
t = y
3
9
cos
2
u
t
−
=
Por tanto,
[ ]
C
u
u
u
C
t
t
t
du
u
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
+
=
−
∫
3
9
3
3
arcsen
2
9
cos
sen
2
9
9
2
2
Finalmente, como 2
+
= x
u , reemplazando resulta:
( ) ( )
C
x
x
x
C
u
u
u
du
u
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
∫
9
2
9
2
3
2
arcsen
2
9
9
9
3
arcsen
2
9
9
2
2
2
Ejercicio Propuestos 1.5
Encuentre las antiderivadas de:
1.
∫ − dx
x
x 2
2
9
2.
( )
∫ − 2
3
2
1 x
dx
3.
( )
∫ −
dx
x
x
2
3
2
2
1
4.
∫ −
dx
x
x
2
2
9
5.
∫ + 9
2
x
x
dx
6.
∫ − 9
2
3
x
x
dx
7.
∫ −1
2
4
x
x
dx
8.
∫ −
dx
x
x
2
2
2
9.
∫ − 2
2
4 x
x
dx
x
10.
( )
∫ +
+
3
2
13
4x
x
dx
11.
∫ + x
e
dx
2
1
12.
∫ +
+ 1
tg
4
tg
sec
2
2
x
x
xdx
13.
∫ + x
xdx
x
4
sen
9
cos
sen
14.
∫ + 2
1
arctg
x
xdx
x
15.
( )
∫ +
dx
x
e
x tanx
arc
2
3
2
1
16.
∫ dx
x
arc
x cos
2
17.
∫ −
− x
x
x
dx
x
2
ln
ln
4
1
ln
18.
( )
∫ −
+ 4
2
1
1 x
x
xdx
19.
∫ +
− 2
2
4
3
x
x
dx
x
20.
∫ +
+ 2
3 4
8
11
x
x
dx
x
25](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-247-320.jpg)
x
C
x
B
x
x
A
x +
−
+
+
−
=
+ 4
2
5
4
2
5 2
2
Evaluando para 0
=
x ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]( )
5
2
5
2
0
4
0
2
5
0
4
0
2
0
5 2
2
=
=
+
−
+
+
−
=
+
A
A
C
B
A
Para 2
=
x , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]( )
( )
5
54
2
1
22
2
4
2
2
5
2
4
2
2
2
5
5
2
2
2
=
+
=
+
−
+
+
−
=
+
C
C
C
B
A
Evaluando para 1
=
x y empleando lo valores de A y C, tenemos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]( )
( ) ( )
[ ]
10
23
2
2
7
1
4
1
2
5
1
4
1
2
1
5
5
54
5
2
5
54
2
5
2
2
=
+
−
+
=
+
−
+
+
−
=
+
B
B
B
Ahora, integrando resulta
( )
( )
( ) C
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
+
−
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
=
+
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
arctg
5
54
5
4
ln
10
23
ln
5
2
1
2
1
5
54
5
4
ln
10
23
ln
5
2
5
4
1
5
54
5
4
4
2
10
23
1
5
2
5
4
4
2
5
4
2
5
2
2
2
2
2
2
5
54
10
23
5
2
2
3
2
Ejemplo 2
Calcular
∫ +
−
dx
x
x
x
3
3
1
SOLUCIÓN:
Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del
denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene:
x
x
x
x
x
x
+
+
−
=
+
−
3
3
3
1
1
1
La integral sería ahora:
28](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-250-320.jpg)
x
C
x
B
x
A
x +
+
+
=
+ 2
1
1 2
Evaluando para 0
=
x , resulta:
( ) ( )
[ ]( )
1
)
1
(
1
0
)
0
(
2
1
0
1
0 2
=
=
+
+
+
=
+
A
A
C
B
A
Evaluando para 1
=
x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( ) ( )
[ ]( )
0
2
2
2
2
1
)
1
(
2
1
1
1
1
1 2
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
C
B
C
B
C
B
Evaluando para 1
−
=
x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( )
( ) ( )
( )
[ ]( )
2
2
2
2
0
1
1
2
1
1
1
1
1 2
−
=
−
−
+
=
−
+
−
+
+
−
=
+
−
C
B
C
B
C
B
Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
+
2
2
0
2
C
B
C
B
Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B:
2
1
2
4
−
=
−
=
B
B
Entonces
1
2
1
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
=
C
C
B
C
OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue:
En la expresión ( ) ( )
[ ]( )
x
C
x
B
x
A
x +
+
+
=
+ 2
1
1 2
simplificamos hasta obtener un polinomio
reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:
( ) A
Cx
x
B
A
x
Cx
Bx
A
Ax
x
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
2
2
2
2
1
2
1
De la última expresión, rápidamente se puede decir que:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
=
A
C
B
A
1
1
2
0
Por tanto
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
1
2
1
1
C
B
A
En fin, ahora integrando tenemos:
29](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-251-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
6. 2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
TEOREMA
Una serie ∑ de términos no negativos converge si y
n
a
sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.
6.2.1 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE
SERIES DE TERMINOS POSITIVOS.
6.2.1.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea f una función continua positiva, no creciente,
definida en el intervalo [ )
∞
,
1 y suponga que ( )
n
f
an
=
para todo entero positivo . Entonces la seria ∑
n
∞
=1
n
n
a
converge si y sólo si la integral impropia
∫
∞
1
)
( dx
x
f
converge.
Ejemplo 1
Determine si la SERIE ARMÓNICA
∑
∞
=1
1
n
n
converge o diverge
SOLUCIÓN:
Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos
decrecientes.
[ ] ∞
=
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
∫
∫ N
lím
x
lím
x
lím
x n
N
n
N
n
ln
ln
1
1
1
1
1
Por tanto la serie diverge.
111](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-271-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
Ejemplo 2.
Sea la serie “p”
∑
∞
=1
1
n
P
n
, determine para qué valores de “ ” converge y para que
p
valores diverge.
SOLUCIÓN:
Analizando la integral
∫
∫ ∞
→
∞
=
N
P
n
P
x
lím
x 1
1
1
1
Si 1
=
P , tenemos la serie armónica, que es divergente
Si , la integración es diferente
1
≠
p
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
∞
→
+
−
+
−
∞
→
+
−
∞
→
∞
→ ∫
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
P
P
N
lím
p
p
N
lím
p
x
lím
x
lím
P
n
P
P
n
N
P
n
N
P
n
Ahora, si 1
P ,
1
1
1
1
1
0
1
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
∞ −
p
P
P
P
3
2
1
, la integral converge
Si 1
P , ∞
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
∞
∞
−
1
1
1
1
P
P
P
3
2
1
la integral diverge
En conclusión, la serie
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
=
∑
∞
= diverge
P
Si
p
a
converge
P
Si
n
n
P
1
1
1
1
1
1
Ejemplo 3
Determine si la serie
∑
∞
=2
ln
1
n
n
n
converge o diverge.
SOLUCIÖN:
Aplicando el criterio de la integral
( ) ( )
[ ] ∞
=
−
=
∫
∞
∞
→
2
ln
ln
ln
ln
ln
1
2
N
lím
x
x x
Por tanto diverge
Ejercicios propuestos 6.2
Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie
numérica
1)
( )
∑
+∞
=2
2
ln
1
n
n
n
2)
∑ 3)
+∞
=
−
1
n
n
ne
( ) ( )
∑
+∞
=
+
+
1
1
ln
1
1
n
n
n
112](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-272-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
Ejemplo 1
Analice la serie ( )
∑
∞
=
+
−
1
2
1
2
3
1
n
n
n
n
n
.
SOLUCIÓN:
Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz.
0
3
3
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
=
=
=
=
+
∞
→
+
∞
→
+
∞
→
∞
→ n
lím
n
lím
n
lím
a
lím
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente
convergente.
Ejemplo 2
Analice la serie
( )
[ ]
∑
∞
=
+
1
1
ln
1
n
n
n
.
Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz.
( )
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ]
0
1
1
ln
1
1
ln
1
1
ln
1
=
∞
=
+
=
+
=
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→ n
lím
n
lím
n
lím
a
lím
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente
convergente.
Ejercicios Propuestos 6.4
Determine la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de las siguientes
series numérica:
a. ( )
( )
∑
+∞
=
−
+
−
1
1
4
3
1
1
1
n
n
n
b. ( )
∑
+∞
=
−
1
!
1
n
n
n
n
c. ( )
( )
∑
+∞
=
+
+
−
1
1
2
!
1
2
5
1
n
n
n
n
d. ( )
∑
+∞
=
−
−
1
3
1 2
1
n
n
n
n
n
e. ( )
∑
+∞
=
−
1
1
ln
1
n
n
n
f. L
+
•
+
•
+
•
+
• 8
7
1
6
5
1
4
3
1
2
1
1
120](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-280-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
Ahora, en 0
=
x , tenemos una serie no convergente.
( )
∑
∞
=
−
0
1
0
n
n
n
En 2
=
x , , una serie no convergente.
( ) ( )
∑
∑
∞
=
∞
=
=
−
0
0
1
1
2
n
n
n
n
n
n
Por tanto la serie converge para ( )
2
,
0
∈
x
Ejercicios propuestos 6.5
Determine el intervalo de convergencia para:
a) ( )
( )
∑
+∞
=
−
−
−
1
1
2
1
!
1
2
1
n
n
n
n
x
b)
( )
∑
+∞
=
−
1
!
1
n
n
n
x
c)
∑
+∞
=1
!
n
n
n
n
x
n
d)
( )
∑
+∞
=2
ln
n
n
n
x
e)
( )
( )
∑
∞
+
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
n
n
n
n
x
ln
3
2
6.4.3 SERIE DE TAYLOR
Una serie de potencia particular es la serie de Taylor.
Suponga que:
( ) ( ) ( ) ( ) L
+
−
+
−
+
−
+
=
−
= ∑
∞
=
3
0
3
2
0
2
0
1
0
0
0
)
( x
x
a
x
x
a
x
x
a
a
x
x
a
x
f
n
n
n
Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f
Evaluando en 0
x
x =
[ ] [ ] [ ] [ n
n x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
a
x
f 0
0
3
0
0
3
2
0
0
2
0
0
1
0
0 )
( −
+
+
−
+
−
+
−
+
= L ]
Obtenemos: )
( 0
0 x
f
a =
Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en 0
x
x =
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] 1
0
0
2
0
0
3
0
0
2
1
0
1
0
2
0
3
0
2
1
3
2
)
´(
3
2
)
´(
−
−
−
+
+
−
+
−
+
=
−
+
+
−
+
−
+
=
n
n
n
n
x
x
na
x
x
a
x
x
a
a
x
f
x
x
na
x
x
a
x
x
a
a
x
f
L
L
Entonces: )
´( 0
1 x
f
a =
Obteniendo la segunda derivada y evaluando en 0
x
x =
125](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-285-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
( )( ) [ ] ( )( ) [ ]
( )( ) [ ] ( )( ) [ ]
2
0
2
0
0
0
0
3
2
0
2
0
0
3
2
2
)
´´(
1
2
3
2
)
´´(
1
2
3
2
)
´´(
a
x
f
x
x
a
n
n
x
x
a
a
x
f
x
x
a
n
n
x
x
a
a
x
f
n
n
n
n
=
−
−
+
+
−
+
=
−
−
+
+
−
+
=
−
−
L
L
De la última expresión, se tiene
2
)
´´( 0
2
x
f
a =
Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en 0
x
x =
( )( ) ( )( )( ) [ ]
( )( ) ( )( )( ) [ ]
( )( ) 3
0
3
0
0
3
0
3
0
3
2
3
)
´´´(
2
1
2
3
)
´´´(
2
1
2
3
)
´´´(
a
x
f
x
x
a
n
n
n
a
x
f
x
x
a
n
n
n
a
x
f
n
n
n
n
=
−
−
−
+
+
=
−
−
−
+
+
=
−
−
L
L
De la última expresión, se tiene
!
3
)
´´´( 0
3
x
f
a =
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
∑
∞
=
−
=
+
−
+
−
+
−
′
+
=
0
0
0
3
0
0
´´´
2
0
0
´´
0
0
0
!
)
(
)
(
!
3
)
(
!
2
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f L
Si 0
0 =
x se llama Serie de Maclaurin, es decir:
[ ] L
+
′
′
′
+
′
′
+
′
+
=
= ∑
∞
=
3
2
0
6
)
0
(
2
)
0
(
)
0
(
)
0
(
!
)
0
(
)
( x
f
x
f
x
f
f
x
n
f
x
f
n
n
n
Ejemplo 1
Hallar la serie de Taylor para x
e
x
f =
)
( , alrededor de 0
0 =
x
SOLUCIÓN:
Obtenemos primero
x
x
x
x
e
x
f
e
x
f
e
x
f
e
x
f
=
′
′
′
=
′
′
=
′
=
)
(
)
(
)
(
)
(
⇒
1
)
0
(
1
)
0
(
1
)
0
(
1
)
0
(
=
′
′
′
=
′
′
=
′
=
f
f
f
f
Luego, reemplazando en: L
+
′
′
′
+
′
′
+
′
+
= 3
2
6
)
0
(
2
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
( x
f
x
f
x
f
f
x
f
Resulta
∑
∞
=
=
+
+
+
+
+
=
0
4
3
2
!
!
4
1
!
3
1
2
1
1
n
n
x
n
x
x
x
x
x
e L
126](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-286-320.jpg)
![MOISES VILLENA Cap. 6 Series
Ejemplo 2.
a) Encuentre una serie de potencia para
x
x
f
+
=
1
1
)
(
La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita
con primer término igual a 1y razón x
r −
= entonces:
( ) ( )
∑
∑
∞
=
∞
=
−
=
−
=
+
=
0
0
1
1
1
)
(
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f
b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de ( )
1
ln
)
( +
= x
x
f
Integrando ( ) ( ) ( )
∑
∫ ∑
∫
∞
=
+
∞
=
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
+
=
+
=
0
1
0
1
1
1
1
1
1
ln
)
(
n
n
n
n
n
n
n
x
x
dx
x
x
x
f
c) Determine su intervalo de convergencia.
Aplicando el criterio
1
1
1
1
2
1
lim
1
1
2
lim 1
2
−
+
+
+
+
∞
→
+
+
∞
→
x
x
n
n
x
x
n
n
x
n
n
n
n
Si 1
−
=
x , tenemos ( ) ( ) ( ) L
−
−
−
−
−
=
+
−
=
+
−
−
∑
∑
∞
=
+
∞
=
+
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
0
1
n
n
n
n
n
n
n
una serie
divergente. ¿por qué?
Si 1
=
x tenemos ( ) ( ) ( )
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
−
=
+
−
0
0
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
una serie alternante convergente.
Por tanto su intervalo de convergencia es ( ]
1
,
1
−
∈
x
Ejercicios Propuestos. 6.6
1. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para
)
tan(
)
( x
x
f = alrededor de 0
0 =
x .
b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de
encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para .
)
(
sec
)
( 2
x
x
g =
c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros
tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para ))
ln(cos(
)
( x
x
h = .
2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para x
x
f ln
)
( =
alrededor de 1
0 =
x .
b) Determine su intervalo de convergencia.
3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x y analice su convergencia:
130](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-290-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Observe que si tomamos 1
1 x
x = , 2
2 x
x = , 3
3 x
x = , …, i
i x
x = , se
tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 0
1 x
x = , 1
2 x
x = ,
2
3 x
x = , …, 1
−
= i
i x
x se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los rectángulos sería:
n
( ) ( ) ( ) ( ) n
n x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f ∆
+
+
∆
+
∆
+
∆ K
3
3
2
2
1
1
Que de manera abreviada tenemos:
( )
∑
=
∆
n
i
i
i x
x
f
1
Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de
rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región
estaría dada por:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∆
= ∑
=
∞
→
n
i
i
i
n
x
x
f
lím
A
1
De aquí surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función que está definida en el intervalo [ ].
b
a,
Al ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ∆
∑
=
∞
→
n
i
i
i
n
x
x
f
1
lím se le denomina la integral definida (o
integral de Riemann) de f de a b y se denota de la
a
siguiente manera: .
∫
b
a
dx
x
f )
(
Además, si existe este límite decimos que f es integrable
en [ ].
b
a,
Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando
una función es integrable.
45](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-294-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en [ ]
b
a, y si f es continua a excepción de
un número finito de puntos, entonces f es integrable [ ]
b
a, .
En particular si f es continua en todo [ ]
b
a, entonces es
integrable en [ ]
b
a,
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva
2
)
( x
x
f = en [ ]
3
,
1
SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
]
)
(
)
(
)
(
)
(
[
lím
)
(
lím 3
3
2
2
1
1
1 n
n
n
i
n
i
i
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
A ∆
+
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
= ∑
=
∞
→
∞
→
K
PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos 1
1 x
x = , 2
2 x
x = , 3
3 x
x = , …, i
i x
x =
Representando la región, tenemos:
0
x 1
x 2
x n
x
{
x
∆
{
x
∆
{
x
∆
2
x
y =
Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos
n
n
n
a
b
x
2
1
3
=
−
=
−
=
∆
y
46](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-295-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
1
0 =
= a
x
n
x
x
x
2
1
0
1 +
=
∆
+
=
n
n
x
x
x
x
x
4
1
2
2
1
2
0
1
2 +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
+
=
∆
+
= ,
n
n
x
x
x
x
x
6
1
2
3
1
3
0
2
3 +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
+
=
∆
+
=
M
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
+
=
∆
+
=
n
i
x
i
x
i
x
xi
2
1
1
0
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
3
26
3
4
3
8
8
6
3
2
2
3
4
2
3
2
3
2
6
4
2
3
2
3
)
1
2
)(
1
(
2
)
1
(
2
2
6
)
1
2
)(
1
(
4
2
)
1
(
4
2
4
4
1
2
4
4
1
2
2
2
1
)
(
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
3
2
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
+
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
=
=
=
∞
→
=
∞
→
=
∞
→
=
∞
→
∞
→
∑
∑
∑
∑
∑
∑
A
n
n
lím
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lím
i
n
i
n
n
lím
n
i
n
i
n
lím
n
n
i
lím
x
x
f
lím
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
lím
A
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.
Escogemos 0
1 x
x = , 1
2 x
x = , 2
3 x
x = , …, 1
−
= i
i x
x
Representando la región, tenemos:
47](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-296-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ahora, igual que el método anterior:
0
x 1
x 2
x n
x
{
x
∆
{
x
∆
{
x
∆
2
x
y =
1
−
n
x
n
x
2
=
∆ y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
n
i
xi
2
1
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
3
26
3
4
3
8
10
6
3
2
2
3
4
3
3
2
3
2
6
4
3
3
2
3
)
1
2
)(
1
(
2
)
1
(
2
1
2
6
1
1
2
)
(
1
4
2
)
(
1
4
1
2
4
4
1
2
4
4
1
2
2
2
1
)
(
2
2
2
1
2
2
1
1
0
1
0
2
2
1
0
2
1
0
1
2
1
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
−
+
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
−
−
+
−
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
=
=
−
=
∞
→
−
=
∞
→
−
=
∞
→
−
=
∞
→
−
∞
→
∑
∑
∑
∑
∑
∑
A
n
n
lím
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
n
lím
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lím
i
n
i
n
n
lím
n
i
n
i
n
lím
n
n
i
lím
x
x
f
lím
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
lím
A
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
48](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-297-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más
engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja.
El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de
una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular
integrales definidas empleando su definición.
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f continua en [ ]
b
a, y sea cualquier
F
antiderivada de f en [ ]
b
a, entonces:
)
(
)
(
)
( a
F
b
F
dx
x
f
b
a
−
=
∫
Demostración:
En la expresión , haciendo
)
(
)
( a
F
b
F − n
x
b = y 0
x
a = tenemos:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
x
F
x
F
a
F
b
F n −
=
−
Restando y sumando términos, resulta:
[ ] [ ] [
[ ]
∑
=
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
−
+
−
+
−
=
−
=
−
n
i
i
i
n
n
n
n
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
a
F
b
F
1
1
0
1
1
2
2
1
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
K ]
Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a en el intervalo
F [ ]
i
i x
x ,
1
−
Como es continua y diferenciable en
F [ ]
i
i x
x ,
1
− entonces i
x
∃ tal que
( )
1
1
)
(
)
´(
−
−
−
−
=
i
i
i
i
i
x
x
x
F
x
F
x
F
Como )
(
)
´( i
i x
f
x
F = y i
i
i x
x
x ∆
=
− −1 entonces:
( )
i
i
i
i
x
x
F
x
F
x
f
∆
−
= −1
)
(
)
(
Despejando resulta: ( ) i
i
i
i x
x
f
x
F
x
F ∆
=
− − )
(
)
( 1 .
49](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-298-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Reemplazando en tenemos:
[ ]
∑
=
−
−
=
−
n
i
i
i x
F
x
F
a
F
b
F
1
1)
(
)
(
)
(
)
(
∑
=
∆
=
−
n
i
i
i x
x
f
a
F
b
F
1
)
(
)
(
)
(
Tomando límite queda:
[ ]
∫
∑
∑
=
∆
=
−
∆
=
−
=
∞
→
=
∞
→
∞
→
b
a
n
i
i
i
n
n
i
i
i
n
n
dx
x
f
x
x
f
a
F
b
F
x
x
f
a
F
b
F
)
(
)
(
lím
)
(
)
(
)
(
lím
)
(
)
(
lím
1
1
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de en [ ].
f b
a,
Por tanto L.Q.Q.D.
∫
=
−
b
a
dx
x
f
a
F
b
F )
(
)
(
)
(
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva en
2
x
y = [ ]
3
,
1
SOLUCIÓN:
El área bajo la curva estará dada por , aplicando el teorema fundamental del calculo
dx
x
A
∫
=
3
1
2
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
3
3
3
1
3
3
1
2
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
=
∫ C
C
C
x
dx
x
A
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que 0
)
( =
∫
a
a
dx
x
f y
∫
∫ −
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
( ¿Porqué?
50](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-299-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el intervalo
[ b
a, ] y sea R
k ∈ , entonces:
1. [ ] [ ] [
∫
∫
∫ ±
=
±
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)
(
)
( ]
2. ∫
∫ =
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf )
(
)
(
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que contiene a los
puntos a, b y c (no importar su orden), entonces:
∫
∫
∫ +
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
)
(
Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
∫
∫
∫ =
−
=
−
+
−
=
+
b
a
b
c
c
a
dx
x
f
a
F
b
F
c
F
b
F
a
F
c
F
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
∫
∫
∫ +
=
3
5
2
5
1
2
3
1
2
dx
x
dx
x
dx
x
51](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-300-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 1
Calcular
∫ donde
5
1
)
( dx
x
f
⎩
⎨
⎧
+
−
≥
−
=
3
;
1
3
3
;
1
2
)
( 2
x
x
x
x
x
x
f
SOLUCIÓN:
Como tiene dos reglas de correspondencia, es decir:
f
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
( ) ( )
( ) (
[ ]
)
3
38
3
9
5
25
1
2
3
3
1
3
2
27
9
2
2
2
3
3
1
2
1
3
)
(
5
3
2
3
1
2
3
5
3
3
1
2
5
1
=
−
−
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
+
+
−
=
∫
∫
∫
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
f
Ejemplo 2
Calcular ∫
−
−
−
4
2
2
1 dx
x
SOLUCIÓN:
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a , obtenemos la gráfica de
f
2
1 −
−
= x
y
Entonces:
52](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-301-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
9
2
9
12
8
3
2
1
9
2
9
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
3
2
3
2
2
2
3
3
1
1
2
1
4
3
2
3
1
2
1
1
2
1
2
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
+
+
−
+
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si f y g son integrables en [ ]
b
a, y si )
(
)
( x
g
x
f ≤ ,
[ b
a
x ,
∈
∀ ]; entonces: dx
x
g
dx
x
f
b
a
b
a
∫
∫ ≤ )
(
)
(
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en [ ]
b
a, y si
M
x
f
m ≤
≤ )
( , [ ]
b
a
x ,
∈
∀ ; entonces:
( ) )
(
)
( a
b
M
dx
x
f
a
b
m
b
a
−
≤
≤
− ∫
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
Supóngase que g tiene una derivada continua en [ ]
b
a,
y sea f continua en el rango de g . Entonces:
donde
∫
∫
=
=
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
´(
))
(
(
b
g
t
a
g
t
b
x
a
x
dt
t
f
dx
x
g
x
g
f )
(x
g
t =
Ejemplo
Calcular
∫
π
π
4
9
2
2
cos
dx
x
x
SOLUCIÓN:
53](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-302-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Tomando el cambio de variable x
t = entonces tenemos dt
x
dx 2
= , y para los límites de
integración
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
=
=
⇒
=
π
π
π
π
3
9
2
4
2
2
t
x
t
x
por tanto la integral en términos de t sería:
( ) 3
2
2
3
2
1
2
sen
2
sen
2
sen
2
cos
2
2
cos
3
2
2
3
2
3
2
3
−
=
−
=
−
=
=
= π
π
π
π
π
π
π
π
∫
∫ t
tdt
dt
x
x
t
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la
propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de
las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si es una función PAR entonces:
f
dx
x
f
dx
x
f
a
a
a
)
(
2
)
(
0
∫
∫ =
−
2. Si es una función IMPAR entonces:
f
0
)
( =
∫
−
dx
x
f
a
a
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma
análoga y se recomienda al lector que la realice.
DEMOSTRACIÓN
Aplicando la propiedad de aditividad dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
a
a
a
)
(
)
(
)
(
0
0
∫
∫
∫ +
=
−
−
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable x
t −
= entonces dx
dt −
= y para los límites de integración
. Sustituyendo resulta
⎩
⎨
⎧
=
⇒
−
=
=
⇒
=
a
t
a
x
t
x 0
0
[ ]
∫
∫ −
−
=
−
−
0
0
)
(
)
(
a
a
dt
t
f
dt
t
f
54](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-303-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Por hipótesis es una función par, por tanto se cumple que y además si
invertimos los límites de integración, tenemos:
f )
(
)
( t
f
t
f =
−
∫
∫ =
−
−
a
a
dt
t
f
dt
t
f
0
0
)
(
)
(
la última integral si x
t = queda [ ]
∫
∫ =
−
−
a
a
dx
x
f
dt
t
f
0
0
)
(
)
(
Finalmente L.Q.Q.D.
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
a
a
a
a
)
(
2
)
(
)
(
)
(
0
0
0
∫
∫
∫
∫ =
+
=
−
Ejemplo
Calcular dx
x
x
∫
−
+
5
5
2
5
4
SOLUCIÓN:
Obtengamos primero )
( x
f − para
4
)
( 2
5
+
=
x
x
x
f .
4
4
)
(
)
(
)
( 2
5
2
5
+
−
=
+
−
−
=
−
x
x
x
x
x
f
Observe )
(
)
( x
f
x
f −
=
− , por tanto es una función impar y por la propiedad de simetría,
rápidamente concluimos que:
f
0
4
5
5
2
5
=
+
∫
−
dx
x
x
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
∫
∫ =
+
+
b
a
T
b
T
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
DEMOSTRACIÓN
En la integral , haciendo cambio de variable
∫
+
+
T
b
T
a
dx
x
f )
( T
x
t −
= .
55](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-304-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Del cambio de variable se obtiene T
t
x +
= , dt
dx = y los límites para la nueva variable son:
⎩
⎨
⎧
=
⇒
+
=
=
⇒
+
=
a
t
T
a
x
b
t
T
b
x
Reemplazando, resulta: y como, por hipótesis, es una función
periódica se cumple que
∫
∫ +
=
+
+
b
a
T
b
T
a
dt
T
t
f
dx
x
f )
(
)
( f
)
(
)
( t
f
T
t
f =
+ , entonces
∫
∫ =
+
b
a
b
a
dt
t
f
dt
T
t
f )
(
)
(
Que finalmente, si x
t = quedaría L.Q.Q.D.
∫
∫ =
+
+
b
a
T
b
T
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL
Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del
Cálculo.
Sea f continua en [ ]
b
a, y sea x un punto variable
de . Entonces:
)
,
( b
a
)
(
)
( x
f
dt
t
f
dx
d x
a
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫
Ejemplo 1
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
x
x dt
t
t
D
2
2
2
3
17
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:
17
17 2
2
3
2
2
2
3
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
56](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-305-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 2
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:
17
17 2
2
3
2
2
2
3
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:
[ ]
dx
du
u
f
dt
t
f
dx
d
x
u
a
)
(
)
(
)
(
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
Ejemplo 3
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
3
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad, concluimos que:
( )
( )
( )
17
3
3
17
17 6
2
13
2
2
3
2
3
3
2
2
2
3
3
+
=
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫ x
x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
Ejemplo 4
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
3
2
17
2
2
3
x
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ ∫ ∫
∫
0
0
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
3
3
2
17
17
17
x
x
x
x
x
x dt
t
t
dt
t
t
D
dt
t
t
D
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:
57](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-306-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 6
Calcular
x
dt
t
x
x
∫ −
→
0
2
0
1
lím
SOLUCIÓN:
La expresión presenta una indeterminación de la forma:
0
0
Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:
[ ]
1
1
0
1
1
1
lím
1
lím
2
2
0
0
2
0
=
−
=
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
→
→
∫ x
x
D
dt
t
D
x
x
x
x
x
Ejercicios Propuestos 3.1
1. Calcular
a. si
( ) ,
3
2
∫
−
dx
x
f
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
≤
≤
−
=
3
1
,
2
1
1
2
,
2 2
x
x
x
x
x
f
b.
∫ −
4
0
1 dx
x
c.
∫
−
−
4
2
1
3 dx
x
d. ( )dx
x
x
∫
−
−
+
−
4
2
2
1
3
e. dx
x
∫
−
−
−
5
2
2
1
f.
∫
10
0
dx
x
g. [ ]
( )
∫ −
4
0
dx
x
x
h.
∫
4
9
2
2
cos
π
π
dx
x
x
i.
( )
∫ +
+
+
1
0
2
2
1
4
2
dx
x
x
x
j. ( )
[ ]
∫ −
+
1
0
3
3
cos
3 dx
x
x
k. ( )
∫ π
2
1
0
2
sen dx
x
l. dx
x
∫ −
5
0
2
9
m. ( ) ( )
∫ +
−
e
dx
x
x
x
1
2
ln
3
2
n.
( )
∫
−
+
1
1
4
2
3
1
dx
x
x
o. ( )
∫
−
−
100
100
3
97
2
3 dx
x
x
sen
x
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser
falsa de un contraejemplo.
a. Si ( ) ( )
x
g
x
f ≤ en [ ] ( ) ( )
∫
∫ ≤
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
b
a ,
,
b. ( ) ∫
∫ =
+
+
−
99
0
2
99
99
2
3
2 dx
bx
dx
cx
bx
ax
59](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-308-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
c. Si f es periódica con período T, entonces: ( ) ( )
∫
∫ =
+
+
b
a
T
b
T
a
dx
x
f
dx
x
f
d. ,
f
∀ ( ) ( )
∫
∫
−
−
=
−
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
e. Si es una función par
f [ ]
a
a
x ,
−
∈
∀ , entonces ( )
∫
∫ =
−
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
f. Si ( ) ( )
x
g
x
f ≤ en [ ]
b
a, , entonces ( ) ( )
∫
∫ ≤
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
g. Si ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
a
G
b
G
a
F
b
F
b
a
x
x
G
x
F −
=
−
∈
∀
′
=
′ ,
,
h. Sea g una función derivable y supóngase que es una antiderivada de . Entonces
F f
( )
( ) ( ) ( )
( )
∫ +
=
′ C
x
g
F
dx
x
g
x
g
f
3. Encuentre si toma las siguientes reglas de correspondencia:
f ′ f
a. dt
t
x
x
∫ −
ln
sen
0
1
1
b. dt
t
x
x
tanx
x
∫ −
sec
2
ln
3 5
3
1
c. dt
t
x
x
e
x
x
e
∫ −
3
sec
ln
2
1
d.
∫
+
−
x
x
x
dt
t
t
sen
4 5
3
2
1
2
e.
( )
( )
∫+
−
−
tanx
x
x
dt
t
t
t
sen
1
ln
3
3
2
sen
cos
1
f.
∫ −
+
2
3
2
log
6
cos
1
sen
1
x
x
dt
t
t
4. Determine:
a.
( )
3
0
2
0
lim
x
dt
t
sen
x
x
∫
→
b.
1
lim 1
1 −
∫
+
→ x
dt
sent
x
x
c.
x
dt
e
x
t
x
∫ −
∞
→
+
1
1
lim
d.
2
0
2
2
5
1 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∫
x
t
dt
dx
d
60](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-309-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Misceláneos
1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su
respuesta.
a) Si es una función continua en el intervalo
´
f [ ]
b
a , entonces
[ ] [ ]
∫ −
=
b
a
a
f
b
f
dx
x
f
x
f 2
2
)
(
)
(
)
´(
)
(
2
b) Si entonces
0
)
( =
∫
b
a
dx
x
f 0
)
( =
x
f para [ ]
b
a
x ,
∈
∀
c) Si es una función continua en
f IR , entonces:
( ) ( )
2
2
1
)
(
2
x
f
x
arctgx
f
dx
x
f
dx
d
arctgx
x
−
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
d) [ ] ( ) IN
n
n
n
dx
x
n
∈
+
=
∫
+
;
2
1
1
0
e) Si y
f g son funciones impares y continuas en IR , entonces
( )( ) 0
5
5
=
∫
−
dx
x
g
f o
f) 4
4
4
1
2
1
2
x
x
dt
t
D
x
x +
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
g)
∫
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
2
2
4
3
4
64
1
5
2
dx
x
x
xe
x x
h) Si y
f g son funciones continuas en el intervalo [ ]
1
,
0 entonces
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫ −
=
−
1
0
1
0
1
1 dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
i) Si entonces para
0
)
( ≥
∫
b
a
dx
x
f 0
)
( ≥
x
f [ ]
b
a
x ,
∈
∀
j)
∫ ∫
=
π
π
2
2
2
0
4 senxdx
dx
senx
k) Si y entonces
3
)
(
3
0
=
∫ dx
x
f 7
)
(
4
0
=
∫ dx
x
f 4
)
(
3
4
−
=
∫ dx
x
f
l)
∫
∫ +
≥
1
0
2
1
0
1 dx
x
xdx
61](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-310-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
m) Si es una función continua en
f IR tal que para cualquier número real x ,
entonces es una función impar.
0
)
(
)
(
1
2
1
2
=
=
∫
∫
−
x
x
x
x
dt
t
f
dt
t
f f
n) Si es una antiderivada de la dunción , entonces
F f
∫ +
=
+ dx
x
f
x
F )
1
2
(
)
1
2
(
o) Si es una función continua en el intervalo
f [ ]
5
,
2 y entonces
7
)
(
5
2
=
∫ dx
x
f
7
)
(
5
2
−
=
∫
−
−
dx
x
f
p) Si es una función tal que
f 0
cos
3
)
(
2
2
0
=
+
∫ dt
t
x
f
x
entonces x
x
x
f cos
3
)
´( −
=
q) Si y
f g son funciones tales que y para todo
x
xe
x
f =
)
( )
(
)
( x
g
x
f ≥
[ ]
1
,
0
∈
x entonces .
( )
∫ ≤
1
0
1
dx
x
g
r) Si [ ] 1
)
(
0
,
2
,
0 ≤
≤
∈
∀ x
f
x entonces 1
)
(
0
2
0
≤
≤
∫ dx
x
f
s) Si es una función continua en el intervalo
f [ ]
10
,
0 y
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫
2
3
0
2
1
)
(
x
t
x dt
t
e
D
x
f para
[ ]
10
,
0
∈
x entonces 3
5
3
)
1
´( e
f = .
t)
∫
∫ =
π
π 2
2
2
2
cos dx
x
dx
senx
u) π
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
=
+∞
→ n
i
n
n
i
n
cos
lim
1
v)
2
cos
lim 2
1
0
π
=
∑
=
→
i
n
i
p
x donde { }
i
x
max
p ∆
= . p es una partición del intervalo [ ]
π
,
0 .
w) Si , entonces
( ) 1
)
(
2
2
1
2
=
+
∫
−
dx
x
x
f 1
)
(
2
1
−
=
∫
−
dx
x
f
62](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-311-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
x)
( )
3
1
lim
2
3
0
2
0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
+
→
x
tg
dt
t
sen
x
x
y) 1
2
lim 2
1
2
1
−
=
∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∞
→
e
n
e
n
i
n
i
n
z)
∫
∫
+
+
=
∈
∀
π
π 2
2
cos
,
,
b
b
a
a
xdx
dx
senx
R
b
a
2. Calcular
a.
( )
3
0
0
cos
1
lim
x
dt
t
x
x
∫ −
→
b.
( )
∫ −
2
1
2
3
2
6
1
dx
x
c.
∫
2
0
3
2
cos
π
xdx
xsen
d.
∫ +
+
2
1
2
2
2
3
dx
x
x
e.
( )
6
0
2
0
2
lim
x
dt
t
sen
x
x
∫
→
f. [ ]
( )
∫ −
3
0
2 dx
x
x
g. ( )
∫
−
−
−
+
3
2
2
1 dx
x
x
x
h.
∫ −
+
5
1
1
2
1
dx
x
i.
∫ −
−
4
2
3
4
dx
x
x
x
j.
∫ +
5
ln
2
ln
2
16
12
dt
e t
k. ( )
∫
−
−
−
21
2
3
1
2 dx
x
l.
∫
−
+
3
2
3
2 dx
x
m.
∫
+
π
π
2
2
2
cos
1
dx
x
n.
( )
3
0
2
0
2
1
lim
x
dt
t
t
sen
x
x
∫ +
→
o.
∫
−
−
−
4
3
3
2
dx
e
x
p.
( ) dx
e
x
x
sen x
∫
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
2
2
2
3
1
63](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-312-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3. Si es una función tal que . Determine los intervalos donde el
gráfico de es cóncava hacia arriba.
f ( )
∫ ∈
+
−
= −
3
3
2
,
56
48
9
)
(
x
t
IR
x
dt
e
t
t
x
f
f
4. Si y
f g son funciones tales que , y , entonces calcule
el valor de
3
)
(
4
1
=
∫ dx
x
f 2
)
(
7
4
−
=
∫ dx
x
f 6
)
(
3
7
1
=
∫ dx
x
g
[ ]
∫ +
1
7
)
(
)
(
5 dx
x
g
x
f
64](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-313-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del
área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una
suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando
sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que
represente a cualquier partición de la región plana
El área del elemento diferencial será: dx
x
f
hdx
dA )
(
=
=
Por tanto, el área de la región plana es:
∫
=
b
a
dx
x
f
A )
(
4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:
El área del elemento diferencial será: [ ]dx
x
g
x
f
hdx
dA )
(
)
( −
=
=
66](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-315-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Entonces el área de la región plana esta dada por: [ ]
∫ −
=
b
a
dx
x
g
x
f
A )
(
)
(
CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los
siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
Calcular el valor del área de la región limitada por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
2
4
2
x
y
x
y
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4
+
= x
y y 2
2
−
= x
y
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
PASO 4: La integral definida para el área sería:
( ) ( )
[ ]
∫
−
−
−
+
=
3
2
2
2
4 dx
x
x
A
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
( )
2
3
0
)
2
(
3
0
6
2
4
2
2
−
=
∨
=
=
+
−
=
−
−
−
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
67](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-316-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
6
5
12
2
3
8
18
2
9
9
2
6
2
2
3
2
)
3
(
6
2
3
3
3
6
2
3
6
2
4
2
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2
2
=
−
+
−
+
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
+
+
−
=
−
−
+
=
−
−
−
∫
∫
A
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
A
Ejemplo 2
Calcular el valor del área de la región limitada por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
0
6
2
3
y
x
x
x
y
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos x
x
x
y 6
2
3
−
−
=
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con
el eje x.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
PASO 4: La integral definida para el área sería:
( )
[ ] [ dx
x
x
x
dx
x
x
x
A
∫
∫ −
−
−
+
−
−
−
=
−
3
0
2
3
0
2
2
3
6
(
)
0
(
)
0
(
6 ]
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
0
( )
( )
2
3
0
)
2
(
3
0
6
0
6
2
2
3
−
=
∨
=
∨
=
=
+
−
=
−
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
68](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-317-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
12
253
27
9
4
81
12
3
8
4
)
0
(
2
3
6
3
3
4
3
2
2
6
3
2
4
2
0
2
6
3
4
2
6
3
4
6
6
6
(
)
0
(
)
0
(
6
2
3
4
2
3
4
3
0
2
3
4
0
2
2
3
4
3
0
2
3
0
2
2
3
3
0
2
3
0
2
2
3
=
+
+
−
+
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
+
−
+
−
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
−
−
−
∫
∫
∫
∫
A
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
A
4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y
Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo
en disposición horizontal
El área del elemento diferencial será: dy
y
f
xdy
hdy
dA )
(
=
=
=
Entonces el área de la región plana es:
∫
=
d
c
dy
y
f
A )
(
Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:
69](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-318-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El área del elemento diferencial será: [ ]dy
y
g
y
f
hdy
dA )
(
)
( −
=
=
Entonces el área de la región plana esta dada por:
[ ]
∫ −
=
d
c
dy
y
g
y
f
A )
(
)
(
Ejemplo 3
Calcular el área de la región limitada por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
=
0
6
y
x
y
x
y
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano x
y = y 6
+
−
= x
y
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.
PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.
PRIMER MÉTODO.
Escogemos el elemento diferencial vertical
( ) ( )
( )( )
4
9
0
4
9
0
36
13
36
12
6
6
2
2
2
2
=
∨
=
=
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
El área está dado por:
70](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-319-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
22
24
8
36
18
3
16
4
6
2
4
6
6
2
6
0
4
6
2
6
2
2
2
3
3
2
6
4
2
4
0
2
3
3
2
6
4
4
0
=
−
+
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
+
−
+
=
∫
∫
A
x
x
x
dx
x
dx
x
A
SEGUNDO MÉTODO.
Escogiendo el elemento diferencial horizontal:
El área está dada por:
( )
[ ]
( ) ( )
3
22
3
8
2
12
0
3
2
2
2
2
6
3
2
6
6
3
2
2
0
3
2
2
0
2
=
−
−
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
−
=
∫
A
y
y
y
dy
y
y
A
Ejemplo 4
Calcular el área de la región limitada por
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
2
3
1
y
x
x
y
SOLUCIÓN:
PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso
71](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-320-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )( )
1
2
0
1
2
0
2
3
1
2
2
=
∨
−
=
=
−
+
=
−
+
−
=
+
y
y
y
y
y
y
y
y
Paso 4 y 5: El área de la región sería:
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
2
9
4
2
3
8
2
2
1
3
1
2
2
2
2
3
2
1
2
2
1
3
1
2
2
3
2
1
3
2
3
2
3
1
2
2
3
1
2
2
1
2
2
=
+
+
−
+
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
∫
∫
A
y
y
y
dy
y
y
dy
y
y
A
Ejercicios propuestos 4.1
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. ,
,
2 2
x
y
x
y =
−
=
2. entre
,
0
,
4 2
=
−
= y
x
x
y 1
=
x y 3
=
x .
3. 8
,
0
,
4 =
=
−
= x
y
x
y .
4. .
0
1
,
3
4
2
=
−
−
+
−
= y
x
x
x
y
5. 0
,
4
2
,
2 =
−
=
= x
x
y
x
y .
6. .
0
12
4
,
0
2 2
2
=
−
+
=
− x
y
x
y
7. 4
2
2
−
=
+
= x
y
,
x
y
8. x
x
y
x
y 4
, 2
2
+
−
=
=
9. ,
,
6 3
x
y
x
y =
+
=
4
2x
y −
= .
10. 3
,
1 2
−
=
−
= x
y
x
y
11. ,
,
3 2
3
x
y
x
x
y =
+
=
12. x
x
y
x
x
x
y 4
,
8
6 2
2
3
−
=
+
−
=
72](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-321-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.
Ahora trataremos regiones simple-θ , regiones que están limitadas
por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.
En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector
circular, entonces su área está dada por:
θ
= d
r
dA 2
2
1
Por tanto el área de la región está dada por:
[ ]
∫
θ
θ
θ
θ
=
2
1
2
)
(
2
1
d
f
A
Ejemplo 1
Hallar el área de la región encerrada por a
r =
SOLUCIÓN:
Graficando la circunferencia a
r = e identificando la región, tenemos:
73](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-322-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El área estaría dada por:
[ ]
[ ]
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
2
1
a
A
a
d
a
d
a
d
f
A
π
=
θ
=
θ
=
θ
=
θ
θ
=
π
π
π
θ
θ
∫
∫
∫
Ejemplo 2
Hallar el área de la región encerrada por θ
+
= cos
1
r
SOLUCIÓN:
Graficando la cardioide θ
+
= cos
1
r e identificando la región, tenemos:
El área estaría dada por:
[ ]
[ ]
[ ]
π
=
θ
+
+
θ
+
θ
=
θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ θ
+
+
θ
θ
+
θ
=
θ
θ
+
θ
θ
+
θ
=
θ
θ
+
θ
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
+
=
θ
θ
=
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
θ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
A
A
d
d
d
d
d
d
d
d
d
f
A
0
2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
2
2
4
2
sen
sen
2
2
2
cos
2
1
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
1
cos
1
2
1
2
)
(
2
1
2
1
74](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-323-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Ejemplo 3
Hallar el área de la región encerrada por θ
= 3
sen
4
r
SOLUCIÓN:
Graficando la rosa θ
= 3
sen
4
r e identificando la región, tenemos:
El área estaría dada por:
[ ]
[ ]
[ ]
π
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
π
π
π
π
π
θ
θ
4
6
24
6
0
0
6
6
6
24
6
6
24
2
6
cos
1
48
3
16
3
3
4
2
1
6
)
(
2
1
6
6
0
6
0
6
0
2
6
0
2
2
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
∫
∫
∫
A
A
sen
sen
A
sen
d
d
sen
d
sen
d
f
A
Ejemplo 4
Hallar el área de la región encerrada por el rizo de θ
−
= cos
4
2
r
SOLUCIÓN:
Graficando el caracol θ
−
= cos
4
2
r e identificando la región, tenemos:
75](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-324-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El área estaría dada por:
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
( )
3
7
4
2
3
2
2
3
16
4
0
sen
2
0
sen
16
)
0
(
12
3
2
sen
2
3
sen
16
3
12
2
2
sen
4
8
sen
16
4
2
2
cos
1
16
cos
16
4
cos
16
cos
16
4
cos
16
cos
16
4
cos
4
2
2
1
2
)
(
2
1
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
2
3
0
3
0
3
0
2
3
0
2
2
2
1
−
π
=
+
−
π
=
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
π
−
π
=
θ
+
θ
+
θ
−
θ
=
θ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ θ
+
+
θ
θ
−
θ
=
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
=
θ
θ
+
θ
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
=
θ
θ
=
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
θ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
A
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
d
d
f
A
Ejemplo 5
Hallar el área de la región interior a ambas curvas
⎩
⎨
⎧
θ
+
=
θ
=
cos
1
sen
3
r
r
SOLUCIÓN:
Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:
76](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-325-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego
resolviendo la ecuación trigonométrica que se forma, es decir:
( ) ( )
( )
( )( )
3
2
1
cos
1
cos
0
1
cos
2
1
cos
0
1
cos
cos
2
0
2
cos
2
cos
4
cos
cos
2
1
cos
1
3
cos
cos
2
1
sen
3
cos
1
sen
3
cos
1
sen
3
2
2
2
2
2
2
2
2
π
=
θ
∨
π
=
θ
=
θ
∨
−
=
θ
=
−
θ
+
θ
=
−
θ
+
θ
=
−
θ
+
θ
θ
+
θ
+
=
θ
−
θ
+
θ
+
=
θ
θ
+
=
θ
θ
+
=
θ
El área estaría dada por:
[ ] [ ]
3
4
3
4
3
3
16
9
4
4
3
3
16
3
4
8
3
3
2
2
3
2
1
8
3
6
2
3
4
2
sen
2
1
sen
2
2
1
4
2
sen
2
1
2
3
cos
1
2
1
sen
3
2
1
3
3
0
3
2
3
0
2
−
π
=
−
π
−
π
+
−
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ θ
+
θ
+
θ
+
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ θ
−
θ
=
θ
θ
+
+
θ
θ
=
π
π
π
π
π
π
∫
∫
A
A
A
A
d
d
A
Ejercicios propuestos 4.2
1. Hallar el área limitada por la curva θ
3
cos
a
r = .
2. Determinar el área de la región exterior a θ
+
= sen
2
r , e interior a θ
= sen
5
r
3. Determine el área de la región interior de la cardioide θ
cos
3
3+
=
r y exterior a la cardioide
θ
sen
r 3
3+
= en el primer cuadrante
4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia θ
sen
r 3
= y fuera de θ
sen
r −
= 2 .
77](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-326-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se
rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este
caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su
volumen está dado por:
[ ] dx
x
f
dx
r
dV
2
2
)
(
π
=
π
=
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los
volúmenes de las particiones, es decir:
[ ] dx
x
f
V
b
a
2
)
(
∫
π
=
CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que
se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje x se genera
un sólido de revolución de la siguiente forma:
Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento
diferencial alrededor del eje x, para cada partición tiene la forma de
un ANILLO
79](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-328-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
El volumen del sólido diferencial estaría dado por:
[ ]dx
r
r
dV
2
1
2
2 −
π
=
pero observe que: y
)
(
2 x
f
r = )
(
1 x
g
r = entonces:
( ) ( )
[ ]dx
x
g
x
f
dV
2
2
)
(
)
( −
π
= .
Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la
región plana alrededor del eje x, estaría dado por:
( ) ( )
[ ]
∫ −
π
=
b
a
dx
x
g
x
f
V
2
2
)
(
)
(
CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar
la región anterior en torno al eje y:
El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:
80](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-329-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo
cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
dx
h
r
π
2
Su volumen sería:
rhdx
dV π
= 2
Pero observe que: )
(
)
( x
g
x
f
h
x
r
−
=
=
Por tanto el volumen total del sólido sería:
[ ]dx
x
g
x
f
x
V
b
a
)
(
)
(
2 −
π
=
∫ .
Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.
Ejemplo 1
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
y
x
y
R
8
:
2
alrededor del eje x.
SOLUCIÓN:
PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.
PASO 2: Identificamos la región.
PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical
81
( )
2
0
0
8
8
8
3
4
2
=
∨
=
=
−
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-330-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está
dado por: [ ]dx
r
r
dV 2
1
2
2 −
π
= y en este caso x
r 8
2 = y
2
1 x
r =
PASO 4: Por tanto
( ) ( )
[ ]
3
2
0
5
2
2
0
4
2
0
2
2
2
5
48
5
32
16
5
2
8
8
8
u
V
x
x
dx
x
x
dx
x
x
V
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
π
=
−
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
π
=
∫
∫
NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.
Ejemplo 2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
y
x
y
R
8
:
2
alrededor del eje y.
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje y da lugar a una Corteza
Cuyo volumen está dado por rhdx
dV π
= 2 y en este caso x
r = y
2
8 x
x
h −
=
PASO 4: Por tanto:
82](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-331-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )
[ ]
3
4
2
5
2
0
4
2
5
2
0
3
2
3
2
0
2
5
24
4
5
32
2
)
0
(
4
2
2
5
8
2
2
4
5
8
2
2
8
2
8
2
u
V
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
V
π
π
π
π
π
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
∫
∫
Ejemplo 3
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
y
x
y
R
8
:
2
alrededor del eje 4
=
y
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 4
=
y da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por [ ]dx
r
r
dV 2
1
2
2 −
π
= y en este caso 2
2 4 x
r −
=
y x
r 8
4
1 −
=
PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:
83](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-332-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
3
2
3
2
3
5
2
0
2
3
2
3
5
2
0
2
1
2
4
2
0
4
2
2
0
2
2
2
15
206
3
128
16
3
64
5
32
)
0
(
2
3
2
32
2
2
8
3
2
8
5
2
3
2
32
2
8
3
8
5
8
8
8
8
8
8
8
16
8
16
8
4
4
u
V
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
V
π
π
π
π
π
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
+
−
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
∫
∫
∫
Ejemplo 4
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
y
x
y
R
8
:
2
alrededor del eje 1
−
=
y
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 1
−
=
y da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por [ ]dx
r
r
dV 2
1
2
2 −
π
= y en este caso
2
1 1 x
r +
= y x
r 8
1
2 +
=
PASO 4: Por tanto:
84](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-333-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
3
5
3
2
2
3
2
0
5
3
2
2
3
2
0
4
2
2
1
2
0
4
2
2
0
2
2
2
15
174
5
32
3
16
16
3
32
)
0
(
5
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
5
3
2
2
8
2
3
8
2
2
8
8
2
2
1
8
8
2
1
1
8
1
u
V
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
V
π
π
π
π
π
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
+
+
−
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
=
∫
∫
∫
Ejemplo 5
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
y
x
y
R
8
:
2
alrededor del eje 2
=
x
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 2
=
x da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por rhdx
dV π
= 2 y en este caso x
r −
= 2 y
2
8 x
x
h −
=
PASO 4: Por tanto:
85](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-334-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS
POLARES.
La longitud de arco esta dada por:
θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
=
∫
θ
θ
d
d
dy
d
dx
s
2
1
2
2
Reemplazando, tenemos:
( )
( ) ( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ] ( ) θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
d
sen
f
sen
f
s
d
f
sen
f
f
sen
f
sen
f
sen
f
f
f
s
d
f
sen
f
sen
f
f
s
∫
∫
∫
+
+
+
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
−
=
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
)
(
cos
)
´(
cos
)
(
cos
)
(
)
´(
2
)
´(
)
(
cos
)
(
)
´(
2
cos
)
´(
cos
)
(
´
)
(
cos
´
Resultando finamente:
( ) ( ) θ
θ
+
θ
=
∫
θ
θ
d
f
f
s
2
1
2
2
)
´(
)
(
Ejemplo 1
Hallar la longitud de la circunferencia a
r =
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
( ) ( )
a
s
a
s
d
a
s
d
o
a
s
d
f
f
s
π
=
θ
=
θ
=
θ
+
=
θ
θ
+
θ
=
π
π
π
θ
θ
∫
∫
∫
2
)
´(
)
(
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1
Ejemplo 2
Hallar la longitud de la cardioide θ
+
= cos
1
r
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
92](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-341-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
3
4
4
3
3
sen
4
3
cos
2
cos
3
sen
3
sen
cos
1
cos
3
sen
3
2
1
3
2
3
0
3
2
3
0
2
2
3
2
2
3
0
2
2
+
π
=
−
+
π
=
+
θ
=
θ
+
θ
θ
+
θ
=
θ
−
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
=
π
π
θ
π
π
π
θ
π
π
π
π
∫
∫
∫
∫
Per
Per
Per
d
d
Per
d
Per
Ejercicios propuestos 4.5
1. Determine el área y el perímetro de la región interior a las curvas θ
= cos
3
r y .
θ
+
= cos
1
r
2. Determinar:
a) El valor de para el cual el área de la región limitada por la cardioide
a ( )
θ
cos
1−
= a
r sea igual
a π
9 unidades cuadradas.
b) La longitud de la cardioide definida en el literal a).
4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
Sea f una función continua en el intervalo [ ]
b
a, . El VALOR
MEDIO O VALOR PROMEDIO de , denotado como
f f , está dado
por:
∫
−
=
b
a
dx
x
f
a
b
f )
(
1
Ejemplo
Las estadísticas indican que t meses después del principio de año, el precio de la carne
de res era dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la
carne durante los 3 primeros meses?.
6
.
1
2
.
0
09
.
0
)
( 2
+
−
= t
t
t
p
SOLUCIÓN:
El promedio del precio durante los 3 primeros meses es:
94](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-343-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )
[ ]
57
.
1
$
8
.
4
9
.
0
81
.
0
3
1
6
.
1
2
2
.
0
3
09
.
0
3
1
6
.
1
2
.
0
09
.
0
0
3
1
)
(
1
3
0
2
3
3
0
2
=
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
−
−
=
−
=
∫
∫
p
t
t
t
dt
t
t
dt
t
p
a
b
p
b
a
Misceláneos
1. Sea R la región definida por : ( )
{ }
e
x
y
x
IR
y
x
R ≤
≤
∧
≤
≤
∈
= 1
1
ln
/
, 2
. Calcule:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y
2. Sea la región
( ) [ ] [ ]
{ }
0
4
2
0
4
2
/
, 2
2
≥
∧
−
≤
≤
+
∨
≤
∧
−
≤
≤
+
∈
= x
x
y
x
x
x
y
x
IR
y
x
R
Calcule:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 4
=
y
c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1
=
x
3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región
( )
{ }
x
y
x
IR
y
x
R ≤
≤
−
∈
= 14
/
, 2
2
alrededor de la recta 4
=
x .
4. Calcular el área de la región interior a la rosa θ
2
cos
2
=
r y exterior a la circunferencia 1
=
r .
5. Sea la región R limitada por la recta 0
=
x y la curva . Determine el valor de de tal
modo que la recta
x
y −
= 4
2
a
a
x = divida a la región R en dos regiones de igual área.
6. Sea la región ( )
{ }
2
4
0
/
, x
y
y
x
R −
≤
≤
= . Determine el valor de de tal modo que la recta
a a
y =
divida a la región R en dos regiones de igual área.
7. Calcule el área de la región ( )
{ }
x
y
x
x
y
x
y
y
x
R 2
12
2
2
/
, 2
−
≤
∧
+
≤
∧
≥
=
8. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de θ
cos
2 −
=
r .
9. Sea ( )
{ }
1
0
1
2
/
, 2
≤
≤
∧
+
≤
≤
= x
x
y
x
y
x
R . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la
región R alrededor de la recta 1
=
x
10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de θ
cos
4
2 +
=
r .
11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas
[ ]
π
2
,
0
,
2
2
2
cos
cos
2
∈
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
t
t
sen
sent
y
t
t
x
12. Sea R la región limitada por
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
=
=
x
x
y
x
y
y
4
0
2
2
Calcule:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1
−
=
x
13. Calcular el área de la región interior a θ
cos
2
1+
=
r y exterior a la 1
=
r .
14. Sea ( ) ( )
{ }
2
2
2
3
0
/
, y
x
y
x
y
y
x
R ≤
∧
−
≥
∧
≥
= . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar
la región R alrededor del eje 1
=
y .
95](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-344-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias
El área de la región estaría dada por
∫
∞
−
=
0
dx
e
A x
, la cual es una integral impropia, que
escribiéndola con propiedad tenemos:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
∫ −
∞
→
∞
−
N
x
N
x
dx
e
dx
e
A
0
0
lím
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
[ ] [ ] 1
1
1
lím
lím
lím 0
0
=
−
=
−
=
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∞
−
−
∞
→
−
∞
→
−
∞
→ ∫ e
e
e
dx
e N
N
N
x
N
N
x
N
En este caso se dice que el área converge a 1 ( )
2
1u
A =
Ejemplo 2
Hallar el área de la región
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤
0
1
1
:
y
x
x
y
R
SOLUCIÓN:
El área de la región estaría dada por
∫
∞
=
1
1
dx
x
A , la cual es una integral impropia, que
escribiéndola con propiedad tenemos:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
∫ ∞
→
∞ N
N
dx
x
dx
x
A
1
1
1
lím
1
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
[ ] [ ] ∞
=
−
∞
=
−
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∞
→
∞
→
∞
→ ∫ 1
ln
ln
1
ln
ln
lím
ln
lím
1
lím 1
1
N
x
dx
x N
N
N
N
N
En este caso se dice que la integral DIVERGE ( ∞
=
A ) es decir que haciendo la integral entre 1
y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande.
99](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-348-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias
[ ]
[ ]
π
=
=
−
∞
=
=
+
=
+
=
π
∞
→
∞
→
∞
→
∫
∫
k
A
k
k
x
k
dx
x
k
dx
x
k
A
N
N
N
N
N
N
2
0
0
2
0
2
2
0
arctg
arctg
2
arctg
lím
2
1
1
lím
2
1
lím
2
Si la condición es que
2
1u
A = entonces 1
=
π
k por tanto
π
=
1
k
Ejemplo 4
Determine para que valores de p la integral impropia
∫
∞
1
1
dx
x p
converge y para
que valores diverge.
SOLUCIÓN:
Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos:
∫
∞
→
N
p
N
dx
x
1
1
lím
Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1
=
p y si 1
≠
p
Primero si 1
=
p tenemos:
[ ] [ ] ∞
=
−
=
=
∞
→
∞
→
∞
→ ∫ 1
ln
lím
ln
lím
1
lím 1
1
LnN
x
dx
x N
N
N
N
N
(Diverge)
Segundo si 1
≠
p tenemos:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
−
∞
→
+
−
∞
→
−
∞
→ ∫ p
p
N
p
x
dx
x
p
p
N
N
p
N
N
p
N 1
1
1
lím
1
lím
lím
1
1
1
1
1
de lo último hay que considerar dos casos:
Si 1
p entonces ∞
=
−
−
∞
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
∞
→ p
p
p
N p
p
N 1
1
1
1
1
lím
1
1
(diverge)
Si 1
p entonces
p
p
p
p
N p
p
N −
−
=
−
−
∞
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
∞
→ 1
1
0
1
1
1
1
1
1
lím
1
1
(converge)
Por lo tanto:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≤
∞
=
∫
∞
1
;
1
1
1
;
1
1
p
p
p
dx
x p
101](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-350-320.jpg)
![MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias
5.2 INTEGRANDOS INFINITOS
Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no
acotadas, las graficas de las curvas tienen asíntotas verticales
Ejemplo 1
Hallar el área de la región
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≥
≤
0
0
1
:
y
x
x
y
R .
SOLUCIÓN:
La región referida sería:
La integral para el área es:
∫
=
1
0
1
dx
x
A note que la función
x
x
f
1
)
( = no está definida en
por tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta:
0
=
x
[ ] [ ] ∞
=
−
=
−
=
=
=
= +
→
→
→ +
+
+
∫
∫ 0
ln
0
ln
1
ln
lím
ln
lím
1
lím
1
0
1
0
1
0
1
0
t
x
dx
x
dx
x
A
t
t
t
t
t
(diverge)
Ejemplo 2
Calcular
∫
−
2
1
2
1
dx
x
SOLUCIÓN:
102](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-351-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
90
Entonces:
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
[ ]
( )
φ
−
θ
+
=
=
φ
−
θ
+
=
φ
−
θ
+
φ
−
θ
−
=
φ
−
θ
−
=
=
cos
1
cos
1
cos
cos
cos
,
,
e
ed
r
ed
e
r
ed
er
r
er
ed
r
r
d
e
r
l
P
d
e
F
P
d
Casos especiales son:
1. Si D
0
=
φ tenemos
θ
+
=
cos
1 e
ed
r
2. Si π
=
φ tenemos
θ
−
=
cos
1 e
ed
r
3. Si
2
π
=
φ tenemos
θ
+
=
sen
1 e
ed
r
4. Si
2
3
π
=
φ tenemos
θ
−
=
sen
1 e
ed
r
Ejemplo 1
Graficar
θ
+
=
cos
1
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso 1
=
e (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana 6
=
x (a la derecha y
paralela al eje
2
π
). Parábola cóncava a la izquierda.](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-367-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cónicas
63
( ) ( )
( ) cx
a
y
c
x
a
y
c
xc
x
y
c
x
a
a
y
c
xc
x
y
c
x
y
c
x
a
a
y
c
x
y
c
x
a
y
c
x
4
4
4
2
)
(
4
4
2
)
(
)
(
4
4
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
+
+
−
+
+
+
−
=
+
+
−
+
−
+
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:
( ) ( )
[ ]
[ ] 2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
x
c
cx
a
a
y
c
cx
x
a
x
c
c
a
a
y
c
x
a
cx
a
y
c
x
a
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
a
c
a
a
y
a
x
c
x
a
x
c
cx
a
a
y
a
c
a
cx
a
x
a
−
=
+
−
−
=
+
−
+
+
=
+
+
+
Dividiendo para ( )
2
2
2
c
a
a −
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x a c a y a a c
a a c a a c a a c
− −
+ =
− − −
1
2
2
2
2
2
=
−
+
c
a
y
a
x
Finamente, llamando 2
2
2
c
a
b −
= tenemos:
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
Ecuación canónica de la elipse con centro ( )
0
,
0
O y
eje focal horizontal
“b” representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica
anterior.
Aquí el lado recto tiene dimensión
a
b2
2
. ¡Demuéstrelo!
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto )
,
( k
h
V , y que el eje focal sea
horizontal entonces su ecuación sería:
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
k
y
a
h
x
Y su gráfica sería:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-396-320.jpg)
![Moisés Villena Muñoz Cónicas
69
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:
( ) ( )
( ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
)
(
4
4
2
)
(
)
(
4
4
)
(
)
(
2
)
(
y
c
x
a
a
cx
y
c
xc
x
y
c
x
a
a
y
c
xc
x
y
c
x
y
c
x
a
a
y
c
x
y
c
x
a
y
c
x
+
−
=
−
+
+
−
+
+
−
+
=
+
+
+
+
−
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:
( ) ( )
[ ]
[ ]
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
y
c
cx
x
a
a
cx
a
x
c
y
c
x
a
a
cx
a
x
c
y
c
x
a
a
cx
+
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
−
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
a
c
a
y
a
x
a
c
a
c
a
y
a
x
a
x
c
y
a
c
a
cx
a
x
a
a
cx
a
x
c
−
=
−
−
−
=
−
−
+
+
−
=
+
−
Dividiendo para ( )
2
2
2
a
c
a −
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
a
a
c
a
a
c
y
a
a
c
a
a
c
x
−
−
=
−
−
−
−
1
2
2
2
2
2
=
−
−
a
c
y
a
x
Finamente, llamando
2
2
2
a
c
b −
= tenemos:
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
Ecuación canónica de la hipérbola con centro ( )
0
,
0
O
y eje focal horizontal
Aquí “b” representa la longitud del segmento (Observe la gráfica
anterior) llamado semieje conjugado.
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto )
,
( k
h
V , y que el eje focal sea
horizontal entonces su ecuación sería:
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
k
y
a
h
x
Y su gráfica sería:](https://image.slidesharecdn.com/moisesvillenamunoz-1-230227174034-6916eeed/85/Moises_Villena_Munoz-1-pdf-402-320.jpg)
Moises_Villena_Munoz-1.pdf
- 1. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 1 1 1.1 LÍMITE EN UN PUNTO 1.2 LÍMITES LATERALES 1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.4 CÁLCULO DE LÍMITES 1.5 LÍMITES AL INFINITO 1.6 LÍMITES INFINITOS 1.7 OTROS LÍMITES OBJETIVOS: • Definir Límites. • Realizar demostraciones formales de límites. • Describir gráficamente los límites. • Calcular límites.
- 2. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 2 2 1 1.90 4.80 1.95 4.90 1.99 4.98 2.01 5.02 2.05 5.10 2.10 5.20 x y x = + " " 1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio del análisis de los límites. 1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función f con regla de correspondencia 1 2 ) ( + = x x f en la cercanía de 2 = x . Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 : En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: ( ) 5 1 2 lím 2 = + → x x Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:
- 3. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 3 2 5 6 1 0.90 6.90 0.95 6.95 0.99 6.99 1.01 7.01 1.05 7.05 1.10 7.10 x x x y x + − = − " " Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia 1 6 5 ) ( 2 − − + = x x x x f , en la cercanía de 1 = x . Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos: Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 7 1 6 5 lím 2 1 = − − + → x x x x . Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por otro lado, la regla de correspondencia 1 6 5 ) ( 2 − − + = x x x x f es equivalente a 1 ; 6 ) ( ≠ + = x x x f (¿POR QUÉ?). Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica: De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:
- 4. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 4 Una función f tiene límite L en un punto 0 x , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor 0 x . Lo que se denota como: 0 lím ( ) x x f x L → = Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones. 1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL Suponga que se plantea el problema de demostrar que 2 lím2 1 5 x x → + = o que 2 1 5 6 lím 7 1 x x x x → + − = − . Para esto, debemos garantizar formalmente el acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un punto 0 x (que x está en torno a 0 x ), bastará con considerarla perteneciente a un intervalo o vecindad, centrado en 0 x , de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ∂ (delta). Es decir: 0 0 x x x − ∂ < < +∂ Transformando la expresión anterior tenemos: δ < − δ < − < δ − − ∂ + < − < − ∂ − ∂ + < < ∂ − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x Restando " 0 x " Empleando la definición de valor absoluto
- 5. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 5 Y, para que x no sea 0 x , bastará con proponer que 0 0 x x < − < ∂ ¿POR QUÉ?. SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir: ( ) L f x L ε ε − < < + Transformando la expresión anterior tenemos: ε ε ε ε ε < − + < − < − + < < − L x f L x f L x f L ) ( ) ( ) ( Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera: Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a 0 x , denotado por 0 lím ( ) x x f x L → = , significa que para toda proximidad ε que se desee estar con f en torno a L, deberá poderse definir un intervalo en torno a 0 x en el cual tomar x, sin que necesariamente 0 x x = , que nos garantice el acercamiento. Es decir: ( ) 0 0 lím ( ) 0, 0 0 ( ) x x f x L tal que x x f x L ε δ δ ε → = ≡ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es: Restando " L " Aplicando la definición de valor absoluto
- 6. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 6 Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo 1 Demostrar formalmente que ( ) 5 1 2 lím 2 = + → x x . SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando reemplacemos la x por cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un números cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en 2 1 x + con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con 1 2 + = x y , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir: ( ) ε δ δ ε < − + ⇒ < − < > ∃ > ∀ 5 1 2 2 0 0 , 0 x x que tal En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir: ( ) ( ) 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 4 2 0 2 4 5 5 2 0 2 1 5 2 x x x x x x x δ δ δ δ δ δ δ < − < < − < < − < < − < < − < < − + − < < + − < Ahora, podemos decidir que 2 ε δ = ; es decir, que si tomamos 2 2 2 2 ε ε + < < − x nos permite asegurar lo propuesto. Suponga que 1 . 0 = ε ; es decir, si quisiéramos que 1 2 + = x y esté a menos de 0.1 de 5, será posible si tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de 05 . 0 2 1 . 0 = = δ . Es decir para que f esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05. Multiplicando por 2 (porque en el consecuente aparece 2x ) Propiedades del valor absoluto Sumando y restando 5 (debido a que aparece -5 en el consecuente) Agrupando
- 7. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 7 No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se quiera estar. Veamos, más cerca 01 . 0 = ε , bastará con tomar a la x a no menos de 005 . 0 2 01 . 0 = = δ de 2. Es decir que si tomamos 005 . 2 995 . 1 < < x garantiza que 01 . 5 ) ( 99 . 4 < < x f . Ejemplo 2 Demostrar formalmente que 2 1 5 6 lím 7 1 x x x x → + − = − . SOLUCIÓN: Debemos asegurar que 1 6 5 2 − − + = x x x y se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con 1 6 5 2 − − + = x x x y , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir: ε δ δ ε < − − − + ⇒ < − < > ∃ > ∀ 7 1 6 5 1 0 0 , 0 2 x x x x que tal Vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. La forma algebraica del consecuente nos guiará: ( ) ( )( ) 2 0 1 0 1 7 7 0 6 7 6 1 7 1 5 6 7 1 x x x x x x x x x δ δ δ < − < < − + − < < + − < + − − < ∂ − + − − < ∂ − Con ε δ = , nos permite asegurar lo propuesto; es decir, tomando ε ε + < < − 1 1 x Ejemplo 3 Demostrar formalmente que 2 2 lím 4 x x → = . SOLUCION: Debemos garantizar que ε δ δ ε < − ⇒ < − < > ∃ > ∀ 4 2 0 0 , 0 2 x x que tal Por lo tanto: ( )( ) 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 4 2 x x x x x x x x x δ δ δ δ < − < < − + < + < − + < + < − < + Se suma y resta 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente) Agrupando ( ) 6 x + y dividiéndolo y multiplicándolo por ( ) 1 x − (debido a que el primer término del consecuente aparece dividido por ( ) 1 x − ) Multiplicando por 2 x + (debido a que el consecuente tiene una diferencia de cuadrados perfectos) Propiedades del valor absoluto
- 8. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 8 Tomamos 2 + = x ε δ . Pero ahora existe un inconveniente, la relación es función de x . Esto lo podemos salvar acotando a x . Suponga que a la x se la toma a una distancia no mayor de 1, en torno a 2, entonces 3 1 ≤ ≤ x , que si tuviéramos que escoger un valor para x , el idóneo sería 3, para que satisfaga el hecho de que δ debe ser una cantidad pequeña. Por tanto, 5 2 3 ε ε δ = + = ; es decir, tomar 2 2 5 5 x ε ε − < < + asegura lo que se quiere demostrar. Ejemplo 4 Demostrar formalmente que 2 lím 4 = → x x . SOLUCION: Debemos garantizar que ε δ δ ε < − ⇒ < − < > ∃ > ∀ 2 4 0 0 , 0 x x que tal entonces: ( )( ) ( ) 0 4 0 2 2 0 2 2 0 2 2 x x x x x x x δ δ δ δ < − < < − + < < − + < < − < + Tomamos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 x ε δ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 5 3 ≤ ≤ x , un valor idóneo sería 3. ¿Por qué?. Por lo tanto, ( ) 2 3 + = ε δ ; es decir, si tomamos ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 + + < < + − ε ε x aseguramos lo que se quiere demostrar. Ejemplo 5 Demostrar formalmente que 3 27 lím 3 x x → = . SOLUCION: Debemos garantizar que 3 0, 0 0 27 3 tal que x x ε δ δ ε ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 0 27 0 27 27 27 0 3 3 9 0 3 3 9 x x x x x x x x x x δ δ δ δ < − < ⎛ ⎞ < − + + < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ < − + + < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ < − < ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Tomamos ( ) ( ) 2 3 3 3 9 x x δ ε ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 27, entonces 26 28 x ≤ ≤ , un valor idóneo sería 26. Factorizando 4 x − para diferencia de cuadrados Propiedades del valor absoluto Despejando Factorizando 27 x − para diferencia de cubos Propiedades del valor absoluto Despejando
- 9. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 9 Por lo tanto, ( ) 2 3 3 26 3 26 9 δ ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o 27 δ ε ≈ ; es decir, si tomamos ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 27 26 3 26 9 27 26 3 26 9 x ε ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + < < + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o 27 27 27 27 x ε ε − < < + aseguramos lo que se quiere demostrar. Ejemplo 5 Demostrar formalmente que 1 1 1 lím 1 2 x x x → − = − . SOLUCION: Debemos garantizar que 1 1 0, 0 0 1 1 2 x tal que x x ε δ δ ε − ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < − La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego transformar el antecedente. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − < − − − < − + − < + − + < + − − < + − < + − + < + + − < + − < + ⎡ ⎤ − < + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ¨ Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final: Factorizando el denominador ( ) 1 x − para diferencia de cuadrados Simplificando ( ) 1 x − Restando Destruyendo paréntesis Resolviendo la resta del 2 con el 1 Multiplicando y dividiendo por ( ) 1 x + Producto notable Aplicando propiedades del valor absoluto Despejando
- 10. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 10 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 1 0 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ < − < < − < < − + < < − < + − < < + + + − < < + + − − < < + + − + < < + + + < − < + + + < − < + + − < − < + − + − < − < − + Tomamos ( ) 2 2 1 x δ ε ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1, entonces 0 2 x ≤ ≤ , un valor idóneo sería 0. Reemplazando tenemos ( ) ( ) 2 2 1 0 2 δ ε ε ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Por lo tanto, 2 δ ε = ; es decir, si tomamos 1 2 1 2 x ε ε − < < + aseguramos lo que se quiere demostrar. Ejemplo 6 Demostrar formalmente que 4 4 lím 4 2 x x x → − = − . SOLUCION: Debemos garantizar que 4 0, 0 0 4 4 2 x tal que x x ε δ δ ε − ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < − Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente: Factorizando para diferencia de cuadrados Propiedad del valor absoluto Despejando Dividiendo todos los términos entre ( ) 2 1 x + Transformando el 1 en 2 - 1 Agrupando Separando en dos términos Simplificando Multiplicando por la conjugada
- 11. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 11 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε − − < − − + − < − + − < − < − + < + − < + − < + − < + Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 4 4 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 4 4 2 0 2 4 2 2 2 0 4 2 2 4 0 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x δ δ δ δ δ δ δ δ < − < − < < + + − + < < + + < − < + < − + − < + < + − < + + − < − < + − − < − < + − Tomamos ( ) 2 x δ ε = + . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 5 x ≤ ≤ , un valor idóneo sería 3. Por lo tanto, ( ) 3 2 δ ε = + ; es decir, si tomamos ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 x ε ε − + < < + + aseguramos lo que se quiere demostrar. Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la función. Factorizando ( ) 4 x − para diferencia de cuadrados Dividiendo todos los términos entre ( ) 2 x + Simplificando ( ) 2 x + Sumando y restando 4 Agrupando Multiplicando y dividiendo ( ) 2 x − Realizando el Producto Notable Factorizando el numerador ( ) 4 x − para diferencia de cuadrados Simplificando ( ) 2 x − Restando Multiplicando y dividiendo por ( ) 2 x + Realizando el Producto Notable Aplicando propiedades del valor absoluto Despejando
- 12. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 12 Ejercicios Propuestos 1.1 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límite: a) 2 3 9 lím 6 3 x x x → − = − b) ( ) 2 lím 2 5 1 x x → − = − c) 2 6 5 6 lím 7 6 x x x x →− + − = − + d) 5 1 3 2 3 2 lím 2 2 3 1 = − − − + → x x x x x e) 2 2 lím 2 = → x x f) 1 1 lím 2 1 x x x → − = − g) 3 8 lím 2 x x → = h) 3 3 lím x a x a → = 2. Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función: a) 2 1 3 9 1 lím 2 , 0.01 3 1 x x x ε → − = = − b) 4 4 2 8 2 2 lím 2 , 10 x a x a a x a ε − → − = = − c) 0 lím 2, 0.08 1 1 x x x ε → = = + − 3. Sea ℜ → ℜ+ : f tal que x x f = ) ( encuentre un valor de “ ∂ ” para que 01 . 3 ) ( 99 . 2 < < x f siempre que ∂ < − < 9 0 x 4. Sea 3 ) ( x x f = . Establezca un intervalo en el cual tomar " x " para que ) (x f esté a menos de 0.1 de 1 1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE. Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en 0 x x = , entonces este es único. Es decir, si L x f x x = → ) ( lím 0 y M x f x x = → ) ( lím 0 entonces M L = . Demostración: Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos hipótesis: : 1 H L x f x x = → ) ( lím 0 ≡ 1 1 0 1 1 ) ( 0 0 , 0 ε δ δ ε < − ⇒ < − < > ∃ > ∀ L x f x x que tal : 2 H M x f x x = → ) ( lím 0 ≡ 2 2 0 2 2 ) ( 0 0 , 0 ε δ δ ε < − ⇒ < − < > ∃ > ∀ M x f x x que tal Como se dice para todo 1 ε y para todo 2 ε entonces supongamos que ε ε ε = = 2 1 . Tomemos { } 2 1,∂ ∂ = ∂ min para estar con x , en la vecindad de 0 x .
- 13. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 13 Simultáneamente tenemos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − < − ⇒ < − < > ∃ > ∀ ε ε δ δ ε M x f L x f x x talque ) ( ) ( 0 0 , 0 0 lo cual quiere decir también que: ε δ δ ε 2 ) ( ) ( 0 0 , 0 ) ( 0 < − + − ⇒ < − < > ∃ > ∀ − x f M M x f L x f x x talque Por la desigualdad triangular b a b a + ≤ + , tenemos: b a b a x f M L x f x f M L x f ) ( ) ( ) ( ) ( − + − ≤ − + − entonces como ε 2 ) ( ) ( − + − ≤ − x f M L x f L M podemos decir que ε 2 − L M Ahora bien, suponiendo que L M − = 2 1 ε se produce una contradicción porque tendríamos ( ) L M L M − − 2 1 2 lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que M L = . L.Q.Q.D Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto) Sea ( ) x sen x f 1 ) ( = . Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0” ( ) 1 0 1 1 0 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 π π π π π π − − − − − = 7 7 x sen y x Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero. Veamos su gráfica. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x sen y 1
- 14. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 14 1.2 LÍMITES LATERALES Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto por una sola dirección. 1.2.1 LÍMITE POR DERECHA Cuando x se aproxima a tomar el valor de 0 x , pero sólo por su derecha ( ) ∂ + 0 0 x x x , f se aproxima a tomar el valor de 1 L ; significa que f puede estar tan cerca de 1 L , tanto como se pretenda ( ε ∀ ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir: 0 1 0 1 lím ( ) 0, 0 ( ) x x f x L tal que x x f x L ε ε + → ⎛ ⎞ = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 1 Una función creciente en ( ) ∞ , 0 x
- 15. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 15 Ejemplo 2 Una función decreciente en ( ) ∞ , 0 x 1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA. Cuando x se aproxima a tomar el valor de 0 x , pero sólo por su izquierda ( ) 0 0 x x x − ∂ , f se aproxima a tomar el valor de 2 L ; significa que f puede estar tan cerca de 2 L , tanto como se pretenda ( ε ∀ ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir: 0 2 0 2 lím ( ) 0, 0 ( ) x x f x L tal que x x f x L ε ε − → ⎛ ⎞ = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 1 Una función decreciente en ( ) 0 ,x −∞
- 16. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 16 Ejemplo 2 Una función creciente en ( ) 0 ,x −∞ Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de límite en un punto que fue dada al comienzo. De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge el siguiente teorema. 1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE Si f es una función con límite en 0 x entonces se cumple que tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir: ( ) L x f L x f L x f x x x x x x = ∧ = ≡ = − + → → → ) ( lím ) ( lím ) ( lím 0 0 0 Si se da que ) ( lím ) ( lím 0 0 x f x f x x x x − + → → ≠ , se dice que ) ( lím 0 x f x x→ no existe. Ejemplo 1 Sea 2 2 ) ( − − = x x x f . Hallar ) ( lím 2 x f x→ : SOLUCIÓN:
- 17. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 17 Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta: ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − = − − = 2 ; 1 2 ; 1 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 2 ) ( x x x x x x x x x x x f Esto quiere decir que su gráfica es: De la gráfica observamos que 1 ) ( lím 2 = + → x f x y 1 ) ( lím 2 − = − → x f x ; entonces se concluye que existe no x f x ) ( lím 2 → . Ejemplo 2 Demostrar formalmente que ( ) 6 lím 3 = → x f x si ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = 3 , 3 3 3 , 4 3 , 2 x x x x x x f SOLUCIÓN: Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que ( ) 6 lím 3 = + → x f x y que ( ) 6 lím 3 = − → x f x . PRIMERO, ( ) 3 lím 2 6 0, 0 0 3 2 6 x x tal que x x ε ε + → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − ( ) 0 3 0 2 3 2 0 2 6 2 x x x − ∂ − ∂ − ∂ Si 2 ε = ∂ ; es decir, tomando 2 3 3 ε + x garantizamos la afirmación que 6 2 3 = + → x lím x . SEGUNDO, ( ) ( ) ( ) 3 lím 3 3 6 0, 0 0 3 3 3 6 x x tal que x x ε ε − → − = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − − ( ) ( ) ( ) 0 3 0 3 3 3 0 9 3 3 0 6 3 3 3 0 3 3 6 3 0 3 3 6 3 x x x x x x − ∂ − ∂ − ∂ + − ∂ − − + ∂ −⎡ − − ⎤ ∂ ⎣ ⎦ Si 3 ε = ∂ ; es decir, tomando 3 3 3 − x ε garantizamos que ( ) 3 lím 3 3 6 x x − → − = .
- 18. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 18 Ejemplo 3 Demostrar formalmente que ( ) x f x 2 lím → no existe, si ( ) ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ − = 2 , 1 2 , 1 x x x x x f SOLUCIÓN: La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es decir: ( ) ( ) x f x f x x − → + → ≠ 2 2 lím lím . Note que, ( ) 2 lím 1 1 x x + → − = y que ( ) 2 lím 1 3 x x − → + = PRIMERO, ( ) ( ) ( ) 2 lím 1 1 0, 0 0 2 1 1 x x tal que x x ε ε + → − = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − − ( ) 0 2 0 1 1 0 1 1 x x x − ∂ − − ∂ − − ∂ Si ε = ∂ ; es decir, tomando ε + 2 2 x garantizamos que ( ) 2 lím 1 1 x x + → − = . SEGUNDO, ( ) ( ) ( ) 2 lím 1 3 0, 0 0 2 1 3 x x tal que x x ε ε − → + = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ + − ( ) ( ) 0 2 0 3 1 0 3 1 0 1 3 x x x x − ∂ − − ∂ − + ∂ −⎡ + − ⎤ ∂ ⎣ ⎦ Si ε = ∂ ; es decir, tomando 2 2 − x ε garantizamos que ( ) 2 lím 1 3 x x − → + = . Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando que ( ) x f x 2 lím → no existe Ejemplo 4 Demostrar formalmente que a b ( ) 2 lím 2 2 x x x + → − = SOLUCIÓN: a b ( ) ( ) a b ( ) 2 lím 2 2 0, 0 0 2 2 2 x x x tal que x x x ε ε + → − = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − − No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir a b 2 x = . Transformando el antecedente: ¨ ( ) a b ( ) 0 2 0 2 4 2 0 2 4 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 x x x x x − ∂ ≡ − ∂ ≡ − + − ∂ ≡ − − ∂ ≡ − − ∂ Si 2 ε ∂ = ; es decir, tomando 2 2 2 x ε + garantizamos que a b ( ) 2 lím 2 2 x x x + → − = .
- 19. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 19 Ejercicios Propuestos 1.2 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales: a. 0 lím 0 = → x x b. ( ) 3 lím 2 − = → x f x ; si ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ − = 2 , 4 5 2 , 7 2 x x x x x f c. ( ) 3 lím 2 = → x f x ; si ( ) ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ − = 2 , 1 2 , 1 2 x x x x x f d. a b ( ) 2 lím 2 3 x x x − → − = e. a b ( ) 3 lím 3 6 x x x + → − = 2. Demostrar formalmente que ( ) x f x 1 lím → no existe, si ( ) ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ − = 1 , 2 1 , 1 3 x x x x x f 3. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique. a. ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = 1 , 3 1 , 1 1 , 2 x x x x f ; ( ) x f x 1 lím → b. ( ) 2 2 x f x x + = + ; ( ) 2 lím x f x →− ; ( ) 2 lím x f x → c. ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ − = 2 , 4 5 2 , 7 2 x x x x x f ; ( ) x f x 2 lím → d. ( ) a b f x x x = − ; ( ) x f x − →0 lím , ( ) 0 lím x f x + → e. ( ) a b ( ) ( ) , 1 3 , 1 4 , 4 x x x f x Sgn x x x x μ ⎧ + ≤ − ⎪ = − − ≤ ⎨ ⎪ ⎩ ; ( ) 1 lím x f x →− ( ) 5 2 , lím x f x →− 4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes: • R f Dom = • f es decreciente en ( ) ( ) 2 , 0 3 , ∪ − −∞ • f es creciente en ( ) ( ) +∞ ∪ − , 2 0 , 3 • [ ] ε δ δ ε − ⇒ − − ∀ ∃ ∀ 2 ) ( 3 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε δ δ ε ⇒ + ∀ ∃ ∀ ) ( 3 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε δ δ ε + ⇒ − ∀ ∃ ∀ 1 ) ( 2 0 , 0 0 x f x x • ( ) ( ) 0 2 3 = = − f f y 5 ) 0 ( = f 5. Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: • R f Dom = • f es creciente en ( ) ( ) ,0 0,3 −∞ ∪ • f decreciente en ( ) ∞ , 3 • [ ] ε δ δ ε − ⇒ − ∀ ∃ ∀ 3 ) ( 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε δ δ ε ⇒ ∀ ∃ ∀ ) ( 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε δ δ ε − ⇒ − ∀ ∃ ∀ 5 ) ( 3 0 , 0 0 x f x x • ( ) ( ) 0 ) 6 ( 3 3 = = = − f f f y 2 ) 0 ( = f
- 20. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 20 1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE Sean f y g funciones con límite en 0 x ; es decir, suponga que 0 lím ( ) x x f x L → = y 0 lím ( ) x x g x M → = . Entonces: 1. 0 lím x x k k → = , k R ∀ ∈ 2. 0 0 lím x x x x → = 3. 0 0 lím ( ) lím ( ) x x x x kf x k f x kL → → = = , k R ∀ ∈ 4. [ ] 0 0 0 lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x L M → → → + = + = + 5. [ ] 0 0 0 lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x L M → → → − = − = − 6. [ ] 0 0 0 lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x LM → → → = = 7. 0 0 0 lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x f x L g x g x M → → → ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ;siempre que 0 lím ( ) 0 x x g x → ≠ 8. [ ] 0 0 lím ( ) lím ( ) n n n x x x x f x f x L → → ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , n N ∀ ∈ 9. 0 0 lím ( ) lím ( ) n n n x x x x f x f x L → → = = siempre que 0 lím ( ) 0 x x f x → ≥ cuando n es par. Demostraciones 1. ( ) 0 0 lím 0, 0/ 0 x x k k x x k k ε ε → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − El consecuente de la implicación es verdadero porque ε 0 . Por tanto, la proposición es siempre verdadera. 2. ( ) 0 0 0 0 lím 0, 0/ 0 x x x x x x x x ε ε → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − Si ε = ∂ la proposición es verdadera siempre.
- 21. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 21 3. ( ) 0 0 lím ( ) 0, 0/ 0 ( ) x x kf x kL x x kf x kL ε ε → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − Observe el consecuente, la expresión ε − kL x kf ) ( es equivalente a ( ) ε − L x f k ) ( . Por hipótesis, en la cercanía de 0 x , f se aproxima a L , por tanto kf se aproximará a kL . 4. Debemos demostrar que si L x f x x = → ) ( lím 0 M x g x x = → ) ( lím 0 entonces [ ] M L x g x f x x + = + → ) ( ) ( lím 0 Asegurar que L x f x x = → ) ( lím 0 significa que: 1 1 0 1 1 ) ( 0 0 , 0 ε ε − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ L x f x x que tal Y asegurar que M x g x x = → ) ( lím 0 significa que: 2 2 0 2 2 ) ( 0 0 , 0 ε ε − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ M x g x x que tal Lo cual quiere decir si tomamos 2 2 1 ε ε ε = = y { } 2 1,∂ ∂ = ∂ min tenemos: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ 2 ) ( 2 ) ( 0 / 0 , 0 0 ε ε ε M x g L x f x x Sumando término a término la desigualdad resulta: 2 2 ) ( ) ( ε ε + − + − M x g L x f Y por la desigualdad triangular ( ) ( ) M x g L x f M x g L x f − + − ≤ − + − ) ( ) ( ) ( ) ( Por lo tanto ( ) ( ) ε + − + M L x g x f ) ( ) ( Finalmente, se observar que: ( ) ( ) ε ε + − + ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ M L x g x f x x ) ( ) ( 0 / 0 , 0 0 lo que nos asegura que [ ] M L x g x f x x + = + → ) ( ) ( lím 0 El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo Suponga que se tiene ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = 0 ; 0 0 ; 1 ) ( x x x f y ⎩ ⎨ ⎧ ≥ = 0 ; 1 0 ; 0 ) ( x x x g entonces ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = + 0 ; 0 0 ; 1 ) ( x x x g f Observe que: 0 lím ( ) x f x → no existe y que 0 lím ( ) x g x → tampoco existe, sin embargo ( ) 0 lím ( ) 1 x f g x → + = (existe). Es decir, “ Si ( ) g f + es una función con límite en un punto, entonces no podemos asegurar que f y g también tienen límite en ese punto”
- 22. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 22 El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo Calcular ( ) 2 3 lim 2 2 − + → x x x SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos: ( ) 8 2 ) 2 ( 3 2 ) 1 3 , 8 ( 2 lim 3 lim ) 5 4 ( 2 lim 3 lim lim 2 3 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + = − + → → → → → → y inciso x x y inciso x x x x x x x x x x Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta. 1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN Sea f una función polinomial o una función racional, entonces 0 0 lím ( ) ( ) x x f x f x → = siempre que 0 ( ) f x esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional. De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ejemplo Calcular ( ) 2 3 lim 2 2 − + → x x x SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos: ( ) 8 2 ) 2 ( 3 2 2 3 lim 2 2 2 = − + = − + → x x x Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.
- 23. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 23 1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO Sean f , g y h funciones tales que ( ) ( ) ( ) g x f x h x ≤ ≤ para toda x próxima a 0 x con la posible excepción de 0 x . Si 0 lím ( ) x x g x L → = y 0 lím ( ) x x h x L → = entonces 0 lím ( ) x x f x L → = . DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis: : 1 H ( ) 0 1 1 0 1 1 lím ( ) 0, 0/ 0 ( ) x x g x L x x g x L ε ε → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − : 2 H ( ) 0 2 2 0 2 2 lím ( ) 0, 0/ 0 ( ) x x h x L x x h x L ε ε → = ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒ − : 3 H ) ( ) ( ) ( 0 / 0 3 0 3 x h x f x g x x ≤ ≤ ⇒ ∂ − ∃∂ Ahora, suponiendo que ε ε ε = = 2 1 y tomando { } 3 2 1 , , ∂ ∂ ∂ = ∂ min , tenemos: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 / 0 , 0 0 x h x f x g L x h L x g x x ε ε ε que quiere decir que: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + − + − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 / 0 , 0 0 x h x f x g L x h L L x g L x x ε ε ε ε ε lo cual significa que: ε ε + ≤ ≤ − L x h x f x g L ) ( ) ( ) ( , y de manera simplificada se podría decir que: ε ε + − L x f L ) ( Por lo tanto ε ε − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ L x f x x ) ( 0 / 0 , 0 0 , que no es otra cosa que L x f x x = → ) ( lím 0 L.Q.Q.D. Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea 2 2 1 ( ) 1 x f x x − ≤ ≤ + para toda x próxima a 0, excepto en 0. Hallar ) ( lím 0 x f x→ . SOLUCIÓN: Llamemos 2 1 ) ( x x g − = y 2 ( ) 1 h x x = + . Calculando límites tenemos: ( ) 2 0 0 lím ( ) lím 1 1 x x g x x → → = − = y ( ) 2 0 0 lím ( ) lím 1 1 x x h x x → → = + = .
- 24. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 24 Y como ) ( ) ( ) ( x h x f x g ≤ ≤ en la vecindad de 0 = x , por el teorema del emparedado se concluye que: 1 ) ( lím 0 = → x f x O más simplemente: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 lím 1 lím ( ) lím 1 x x x x f x x → → → − ≤ ≤ + 1 ) ( lím 1 0 ≤ ≤ → x f x por lo tanto 1 ) ( lím 0 = → x f x Ejemplo 2 Use el teorema del emparedado para demostrar que: 0 1 sen lím 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → x x x SOLUCIÓN: No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que 0 1 lím sen x x → ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ no existe. También hacerlo en término de ε ∂ − , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. La función ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x f 1 sen ) ( es acotada, es decir que 1 1 sen 0 ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ x . Al multiplicar por x tenemos: 1 1 sen 0 x x x x ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ; luego tomando límite resulta x x x x x x 0 0 0 lím 1 sen lím 0 lím → → → ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ , que equivale a 0 1 sen lím 0 0 ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ → x x x y llegamos a lo que queríamos, es decir: 0 1 sen lím 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → x x x . Ejemplo 3 Hallar x Senx x 0 lím → SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función x Senx x f = ) ( x sen x cos 2 R x tg x 1 1 3 R 1 R
- 25. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 25 Del gráfico tenemos que: ( ) 2 ) 1 ( tg 1 x AreaR = , ( ) 2 ) 1 ( 2 2 x AR = , ( ) 2 ) (sen cos 3 x x AR = Observe que 3 2 1 R R R A A A ≥ ≥ , entonces ( ) ( ) ( ) 2 sen cos 2 1 2 ) 1 ( tg 2 x x x x ≥ ≥ PRIMERO: Si + → 0 x . Multiplicando por 2 y dividiendo para x sen resulta: ( ) ( ) x x x x x x x sen 2 sen cos 2 sen 2 2 sen 2 ) 1 ( tg 2 ≥ ≥ x x x x cos sen cos 1 ≥ ≥ que es lo mismo que x x x x cos 1 sen cos ≤ ≤ tomando límite x x x x x x x cos 1 lím sen lím cos lím 0 0 0 + + + → → → ≤ ≤ 1 sen lím 1 0 ≤ ≤ + → x x x entonces 1 sen lím 0 = + → x x x SEGUNDO: En cambio, si − → 0 x . Multiplicando por 2 y dividiendo para x sen resulta: x x x x cos sen cos 1 ≤ ≤ (Se invierte el sentido de la desigualdad porque 0 sen x que es lo mismo que: x x x x cos 1 sen cos ≤ ≤ tomando límite: x x x x x x x cos 1 lím sen lím cos lím 0 0 0 − − − → → → ≤ ≤ 1 sen lím 1 0 ≤ ≤ − → x x x entonces 1 sen lím 0 = − → x x x Finalmente 0 sen lím 1 x x x → = Observe la gráfica Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior. sen x y x =
- 26. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 26 Ejercicios Propuestos 1.3 1. Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite. 2. Use el teorema del emparedado para demostrar que: a. 0 1 lím 2 4 0 = → x Sen x x b. ( ) 0 1 1 sen 1 lím 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + → x x x 3. Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo. a. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lím lím 0 x x x x f x L f x L → → = ⇒ − = b. Si ( ) 0 lím ( ) ( ) x x f x g x → − existe, entonces también existen 0 lím ( ) x x f x → y 0 lím ( ) x x g x → c. Si ( ) ( )2 4 3 5 x x g − ≤ + , entonces ( ) 5 lím 4 − = → x g x d. Si ( ) 0 f x no está definida, entonces el 0 lím ( ) x x f x → no existe e. Si ( ) 0 f x existe, entonces 0 lím ( ) x x f x → existe f. Suponga que g es una función tal que 0 ) ( lím 0 = → x g x . Si f es una función cualquiera, entonces ( ) 0 ) ( lím 0 = → x fg x g. Si ) ( ) ( x g x f ≠ para toda x , entonces el 0 0 lím ( ) lím ( ) x x x x f x g x → → ≠ 1.4 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar. Ejemplo 1 Calcular a b ( ) 1 lím x x x + → − SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución: a b ( ) 1 lím 1 1 1 1 0 x x x + + → − = − = − = c f d g e h (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1) Ejemplo 2 Calcular a b ( ) 1 lím x x x − → − SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución a b ( ) 1 lím 1 1 1 0 1 x x x − − → − = − = − = c f d g e h (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)
- 27. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 27 Ejemplo 3 Calcular a b ( ) ( ) 1 lím 2 1 1 x x Sgn x − → − + − SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución: a b ( ) ( ) a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lím 2 1 1 lím 2 1 lím 1 2(1 ) 1 1 1 1 0 0 1 1 x x x x Sng x x Sng x sng sng − − − → → → − − − − − + − = − + − = − + − = + = − = − c f d g e h c f d g e h Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular: 1. 4 6 2 lím 4 − − + → x x 2. x x x − − − + → 3 1 4 lím 3 3. ( ) 0 lím 2 x x Sgnx + → − 4. a b 3 3 lím 3 x x x + → − − 5. a b 0 1 lím 1 x x x + → − + 6. a b 2 2 2 1 lím 1 x x x x + → − − c f d g e h 7. a b ( ) ( ) 2 0 tan lím x x Sgn x x μ + → + 8. a b 2 lím sen x x π → 9. ( ) 2 2 lím cos x x π π + →− + c f d g e h 10. ( ) ( ) ( ) 5 lím 5 1 3 x x x x μ μ μ + → + + − − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 0 0 0 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ •∞ ∞
- 28. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 28 Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos 0 0 , suponga que sea igual a una constante c, es decir 0 0 c = entonces 0 0c = sería verdadera para todo c. Analice el resto de indeterminaciones. Ejemplo 1 Calcular 2 1 5 6 lím 1 x x x x → + − − SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución tenemos ( ) 2 2 1 1 5 1 6 5 6 0 lím 1 1 1 0 x x x x → + − + − = = − − una indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando: ( )( ) ( ) 2 1 1 1 6 1 5 6 lím lím lím 6 1 1 x x x x x x x x x x → → → + − + − = = + − − Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: ( ) 1 lím 6 1 6 7 x x → + = + = Ejemplo 2 Calcular 2 2 7 10 lím 2 x x x x → − + − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) 0 0 2 2 10 2 7 22 = − + − (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión: ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 7 10 lím lím lím( 5) 2 2 x x x x x x x x x x → → → − − − + = = − − − Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta: 2 lím( 5) 2 5 3 x x → − = − = Ejemplo 3 Calcular 4 5 14 lím 2 x x x x → + − − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 2 4 14 4 5 4 = − − + (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
- 29. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 29 ( )( ) ( ) 4 4 2 7 2 5 14 lím lím lím 7 2 2 x x x x x x x x x x → → → + − + − = = + − − Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta: ( ) 4 lím 7 4 7 9 x x → + = + = SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: 2 u x = . Este caso x u = , y cuando 4 → x , 2 → u Por tanto el límite en la nueva variable sería: 2 2 5 14 lím 2 u u u u → + − − Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución: ( )( ) ( ) 2 2 2 2 7 2 5 14 lím lím lím 7 9 2 2 u u u u u u u u u u → → → + − + − = = + = − − Ejemplo 4 Calcular 1 1 lím 1 x x x → − − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 1 1 1 1 = − − (Indeterminación) Racionalizando el numerador y simplificando: ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 lím lím lím 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x → → → ⎡ ⎤ − + − • = = = ⎢ ⎥ − + − + + ⎣ ⎦ Ejemplo 5 Calcular 3 1 1 lím 1 x x x → − − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 1 1 1 1 3 = − − (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos: PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos: ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 3 3 1 1 1 lím 1 1 1 x x x x x x x x x → ⎡ ⎤ + + − + ⎢ ⎥ • • ⎢ ⎥ − + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 lím 2 1 1 1 1 x x x x x x → − + + + + = = − + +
- 30. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 30 SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: 6 u x = . Entonces Si 1 1 → ⇒ → u x Reemplazando tenemos: 6 3 2 3 6 1 1 1 1 lím lím 1 1 u u u u u u → → − − = − − Y factorizando: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 lím lím 1 1 1 1 1 2 u u u u u u u u u u → → − + + + + + + = = = − + + + Ejemplo 6 Calcular a b 2 2 3 2 2 lím 4 x x x x − → − − − SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límite consideramos a b ( ) 2 2 2 2 lím 3 2 lím 4 x x x x x − − → → ⎛ − ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Entonces, para el primer límite tenemos: a b ( ) 2 lím 3 2 3 x x − → − = ¿Por qué? Y para el segundo límite, resulta: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 1 2 1 lím 2 2 2 lím 2 2 2 lím 4 2 lím 4 2 lím 2 2 2 2 2 2 2 − = + − = + − − − = + − − = − − = − − − − − − − → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x Por lo tanto a b 2 2 3 2 2 1 3 lím (3) 4 4 4 x x x x − → − − ⎛ ⎞ = − = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Ejercicios Propuestos 1.5 Calcular: 1. 3 9 lím 2 3 − − → x x x 2. 4 2 lím 2 2 − − → x x x 3. 2 8 lím 3 2 − − → x x x 4. 2 2 4 9 20 lim 3 4 x x x x x → − + − − 5. 2 2 2 3 10 lim 5 14 x x x x x → − − + − 6. 3 2 3 2 1 5 3 lim 2 7 4 x x x x x x x → + − + + − + 7. 3 2 3 2 2 2 10 lim 2 2 4 x x x x x x x →− + − + + − − 8. 4 2 lím 4 − − → x x x 9. 2 1 1 lim 2 x x x → − − − 10. 8 2 lím 3 8 − − → x x x 11. 2 1 lím 2 3 1 − + − → x x x x 12. ( ) 1 1 lím 2 1 − + + − → x a x a x x 13. ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − → 2 3 3 2 1 1 1 2 x x x lim x 14. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 3 1 1 2 1 3 lím x x x 15. 8 3 7 lím 3 8 − − + → x x x 16. a b 2 2 3 2 2 lím 4 x x x x + → − − −
- 31. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 31 Otros límites se calculan empleando la expresión 0 sen lím 1 x x x → = que en forma generalizada sería: 0 sen lím 1; ( ) u u donde u u x u → = = Ejemplo 1 Calcular ( ) 0 sen lím x kx x → SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) ( ) sen 0 0 0 0 k = (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el teorema principal de límites: ( ) 0 0 1 sen sen lím lím (1) x x kx kx k k k k kx kx → → = = = Se podría decir que ( ) 0 sen lím u k u k u → = ; k ∈ Ejemplo 2 Calcular 0 sen3 lím sen5 x x x → SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) sen 3 0 0 0 sen 5 0 = (Indeterminación) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior: 3 0 0 0 0 5 sen3 sen3 lím sen3 3 lím lím sen5 sen5 sen5 5 lím x x x x x x x x x x x x x x → → → → = = = Ejemplo 3 Calcular 2 0 1 cos lím x x x → − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: P 1 2 1 cos0 0 0 0 − = (Indeterminación) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
- 32. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 32 ( ) 2 sen 2 2 2 0 0 1 cos 1 cos 1 cos lím lím 1 cos 1 cos x x x x x x x x x x → → − + − ⎡ ⎤ • = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ 2 2 2 2 0 0 0 2 0 sen 1 lím lím lím 1 cos (1 cos ) sen 1 1 lím 2 2 x x x x x sen x x x x x x x → → → → ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ejemplo 4 Calcular ( ) 2 0 1 cos lím x kx x → − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) ( ) 2 1 cos 0 1 cos 0 1 1 0 0 0 0 0 k − − − = = = (Indeterminación) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sen 2 2 2 0 0 1 cos 1 cos 1 cos lím lím 1 cos 1 cos kx x x kx kx kx kx x x kx → → ⎡ ⎤ − + − • = ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 sen 1 lím lím lím 1 cos (1 cos ) sen 1 lím 2 2 x x x x k kx sen kx kx x kx x kx k x → → → → ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Se puede decir que ( ) 2 2 0 1 cos lím 2 u k u k u → − = Ejemplo 5 Calcular 0 1 cos lím x x x → − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 0 0 cos 1 = − (Indeterminación) Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: ( ) 2 0 0 1 cos 1 cos 1 cos lím lím 1 cos 1 cos x x x x x x x x x → → − + − ⎡ ⎤ • = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ P N 2 0 0 0 0 0 1 1 sen sen sen lím lím lím (1 cos ) 1 cos sen sen 0 0 lím 0 1 cos0 2 x x x x x x x x x x x x x → → → → = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
- 33. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 33 Se puede decir que ( ) 0 1 cos lím 0 u k u u → − = Ejemplo 6 Calcular sen sen lím x a x a x a → − − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 sen sen = − − a a a a (Indeterminación) PRIMER MÉTODO: Cambiando variable a x u − = . Entonces si x a → , 0 u → y además a u x + = Reemplazando y simplificando tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sen 0 0 0 0 0 0 0 1 sen sen sen cos cos sen sen lím lím sen cos cos sen sen lím sen cos cos 1 sen lím cos 1 sen sen cos lím lím sen cos lím sen u a u u u u u u u u a a u a u a a u u u a u a a u u a u a u u a u a u u u a a lí u + → → → → → → → + − + − = + − = + − = − = + ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) 0 0 cos 1 cos (1) (0) cos u u m u a sena a → ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + = SEGUNDO MÉTODO: Empleando la identidad: sen sen 2cos sen 2 2 x a x a x a + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2cos sen sen sen 2 2 lím lím x a x a x a x a x a x a x a → → + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − − Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites) 1 2cos sen 2cos sen 2 2 2 2 lím lím lím 2 2 2 2 cos x a x a x a x a x a x a x a x a x a a → → → + − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − − = Ejemplo 7 Calcular ( ) ( ) 3 2 2 1 1 sen lím 1 x x x π → + − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) ( ) 3 2 2 1 sen 1 1 0 0 0 1 1 π + − = = − (Indeterminación)
- 34. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 34 Haciendo cambio de variable: 1 u x = − entonces 1 x u = + y si 1 x → entonces 0 u → Reemplazando y simplificando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 0 3 3 2 2 2 0 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 0 3 2 2 0 1 sen 1 1 sen lím lím 1 1 sen lím 1 sen cos cos sen lím 1 sen 0 cos 1 lím 1 cos lím x u u u u u u x u x u u u u u u u u u u π π π π π π π π π π π → → → → → → + + + = − + + = + + = + + − = − = El último límite se lo puede calcular directamente con la formula ( ) 2 2 0 1 cos lím 2 u k u k u → − = P ( ) 2 3 2 2 3 2 9 2 4 2 0 1 cos 9 lím 2 2 8 k u u u π π π π → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 0 0 2 2 2 3 2 2 3 0 2 2 3 2 3 0 0 2 1 cos 1 cos 1 cos lím lím 1 cos 1 cos sen lím 1 cos sen 1 lím lím 1 cos u u u u u u u u u u u u u u u u u u π π π π π π π π π → → → → → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Multiplicando y dividiendo por 3 2 π y obteniendo límite: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 0 0 2 2 2 3 2 2 3 2 3 0 0 2 3 2 1 2 2 sen 1 lím lím 1 cos sen 1 lím lím 1 cos 3 1 2 2 9 8 u u u u u u u u u u π π π π π π π π π π → → → → ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
- 35. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 35 Ejemplo 8 Calcular 0 lím 1 cos x x x − → − SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0 0 1 cos0 − − = − (Indeterminación) Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando: N N 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 1 1 1 cos 1 cos lím lím 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos lím sen 1 cos lím sen 1 cos lím sen 1 cos lím sen 1 cos0 sen 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − → → → → → → + + = − + − + = + = + = + = − + = − = − Ejercicios propuestos 1.6 Calcular: 1. 0 sen 2 tan3 lím x x x x + → + 2. x x x x cos 2 2 sen lím 0 − + → 3. ( )2 2 3 sen 1 lím 2 π → − + π x x x 4. ( ) 2 1 lím 1 tan x x x π → − 5. ( ) 2 tan lím 2 x x x π →− + 6. 1 cos 2 lím 1 x x x π → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 7. 3 sen 3 lím 1 2cos x x x π π → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 8. ( ) 0 cot 2 lím tan 2 x x x π → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9. 0 arcsen lím x x x → 10. 0 arctan 2 lím sen3 x x x →
- 36. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 36 Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el cálculo de otros límites, es el de ( )x x x f 1 1 ) ( + = cuando x tiende a “0 ”. Hagamos una tabla de valores: ( ) 5937 . 2 10 . 0 65329 . 2 05 . 0 7048 . 2 01 . 0 7319 . 2 01 . 0 7895 . 2 05 . 0 86797 . 2 10 . 0 1 1 7 7 − − − + = x x y x Se observa que: ( ) 1 0 lím 1 x x x e → + = ¡HAY QUE DEMOSTRARLO! Más generalmente tenemos que ( ) 1 0 lím 1 u u u e → + = donde ) (x u u = . Ejemplo 1 Calcular ( ) 1 0 lím 1 sen x x x → + SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos ( ) ∞ = + 1 0 sen 1 0 1 (Indeterminación) Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos ( ) 1 0 lím 1 u u u e → + = . Si consideramos x u sen = , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x : ( ) ( ) 1 sen sen 1 1 1 sen sen 0 0 lím lím 1 sen 1 sen x x x x x x x x e x e e x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ( ) x x y 1 1+ = e
- 37. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 37 Ejemplo 2 Calcular ( ) 1 0 lím cos x x x → SOLUCIÓN: Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma ∞ 1 . Para utilizar ( ) 1 0 lím 1 u u u e → + = primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: ( ) ( ) x x x 1 0 1 cos 1 lím − + → luego consideramos 1 cos − = x u y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión: ( ) ( ) 0 0 cos 1 lím 0 cos 1 cos 1 lím 1 cos 1 x x x x e x x x x x e → − → − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Por tanto: ( ) 1 0 0 lím 1 cos x x e x → = = . Ejemplo 3 Calcular 2 2 1 1 2 lím 1 x x x x x x + + − → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) 2 2 1 1 1 3 0 1 1 2 2 1 1 1 2 + + − ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Indeterminación) Sumamos y restamos 1 a la base: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 lím lím 1 1 1 1 2 1 lím 1 1 1 lím 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + − − → → + + − → + + − → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ − + ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Multiplicamos y dividimos el exponente por 1 1 x x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 lím 1 1 1 1 1 1 lím 1 1 1 1 lím 1 1 1 1 1 1 lím 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e → → → ⎛ ⎞ − + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ − − + + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ + → ⎛ ⎞ − − ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = = 2 1 1 3 1 2 e ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =
- 38. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 38 Ejemplo 4 Calcular tan 2 3 lím 4 x k x k x k π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( ) tan tan 2 2 tan 2 3 3 lím 4 4 4 3 1 x k k k x k x k k k π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Indeterminación) Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos: tan tan 2 2 3 3 tan 2 1 3 3 3 3 tan 2 lím 3 3 lím 4 lím 1 3 3 lím 1 3 x x k k x k x k x x k k x k x k e x x k k x k x x k k x k e π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − → − → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u x k = − de donde x u k = + y si x k → entonces 0 u → . ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 3 3 lím 3 tan lím 3 tan 2 2 3 3 lím 3 tan 2 3 3 3 lím tan 2 2 sen 3 2 2 lím cos 2 2 3 lím x k u u u u u u k u k x x k k k k u k u k k k k u k u k k u u k k u k u k π π π π π π π π π π → → → → → → + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − P P N N ( ) ( ) P 0 1 0 1 0 1 0 0 1 sen cos cos sen 2 2 2 2 cos cos sen sen 2 2 2 2 cos 3 2 lím sen 2 cos 2 3 3 1 lím sen 2 2 2 2 u u u u k k u u k k u k u k u k u k u k k u k k u k u k π π π π π π π π π π π π π π π → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ = = ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 6 lím 3 tan 2 x k x x k k π π → ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Finalmente: tan 6 2 3 lím 4 x k x k x e k π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
- 39. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 39 Ejemplo 5 Calcular 0 1 lím kx x a x → − SOLUCIÓN: Sustituyendo tenemos 0 0 0 1 ) 0 ( = − k a . Considerando 1 − = kx a u , entonces ( ) 1 ln ln 1 + = u x a k y si 0 → x también 0 → u Haciendo cambio de variable, tenemos: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ln lím lím ln ln lím ln 1 ln 1 ln 1 u u u k a u u u k a k a u u u → → → ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ Multiplicando, numerador y denominador por u 1 , resulta: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 ln lím ln lím ln ln ln ln 1 ln 1 ln 1 u u u u u e u k a k a k a k a k a u e u → → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎡ ⎤ + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ El resultado 0 1 lím ln k u u a k a x → − = puede ser utilizado para calcular otros límites. Ejemplo 4 Calcular 2 0 3 1 lím x x x → − SOLUCIÓN: Empleando el resultado anterior: 2 0 3 1 lím 2ln3 x x x → − = Ejemplo 5 Calcular 2 4 0 3 5 lím x x x x → − SOLUCIÓN: Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites: ( ) 2 4 2 4 0 0 2 4 0 2 4 0 0 2 4 0 3 5 3 1 5 1 lím lím 3 1 5 1 lím 3 1 5 1 lím lím 3 5 lím 2ln3 4ln5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − − − + = − − − = − − = − − = −
- 40. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 40 Ejercicios Propuestos 1.7 Calcular: 1. ( ) csc 0 lím 1 tan x x x → + 2. ( ) csc 2 lím 1 cos x x x π → + 3. ( ) 2 1 0 lím cos x x x → 4. ( ) tan 2 lím sen x x x π → 5. 2 2 2 2 3 3 4 lím 1 x x x x x x + + − − → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 6. 2 2 2 6 2 2 3 lím 1 x x x x x x + + − − → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 7. ( ) tan 2 1 lím 4 3 x x x π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → − 8. x e x x 1 lím 3 0 − → 9. x e e bx ax x 3 sen lím 0 − → 10. 2 3 0 lím tan x x x e e x → − 11. x bx ax x 2 2 lím 0 − → 12. 0 2 lím ; 0 x h x h x h a a a a h + − → + − 13. ( ) 1 0 lím x x x x e → + 14. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ln cos lím ln cos x ax bx → Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos algebraicos. Ejemplo 1 Demuestre que 0 1 1 lím n x k x k x n → + − = SOLUCIÓN: Por producto notable se puede decir que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 1 1 2 términos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n kx kx kx kx kx kx kx kx − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ + − ⎤ = + − + + + + + + + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = + − + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 lím lím 1 1 1 1 1 lím 1 1 1 lím 1 1 1 lím 1 1 1 1 0 n n n n n n n n x x n n n n x n n n n x n n n n x n n n n kx kx k x k x x x kx kx k x x kx kx k x x kx kx k kx kx k k − − − − → → − − → − − → − − → − ⎡ ⎤ + + + + + + − ⎢ ⎥ + − ⎣ ⎦ = • ⎡ ⎤ + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + − = ⎡ ⎤ + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + + + + + = + ( ) ( ) 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 lím n n n veces n x k k k x k x n − → + + + + = + + + + − =
- 41. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 41 El resultado anterior puesto de forma general 0 1 1 lím n u k u k u n → ⎡ ⎤ + − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ puede ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2 Calcular 3 0 27 3 lím x x x → − − SOLUCIÓN: Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior. ( ) P 3 3 0 0 3 3 0 3 0 3 0 3 0 27 27 3 27 3 27 lím lím 27 1 3 27 lím 1 3 1 3 27 lím 1 1 1 27 3lím 1 27 3 1 27 lím 3 3 27 n x x x x k x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − − − − = − − = ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − − = = − Ejemplo 3 Calcular 5 30 2 2 lím 30 x x x → + − − SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos 30 u x = − de donde 30 x u = + y 0 u → . Reemplazando, simplificando y calculando el límite:
- 42. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 42 ( ) 5 5 30 0 5 0 5 0 3 5 0 5 0 5 0 5 0 5 30 2 2 30 2 2 lím lím 30 30 30 32 2 lím 32 32 2 32 lím 32 32 2 32 32 lím 1 2 1 2 32 lím 1 2 1 1 32 lím 1 1 1 32 2 lím 1 2 2 1 32 lím 2 30 5 80 x u u u u u u u x x u x u u u u u u u u u u u u u x x → → → → → → → → → + − + + − = − + − + − = + − = + − = + − = ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − = = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 4 Calcular 4 3 0 1 2 1 3 lim 1 1 x x x x → ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites: ( ) 4 4 3 3 0 0 4 3 0 4 3 0 4 0 0 3 0 4 3 0 1 2 1 3 1 2 1 1 3 1 lim lim 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 lim 1 1 1 2 1 1 3 1 lim 1 1 1 2 1 1 3 1 lim lim 1 1 lim 2 3 1 2 1 3 4 2 lim 6 1 1 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → → + − − + − − − + = − − − − + − − − − = − − + − − − − = − − + − − − − = − − ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + − − ⎝ ⎠ = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ −
- 43. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 43 Ejemplo 5 Calcular 4 3 1 14 2 2 4 3 lim 2 1 x x x x → ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Aquí 1 u x = − de donde 1 x u = + y 0 u → . Reemplazando, simplificando y calcular el límite: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 1 0 3 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 14 2 1 2 4 3 1 14 2 2 4 3 lim lim 2 1 2 1 1 14 2 2 2 4 3 3 lim 2 1 1 16 2 2 1 3 lim 1 1 16 16 2 2 1 3 16 lim 1 1 2 1 2 1 3 8 lim 1 1 2 1 1 3 8 lim 1 1 2l x u u u u u u u u x x x u u u u u u u u u u u u u u u u → → → → → → → + + − − + + − − = − − − + − + + − − − = − − − + − − = − − + − − = − − + − − = − − ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − = 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 0 0 3 0 4 3 1 1 1 3 8 im 1 1 1 1 1 3 1 8 2lim 1 1 1 1 1 3 1 8 2lim 1 1 1 1 1 3 1 8 lim lim 2 1 1 lim 1 3 1 3 8 14 2 2 4 3 49 4 2 32 2 lim 2 2 6 1 1 32 2 1 3 3 u u u u u u x u u u u u u u u u u u u u u u u u u x x x → → → → → → → + − − − − + − − − + = − − + − ⎛ ⎞ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + − ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − − ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ + − − ⎛ ⎝ ⎠ = = = − − − − − 147 16 ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular: 1. 3 3 2 2 lím 3 6 − + − − + → x x x x 2. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − + → 3 8 80 26 4 3 1 x x x lím x 3. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − + → 2 9 20 2 4 3 7 x x x lím x 4. 3 2 2 3 2 3 2 lím 4 x x x x + → − − + −
- 44. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 44 1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím ( ) x f x L →∞ = Ejemplo 1 Formalmente sería: Decir que lím ( ) x f x L →∞ = significa que f puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( 0 ε ∀ ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, N ∃ (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir: ( ) lím ( ) 0, 0 ( ) x f x L N tal que x N f x L ε ε →∞ = ≡ ∀ ∃ ⇒ −
- 45. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 45 Ejemplo 2 Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím ( ) x f x L →−∞ = . Ejemplo 1 Formalmente sería: Decir que lím ( ) x f x L →−∞ = significa que f puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, 0 ∀ε , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , N ∃ (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir: ( ) lím ( ) 0, 0 ( ) x f x L N tal que x N f x L ε ε →−∞ = ≡ ∀ ∃ − ⇒ −
- 46. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 46 Ejemplo 2 Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y L = . Aquí también podemos hacer demostraciones formales Ejemplo Demostrar formalmente que 0 1 lím = ∞ → x x SOLUCIÓN: Empleando la definición tenemos: ε ε − ⇒ ∃ ∀ ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ → 0 1 0 , 0 0 1 x N x que tal N x lím x Transformando el antecedente: 1 1 x N x N Se observa que tomando ε 1 = N aseguraríamos el acercamiento. Por ejemplo si se quisiera que x y 1 = esté a menos de 01 . 0 = ε de 0, bastaría con tomar a 1 0.01 x es decir 100 x . Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.
- 47. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 47 Ejemplo 1 Calcular 2 2 2 3 1 lím 5 1 x x x x x →∞ + − + − SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación: ∞ ∞ Dividiendo numerador y denominador para 2 x , tenemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 2 lím lím 1 1 5 5 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ + − + − = = + − + − (No olvide que 0 ; k k ≈ ∈ ∞ ) Este resultado indica que la gráfica de ( ) 2 2 2 3 1 5 1 x x f x x x + − = + − tiene una asíntota horizontal 2 5 y = Ejemplo 2 Calcular 2 1 lím 1 x x x x →+∞ − + + SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación: ∞ ∞ Dividiendo numerador y denominador para x : 2 1 lím 1 x x x x x x →+∞ − + + Al introducir la x dentro del radical quedará como 2 x : 2 2 2 2 2 1 1 1 lím lím 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ − − = = + + + + Este resultado indica que la gráfica de ( ) 2 1 1 x f x x x − = + + tiene una asíntota horizontal 1 y = en el infinito positivo. Ejemplo 3 Calcular 2 1 lím 1 x x x x →−∞ − + + SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: −∞ ∞ Aquí hay que dividir numerador y denominador para x − : 2 1 lím 1 x x x x x x →∞ − − + + −
- 48. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 48 Al introducir la x − dentro del radical quedará como 2 x : 2 2 2 2 2 1 1 1 lím lím 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − − + − − = = − + + + + Este resultado indica que la gráfica de ( ) 2 1 1 x f x x x − = + + tiene una asíntota horizontal 1 y = − en el infinito negativo. Ejemplo 4 Calcular ( ) 2 2 lim 1 1 x x x x x →+∞ + + − − − SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 2 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 2 lim 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + − − + + − − − ⋅ + + + − − + + − − − + = = + + + − − + + + − − + ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + − − En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la identidad: ( ) 1 1 u u u lím e →∞ + = ¡DEMUÉSTRELA! Ejemplo Calcular ( ) 2 lím 1 x x x→∞ + . Solución: Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite: ( )2 2 2 2 1 lím 1 x x x e →∞ ⎡ ⎤ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Se puede concluir que: ( ) lím 1 u k k u u e →∞ + =
- 49. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 49 Ejercicios propuestos 1.9 1. Demostrar formalmente que 0 1 lím = −∞ → x x 2. Calcular: 1. 3 2 3 5 3 4 3 lím 3 1 x x x x x x →∞ − + − + + 2. 2 3 lím 2 5 1 x x x x →−∞ − + 3. ( ) ( ) 5 2 3 3 2 lím 5 2 3 + − + ∞ → x x x x 4. ( ) 3 3 2 lím x x x x + + ∞ → 5. lím x x x x x →∞ + + 6. 3 2 1 lím 1 x x x →∞ + + 7. ( )( )( ) 3 2 3 3 5 4 6 lím 3 1 x x x x x x →∞ − + − + − 8. ( ) 1 ! sen lím 2 + ∞ → x x x x 9. 2 3 3 lím 1 x x x →∞ − + 10. 5 lím 2 x x x →−∞ − 11. 3 2 3 3 2 1 lím 8 x x x x x →∞ + − + − 12. 2 1 lím x x x →−∞ + 13. 2 2 1 3 x x lím x →−∞ − 14. 2 5 2 x x lím x →−∞ − + 15. 2 3 1 lím 1 x x x →−∞ + − 16. 3 6 5 1 lím 2 x x x →−∞ − + 17. 2 lím x x x x →∞ + − 18. ( ) x x x x − − +∞ → 1 lím 2 19. ( ) 2 2 lím 1 x x x x x →∞ + + − − 20. ( ) 2 4 2 lím 2 x x x x →+∞ − − + 21. ( ) lím 3 2 x x x x →+∞ + − + 22. x x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∞ → 1 1 lím 23. 2 1 lím 3 x x x x + →∞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 24. 2 lím ln 5 x x x x →∞ ⎡ ⎤ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
- 50. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 50 1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto 0 x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir ∞ = → ) ( lím 0 x f x x . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no tiene límite en 0 x . Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces 0 lím ( ) x x f x → = ∞ significa que cuando a x está próxima a 0 x “, a una distancia no mayor de ∂ ( 0 0 x x − ∂), f será mayor que M. Es decir: M x f x x que tal M x f x x ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ = → ) ( 0 0 , 0 ) ( lím 0 0 Ejemplo Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto 0 x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir −∞ = → ) ( lím 0 x f x x . Diremos, en este caso, que f decrece sin límite o que f no tiene límite en 0 x . Es decir:
- 51. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 51 Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: M x f x x que tal M x f x x − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∞ = → ) ( 0 0 , 0 ) ( lím 0 0 Ejemplo Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un punto 0 x , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir ∞ = + → ) ( lím 0 x f x x . Lo cual significa: Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: 0 lím ( ) x x f x + → = ∞ 0 0, 0 0 ( ) M tal que x x f x M ≡ ∀ ∃∂ − ∂ ⇒
- 52. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 52 Ejemplo Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical 0 x x = . Ejemplo 1 Calcular ( ) 2 1 1 lim 1 x x → − SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 lim 0 1 1 1 x x → = = = +∞ − − (No existe) La gráfica de ( ) ( ) 2 1 1 f x x = − tiene una asíntota vertical 1 x = y tanto por izquierda como por derecha la grafica crece sin límite. Ejemplo 2 Calcular 2 3 lim 2 x x x + → + − SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución: 2 3 2 3 5 lim 2 2 2 0 x x x + + + + + → + + = = = +∞ − − (No existe) La gráfica de ( ) 3 2 x f x x + = − tiene una asíntota vertical 2 x = y por su derecha la grafica crece sin límite. PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?. Se pueden describir otros comportamientos.
- 53. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 53 1.7 OTROS LÍMITES. Para decir ∞ = ∞ → ) ( lím x f x , f toma valores muy grandes positivos cada vez que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que: M x f N x que tal N M ⇒ ∃ ∀ ) ( 0 , 0 Ejemplo Ejercicios Propuestos 1.10 1. Defina formalmente y describa gráficamente: a) −∞ = + → ) ( lím 0 x f x x b) ∞ = − → ) ( lím 0 x f x x c) −∞ = − → ) ( lím 0 x f x x d) −∞ = ∞ → ) ( lím x f x e) ∞ = −∞ → ) ( lím x f x f) −∞ = −∞ → ) ( lím x f x 2. Demuestre formalmente que: a) +∞ = + → x x 1 lím 0 b) −∞ = − → x x 1 lím 0 3. Calcular: 1. 1 1 lim 1 1 x x + → ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 2. 1 lim 1 x x x − → ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 3. 2 3 3 lim 9 x x x − → + − 6. 6 5 lim 1 x x x →−∞ + 7. 2 3 2 6 4 lim 4 5 7 x x x x x →∞ − + + − 8. lim 2 x x →∞
- 54. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 54 4. 2 2 7 1 lim 49 x x x − →− + − 5. 2 4 16 lim 4 x x x + → − − 9. lim 1 2 x x →−∞ − 10. 5 1 lim x x x →∞ + 4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ( ) [ ] ( ) +∞ ∪ − ∪ − −∞ = , 2 1 , 1 2 , f Dom • 1 1 0 ) ( − = ∨ = ⇔ = x x x f • [ ] N x f x N ⇒ ∂ − − ∃∂ ∀ ) ( 2 0 0 , 0 • [ ] N x f x N ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ) ( 2 0 0 , 0 • [ ] ε ε − ⇒ ∃ ∀ 1 ) ( 0 , 0 x f M x M • [ ] ε ε − ⇒ − ∃ ∀ 1 ) ( 0 , 0 x f M x M • 1 ) 0 ( = f 5. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • [ ] ε ε − ⇒ ∂ ∀ ∃∂ ∀ 1 ) ( 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε ε + ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ 1 ) ( 0 , 0 0 x f x x • [ ] ε ε ⇒ ∀ ∃ ∀ ) ( , 0 0 x f N x x N • [ ] M x f x x M ⇒ ∂ + ∀ ∃∂ ∀ ) ( 1 0 , 0 0 • 0 ) 0 ( = f Misceláneos 1. Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente. 1. Si 3 2 5 ) ( lím 2 = − − + → x x f x , entonces 0 ) ( lím 2 = + → x f x 2. Si f y g son funciones tales que 1 ) ( lím 0 = + → x f x y ∞ = + → ) ( lím 0 x g x , entonces 1 ) ( lím ) ( 0 = + → x g x x f 3. Sea f una función de variable real tal que ) ( lím x f a x + → existe y 1 ) ( lím = − + → x f a x a x . Entonces 0 ) ( lím = + → x f a x . 4. Sean f y g funciones tales que ∞ = + → ) ( lím x f a x y ∞ = + → ) ( lím x g a x . Entonces el ) ( ) ( lím x g x f a x + → no existe. 5. Sean f y g funciones tales que e x g a x = + → ) ( lím y ( ) ) ( ln ) ( x g x f = . Entonces ( ) 1 ) ( lím = + → x g f a x D 6. Si 1 ) ( lím 0 = + → x x f x entonces 0 ) ( lím 0 = + → x f x 7. Si [ ] ) ( ) ( lím x g x f a x + → existe, entonces existen ) ( lím x f a x→ y ( ) x g a x→ lím 8. Si ( ) x g x f ≠ ) ( para toda x , entonces ( ) x g x f a x a x → → ≠ lím ) ( lím 9. Si ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ → ) ( ) ( lím x g x f a x existe y 0 ) ( lím = → x f a x entonces 0 ) ( lím = → x g a x 10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces: ( ) ( ) ) ( lím )) ( ( lím x g f x g f IR a a x a x → → = ∈ ∀
- 55. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 55 11. Si a x a a x x a x − − − − + → 2 2 lím existe entonces 0 = a . 12. Si [ ] ) ( ) ( lím x g x f a x→ existe y ) ( lím x f a x→ existe entonces ) ( lím x g a x→ existe. 13. Si +∞ = → ) ( lím x f a x entonces −∞ = − → ) ( lím x f a x 14. ( ) ( ) ( ) 1 lím 3 1 2 0, 0, 0 1 3 1 2 x x x x x ε ε → ⎡ ⎤ − = ⇔ ∀ ∃∂ ∀ − ∂ ⇒ − − ⎣ ⎦ 15. Si 0 ) ( lím 0 = + → x f x y ∞ = + → ) ( lím 0 x g x entonces 0 ) ( ) ( lím 0 = + → x g x f x . 16. Existen dos funciones de variable real f y g tales que 0 ) ( lím ) ( lím 0 0 = = + → + → x g x f x x y e x g x f x = + → ) ( ) ( lím 0 17. Si lím ( ) 0 x f x →∞ = y ( ) lím 2 ( ) x f x g x →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ entonces lím ( ) 0 x g x →∞ = 18. No existen dos funciones f y g tales que 0 lím ( ) 0 x f x → = , 0 lím ( ) 0 x g x → = y 0 ( ) lím 5 ( ) x f x g x → = 19. Si 3 ) ( lím = → x f a x , 2 ) ( lím − = → x g a x , entonces 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( lím 3 − + − + → x g x f x g x f a x =1 2. Empleando la definición de límite, demuestre que: 1. 2 1 2 1 lím 3 1 x x x x + → − − = − 2. 2 1 lím 5 = − + → x x 3. 0 3 lím 3 = − + → x x 4. 2 2 4 lím 4 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + → x x 5. 4 2 4 lím 2 2 − = + − + − → x x x 3. Determine 1. 2 3 lím 2 x x x + → + c f d g e h 2. x x e x x 4 sen 2 cos lím 3 0 − + → 3. 2 0 3 cos cos lím x x x x − + → 4. x x x x 3 5 2 3 2 lím ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + +∞ → 5. 1 lím 2 1 − − + → x e xex x 6. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π + π → 2 2 cos lím x x x 7. tan 4 2 3 lím 4 2 x x x π + → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8. 3 2arctan lím 1 x x x e π →∞ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 9. ( ) 2 tan 2 4 lím sen 2 x x x π + → 20. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → x x x x sen 1 sen lím 21. ( ) 2 1 arctan arctan1 lím 1 x x x + → − − 22. 1 2 1 lím 2 1 − − − → x x x x 23. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 2 1 2 1 2 1 arcsen arcsen lím x x x 24. 0 sen lím x x x + → 25. a b ( ) 0 lím Sgn( ) 1 ( 1) x x x x μ + → ⎡ ⎤ + + − ⎣ ⎦ 26. ( ) x x x sen sen lím 0+ → 27. a b a b ( ) 0 lím x x x → + − 28. ( ) ( ) 2 lím tan x x x π π → − 29. 2 2 2 5 2 2 3 lím 1 x x x x x x + + − − → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
- 56. Moisés Villena MuñozCap. 1 Límites de Funciones 56 10. x x e x x 5 sen 3 cos lím 2 0 − → 11. ( ) ( ) lím ln 2 1 ln 2 x x x →+∞ ⎡ + − + ⎤ ⎣ ⎦ 12. 2 lím arctan 1 x x x →−∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 13. ( ) x e lím x x + +∞ → 1 ln 14. 1 1 1 lím 2 2 1 − − − − + → x x x x 15. ( ) sec 2 lím 1 cot x x x π + → + 16. 0 lím ( ) x f x → donde 2 1 cos3 ; 0 ( ) 5 ; 0 sen10 tan ; 0 sen 2 x x x f x x x x x x − ⎧ ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ − ⎪ ⎩ 17. 2 7 0 lím sen 2 tan9 x x x e e x x + → − + 18. ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + → 1 1 1 1 lím 1 x x x 19. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + → x x x x 2 cos 1 3 sen lím 0 30. ( ) 3 2 3 3 lím 1 1 x x x x →+∞ ⎡ ⎤ + − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 31. ( ) 6 6 3 2 sen lím cos x x x π π → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 32. 2 2 2 0 1 cos lím sen x x x x → − 33. ( ) 1 2ln lím 1 2 x x x →+∞ + 34. 3 64 8 lím 4 x x x → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 35. 1 2 0 1 5 lím 1 3 x x x x → + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 36. ( ) 0 lím 1 cos cot x x x → − 37. 5 2 0 cos2 1 lím x x xe x x x − → ⎛ ⎞ − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 38. 3 0 cos2 lím sen5 x x e x x x → ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 39. 0 lím 1 1 x x x x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + ⎝ ⎠ 40. ( ) 3 3 lím 1 x x x →∞ + − 41. lím x x x a x a →∞ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 4. Calcular ) ( lím 0 x f x + → si 1 ) ( x x f para 0 ≠ x 5. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ε ε − ⇒ ∂ ∃∂ ∀ 3 ) ( 0 : 0 , 0 x f x • N x f x N ⇒ ∂ + ∃∂ ∀ ) ( 3 0 : 0 , 0 • 0, 0 : 0 3 ( ) N x f x N ∀ ∃∂ − − ∂ ⇒ − • ε ε − ⇒ ∃ ∀ 1 ) ( : 0 , 0 x f M x M • 0, 0: ( ) M x M f x ε ε ∀ ∃ − ⇒ 6. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ( ) ( ) ( ) Dom , 1 1,1 1, f = −∞ − ∪ − ∪ +∞ • [ ] ε ε ⇒ ∂ ∃∂ ∀ ) ( 0 0 , 0 x f x • [ ] M x f x M − ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ) ( 1 0 0 , 0 • [ ] M x f x M ⇒ ∂ − ∃∂ ∀ ) ( 1 0 0 , 0 • [ ] M x f x M ⇒ ∂ + ∃∂ ∀ ) ( 1 0 0 , 0 • [ ] ε ε + ⇒ ∃ ∀ 1 ) ( 0 , 0 x f N x N • [ ] ε ε ⇒ − ∃ ∀ ) ( 0 , 0 x f N x N
- 57. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 41 2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina continuidad. • Realice demostraciones formales de continuidad. • Diseñe funciones continuas.
- 58. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 42 Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en ese punto. 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición. Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto ) , ( b a y sea ) , ( 0 b a x ∈ , se dice que f es continua en 0 x si ) ( ) ( 0 0 x f x f lím x x = → . Es decir, si se cumplen tres cosas: 1. ) ( 0 x f está definida 2. L x f x x = → ) ( lím 0 (existe); y 3. ) ( 0 x f L = Caso contrario, se dice que f es discontinua en 0 x Ejemplo Una función continua en un punto 0 x
- 59. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 43 Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto 0 x , tenemos: Ejemplo 1 La función no es continua en 0 x , debido a que existe no x f lím x x ) ( 0 → Ejemplo 2 La función no es continua en 0 x , debido a que existe no x f lím x x ) ( 0 → Ejemplo 3 La función no es continua en 0 x , debido a que ) ( ) ( lím 0 0 x f x f x x ≠ →
- 60. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 44 Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, por que sería cuestión de definir a f en el punto 0 x con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 1 6 5 ) ( 2 − − + = x x x x f no está definida en 1 = x y su gráfica es la de 1 ; 6 ) ( ≠ + = x x x f que no es continua en 1 = x . Definiéndola continua tenemos ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − + = 1 ; 7 1 ; 1 6 5 ) ( 2 x x x x x x f Ejemplo 5 Calcular el valor de “ A , de ser posible, para que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − = 0 ; 0 ; 1 ) ( 2 x A x x e x f x sea continua en 0 x = . SOLUCIÓN: La función está definida para todo número real excepto 0 = x . El asunto será definirla en este punto con el valor de ) ( lím 0 x f x→ si es que existe, para que sea continua en todo R , Es decir, hacer que ) ( lím ) 0 ( 0 x f f A x→ = = . Calculando el límite tenemos: 2 1 lím 2 0 = − → x e x x . Por tanto 2 = A
- 61. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 45 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS. 1. Una función polinomial es continua en todo número real. 2. Un función racional es continua en todo su dominio, es decir en todo número excepto donde el denominador es cero. 3. La función valor absoluto es continua en todo número real. 4. La funciones seno y coseno son continuas en todo número real. 5. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en todo su dominio, es decir en todo número excepto donde el denominador es cero. 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES 2.3.1 Teorema Si f y g son funciones continuas en el punto 0 x , entonces también lo son: kf , g f + , g f − , g f . , g f ( ) 0 ) ( 0 ≠ x g , n f ,n f ( par es n si x f 0 ) ( 0 )
- 62. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 46 Demostración. Demostremos lo siguiente: Si f y g son funciones continuas en el punto 0 x entonces g f + también es continua en 0 x Las hipótesis serían : 1 H ) ( ) ( 0 0 x f x f lim x x = → y : 2 H ) ( ) ( 0 0 x g x g lim x x = → Como [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x g lim x f lim x g x f lim x x x x x x → → → + = + entonces [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x g x f x g x f lim x x + = + → Es decir ( ) [ ] ( ) ) ( ) ( 0 0 x g f x g f lim x x + = + → Lo cual indica que la función g f + también es continua en 0 x Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. 2.3.2 Teorema del Límite de la composición. Si f y g son funciones tales que L x g x x = → ) ( lím 0 y f es continua en L, entonces ) ( )) ( ( lím 0 L f x g f x x = → . En particular, si g es continua en 0 x y f continua en ) ( 0 x g entonces g f D es continua en 0 x En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en determinar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a definir a continuación.
- 63. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 47 2.4 CONTINUIDAD LATERAL 2.4.1 Continuidad por derecha Se dice que f es continua por la derecha de 0 x si ) ( ) ( lím 0 0 x f x f x x = + → Ejemplo 2.4.2 Continuidad por izquierda Se dice que f es continua por la izquierda de 0 x si ) ( ) ( lím 0 0 x f x f x x = − → Ejemplo
- 64. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 48 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN ( ) b a, Una función f es continua en un intervalo abierto ( ) b a, si es continua en todo punto interior de ( ) b a, . Es decir ( ) ) ( ) ( lím ; , 0 0 0 x f x f b a x x x = ∈ ∀ → Ejemplo 1 Una función continua en ( ) b a, Ejemplo 2 Otra función continua en ( ) b a,
- 65. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 49 2.4.2 CONTINUIDAD EN [ ] b a, Una función f es continua en un intervalo cerrado [ ] b a, si es continua en ( ) b a, y además continua a la derecha de a ( ) ( ) ( lím a f x f a x = + → ) y a la izquierda de b ( ) ( ) ( lím b f x f b x = − → ). Ejemplo Una función continua en [ ] b a, 2.4.3 CONTINUIDAD EN [ ) b a, Una función f es continua en un intervalo semiabierto [ ) b a, , si es continua en ( ) b a, y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en [ ) b a,
- 66. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 50 Ejemplo 2 Otra función continua en [ ) b a, 2.4.4 CONTINUIDAD EN ( ] b a, Una función f es continua en un intervalo semiabierto ( ] b a, , si es continua en ( ) b a, y además continua a la izquierda de b. Ejemplo 1 Ejemplo 2
- 67. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 51 Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 Hallar los valores de a y b para que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ − + − − = 3 ; 5 3 3 ; 3 ; 2 ) ( x x b x b ax x a x x f sea continua en todo R . SOLUCIÓN: Note que las reglas de correspondencia que definen a f son lineales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Entonces debemos procurar que f sea continua en los puntos donde cambia de regla de correspondencia, es decir en 3 − = x y en 3 = x , lo que significa dos cosas: 1. 6 2 3 ) 3 ( 2 ) ( lím ) 2 ( lím 3 3 = − + = − + = − + − − → − → b a b a a b ax a x x x 2. 5 15 3 ) 3 ( 5 ) 3 ( ) 5 ( lím ) ( lím 3 3 − = − = − / = / + − = + + − → → a a b b a x b b ax x x reemplazando el valor de a en la primera ecuación obtenida, resulta: 16 6 ) 5 ( 2 − = = − − b b Es decir, que la función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ≤ ≤ − − − − + = 3 ; 5 16 3 3 ; 16 5 3 ; 5 2 ) ( x x x x x x x f será continua en todo R . Ejercicio resuelto 2 Analizar la continuidad de la función 6 9 ) ( − − = x x x f SOLUCIÓN: El asunto aquí es sinónimo de establecer el dominio natural. Entonces debemos resolver 0 6 9 ≥ − − x x Por tanto, f tendrá gráfica sólo en el intervalo( ] 9 , 6 que será también su intervalo de continuidad. Ejercicio resuelto 3 Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: 1. f es continua en ( ) ( ] ( ) +∞ ∪ − ∪ − −∞ , 1 1 , 2 2 , 2. [ ] ε ε − ⇒ − ∀ ∃ ∀ 2 ) ( , 0 , 0 x f N x x N 3. [ ] M x f x x M − ⇒ ∂ + ∀ ∃∂ ∀ ) ( 2 0 , 0 , 0 4. [ ] M x f x x M ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 1 0 , 0 , 0 5. [ ] M x f N x x N M − ⇒ ∀ ∃ ∀ ) ( , 0 , 0 6. [ ] ε ε + ⇒ + ∂ − ∀ ∃∂ ∀ 2 ) ( 0 2 , 0 , 0 x f x x 7. [ ] ε ε − ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ 2 ) ( 1 0 , 0 , 0 x f x x 8. 1 ) 2 ( , 0 ) 3 ( , 0 ) 1 ( , 1 ) 0 ( , 1 ) 2 ( = = = − = = − f f f f f
- 68. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 52 SOLUCIÓN: Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad ( ) ( ] ( ) +∞ ∪ − ∪ − −∞ , 1 1 , 2 2 , 2. 2 ) ( lím = −∞ → x f x asíntota horizontal 2 = y para x negativos. 3. −∞ = + − → ) ( lím 2 x f x asíntota vertical 2 − = x por derecha 4. ∞ = + → ) ( lím 1 x f x asíntota vertical 1 = x por derecha 5. −∞ = ∞ → ) ( lím x f x 6. 2 ) ( lím 2 − = − − → x f x límite por izquierda de 2 − = x 7. 2 ) ( lím 1 = − → x f x límite por izquierda de 1 = x 8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería: Ejercicios Propuestos 2.1 1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad e indique los intervalos de continuidad 1. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − = 1 ; 1 0 ; 0 ; ) ( 2 x x x x x x x f 2. 4 16 ) ( 2 − − = x x x f 3. ) 2 ( ) 2 ( ) ( + + − = x Sgn x x f μ 4. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 1 ) ( x x f 5. [ ] x x x f − = ) ( 6. [ ] ( ) π π 2 , 2 ; ) ( − ∈ = x senx x f
- 69. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 53 2. Analice la continuidad de las siguientes funciones: 1. x sen x x f 2 1 ) ( − = 2. 3 2 1 ) ( 2 + + = x x x h 3. 12 5 6 8 2 ) ( 2 3 2 − + + − + = x x x x x x f 4. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 ) ( 2 2 x x sen x f 3. Calcular el valor de A , si existe, para que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 ; 0 ; ) ( x A x x senx x f sea continua en todo R . 4. Hallar los valores de a y b para que f sea continua en R . 1. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − + ≤ = 4 ; 6 2 4 1 ; 1 ; ) ( 2 x x x b ax x x x f 2. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − + ≤ = 4 ; 2 4 1 ; 1 ; ) ( x x x b ax x x x f 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ + + = 2 ; 3 2 1 ; 1 ; 1 ) ( x x x b ax x x x f 4. [ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − + − ≤ − = 2 ; 2 2 ; cos 2 ; 2 ) ( π π π π x senx x bx x a x senx x f 5. Sean las funciones: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = 0 ; 1 0 ; 0 0 ; 1 ) ( x x x x f y 2 1 ) ( x x g + = Para que valores de x , es continua: a) ( )( ) x g f D b) ( )( ) x f g D 6. Determine el máximo valor de k para que la función: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 ) ( 2 x x f sea continua en el intervalo [ ) k + 3 , 3 7. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ ( ) [ ) +∞ ∪ − ∞ − = , 0 1 , Domf ƒ [ ) ( ] +∞ ∪ = , , 1 e e rgf ƒ 1 ) 0 ( = f ƒ [ ] ε ε − ⇒ ∀ ∃ ∀ e x f N x x N ) ( , 0 , 0 ƒ [ ] M x f x x M ⇒ + −∂ ∀ ∃∂ ∀ ) ( 0 1 , 0 , 0 8. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ Dom f=IR, ƒ 0 ) ( x f para ( ] ( ) 1 , 0 1 , ∪ − −∞ ∈ x ƒ 1 ) ( 0 ) 1 ( ) 0 ( 1 ) 1 ( 0 = ∧ = = ∧ = − + → x f lím f f f x ƒ [ ] ε ε − ⇒ − ∀ ∃ ∀ 1 ) ( , 0 , 0 x f N x x N ƒ [ ] ε ε + ⇒ ∀ ∃ ∀ 1 ) ( , 0 , 0 x f N x x N ƒ [ ] M x f x x M ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 1 0 , 0 , 0 ƒ [ ] M x f x x M ⇒ ∂ + ∀ ∃∂ ∀ ) ( 1 0 , 0 , 0 ƒ [ ] ε ε − ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) 0 ( ) ( 0 , 0 , 0 f x f x x ƒ [ ] ε ε ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 1 0 , 0 , 0 x f x x
- 70. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 54 9. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ f es continua en ( ) ( ] 10 , 2 2 , 5 ∪ − ƒ 0 ) 10 ( ) 3 ( = = f f ƒ [ ] ε ε − ⇒ ∂ + ∀ ∃∂ ∀ 3 ) ( 5 0 , 0 , 0 x f x x ƒ [ ] M x f x x M ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 2 0 , 0 , 0 ƒ [ ] M x f x x M − ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 2 0 , 0 , 0 10. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ f es continua en ( ] ( ) ( ) ∞ ∪ ∪ −∞ , 3 3 , 0 0 , ƒ [ ] ε ε ⇒ − ∀ ∃ ∀ ) ( , 0 , 0 x f N x x N ƒ [ ] ε ε − ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ 2 ) ( 0 , 0 , 0 x f x x ƒ [ ] M x f x x M − ⇒ ∂ ∀ ∃∂ ∀ ) ( 0 , 0 , 0 ƒ [ ] M x f x x M ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 3 0 , 0 , 0 ƒ [ ] ε ε ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 3 0 , 0 , 0 x f x x ƒ [ ] ε ε + ⇒ ∀ ∃ ∀ 1 ) ( , 0 , 0 x f N x x N ƒ 0 ) 7 ( , 2 ) 5 ( ) 3 ( = = = f f f 2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS Sea f definida en el intervalo cerrado [ ] b a, y sea w un número entre ) (a f y ) (b f . Si f es continua en [ ] b a, entonces existe al menos un número 0 x entre a y b tal que w x f = ) ( 0 .
- 71. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 55 Ejemplo Demuestre que la ecuación 0 2 3 3 = − + x x tiene una solución real entre 0 y 1. SOLUCIÓN: Definamos la función 2 3 ) ( 3 − + = x x x f . Observamos que: 2 ) 0 ( − = f y 2 ) 1 ( = f y como f es continua en [ ] 1 , 0 , por ser polinómica; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si 0 = w existirá un x elemento de [ ] 1 , 0 que lo satisfaga. Es decir: [ ] 1 , 0 ∈ ∃x tal que 0 2 3 ) ( 3 = − + = x x x f Ejercicios Propuestos 2.2 1. Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano. 2. Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass. 3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) Si f es continua y no tiene ceros en [ ] b a, , entonces 0 ) ( x f para toda x en [ ] b a, o 0 ) ( x f , ∈ ∀x [ ] b a, b) Si f es continua en 0 x y 0 ) ( 0 x f , hay un intervalo ( ) ∂ + ∂ − 0 0 , x x tal que 0 ) ( x f en ese intervalo. c) El producto de dos funciones f y g es continua en 0 x ,si f es continua en 0 x pero g no. d) Si f es continua en 0 x y g es discontinua en 0 x , entonces g f + es discontinua en 0 x . e) Toda función continua en ( ) b a, es acotada. f) Toda función acotada en [ ] b a, es continua en [ ] b a, g) Si f es continua e inyectiva en [ ] b a, entonces su función inversa 1 − f es continua en [ ] b a, 4. Demuestre que la ecuación: 0 1 3 4 3 5 = + − − x x x tiene una solución en el intervalo [2,3]. 5. Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.
- 72. Moisés Villena MuñozCap. 2 Continuidad de funciones 56 Misceláneos 1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) ) ( lím ) ( lím x f x f a x a x − + → → = entonces f es continua en a x = . b) Si f y g son funciones continuas en a x = entonces la función fg también es continua en a x = . c) La función de variable real con regla de correspondencia ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − − + − = 2 ; 2 2 ; 4 2 2 ) ( 2 x x x x x x f es continua en 2 = x . d) Si f es una función tal que IR f dom = y IR a ∈ ∀ ) ( lím x f a x + → existe, entonces f es continua en todo su dominio. e) Si f es una función continua en [ ] b a, tal que 0 ) ( a f y 0 ) ( b f entonces existe al menos un ( ) b a c , ∈ tal que 0 ) ( = c f . f) Si f es una función de IR en IR tal que [ ] x x f sen ) ( = entonces f es continua en π = x . g) Sea f una función continua en [ ] b a, tal que 0 ) ( ) ( • b f a f entonces no existe un valor [ ] b a c , ∈ tal que 0 ) ( = c f . h) Si f y g son funciones que no son continuas en a x = entonces la función g f + no es continua en a x = . i) La función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − = 2 ; 2 2 ; 1 ) ( 2 x x x x x x f es continua en todo su domino. j) Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − = 0 ; 0 0 ; cos 1 ) ( 2 x x x x x f , entonces f es continua en todo su dominio. 2. Determine el valor de a para que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − π − = π π 2 2 ; 1 ; cos 2 cot ) ( x ax x x x x x f sea continua en 2 π = x 3. Sea f una función de variable real tal que ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − − − + − ≤ − = 1 ; 1 1 ; 1 1 ; 1 ) ( 2 2 4 5 2 x x x x B Ax Bx Ax x x x f Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales. 4. Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • f es continua en los intervalos ( ) 0 , −∞ ; [ ] 1 , 0 ; ( ) +∞ , 1 . • 0 ) 5 ( ) 3 ( ) 0 ( = = = f f f 1 ) 2 ( ) 1 ( = = f f • 1 ) ( 0 − = − → x f lim x −∞ = −∞ → ) (x f lim x • [ ] N x f x N ⇒ δ − δ ∃ ∀ ) ( 1 0 0 0 • [ ] ε ε − ⇒ ∃ ∀ 1 ) ( 0 0 x f M x M • ( )[ ] 0 ) ( 5 , 3 ∈ ∀ x f x
- 73. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 83 3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO 3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO 3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA 3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS OBJETIVOS: • Definir derivada. • Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. • Realizar demostraciones formales de derivada. • Calcular derivadas.
- 74. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 84 Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico. 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto 0 x , Fig. 3.1. La ecuación de la recta tangente estaría dada por: 0 tg 0 ( ) ( ) y f x m x x − = − Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2 x y 0 x 0 y ( ) y f x = Fig. 3.1
- 75. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 85 La pendiente de la recta secante entre los puntos ( ) 0 0 , ( ) x f x y ( ) 0 0 , ( ) x h f x h + + sería 0 0 sec ( ) ( ) f x h f x m h + − = La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir: 0 0 tg 0 ( ) ( ) lím h f x h f x m h → + − = 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y que sea función del tiempo; es decir ( ) e f t = . Suponga ahora que se quiere determinar la velocidad media m v en un intervalo de tiempo [ ] 0 0 , t t h + , esta estaría dada por: ( ) ( ) 0 0 0 0 m f t h f t e v t t h t + − Δ = = Δ + − La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo t Δ cada vez más pequeño; es decir: x y 0 x h + ( ) 0 f x ( ) y f x = 0 x ( ) 0 f x h + h ( ) ( ) 0 0 f x h f x + − N N Fig. 3.2
- 76. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 86 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim lim m t t h f t h f t e v v t h Δ → Δ → → + − Δ = = = Δ Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada. 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea f una función de variable real. Sea 0 x un punto del dominio de f . La derivada de f en 0 x , denotada como ( ) 0 ´ f x , se define como: h x f h x f x f h ) ( ) ( lím ) ´( 0 0 0 0 − + = → Siempre que este límite exista. Cuando la derivada en 0 x existe se dice que es f es diferenciable en 0 x . Otras notaciones que se emplean para la derivada son: ´ y o x D y . Leibniz utilizó la notación dy dx . En cualquier caso, la derivada en x sería: 0 ( ) ( ) ´( ) lím h f x h f x f x h → + − =
- 77. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 87 3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: 0 h x x = − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) lím lím ( ) ( ) lím h x x x x f x h f x f x x x f x f x h x x f x f x x x → → → + − + − − = = − − = − Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. La pendiente de la recta secante entre los puntos ( ) ) ( , 0 0 x f x y ( ) ) ( , x f x sería: 0 sec 0 ( ) ( ) f x f x m x x − = − . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada por: 0 0 tg 0 ( ) ( ) lím x x f x f x m x x → − = − x y x ( ) 0 f x ( ) y f x = 0 x ( ) f x 0 x x − ( ) ( ) 0 f x f x − N N Fig. 3.3
- 78. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 88 Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1 f x x = + SOLUCIÓN: ( ) [ ] 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ´( ) lím 2 1 2 1 lím 2 2 1 2 1 lím 2 lím lím2 ´( ) 2 h h h h h f x h f x f x h x h x h x h x h h h f x → → → → → + − = + + − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = + + − − = = = = Empleando la forma alternativa: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ´( ) lím 2 1 2 1 lím 2 1 2 1 lím 2 2 lím 2 lím lím 2 ´( ) 2 x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x → → → → → → − = − + − + = − + − − = − − = − − = − = = Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada 2 ( ) f x x = SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( ) x x f h x h h x h h x h xh x h x h x h x f h x f x f h h h h h 2 ) ´( 2 lím 2 lím 2 lím lím ) ( ) ( lím ) ´( 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 = + = + = − + + = − + = − + = → → → → →
- 79. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 89 Empleando la forma alternativa: ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ´( ) lím lím lím lím ´( ) 2 x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x → → → → − = − − = − − + = − = + = + = Ejercicios propuestos 3.1 1. Sea ( ) 2 2 1 f x x x = − + . a) Calcule el valor de (2.5) (2) 0.5 f f − b) Calcule el valor de (2.3) (2) 0.3 f f − c) Calcule el valor de (2.1) (2) 0.1 f f − d) Calcule el valor de ( ) ´ 2 f .Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado. 2. Hallar ´(3) f , considerando la gráfica: 3. Empleando la definición, determine la derivada de: a) ( ) 3 2 f x x = + d) 2 ( ) 2 1 f x x x = − + − b) ( ) 2 1 f x x = − + e) 3 ( ) 2 f x x = c) 2 ( ) 2 3 f x x x = + − f) 2 3 1 ) ( + = x x f ( ) y f x =
- 80. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 90 3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD. Si f es diferenciable en 0 x , es decir ) ´( 0 x f existe, entonces f es continua en 0 x Demostración. Expresemos lo siguiente: ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x f x f x f x f + − = Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por ( ) 0 x x − , suponga 0 x x ≠ , tenemos: ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 x f x x x x x f x f x f + − − − = Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta: ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 x f lím x x lím x x x f x f lím x f lím x x x x x x x x → → → → + − − − = La expresión 0 0 ) ( ) ( 0 x x x f x f lím x x − − → es igual ) ´( 0 x f , debido a que de hipótesis se dice que f es derivable en 0 x . Entonces: ( ) [ ] ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 ) ( tan 0 0 0 ) ´( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x f lím x f x f x f x f lím x x lím x x x f x f lím x f lím x x x f te cons x x x x x f x x x x = + = + = + − − − = → → → → → Por tanto, la última expresión indica que f es continua en 0 x . L.Q.Q.D.
- 81. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 91 Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en 0 x entonces no es diferenciable en 0 x . También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar ) 1 ´( f para 1 ) ( − = x x f SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: 1 1 lím 1 0 1 lím 1 ) 1 ( ) ( lím ) 1 ´( 1 1 1 − − = − − − = − − = → → → x x x x x f x f f x x x El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: 1. 1 1 lím 1 1 lím 1 1 = = − − + + → → x x x x 2. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − = − = − − − − − → → x x lím x x lím Como los límites laterales son diferentes, entonces 1 1 lím ) 1 ´( 1 − − = → x x f x no existe. Observando la gráfica de 1 − = x y , Fig. 3.4 Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de 1 = x , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en 1 = x . Esta función aunque es continua en 1 = x , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad. Fig. 3.4
- 82. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 92 3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha La derivada por derecha del punto 0 x de una función f se define como: h x f h x f x f h ) ( ) ( lím ) ´( 0 0 0 0 − + = + → + o por la forma alternativa: 0 0 0 ) ( ) ( lím ) ´( 0 x x x f x f x f x x − − = + → + 3.5.2.2 Derivada por izquierda. La derivada por izquierda del punto 0 x de una función f se define como: h x f h x f x f h ) ( ) ( lím ) ´( 0 0 0 0 − + = − → − o por la forma alternativa: 0 0 0 ) ( ) ( lím ) ´( 0 x x x f x f x f x x − − = − → − Por tanto, para que ) ´( 0 x f exista, se requiere que las derivadas laterales existan y sean iguales. Es decir, si ) ´( ) ´( 0 0 − + ≠ x f x f , se dice que f no es derivable en 0 x y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo Hallar ) 2 ´( f para ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − = 2 ; 1 2 ; 1 2 ) ( 2 x x x x x f SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en 2 = x . Como ( ) 3 1 2 2 = − − → x lim x y ( ) 3 1 2 2 = − + → x lim x entonces f si es continua en 2 = x - Segundo. Para hallar ) 2 ´( f debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de 2 = x .
- 83. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 93 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 lim 2 4 2 lim 2 1 2 2 1 2 lim ) 2 ´( 2 2 2 = − − = − − = − − − − = − − − → → → − x x x x x x f x x x ( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 2 lim 2 4 lim 2 1 2 1 lim ) 2 ´( 2 2 2 2 2 2 = − − + = − − = − − − − = + + + → → → + x x x x x x x f x x x Por tanto, Como ( ) + − ≠ 2 ´ ) 2 ´( f f entonces ) 2 ´( f no existe Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea 3 ) ( x x f = hallar ) 0 ´( f SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: ( ) existe no f x x x x f x f f x x x ∞ = = − = − − = → → → ) 0 ´( 1 lím 0 lím 0 ) 0 ( ) ( lím ) 0 ´( 3 2 0 3 0 0 Lo que ocurre es que la recta tangente, en 0 = x , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5 Por tanto, si una función es diferenciable en un punto 0 x ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto Fig. 3.5
- 84. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 94 Un problema de diseño Ejemplo Sea: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + = 2 ; 2 ; ) ( 2 x x x b mx x f Determine m y b para que f sea diferenciable en todo su dominio. SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en 2 = x , es decir: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lím 2 lím 2 4 x x mx b f x m b − + → → + = = + = 2. f debe ser suave en 2 = x , es decir: ) 2 ´( ) 2 ´( − + = f f ( )( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ´( 2 2 2 2 2 = + = − + − = − − = − − = + + + + → → → → + x lím x x x lím x x lím x f x f lím f x x x x ( ) ( ) ( ) m x x m lím x b m b mx lím x b m b mx lím x f x f lím f x x x x = − − = − − − + = − + − + = − − = − − − − → → → → − 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ´( 2 2 2 2 Por tanto 4 = m y al reemplazar en la primera ecuación 4 ) 4 ( 2 = + b tenemos 4 − = b Ejercicios Propuestos 3.2 1. Hallar ´(1) f para 2 2 1; 1 ( ) 2 ; 1 x x f x x x + ⎧ = ⎨ + ≥ ⎩ 2. Hallar ) 3 ´( f para ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + − + − = 3 ; 17 6 3 ; 10 ) ( 2 x x x x x f 3. Hallar ) 2 ´(− f para ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − − + = 2 ; 7 2 ; 1 2 ) ( 2 x x x x x f 4. Sea la función f definida por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ + = 2 ; 2 ; 2 ) ( 2 x b ax x x x x f . Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en 2 = x 5. Sea la función f definida por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − ≤ + = 1 ; 2 3 1 ; 3 ) ( 2 x bx ax x b ax x f Determine los valores para a y b para f que sea derivable en todo su dominio. 6. Sea la función f definida por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + + = 1 ; 1 1 ; ) ( 2 x x x c bx ax x f . Determine a , b y c para que ) 1 ´( f exista.
- 85. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 95 3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes: 1. R k k Dx ∈ ∀ = ; 0 ) ( 2. 1 ) ( = x Dx 3. ( ) 1 ) ( − = n n x x n x D 4. x x x e e D = ) ( 5. a a a D x x x ln ) ( = 6. x x Dx 1 ) (ln = 7. a x x D a x ln 1 ) (log = 8. x x Dx cos ) (sen = 9. x x Dx sen ) (cos − = 10. 2 (tan ) sec x D x x = 11. 2 (cot ) csc x D x x = − 12. (sec ) sec tan x D x x x = 13. (csc ) csc cot x D x x x = − Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: 1. Sea ( ) f x k = . Hallaremos su derivada empleando la definición: 0 ( ) ( ) ´( ) lím h f x h f x f x h → + − = 0 0 lím lím ) ( 0 0 = = − = → → h h k k k D h h x (La derivada de una constante es cero)
- 86. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 96 2. Sea ( ) f x x = entonces: ( ) 0 0 ( ) lím lím 1 x h h x h x h D x h h → → + − = = = 3. Sea ( ) n f x x = entonces: ( ) 0 ( ) lím n n n x h x h x D x h → + − = . Consideraremos n∈` . Desarrollando el binomio y simplificando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N 1 1 2 2 1 2 0 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 2 2 0 0 0 0 ... ( ) lím lím ... lím ... lím lím ... n n n n n n n n n n n x h h n n n n n n h n n n n n n h n n n n n h x nx h x h nxh h x x h x D x h h nx h x h nxh h h h nx x h nxh h h nx x h nxh − − − − → → − − − − → − − − − − → − − − − → ⎡ ⎤ + + + + + − + − ⎣ ⎦ = = + + + + = ⎡ ⎤ / + + + + ⎣ ⎦ = / = + + + N ( ) 1 0 1 ( ) n n n x h D x n x − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 4. Sea ( ) x f x e = entonces: ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 ( ) lím lím lím lím x h h x h x x h x x x x x h h h h e e e e e e e e D e e e h h h h + → → → → − − − − = = = = = 6. Sea ( ) ln f x x = entonces: ( ) x x D e x h x h h x h h x h x h x h x x D x x h h h h h h x x x h 1 ) (ln ln 1 lím ln 1 ln lím 1 ln lím ln lím ln ln lím ) (ln 1 1 0 1 0 0 0 0 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + = → → → → → 8. Sea ( ) f x sen x = entonces: [ ] ( ) ( ) x x D x x h x h x h x h x h x x h x x x h x h x x D x h h h h h h h x cos ) (sen ) 1 ( cos ) 0 ( sen senh lím cos ) 1 (cosh lím sen cos senh lím ) 1 (cosh sen lím cos senh ) 1 (cosh sen lím sen cos senh cosh sen lím sen ) sen( lím ) (sen 0 0 0 0 0 0 0 = + = + − = + − = + − = − + = − + = → → → → → → → La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.
- 87. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 97 Ejemplo 1 Si ( ) 4 f x = entonces ( ) ´ 0 f x = (FORMULA 1) Ejemplo 2 Si ( ) 2 f x x = entonces ( ) 2 1 ´ 2 2 f x x x − = = (FORMULA 3) Ejemplo 3 Si ( ) ( ) 1 2 f x x x = = entonces ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 ´ 2 f x x x − = = (FORMULA 3) Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a ( ) 3 f x x = en 1 x = SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6 La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: ( ) 0 0 x x m y y − = − El punto sería: 0 1 x = y ( ) 3 0 0 ( ) 1 1 y f x = = = La pendiente sería: 2 0 1 ´( ) ´(1) 3 3 tg x m f x f x = = = = = Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: 1 3( 1) y x − = − Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. ( ) 3 f x x = Recta tangente Fig. 3.6
- 88. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 98 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. ( ( )) ´( ) d kf x kf x dx = (Múltiplo constante) 2. ( ( ) ( )) ´( ) ´( ) d f x g x f x g x dx + = + (Suma) 3. ( ( ) ( )) ´( ) ´( ) d f x g x f x g x dx − = − (Resta) 4. ( ( ) ( )) ´( ) ( ) ( ) ´( ) d f x g x f x g x f x g x dx = + (Producto) 5. [ ] 2 ( ) ´( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) d f x f x g x f x g x dx g x g x ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Cociente) Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería: 1. [ ] 0 0 0 ( ) ( ) ( ( )) lím ( ) ( ) lím ( ) ( ) lím ´( ) h h h d kf x h kf x kf x dx h k f x h f x h f x h f x k h kf x → → → + − = + − = + − = = 2. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lím ( ) ( ) ( ) ( ) lím ( ) ( ) ( ) ( ) lím lím ´( ) ´( ) h h h h f x h g x h f x g x d f x g x dx h f x h f x g x h g x h f x h f x g x h g x h h f x g x → → → → + + + − + + = + − + + − = + − + − = + = + 3. [ ] [ ] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lím h f x h g x h f x g x d f x g x dx h → + + − = Al numerador le sumamos y restamos ( ) ( ) f x g x h + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lím h f x h g x h f x g x f x g x h f x g x h h → + + − − + + + Agrupando y aplicando propiedades de los límites:
- 89. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 99 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lím ( ) ( ) ( ) lím ( ) ( ) lím ( ) lim ( ) ( ) lím lim ( ) lim ´ h h h h h h h f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x h f x h f x g x h g x h g x f x h f x h f x g x h g x g x h f x h h f x h f x g x h g x g x h f x h h f x g → → → → → → → + + − + + + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + − + + + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + − + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + + + − + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + + ( ) ( ) ( ) ´ x f x g x + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma. Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si ( ) 1 3 3 4 4 f x x x − = = entonces ( ) ( ) ( ) 1 1 4 3 3 3 1 1 3 4 ´ 4 4 3 d f x x x x dx − − − − = = − = − Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) Si ( ) 2 4 3 f x x x = − + entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ´ 4 2 3 4 2 0 2 d d d f x x x x dx dx dx x − − ⎛ ⎞ = − + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 3 (Derivada del producto) Si ( ) x f x xe = entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ´ 1 1 x x x x x d d f x x e x e e xe e x dx dx ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + = + = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ejemplo 4 (Derivada del producto) Si ( ) ( )( ) 2 3 2 1 f x x x = + + entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 3 3 2 2 4 4 2 4 2 ´ 2 1 2 1 2 0 1 2 3 0 2 2 3 6 5 6 2 d d f x x x x x dx dx x x x x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + + + + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + + + + + = + + + = + +
- 90. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 100 Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería: [ ] ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) d f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x dx = + + ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si ( ) ln x f x e senx x = entonces ( ) ´ ln ln ln 1 ln cos ln x x x x x x d d d f x e senx x e senx x e senx x dx dx dx e senx x e x x e senx x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 6 (Derivada de cociente) Si ( ) 2 3 2 1 x f x x + = + entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 4 4 2 4 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 3 ´ 1 1 2 2 3 6 6 2 1 1 d d x x x x x x x x dx dx f x x x x x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + + − + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = = + + + − − − − + = = + + Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine ( ), 0 f ′ si ( ) ( )( ) ( ) 1 2 ... 100 f x x x x x = + + + . SOLUCIÓN: La derivada de f sería ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ´ 1 1 2 100 1 2 100 1 1 ... 100 f x x x x x x x x x x = ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ahor a evaluamos la derivada en cero: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ´ 0 1 0 1 0 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 0 1 1 ... 0 100 ´ 0 1 2 100 100! f f = ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = =
- 91. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 101 Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( ) 2, 5 − − y que son tangentes a la curva definida por la ecuación 2 4 y x x = + . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7 Note que el punto ( ) 2, 5 − − no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en 0 x x = , es decir ( ) 0 0 0 ´ 2 4 2 4 tg x x m f x x x = = = + = + La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( ) 2, 5 − − y ( ) 0 0 , x y , es decir: ( ) ( ) 0 0 0 0 5 5 2 2 tg y y m x x − − + = = − − + El punto ( ) 0 0 , x y pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: 2 0 0 0 4 y x x = + . Al reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene: 2 0 0 0 0 0 5 4 5 2 2 tg y x x m x x + + + = = + + Ahora igualamos las pendientes y encontramos 0 x : ( )( ) 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 5 2 4 2 2 8 8 4 5 4 3 0 3 1 0 3 1 x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + + = + + = = − ∨ = − ( ) 2, 5 − − ( ) 0 0 , x y ( ) 0 0 , x y ( ) 2 4 f x x x = + Fig. 3.7
- 92. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 102 Estos valores los reemplazamos en 2 0 0 0 4 y x x = + , y obtenemos los respectivos 0 y : ( ) ( ) 2 0 3 4 3 9 12 3 y = − + − = − = − ( ) ( ) 2 0 1 4 1 1 4 3 y = − + − = − = − Por tanto, los puntos de tangencia son ( ) 3, 3 − − y ( ) 1, 3 − − . Las respectivas pendientes serían: ( ) ( ) 2 3 4 2 2 1 4 2 tg tg m m = − + = − = − + = + Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 2 9 y x y x y x − − = − − − + = − + = − − y ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 2 1 y x y x y x − − = − − + = + = − Ejemplo 9 Si f , g y h son funciones tales que ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) f x g x h x f x g x = + , (1) 3 f = , (1) 3 g = − , ´(1) 2 f = − , ´(1) 1 g = . Determine ´(1) h . Solución: La derivada de h sería: [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 2 ( ) ( ) ´( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ´( ) ( ) ( ) ´( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ´( ) 3 ´( ) 2 ( ) 3 ( ) x x x f x g x h x D f x g x D f x g x f x g x f x g x D f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ + − + = + + + − + = + Ahora evaluando en 1: [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 ´(1) (1) (1) ´(1) 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 ´(1) 3 ´(1) ´(1) 2 (1) 3 (1) ( 2)( 3) (3)(1) 2(3) 3( 3) (3)( 3) 2( 2) 3(1) 2(3) 3( 3) 6 3 6 9 9 4 3 6 9 9 3 9 1 3 36 9 ´(1) 4 f g f g f g f g f g h f g h + + − + = + − − + + − − − − + = + − + − + − + = − − + − = − − = = −
- 93. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 103 Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de ( ) 2 f x senx = y ( ) 2 cos g x x = se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 2 0 π ≤ ≤ x SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: x x cos 2 sen 2 = , de aquí se obtiene 1 tg = x , lo cual quiere decir que 4 π = x Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir 1 2 1 − = m m . Fig. 3.8 Si ( ) 2 sen f x x = , entonces ( ) ´ 2 cos f x x = que en el punto tenemos: 1 2 2 2 cos 2 4 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = π m Si ( ) 2 cos g x x = , entonces ( ) ´ 2 sen g x x = − que en el punto tenemos: 1 2 2 2 sen 2 4 2 − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = π m Por tanto: ( )( ) 1 1 1 2 1 − = − = m m L.Q.Q.D. Ejercicios Propuestos 3.3 1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) ( ) 3 4 2ln 3 x f x x x e = + − b) ( ) ( )( ) 3 2 2 1 f x x x = + + c) ( ) ( )( ) cos f x x senx x x = − + d) ( ) 2 1 x f x x senx + = e) ( ) 1 x xe f x senx = + f) ( ) 2 1 ln 2 x f x x e x = 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 2 2 2 f x x x = + + en el punto ( ) 1,5 . 3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia ( ) 2 3 4 f x x = + y que sea paralela a la recta 3 2 0 x y + + = . Fig. 3.8
- 94. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 104 4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( ) 2,5 y que son tangentes a la curva definida por la ecuación 2 4 y x x = − . 5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por 3 2 ( ) 2 3 24 f x x x x = + − y que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0 7 12 = + − y x . 6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 2 y x = . Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 2 7 x y − = . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8. Determine ( ), 0 f ′ si ( ) ( )( ) ( ) 50 ... 2 1 − − − = x x x x x f 9. Si f , g y h son funciones tales que ) ( 4 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x h − = , 2 ) 3 ( = f , 2 ) 3 ( − = g , 1 ) 3 ´( − = f , 2 ) 3 ´( = g . Determine ) 3 ´( h . Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena Sea ( ) y f u = y ( ) u g x = . Si g es diferenciable en 0 x y f diferenciable en ( ) 0 g x entonces la función compuesta ( )( ) ( ) ( ) f g x f g x = D es diferenciable en 0 x y ( ) [ ] 0 0 0 ( ) ( ( ) ´( ) ´( ) x x g x d f g x f g x dx = = O lo que es lo mismo ( ) u g x dy dy du dx du dx = = Ejemplo 1 Si ( )20 2 2 + = x y entonces haciendo 2 ) ( 2 + = = x x g u tenemos ( ) 20 u u f y = = de donde 19 20u du dy = y x dx du 2 = .
- 95. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 105 Por tanto ( )( ) x u dx du du dy dx dy 2 20 19 = = que al reemplazar u resulta ( ) ( )( ) ( )19 2 19 2 2 40 2 2 20 + = + = x x x x dx dy El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo 2 Si ( ) u x x sen y 3 3 − = entonces ( ) ( ) ( ) [ ][ ] 3 3 3 cos 3 ´ 2 3 3 − − = − = x x x x x D senu D y x u Ejemplo 3 Si 30 2 2 3 1 3 u x x x x y ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = entonces ( )( ) ( )( ) ( ) 29 3 2 3 2 2 2 29 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 ´ 30 1 1 3 6 1 1 3 2 3 30 1 1 x x x x x x x y D x x x x x x x x x x x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + + + + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + − − + + ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ − ⎣ ⎦ Para el caso de funciones de la forma ( ) ( ( ) y f g h x = haciendo que ( ) v h x = tenemos ( ) ( ) y f g v = y ahora haciendo que ( ) u g v = tenemos ( ) y f u = ; entonces dy dy du dv dx du dv dx = . O más simplemente ( ) [ ][ ] ´ ´ ( ( )) ´( ( )) ´( ) y f g h x g h x h x = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Ejemplo 4 Si ( ) ( ) N 4 2 2 4 3 cos 3 cos u v x x y ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = entonces:
- 96. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 106 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ][ ] x x x x D x x x D x y x x 6 3 sen 3 cos 4 3 3 sen 3 cos 4 3 cos 3 cos 4 ´ 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 − = − = = Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si ( ) 4 2 = f , ( ) 6 4 ´ = f , ( ) 2 2 ´ − = f hallar: a) [ ]3 ) (x f dx d en 2 = x b) ( ) ) 2 ´( f f D SOLUCIÓN: a) [ ] [ ] ) ´( ) ( 3 ) ( 2 3 x f x f x f dx d = que en 2 = x sería: [ ] ( ) ( ) 96 2 4 3 ) 2 ´( ) 2 ( 3 2 2 − = − = f f b) ( ) [ ] [ ] [ ][ ] 12 ) 2 )( 6 ( ) 2 ´( ) 4 ´( ) 2 ´( )) 2 ( ( ´ ´ ) 2 ( ( ) 2 ´( 4 − = − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = f f f f f f f f f D Ejercicio Resuelto 2 Si h g f H D = y además: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 ; 5 3 ; 2 2 ; 2 3 ; 3 2 ; 1 2 − = ′ = ′ − = ′ = = − = g f h f g h ; determine ( ) 2 H ′ . SOLUCIÓN: Como h g f x H D = ) ( entonces: [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 ) ( ) ´( )) ( ( ) ( ) ´( )) ( ´( ) ( ) ´( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ´( x h x h x g f x h x g x g f x h x h x g f x h x g f D x h x g f D x H x x − = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = que en 2 = x sería: [ ] [ ] [ ] 19 ) 2 ´( 1 ) 2 )( 2 ( ) 1 )( 3 )( 5 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 3 ´( ) 2 ( ) 2 ´( )) 2 ( ( ) 2 ( ) 2 ´( )) 2 ( ( ´ ) 2 ´( 2 2 3 = − − − − = − − − − − = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = H f f h h g f h g g f H
- 97. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 107 Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que ) ( ) ( x f x f = − . Ahora tomando derivada a ambos miembros de la igualdad tenemos: [ ] [ ] [ ]( ) ) ´( ) ´( ) ´( ) ´( ) ´( 1 ) ´( ) ( ) ( x f x f x f x f x f x f x f D x f D x x − = − = − − = − − = − La última igualdad nos indica que ´ f es una función impar. L.Q.Q.D Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían: Sea ) (x u u = , entonces: 1. ( ) ´ ) ( 1 u u n u D n n x − = 2. ´ ) ( u e e D u u x = 3. ( ) ´ ln ) ( u a a a D u u x = 4. ´ 1 ) (ln u u u Dx = 5. ´ ln 1 ) (log u a u u D a x = 6. ( ) ´ cos ) (sen u u u Dx = 7. ( ) ´ sen ) (cos u u u Dx − = 8. ( ) 2 (tan ) sec ´ x D u u u = 9. ( ) 2 (cot ) csc ´ x D u u u = − 10. ( ) (sec ) sec tan ´ x D u u u u = 11. ( ) (csc ) csc cot ´ x D u u u u = −
- 98. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 108 Ejercicios Propuestos 3.4 1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) ( ) 2 2 2 f x x x = − + b) ( ) 1 2 3 f x x = − c) ( ) x x x x e e f x e e − − − = + d) ( ) 2 2 1 1 x f x x − = + e) ( ) 3 cos2 senx f x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f) ( ) ( ) 2 ln ln 1 f x x ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ g) ( ) 2 2 2 1 1 ln 4 4 4 x f x x x ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 2. Si { } I ervalo un en derivable función una es f f V int / = . Demuestre que: [ ] ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x f x f x f x f V f = − ⇒ − = − ∈ ∀ (La derivada de una función impar es una función par) 3. Hallar ( ) ( ) x g f ′ D , si ( ) 2 u e u f = y ( ) ( ) 4 2 2 cos 1 x x g u + = = 4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo IR x ∈ , tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , 5 3 , 3 3 , 1 2 , 3 2 , 2 , 2 − = ′ = − = ′ = − = ′ = − = ′ = a f a a f f f h h a g a g . 4 ) ´( , ) ( = = a h a a h En a x = determine el valor de: a) ( )´ f g D b) ( )´ h g D c) ( )´ g h D d) ( )´ g h f D D e) ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − f g g h g h f D D D D 5. Sea 0 ) 0 ( = f y 2 ) 0 ( ' = f , encuentre la derivada de )))) ( ( ( ( x f f f f en 0 = x . 6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos 1 x y 2 x tales que 2 1) ( x x f = y 1 2) ( x x f = . Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f f f f x g = pruebe que ) ( ' ) ( ' 2 1 x g x g = 7. Pruebe que si un polinomio ) (x p es divisible entre ( )2 b ax + entonces ) ( ' x p es divisible entre ( ) b ax + . Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ( ) ( ) ( ) 2 p x c x ax b = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ y derívelo.
- 99. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 109 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir: Sea ( ) y f x = una función n veces derivable, entonces: La primera derivada es: h x f h x f y D dx dy x f y h x ) ( ) ( lím ) ´( ´ 0 − + = = = = → La segunda derivada es: ( ) h x f h x f y D dx y d x f y y D h x x ) ´( ) ´( lím ) ´´( ´´ ´ 0 2 2 2 − + = = = = = → La tercera derivada es: ( ) h x f h x f y D dx y d x f y y D h x x ) ´´( ) ´´( lím ) ´´´( ´´´ ´´ 0 3 3 3 − + = = = = = → En fin, La n ésima − derivada es: h x f h x f y D dx y d x f y n n h n x n n n n ) ( ) ( lím ) ( 1 1 0 − − → − + = = = = Ejemplo 1 Hallar ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x Dn x 2 1 1 SOLUCIÓN: Aquí tenemos: ( ) 1 2 1 2 1 1 − − = − = x x y . Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 4 5 4 5 3 5 3 4 3 4 2 4 2 3 2 3 3 1 2 2 2 2 2 1 ! 4 2 2 1 4 3 2 2 ) 2 ( 2 1 ) 4 )( 3 2 ( 2 2 1 ) ! 3 ( 2 2 1 ) 3 2 ( 2 2 2 1 3 2 ´´´ 2 2 1 ) ! 2 ( 2 2 1 2 2 2 1 2 2 ´´ 2 2 1 ! 1 2 2 1 2 2 1 ´ − − − − − − − − − − − − − = − × × = − − − × = − = − × = − − − = − = − = − − − = − = − = − − − = x x x y x x x y x x x y x x x y IV Directamente la quinta derivada sería ( )( ) 5 6 2 2 1 ! 5 − − = x yV Por tanto la n-ésima derivada sería: ( )( ) ( ) n n n x n y 2 2 1 ! 1 + − − =
- 100. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 110 Ejemplo 2 Hallar 1 1 3 n x D x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Aquí tenemos: ( ) 1 1 1 3 1 3 y x x − = = + + . Obteniendo derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 3 5 4 ´ 1 3 3 ´´ 2 1 3 3 ´´´ 2 3 1 3 3 (2 3 4) 1 3 (3 ) IV y x y x y x y x − − − − = − + = + + = − × + = + × × + Directamente la quinta derivada sería ( )( ) ( ) 6 5 5! 1 3 3 V y x − = − + Por tanto la n-ésima derivada sería: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 ! 1 3 3 n n n n y n x − + = − + Ejemplo 3 Demuestre que ( ) ! n x D n n x = ; n∈ ` SOLUCIÓN: Como n x y = entonces: ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 ´ ´´ 1 ´´´ 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 ! n n n n n n y nx y n n x y n n n x y n n n n n n x n n n n n − − − − = = − = − − = − − − − − = − − − = Ejercicio Propuesto 3.5 1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas. a. ( ) [ ] 2 4 4 cos x dx d b. ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + x x sen x dx d 1 2 2 2 π c. [ ] x n n xe dx d d. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x D n x 4 5 e. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + x x Dx 1 1 30 f. [ ] xsenx dx d 35 35
- 101. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 111 2. Determine ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x dx d x dx d 1 1 2 2 3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para: ( ) 0 1 1 1 ... a x a x a x a D n n n n n x + + + + − − , n∈` 4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que 1 ) 1 ( = P , 3 ) 1 ´( = P , 6 ) 1 ´´( = P , 12 ) 1 ´´´( = P . Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma ( ) y f x = , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma ( , ) 0 F x y = , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada ´ y de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema. 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener ´ y en una función implícita ( , ) 0 F x y = sin necesidad de despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como 0 )) ( , ( = x f x F y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea 4 5 0 x y − = la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas: 1. Despejando y (forma explícita: 4 5 y x = ) entonces: 1 5 4 ´ 5 y x − = 2. Sin despejar y (forma implícita: 4 5 0 x y − = ). La consideraremos como ( ) 5 4 0 x f x − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación: ( ) [ ] ( ) ( ) 5 4 4 3 0 4 5 ´ 0 x x D x f x D x f x f x ⎡ ⎤ − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Ahora despejamos ( ) ´ f x : ( ) ( ) 3 4 4 ´ 5 x f x f x = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar ( ) 4 5 f x x = :
- 102. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 112 ( ) ( ) 3 3 3 1 5 4 4 16 4 5 5 4 4 4 4 ´ 5 5 5 5 x x x f x x f x x x − = = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Ejemplo 2 Sea 1 2 2 = + y x con 0 y ≥ (semicircunferencia), hallar ´ y SOLUCIÓN: PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar y , tenemos 2 1 y x = + − Entonces: ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 ´ 1 2 1 y x x x x y x − = − − = − = − − SEGUNDO MÉTODO. Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ] 1 ) ( 2 2 = + x f x y tomar derivada a ambos miembros de la igualdad: [ ] ( ) ( ) 0 ) ´( ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 = + = + x f x f x D x f x D x x que es lo mismo que: 0 ´ 2 2 = + yy x despajando ´ y resulta: 2 ´ 1 x x y y x = − = − − Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese 1 2 2 − = + y x Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener ´ y sería de la misma forma que el ejemplo anterior. En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida, la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado. Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación. Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
- 103. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 113 Ejercicio Resuelto 1 Hallar ´ y para 3 2 3 2 7 4 y xy x = + SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos: ( ) ( ) ( ) ´ 6 ´ 14 7 12 ´ 6 ´ 2 7 7 12 2 7 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 y y xyy y x y y yy x y x y D xy x D x x = + + = + + = + Despejando ´ y resulta: xy y y x y 14 6 7 12 ´ 2 2 2 − + = Ejercicio Resuelto 2 Hallar ´ y para ( ) 1 2 3 ln 2 2 2 − = + + x y y x x SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: ( ) ( ) ( ) [ ] x yy y y x x yy y x xy y x x D y y x x D x x 4 ´ 6 ´ 2 1 4 ´ 6 ´ 2 1 1 1 2 3 ln 2 2 2 2 2 = + + + = + + + − = + + Despejando ´ y resulta: y x y x y 1 2 6 1 4 ´ + − − = Ejercicio Resuelto 3 Hallar ´ y para ( ) y x x y xy + + = 2 2 cos SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) y x xy y x x y x yy xy xyy xy y y y x x y x yy yy x y xy y x x y D xy D x x + + + + + + = − − + + + + + = + − + + = − 2 ´ 2 ´ 2 ´sen 2 sen ´ 1 1 ´ 2 ´ 2 1 sen cos 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 Despejando ´ y resulta: ( ) ( ) 2 2 2 sen 2 2 2 2 sen ´ xy xy y x x y y x x y x xy y y + + + + − + − − =
- 104. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 114 Ejercicio Resuelto 4 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es ( ) y x sen y cos x + = en P(0,0). SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto tg 1 m mnormal − = Ahora ( ) 0 , 0 tg ´ y m = . Obteniendo ´ y resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ´ 1 ) cos( ´ sen cos 1 sen cos y y x yy x y y x D y x D x x + + = − + + = En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: 0 = x y 0 = y y luego despejar ´ y : ( ) [ ] 0 ´ ´ 1 0 1 ´ 1 ) 0 0 cos( ´ 0 sen 0 0 cos = + = + + + = − + y y y y . Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente 1 0 normal m = − = −∞ Y su ecuación será: ( ) 0 0 0 1 0 = − − = − x x y (el eje y ). Ejercicio Resuelto 5 Sea 2 2 3 2 = − y y x . Encuentre ' ' y en (2,1). SOLUCIÓN: Primero se encuentra ' y : ( ) ( ) 0 ´ 6 ´ 2 2 2 2 2 3 2 = − + = − y y y x xy D y y x D x x En ) 1 , 2 ( sería: 2 ´ 0 ´ ) 1 ( 6 ´ ) 2 ( ) 1 )( 2 ( 2 2 2 = = − + y y y Ahora encontramos ' ' y volviendo a derivar implícitamente: ( ) ( ) ( ) 0 ´´ 6 ´ ´ 12 ´´ ´ 2 ´ 2 2 0 ´ 6 ´ 2 2 2 2 2 = + − + + + = − + y y y yy y x xy xy y D y y y x xy D x x En ) 1 , 2 ( sería: 15 ´´ 0 ´´ 6 48 ´´ 4 8 8 2 0 ´´ ) 1 ( 6 ) 2 )( 2 )( 1 ( 12 ´´ ) 2 ( ) 2 )( 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 = = − − + + + = − − + + + y y y y y
- 105. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 115 Ejercicios Propuestos 3.6 1. Encontrar dx dy para: a. 1 3 2 3 2 = + y x b. ( ) ln 1 xy y + = c. ln 0 xy e y + = d. sec tan y y xy + = e. ( ) ln 5 xy y + = 2. Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones 3 2 4x y = y 14 3 2 2 2 = + y x en el punto ( ) 2 , 1 son perpendiculares entre sí. 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 5 3 3 3 = + + y xy x en el punto ( ) 1 , 1 4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de ( ) 2 2 3 2 2 8 y x y x = + en el punto ( ) 1 , 1 − 5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) [ ] 2 1 2 = + + − y x sen xy π en el punto ) 1 , 1 ( 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 2 2 3 2 3 = + y x que es paralela a la recta 0 6 = + + y x 7. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ) ( )2 2 2 2 4 1 y y y x − + = en el punto ( ) 2 , 0 − . 8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación ( ) ( ) y x y x + = sen 3 2 cos en el punto ( ) 0 , 0 . 9. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación xy y x 2 3 2 = + donde la recta tangente a f sea horizontal. 10. Encuentre ' ' y si 0 3 4 2 3 = + − y x 11. Calcula: 2 2 dx y d para 1 3 2 3 2 = + y x 12. Para la función ) (x f y = dada en forma implícita por la ecuación 2 tg 4 = + − π − y e y x determine 2 2 dx y d en el punto ( ) 4 , 2 π . 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma: ⎩ ⎨ ⎧ = = ) ( ) ( : t y y t x x C Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo será hallar directamente dx dy .
- 106. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 116 3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas. Suponga que ) (t x x = y ) (t y y = son funciones continuamente diferenciables, y que 0 ) ´( ≠ t x para cualquier t de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a y como una función diferenciable de x y su derivada es: dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy = = Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana 1 2 2 = + y x , la derivada también puede ser hallada partiendo de su ecuación paramétrica ⎩ ⎨ ⎧ = = t y t x C sen cos : , es decir: y x t t dt dx dt dy dx dy − = − = = sen cos Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar. Ejemplo 2 Sea ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = sent e y t e x t t cos hallar dy dx SOLUCIÓN: sent t t sent sent e t e t e sent e dt dx dt dy dx dy t t t t − + = − + = = cos cos cos cos Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de t , es decir que ) ´(t y dx dy = ; por tanto: Segunda derivada: [ ] [ ] [ ] ) ´´( ) ´( ) ´( ) ´( 2 2 t y dt dx dt t y d dx dt dt t y d t y dx d dx y d = = = =
- 107. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 117 Tercera Derivada: [ ] [ ] [ ] ) ´´´( ) ´´( ) ´´( ) ´´( 3 3 t y dt dx dt t y d dx dt dt t y d t y dx d dx y d = = = = Y así sucesivamente. Ejemplo 1 Sea ⎩ ⎨ ⎧ = = t y t x C sen cos : hallar 3 3 d y dx . SOLUCIÓN: Ya encontramos la primera derivada: ( ) cos cot sen dy dy t dt t dx dx t dt = = = − − La segunda derivada sería: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 ´ cot csc csc d d y t t d y dt dt t dx dx dx sent dt dt − − − = = = = − − La tercera derivada sería: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 4 3 d d y´´ csc t 3csc t csctcotgt d y dt dt 3csc tcotgt dx dx dx sent dt dt − − − = = = = − − Ejemplo 2 Sea ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = sent e y t e x t t cos hallar 2 2 d y dx SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos: sent t t sent sent e t e t e sent e dt dx dt dy dx dy t t t t − + = − + = = cos cos cos cos La segunda derivada sería: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ´ cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2cos 2cos cos t t t t d sent t d y d y dt t sent dt dx dx dx dt dt t sent t sent sent t sent t t sent e t e sent t sent sent t t sent e t e sent t tsent sen t sen t tsent t + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = − − − + − − − = − − + + − = = − − + + + + = ( ) ( ) 3 2 3 2 cos 2 cos t t e t sent d y dx e t sent − = −
- 108. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 118 Ejemplo 3 Calcular n n dx y d para: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = = R m t y t x m ; ln SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: Primera derivada: m m m mt t t mt t mt dt dx dt dy dx dy = = = = − − − 1 1 1 1 Segunda derivada: [ ] m m t m t t m dt dx dt t y d dx y d 2 1 1 2 2 2 ) ´( = = = − − Tercera derivada: [ ] m m t m t t m dt dx dt t y d dx y d 3 1 1 3 3 3 ) ´´( = = = − − Directamente, la cuarta derivada sería: m t m dx y d 4 4 4 = Por tanto: m n n n t m dx y d = Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar dx dy para: a. ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − = + = t t sent a y tsent t a x cos cos b. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = 1 1 1 2 2 t t y t x 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − = − = t a y t t a x cos 1 sen en 2 π = t 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 3 2 3 2 t t y t t x en el punto (1,2) 4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎩ ⎨ ⎧ + = − = t t y t t x 2 cos 4 sen 3 3 cos 3 2 sen 4 en 0 = t 5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = 1 4 2 3 2 t t y t x ; IR t ∈ . Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a C y que pasen por el origen. 6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ( ) cos ln cos y t x t = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ . Calcule a) 2 2 dx y d y b) 3 3 dx y d
- 109. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 119 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas. Si tenemos ( ) θ f r = y como ⎩ ⎨ ⎧ = = ) ( ) cos( θ θ sen r y r x Al reemplazar queda ⎩ ⎨ ⎧ = = ) ( ) ( ) cos( ) ( θ θ θ θ sen f y f x Entonces θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ sen f f f sen f d dx d dy dx dy ) ( cos ) ´( cos ) ( ) ´( − + = = Para encontrar la ecuación de la recta tangente: Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma: ) ( 0 0 x x m y y − = − Entonces: x y 0 y 0 r 0 x ( ) r f θ = ( ) 0 0 , r θ 0 θ Fig. 3.13
- 110. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 120 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( cos ) ´( cos ) ( ) ´( cos 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ sen f f f sen f d dx d dy dx dy m sen f y f x − + = = = = = = Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a θ = θ = 3 sen 4 ) ( f r en 4 0 π = θ SOLUCIÓN: Observa la gráfica: En este caso [ ] 2 4 cos 3 sen 4 ) cos( ) ( ) cos( ) ( 0 2 2 2 2 4 4 4 4 0 0 0 = = = = θ θ = π π π π x f f x y [ ] 2 4 sen 3 sen 4 ) sen( ) ( ) sen( ) ( 0 2 2 2 2 4 4 4 4 0 0 0 = = = = θ θ = π π π π y f f y Para la pendiente, tenemos: θ = θ 3 cos 12 ) ´( f Entonces: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 2 6 2 6 4 12 4 12 3 4 cos 3 cos 12 cos 3 4 3 cos 12 ) ( cos ) ´( cos ) ( ) ´( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 = − − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − + = − + = m sen sen sen sen sen f f f sen f m π π π π π π π π θ θ θ θ θ θ θ θ Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por: ) 2 ( 2 ) ( 2 1 0 0 − = − − = − x y x x m y y Fig. 3.14
- 111. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 121 Ejercicios propuestos 3.8 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ 3 cos 4 − = r en 4 0 π θ = 2. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ 3 4sen r = en 6 0 π θ = 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ 3 2sen r = en 6 0 π θ = 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ 3 4 3 sen r − = en 3 0 π θ = 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa. Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa. 3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa. Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si 0 ) ´( ≠ x f en cierto x en I , entonces 1 − f es derivable en el punto correspondiente y , y ( ) ) ´( 1 1 x f y f dx d = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −
- 112. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 122 Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta tangente a f ( 1 m ) y la pendiente de la recta tangente a 1 − f ( 2 m ) se relacionan de la forma 1 2 1 m m = . Y que se puede encontrar la derivada de la inversa 1 − f , trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de 1 − f . Ejemplo 1 Sea 1 2 ) ( 5 + + = x x x f una función estrictamente monótona. Hallar ( ) 4 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − f dx d SOLUCIÓN: En este caso 4 es rango para f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x para reemplazarlo en: ( ) x f f dx d ´ 1 ) 4 ( 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Entonces, teniendo 1 2 4 5 + + = x x por inspección deducimos que 1 = x la satisface. Por lo tanto, ( ) ( ) 7 1 2 1 5 1 1 ´ 1 ) 4 ( 4 1 = + = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − f f dx d No olvide que este resultado significa que la recta tangente a f en el punto ( ) 4 , 1 tiene pendiente 7 = m y por tanto su ecuación sería: ( ) 1 7 4 − = − x y En cambio, la recta tangente a 1 − f en el punto correspondiente ( ) 1 , 4 tiene pendiente 7 1 = m y por ecuación: ( ) 4 7 1 1 − = − x y Fig. 3.15
- 113. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 123 Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de x e x f = ) ( empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ( ) ( ) y f x f dx d ´ 1 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Como x e y x f = = ) ( tenemos que x e x f = ) ´( y y e y f = ) ´( y además al cambiar la variable resulta y e x = , lo cual nos permite decir que: x y f = ) ´( Bien, reemplazando ( ) x y f x f dx d 1 ´ 1 ) ( 1 = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − (No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: 1 ( ) ln f x x − = , cuya derivada la determinamos con su definición) 3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas ( ) 1 1 ; 1 1 arcsen 2 − − = x x x Dx ( ) 1 1 ; 1 1 arccos 2 − − − = x x x Dx ( ) 2 1 1 arctg x x Dx + = ( ) 2 1 arc tg 1 x D co x x = − + ( ) 1 ; 1 1 sec 2 − = x x x x arc Dx Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea x y x f sen ) ( = = hallar [ ] [ ] x D x f D x x arcsen ) ( 1 = − SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos: [ ] [ ] ) ´( 1 ) ( 1 y f arcsenx D x f D x x = = − Entonces, y y f cos ) ´( = . Ahora habrá que encontrar y cos , sabiendo que seny x = (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que 1 x seny = significa que 2 1 cos x y − = (observe la figura 3.16)
- 114. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 124 Por lo tanto, [ ] 2 1 1 cos 1 x y arcsenx Dx − = = L.Q.Q.D. Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función ) (x u u = ( ) 1 1 ; ´ 1 1 arcsen 2 − − = u u u u Dx ( ) 1 1 ; ´ 1 1 arccos 2 − − − = u u u u Dx ( ) ´ 1 1 arctg 2 u u u Dx + = ( ) 1 ; ´ 1 1 sec 2 − = u u u u u arc Dx Ejemplo Hallar ´ y para 2 2 ln tg y x x y arc + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos: ( ) [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y y x yy xy yy x y xy y x yy x y x x y xy x y x yy x x y xy x y x yy x y x x y x y y x D y x x y D y x D x y tg arc D x y x x x y x x − + = + = − + = − + + = + − + / + / = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 2 ´ 2 ´ 1 ´ 2 2 2 1 ) 1 ( ´ 1 1 1 2 1 1 1 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Fig. 3.16
- 115. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 125 Ejercicios Propuestos 3.9 1. Si ( ) 2 3 3 7 + + = x x x f hallar ( ) 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − f dx d 2. Si ( ) 1 3 2 + − = x x x f para 2 3 x ; hallar ( ) 1 5 d f dx − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 3. Hallar ( ) 4 π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dg , si g es la función inversa de f tal que: ( ) x arc x x f tg ln + = 4. Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto f ∈ ) 4 , 2 ( , la recta tangente es paralela a la recta 0 2 3 = + − y x determine el valor de ( ) 4 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − f dx d . 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función 3 2 ) ( 3 − + = x x x f en el punto ( ) ) 0 ( , 0 1 − f 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la función ) ( 1 x f y − = en el punto ( ) 1 2, ( 2) f − − − donde IR x x x x f ∈ + + = , 3 2 3 ) ( 3 7. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de f en ( ) 1 2 , (2 ) a f a − si se conoce que a a f a f 2 ) ( ) ´( = = . 8. Hallar ( ) 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − f dx d conociendo que la ecuación ( ) 2 3 cos = − + y x xy define una función invertible ( ) ) (x f y = en un intervalo que contiene el punto 1 = x y 0 ) 1 ( = f 9. Calcular dx dy , para : a. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = 1 ln 2 x x xarcsenx y b. ( ) 4 ln 2 2 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x xarctg y c. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x senx arctg y cos 5 3 4 d. ( ) senx x arctg e y + = 3 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma ) ( ) ( x g x f y = , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente. Ejemplo 1 Hallar dx dy para x x y = SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: x x y x y x ln ln ln ln = = Ahora derivando implícitamente, resulta:
- 116. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 126 ( ) ( ) [ ] [ ] 1 ln ´ 1 ln ´ 1 ln ) 1 ( ´ 1 ln ln + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = x x y x y y x x x y y x x D y D x x x Ejemplo 2 Hallar dx dy para [ ] x x y arctg 2 sen = SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: [ ] ( ) ( ) x x y x y x 2 sen ln arctg ln 2 sen ln ln arctg = = Ahora derivando implícitamente, resulta: ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = = x x x x x x y x x x x x y y x x x x x y y x x D y D x x x 2 sen 2 cos arctg 2 1 2 sen ln 2 sen ´ 2 sen 2 cos arctg 2 1 2 sen ln ´ 2 2 cos 2 sen 1 arctg 2 sen ln 1 1 ´ 1 2 sen ln arctg ln 2 arctg 2 2 Ejemplo 3 Hallar dx dy para x x x y = SOLUCIÓN: Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos: ( ) x x y x y x xx ln ln ln ln = = Luego, volvemos a aplicar logaritmo: ( ) ( ) ) ln(ln ln ) ln(ln ) ln(ln ln ) ln(ln ln ln ln ln x x x y x x y x x y x x + = + = = Y ahora sí, derivamos implícitamente:
- 117. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 127 [ ] [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = + + = + = x x x x x x y x x x x x y x x x y y y x x x x x y y y x x x D y D x x x x x x x x x ln 1 1 ln ln ´ ln 1 1 ln ln ´ ln 1 1 ln ln ´ 1 ln 1 1 ln ) 1 ( ´ 1 ln 1 ) ln(ln ln ) ln(ln Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar dx dy para 4 3 2 1 arctg 1 2 x e x x y + + + = SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: [ ] ( ) ( ) ( ) x x e x x y e x x y + − + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = 1 ln arctg 1 ln 2 ln ln 1 arctg 1 2 ln ln 4 1 3 1 2 2 1 4 3 2 Ahora derivando implícitamente, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = + − + + + = x x x x x x x e e x arctgx x x y y e e x arctgx x x y y e arctgx x D y D 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 ´ 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 ´ 1 1 ln 1 ln 2 ln ln 2 2 2 2 4 1 3 1 2 2 1 Finalmente, reemplazando resulta: ( ) ( )⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + = x x x e e x arctgx x x e arctgx x y 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 1 2 ´ 2 2 4 3 2 Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular dx dy , para : a. 4 csc 1 sec 3 3 5 − + = x tgx x y b. ( )5 3 3 2 4 3 4 1 4 cos x x x x x y − − = e. x n n x y = f. ( ) ( ) x arctg x x sen arcsen y 2 2 2 cos arccos ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
- 118. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 128 c. ( ) ( ) ) ( 3 2 1 2 3 3 2 x e arcsen x x x y + + − = d. x x y 3 = g. ( ) ( ) x x e arcsen y sec 2 1 + = h. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x arctg x sen y 3 cos 3 ln = i. ( ) 2 2 y x y x y + = + j. ( ) 2 1 x y x = + 2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) ( ) 1 ln 1 + + = x x e y en el punto ) 1 , 0 ( 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. 2 = + x y y x en el punto ) 1 , 1 ( . 4. Determine ( ) 2 , 1 2 2 dx y d , si existe, para 3 = + xy xy 3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS. Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es 2 ) ( x x e e senhx x f y − − = = = Por tanto su gráfica sería: 3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es: 2 cosh ) ( x x e e x x f y − + = = = Fig. 3.17
- 119. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 129 Por tanto su gráfica sería: 3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es: x x x x e e e e x senhx tghx x f y − − + − = = = = cosh ) ( Por tanto, su gráfica sería: Se puede demostrar que 1 cosh 2 2 = − x senh x Fig. 3.19 Fig. 3.18
- 120. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 130 3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS ( ) x x Dx cosh senh = ( ) x x Dx senh cosh = ( ) x h x Dx 2 sec tgh = ( ) x h x c Dx 2 csc tgh − = ( ) x hx hx Dx tgh sec sec − = ( ) x hxc hx Dx tgh csc csc − = ¡Demuéstrelas! Misceláneos 1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a) Si 2 ) 2 ( ) 2 ´( ) 2 ´( = = = g g f entonces ( ) 4 ) 2 ( = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx g f d D b) La función x x f sen ) ( = no es derivable en 0 = x c) Si f y g son derivables en c x = y 0 ) ( ) ´( = = c g c f y ) ( ) ( ) ( x g x f x h = entonces 0 ) ´( = c h . d) La ecuación de la recta tangente a la curva 3 x y = en el punto ( ) 1 , 1 es ( ) 1 3 1 − = − x y . e) La expresión 2 1 sen 2 π → − − π x x lim x es la derivada de x x f sen ) ( = cuando 2 π = x . f) La función 3 5 6 ) ( 3 − + = x x x f no tiene rectas tangentes con pendiente 4. g) Si x x x x y = ) ( entonces ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = x x x x x x y x xx 1 ln ln ) ´( 2 h) Si ( ) ) ( ) ( x f e f x g = tal que 2 ln ) 0 ( = f , 2 ) 0 ´( − = f y 3 ) 2 ´( = f entonces 12 ) 0 ´( − = g i) Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ] b a, y ) ( ) ( b f a f = entonces en algún punto del intervalo abierto ( ) b a, , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x . j) Si f es una función invertible entonces ) ´( 1 ) ( 1 x f x f dx d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − . k) Si f , g y h son funciones tales que ( ) 4 ) 2 ´( = h g f D D , 1 ) 1 ´( ) 1 ( − = = g g y 1 ) 2 ´( ) 2 ( = = h h entonces 0 ) 1 ´( = − f l) Si f es una función inversible y derivable tal que 4 ) 1 ´( = f y 2 ) 1 ( − = f entonces 1 ) 2 ( 1 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − f dx d .
- 121. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 131 m) Si ( ) )) ( 1 ( 1 ) ( x f f f x h + + = , 1 ) 1 ( = f , 1 ) 2 ( − = f , 5 ) 1 ´( = f , 2 ) 2 ´( − = f y 3 ) 0 ´( = f entonces 30 ) 1 ´( − = h n) La función de variable real f con regla de correspondencia ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ − = 0 ; 3 1 0 ; 1 ; 1 2 ) ( x x x x x x x f es derivable en todo su dominio. o) Existen funciones g y h tales que la función ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + − ≤ = 1 ; ) ( 1 0 ; 4 5 3 0 ; ) ( ) ( 2 x x h x x x x x g x f es derivable en todo . p) Si tenemos las curvas b ax x x f + + = 2 ) ( y cx x x g + = 3 ) ( . Entonces no existen valores , , a b c ∈ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto ) 2 , 2 ( . q) Si la ecuación x y y x = define una función ) (x f y = entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto ( ) 1 , 1 es 1 − = x y . r) Si g es la función inversa de x x x f ln 2 ) ( + = entonces 5 2 ) 2 ´( = g . s) Si f es una función de variable real tal que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ = 1 ; 2 1 ; 3 ) ( 2 x x x x x f entonces ) 1 ´( f existe. t) 2 ) 2 ( ) 2 ´( ) 2 ´( = = = g g f entonces ( ) 4 ) 2 ´( = g f D . u) Si 0 ) ( ) ( = = c g c f y ) ( ) ( ) ( x g x f x h = entonces 0 ) ´( = c h v) Si C es un lugar geométrico en el plano cuyos puntos satisfacen la ecuación: { } 2 2 2 2 1 ; , 0 x y a b a b + = ∈ − , entonces la recta tangente a C en cualquier punto ( ) C y x P ∈ 0 0, , tiene por ecuación 1 2 0 2 0 = + b y y a y x w) Si f y g son funciones de en tales que ´ ´ g f = entonces g f = 2. Encuentre dx dy para a. ( ) y x e y x y x cos 2 2 cos 2 2 = + + b. ( ) x x x y ln 2 1 ) ( + = c. ( ) ( ) x e x x y 3 2 cos ln sen ) ( + = d. 2 1 1 arctg y x y y − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e. x x x e e x x y + = ) ( f. x x x x y + = cos ) ( g. x x x y 3 2 3 2 ln ) ( − + = h. 4 3 2 1 arctg 1 2 ) ( x e x x x y + + + = i. ( ) ( ) 2 3 ) ( x arctg x sen x y = j. ( ) x e x x y 2 arctg ln arcsen ) ( + = k. ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + y x y x arctg ln l. ( ) x x e e x y tg ) ( tg = m. ( ) 2 x y x y = +
- 122. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 132 3. Hallar [ ] [ ] 1 ) ( 2 + x f dx d 4. Determine los valores para a , b y c de modo que la función ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ ≤ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 ; 1 0 ; 0 ; sen ) ( 2 1 4 4 x d cx x b ax x x x f x Sea continua en 0 = x y derivable en 1 = x . Además determine, de ser posible, [ ] ( ) [ ] ( ) 1 ´ . ) 2 ´( 2 1 + − − π f f f 5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎩ ⎨ ⎧ = = tant y t x 2 sec 2 en 6 π − = t 6. Si 2 3 ) ´( x e x x f = , 0 ) 1 ( = f y ( ) 3 1 ) ( 2 + + = x x g determine el valor de ( ) ) 1 ´( f g D . 7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎩ ⎨ ⎧ = = t t y t x cos sen cos en el punto ) 0 , 0 ( . 8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en 1 = x donde f , g y h son funciones diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a ( ) ) ( ) ( 2 x g x h x f = y se conoce que 2 ) 1 ( = g , 2 ) 1 ´( − = g , 3 ) 2 ´( − = h y 1 ) 2 ( − = h 9. Determine los puntos del intervalo [ ] 2 , 1 − donde la función [ ] 1 ) ( − + = x x x f sea derivable. 10. Determine los valores reales que puede tomar k para que k k f dx d 5 1 ) 1 ( 2 1 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − . Considere que 1 ) 4 ( = f y x x x f 10 ) ´( 2 + − = . 11. Para la función ) (x f y = cuyas ecuaciones paramétricas son ⎩ ⎨ ⎧ − = = t t y t x arcsen arccos , ( ) 1 , 1 − ∈ t determine 3 3 dx y d . 12. Para la función ) (x f y = cuyas ecuaciones paramétricas son ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = t t y t x ln 1 2 , 0 t determine 3 3 dx y d en el punto ) 0 , 2 ( 13. Determine a, b y c conociendo que las curvas b ax x y + + = 2 y 2 x cx y − = tienen una recta tangente común en el punto ) 0 , 1 ( . 14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ( ) xy x y y x = − − tg ln 2 en el punto ) 0 , 1 ( . 15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto ) 2 , 1 ( . Donde C está definida por las ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + t t t t y x 3 1 2 2 , { } 0 , 1 − − ∈ IR t
- 123. Moisés Villena MuñozCap. 3 La derivada 133 16. Hallar 2 2 dx y d para ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = t e y t e x t t sen cos , IR t ∈ 17. Hallar dx dy en el punto ( ) π , 0 donde x e y satisfacen la ecuación ( ) 0 sen 2 = − + + x y x xy . 18. Sea ) (x f y = función tal que 1 − = f h . Sea 0 ≥ y si 2 2 1 ) ( + − + = y y y y h calcular ) 1 ´( f 19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = t a y t a x 3 3 sen cos ; [ ] π ∈ 2 , 0 t ; 0 a en el punto ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 2 2 3 2 2 ,a a . 20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y ´ f sean continuas en todo su dominio; donde f es una función tal que ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ + = 0 ; 0 ; sen ) ( x c be x a x x f x . 21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ + = + = t t y t t x sen cos 1 cos cos 1 en 2 π = t . 22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 4 3 cos 2 2 = + + x xy y ; en el punto ) 0 , 1 ( . 23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 1 ln = + y xy ; en el punto ) 1 , 1 ( . 24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 3 2 3 2 t t y t t x en el punto ( ) 2 , 1 . 25. Demuestre que la derivada de [ ] ) (cos sen ) ( x f x x F = es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 0 3 = + − k y x sea tangente a la parábola definida por 1 5 2 2 + − = x x y . 27. Hallar ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − x x dx d 1 1 50 50 28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = − = − 2 1 2 2 t t e y e x cuando 0 = t 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es 6 6 ) ( 2 + − = x x x f , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la parábola. 30. Si f es una función de en inversible y con regla de correspondencia 10 3 ) ( 3 − + = x x x f entonces determine ( ) 4 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − f dx d
- 124. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 81 4 4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 4.2 APROXIMACIONES 4.3 ANALISIS MARGINAL 4.4 COSTO MEDIO 4.5 ELASTICIDAD 4.6 MONOTONÍA 4.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.8 CONCAVIDAD 4.9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.10 PROBLEMAS PRACTICOS DE OPTIMIZACIÓN 4.11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS 4.11.1 TEOREMA DE LAGRANGE 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL OBJETIVOS: Resolver problemas de razón de cambio. Aproximar variaciones de funciones. Aplicar e interpretar el Análisis Marginal Calcular Elasticidad de la demanda Elaborar gráficas. Resolver problemas prácticos de Optimización Calcular indeterminaciones empleando la regla de L´hopital
- 125. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 82 4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Suponga que se tiene ) (t f y y que se da una variación en t , denotada como t , esto provoca una variación en la función, denotada como y . Esta variación puede ser en sentido de aumento, positiva, o en sentido de disminución, negativa. La variación de la función sería: ) ( ) ( t f t t f y Se considera la variación media de la función como: t t f t t f t y ) ( ) ( Si tomamos variaciones de t cada vez más pequeñas, tenemos un cambio instantáneo de la función, es decir: t t f t t f lim t y lim t t ) ( ) ( 0 0 Observe que la última expresión es la derivada de la función ) (t f ; entonces, la derivada ) ´(t f expresa el cambio instantáneo que experimenta la función. 4.1.1 DEFINICIÓN. Sea ) (t f y . La RAZÓN O RAPIDEZ DE CAMBIO de y con respecto a t , se define como: 0 ( ) ( ) ´( ) lim t f t t f t f t t La RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL se define como: 100 ) ( ) ´( t f t f Obtener rapidez de cambio porcentual posibilita la comprensión del cambio significativo con respecto al valor original. Esto nos va a permitir resolver problemas de aplicación.
- 126. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 83 Ejemplo 1 En un estudio realizado a partir del año 1999 se determinó que el impuesto predial estaba dado por 2 ( ) 10 70 500 I t t t dólares, donde t significa años después de 1999. a) Calcule la razón a la que aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 2005. b) ¿A qué razón porcentual aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo en 2005? SOLUCIÓN: a) La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de ) (t I , es decir: ´( ) 20 70 I t t dólares por año desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto: ´(6) 20 6 70 190 I Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 190DÓLARES POR AÑO. b) La razón de cambio porcentual será: 100 ) 6 ( ) 6 ´( I I calculemos ) 6 ( I : 2 (6) 10 6 70 6 500 1280 I dólares Entonces ´(6) 190 100 100 14.84% (6) 1280 I I Es decir, después de seis años el impuesto estará cambiando al 14.84% anual. Ejemplo 2 Un comerciante estima que la demanda de cierto artículo estará dada por 2 4000 ) ( p p D artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por 3 2 ) ( 2 t t t p dólares por artículo. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? SOLUCIÓN El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será; ) (p D dt d Como la demanda D es función de precio p , aplicamos la regla de la cadena para obtener la derivada de la demanda con respecto al tiempo t , es decir: 3 ( ) 8000 4 1 d dD dp D p dt dp dt t p Después de 10 semanas el precio de los artículos será: 213 3 10 10 2 ) 10 ( 2 p dólares por artículos. Entonces:
- 127. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 84 semana semana artículos t p p D dt d / 23 . 7 1 ) 10 ( 4 213 8000 1 4 8000 ) ( 3 3 En 10 semanas, la demanda semanal estará dismuyendo a una razón de 7.23 Ejercicios Propuestos 4.1 1. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por 20 10 1 . 0 ) ( 2 t t t U miles de dólares, t años después desu formación en 2001. a) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de lacompañía, con respecto al tiempo, en el 2005?. b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas,con respecto al tiempo en el 2005? 2. Después de t SEMANAS, la cantidad de personas que utilizan un nuevo sistema de cajero automático está dada por 8000 500 6 ) ( 3 t t t P personas. ¿A qué RAZÓN PORCENTUAL cambió el uso del sistema después de 10 semanas? 3. Dentro de t AÑOS la población de cierta ciudad está dada 2 1 40 20 ) ( t t p miles de habitantes. Un estudio ambiental revela que la contaminación del agua estará dada por 10 2 ) ( 2 p p p C UNIDADES de contaminación cuando la población sea p MILES DE HABITANTES, ¿a qué RAZÓN PORCENTUAL variará la contaminación del agua después de 3 años? 4. Cuando un determinado artículo se venda a p dólares por unidad, la demandad de los consumidores locales estará dada por p p D 40000 ) ( unidades al mes. Se estima que dentro de t meses el precio del artículo estará dado por 4 ) ( 2 3 t t p dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 6 meses? 5. Dentro de t AÑOS, la población de cierta ciudad está dada por: 10000 200 ) ( 2 t t t P habitantes. a) Exprese la RAZÓN DE CAMBIOPORCENTUAL de la poblacióncomo una función de t b) ¿Qué sucederácon la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población a largo plazo? 6. El PNB de cierto país crece a una razón constante desde 1996, cuyo valor era $125.000 millones y en 1998 era $155.000millones. ¿A qué razón porcentual aumentó el PNB en 2001.
- 128. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 85 4.2 APROXIMACIONES Suponga que se esté produciendo un determinado artículo; los costos de producción, los ingresos y por ende la utilidad se verían afectados si variamos la producción. Estos cambios en el costo, en el ingreso y en la utilidad pueden ser encontrados, en sus valores aproximados, empleando el cálculo diferencial. Es decir, podemos hallar el valor aproximado de la variación de una función, cuando su variable independiente cambia, a partir de su regla de correspondencia. Empecemos mencionando la definición de diferenciales. 4.2.1 DEFINICIÓN. DIFERENCIALES. Sea y f x una función diferenciable. La diferencial de la variable independiente “ x ” se denota como dx y la DIFERENCIAL de “ y ” denotada como dy, se define como: dx x f dy ) ´( Ahora hagamos una interpretación grafica. Observe la figura:
- 129. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 86 Note que la variación de “ x denotada como x es igual a su diferencial, es decir dx x Además observe que, si 0 x entonces dy y , es decir: x x f y ) ´( Entonces, el cambio real ) ( ) ( 0 0 x f x x f es aproximadamente igual a x x f ) ´( 0 . Además, Se define la VARIACIÓN RELATIVA como: x f x x f y y 0 ´ Y la VARIACIÓN PORCENTUAL sería: 100 ´ 100 0 x f x x f y y Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta fábrica están dados por q q q C 9000 50 ) ( 2 dólares, donde q ” es el número de unidades producidas. En la actualidad se están produciendo 30 unidades. a) Calcule la variación real en el costo, si se decide producir 33 unidades b) Utilice el Cálculo para aproximar el CAMBIO que se generará en el costo al producir las 33 unidades. c) Calcule el cambio porcentual SOLUCIÓN. a) El cambio real se lo puede calcular obteniendo la diferencia entre el costo de producir 33 unidades y el costo de producir las 30 unidades. 36450 $ 315000 351450 30 9000 30 50 33 9000 33 50 ) 30 ( ) 33 ( Re 2 2 C C C Costo el en al Cambio
- 130. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 87 b) Por otro lado q C Costo el en Aproximado Cambio ) 30 ´( En este caso 3 q y 9000 100 ) ´( q q f Entonces: 36000 $ 3 9000 30 100 3 ) 30 ´( f C c) % 24 . 10 351450 36000 100 C C Costo el en porcentual Cambio Ejemplo 2 La producción de cierta fábrica está dada por 3 2 600 ) ( L L Q unidades, donde L representa el tamaño de la fuerza laboral. El fabricante desea incrementar la producción en un % 1 . Aplique el Cálculo para estimar EL INCREMENTO PORCENTUAL que se requerirá en la mano de obra. SOLUCIÓN. Se pide % L si % 1 Q El cambio porcentual en L estaría dado por 100 % L L L . El cambio porcentual en Q está dado por 100 % Q Q Q y como L Q Q ´ entonces 100 ´ % Q L Q Q La derivada de Q sería 3 1 3 1 400 3 2 600 ´ L L Q . Reemplazando, tenemos: 100 3 2 1 100 600 400 1 100 ´ % 3 2 3 1 L L L L L Q L Q Q Despejando L , resulta 200 3L L . Y finalmente reemplazando % 5 . 1 100 200 3 % 100 % L L L L L L
- 131. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 88 Ejercicios Propuestos 4.2 1. Dada la ecuación de la demanda 4 100 q p , utilice diferenciales para estimar el precio p cuando se demandan 5 . 12 q unidades. 2. Se estima que la producciónsemanal en cierta planta está dada por x x Q 9000 50 2 unidades, donde x es el número de trabajadores empleados en la planta. En la actualidad hay 30 trabajadores empleados en la planta. a) Utilice el cálculo para estimar el cambio que se generará en la producción semanal al aumentar en 1 trabajador la fuerza laboral. b) Calcule el cambio real que se generará en la producción al emplear 1 trabajador más. 3. En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación 3 2 2 3 1 3 2 y y x x Q . Si los niveles actuales de insumos son 30 x e 20 y , utilice el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una disminución de 5 . 0 unidades en el insumo x , de manera que la producción semantenga en su nivel actual. 4. La producción Q de una fábrica está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación 3 2 3 2 2 y xy x Q . Si los niveles actuales de insumos son 10 x e 20 y , aplique el Cálculo para estimar el CAMBIO que debería realizarse en el insumo y que debería realizarse para COMPENSAR UN INCREMENTO de 5 . 0 en el insumo x , de manera que la producciónse mantenga en su nivel actual. 5. En cierta fábrica un obrero que llega al trabajo a las 8 a. m. habrá producido t t t t Q 12 9 2 3 unidades, t horas más tarde. a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9 a.m. b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9 a.m.? c) Aplique el cálculo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9 a.m. y las 9:06 a.m. d) Calcule elcambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 a.m.y las 9:06 a.m. 6. En determinada Fábrica, la producción diaria está dada por 3 1 2 1 3000 L K Q unidades, donde K representa la inversión de capital de la empresa medida en unidades de $1.000 y L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión actual de capital es de $400.000 y que se utilizan 1331 horas-trabajador todos los días. Emplee el cálculo marginal para estimar el efecto que, sobre la producción diaria, tendrá una inversión de capital adicional de $1.000, si elvolumen de la fuerza laboral permanece igual. 7. En determinada empresa, la producción está dada por 2 1 400 ) ( K K Q unidades, donde K representa la inversión de capital de la empresa. Estime¿qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de capital?
- 132. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 89 4.3 ANALISIS MARGINAL En Economía, ocasionalmente se hace necesario determinar la variación de una función cuando su variable independiente cambia en una unidad. Si ) (x f y entonces x x f y ) ´( . Considerando 1 x tenemos que ) ´(x f y . A este resultado, es decir a ) ´(x f se la llama la FUNCIÓN MARGINAL de ) (x f . Lo anterior quiere decir que: Si tenemos ) (q C el COSTO de producir q unidades, entonces ) ´(q C sería el COSTO MARGINAL y significa el costo adicional por producir la unidad 1 q . Si tenemos ) (q I el INGRESO por la venta de q unidades, entonces ) ´(q I sería el INGRESO MARGINAL y significa el Ingreso adicional por la venta de la unidad 1 q . Si tenemos ) (q U la UTILIDAD por la producción y venta de q unidades, entonces ) ´(q U sería la UTILIDAD MARGINAL y significa la utilidad adicional por la producción y venta de la unidad 1 q . Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta planta están dados por q q q C 90 5 ) ( 2 dólares, donde q ” es el número de unidades producidas. a) Determine el Costo Marginal. Interprete. b) Suponga que se están produciendo 100 unidades, emplee el Costo Marginal para estimar el costo de fabricar la unidad 101. SOLUCIÓN: a) El costo marginal seria 90 10 ) ´( q q C dólares, el cual significa el costo adicional de producir la unidad 1 q . b) El costo adicional por fabricar la unidad 101 es 1090 90 100 10 ) 100 ´( C dólares.
- 133. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 90 4.4 COSTO MEDIO. Sea ) (q C el COSTO de producir q unidades, entonces el COSTO MEDIO, denotado como C , se define como: q q C C ) ( Ejemplo 1 Para el costo q q q C 90 5 ) ( 2 , donde “ q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Medio. SOLUCIÓN: unidad q q q q q q C C $ 90 5 90 5 ) ( 2 Ejemplo 2 Suponga que el costo medio para un determinado artículo está dado por 50 10 ) ( 2 q q q C , donde “q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Marginal. SOLUCIÓN: Como q q C C ) ( entonces q q q q q q C q q C 50 10 50 10 ) ( 2 3 2 Por lo tanto el Costo marginal sería: 50 20 3 ) ´( 2 q q q C Ejercicios Propuestos 4.3 1. Si la función de Costo total, para un fabricante está dada por 5000 3 5 2 2 q q q C , siendo q las unidades producidas. Determine el costo marginaly elcosto medio cuando se producen 10 unidades. Interprete. 2. La función de costo total está dada por: 67 3 4 2 q q q C ; sabiendo que la ecuación de la demanda es: q q D 45 5 1 , determinar las funciones de Ingreso, Costo y Utilidad Marginales. Interprete 3. Sea 57 4 5 1 2 q q q C el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y q q p 36 4 1 el precio al cual sevenderán las q unidades. a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la venta de lacuarta unidad.
- 134. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 91 4. Sea 67 3 4 1 2 q q q C el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y q q p 45 5 1 el precio al cual sevenderán las q unidades. a) Hallar el costo medio, elcostoy el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingresomarginal paracalcular el ingreso obtenido de laventa de la cuarta unidad. 4.5 ELASTICIDAD Suponga ahora que se desea determinar la variación porcentual de una función cuando su variable independiente varía en 1%. Esto es, si tenemos ) (x f y y suponga que % 1 100 x x es decir que x x 01 . 0 . Bien, sabemos que el 100 ´ x f x x f Porcentual Cambio Reemplazando, tenemos: x x f x f x f x x f Porcentual Cambio ´ 100 01 . 0 ´ Este cambio porcentual de f , es lo que se denomina ELASTICIDAD de f . 4.5.1 DEFINICIÓN Sea ) (x f y . La ELASTICIDAD de f con respecto a x , denotada como , se define como: x x f x f ´ y denota el cambio porcentual de f cuando x varía en 1%. Es muy común utilizar este concepto para la demanda.
- 135. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 92 Suponga que se tiene la ecuación de la demanda ) (p D entonces p p D p D ) ´( y de dice que: Si 1 la demanda es INELASTICA Si 1 la demanda es ELÁSTICA Si 1 la demanda es de ELASTICIDAD UNITARIA Ejemplo 1 Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por 32 2 ) ( 2 p p D ; 4 0 p cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $3. Interprete SOLUCIÓN: Empleando la definición 2 2 2 2 2 2 2 3 ´( ) 4 4 2 2(3) 2.57 2 32 2 32 16 16 (3) p D p p p p p p D p p p p Esto quiere decir que cuando el precio del artículo es de $3 si este precio varía en 1% entonces la cantidad demandada disminuirá en 2.57%. Y como 57 . 2 57 . 2 tenemos una DEMANDA ELÁSTICA. Ejercicios Propuestos 4.4 1. Determine las elasticidades de la demanda en función de p para: a) 2 25 p q g) 2 32 ) ( q q D b) 90 2 q p h) p q 100 c) 10 : 100 D p q i) 800 ) 10 )( 20 ( q p d) 280 : 2 D p q e) 2 5 p q f) 3 2 16 ) ( q q D 2. Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por 2 2 30 ) ( p p p D cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $2. Interprete
- 136. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 93 4.6 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.6.1 Teorema de Monotonía Sea una función continua en un intervalo b a, y diferenciable en todo punto interior de b a, . Entonces: 1. Si b a x x f , , 0 ) ´( entonces es creciente en b a, 2.Si b a x x f , , 0 ) ´( entonces es decreciente en b a, . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que 0 ) ´( x f , , x a b . Sea 0 , x a b entonces 0 ´( ) 0 f x , es decir 0 ) ( ) ( 0 0 0 x x x f x f lím x x ; esto indica que 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 x x x x f x f x lím x x f x f x lím x x En el primer caso el denominador es negativo 0 x x por tanto el numerador debe ser también negativo, es decir 0 ( ) ( ) f x f x , lo cual también indica que f es creciente. En el segundo cado en denominador es positivo 0 x x por tanto el numerador debe ser también positivo, es decir ) ( ) ( 0 x f x f , lo cual indica que f es creciente Para el caso 0 ) ´( x f , la demostración es análoga. Ejemplo 1 Analice la monotonía de 2 ( ) 2 4 5 f x x x SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 4 4 ) ´( x x f
- 137. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 94 El asunto es determinar en qué intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos ) 1 ( 4 ) ´( x x f ; se observa que: x ) ´(x f f 1 x Negativa (-) decrece 1 x Positiva(+) crece Ejemplo 2 Analice la monotonía de 3 2 ( ) 3 3 f x x x SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada 2 ´( ) 3 6 f x x x En la forma factorizada ´( ) 3 2 f x x x se observa que: x ) ´(x f f 0 x Positiva (+) crece 0 2 x Negativa (-) decrece 2 x Positiva (+) crece Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento para cada función: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 x x x x f 5. 4 2 1 x x f 6. 4 3 1 ) ( x x f
- 138. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 95 4.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más importante que se resuelve con la ayuda de la derivada. 4.7.1 DEFINICIÓN Sea : f I . Suponga que “ 0 x ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. 0 ( ) f x es el valor máximo de f en I , si 0 ( ) ( ) f x f x , x I . (El mayor de todos) 2. 0 ( ) f x es el valor mínimo de f en I , si 0 ( ) ( ) f x f x , x I . (El menor de todos) Al máximo y al mínimo de f se lo llama VALOR EXTREMO. Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 4.7.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos Si f es una función continua definida en un intervalo b a, entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en b a, . Lo anterior quiere decir que siempre habrá extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero continúa la interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos Críticos.
- 139. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 96 4.7.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos. Sea f una función definida en un intervalo b a, que contiene a “ 0 x ”. Entonces “ 0 x ” es llamado Punto Crítico si es: Un punto extremo del intervalo, es decir a x 0 , b x 0 . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir 0 ) ´( 0 x f . Este será llamado Punto Crítico Estacionario. (En este punto la recta tangente es horizontal). O bien, Un punto donde la derivada no existe; es decir ) ´( 0 x f no está definida. Este será llamado Punto Crítico Singular. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo ( ) f x x , tiene un punto crítico singular (pico) en 0 x ) 4.7.4 TEOREMA Sea f una función definida en un intervalo b a, que contiene a “ 0 x ”. Si ) ( 0 x f es un valor extremo entonces “ 0 x ” es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los
- 140. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 97 extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. DEMOSTRACIÓN. Sea ) ( 0 x f un valor máximo; es decir ) ( 0 x f x f , entonces: 0 ) ( ) ( 0 x f x f Si 0 x x , dividiendo por 0 x x tenemos 0 ) ( ) ( 0 0 x x x f x f Ahora obteniendo límite 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 x x x x lím x x x f x f lím resulta 0 ) ´( 0 x f . Para 0 x x , tenemos, obteniendo límite 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 x x x x lím x x x f x f lím resulta 0 ) ´( 0 x f Suponga que f es derivable en 0 x , entonces 0 ) ´( 0 x f ; es decir 0 x es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en 0 x , entonces ) ´( 0 x f no existe; es decir 0 x es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que ) ( 0 x f sea un valor mínimo. Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que:
- 141. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 98 Si “ 0 x ” no es un punto crítico entonces no será extremo. Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. Es suficiente que ) ( 0 x f sea un extremo para que “ 0 x ” sea un punto crítico. Que “ 0 x ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta. Ejemplo 1 Determinar los extremos para 5 4 2 ) ( 2 x x x f en 3 , 0 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: 0 0 x y 3 0 x 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada: 4 4 ) ´( x x f Ahora 0 0 ´( ) 0 4( 1) 0 f x x , entonces el Punto Crítico Estacionario sería: 1 0 x . 3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos: 3 ) 1 ( 11 5 3 4 3 2 3 5 5 0 4 0 2 0 2 2 f f f Por inspección, se determina que: En 3 0 x se encuentra el Valor Máximo f . Y en 1 0 x se encuentra el Valor Mínimo de f .
- 142. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 99 Ejemplo 2 Determinar los extremos para 3 2 ( ) 3 3 f x x x en 2,3 SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: ´0 2 x y 0 3 x 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada 2 ´( ) 3 6 f x x x , tenemos: 2 ´( ) 0 3 6 0 3 ( 2) 0 f x x x x x Entonces serían: 0 0 x y 0 2 x . 3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función: 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 8 12 3 17 3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3 (0) 3 (2) (2) 3(2) 3 1 f f f f De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en 0 3 x como en 0 0 x ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en 0 2 x . Ejercicios Propuestos 4.6 1. Determine elvalor máximoy elvalor mínimo: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 x x x x f en 2,3 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x en 3,3 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x en 5,3 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 x x x x f en 1,1 5. 4 2 1 x x f en 2,2 6. 4 3 1 ) ( x x f en 1,2 Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en un intervalo de su dominio, pero si analizamos la función en todo su dominio, esto nos deja insatisfechos. ¿Qué ocurre con los puntos críticos que son extremos en un intervalo?
- 143. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 100 4.7.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos Sea f una función de variable real. Sea “ 0 x ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. ) ( 0 x f es un valor máximo local de f , si existe un intervalo b a, en el dominio de f que contiene a “ 0 x ” tal que ) ( 0 x f es el valor máximo de f en b a, . 2. ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo b a, en el dominio de f que contiene a “ 0 x ” tal que ) ( 0 x f es el valor mínimo de f en b a, . 3. ) ( 0 x f es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.
- 144. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 101 4.7.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea f continua en b a, que contiene al punto crítico “ 0 x ”. Entonces: 1. Si 0 , , 0 ) ´( x a x x f y b x x x f , , 0 ) ´( 0 entonces ) ( 0 x f es un valor máximo local de f . 2.Si 0 , , 0 ) ´( x a x x f y b x x x f , , 0 ) ´( 0 entonces ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f . 3.Si ) ´(x f tiene el mismo signo a ambos lados de “ 0 x ” entonces ) ( 0 x f NO es un valor extremo de f . Ejemplo Para 3 2 ( ) 3 3 f x x x Analizando la primera derivada ´( ) 3 2 f x x x se observó que: x ) ´(x f f 0 x Positiva (+) crece 0 2 x Negativa (-) decrece 2 x Positiva (+) crece Entonces: 1. Como antes de 0 x la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3 f es un máximo local. 2. Como antes de 2 x la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1 f es un mínimo local. Ejercicios Propuestos 4.7 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 x x x x f 5. 4 2 1 x x f 6. 4 3 1 ) ( x x f
- 145. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 102 Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 Trazar la gráfica de 5 4 2 ) ( 2 x x x f en 3 , 0 . SOLUCIÓN: Se ha obtenido 1 0 x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería: Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Ejemplo 2 Graficar 3 2 ( ) 3 3 f x x x en 2,3 SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 0 0 x y 0 2 x , también se determinó que antes de 0 0 x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto 0 2 x ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es: 5 4 2 ) ( 2 x x x f 3 , 1 5 , 0 11 , 3 P.C.E. P.C.F. P.C.F. Mín Máx. P.C.F P.C.F P.C.E P.C.E . máx y mín y 3 2 ( ) 3 3 f x x x
- 146. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 103 Ejercicios Propuestos 4.8 Bosqueje la gráfica de: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 x x x x f 2. 5 3 3 20 y x x 3. 3 1 3 9 2 y x x 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 x x x x f 5. 4 2 1 x x f 6. 4 3 1 ) ( x x f Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graficar 4 5 ( ) f x x SOLUCIÓN: Analizando la derivada 1 5 5 4 4 ´( ) 5 5 f x x x , tenemos: Punto Crítico Singular: 0 0 x x ) ´(x f f 0 x Negativa (-) decrece 0 x Positiva (+) crece Por tanto, se puede decir que su gráfica es: Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la 4 5 y x
- 147. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 104 gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos: 4.8 CONCAVIDAD 4.8.1 Teorema de concavidad Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si I x x f , 0 ) ´´( entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2.Si I x x f , 0 ) ´´( entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de 4 3 ( ) f x x SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es 1 5 4 ´( ) 5 f x x entonces la segunda derivada es 6 5 5 6 4 4 ´´( ) 25 25 f x x x Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x ) ´´(x f f 0 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 0 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó. Otra definición importante es la que presentamos a continuación.
- 148. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 105 4.8.2 Puntos de Inflexión Sea f continua en “ 0 x ”, llamamos a ) ( , 0 0 x f x un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ 0 x ” y cóncava hacia abajo al otro lado. Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de 3 2 ( ) 3 3 f x x x SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es 2 ´( ) 3 6 f x x x entonces la segunda derivada es ´´( ) 6 6 6( 1) f x x x x ) ´´(x f f 1 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 1 x Positiva (+) Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función. Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. 3 2 ( ) 3 3 f x x x P. Inflexión
- 149. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 106 Ejercicios Propuestos 4.9 Determine los intervalos de concavidad: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 x x x x f 5. 4 2 1 x x f 6. 4 3 1 ) ( x x f Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 4.8.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que ´ f y ´´ f existen en b a, que contiene a “ 0 x ” y que 0 ) ´( 0 x f . 1. Si 0 ´´( ) 0 f x entonces ) ( 0 x f es un valor máximo local de f . 2.Si 0 ´´( ) 0 f x entonces ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para 3 2 ( ) 3 3 f x x x SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: 0 x y 2 x . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: ´´( ) 6 6 f x x a) ´´(0) 6(0) 6 6 0 f (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) ´´(2) 6 2 6 6 0 f (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.
- 150. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 107 4.9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1. Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión. Ejemplo 1 Graficar 4 243 ( ) 243 x f x x SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: R f Dom Paso 2. SIMETRÍA: 4 4 243 243 ( ) ( ) ( ) 243 243 x x f x f x x x por tanto f es IMPAR.
- 151. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 108 Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 4 3 4 4 4 4 4 243 243 243 0 lím lím lím 0 1 243 1 243 243 0 243 x x x x x x x x x x x x Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir: 4 243 lím 0 243 x x x Por tanto el eje x ( 0 y ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. ¿Por qué? P.C.E: 4 3 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 243 (4 ) 3 81 243 3 ´( ) 243 243 243 243 243 243 3 9 9 3 3 3 9 243 243 243 243 x x x x x f x x x x x x x x x x x por lo tanto tenemos P.C.E: 0 3 x y 0 3 x P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En 0 3 x la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En 0 3 x la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 4 3 4 4 4 3 2 4 4 4 4 3 4 4 3 4 4 7 3 3 7 3 4 7 3 3 4 3 4 3 4 3 81 4 243 81 2 243 4 ´´( ) 729 729 243 243 4 243 243 81 2 729 243 4 243 162 2 729 243 4 405 729 243 4 405 729 243 4 729 x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 3 4 3 2 4 4 3 4 405 405 243 4 405 405 405 729 243 x x x x x x x x 3 ´ f f decrece decrece crece 3
- 152. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 109 Entonces: Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en 0 x , 4 405 x y 4 405 x entonces existen tres puntos de inflexión: 4 4 405, 405 f , 0 , 0 y 4 4 405, 405 f . En conclusión: x ) ´(x f ) ´´(x f f 4 405 x - - Decrece y cóncava hacia abajo 4 405 x 0 Punto de inflexión 4 405 3 x - + Decrece y cóncava hacia arriba 3 x 0 + Punto crítico estacionario, Mínimo local 3 0 x + + Crece y cóncava hacia arriba 0 x 0 Punto de inflexión 0 3 x + - Crece y cóncava hacia abajo 3 x 0 - Punto crítico estacionario, Máximo local 4 1 405 x - - Decrece y cóncava hacia abajo 4 405 x 0 Punto de inflexión 4 405 x - + Decrece y cóncava hacia arriba 4 405 ´´ f f 4 405 0 2.25 2.25 P.C.E P.C.E Máx. Mín. 4 243 ( ) 243 x f x x 4.49;1.68 4.49; 1.68 P.I P.I P.I
- 153. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 110 Ejemplo 2 Graficar 1 1 ) ( 2 2 x x x f SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: 1 , 1 R f Dom Paso 2. SIMETRÍA: ) ( 1 1 1 ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 x f x x x x x f por tanto f es PAR. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: 1 x y 1 x (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x lím x x lím x x Por tanto, 1 y es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. ¿Por qué? P.C.E: 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 4 1 2 2 2 2 1 ) 2 ( 1 1 2 ) ´( x x x x x x x x x x x x x f Por lo tanto tenemos 0 0 x P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En 0 0 x la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 12 ´´ 1 16 4 4 1 2 1 2 4 1 4 1 4 ) ´´( x x x f x x x x x x x x x x D x f x Entonces: 1 ´ f f decrece decrece crece 1 0 crece 1 ´´ f f 1
- 154. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 111 Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: x ) ´(x f ) ´´(x f f 1 x + + Crece y cóncava hacia arriba 1 x Asíntota vertical 0 1 x + - Crece y cóncava hacia abajo 0 x 0 - Punto crítico estacionario, Máximo local 1 0 x - - Decrece y cóncava hacia abajo 1 x Asíntota vertical 1 x - + Decrece y cóncava hacia arriba Ejercicios Propuestos 4.10 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión: 1. x x x f 4 ) ( 2 2. 3 5 3 2 3 5 2 ) ( x x x f 3. 2 ) ( x e x f 4. 2 2 2 ) ( x x x f 5. 2 5 3 x x x f 6. 2 2 9 2 x x x f 1 1 2 2 x x y P.C.E Máx. Local
- 155. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 112 2. Bosqueje una función fde variable real que cumpla lassiguientes condiciones: ) ( ) ( x f x f 2 ) ( lím x f x ) ( 1 x f lím x ) ( lím 1 x f x 0 ) 2 / 3 ( ' ) 0 ( ' ) 3 ( ' f f f 0 3 f , 1 2 3 f , 2 1 ) 2 ( f , 0 ) 0 ( f 0 ) ( ' x f en 1 , 0 y 3 , 2 3 0 ) 2 ( ' ' f 3. Suponga que 2 '( ) ( 3)( 1) 2 f x x x x y (1) 0 f , 2 5 f , (3) 5 f , esboce una gráfica para f . 4.10 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto es posible resolver problemas prácticos de optimización. Se recomiendo seguir los siguientes pasos: 1. Defina la Función Objetivo. Función a maximizar o minimizar. 2. Simplifique la Función Objetivo. 3. Encuentre los Puntos Críticos. 4. Clasifique los Puntos Críticos. Determine los extremos (máximos o mínimos) 5. Encuentre la Función Óptima. De ser solicitada.
- 156. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 113 Ejemplo 1 Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de 10 $ cada uno y estima que si se venden a x DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán x 30 ARTÍCULOS POR DÍA. ¿A qué PRECIO debe el fabricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? SOLUCIÓN: PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será la utilidad del artículo. 30 10 30 U Ingresos Costos x x x PASO 2. Simplificamos: 2 2 30 300 10 40 300 U x x x U x x PASO 3. Obtenemos los puntos críticos: 20 0 40 2 ´ x x U PASO 4. Clasificamos el punto crítico: Empleemos el criterio de la segunda derivada: 2 2 20 2 0 x d U dx Esto nos asegura que el fabricante debe vender los artículos a $20 para obtener la máxima utilidad. Ejemplo 2 Un almacén vende bicicletas a US$40 por unidad. A este precio las personas han comprado 50 bicicletas al mes. El propietario desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 2 bicicletas menos cada mes. Si cada bicicleta tiene un costo de US$25 para el almacén, ¿A qué precio debería vender las bicicletas para maximizar las utilidades? SOLUCIÓN: PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será también será la utilidad. Utilidad = Ingresos- costos = (precio venta)(Cantidad) - (costo unitario)( cantidad) Sea número de incrementos de $1en el precio de venta x Entonces: 40 1 50 2 25 50 2 U x x x PASO 2. Simplificamos: 2 2 2000 80 50 2 1250 50 2 20 750 U x x x x U x x PASO 3. Obtenemos los puntos críticos: 5 4 20 20 4 ´ x x U PASO 4. Clasificamos el punto crítico: 2 2 20 4 0 x d U dx Por tanto, el propietario debe hacer 5 incrementos de $1 en precio, es decir debe vender las bicicletas a $45 para obtener la máxima utilidad.
- 157. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 114 Ejercicios propuestos 4.11 1. Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de q unidades de cierto artículo es: 128 68 2 2 q q q I . ¿En qué nivel de ventas el ingreso es máximo? 2. Un estudio de eficiencia indica que un trabajador que llega a las 8h00 ensamblará t t t t Q 15 2 9 2 3 unidades/ hora. ¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia máxima. 3. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es q p 2 600 y la función de costo medio es q q q C C 200 28 2 . 0 , donde q es el número de unidades y tanto p como C están expresados en dólares por unidad. Determine el nivel de producción para obtener la mayor utilidad posible. 4. Una función de precio p , está definida por 3 4 20 ) ( 2 x x x p , donde x es el número de unidades vendidas. Determine el valor de x donde el ingreso marginal es máximo. 5. Una librería puede obtener un cierto libro a $3 cada uno. La librería está vendiendo el libro a $20 cada uno y a este precio vende 200 ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, la librería está planeando bajar ese precio y estima que por cada dólar de reducción en el precio del libro se venderán 20 libros más al mes. Determine: a) El precio que debe venderse el libro a fin de generar el mayor beneficio para el dueño de la librería. b) La cantidad adicional de libro vendida al nuevo precio. 6. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de $50 por unidad. El minorista vende las cámaras a un precio de $80 cada una y, a este precio, los consumidores han comprado 40 cámaras al mes. El minorista planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 cámaras más cada mes. ¿A qué precio debería el minorista vender las cámaras para maximizar el rendimiento total? 7. En una página de un libro debe haber 150 2 cm de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 8. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 3 250cm . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta 2 centavos el 2 cm . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente? 9. Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 3 2000 cm . Para elaborar la base se dispone de un material que cuesta 4 centavos el 2 cm y el material usado para la superficie lateral cuesta 2 centavos el 2 cm . Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especificaciones dadas de tal forma que el costo de fabricación sea mínimo. 10. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóveda hemisférica, con un volumen total dado. Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por pie cuadrado que el muro cilíndrico. ¿Cuáles son las proporciones más económica?
- 158. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 115 4.11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS. 4.11.1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si f es una función continua en b a, y derivable en b a, entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en b a, tal que a b a f b f x f ) ( ) ( ) ´( 0 Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Demostración: Sea la función ) ( ) ( ) ( x g x f x S , donde g es la recta entre los puntos ) ( , a f a y ) ( , b f b , entonces podemos obtener su ecuación: a x a b a f b f a f y x x m y y ) ( ) ( ) ( 0 0 Es decir: b- a f ( b ) - f ( a ) a b ) (a f ) (b f 0 x ) (x f y Recta Tangente Recta Secante
- 159. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 116 a x a b a f b f a f x g y ) ( ) ( ) ( ) ( Reemplazando, resulta: a x a b a f b f a f x f x S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Note que también S es continua en , a b y derivable en , a b Obtengamos ahora ( ) S a y ( ) S b : 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a b a f b f a f a f a S 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a b a b a f b f a f b f b S Por tanto, b a x , 0 tal que 0 ) ´( 0 x S Para lo cual a b a f b f x f x S ) ( ) ( ) ´( ) ´( y 0 ) ( ) ( ) ´( ) ´( 0 0 a b a f b f x f x S Por lo último a b a f b f x f ) ( ) ( ) ´( 0 L.Q.Q.D. Ejemplo 1 Encuentre el número “ 0 x ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si 2 ( ) f x x en 1,2 . SOLUCIÓN: Observe que f es continua en 1,2 y como ´( ) 2 f x x por tanto es diferenciable en 1,2 se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de 0 x en 1,2 tal que 0 (2) ( 1) ´( ) 2 1 f f f x está garantizada y lo podemos encontrar. Para lo cual 0 0 ´( ) 2 f x x y (2) ( 1) 4 1 3 1 2 1 3 3 f f Igualando y despejando, resulta: 0 0 2 1 1 2 x x . Geométricamente.
- 160. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 117 Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: b a a sen b sen SOLUCIÓN: Usemos ( ) sen f x x . Note que es una función continua en , a b y derivable en , a b por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange, existe un 0 , x a b tal que 0 ( ) ( ) ´( ) f b f a f x b a . Reemplazando y simplificando 0 cos senb sena x b a Por otro lado 0 0 cos 1 x Entonces 0 1 senb sena b a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. 1 senb sena b a senb sena b a Que es lo que se quería demostrar. Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. Recta Tangente Recta Secante 2 ( ) f x x 0.5
- 161. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 118 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en b a, y derivable en b a, y si ) ( ) ( b f a f entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en b a, tal que 0 ) ´( 0 x f Ejercicios Propuestos 4.12 1. Sea . 2 ) ( 2 4 x x x f Hallar todos los valores de 0 x en el intervalo [-2,2] tales que 0 ) ( ' 0 x f 2. La función x x f ) ( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta. El teorema del valor medio para dos funciones sería:
- 162. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 119 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g funciones continuas en , a b y diferenciables en , a b entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en , a b tal que: 0 0 ´( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) f x f b f a g x g b g a Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones. 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL Suponga que lím ( ) lím ( ) 0 x u x u f x g x o también lím ( ) lím ( ) x u x u f x g x . Si ´( ) lím ´( ) x u f x g x existe en sentido finito o infinito; entonces: ( ) ´( ) lím lím ( ) ´( ) x u x u f x f x g x g x Donde , , , , a a a u Ejemplo 1 Calcular x x x sen lím 0 SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 0 cos 1 cos lím sen lím 0 0 x x x x x
- 163. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 120 Ejemplo 2 Calcular x x x 1 0 1 lím SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta: x x x x x x x x x x x e e e x 1 ln lím 1 ln 0 1 ln 0 1 0 0 1 lím lím 1 lím Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 1 1 1 lím ) 1 ln( lím 0 0 x x x x x Por tanto, e e x x x 1 1 0 1 lím Ejemplo 3 Calcular 3 0 sen lím x x x x SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 2 0 3 0 3 1 cos lím sen lím x x x x x x x Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea necesario: 6 1 6 sen lím 3 1 cos lím 0 2 0 x x x x x x Ejemplo 4 Calcular 3 2 4 1 5 3 lím 2 2 x x x x x SOLUCIÓN: Note que aquí tenemos: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 2 8 5 6 lím x x x Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: 4 3 8 6 lím x Ejemplo 5 Calcular x x x 2 tg 1 2 lím SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta:
- 164. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 121 x g x x x x x x x x x x e e e x 2 cot 1 2 2 tg 2 ln lím 2 ln tg 1 2 ln 1 2 tg 1 lím lím 2 lím Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 2 1 csc 2 1 lím cot ) 2 ln( lím 2 2 2 2 1 2 1 x x x g x x x Por tanto, 2 2 tg 1 2 lím e x x x Ejemplo 6 Calcular 1 1 ln 1 1 x x lim x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos . Transformando la expresión primero, resulta: 1 ln ln 1 1 1 ln 1 1 1 x x x x lim x x lim x x Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ln 1 lim lim lim lim 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Volviendo a aplicar L´hopital: 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 ln 2 1 ln x x x x x x x x x Ejercicios Propuestos 4.13 Calcular: 1. 4 4 10 3 2 2 2 x x x x lim x 2. x x x lim x tg sen 2 0 3. x x x e e x x lim tg sen 0 4. 0 1 lim tg x c x x 5. x c x lim x tg cos 1 0 6. x x lim x cos 1 1 cos 0 7. x x x lim 1 8. x x x lim sen 0 9. x x x lim 1 0 cos 10. 2 3 2 cos 0 x x lim x 11. x x x lim 1 2 0 1 12. x ln x x lim 4 3 0 13. 2 0 2 3 cos ln x x lim x 14. x x x x lim 1 0 15. x x x c lim sen 0 tg
- 165. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 122 4.12 POLINOMIO DE TAYLOR La ecuación de la recta tangente en el punto ) ( , 0 0 x f x es 0 0 0 ) ´( ) ( x x x f x f y es decir 0 0 0 ) ´( ) ( x x x f x f y . En la vecindad de 0 x , ) (x f y ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: 0 0 0 ) ´( ) ( ) ( x x x f x f x f . Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: n n x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 ! ) ( ... ! 3 ) ´´´( ! 2 ) ´´( ) ´( ) ( ) ( El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si 0 0 x se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: ... ! 3 ) 0 ´´´( ! 2 ) 0 ´´( ) 0 ´( ) 0 ( ) ( 3 2 x f x f x f f x f Ejemplo 1 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para x e x f ) ( , alrededor de 0 0 x y empléelo para calcular 1 . 0 e . SOLUCIÓN: 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ´´( ) ´´´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) 2! 3! 4! IV f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x 0 0 0 2 3 4 0 0 2 3 4 0 0 0 0 2! 3! 4! 1 2 6 24 x x e e e e e e x x x x x x x e x Bien, ahora reemplazando 1 . 0 x resulta: (0.1) 1 0.1 0.005 0.000166666 0.000004166 f (0.1) 1.105170833 f
- 166. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 123 Ejemplo 2 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para x e x f ) ( alrededor de 0 0 x SOLUCIÓN: Se puede emplear el polinomio del ejemplo anterior, sería cuestión de reemplazar x por x , es decir: 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3! 4! 1 1 1 1 2 3! 4! x x e x x x x e x x x x Ejemplo 3 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para 2 ) ( x e x f alrededor de 0 0 x SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar 2 x por x , es decir: 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 4 6 8 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3! 4! 1 1 1 1 2 3! 4! x x e x x x x e x x x x Ejemplo 4 Hallar el polinomio de Taylor de orden 5 para x x f sen ) ( alrededor de 0 0 x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f x x f V IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( V IV f f f f f f Luego, reemplazando en: 2 3 4 5 (0) (0) (0) (0) ( ) (0) (0) 2 6 4! 5! IV V f f f f f x f f x x x x x Se obtiene: 3 5 3 5 1 1 sen 0 0 0 3! 5! 1 1 sen 3! 5! x x x x x x x x
- 167. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 124 Ejemplo 5 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para x x f cos ) ( alrededor de 0 0 x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( IV f f f f f Luego, reemplazando en: 2 3 4 (0) (0) (0) ( ) (0) (0) 2 6 4! IV f f f f x f f x x x x Se obtiene: 2 3 4 2 4 6 ( 1) 0 1 cos 1 0 2! 3! 4! 1 1 1 cos 1 2 4! 6! x x x x x x x x x Ejemplo 6 Demuestre la IDENTIDAD DE EULER x i x eix sen cos . SOLUCIÓN: Sea ix e x f ) ( . Hallemos el polinomio de Maclaurin correspondiente. Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de x e x f ) ( es decir: 2 3 4 5 2 2 3 3 4 4 5 5 2 3 4 5 2 4 3 5 cos 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 2 4! 3! 5! ix x senx e ix ix ix ix ix ix i x i x i x i x ix x ix x ix x x i x x x Recuerde que: 1 1 1 1 1 2 2 4 2 3 2 i i i i i i i i i Por lo tanto, se concluye que x i x eix sen cos
- 168. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 125 Ejercicios Propuestos 4.14 1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden“n” para: a) x e x f 3 ; n=4 d) 1 1 ) ( 2 x x f ; n=4 b) x e x x f 2 ) ( ; n=4 c) x x f sen ) ( ; n=3 2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de 0 x . a) x x f 1 ) ( ; n=4; 1 0 x c) x x f ln ) ( ; n=4; 1 0 x b) x x f ) ( ; n=4; 4 0 x Misceláneos 1) Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión a. 1 2 ) ( x x x f g. 5 5 ) ( 2 3 x x x x f b. 1 2 ) ( 2 x x x f h. 3 5 ) ( x x x f c. 1 ) ( 2 x x x f i. 8 ) ( 2 3 2 x x x f d. 1 2 ) ( 2 x x f j. 3 4 4 ) ( 2 2 x x x x x f e. x x x f 8 ) ( 3 f. 1 ) ( 3 2 x xe x f 2) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: f es continua en toda su extensión 3 ) 4 ( f , 0 ) 0 ( f , 2 ) 3 ( f 0 ) 4 ´( f , 0 ) 3 ´( f , 0 ) ´( x f para 4 x , 0 ) ´( x f para 3 4 x , 0 ) ´( x f para 3 x . 0 ) 4 ´´( f , 0 ) 0 ´´( f , 0 ) ´´( x f para 4 x 0 ) ´´( x f para 0 4 x , 0 ) ´´( x f para 0 x 3) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
- 169. Moisés Villena MuñozCáp.4 Aplicacionesde la Derivada 126 ) ( lím x f a x 0 ) ( lím x f x ) ( lím x f x e d b a 0 0 ) ( ) ( e f c f , 5 ) ( b f , 3 ) 0 ( f , 1 ) ( ) ( d f a f 0 ) ´´( b f , ) ´´( c f no existe, 0 ) ´( d f , 0 ) ´´( d f , 0 ) ´( , , x f d c a x , 0 ) ´( , , x f d c a x 0 ) ´´( , , x f b a a x , 0 ) ´´( , , x f c c b x 4) Calcular : a) 2 0 lim x x senx c) 2 0 cos lim 2 x x ex x b) x tgx x x 4 cos 1 2 sec lim 2 4 d) x x x x cos tan 2 lim 2
- 170. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 109 4 4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS 4.6 TEOREMA DE ROLLE 4.7 TEOREMA DE CAUCHY 4.8 TEOREMA DE L´HOPITAL OBJETIVOS: • Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento • Determinar extremos • Determinar intervalos de Concavidad. • Graficar funciones sofisticadas. • Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. • Calcular indeterminaciones empleando derivadas.
- 171. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 110 4.1 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía Sea ƒ una función continua en un intervalo [ ] b a, y diferenciable en todo punto interior de [ ] b a, . Entonces: 1. Si [ ] b a x x f , , 0 ) ´( ∈ ∀ entonces ƒ es creciente en [ ] b a, 2.Si [ ] b a x x f , , 0 ) ´( ∈ ∀ entonces ƒ es decreciente en [ ] b a, . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que 0 ) ´( x f entonces 0 ) ( ) ( 0 0 0 − − → x x x f x f lím x x ; es decir 0 ) ( ) ( 0 0 − − x x x f x f . Suponga ahora que x x 0 , entonces ) ( ) ( 0 x f x f , lo cual indica que f es creciente. Si 0 x x entonces 0 ( ) ( ) f x f x lo cual también indica que f es creciente Para el caso 0 ) ´( x f , la demostración es análoga. Ejemplo 1 Analice la monotonía de 2 ( ) 2 4 5 f x x x = − + SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 4 4 ) ´( − = x x f El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos ) 1 ( 4 ) ´( − = x x f ; se observa que: x ) ´(x f f 1 x Negativa (-) decrece 1 x Positiva(+) crece
- 172. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 111 Ejemplo 2 Analice la monotonía de 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada 2 ´( ) 3 6 f x x x = − En la forma factorizada ( ) ´( ) 3 2 f x x x = − se observa que: x ) ´(x f f 0 x Positiva (+) crece 0 2 x Negativa (-) decrece 2 x Positiva (+) crece Ejercicios Propuestos 4.1 1. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x = − 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x = − + 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 − + − = x x x x f 5. ( ) ( )4 2 1 − = x x f 6. ( )4 3 1 ) ( − = x x f 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada 4.2.1 DEFINICIÓN Sea : f I R R ⊆ 6 . Suponga “ 0 x ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. 0 ( ) f x es el valor máximo de f en I , si 0 ( ) ( ) f x f x ≥ , x I ∀ ∈ . (El mayor de todos) 2. 0 ( ) f x es el valor mínimo de f en I , si 0 ( ) ( ) f x f x ≤ , x I ∀ ∈ . (El menor de todos) Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.
- 173. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 112 Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos Si f es una función continua definida en un intervalo [ ] b a, entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [ ] b a, . Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos. 4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos. Sea f una función definida en un intervalo [ ] b a, que contiene a “ 0 x ”. Entonces “ 0 x ” es llamado Punto Crítico si es: • Un punto extremo del intervalo, es decir a x = 0 , b x = 0 . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, • Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir 0 ) ´( 0 = x f . Estos serán denominados Puntos Críticos
- 174. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 113 Estacionarios. (En estos puntos la recta tangente es horizontal). O bien, • Un punto donde la derivada no existe; es decir ) ´( 0 x f no está definida. Estos serán denominados Puntos Críticos Singulares. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo ( ) f x x = , tiene un punto crítico singular (pico) en 0 x = ) 4.2.4 TEOREMA Sea f una función definida en un intervalo [ ] b a, que contiene a “ 0 x ”. Si ) ( 0 x f es un valor extremo entonces “ 0 x ” es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. DEMOSTRACIÓN. Sea ) ( 0 x f un valor máximo; es decir ( ) ) ( 0 x f x f ≥ , entonces: 0 ) ( ) ( 0 ≤ − x f x f Si 0 x x , dividiendo por 0 x x − tenemos 0 ) ( ) ( 0 0 ≤ − − x x x f x f Ahora obteniendo límite 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 + + → → ≤ − − x x x x lím x x x f x f lím resulta 0 ) ´( 0 ≤ + x f . Para 0 x x , tenemos, obteniendo límite 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 − − → → ≥ − − x x x x lím x x x f x f lím resulta 0 ) ´( 0 ≥ − x f Suponga que f es derivable en 0 x , entonces 0 ) ´( 0 = x f ; es decir 0 x es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en 0 x , entonces ) ´( 0 x f no existe; es decir 0 x es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que ) ( 0 x f sea un valor mínimo.
- 175. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 114 Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: • Si “ 0 x ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. • Es suficiente que ) ( 0 x f sea un extremo para que “ 0 x ” sea un punto crítico. • Que “ 0 x ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.
- 176. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 115 Ejemplo 1 Determinar los extremos para 5 4 2 ) ( 2 + − = x x x f en [ ] 3 , 0 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1.Puntos críticos de Frontera: 0 0 = x y 3 0 = x 2.Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada 4 4 ) ´( − = x x f Ahora 0 ) 1 ( 4 0 ) ´( = − = x x f , entonces sería: 1 0 = x . 3.Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos criterios más fuertes, para otros casos): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ) 1 ( 11 5 3 4 3 2 3 5 5 0 4 0 2 0 2 2 = = + − = = + − = f f f Por inspección, se determina que: En 3 0 = x se encuentra el Valor Máximo f . Y en 1 0 = x se encuentra el Valor Mínimo de f . Ejemplo 2 Determinar los extremos para 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + en [ ] 2,3 − SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1.Puntos críticos de Frontera: ´0 2 x = − y 0 3 x = 2.Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada 2 ´( ) 3 6 f x x x = − , tenemos: 2 ´( ) 0 3 6 0 3 ( 2) 0 f x x x x x = − = − = Entonces serían: 0 0 = x y 0 2 x = . 3.Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 8 12 3 17 3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3 (0) 3 (2) (2) 3(2) 3 1 f f f f − = − − − + = − − + = − = − + = − + = = = − + = −
- 177. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 116 De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en 0 3 x = como en 0 0 x = ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en 0 2 x = − . Ejercicios Propuestos 4.2 1. Determine el valor máximo y el valor mínimo : 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x x f en [ ] 2,3 − 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x = − en [ ] 3,3 − 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x = − + en [ ] 5,3 − 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 − + − = x x x x f en [ ] 1,1 − 5. ( ) ( )4 2 1 − = x x f en [ ] 2,2 − 6. ( )4 3 1 ) ( − = x x f en [ ] 1,2 − Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máximos o mínimos cuando no lo son. 4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos Sea f una función de variable real. Sea “ 0 x ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. ) ( 0 x f es un valor máximo local de f , si existe un intervalo ( ) b a, en el dominio de f que contiene a “ 0 x ” tal que ) ( 0 x f es el valor máximo de f en ( ) b a, . 2. ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo ( ) b a, en el dominio de f que contiene a “ 0 x ” tal que ) ( 0 x f es el valor mínimo de f en ( ) b a, . 3. ) ( 0 x f es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico:
- 178. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 117 Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue. 4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea f continua en ( ) b a, que contiene al punto crítico “ 0 x ”. Entonces: 1. Si ( ) 0 , , 0 ) ´( x a x x f ∈ ∀ y ( ) b x x x f , , 0 ) ´( 0 ∈ ∀ entonces ) ( 0 x f es un valor máximo local de f . 2.Si ( ) 0 , , 0 ) ´( x a x x f ∈ ∀ y ( ) b x x x f , , 0 ) ´( 0 ∈ ∀ entonces ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f . 3.Si ) ´(x f tiene el mismo signo a ambos lados de “ 0 x ” entonces ) ( 0 x f NO es un valor extremo de f .
- 179. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 118 Ejemplo Para 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + Analizando la primera derivada ( ) ´( ) 3 2 f x x x = − se observó que: x ) ´(x f f 0 x Positiva (+) crece 0 2 x Negativa (-) decrece 2 x Positiva (+) crece Entonces: 1. Como antes de 0 x = la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3 f = es un máximo local. 2. Como antes de 2 x = la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1 f = − es un mínimo local. Ejercicios Propuestos 4.3 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x = − 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x = − + 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 − + − = x x x x f 5. ( ) ( )4 2 1 − = x x f 6. ( )4 3 1 ) ( − = x x f Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 Trazar la gráfica de 5 4 2 ) ( 2 + − = x x x f en [ ] 3 , 0 . SOLUCIÓN: Se ha obtenido 1 0 = x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería: • • • 5 4 2 ) ( 2 + − = x x x f ( ) 3 , 1 ( ) 5 , 0 ( ) 11 , 3
- 180. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 119 Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios. Ejemplo 2 Graficar 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + en [ ] 2,3 − SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 0 0 = x y 0 2 x = , también se determinó que antes de 0 0 = x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto 0 2 x = ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es: Ejercicios Propuestos 4.4 Elabore la gráfica de: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x x f 2. 5 3 3 20 y x x = − 3. 3 1 3 9 2 y x x = − + 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 − + − = x x x x f 5. ( ) ( )4 2 1 − = x x f 6. ( )4 3 1 ) ( − = x x f Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su . máx y mín y 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − +
- 181. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 120 comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graficar 4 5 ( ) f x x = SOLUCIÓN: Analizando la derivada 1 5 5 4 4 ´( ) 5 5 f x x x − = = , tenemos: Punto Crítico Singular: 0 0 = x x ) ´(x f f 0 x Negativa (-) decrece 0 x Positiva (+) crece Por tanto, se puede decir que su gráfica es: Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos: 4 5 y x =
- 182. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 121 4.3 CONCAVIDAD 4.3.1 Teorema de concavidad Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si I x x f ∈ ∀ , 0 ) ´´( entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2.Si I x x f ∈ ∀ , 0 ) ´´( entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de 4 3 ( ) f x x = SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es 1 5 4 ´( ) 5 f x x− = entonces la segunda derivada es 6 5 5 6 4 4 ´´( ) 25 25 f x x x − = − = − Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x ) ´´(x f f 0 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 0 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó. Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 4.3.2 Puntos de Inflexión Sea f continua en “ 0 x ”, llamamos a ( ) ) ( , 0 0 x f x un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ 0 x ” y cóncava hacia abajo al otro lado.
- 183. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 122 Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es 2 ´( ) 3 6 f x x x = − entonces la segunda derivada es ´´( ) 6 6 6( 1) f x x x = − = − x ) ´´(x f f 1 x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 1 x Positiva (+) Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función. Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de concavidad: 1. 17 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x x f 2. 5 3 4 ( ) 5 3 x f x x = − 3. 3 1 ( ) 4 2 3 f x x x = − + 4. 5 12 3 3 ) ( 2 3 − + − = x x x x f 5. ( ) ( )4 2 1 − = x x f 6. ( )4 3 1 ) ( − = x x f 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − +
- 184. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 123 Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que ´ f y ´´ f existen en ( ) b a, que contiene a “ 0 x ” y que 0 ) ´( 0 = x f . 1. Si 0 ´´( ) 0 f x entonces ) ( 0 x f es un valor máximo local de f . 2.Si 0 ´´( ) 0 f x entonces ) ( 0 x f es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para 3 2 ( ) 3 3 f x x x = − + SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: 0 = x y 2 x = . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: ´´( ) 6 6 f x x = − a) ´´(0) 6(0) 6 6 0 f = − = − (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) ( ) ´´(2) 6 2 6 6 0 f = − = (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.
- 185. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 124 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1.Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión. Ejemplo 1 Graficar 4 243 ( ) 243 x f x x = + SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: R f Dom = Paso 2. SIMETRÍA: ( ) 4 4 243 243 ( ) ( ) ( ) 243 243 x x f x f x x x − − = = − = − − + + por tanto f es IMPAR.
- 186. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 125 Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 4 3 4 4 4 4 4 243 243 243 0 lím lím lím 0 1 243 1 243 243 0 243 x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ = = = = + + + + Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir: 4 243 lím 0 243 x x x →−∞ = + Por tanto el eje x ( 0 = y ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 4 3 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 243 (4 ) 3 81 243 3 ´( ) 243 243 243 243 243 243 3 9 9 3 3 3 9 243 243 243 243 x x x x x f x x x x x x x x x x x + − − − = = = = + + + − + − + + = = + + por lo tanto tenemos P.C.E: 0 3 x = y 0 3 x = − • P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En 0 3 x = − la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En 0 3 x = la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 4 4 4 3 2 4 4 4 4 3 4 4 3 4 4 7 3 3 7 3 4 7 3 3 4 3 4 3 4 3 81 4 243 81 2 243 4 ´´( ) 729 729 243 243 4 243 243 81 2 729 243 4 243 162 2 729 243 4 405 729 243 4 405 729 243 4 729 x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡ ⎤ − − + − − + ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + − + − − ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ − − − + ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = + = ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 3 4 3 2 4 4 3 4 405 405 243 4 405 405 405 729 243 x x x x x x x x − + + − + + = + 3 − + + + + + + − − − − − − ´ f f − − − − − − decrece decrece crece 3
- 187. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 126 Entonces: Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en 0 = x , 4 405 x = y 4 405 x = − entonces existen tres puntos de inflexión: ( ) ( ) 4 4 405, 405 f − − , ( ) 0 , 0 y ( ) ( ) 4 4 405, 405 f . En conclusión: x ) ´(x f ) ´´(x f f 4 405 x − - - Decrece y cóncava hacia abajo 4 405 x = − 0 Punto de inflexión 4 405 3 x − − - + Decrece y cóncava hacia arriba 3 x = − 0 + Punto crítico estacionario, Mínimo local 3 0 x − + + Crece y cóncava hacia arriba 0 = x 0 Punto de inflexión 0 3 x + - Crece y cóncava hacia abajo 3 x = 0 - Punto crítico estacionario, Máximo local 4 1 405 x - - Decrece y cóncava hacia abajo 4 405 x = 0 Punto de inflexión 4 405 x - + Decrece y cóncava hacia arriba 4 405 − + + + + + + − − − − − − ´´ f f − − − − − − 4 405 0 + + + + + + 2.25 2.25 − 4 243 ( ) 243 x f x x = + ( ) 4.49;1.68 ( ) 4.49; 1.68 − −
- 188. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 127 Ejemplo 2 Graficar 1 1 ) ( 2 2 − + = x x x f SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: { } 1 , 1 − − = R f Dom Paso 2. SIMETRÍA: ( ) ) ( 1 1 1 ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 x f x x x x x f = − + = − − + − = − por tanto f es PAR. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: 1 − = x y 1 = x (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = − + ∞ → ∞ → x x x x x x lím x x lím x x Por tanto, 1 = y es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 4 1 2 2 2 2 1 ) 2 ( 1 1 2 ) ´( − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x x f Por lo tanto tenemos 0 0 = x • P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En 0 0 = x la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 12 ´´ 1 16 4 4 1 2 1 2 4 1 4 1 4 ) ´´( + − + = − + + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x f x x x x x x x x x x D x f x Entonces: 1 − + + + + + + − − − − − − ´ f f − − − − decrece decrece crece 1 0 + + + + crece 1 − ´´ f f − − − − − − − − − − − 1 + + + + + + + + + + + +
- 189. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 128 Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: x ) ´(x f ) ´´(x f f 1 − x + + Crece y cóncava hacia arriba 1 − = x Asíntota vertical 0 1 − x + - Crece y cóncava hacia abajo 0 = x 0 - Punto crítico estacionario, Máximo local 1 0 x - - Decrece y cóncava hacia abajo 1 = x Asíntota vertical 1 x - + Decrece y cóncava hacia arriba Ejemplo 3 Graficar 2 ( ) 1 x f x x = + SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: { } 1 Dom f R = − − Paso 2. SIMETRÍA: ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 x x f x x x − − = = − + − + , por tanto f no es par ni impar. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en 1 x = − la función no se define (división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además: 2 1 lím 1 x x x − →− = −∞ + y 2 1 1 x x lím x + →− = +∞ + HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito 1 1 2 2 − + = x x y
- 190. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 129 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 x x x x lím x x x x x x →∞ = = = = ∞ + + + Por tanto, no hay asíntota horizontal. ASÍNTOTA OBLICUA: En ciertas funciones se cumple que: ( ) lím ( ) 0 x f x mx b →∞ − + = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ donde x x f m x ) ( lím ∞ → = y [ ] mx x f b x − = ∞ → ) ( lím Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua b mx y + = Entonces, para esta función sería: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x m lím lím lím lím x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ + = = = = = = + + + 2 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x b lím x lím lím x x x →∞ →∞ →∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − − ⎡ ⎤ = − = = = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Por tanto, hay una asíntota oblicua 1 y x = − Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay • P.C.E: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ´( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 ´( ) 1 x x x x x f x D x x x x x x x x x x x f x x + − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ + − + = = + + + = + por lo tanto, tenemos P.C.E: 0 = x y 2 x = − • P.C.S: no hay Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de ´ f Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En 2 x = − la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2. En 0 x = la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 − + + + + + + − − − − − − ´ f f + + + + + + crece crece decrece 0
- 191. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 130 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 2 ´´( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 2 2 4 1 2 ´´( ) 1 x x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x f x x ⎡ ⎤ + + − + + + = = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + + − + ⎣ ⎦ = + + + − − = + = + Entonces: Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en 1 x = − , pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión. En conclusión: x ) ´(x f ) ´´(x f f 2 x − + - Crece y cóncava hacia abajo 2 x = − 0 - Punto Crítico Estacionario, Máximo local 2 1 x − − - - Decrece y cóncava hacia abajo 1 0 x − - + Decrece y cóncava hacia arriba 0 x = 0 + Punto Crítico Estacionario, Mínimo local 0 x + + Crece y cóncava hacia arriba 1 − + + + + + + − − − − − − ´´ f f 2 ( ) 1 x f x x = + 1 y x = − 1 x = −
- 192. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 131 Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función. Ejemplo Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: 1. Dom f = 2. f continua en ( ) ( ) ∞ ∪ −∞ , 0 0 , 3. 0 ) 1 ( = − f , 0 ) 4 ( ) (2 3 = = f f , 2 ) 0 ( ) 3 ( = = − f f , 4 ) 2 ( = − f , 2 ) 3 ( − = f , 1 ) 1 ( = f 4. ε − ⇒ − ∀ ∃ ε ∀ 1 ) ( : ; 0 , 0 x f N x x N 5. ε − ⇒ ∂ ∀ ∃∂ ε ∀ 3 ) ( 0 : ; 0 , 0 x f x x 6. −∞ = − → ) ( lím 0 x f x 7. [ ] 0 ) 3 ( ) ( lím = − − +∞ → x x f x 8. 0 ) 2 ( ' = − f , 9. 0 ) ( ' x f para 3 2 ∨ − x x , 10. 0 ) ( ' x f ,para 3 0 0 2 ∨ − x x 11. 0 ) 1 ( ' ' = f 12. 0 ) ( ' ' x f para 3 1 3 ∨ − x x 13. 0 ) ( ' ' x f para 3 1 0 0 3 ∨ ∨ − x x x SOLUCIÓN: Interpretemos las condiciones, tenemos: 1. Dominio de la función. 2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición. 3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano. 4. 1 ) ( lím = −∞ → x f x . Asíntota horizontal 1 = y , para x negativos. 5. 3 ) ( lím 0 = + → x f x . La función se aproxima a 3, por la derecha de 0. 6. −∞ = − → ) ( lím 0 x f x . Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0 7. [ ] 3 ) ( lím − = +∞ → x x f x Asíntota oblicua 3 − = x y para x posoitivos. 8. Punto crítico estacionario en 2 − = x 9. f crece en los intervalos ( ) 2 ,− −∞ o en ( ) ∞ , 3 10. f decrece en los intervalos ( ) 0 , 2 − o en ( ) 3 , 0 11. Punto de inflexión: ( ) 1 , 1 12. f es cóncava hacia arriba en ( ) 3 ,− −∞ o en ( ) 3 , 1 13. f es cóncava hacia abajo en ( ) 0 , 3 − o en ( ) 1 , 0 o en ( ) ∞ , 3 Entonces la grafica sería:
- 193. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 132 Ejercicios Propuestos 4.6 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión: 1. x x x f − = 4 ) ( 2 2. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 5 3 2 3 5 2 ) ( x x x f 3. 2 ) ( x e x f − = 4. ( ) 2 2 2 ) ( x x x f − = 5. ( ) 2 5 3 − − = x x x f 6. ( ) 2 2 9 2 x x x f − = 7. x e x f 1 ) ( = 8. ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 ) ( − − + = x x x f 9. ( )2 2 1 2 ) ( − − + = x x x x f 10. 1 2 ) ( 2 − − + = x x x x f 11. ( ) x x x f 2 2 ) ( + = 12. 2 3 4 ) ( x x x f − = 13. 3 ) ( 2 − = x x x f 14. x xe x f 1 ) ( = • • • • D • 2 3 3 − = x y •
- 194. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 133 2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: ƒ ) ( ) ( x f x f − = ƒ 2 ) ( lím − = −∞ → x f x ƒ +∞ = + → ) ( 1 x f lím x ƒ ∞ = + − → ) ( lím 1 x f x ƒ 0 ) 2 / 3 ( ' ) 0 ( ' ) 3 ( ' = = = − f f f ƒ ( ) 0 3 = − f , ( ) 1 2 3 − = f , 2 1 ) 2 ( − = f , 0 ) 0 ( = f ƒ 0 ) ( ' x f en ( ) 1 , 0 y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 , 2 3 ƒ 0 ) 2 ( ' ' = f 3. Bosqueje el gráfico de una función f tal que: ƒ Dominio f =IR ƒ Contínua en ( ) ( ) ∞ ∪ −∞ , 2 2 , ƒ f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0 ƒ ε ε + ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ 1 ) ( 2 0 : ; 0 , 0 x f x x ƒ M x f x x M − ⇒ ∂ − ∀ ∃∂ ∀ ) ( 2 0 : ; 0 , 0 ƒ ε − ⇒ − ∀ ∃ ε ∀ 2 ) ( : ; 0 , 0 x f N x x N ƒ [ ] 0 ) ( lím = − +∞ → x x f x ƒ ( ) ( ) ( ) 2 , 0 , 0 ) ( ' ; , 2 0 , , 0 ) ( ' ∈ ∞ ∪ −∞ ∈ x para x f x para x f ƒ ( ) ( ) ( ) ∞ ∪ − ∈ − −∞ ∈ , 2 2 , 1 , 0 ) ( ' ' ; 1 , , 0 ) ( ' ' x para x f x para x f 4. Suponga que ( ) 2 '( ) ( 3)( 1) 2 f x x x x = − − + y (1) 0 f = , ( ) 2 5 f − = , (3) 5 f = − , esboce una gráfica para f . 5. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 4) (5) 0 f f − = = , (0) 8 f = , (1) 6 f = , ( ) 1 7 f − = − , ( ) 2 3 f = − y además la gráfica de su derivada es: 6. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 2) 4 f − = , (1) 0 f = , (2) 1 f = , (3) 3 f = y además la gráfica de su derivada es:
- 195. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 134 7. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 1) 2 f − = , (0) 0 f = , (2) 1 f = , (4) 0 f = y además la gráfica de su derivada es: 8. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 1) 1 f − = , (0) 3 f = , (1) 5 f = , (2) 1 f = − , ( ) 7 2 4 f − = − y además la gráfica de su derivada es: D D
- 196. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 135 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si f es una función continua en [ ] b a, y derivable en ( ) b a, entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en ( ) b a, tal que a b a f b f x f − − = ) ( ) ( ) ´( 0 Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Demostración: Sea ) ( ) ( ) ( x g x f x S − = donde g es la recta entre los puntos ( ) ) ( , a f a y ( ) ) ( , b f b , entonces podemos obtener su ecuación: ( ) ( ) a x a b a f b f a f y x x m y y − − − = − − = − ) ( ) ( ) ( 0 0 , es decir ( ) a x a b a f b f a f x g y − − − + = = ) ( ) ( ) ( ) ( b- a f ( b ) - f ( a ) a b ) (a f ) (b f 0 x ) (x f y = Recta Tangente Recta Secante
- 197. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 136 Reemplazando, resulta: ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − = a x a b a f b f a f x f x S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Obtengamos ( ) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − = a a a b a f b f a f a f a S y ( ) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − = a b a b a f b f a f b f b S Por tanto, ( ) b a x , 0 ∈ ∃ tal que 0 ) ´( 0 = x S Para lo cual ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = a b a f b f x f x S ) ( ) ( ) ´( ) ´( y 0 ) ( ) ( ) ´( ) ´( 0 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = a b a f b f x f x S Por lo último a b a f b f x f − − = ) ( ) ( ) ´( 0 L.Q.Q.D. Ejemplo 1 Encuentre el número “ 0 x ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si 2 ( ) f x x = en [ ] 1,2 − . SOLUCIÓN: Observe que f es continua en [ ] 1,2 − y como ´( ) 2 f x x = por tanto es diferenciable en ( ) 1,2 − se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de 0 x en ( ) 1,2 − tal que ( ) 0 (2) ( 1) ´( ) 2 1 f f f x − − = − − está garantizada y lo podemos encontrar. Para lo cual 0 0 ´( ) 2 f x x = y ( ) (2) ( 1) 4 1 3 1 2 1 3 3 f f − − − = = = − − Igualando y despejando, resulta: 0 0 2 1 1 2 x x = = . Geométricamente. Recta Tangente Recta Secante 2 ( ) f x x = [ ] 0.5
- 198. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 137 Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: b a a sen b sen − ≤ − SOLUCIÓN: Usemos ( ) f x senx = . Note que es una función continua en [ ] , a b y derivable en ( ) , a b por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange , existe un ( ) 0 , x a b ∈ tal que 0 ( ) ( ) ´( ) f b f a f x b a − = − . Reemplazando y simplificando 0 cos senb sena x b a − = − Por otro lado 0 0 cos 1 x ≤ ≤ Entonces 0 1 senb sena b a − ≤ ≤ − Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. 1 senb sena b a senb sena b a − ≤ − − ≤ − Que es lo que se quería demostrar. Ejemplo 3 Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora. SOLUCIÓN: Sea ( ) e f t = , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos: 7 105 4 60 m e km km v h t horas Δ = = = Δ Sea 1 t el momento en que se le mide al camión una velocidad de 1 90km v h = y sea 2 t el momento en que se mide una velocidad de 2 70km v h = . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un ( ) 0 1 2 , t t t ∈ en el cual ( ) 0 ´ de f t dt = , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media (105km h ), lo cual demuestra que ha superado el límite de velocidad (100km h ). Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.
- 199. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 138 4.6 TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en [ ] b a, y derivable en ( ) b a, y si ) ( ) ( b f a f = entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en ( ) b a, tal que 0 ) ´( 0 = x f El teorema del valor medio para dos funciones sería: Ejercicios Propuestos 4.7 1. La función x x f = ) ( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta. 2. Sea . 2 ) ( 2 4 x x x f − = Hallar todos los valores de 0 x en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de Rolle. 3. La altura que alcanza una bola t segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función: 32 48 16 ) ( 2 + + − = t t t f . a) Comprobar que f (1) = f (2). b) Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]? 4. Sea . , , ; ) ( 2 IR x x x f ∈ ∂ + + = δ β α β α Encontrar el valor de 0 x que satisfaga el teorema del valor medio para derivadas en [a,b]. 5. Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad de 70 millas por hora. 6. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos cos b a b a − ≤ −
- 200. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 139 7. Considere 4 5 ( ) f x x = en el intervalo [ ] 1,2 − . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de Lagrange. Justifique. 8. Considere ( ) 3 f x x = en el intervalo [ ] 1,8 − . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique. 4.7 TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g funciones continuas en [ ] b a, y diferenciables en ( ) b a, entonces, existe al menos un número “ 0 x ” en ( ) b a, tal que ) ( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ´( 0 0 a g b g a f b f x g x f − − = No olvide demostrarlo. Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones. 4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL Suponga que 0 ) ( lím ) ( lím = = → → x g x f u x u x o también ∞ = = → → ) ( lím ) ( lím x g x f u x u x . Si ) ´( ) ´( lím x g x f u x→ existe en sentido finito o infinito; entonces: ) ´( ) ´( lím ) ( ) ( lím x g x f x g x f u x u x → → = Donde −∞ +∞ = − + , , , , a a a u No olvide demostrarlo. Ejemplo 1 Calcular x x x sen lím 0 → SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 0 cos 1 cos lím sen lím 0 0 = = = → → x x x x x
- 201. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 140 Ejemplo 2 Calcular ( ) x x x 1 0 1 lím + → SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x e e e x + + → + → → → = = = + 1 ln lím 1 ln 0 1 ln 0 1 0 0 1 lím lím 1 lím Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 1 1 1 lím ) 1 ln( lím 0 0 = + = + → → x x x x x Por tanto, ( ) e e x x x = = + → 1 1 0 1 lím Ejemplo 3 Calcular 3 0 sen lím x x x x − → SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 2 0 3 0 3 1 cos lím sen lím x x x x x x x − = − → → Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea necesario: 6 1 6 sen lím 3 1 cos lím 0 2 0 − = − = − → → x x x x x x Ejemplo 4 Calcular 3 2 4 1 5 3 lím 2 2 − + + − ∞ → x x x x x SOLUCIÓN: Note que aquí tenemos: ∞ ∞ Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 2 8 5 6 lím + − ∞ → x x x Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: 4 3 8 6 lím = ∞ → x Ejemplo 5 Calcular ( ) x x x 2 tg 1 2 lím π → − SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞ 1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) x g x x x x x x x x x x e e e x 2 cot 1 2 2 tg 2 ln lím 2 ln tg 1 2 ln 1 2 tg 1 lím lím 2 lím π → π π − − → − → π → = = = −
- 202. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 141 Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: ( ) π = − − = − − − = − π π π → π → 2 1 csc 2 1 lím cot ) 2 ln( lím 2 2 2 2 1 2 1 x x x g x x x Por tanto, ( ) π π → = − 2 2 tg 1 2 lím e x x x Ejemplo 6 Calcular ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − → 1 1 ln 1 1 x x lim x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞ − ∞ .. Transformando la expresión primero, resulta: ( )( ) 1 ln ln 1 1 1 ln 1 1 1 − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − → → x x x x lim x x lim x x Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: ( )( ) ( ) ( ) x x x lim x x x x lim x x x x lim x x x x lim x x x x ln 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 1 1 0 1 1 ln ln 1 1 1 1 1 + − − = + − − = + − − − = − − − → → → → Volviendo a aplicar L´hopital: 2 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 = + = + − − → → x lim x x x lim x x Ejercicios Propuestos 4.8 Calcular: 1. 4 4 10 3 2 2 2 + − − + + → x x x x lim x 2. x x x lim x tg sen 2 0 − → 3. x x x e e x x lim − → − + − tg sen 0 4. x x c lim x 1 tg 0 − → 5. ( ) x c x lim x tg cos 1 0 − → 6. x x lim x cos 1 1 cos 0 − − − → 7. x x x lim 1 ∞ → 8. x x x lim sen 0 → 9. ( ) x x x lim 1 0 cos → 10. ( ) 2 3 2 cos 0 x x lim x→ 11. ( )x x x lim 1 2 0 1+ → 12. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → x ln x x lim 4 3 0 13. ( ) 2 0 2 3 cos ln x x lim x→ 14. x x x x lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 1 0 15. ( ) x x x c lim sen 0 tg →
- 203. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 142 Misceláneos 1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión a) 1 2 ) ( − − = x x x f h) 5 5 ) ( 2 3 − − + = x x x x f b) 1 2 ) ( 2 − − = x x x f i) 3 5 ) ( x x x f − = c) 1 ) ( 2 − = x x x f j) ( ) 8 ) ( 2 3 2 − = x x x f d) 1 2 ) ( 2 − = x x f k) 3 4 4 ) ( 2 2 + − − = x x x x x f e) ( ) x x x f − = 8 ) ( 3 f) 1 ) ( 3 2 + = x xe x f g) x x x f 1 ) ( 2 − = 2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: • f es continua en toda su extensión • 3 ) 4 ( − = − f , 0 ) 0 ( = f , 2 ) 3 ( = f • 0 ) 4 ´( = − f , 0 ) 3 ´( = f , 0 ) ´( x f para 4 − x , 0 ) ´( x f para 3 4 − x , 0 ) ´( x f para 3 x . • 0 ) 4 ´´( = − f , 0 ) 0 ´´( = f , 0 ) ´´( x f para 4 − x • 0 ) ´´( x f para 0 4 − x , 0 ) ´´( x f para 0 x 3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: • +∞ = → ) ( lím x f a x 0 ) ( lím = −∞ → x f x −∞ = +∞ → ) ( lím x f x e d b a 0 • 0 ) ( ) ( = = e f c f , 5 ) ( = b f , 3 ) 0 ( = f , 1 ) ( ) ( = = d f a f • 0 ) ´´( = b f , ) ´´(c f no existe, 0 ) ´( = d f , 0 ) ´´( d f , • ( ) ( )[ ] 0 ) ´( , , ∪ −∞ ∈ ∀ x f d c a x , ( ) ( )[ ] 0 ) ´( , , +∞ ∪ ∈ ∀ x f d c a x • ( ) ( )[ ] 0 ) ´´( , , ∪ −∞ ∈ ∀ x f b a a x , ( ) ( )[ ] 0 ) ´´( , , +∞ ∪ ∈ ∀ x f c c b x 4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´ f es: Suponga que 1 ) 1 ( − = − f x y 1 − 2 3 −
- 204. MOISES VILLENA MUÑOZCáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 143 5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´ f es: Suponga que 0 ) 0 ( = f 6. Calcular : a) ( ) 2 0 lim x x senx + → d) 2 0 cos lim 2 x x ex x − → b) x tgx x x 4 cos 1 2 sec lim 2 4 + − →π e) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x x cos tan 2 lim 2 π π c) x senx arc x tgx x − − →0 lim 2 2 − 5 5 −
- 205. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Resuelva problemas de razón de cambio. • Resuelva problemas de máximos y mínimos. • Aproxime valores. • Aproxime funciones mediante polinomios 5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR 5 127
- 206. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 5.1 RAZÓN DE CAMBIO Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función , se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables y ) (x f y = x y con respecto al tiempo t , es decir: dt dy y dt dx . Lo cual nos va a permitir resolver problemas de aplicación. Ejemplo 1 Hacia un tanque cónico fluye agua a razón de min p3 8 , si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de la base es de 6 pies. ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 4 pies de altura?. SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Llamemos: 3 p en entra que agua de Cantidad M ≡ 3 p en sale que agua de Cantidad Q ≡ 3 p en alojada agua de Cantidad V ≡ Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: V Q M = − Derivando con respecto al tiempo, resulta: dt dV dt dQ dt dM = − Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos: min p dt dM 3 8 = y min p dt dQ 3 0 = . El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la formula del volumen de un cono , es decir: h r V 2 3 1 π = . Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, que en este caso, lo más indicado es que sea en función de (¿por qué?). La forma geométrica del recipiente y la forma geométrica de la masa de agua que se va alojando en el recipiente nos permite hacer lo indicado. Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar h r con . h 128
- 207. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 6 12 r h = entonces 2 h r = reemplazando en la formula para el volumen del agua alojada, resulta: 3 12 2 3 1 2 h h h V π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = por tanto dt dh h dt dV 2 4 π = Entonces: min p h dt dh dt dh h dt dV dt dQ dt dM 2 2 4 32 0 8 π = = − = − π En resulta: 4 = h ( ) min p dt dh π = π = π = 2 16 32 4 32 2 Ejemplo 2 Una piscina tiene 40 p de largo y 20 p de ancho, 8 p de profundidad en el extremo mas hondo y 3 p en el extremo menos profundo, El fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 40 p3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene: a) 3 p b) 6 p SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 5p es una situación y otra situación después de los 5p. a) 5 0 ≤ h De manera análoga al problema anterior Alojada dt dV sale min p Entra min p = − 3 3 129
- 208. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la formula para un prisma de base triangular, es decir bh bh V 10 ) 20 ( 2 1 = = . La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejentes; entonces: 5 40 h b = , que resulta: h b 8 = . Por tanto, el volumen queda: . 2 80 ) 8 ( 10 h h h V = = De aquí resulta dt dh h dt dV 160 = . Reemplazando, se obtiene: min p h dt dh dt dh h Alojada dt dV sale min p Entra min p 3 3 3 4 1 160 0 40 = = − = − En resulta 3 = h min pu min p dt dh lg 1 12 1 ) 3 ( 4 1 3 = = = b) si , tenemos: 8 5 ≤ ≤ h El volumen de agua alojada en el recipiente se lo puede calcular de la siguiente manera: h V h V V V V 800 2000 ) 20 ( 40 ) 20 )( 40 )( 5 ( 2 1 2 1 + = + = + = entonces dt dh dt dV 800 = y al reemplazarlo resulta: min p dt dh dt dh Alojada dt dV sale min p Entra min p 3 3 3 20 1 800 0 40 = = − = − Note que es independiente de h. Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez de cambio es 0; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia. 130
- 209. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Ejemplo 3 Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15). SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Referencia: 12h15 ( ) 160 4 1 640 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = e vt e t e v ( )2 2 2 160 y x z + + = derivando con respecto al tiempo ( ) ( ) z dt dy y dt dx x dt dz dt dy y dt dx x dt dz z + + = + + = 160 160 2 2 2 En 1 hora: ( ) ( ) millas z millas y millas x 1000 160 640 600 640 600 2 2 = + + = = = Por tanto: ( ) hora millas dt dz 872 1000 ) 640 )( 640 160 ( ) 600 ( 600 = + + = 131
- 210. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Ejercicios Propuestos 5.1 1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud? 2. Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inicialmente 10 m3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas? 3. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? ( ) 3 3 10 1 m Litro − = 4. Considere el reservorio de la figura adjunta, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m. 2 3 1 2 4 5. La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calcule aproximadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es: 40' 20' 4' 9' a) 4 pies b) 6 pies 6. Suponga que se vacía el agua de un tanque 10 r esférico de radio 10 pies. Si el nivel del agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón disminuye el radio r de la superficie del agua? 7. Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua. 15 50 20 4 25 132
- 211. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.? 10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una vuelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo? 64 pies R= 60 pies R 5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas prácticos de optimización. Ejemplo 1 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja? SOLUCIÓN: De acuerdo a la figura, la caja formada así tendrá un volumen que se puede calcular con la formula xyz V = . 133
- 212. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Observe , por tanto z x + = 2 5 x z 2 5 − = Observe también que y x 2 2 8 + = , por tanto x y − = 4 Reemplazando, el volumen sería: ( ) x x x V x x x x x x V 20 13 2 ) 2 5 )( 4 ( ) 2 5 ( 4 2 3 2 + − = − − = − − = La derivada es: 20 26 6 2 + − = x x dx dV Obteniendo los puntos críticos, tenemos: 33 . 3 1 0 20 26 6 0 3 10 2 = = ∨ = = + − = x x x x dx dV Escogemos , porque no es posible que p x 1 = 5 . 2 ≥ x Por tanto p x y 3 1 4 4 = − = − = y p x z 3 ) 1 ( 2 5 2 5 = − = − = serían las dimensiones para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: 3 máx 9 ) 3 )( 3 ( 1 p xyz V = = = Ejemplo 2 Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos: El área de triángulo se la calcula con la formula 2 h b A × = Se observa que 12 3 2 x y h − = = y que x b 2 = Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable: ( ) 12 3 2 12 3 2 3 2 x x A x x A − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Derivando para obtener los puntos críticos, resulta: 134
- 213. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 4 3 2 x dx dA − = Ahora, 0 4 3 0 2 = − = x dx dA por tanto, despejando resulta 3 2 ± = x Las dimensiones del triangula de área máxima sería: ( ) 3 4 3 2 2 2 = = = x b y ( ) 2 1 3 12 3 2 3 12 3 2 2 = − = − = − = = x y h por consiguiente: ( )( ) 2 máx 3 4 2 2 3 4 2 u h b A = = × = Ejemplo 3 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos: El volumen del cilindro se lo calcula con la formula h r V 2 π = Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y por semejanza de triángulos: h Del gráfico observamos que: H h H R r − = Entonces: R rH HR h rH HR hR hR HR rH − = − = − = Reemplazando, tenemos: ( ) 3 2 2 2 r R r R H R rH HR r h r V − π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = π = 135
- 214. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Entonces: ( ) 2 3 2 r rR R H dr dV − π = y para el óptimo: ( ) R r r r rR R H dr dV 3 2 2 0 0 3 2 0 = ∨ = = − π = Por lo tanto: H R RH HR R rH HR h 3 1 3 2 = − = − = Ejemplo 4 A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro? SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos: Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta: ( ) ( )( )( ) o 45 cos 60 2 60 2 2 2 y x y x z − − + − = Además como t e v = entonces vt e = y para cada distancia tenemos: t t v x x 20 = = y t t v y y 30 = = Reemplazando queda: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 30 20 60 2 30 20 60 45 cos 60 2 60 t t t t z y x y x z − − + − = − − + − = o Maximizar z es lo mismo que maximizar 2 z por tanto si D z = 2 tenemos: ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 30 20 60 2 30 20 60 t t t t D − − + − = 136
- 215. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Derivando y simplificando resulta: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )t dt dD t t t dt dD t t t t dt dD 2 1200 800 2 1800 600 1200 3600 1200 1800 800 2400 30 20 60 2 30 20 2 ) 30 ( 30 2 ) 20 ( 20 60 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − − = + − + + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − = Y para el óptimo: ( ) horas t t t dt dD 15 . 1 2 1200 800 2 1800 600 0 2 1200 800 2 1800 600 0 = + + = = + + − − = Es decir las 8:09 a.m. estarán más próximos uno del otro Ejercicios propuestos 5.2 1. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicas y cuyo fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura: Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie. x 2x 2. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus otros dos vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: . 0 , 8 2 − = y x y 3. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro. Piso Escalera E d i f i c i o Pared 1' 4. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque? 137
- 216. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada θ θ Excursionista Carretera Cabaña Bosque 2 km 10 km 5. Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura. 1 π/2 θ 6. Hallar el valor del área máxima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W. θ L W 7. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen. 8. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm. 9. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo. 10. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima. ( ) ( ) 1 2 4 − + = x x f y x 11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área? CORRAL GRANERO 138
- 217. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del A , a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A . Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su distancia más corta? 13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de modo que AM AP 3 2 = C M P B A 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL Supongase que ) (x f y = es diferenciable en “ ” x y que dx, la diferencial de una variable independiente “ ”, designa un incremento x arbitrario de “ ”. x La diferencial de “ ” correspondiente a la variable y dependiente “ ” se define como: y dx x f dy ) ´( = 5.3.2 APROXIMACIONES Observe la gráfica 139
- 218. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Note que dx x = ∆ Y que, si entonces 0 → ∆x dy y ≈ ∆ , es decir: x x f y ∆ ≈ ∆ ) ´( . Entonces: x x f x f x x f ∆ ≈ − ∆ + ) ´( ) ( ) ( 0 0 0 . Es decir: x x f x f x x f ∆ + ≈ ∆ + ) ´( ) ( ) ( 0 0 0 Ejemplo 1 Aproximar 6 . 4 SOLUCIÓN: Debemos emplear la función x x f = ) ( . Note que 6 . 0 4 6 . 4 + = , entonces 4 0 = x y 6 . 0 = ∆x Para emplear la formula x x f x f x x f ∆ + ≈ ∆ + ) ´( ) ( ) ( 0 0 0 , Obtenemos: 6 . 0 4 ) ( 0 0 + = ∆ + = ∆ + x x x x f , 2 4 ) ( 0 0 = = = x x f y 4 1 4 2 1 2 1 ) ´( 0 0 = = = x x f Entonces: 15 . 2 6 . 4 6 . 0 4 1 2 6 . 0 4 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≈ + Ejemplo 2 Aproximar ° 31 sen SOLUCIÓN: Para este caso empleamos x x f sen ) ( = , por tanto x x f cos ) ´( = Para aplicar la formula x x f x f x x f ∆ + ≈ ∆ + ) ´( ) ( ) ( 0 0 0 , para la cual definimos: 6 30 0 π = ° = x , 180 1 π = ° = ∆x entonces: 501 . 0 31 sen 180 2 3 5 . 0 31 sen 180 30 cos ) 30 sen( ) 1 30 sen( ) cos( ) sen( ) sen( 0 0 0 ≈ ° ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ° π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ≈ ° ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ° π ° + ° ≈ ° + ° ∆ + ≈ ∆ + x x x x x 140
- 219. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES Sea la variación en ) (x f y = y cuando varía se la se la calcula empleando la formula x x x f y ∆ ≈ ∆ ) ´( Ejemplo El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor. SOLUCIÓN: El volumen del cubo se lo obtiene con la formula . 3 l V = Como entonces cm l 4 . 11 = ( ) 3 3 5 . 1481 4 . 11 cm V = = . Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: , se propaga un error en el valor del volumen calculado. cm l 05 . 0 ± = ∆ Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: l dl dV V ∆ ≈ ∆ Es decir: 3 2 2 5 . 19 ) 05 . 0 ( ) 4 . 11 ( 3 3 cm V V l l V ± ≈ ∆ ± ≈ ∆ ∆ ≈ ∆ Esto quiere decir que ( ) 3 5 . 19 5 . 1481 cm V ± = Ejercicios Propuestos 5.3 1. En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular valores aproximados de los números dados. Compare con los valores reales: a) 402 b) 3 91 . 26 c) 9 . 35 d) 6 05 . 64 2. El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo. 3. Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 ± 0.005 pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error. 4. Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precisión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR La ecuación de la recta tangente en el punto es es decir ( ) ) ( , 0 0 x f x [ 0 0 0 ) ´( ) ( x x x f x f y − = − ] [ ] 0 0 0 ) ´( ) ( x x x f x f y − + = . En la vecindad de , 0 x ) (x f y ≈ ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: [ ] 0 0 0 ) ´( ) ( ) ( x x x f x f x f − + ≈ . 141
- 220. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: [ ] [ ] [ ] [ ]n n x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 ! ) ( ... ! 3 ) ´´´( ! 2 ) ´´( ) ´( ) ( ) ( − + + − + − + − + ≈ El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: 0 = x [ ] [ ] [ ] ... ! 3 ) 0 ´´´( ! 2 ) 0 ´´( ) 0 ´( ) 0 ( ) ( 3 2 + + + + ≈ x f x f x f f x f Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para y empleelo para calcular . x e x f = ) ( 1 . 0 e SOLUCIÓN: [ ] [ ] [ ] [ ]4 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 ! 4 ) ( ! 3 ) ´´´( ! 2 ) ´´( ) ´( ) ( ) ( x x x f x x x f x x x f x x x f x f x f IV − + − + − + − + ≈ [ ] [ ] [ ] [ ] 24 6 2 1 0 ! 4 0 ! 3 0 ! 2 0 4 3 2 4 0 3 0 2 0 0 0 x x x x e x e x e x e x e e e x x + + + + ≈ − + − + − + − + ≈ bien, ahora reemplazando 1 . 0 = x resulta: 000004166 . 0 000166666 . 0 005 . 0 1 . 0 1 ) 1 . 0 ( + + + + ≈ f 105170833 . 1 ) 1 . 0 ( ≈ f Ejercicios Propuestos 5.4 1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: a) ; n=4 c) ( ) x e x f 3 = x x f π = sen ) ( ; n=3 b) ; n=4 d) x e x x f − = 2 ) ( 1 1 ) ( 2 + = x x f ; n=4 d) 2 cosh ) ( x x e e x x f − + = = ; n=10 2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de . 0 x a) x x f 1 ) ( = ; n=4; 1 0 = x c) ; n=4; x x f ln ) ( = 1 0 = x b) x x f = ) ( ; n=4; 4 0 = x 142
- 221. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada Misceláneos 1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de h m3 2 . ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m. NOTA: Volumen del casquete esférico ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = 3 2 h R h V Observar la figura. 2. En la ribera de un río de 0.9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km. Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables entre la fábrica y la planta eléctrica?. 3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de min m3 5 . Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando éste tiene de 3m. 4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm. 5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección positiva del eje x con la ley del movimiento , en donde x se da en centímetros y t en minutos. El punto B se mueve sobre la recta 2 2 ) ( t t x x = = x y = a una rapidez constante de min cm 2 . Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min. De haberse comenzado a mover. 6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h. En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h. Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista. 7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de por minuto. El cono tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 3 2 . 0 m 8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto P? 9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de min pul3 10 . (Ver figura). a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono?. b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante? 10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m. 11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9:00 A.M., y el de la ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.? 12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.? 13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5 pies? Observe la figura 143
- 222. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra localizado de la manera señalada. 100 2 = + y x 15. En una página de un libro debe haber 150 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 2 cm 16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera. 17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de min m3 5 . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando éste tiene un nivel de 3m.?. 18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo. 19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de 1cm. 20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen respectivamente a las rectas x y 2 = y 30 3 = + y x . 21. Las rectas 2 : 1 + = x y L y 10 2 : 2 + − = x y L forman un triángulo con el eje x . Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el triángulo dado. 22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calcule la razón con la que varía el área total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas. 23. Dos buses parten de una misma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto entre sí. Determine la rapidez con la que varía la distancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectivamente. 24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 2 3 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona que se encuentra en el punto M. Determine a qué velocidad varía la distancia entre la cámara y la persona, en el instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de . o 45 • • • 144
- 223. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas 1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS 1 1
- 224. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral. 1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a una antiderivada, primitiva o F integral indefinida de en el intervalo f I , si ) ( ) ( x f x F Dx = es decir ) ( ) ´( x f x F = 1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente: ∫ + = C x F dx x f ) ( ) ( 1.1.2 Teorema Si , ) ´( ) ´( x G x F = ( ) b a x , ∈ ∀ entonces existe una constante tal que C C x G x F + = ) ( ) ( , ( ) b a x , ∈ ∀ Demostración: Sea ) ( ) ( ) ( x G x F x H − = definida en un intervalo entonces ( ) b a, ) ´( ) ´( ) ´( x G x F x H − = . Por Hipótesis, como ) ´( ) ´( x G x F = entonces 0 ) ´( = x H , . ( ) b a x , ∈ ∀ Como H es derivable ( ) b a x , ∈ ∀ , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para derivada, ( ) b a x x x , ) , ( 1 0 ⊆ ∈ ∃ tal que x x x H x H x H − − = 1 1 0 ) ( ) ( ) ´( . Haciendo 0 ) ´( 0 = x H tenemos 0 ) ( ) ( 1 1 = − − x x x H x H es decir C x H x H = = ) ( ) ( 1 . Por lo tanto C x G x F = − ) ( ) ( 2
- 225. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 1.2 INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. 1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales 1. ∫ + = C x dx 2. ∫ + + = + C n x dx x n n 1 1 ; 1 − ≠ n 3. ∫ + = C x dx x ln 1 4. ∫ + = C e dx e x x 5. ∫ + = C a a dx a x x ln 6. ∫ + − = C x xdx cos sen 7. ∫ + = C x xdx sen cos 8. ∫ + = C x xdx tg sec2 9. ∫ + − = C gx xdx cot csc2 10. ∫ + = C x xdx x sec tg sec 11. ∫ + − = C x gdx x csc cot csc 12. C x C x xdx + = + − = ∫ sec ln cos ln tg 13. ∫ + = C x gxdx sen ln cot 14. ∫ + + = C x x xdx tg sec ln sec 15. ∫ + − = C gx x xdx cot csc ln csc 16. ∫ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − C a x dx x a arcsen 1 2 2 17. ∫ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + C a x a dx x a arctg 1 1 2 2 18. C x a a C a x a dx a x x + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ arccos 1 arcsen 1 1 2 2 19. ∫ + = C x xdx cosh senh 20. ∫ + = C x xdx senh cosh 3
- 226. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1 Calcular ∫ dx x2 SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. C x C x dx x + = + + = + ∫ 3 1 2 3 1 2 2 Ejemplo 2 Calcular ∫ dx x 1 SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. C x dx x dx x + = = + − + − − ∫ ∫ 1 1 2 1 2 1 2 1 1 Ejemplo 3 Calcular ∫ + dx x2 4 1 SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17. ( ) C dx x x + = + ∫ 2 2 2 arctan 2 1 2 1 Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. 1.2.2 PROPIEDADES. La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir: 1. [ ] ∫ ∫ ∫ ± = ± dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( 2. ∫ ∫ ∈ = R k dx x f k dx x kf ; ) ( ) ( 4
- 227. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejemplo 4 Calcular ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + dx e x x x 4 sin 3 2 SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas: C e x x dx e xdx dx x dx e dx dx x dx e x x x x x x + − − = − + = − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 cos 3 ln 2 4 sin 3 1 2 4 sin 3 2 4 sin 3 2 Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo. 1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas. Ejemplo 1 Calcular ( ) ∫ − dx x x x 3 3 1 SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta: ( ) C x x x x C x x x x dx x dx x dx x dx x dx x x x x dx x x x x x x x dx x x x x dx x x x + − + − − = + − + − − = − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = − + − = − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 8 3 5 3 2 3 1 3 8 3 5 3 2 3 1 3 5 3 2 3 1 3 4 3 5 3 2 3 1 3 4 3 4 3 3 4 2 3 4 3 4 3 4 3 2 3 3 8 3 5 9 2 9 3 3 8 3 5 3 3 2 3 3 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 1 5
- 228. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.1 Encuentre las antiderivadas de: 1. ( ) ∫ − dx x 3 2 3 2. ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − dx x x x2 1 1 3. ( )( )dx x x x ∫ − + 3 2 2 2 2 1 4. dx x x x ∫ − + − 10 5 2 1 1 5. dx x x x ∫ + + − 3 4 4 2 1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas. En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para sino para otra variable. x Ejemplo 1 Calcular ( ) ∫ − dx x 30 1 SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable x t − = 1 . Del cambio de variable, tenemos: dt dx dx dx dt − = → − = 1 . Ahora sustituyendo resulta: ( ) C t dt t dt t + − = − = − ∫ ∫ 31 31 30 30 Una vez integrado, reemplazando se obtiene: t ( ) ( ) C x dx x + − − = − ∫ 31 1 1 31 30 Ejemplo 2 Calcular ∫ dx x x sen SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: x t = . Del cambio de variable se obtiene: dt x dx x dx dt 2 2 1 = → = . Sustituyendo resulta: ( ) ∫ ∫ ∫ + − = = = C t tdt dt x x t dx x x cos 2 sen 2 2 sen sen 6
- 229. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Una vez integrado, reemplazando tenemos: t C x dx x x + − = ∫ cos 2 sen Ejemplo 3 Calcular ∫ − dx x x 1 SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: 1 − = x t Del cambio de variable se obtiene: dt dx dx dt = → =1 Sustituyendo resulta: ∫ ∫ = − dt t x dx x x 1 Como no se simplifica la , debemos reemplazarla. x En este caso, despejando del cambio de variable: 1 + = t x Entonces: ( ) ( ) C t t dt t dt t dt t t t dt t t dt t x + + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 3 2 2 5 5 2 2 1 2 3 1 Una vez integrado, reemplazando t resulta: ( ) ( ) C x x dx x x + − + − = − ∫ 2 3 3 2 2 5 5 2 1 1 1 Ejemplo 4 Calcular dx x e x tan arc x x tan arc ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − 1 1 4 2 SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos: dx x e dx x arctanx dx x dx x x x tan arc ∫ ∫ ∫ ∫ + − + + + − + 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado. 1. dx x x ∫ +1 4 2 . Esta integral se la resuelve por cambio de variable 1 2 + = x t , de donde x dx dt 2 = , entonces x dt dx 2 = . Sustituyendo, resulta: C x C t dt t x dt t x dx x x + + = + = = = + ∫ ∫ ∫ 1 ln 2 ln 2 1 2 2 4 1 4 2 2 2. dx x ∫ +1 1 2 . Esta integral es directa. C arctanx dx x + = + ∫ 1 1 2 3. dx x x ∫ +1 arctg 2 . Esta integral se la resuelve por cambio de variable x t arctg = , de donde 1 1 2 + = x dx dt , entonces ( )dt x dx 1 2 + = . 7
- 230. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Sustituyendo, resulta: ( ) ( ) C arctanx C t tdt dt x x t dx x arctanx + = + = = + + = + ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 4. dx x e x arc ∫ +1 2 tg . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto: ( ) ∫ ∫ ∫ + = + = = + + = + C e C e dt e dt x x e dx x e arctanx t t t x tan arc 1 1 1 2 2 2 FINALMENTE: ( ) C e x tan arc x tan arc x dx x e x tan arc x x tan arc x tan arc + − + − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − ∫ 2 1 ln 2 1 1 4 2 2 2 Ejemplo 5 Calcular ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 2 2 1 ln 1 x x x dx SOLUCIÓN: Tomando el cambio de variable: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 1 ln x x t Del cambio de variable: dt x dx x dx dt x x x x x x x x x dx dt 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 + = → + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = Reemplazando, resulta: ( ) C x x C t dt t t x dt x x x x dx + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + = = + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ∫ ∫ ∫ − 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ln 2 2 1 1 1 ln 1 8
- 231. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: 1. ( ) ∫ − 2 5 2 5x dx 2. ∫ − dx x x 1 2 3. ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 4 2 sen2 x dx 4. ( ) dx x ∫ − 2 sen 1 5. dx x x ∫ − + 1 1 2 6. ( ) ∫ + + dx x x 2 2 1 1 7. ( ) ∫ + x x dx 1 8. ( ) dx x x x tan arc ∫ + 1 9. dx x x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − 1 1 ln 1 1 2 10. ∫ − + + 1 1 x x dx 11. dx x x x x ∫ − − + + 4 2 2 1 1 1 12. ∫ + x x dx x ln 1 ln 13. ( ) ∫ x x x dx ln ln ln 14. ∫ − + dx x a x a 15. ∫ + dx x b x a x x 2 2 2 2 cos sen cos sen 16. ∫ 4 2 tg sen x c x dx 17. ∫ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 2 2 1 1 ln 18. ∫ − dx x x x x 4 9 3 2 19. ( ) ∫ + + + 3 2 2 1 1 x x dx x 20. dx x x x ∫ + − − 3 8 4 1 2 1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. Para el producto de funciones, tenemos: ( ) vdu udv uv d + = Despejando y tomando integral, resulta: ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − = − = vdu uv d udv vdu uv d udv En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es: ∫ ∫ − = vdu uv udv Ejemplo 1 Calcular ∫ dx e x x SOLUCIÓN: Haciendo x u = y dx e dv x = . 9
- 232. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Entonces dx du = y x x e dx e v = = ∫ Integrando, resulta: } } } }} C e e x dx e e x dx e x x x du v x v x u dv x u + − = − = ∫ ∫ 8 7 6 Ejemplo 2 Calcular ( ) ∫ − + dx x x x sen 5 3 2 2 SOLUCIÓN: Haciendo 5 3 2 2 − + = x x u y dx x dv sen = . Entonces ( )dx x du 3 4 + = y x xdx v cos sen − = = ∫ Por lo tanto, integrando tenemos: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + + − + − = + − − − − + = − + xdx x x x x dx x x x x x dx x x x du v v u dv u cos 3 4 cos 5 3 2 3 4 cos cos 5 3 2 sen 5 3 2 2 2 2 4 8 47 6 4 8 47 6 4 8 47 6 4 4 8 4 4 7 6 4 8 47 6 4 4 8 4 4 7 6 Ahora, la integral ( ) ∫ + xdx x cos 3 4 también se la realiza por partes. Haciendo 3 4 + = x u y dx x dv cos = . Entonces dx du 4 = y x xdx v sen cos = = ∫ Por tanto: ( ) ( ) ( ( ) x x x dx x x x xdx x cos 4 sen 3 4 4 sen sen 3 4 cos 3 4 + + = − + = + ) ∫ ∫ FINALMENTE: ( ) ( ) ( ) C x x x x x x dx x x x + + + + − + − = − + ∫ cos 4 sen 3 4 cos 5 3 2 sen 5 3 2 2 2 Ejemplo 3 Calcular xdx ex cos ∫ SOLUCIÓN: Haciendo x e u = y dx x dv cos = . Entonces dx e du x = y x xdx v sen cos = = ∫ 10
- 233. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Por tanto: ∫ ∫ − = dx e x x e xdx e x x x sen sen cos La integral se la calcula por parte. Hacemos ∫ dx xex sen x e u = y dx x dv sen = . Entonces dx e du x = y x xdx v cos sen − = = ∫ . Por lo tanto ∫ ∫ + − = xdx e x e xdx e x x x cos cos sen FINALMENTE: ∫ ∫ ∫ ∫ − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = xdx e x e x e xdx e xdx e x e x e xdx e x x x x x x x x cos cos sen cos cos cos sen cos Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando C x e x e xdx e x e x e xdx e x x x x x x + + = + = ∫ ∫ 2 cos sen cos cos sen cos 2 Ejemplo 4 Calcular ∫ xdx x ln SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar x u ln = y dx x dv = .(¿por qué?) Entonces dx x du 1 = y 2 2 x xdx v = = ∫ Por tanto: ( ) C x x x xdx x x dx x x x x xdx x + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫ ∫ 2 ln ln 1 2 2 ln ln 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 Ejemplo 5 Calcular ∫ xdx ln SOLUCIÓN: 11
- 234. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Entonces, aquí sería también x u ln = y dx dv = . Entonces dx x du 1 = y x dx v = = ∫ Por tanto: C x x x dx x x x x xdx + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ln 1 ln ln Ejemplo 6 Calcular ∫ dx x x arctg SOLUCIÓN: Tomamos x u y arctg = xdx dv = , entonces: dx x du 2 1 1 + = y 2 2 x v = Por tanto: ( ) dx x x x x dx x x x x xdx x ∫ ∫ ∫ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 arctg 1 1 2 2 arctg arctg 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: 1 1 1 1 2 2 2 + − = + x x x Reemplazando ∫ ∫ ∫ ∫ − = + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + x x dx x dx dx x dx x x arctg 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 FINALMENTE: [ ] C x x x x xdx x + − − = ∫ arctg arctg arctg 2 1 2 2 1 Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ dx e x x 3 2. ( ) ∫ + dx e x x 2 1 3. ( ) ∫ − xdx x 3 sen 1 2 4. ( ) ∫ − dx x x 1 3 sen 5. ∫ − dx e x x 2 2 6. ( ) ∫ + − dx e x x x 2 2 2 3 7. ( ) ∫ − xdx x ln 1 2 11. ( ) ∫ dx x x 2 arctg 12. ∫ dx e x 13. ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x 2 1 ln 14. ∫ dx x arcsin 15. ∫ xdx arctg 16. ( ) ∫ dx x tan arc 17. ( ) ∫ dx x ln cos 12
- 235. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 8. ∫ dx x x 2 ln 9. ∫ dx x x ln 10. ∫ x dx x x 2 sen cos 18. dx x ∫sen 19. ( ) ∫ dx x ln sen 20. ( ) ∫ dx x x tg ln sen 1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera: TIPO I: Integrales de la forma: ∫ dx x n sen o ∫ dx x n cos Para este caso se sugiere, lo siguiente: 1. Si es IMPAR usar: n x x x x 2 2 2 2 sen 1 cos cos 1 sen − = − = 2. Si es PAR usar: n 2 2 cos 1 cos 2 2 cos 1 sen 2 2 x x x x + = − = Ejemplo 1 Calcular ∫ dx x 2 cos SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par: C x x xdx dx dx x dx x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 sen 2 1 2 cos 1 2 1 2 2 cos 1 cos2 Ejemplo 2 Calcular ∫ dx x 3 sen SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar: ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = = xdx x xdx xdx x xdx x dx x sen cos sen sen cos 1 sen sen sen 2 2 2 3 De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución. 13
- 236. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 1. x xdx cos sen − = ∫ 2. ∫ requiere el cambio de variable xdx xsen cos2 x t cos = entonces xdx dt sen − = . Reemplazando resulta: ( ) ∫ ∫ − = − = 3 cos sen cos 3 2 2 x dt t xdx x FINALMENTE: C x x xdx + + − = ∫ 3 cos cos sen 3 3 Ejemplo 3 Calcular ∫ dx x 4 cos SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par: ( ) C x x x x xdx dx x x dx x x x xdx xdx dx dx x dx x dx x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 sen 2 1 2 sen 4 1 4 cos 1 2 1 2 sen 4 1 2 4 cos 1 2 2 sen 2 4 1 2 cos 2 cos 2 1 4 1 2 2 cos 1 cos cos 2 2 2 2 4 TIPO II. Integrales de la forma ∫ dx x x n m cos sen 1. si son impares n m ∨ Ejemplo Calcular ∫ − dx x x 4 3 cos sen SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − = − = = dx x x dx x x dx x x x dx x x x dx x x sen cos sen cos cos sen cos 1 cos sen sen cos sen 2 4 4 2 4 2 4 3 Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable x t cos = de donde xdx dt sen − = , resulta 14
- 237. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida ( ) ( ) ( ) ( ) C x x C t t dt t dt t dx x x dx x x + − = + − + − − = − − − = − − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 1 3 2 4 2 4 cos 3 cos 1 3 sen cos sen cos 2. si son pares n m ∧ Ejemplo Calcular ∫ dx x x 4 2 cos sen SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces: ( ) ( )( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = − − + = + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xdx xdx xdx dx dx x x x dx x x x dx x x dx x x dx x x 2 cos 2 cos 2 cos 1 8 1 2 cos 2 cos 2 cos 1 8 1 2 cos 2 cos 2 1 2 cos 1 8 1 2 2 cos 1 2 2 cos 1 cos sen cos sen 3 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 Las dos últimas integrales son trigonométricas ( ) C x x x x x x xdx x xdx x x x x x x xdx dx x x xdx x dx x x x + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 2 sen 2 2 sen 8 4 sen 2 2 2 sen 8 1 2 cos 2 sen 2 cos 4 4 sen 2 1 2 2 sen 8 1 2 cos 2 sen 1 4 cos 1 2 1 2 2 sen 8 1 2 cos 2 cos 2 4 cos 1 2 2 sen 8 1 3 2 2 2 FINALMENTE: C x x x dx x x + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ∫ 6 2 sen 8 4 sen 2 8 1 cos sen 3 4 2 15
- 238. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida TIPO III. Integrales de la forma: nxdx x m cos sen ∫ , , nxdx x m sen sen ∫ nxdx x m cos cos ∫ En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea conveniente: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] x n m x n m nx mx x n m x n m nx mx x n m x n m nx mx − + + = − − + − = − + + = cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sen sen sen sen 2 1 cos sen Ejemplo 1 Calcular: dx x x ∫ 3 cos 2 sen SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta: ( ) ( ) [ ] ( ) C x x dx x xdx dx x x dx x x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − + + = ∫ ∫ ∫ ∫ cos 5 5 cos 2 1 sen 5 sen 2 1 3 2 sen 3 2 sen 2 1 3 cos 2 sen Ejemplo 2 Calcular xdx x x 3 sen 2 sen sen ∫ SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] C x x x xdx xdx xdx dx x x x x xdx x xdx x dx x x x x xdx x x xdx x x xdx x x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − − = − − + − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 cos 4 4 cos 6 6 cos 4 1 2 sen 4 sen 6 sen 4 1 2 sen 4 sen 2 1 0 sen 6 sen 2 1 2 1 cos 3 sen 3 cos 3 sen 2 1 3 sen cos 3 sen 3 cos 2 1 3 sen 2 1 cos 2 1 cos 2 1 3 sen 2 sen sen 3 sen 2 sen sen 16
- 239. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida TIPO IV. Integrales de la forma: ∫ dx x n tg y ∫ dx x g n cot Aquí se recomienda usar las identidades: 1 csc cot 1 sec tg 2 2 2 2 − = − = x x g x x Ejemplo 1 Calcular ∫ dx x 3 tg SOLUCIÓN: ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = = xdx xdx x xdx x gxdx t x dx x tg tg sec tg 1 sec tg tg 2 2 2 3 La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. x t tg = de donde xdx dt 2 sec = FINALMENTE: ( ) C x x x tdt dx x + + = − − = ∫ ∫ cos ln 2 tg cos ln tg 2 3 Ejemplo 2 Calcular ∫ dx x g4 cot SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta: ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = = xdx g xdx x g dx x x g dx x g x g dx x g 2 2 2 2 2 2 2 4 cot csc cot 1 csc cot cot cot cot La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir: 17
- 240. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida ( ) C x gx x g dx xdx x g dx x x g dx x g dx x gx dx x g dt t + + + − = + − − = − − − = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − cot 3 cot csc 3 cot 1 csc 3 cot cot csc cot cot 3 2 3 2 3 2 2 2 4 4 3 4 2 1 3 2 1 TIPO V. Integrales de la forma: ∫ xdx x n m sec tg y ∫ xdx x g n m csc cot Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante es par, se procede con el diferencial de la tangente o cotangente. n Ejemplo Calcular ∫ − xdx x 4 2 3 sec tg SOLUCIÓN: ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − + = + = = dx x x dx x x dx x x x xdx x x dx x x 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 3 4 2 3 sec tg sec tg sec 1 tg tg sec sec tg sec tg 3 2 1 Las dos integrales últimas se hacen por sustitución: { { C x x C x x dx x x dx x x xdx x dt t dt t + − = + − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − ∫ ∫ ∫ 2 1 2 3 3 2 2 1 2 3 2 2 3 2 2 1 4 2 3 tg 2 tg 2 1 tg 2 3 tg sec tg sec tg sec tg 4 3 4 2 1 4 3 4 2 1 Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante. m Ejemplo Calcular ∫ − xdx x 2 1 3 sec tg 18
- 241. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante ( ) ( ) ∫ ∫ − − = 4 43 4 42 1 x d xdx x x x xdx x sec 2 3 2 2 1 3 tg sec sec tg sec tg y luego resolviendo, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − = − = xdx x x xdx x x xdx x x x xdx x tg sec sec tg sec sec tg sec sec 1 sec sec tg 2 3 2 1 2 3 2 2 1 3 estas últimas integrales se resuelven por sustitución: { ( ) { ( ) x x xdx x x xdx x x xdx x dt t dt t 2 1 2 3 3 2 2 3 2 1 2 1 3 sec 2 sec tg sec sec tg sec sec sec tg − − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫ ∫ 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1 Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos: Ejemplo Calcular ∫ dx x 3 sec SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes { ∫ ∫ = 4 3 4 2 1 dv u xdx x dx x 2 3 sec sec sec Entonces si tomamos x u sec = tenemos xdx x du tg sec = y si tomamos xdx dv 2 sec = tenemos x v tg = Ahora, integrando }} } ( ) x x xdx x x dx x xdx xdx x x xdx x x x xdx x x x xdx x x x x dx x du v v u tg sec ln sec tg sec sec sec sec tg sec sec 1 sec tg sec sec tg tg sec tg sec tg tg sec sec 3 3 3 2 2 3 + + − = + − = − − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 8 4 7 6 FINALMENTE, despejamos la integral buscada C x x x x dx x x x x x dx x + + + = + + = ∫ ∫ tg sec ln tg sec sec tg sec ln tg sec sec 2 2 1 2 1 3 3 19
- 242. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.4 Encuentre las antiderivadas de: 1. ( )dx x ∫ − 2 cos 3 2 2 2. ∫ xdx 3 sen3 3. ∫ dx x 6 cos 4. ∫ dx x x sen cos5 5. ∫ dx x x 5 sen 3 sen 6. ∫ dx x x 3 2 cos 3 sen 7. ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − dx x x sen 4 3 cos 6 2 π π 8. ∫ dx x x 3 cos cos 2 9. ( ) ( )dx x x ∫ 2 cos 2 sen 7 3 10. ∫ dx x x x 3 cos 2 cos cos 11. ∫ dx x tan5 12. ∫ dx x c 6 tg 13. dx x ∫ 5 tan2 14. xdx x ∫ − 2 3 sec tg5 15. ∫ x x dx 2 2 cos sen 16. ( ) ( ) ∫ 2 3 2 x x Cos Sen dx 17. ∫ x x dx 4 2 cos sen 18. ( ) ∫ π + dx x x x cos sen sen 4 19. ∫ x x dx cos sen2 20. ∫ dx x 3 csc 1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda: Si tenemos 2 2 x a − sustituir t a x sen = Si tenemos 2 2 x a + sustituir t a x tg = Si tenemos 2 2 a x − sustituir t a x sec = 20
- 243. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejemplo 1 Calcular ∫ − dx x x 2 2 4 SOLUCIÓN: En este caso hacemos t x sen 2 = entonces tdt dx cos 2 = Reemplazando y resolviendo, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) C t gt dt tdt dt t tdt g dt t t tdt t t tdt t t tdt t t tdt t t tdt t t dx x x + − − = − = − = = = = = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cot csc 1 csc cot sen cos cos sen 2 cos 2 cos sen 2 cos 4 cos sen 2 sen 1 4 cos 2 sen 4 sen 4 4 cos 2 sen 2 sen 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ahora hay regresar a un expresión en x , para lo cual del cambio de variable tenemos 2 sen x t = . Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo: De la figura, observamos que x x t g 2 4 cot − = y como 2 arcsen x t = tenemos: C x x x C t gt dx x x + − − − = + − − = − ∫ 2 arcsen 4 cot 4 2 2 2 2 t x 2 4 x − 21
- 244. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejemplo 2 Calcular ( ) ∫ + 2 3 2 3 9 x dx x SOLUCIÓN: En este caso hacemos t x tg 3 = entonces dt t dx 2 sec 3 = Reemplazando y resolviendo, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] C t t tdt tdt t dt t t dt t t t dt t t t dt t t t dt t t dt t t t dt t t t dt t t t tdt t t x dx x + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos sec 3 sen tg sec 3 sec tg sec sec tg 3 sec 1 sec tg 3 sec tg tg 3 sec tg 3 sec 27 sec tg 81 sec 3 sec tg 81 9 tg 9 sec 3 tg 27 sec 3 9 tg 3 tg 3 9 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 Ahora por trigonometría, del cambio de variable 3 tg x t = tenemos el siguiente triángulo: 9 2 + x t Por tanto 3 9 sec 2 + = x t y 9 3 cos 2 + = x t FINALMENTE, ( ) C x x x dx x + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = + ∫ 9 3 3 9 3 9 2 2 2 3 2 3 x 3 22
- 245. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejemplo 3 Calcular ∫ − dx x x 3 2 16 SOLUCIÓN: En este caso hacemos t x sec 4 = entonces tdt t dx tg sec 4 = Reemplazando y resolviendo, resulta: ( ) ( ) ( ) C t t t C t t tdt dt dt t tdt dt t t t dt t t tdt t t tdt t t tdt t t tdt t t t tdt t t t dx x x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = = = = = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 cos sen 2 8 1 2 2 sen 8 1 2 cos 1 8 1 2 2 cos 1 4 1 sen 4 1 cos 1 cos sen 4 1 sec 4 tg tg sec 4 tg 4 tg sec 4 tg 16 tg sec 4 1 sec 16 tg sec 4 sec 4 16 sec 16 tg sec 4 sec 4 16 sec 4 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 Ahora por trigonometría , del cambio de variable 4 sec x t = tenemos el siguiente triángulo: x t 16 2 − x 4 Por tanto, 4 sec x arc t = , x x t 16 sen 2 − = y x t 4 cos = 23
- 246. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida FINALMENTE: C x x x x arc C t t t dx x x + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − ∫ 4 16 4 sec 8 1 2 cos sen 2 8 1 16 2 3 2 En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero. Ejemplo 4 Calcular ∫ − − dx x x 2 4 5 SOLUCIÓN: Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebráica y luego la sustitución trigonométrica que convenga. ( ) ( ) dx x dx x x dx x x ∫ ∫ ∫ + − = + + + − = − − 2 2 2 2 9 4 4 4 5 4 5 En la última integral podemos hacer 2 + = x u entonces dx du = y la integral quedará así: ∫ − du u2 9 Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es t u sen 3 = de la cual resulta tdt du cos 3 = . Reemplazando y resolviendo, tenemos: C t t t C t t dt t dt dt t tdt tdt t tdt t du u + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 cos sen 2 2 9 2 2 sen 2 9 2 cos 1 2 9 2 2 cos 1 9 cos 9 cos 3 cos 3 cos 3 sen 9 9 9 2 2 2 Del cambio de variable 3 sen u t = obtenemos el siguiente triángulo: t 3 u 24 2 9 u −
- 247. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Entonces 3 arcsen u t = y 3 9 cos 2 u t − = Por tanto, [ ] C u u u C t t t du u + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = − ∫ 3 9 3 3 arcsen 2 9 cos sen 2 9 9 2 2 Finalmente, como 2 + = x u , reemplazando resulta: ( ) ( ) C x x x C u u u du u + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ 9 2 9 2 3 2 arcsen 2 9 9 9 3 arcsen 2 9 9 2 2 2 Ejercicio Propuestos 1.5 Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ − dx x x 2 2 9 2. ( ) ∫ − 2 3 2 1 x dx 3. ( ) ∫ − dx x x 2 3 2 2 1 4. ∫ − dx x x 2 2 9 5. ∫ + 9 2 x x dx 6. ∫ − 9 2 3 x x dx 7. ∫ −1 2 4 x x dx 8. ∫ − dx x x 2 2 2 9. ∫ − 2 2 4 x x dx x 10. ( ) ∫ + + 3 2 13 4x x dx 11. ∫ + x e dx 2 1 12. ∫ + + 1 tg 4 tg sec 2 2 x x xdx 13. ∫ + x xdx x 4 sen 9 cos sen 14. ∫ + 2 1 arctg x xdx x 15. ( ) ∫ + dx x e x tanx arc 2 3 2 1 16. ∫ dx x arc x cos 2 17. ∫ − − x x x dx x 2 ln ln 4 1 ln 18. ( ) ∫ − + 4 2 1 1 x x xdx 19. ∫ + − 2 2 4 3 x x dx x 20. ∫ + + 2 3 4 8 11 x x dx x 25
- 248. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Cuando la función racional ) ( ) ( x q x p es una fracción propia, o sea que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales. REGLA GENERAL Sea ) ( ) ( x q x p una fracción propia. Entonces: 1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador . ) (x q 2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de . ) (x q 3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador. Ahora veámos por caso. CASO I: se descompone en factores lineales diferentes ) (x q Ejemplo Calcular dx x x x x ∫ − − + 3 2 3 5 2 3 SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador ( ) ( )( ) 1 3 3 5 2 2 3 5 3 2 3 5 2 2 3 + − + = − − + = − − + x x x x x x x x x x x x El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente: ( )( ) 1 3 1 3 3 5 + + − + = + − + x C x B x A x x x x Ahora debemos encontrar los valores de A , y B C Multiplicando por ( )( ) 1 3 + − x x x a cada termino, resulta: ( )( ) ) 3 ( ) 1 ( 1 3 3 5 − + + + + − = + x Cx x Bx x x A x Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de : ) (x q Si 0 = x , resulta: ( )( ) 1 3 3 ) 3 0 )( 0 ( ) 1 0 )( 0 ( 1 0 3 0 3 ) 0 ( 5 − = − = − + + + + − = + A A C B A Si 3 = x , resulta: ( )( ) 2 3 12 18 ) 3 3 )( 3 ( ) 1 3 )( 3 ( 1 3 3 3 3 ) 3 ( 5 = = − + + + + − = + B B C B A Si 1 − = x , resulta: 26
- 249. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida ( )( ) 2 1 4 2 ) 3 1 )( 1 ( ) 1 1 )( 1 ( 1 1 3 1 3 ) 1 ( 5 − = = − − − − + + − − + + − − − = + − C C C B A Integrando, C x x x dx x dx x dx x dx x x x dx x x x x + + − − + − = + − − + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − 1 ln 3 ln ln 1 1 2 1 3 1 2 3 1 1 3 1 3 2 3 5 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 CASO II. En hay factores lineales repetidos ) (x q Ejemplo Calcular ( )( ) ∫ − + + − dx x x x x 2 2 1 3 13 8 3 SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: ( )( ) ( )2 2 2 1 1 3 1 3 13 8 3 − + − + + = − + + − x C x B x A x x x x multiplicando por ( )( )2 1 3 − + x x se obtiene: ( ) ( )( ) ) 3 ( 1 3 1 13 8 3 2 2 + + − + + − = + − x C x x B x A x x Evaluando para las raíces: Si 3 − = x , resulta: ( ) ( ) ( )( ) 4 16 64 ) 3 3 ( 1 3 3 1 3 13 ) 3 ( 8 3 3 2 2 = = + − + − + − + − − = + − − − A A C x B A Si 1 = x , resulta: ( ) ( )( ) 2 4 8 ) 3 1 ( 1 1 3 1 1 1 13 ) 1 ( 8 ) 1 ( 3 2 2 = = + + − + + − = + − C C C B A Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados: Si 0 = x , resulta: ( ) ( )( ) 1 6 3 4 13 ) 3 0 ( 2 1 0 3 0 1 0 4 13 ) 0 ( 8 ) 0 ( 3 2 2 − = + + − = + + − + + − = + − B B B Integrando ( )( ) ( ) ( ) C x x x dx x dx x dx x dx x x x dx x x x x + − − − − + = − + − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 1 ln 3 ln 4 1 1 2 1 1 3 1 4 1 2 1 1 3 4 1 3 13 8 3 2 2 2 2 27
- 250. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida CASO III. En hay factores cuadráticos irreducibles ) (x q Ejemplo 1 Calcular ∫ + − + dx x x x x 5 4 2 5 2 3 2 SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: ( ) ( ) 5 4 4 2 5 4 2 5 5 4 2 5 2 2 2 2 3 2 + − + − + = + − + = + − + x x C x B x A x x x x x x x x Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada. Simplificando, tenemos: ( ) ( ) [ ]( ) x C x B x x A x + − + + − = + 4 2 5 4 2 5 2 2 Evaluando para 0 = x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) 5 2 5 2 0 4 0 2 5 0 4 0 2 0 5 2 2 = = + − + + − = + A A C B A Para 2 = x , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) 5 54 2 1 22 2 4 2 2 5 2 4 2 2 2 5 5 2 2 2 = + = + − + + − = + C C C B A Evaluando para 1 = x y empleando lo valores de A y C, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ] 10 23 2 2 7 1 4 1 2 5 1 4 1 2 1 5 5 54 5 2 5 54 2 5 2 2 = + − + = + − + + − = + B B B Ahora, integrando resulta ( ) ( ) ( ) C x x x x dx x x x x dx x x dx x x x dx x dx x x x x dx x x x x + − + + − + = + − + + − + = + − + + − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 arctg 5 54 5 4 ln 10 23 ln 5 2 1 2 1 5 54 5 4 ln 10 23 ln 5 2 5 4 1 5 54 5 4 4 2 10 23 1 5 2 5 4 4 2 5 4 2 5 2 2 2 2 2 2 5 54 10 23 5 2 2 3 2 Ejemplo 2 Calcular ∫ + − dx x x x 3 3 1 SOLUCIÓN: Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene: x x x x x x + + − = + − 3 3 3 1 1 1 La integral sería ahora: 28
- 251. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida ∫ ∫ ∫ ∫ + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = + − dx x x x dx dx x x x dx x x x 3 3 3 3 1 1 1 1 1 La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces: ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 3 + + + = + + = + + x C x B x A x x x x x x Simplificando tenemos: ( ) ( ) [ ]( ) x C x B x A x + + + = + 2 1 1 2 Evaluando para 0 = x , resulta: ( ) ( ) [ ]( ) 1 ) 1 ( 1 0 ) 0 ( 2 1 0 1 0 2 = = + + + = + A A C B A Evaluando para 1 = x y utilizando el valor obtenido para A, resulta ( ) ( ) [ ]( ) 0 2 2 2 2 1 ) 1 ( 2 1 1 1 1 1 2 = + + + = + + + = + C B C B C B Evaluando para 1 − = x y utilizando el valor obtenido para A, resulta ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) 2 2 2 2 0 1 1 2 1 1 1 1 1 2 − = − − + = − + − + + − = + − C B C B C B Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C ⎩ ⎨ ⎧ − = − = + 2 2 0 2 C B C B Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B: 2 1 2 4 − = − = B B Entonces 1 2 1 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = C C B C OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue: En la expresión ( ) ( ) [ ]( ) x C x B x A x + + + = + 2 1 1 2 simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir: ( ) A Cx x B A x Cx Bx A Ax x + + + = + + + + = + 2 2 2 2 1 2 1 De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = A C B A 1 1 2 0 Por tanto ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = 1 2 1 1 C B A En fin, ahora integrando tenemos: 29
- 252. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida ( ) ( ) C x x x x dx x dx x x dx x x dx x x x x dx x x x dx dx x x x + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = + + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arctg 1 ln ln 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 3 3 3 Ejercicios Propuestos 1.6 Encuentre las antiderivadas de: 1. ( )( ) ∫ + − 3 1 x x dx 2. ( ) ∫ − − − x x x dx x 2 2 4 2 3 3. ( )( )( ) ∫ + + + 2 3 2 1 x x x dx x 4. ( ) ∫ + + − x x x dx x 2 3 2 2 3 2 5. ( ) ( )( ) ∫ + − − + dx x x x x 4 3 2 10 2 2 6. ∫ − + − + − dx x x x x x 1 1 4 2 3 2 7. ∫ − + 2 2 3 x x dx x 8. ( )( ) ∫ + − + − 6 5 4 4 2 2 x x x x dx 9. ( )( ) ∫ + + + − dx x x x x 2 2 1 1 3 2 2 10. ∫ + − − + dx x x x x x 9 9 9 9 3 2 3 5 11. ∫ − dx x 1 4 4 12. ( ) ( )( ) ∫ + + + + + dx x x x x x 2 2 2 2 3 2 2 2 13. ( ) ∫ + dx x x 2 2 5 4 14. ( ) ∫ + + + dx x x x x 2 2 2 2 8 2 4 15. ( ) ( ) ∫ + − + − dx x x x x 1 1 3 4 2 2 2 16. ∫ − − dx x x x 3 3 4 1 17. ∫ − + 6 cos cos sen 2 x x dx x 18. ∫ + − 1 3 sec sec 2 2 t tan t dt t 19. ( ) ∫ + x x dx sen cos 2 20. ∫ + + + 6 3 2 1 x x x e e e dx 30
- 253. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS CASO I. Integrales del tipo ( ) ∫ dx x x R cos , sen Se recomienda la siguiente sustitución t x = 2 tg de donde ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + − = + = dt t dx t t x t t x 2 2 2 2 1 2 1 1 cos 1 2 sen Ejemplo Calcular ∫ + + dx x x cos sen 1 1 SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando resulta: ( ) C C t dt t dt t dt t dt t t t t t dt t t t t t dx x x x + + = + + = + = + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg 1 ln 1 ln 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 cos sen 1 1 CASO II Integrales donde se cumple que ( ) ( ) ∫ ∫ = − − dx x x R dx x x R cos , sen cos , sen Se recomienda usar la sustitución t x = tg de donde ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = 2 2 2 1 1 1 cos 1 sen t dt dx t x t t x 31
- 254. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida Ejemplo Calcular ∫ + dx x 2 sen 1 1 SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando ( ) ( ) ( ) C x C t dt t dt t t dt t t t t dt t t t dt t t dx x + = + = + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ tg 2 arctg 2 1 2 arctg 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sen 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ejercicios Propuestos 1.7 Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ + + 5 cos sen 2 x x dx 2. ∫ + x x dx cos 4 sen 3 3. ∫ − dx x x cos 4 sen 3 1 4. ∫ + dx x sen x sen 2 2 1 5. ∫ + x x dx tg sen 6. ∫ + x x dx csc cot 7. dx x x x x ∫ + + − + 1 cos sin 1 cos sin 8. dx x x x x ∫ + + − 1 cos sin cos 2 sin Misceláneos Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ + − dx x x x 4 1 3 2. ∫ − dx x x 3 2 1 3. ∫ + dx x x 9 2 3 43. ∫ − + − + dx x x x e x ar 2 2 sen 1 2 4 3 44. ∫ − dx x x 2 2 4 45. ∫ xdx x 2 cos sen2 32
- 255. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 4. ( ) ∫ − dx e x x x 2 2 2 3 5. ∫ xdx x 2 cos 2 sen 5 3 6. ( )( ) ∫ + − − dx x x x 1 1 6 2 2 7. ∫ − dx x x 2 cos 9 cos 2 8. ( ) ∫ − + − dx e x x x 2 2 3 5 9. ∫ + + dx e e e x x x 1 4 2 10. ( ) ∫ dx x x senh 11. ( )( ) ∫ − + + + dx x x x x 1 5 4 1 2 12. ∫ − dx x x2 1 13. ∫ xdx xcos 2 sen2 14. ∫ dx x x 2 cos cos 15. ∫ xdx x 7 cos 3 cos 16. ( ) ( ) ∫ + + − + − dx x x x x x 3 2 2 4 5 3 2 2 2 17. ( ) ∫ + dx x x x 1 cos cos sen 2 18. ∫ + dx x x 1 2 19. ∫ + dx x x 9 2 3 20. ( ) ∫ − dx x x 2 3 21. ∫ + dx x x 25 2 3 22. ∫ + + dx x x x 5 4 3 2 4 23. ∫ arctgxdx x2 46. ∫ + dx x x 4 1 47. ∫ + + x senx dx cos 1 48. ( ) ∫ + − xdx x x ln 5 2 3 2 49. ∫ + + dx e e x x 1 1 3 50. ( ) ∫ + xdx x 5 3 2 2 51. ∫ + dx x x 4 8 3 52. ( ) ∫ + − dx arctgx x x 3 4 6 2 53. ∫ dx x x 4 4 cos sen 54. ∫ + − dx x x x x cos sen 3 sen cos 2 55. ∫ dx x cos 56. ∫ − dx x x 1 3 57. ∫ + − dx x x x 4 1 3 58. ∫ + − dx x x x 4 1 3 59. ∫ + − + − dx x x x x x 2 4 2 3 1 2 3 5 60. ∫ + dx x x x x 2 ln 4 ln 61. ( ) ∫ − dx x x 6 3 2 9 62. ( )( ) ∫ − + + + dx x x x x 1 2 ´ 2 3 7 2 63. ∫ + + dx x x x 4 3 2 3 64. ∫ + dx e e x x 1 2 65. ∫ + + dx x x 2 1 1 33
- 256. MOISES VILLENA MUÑOZLa integral Indefinida 24. ∫ − dx x x2 4 1 25. ∫ xdx e x sen 2 26. ∫ − dx x x cos sen 1 27. ∫ + dx e e e x x x 4 2 2 28. ∫ dx x x ln 29. ∫ + dx x x 1 2 30. ∫ − dx e x x2 3 31. ∫ + dx x x ln 1 1 32. ∫ − − − dx x x x x 3 2 1 2 2 3 33. ∫ + − + + − − + dx x x x x x x x 3 5 7 4 5 3 2 3 2 3 4 34. ( ) ∫ + 3 3 1 x x x dx 35. ∫ + − dx x x 1 3 2 2 36. ( ) ∫ − xdx x 2 cos 1 3 37. ( ) ∫ + dx x 3 2 ln 38. ∫ + − + dx x x x 2 3 3 2 2 39. ( ) ∫ + − dx x x x 4 1 2 3 40. ∫ + − dx x x x cos sen 1 41. ∫ + − + dx x x x 2 3 3 2 2 42. ∫ + x x xdx cos 2 sen sen2 66. ∫ − dx x x 2 2 1 67. ∫ + − dx x x x 1 2 3 2 68. ( ) ∫ + dx x x 2 2 2 3 16 69. ∫ + + − dx x x x x 1 cos sen sen 4 cos 3 70. ∫ − dx x x x cos cos 4 tg 3 2 71. ( ) ∫ + dx x x ln 3 1 72. ∫ − x x dx 3 73. ∫ + + − dx x x x 9 6 3 5 2 2 74. ∫ + − dx x x x 4 1 3 75. ∫ xdx xarcsen 2 76. ∫ x x dx 3 cos sen 77. ∫ + + x x dx x 2 cos sen 1 cos 78. ∫ + + x x dx x 2 cos sen 1 cos 79. ∫ + dx x 1 80. ( )( ) ∫ + + + 2 2 1 2 x x x dx 81. dx e e e x x x ∫ + + 5 3 4 2 4 82. xdx x x 2 cos 3 cos 2 sin ∫ 83. dx x x x ∫ + 3 84. ( ) ∫ + 2 cos sin x x dx 34
- 257. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones 2 Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Analice Monotonía de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. 2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 35
- 258. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones 2.1. SUCESIONES 2.1.1 DEFINICIÓN. Sucesión es una función, denotada como { } n a , cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir: n a n f n IR X IN = ⊆ ) ( a a . Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta como una secuencia de términos { } L , , , , 3 2 1 a a a . Si la sucesión tiene una cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA. Ejemplo { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = L L , 1 2 , , 7 3 , 5 2 , 3 1 1 2 n n n n an La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión. Ejemplo 2 ; 3 ; 1 1 1 ≥ + = = − n a a a n n Es decir: 4 3 1 3 1 2 = + = + = a a 7 3 4 3 2 3 = + = + = a a Y así sucesivamente. 36
- 259. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones 2.1.2 Convergencia y Límite Una sucesión { , es convergente si y sólo si } n a n n a lim ∞ → existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se n n a lim ∞ → dice que la sucesión es divergente. Si existe, es decir si n n a lim ∞ → L an n = ∞ → lim , significa que: ξ ξ − ⇒ ∃ ∀ L a N n talque N n 0 , 0 Ejemplo. Determinar si { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = 1 2n n an es convergente o divergente. SOLUCIÖN: Para determinar si es convergente o divergente se halla . n n a lim ∞ → 2 1 1 2 1 2 = + = + ∞ → ∞ → n n n n n lim n n lim n n Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 2 1 TEOREMA Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión sea convergente es que sea acotada. Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 2 1 y la máxima cota inferior es 3 1 . PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? 37
- 260. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones Ejemplo Determinar si { } ( ) { } n n n a π = sen es convergente o divergente. SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π = = π π ∞ → π π π ∞ → π ∞ → n n n n n n n n n lim n lim n lim sen sen sen Haciendo n u π = entonces, si ∞ → n tenemos que 0 → u ( ) π = π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π → → π π ∞ → ) 1 ( sen sen sen 0 0 u u lim u u lim lim u u n n n . Por tanto converge. TEOREMA Si y son sucesiones convergentes, entonces: n a n b 1. IR k a k ka n n n n ∈ = ∞ → ∞ → ; lím lím 2. ( ) n n n n n n n b a b a ∞ → ∞ → ∞ → ± = ± lím lím lím 3. ( ) n n n n n n n b a b a ∞ → ∞ → ∞ → = lím lím lím 4. n n n n n n n b a b a ∞ → ∞ → ∞ → = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ lím lím lím si 0 lím ≠ ∞ → n n b 2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS Una sucesión { } n a es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir: L L ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ +1 3 2 1 n n a a a a a ; ó si sus términos son no crecientes; es decir: . L L ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ +1 3 2 1 n n a a a a a 38
- 261. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1 + ≤ n n a a o 1 1 ≥ + n n a a será una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1 + ≥ n n a a o 1 1 ≤ + n n a a será una sucesión DECRECIENTE. Ejemplo 1 Determinar si la sucesión 1 2 + = n n an es creciente o decreciente. SOLUCIÖN: En este caso ( ) 3 2 1 1 1 2 1 1 + + = + + + = + n n n n an Al dividir ambas expresiones, resulta: ( )( ) ( ) n n n n n n n n n n n n a a n n 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = + note que en la última expresión se observa que 1 1 ≥ + n n a a ¿Por qué?. Por tanto, la sucesión será CRECIENTE. Ejemplo 2 Analice la sucesión ( )n n a 1 3 − + = SOLUCIÖN: Desarrollando la sucesión tenemos { } ( ) { } { } L , 4 , 2 , 4 , 2 1 3 = − + = n n a Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada. 39
- 262. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones Ejemplo 3 Analice la sucesión ! 2 n a n n = SOLUCIÖN: 1. 0 ! 2 = ∞ → n lim n n ) . El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a 0. 2. La sucesión es acotada debido a que es convergente. 3. ( ! 1 2 1 1 + = + + n a n n . Ahora ( ) ( ) 1 2 2 ! 1 ! 2 2 ! 2 ! 1 2 1 1 1 + = + = + = + + n n n n n n a a n n n n n n Se observa que para , 1 ≥ n 1 1 2 ≤ + n por tanto la sucesión es decreciente. Ejercicios propuestos 2.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. a. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + n n n 2 2 2 1 3 b. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + 1 3 1 2 2 n n c. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ π + 2 sen 1 n n n d. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 3 1 e. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + n n n 2 3 1 2 f. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 ln n n g. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 2 1 1 2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas. a. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 5 4 1 3 n n b. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + n n 2 5 1 5 c. ( )⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − • • • • 1 2 5 3 1 ! n n L d. ( ) π n sen e. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 ! 40
- 263. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones 2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sea la secuencia , , . 1 a 2 a n a a L , 3 La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma: ∑ = = + + + n i i n a a a a a 1 3 2 1 L Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita. Ejemplo 1 { { { { 4 3 2 1 4 1 2 17 4 10 3 5 2 2 1 1 = = = = = + + + = + ∑ i i i i i i i Ejemplo 1 ∑ ∞ = = + + + + + + 1 4 3 2 1 n n n L L 2.2.1 Propiedades Sean y { } i a { } i b dos sucesiones y sea C una constante, entonces 1. ∑ ∑ = = = n i i n i i a C Ca 1 1 2. ( ) ∑ ∑ ∑ = = = ± = ± n i i n i i n i i i b a b a 1 1 1 Alguna formulas que se necesitarán más adelante son: 41
- 264. MOISÉS VILLENA MUÑOZSucesiones 1. ( ) 2 1 4 3 2 1 1 + = + + + + + = ∑ = n n n i n i L 2. ( )( ) 6 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 1 2 + + = + + + + = ∑ = n n n n i n i L 3. ( ) 2 3 3 3 3 1 3 2 1 3 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + + = ∑ = n n n i n i L 4. ( )( ) 30 1 9 6 1 3 2 1 2 3 4 4 4 4 1 4 − + + + = + + + + = ∑ = n n n n n n i n i L ¡No olvide demostrarlas! 42
- 265. MOISES VILLENA Cap.6 Series Objetivo: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de series. • Emplee series para resolver problemas numéricos. 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS 1.1 6 105
- 266. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6. 1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.1.1 DEFINICIÓN Sea { una sucesión infinita. Y sea } n a n n a a a a S + + + + = L 3 2 1 . La sucesión de suma parciales { } { } { } L L , 3 2 1 2 1 1 3 2 1 , , , , , a a a a a a S S S Sn + + + = = , denotada como , se llama Serie Infinita. ∑ ∞ =1 n n a Ejemplo Sea la sucesión { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = n n a 2 1 Algunos términos de la sucesión serían ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ L , 8 1 , 4 1 , 2 1 La sucesión de sumas parciales sería { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + = L L L , 8 7 , 4 3 , 2 1 , 8 1 4 1 2 1 , 4 1 2 1 , 2 1 , , , 3 2 1 S S S 6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES Una serie ∑ = n n a S , es convergente si y sólo si n n S lim ∞ → existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se n n S lim ∞ → dice que la sucesión es divergente. En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que . S Sn n = ∞ → lim Si tuviésemos o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series n S 106
- 267. MOISES VILLENA Cap.6 Series telescópica que si se les puede determinar , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos n S n S 6.1.3 LA SERIE GEOMÉTRICA. Una serie geométrica es de la forma 1 3 2 − + + + + + n ar ar ar ar a L La suma parcial de los n términos está dada por ( ) r r a S n n − − = 1 1 . ¡Demuéstrela! Para determinar su convergencia, deberíamos obtener ( ) r r a lím S lím n n n n − − = ∞ → ∞ → 1 1 . Observe que si 1 ≥ r entonces ( ) ∞ = − − ∞ → r r a lím n n 1 1 (¿POR QUÉ?) y por tanto la serie geométrica es divergente Si 1 r , entonces ( ) r a r r a lím n n − = − − ∞ → 1 1 1 la serie es convergente. Ejemplo Determinar si la serie + + + 8 1 4 1 2 1 es convergente o no. SOLUCIÓN: Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con 2 1 = a y 2 1 = r es decir una serie de la forma ∑ ∞ =1 2 1 n n y por tanto converge a 1 1 2 1 2 1 = − = S 107
- 268. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6.1.4 SERIES TELESCÓPICA Para este tipo de serie también es posible obtener , se lo hace empleando fracciones parciales. n S Ejemplo Sea la serie ( )( ) ∑ ∞ = + + 1 2 1 1 n n n . Obtener . n S SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos: ( )( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 1 + + + = + + + = + + n B n A n B n A n n ) Si entonces: 1 − = n ( ) ( ) A B A = + − + + − = 1 1 1 2 1 1 Si entonces: 2 − = n ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 − = − = + − + + − = B B B A Por tanto: ( )( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + + 1 1 2 1 1 1 2 1 1 n n n n n n Obteniendo algunos términos de su desarrollo ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ∑ ∞ = 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n L Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término. Entonces 2 1 1 + − = n Sn , por tanto 1 2 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∞ → ∞ → n lím S lím n n n La serie es convergente 108
- 269. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejercicios Propuestos 6.1 1.Encuentre la serie infinita que es la secuencia indicada de suma parcial. Si la serie es convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar , sabiendo que ) n a n n n a S S + = −1 a) { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = n n S 2 1 b) { } ( ) { } 1 2 ln + = n Sn 2.Encuentre y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma: n S a) ( ) ∑ +∞ = + 1 1 1 n n n b) n n ∑ +∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 2 5 c) ( )( ) ∑ +∞ = + − 1 2 3 1 3 1 n n n d) ∑ +∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 3 4 2 1 n n n e) ( )( ) ∑ +∞ = + + 1 3 2 1 n n n 6.1.5 CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA TEOREMA Si la serie converge entonces ∑ n a 0 lim = ∞ → n n a Es decir si entonces la serie 0 lim ≠ ∞ → n n a ∑ n a diverge Ejemplo La serie ∑ ∞ = + 1 1 n n n es divergente debido a que 1 1 = + ∞ → n n lím n Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que 0 lim = ∞ → n n a es una condición necesaria pero no suficiente. 109
- 270. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo. La serie ∑ ∞ =1 1 n n , llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante), sin embargo 0 1 = ∞ → n lím n 6.1.6 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES. Si y ∑ convergen y si ∑ n a n b C es una constante, entonces también convergen ∑ n Ca y ( ) ∑ ± n n b a y además 1. ∑ ∑ = n n a C Ca 2. ( ) ∑ ∑ ∑ ± = ± n n n n b a b a 6.1.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE Si diverge y ∑ n a C es una constate diferente de cero, entonces la serie ∑ n a C también diverge. 110
- 271. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6. 2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS TEOREMA Una serie ∑ de términos no negativos converge si y n a sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba. 6.2.1 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 6.2.1.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [ ) ∞ , 1 y suponga que ( ) n f an = para todo entero positivo . Entonces la seria ∑ n ∞ =1 n n a converge si y sólo si la integral impropia ∫ ∞ 1 ) ( dx x f converge. Ejemplo 1 Determine si la SERIE ARMÓNICA ∑ ∞ =1 1 n n converge o diverge SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes. [ ] ∞ = = = = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ ∫ ∫ N lím x lím x lím x n N n N n ln ln 1 1 1 1 1 Por tanto la serie diverge. 111
- 272. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 2. Sea la serie “p” ∑ ∞ =1 1 n P n , determine para qué valores de “ ” converge y para que p valores diverge. SOLUCIÓN: Analizando la integral ∫ ∫ ∞ → ∞ = N P n P x lím x 1 1 1 1 Si 1 = P , tenemos la serie armónica, que es divergente Si , la integración es diferente 1 ≠ p ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − ∞ → + − + − ∞ → + − ∞ → ∞ → ∫ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P N lím p p N lím p x lím x lím P n P P n N P n N P n Ahora, si 1 P , 1 1 1 1 1 0 1 − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ∞ − p P P P 3 2 1 , la integral converge Si 1 P , ∞ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ∞ ∞ − 1 1 1 1 P P P 3 2 1 la integral diverge En conclusión, la serie ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − = ∑ ∞ = diverge P Si p a converge P Si n n P 1 1 1 1 1 1 Ejemplo 3 Determine si la serie ∑ ∞ =2 ln 1 n n n converge o diverge. SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral ( ) ( ) [ ] ∞ = − = ∫ ∞ ∞ → 2 ln ln ln ln ln 1 2 N lím x x x Por tanto diverge Ejercicios propuestos 6.2 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica 1) ( ) ∑ +∞ =2 2 ln 1 n n n 2) ∑ 3) +∞ = − 1 n n ne ( ) ( ) ∑ +∞ = + + 1 1 ln 1 1 n n n 112
- 273. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6.2.1.2 CRITERIO DE COMPARACIÓN ORDINARIA Suponga que n n b a ≤ ≤ 0 para N n ≥ Si ∑ converge, entonces n b ∑ n a converge. Si diverge, entonces ∑ n a ∑ n b diverge Ejemplo. Determine si la serie ∑ ∞ = − 1 2 1 2 n n n converge o diverge. SOLUCIÓN: Empleando el criterio de comparación. Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador: ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = = 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n Resulta una serie divergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie dada sea divergente. (Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio). Se observa que 2 2 2 1 2 n n n n − para 1 ≥ ∀n . Por tanto se concluye que la serie dada es divergente. Note que también se puede aplicar el criterio de la integral. Ejemplo 2 Determine si la serie ( ) ∑ ∞ = + 1 1 3 n n n n converge o diverge. SOLUCIÓN: Utilicemos la serie ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 3 1 3 n n n n n n . Esta serie es geométrica convergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser menores que los de esta serie, para que la serie dada sea convergente. Observamos que: ( ) n n n n n n 3 1 3 + . Por tanto la serie dada es convergente. 113
- 274. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6.2.1.3 CRITERIO DE COMPARACIÓN DE LÍMITE. Suponga que , y que 0 ≥ a 0 n b L b a n n n = ∞ → lim Si ∞ L 0 entonces ∑ n a y ∑ n b convergen o divergen juntas. Si 0 = L y ∑ converge entonces n b ∑ n a converge. Ejemplo 1 Determine si la serie ∑ ∞ = + − − 1 2 3 11 2 2 3 n n n n converge o diverge. Solución: Igual que el criterio anterior busquemos una serie de trabajo. ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 2 1 3 1 3 3 n n n n n tenemos una serie convergente ¿por qué? Obtenemos ahora 1 11 6 3 2 3 lim 3 11 2 2 3 lim 2 3 2 3 2 2 3 = + − − = + − − ∞ → ∞ → n n n n n n n n n n Por tanto la serie dada es también convergente. Ejemplo 2 Determine si la serie ∑ ∞ = + 1 2 1 n n n converge o diverge. Solución: Nuestra serie de trabajo seria ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 2 1 1 n n n n La serie armónica (divergente) Entonces: 1 lim 1 1 1 lim 2 2 = + = + ∞ → ∞ → n n n n n n n Por tanto serie dada también es divergente. 114
- 275. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6.2.1.4 CRITERIO DEL COCIENTE Sea ∑ una serie de términos positivos y suponga que n a L a a lím n n n = + ∞ → 1 Si la serie converge. 1 L Si la serie Diverge. 1 L Si no se puede concluir. 1 = L Ejemplo 1 Determine si la serie ∑ ∞ =1 ! 2 n n n converge o diverge. SOLUCIÓN: En este caso ! 2 n a n n = entonces ( ) ( ) ( ) ! 1 2 2 ! 1 2 1 1 n n n a n n n + = + = + + Luego ( ) ( ) 0 1 2 ! 2 ! 1 2 2 1 = + = + = ∞ → ∞ → + ∞ → n lím n n n lím a a lím n n n n n n n El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente. Ejemplo 2 Determine si la serie ∑ ∞ =1 30 3 n n n converge o diverge. SOLUCIÓN: En este caso 30 3 n a n n = entonces ( ) ( ) ( )30 30 1 1 1 3 3 1 3 + = + = + + n n a n n n Ahora 115
- 276. MOISES VILLENA Cap.6 Series ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 3 1 3 3 30 30 30 30 30 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + = ∞ → ∞ → ∞ → + ∞ → n n lím n n lím n n lím a a lím n n n n n n n n El resultado es un número mayor que, por tanto la serie es divergente. Ejemplo 3 Determine si la serie ∑ ∞ =1 ! n n n n converge o diverge. SOLUCIÓN: En este caso n n n n a ! = entonces ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n n n n n n n n n n a 1 ! 1 1 ! 1 1 ! 1 1 1 + = + + + = + + = + + Ahora ( ) e n lím n n n n n lím n n lím n n n n lím a a lím n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 ! 1 ! 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → + ∞ → El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente. Ejercicios propuestos 6.3 Determine la convergencia o divergencia de las series: a) ( ) ∑ +∞ = + 1 2 1 1 n n b) ∑ +∞ = + 1 2 1 1 n n c) ∑ +∞ = + 1 2 1 n n senn d) ∑ +∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 cos n n π e) ∑ +∞ = + 1 1 n n n f) ∑ +∞ =1 ! 20 n n n h) ∑ +∞ =1 ! n n n n i) ( ) ( ) ∑ +∞ = + + 1 2 ! 2 1 n n n j) ( ) ∑ +∞ = + 1 2 ! 3 ! n n n n 116
- 277. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6. 3. SERIES ALTERNANTES Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos alternados, es decir series de la forma o también ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 1 n n n a ( ) ∑ ∞ = − 1 1 n n n a TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES Una serie alternante con . Si 0 1 ≥ + n n a a 0 = ∞ → n n a lím entonces la serie converge. Ejemplo 1 Sea la serie ( ) L + − + − = − ∑ ∞ = + 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n Determine si es convergente o divergente. SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes. Comparamos n an 1 = con 1 1 1 + = + n an . Se observa que: n n 1 1 1 + los términos son decrecientes. Segundo, veamos si 0 = ∞ → n n a lím Se observa que: 0 1 = ∞ → n lím n Por tanto la serie armónica alternante es convergente. Ejemplo 2 Sea la serie ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 2 1 1 n n n Determine si es convergente o divergente. SOLUCIÓN. Primero. En este caso n n a 2 1 = y 1 1 2 1 + + = n n a Se observa que ( ) n n 2 1 2 2 1 los términos son decrecientes. 117
- 278. MOISES VILLENA Cap.6 Series Segundo. 0 2 1 = ∞ → n n lím Por tanto la serie es convergente. A continuación analicemos el teorema TEOREMA Si ∑ n a converge, entonces ∑ n a también converge. Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge. 6.3.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA. DEFINICIÓN. Una serie converge absolutamente si ∑ n a ∑ n a converge Ejemplo La serie ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 2 1 1 n n n es absolutamente convergente, debido a que ∑ ∞ =1 2 1 n n es convergente DEFINICIÓN. Una serie es condicionalmente convergente si ∑ n a ∑ n a converge y ∑ n a diverge. Ejemplo La serie ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 1 1 n n n es condicionalmente convergente, debido a que ∑ ∞ =1 1 n n es divergente, mientras que ella es convergente. 118
- 279. MOISES VILLENA Cap.6 Series Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales. 6.3.2 CRITERIO DEL COCIENTE ABSOLUTO. Sea una serie de términos no nulos y suponga ∑ n a que L a a lím n n n = + ∞ → 1 . Si la serie converge absolutamente. 1 L Si la serie diverge. 1 L Si no se concluye. 1 = L Ejemplo Muestre que la serie ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 ! 3 1 n n n n es absolutamente convergente. SOLUCIÓN: Aplicando el criterio del cociente tenemos: ( ) ( ) 0 1 3 3 ! ! 1 3 3 ! 3 ! 1 3 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ∞ → ∞ → + ∞ → + ∞ → n lím n n n lím n n lím a a lím n n n n n n n n n n Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. 6.3.3 CRITERIO DE LA RAÍZ. Sea ∑ una serie infinita y suponga que n a L a límn n n = ∞ → . Si la serie converge absolutamente. 1 L Si o la serie diverge. 1 L ∞ = L Si no se concluye. 1 = L 119
- 280. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 1 Analice la serie ( ) ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 3 1 n n n n n . SOLUCIÓN: Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz. 0 3 3 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 = = = = + ∞ → + ∞ → + ∞ → ∞ → n lím n lím n lím a lím n n n n n n n n n n n n n n Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. Ejemplo 2 Analice la serie ( ) [ ] ∑ ∞ = + 1 1 ln 1 n n n . Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz. ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 = ∞ = + = + = + = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → n lím n lím n lím a lím n n n n n n n n n n Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. Ejercicios Propuestos 6.4 Determine la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de las siguientes series numérica: a. ( ) ( ) ∑ +∞ = − + − 1 1 4 3 1 1 1 n n n b. ( ) ∑ +∞ = − 1 ! 1 n n n n c. ( ) ( ) ∑ +∞ = + + − 1 1 2 ! 1 2 5 1 n n n n d. ( ) ∑ +∞ = − − 1 3 1 2 1 n n n n n e. ( ) ∑ +∞ = − 1 1 ln 1 n n n f. L + • + • + • + • 8 7 1 6 5 1 4 3 1 2 1 1 120
- 281. MOISES VILLENA Cap.6 Series 6. 4. SERIES DE POTENCIAS Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos. 6.4.1 DEFINICIÓN. Una serie de potencia en “ x” tiene la forma: L + + + + = ∑ ∞ = 3 3 2 2 1 0 0 x a x a x a a x a n n n Una serie de potencia en “ 0 x x − ” tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) L + − + − + − + = − ∑ ∞ = 3 0 3 2 0 2 0 1 0 0 0 x x a x x a x x a a x x a n n n Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente. 6.4.2 INTERVALO DE CONVERGENCIA. Empleando el criterio del cociente absoluto para que la serie ∑ ∞ =0 n n n x a sea convergente tenemos: 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + + ∞ → n n n n n n n n n n n n n n n n a a x x a a x a x x a x a x a Ahora, suponga que L a a n n n = + ∞ → 1 lim entonces tenemos: 121
- 282. MOISES VILLENA Cap.6 Series L x L L x L x 1 1 1 1 − A L R 1 = se lo llama Radio de Convergencia. Si 0 = L entonces ∞ = = = 0 1 1 L R (el radio de convergencia es infinito), es decir la serie converge para todo número real. Si ∞ = L entonces 0 1 = ∞ = R (el radio de convergencia es cero) Ejemplo 1 Determine el intervalo de convergencia para ∑ ∞ =0 n n ax . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente para que sea convergente: 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 − ∞ → + ∞ → + + ∞ → x x x ax ax x a x a n n n n n n n n n Se requiere además determinar la convergencia o divergencia en los puntos extremos. En este caso: Si 1 − = x , tenemos una serie no convergente ¿porqué? ( ) ∑ ∞ = − 0 1 n n a Si 1 = x , tenemos una serie no convergente. ¿porqué? ( ) ∑ ∞ =0 1 n n a Finalmente el intervalo de convergencia para la serie dada es: 1 1 − x Observe que se la puede observar como una serie geométrica de razón x . 122
- 283. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 2 Determine el intervalo de convergencia para ( ) ∑ ∞ = + 0 2 1 n n n n x . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 1 lim 1 2 1 2 2 lim 1 lim 1 1 1 1 − + + + • + ∞ → + + ∞ → + + ∞ → x x n n x x n n x x a x a n n n n n n n n n n n En los puntos extremos: Si 2 − = x , tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = + − = + − = + − 0 0 0 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 n n n n n n n n n n n n una serie alternante convergente ¿Por qué?. Si 2 = x , tenemos ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = + = + 0 0 1 1 2 1 2 n n n n n n una serie divergente ¿Porqué? Finalmente, el intervalo de convergencia sería 2 2 ≤ − x Ejemplo 3 Determine el intervalo de convergencia para ∑ ∞ =0 ! n n n x . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente ( ) ( ) 1 0 1 1 1 lim 1 ! 1 ! lim 1 ! ! 1 lim 1 lim 1 1 1 + + • + ∞ → ∞ → + ∞ → + + ∞ → x n x n n n x x n n x x a x a n n n n n n n n n n 123
- 284. MOISES VILLENA Cap.6 Series Entonces, la serie es convergente para R x ∈ (para todo x ) Ejemplo 4 Determine el intervalo de convergencia para ∑ ∞ =0 ! n n x n . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim 1 ! ! 1 lim 1 ! ! 1 lim 1 lim 1 1 1 ∞ + + + ∞ → ∞ → + ∞ → + + ∞ → x n x n n n x x n x n x a x a n n n n n n n n n n Veamos para 0 = x , , tenemos una serie convergente. 0 0 ! 0 = ∑ ∞ = n n n Finalmente la serie dado converge sólo para 0 = x . Ejemplo 5 Determine el intervalo de convergencia para ( ) ∑ ∞ = − 0 1 n n x n . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente ( )( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 1 − − − + − + − − − + ∞ → ∞ → + ∞ → + + ∞ → x x x n n x n n x x n x n x a x a n n n n n n n n n n 124
- 285. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ahora, en 0 = x , tenemos una serie no convergente. ( ) ∑ ∞ = − 0 1 0 n n n En 2 = x , , una serie no convergente. ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = = − 0 0 1 1 2 n n n n n n Por tanto la serie converge para ( ) 2 , 0 ∈ x Ejercicios propuestos 6.5 Determine el intervalo de convergencia para: a) ( ) ( ) ∑ +∞ = − − − 1 1 2 1 ! 1 2 1 n n n n x b) ( ) ∑ +∞ = − 1 ! 1 n n n x c) ∑ +∞ =1 ! n n n n x n d) ( ) ∑ +∞ =2 ln n n n x e) ( ) ( ) ∑ ∞ + ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n n n n x ln 3 2 6.4.3 SERIE DE TAYLOR Una serie de potencia particular es la serie de Taylor. Suponga que: ( ) ( ) ( ) ( ) L + − + − + − + = − = ∑ ∞ = 3 0 3 2 0 2 0 1 0 0 0 ) ( x x a x x a x x a a x x a x f n n n Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f Evaluando en 0 x x = [ ] [ ] [ ] [ n n x x a x x a x x a x x a a x f 0 0 3 0 0 3 2 0 0 2 0 0 1 0 0 ) ( − + + − + − + − + = L ] Obtenemos: ) ( 0 0 x f a = Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en 0 x x = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 2 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 2 0 3 0 2 1 3 2 ) ´( 3 2 ) ´( − − − + + − + − + = − + + − + − + = n n n n x x na x x a x x a a x f x x na x x a x x a a x f L L Entonces: ) ´( 0 1 x f a = Obteniendo la segunda derivada y evaluando en 0 x x = 125
- 286. MOISES VILLENA Cap.6 Series ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] 2 0 2 0 0 0 0 3 2 0 2 0 0 3 2 2 ) ´´( 1 2 3 2 ) ´´( 1 2 3 2 ) ´´( a x f x x a n n x x a a x f x x a n n x x a a x f n n n n = − − + + − + = − − + + − + = − − L L De la última expresión, se tiene 2 ) ´´( 0 2 x f a = Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en 0 x x = ( )( ) ( )( )( ) [ ] ( )( ) ( )( )( ) [ ] ( )( ) 3 0 3 0 0 3 0 3 0 3 2 3 ) ´´´( 2 1 2 3 ) ´´´( 2 1 2 3 ) ´´´( a x f x x a n n n a x f x x a n n n a x f n n n n = − − − + + = − − − + + = − − L L De la última expresión, se tiene ! 3 ) ´´´( 0 3 x f a = Por lo tanto: [ ] [ ] [ ] [ ] ∑ ∞ = − = + − + − + − ′ + = 0 0 0 3 0 0 ´´´ 2 0 0 ´´ 0 0 0 ! ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( n n n x x n x f x f x x x f x x x f x x x f x f x f L Si 0 0 = x se llama Serie de Maclaurin, es decir: [ ] L + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ + = = ∑ ∞ = 3 2 0 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ! ) 0 ( ) ( x f x f x f f x n f x f n n n Ejemplo 1 Hallar la serie de Taylor para x e x f = ) ( , alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x x x e x f e x f e x f e x f = ′ ′ ′ = ′ ′ = ′ = ) ( ) ( ) ( ) ( ⇒ 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( = ′ ′ ′ = ′ ′ = ′ = f f f f Luego, reemplazando en: L + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ + = 3 2 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f x f x f f x f Resulta ∑ ∞ = = + + + + + = 0 4 3 2 ! ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 n n x n x x x x x e L 126
- 287. MOISES VILLENA Cap.6 Series ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! Observe que podemos tener una buena aproximación de utilizando la serie: 1 . 0 e 10517 . 1 ) 1 . 0 ( 6 1 ) 1 . 0 ( 2 1 1 . 0 1 1 . 0 3 2 1 . 0 ≈ + + + ≈ e e Ejemplo 2 Hallar la serie de Taylor para x e x f − = ) ( alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Empleando la serie anteriormente encontrada: ∑ ∞ = = 0 ! n n x n x e Sería cuestión de reemplazar x − por x , es decir: ( ) ( ) L L + + − + − = + − + − + − + − + = − = − = − ∞ = ∞ = − ∑ ∑ 4 3 2 4 3 2 0 0 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! 1 ! x x x x e x x x x n x n x e x n n n n n x Ejemplo 3 Hallar la serie de Taylor para 2 ) ( x e x f = alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar por 2 x x , es decir: ( ) L L + + + + + = + + + + + = = = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 8 6 4 2 4 2 3 2 2 2 2 0 2 0 2 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 1 ! ! 2 2 x x x x e x x x x n x n x e x n n n n x 127
- 288. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 4 Hallar la serie de Taylor para x x f sen ) ( = alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f x x f V IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( = = − = ′ ′ ′ / − = ′ ′ = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( = = − = ′ ′ ′ = ′ ′ = ′ = V IV f f f f f f Luego, reemplazando en: L + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ + = 3 2 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f x f x f f x f Se obtiene: ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − = + − + − = + + + − + + = 0 1 2 7 5 3 5 3 ! 1 2 1 ! 7 1 ! 5 1 ! 3 1 ! 5 1 0 ! 3 1 0 0 n n n n x x x x x senx x x x senx L L ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! Ejemplo 5 Hallar la serie de Taylor para x x f cos ) ( = alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( = = ′ ′ ′ / − = ′ ′ − = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( = = ′ ′ ′ − = ′ ′ = ′ = IV f f f f f Luego, reemplazando en: L + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ + = 3 2 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f x f x f f x f Se obtiene: ( ) ( ) ∑ ∞ = − = + − + − = + + + − + + = 0 2 6 4 2 4 3 2 ! 2 1 ! 6 1 ! 4 1 2 1 1 cos ! 4 1 ! 3 0 ! 2 ) 1 ( 0 1 cos n n n n x x x x x x x x x x L L ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! 128
- 289. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 6 Hallar la serie de de Taylor para ix e x f = ) ( alrededor de 0 0 = x SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar por ix x , en la serie de es decir: x e x f = ) ( ( ) ( ) 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L L L L senx x n n n n n ix x x x i x x ix x ix x ix x i x i x i x i ix ix ix ix ix ix n x i n ix e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = + + + − − + = + + + + + + = + + + + + + = = = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 5 3 cos 4 2 5 4 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 0 0 ! 5 1 ! 3 1 ! 4 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 5 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! ! Recuerde que: ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 2 4 2 3 2 = − − = = − = − = = − = i i i i i i i i i Por lo tanto, se concluye que x i x eix sen cos + = Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER 6.4.4 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia. Ejemplo 1 Obtener la serie de x x f cos ) ( = a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: La serie del seno es: ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − = 0 1 2 ! 1 2 1 n n n n x senx Derivándola se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = − + ∞ = + − = + + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = = 0 2 0 1 1 2 0 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 1 2 1 ! 1 2 1 cos n n n n n n n n n x x n x n n x n n x D senx D x 129
- 290. MOISES VILLENA Cap.6 Series Ejemplo 2. a) Encuentre una serie de potencia para x x f + = 1 1 ) ( La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1y razón x r − = entonces: ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = − = − = + = 0 0 1 1 1 ) ( n n n n n x x x x f b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de ( ) 1 ln ) ( + = x x f Integrando ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ ∑ ∫ ∞ = + ∞ = + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = + = + = 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ln ) ( n n n n n n n x x dx x x x f c) Determine su intervalo de convergencia. Aplicando el criterio 1 1 1 1 2 1 lim 1 1 2 lim 1 2 − + + + + ∞ → + + ∞ → x x n n x x n n x n n n n Si 1 − = x , tenemos ( ) ( ) ( ) L − − − − − = + − = + − − ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 n n n n n n n una serie divergente. ¿por qué? Si 1 = x tenemos ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + − = + − 0 0 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n una serie alternante convergente. Por tanto su intervalo de convergencia es ( ] 1 , 1 − ∈ x Ejercicios Propuestos. 6.6 1. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para ) tan( ) ( x x f = alrededor de 0 0 = x . b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para . ) ( sec ) ( 2 x x g = c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para )) ln(cos( ) ( x x h = . 2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para x x f ln ) ( = alrededor de 1 0 = x . b) Determine su intervalo de convergencia. 3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x y analice su convergencia: 130
- 291. MOISES VILLENA Cap.6 Series a. ) 1 ln( ) ( + = x x f b. ∫ − = dx e x f x2 ) ( c. ) 1 ln( ) ( 2 + = x x x f d. arctgx x f = ) ( e. xarctgx x f = ) ( f. ∫ = dx x senx x f ) ( g. 2 1 ) ( x x x f + = h. 2 3 cos ) ( x x x f = i. 2 ) ( x x e e x f − + = 4. Calcular usando series de potencias: a. dx e x ∫ − 1 0 2 b. dx senx ex ∫ 2 0 π c. dx x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 0 | 1 cosh d. dx x sen ∫ 2 1 0 e. dx arctgx ∫ 2 1 0 2 f. dx x xsenh ∫ 1 0 5. Considere la función ) arctan( ) ( x x f = a. Determine una representación para en series de potencias de f x y especifique su intervalo de convergencia. b. A partir de la serie obtenida aproxime el valor de π . Utilice los cincos primeros términos de la serie. 6. Considere la función 2 ) ( x xe x f − = a. Determine una representación para en series de potencia de f x . b. Diferencie término a término la serie ontenida y a partir de este resultado demuestre que ( ) 1 ! 2 1 2 1 1 1 = + − ∑ +∞ = + n n n n n . 7. Utilice la Serie Binomial ( ) L + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 3 2 3 2 1 1 1 x p x p x p x p para calcular la serie de 4 1 x + 131
- 292. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales definidas aplicando teoremas y propiedades 3.1 DEFINICIÓN 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA 3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD 3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL 3 43
- 293. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida 3.1 DEFINICIÓN Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva ) (x f y = . El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta problemática. Dividiendo la región en rectángulos. Observe la figura: n Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería 1 1 1 ) ( x x f A ∆ = , el área del segundo rectángulo sería 2 2 2 ) ( x x f A ∆ = ; y así , el área del n-ésimo rectángulo sería n n n x x f A ∆ = ) ( . n x 44
- 294. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Observe que si tomamos 1 1 x x = , 2 2 x x = , 3 3 x x = , …, i i x x = , se tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 0 1 x x = , 1 2 x x = , 2 3 x x = , …, 1 − = i i x x se tendrían rectángulos inscritos. La suma de las áreas de los rectángulos sería: n ( ) ( ) ( ) ( ) n n x x f x x f x x f x x f ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ K 3 3 2 2 1 1 Que de manera abreviada tenemos: ( ) ∑ = ∆ n i i i x x f 1 Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ = ∑ = ∞ → n i i i n x x f lím A 1 De aquí surge la definición de Integral Definida. Sea f una función que está definida en el intervalo [ ]. b a, Al ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∑ = ∞ → n i i i n x x f 1 lím se le denomina la integral definida (o integral de Riemann) de f de a b y se denota de la a siguiente manera: . ∫ b a dx x f ) ( Además, si existe este límite decimos que f es integrable en [ ]. b a, Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable. 45
- 295. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Si f es acotada en [ ] b a, y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [ ] b a, . En particular si f es continua en todo [ ] b a, entonces es integrable en [ ] b a, Ejemplo Hallar el área bajo la curva 2 ) ( x x f = en [ ] 3 , 1 SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene: ] ) ( ) ( ) ( ) ( [ lím ) ( lím 3 3 2 2 1 1 1 n n n i n i i n x x f x x f x x f x x f x x f A ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ = ∆ = ∑ = ∞ → ∞ → K PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos 1 1 x x = , 2 2 x x = , 3 3 x x = , …, i i x x = Representando la región, tenemos: 0 x 1 x 2 x n x { x ∆ { x ∆ { x ∆ 2 x y = Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos n n n a b x 2 1 3 = − = − = ∆ y 46
- 296. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida 1 0 = = a x n x x x 2 1 0 1 + = ∆ + = n n x x x x x 4 1 2 2 1 2 0 1 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∆ + = ∆ + = , n n x x x x x 6 1 2 3 1 3 0 2 3 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∆ + = ∆ + = M ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∆ + = ∆ + = n i x i x i x xi 2 1 1 0 Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 26 3 4 3 8 8 6 3 2 2 3 4 2 3 2 3 2 6 4 2 3 2 3 ) 1 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 6 ) 1 2 )( 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 2 4 4 1 2 4 4 1 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → = = = ∞ → = ∞ → = ∞ → = ∞ → ∞ → ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ A n n lím n n n n lím n n n n n lím n n n n n n lím n n n n n n n n n lím i n i n n lím n i n i n lím n n i lím x x f lím x x f x x f x x f x x f lím A n n n n n n i n i n i n n i n n i n n i i n n n L SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos 0 1 x x = , 1 2 x x = , 2 3 x x = , …, 1 − = i i x x Representando la región, tenemos: 47
- 297. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Ahora, igual que el método anterior: 0 x 1 x 2 x n x { x ∆ { x ∆ { x ∆ 2 x y = 1 − n x n x 2 = ∆ y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n i xi 2 1 Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 26 3 4 3 8 10 6 3 2 2 3 4 3 3 2 3 2 6 4 3 3 2 3 ) 1 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 6 1 1 2 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 0 2 1 0 1 2 1 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → = = − = ∞ → − = ∞ → − = ∞ → − = ∞ → − ∞ → ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ A n n lím n n n n lím n n n n n lím n n n n n n lím n n n n n n n n n lím i n i n n lím n i n i n lím n n i lím x x f lím x x f x x f x x f x x f lím A n n n n n n i n i n i n n i n n i n n i i n n n L 48
- 298. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular integrales definidas empleando su definición. 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua en [ ] b a, y sea cualquier F antiderivada de f en [ ] b a, entonces: ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f b a − = ∫ Demostración: En la expresión , haciendo ) ( ) ( a F b F − n x b = y 0 x a = tenemos: ) ( ) ( ) ( ) ( 0 x F x F a F b F n − = − Restando y sumando términos, resulta: [ ] [ ] [ [ ] ∑ = − − − − − − = − + − − + − + − = − = − n i i i n n n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F 1 1 0 1 1 2 2 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K ] Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a en el intervalo F [ ] i i x x , 1 − Como es continua y diferenciable en F [ ] i i x x , 1 − entonces i x ∃ tal que ( ) 1 1 ) ( ) ´( − − − − = i i i i i x x x F x F x F Como ) ( ) ´( i i x f x F = y i i i x x x ∆ = − −1 entonces: ( ) i i i i x x F x F x f ∆ − = −1 ) ( ) ( Despejando resulta: ( ) i i i i x x f x F x F ∆ = − − ) ( ) ( 1 . 49
- 299. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Reemplazando en tenemos: [ ] ∑ = − − = − n i i i x F x F a F b F 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ∑ = ∆ = − n i i i x x f a F b F 1 ) ( ) ( ) ( Tomando límite queda: [ ] ∫ ∑ ∑ = ∆ = − ∆ = − = ∞ → = ∞ → ∞ → b a n i i i n n i i i n n dx x f x x f a F b F x x f a F b F ) ( ) ( lím ) ( ) ( ) ( lím ) ( ) ( lím 1 1 La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de en [ ]. f b a, Por tanto L.Q.Q.D. ∫ = − b a dx x f a F b F ) ( ) ( ) ( Ejemplo Hallar el área bajo la curva en 2 x y = [ ] 3 , 1 SOLUCIÓN: El área bajo la curva estará dada por , aplicando el teorema fundamental del calculo dx x A ∫ = 3 1 2 3 26 3 1 3 27 3 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 2 = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ∫ C C C x dx x A Hemos dado solución a una gran problemática. Observe que 0 ) ( = ∫ a a dx x f y ∫ ∫ − = a b b a dx x f dx x f ) ( ) ( ¿Porqué? 50
- 300. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD Suponga que f y g son integrables en el intervalo [ b a, ] y sea R k ∈ , entonces: 1. [ ] [ ] [ ∫ ∫ ∫ ± = ± b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ] 2. ∫ ∫ = b a b a dx x f k dx x kf ) ( ) ( 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c (no importar su orden), entonces: ∫ ∫ ∫ + = b c c a b a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo: ∫ ∫ ∫ = − = − + − = + b a b c c a dx x f a F b F c F b F a F c F dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( PREGUNTA: ¿Verdadero o falso? ∫ ∫ ∫ + = 3 5 2 5 1 2 3 1 2 dx x dx x dx x 51
- 301. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Ejemplo 1 Calcular ∫ donde 5 1 ) ( dx x f ⎩ ⎨ ⎧ + − ≥ − = 3 ; 1 3 3 ; 1 2 ) ( 2 x x x x x x f SOLUCIÓN: Como tiene dos reglas de correspondencia, es decir: f Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( [ ] ) 3 38 3 9 5 25 1 2 3 3 1 3 2 27 9 2 2 2 3 3 1 2 1 3 ) ( 5 3 2 3 1 2 3 5 3 3 1 2 5 1 = − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − + + − = ∫ ∫ ∫ x x x x x dx x dx x x dx x f Ejemplo 2 Calcular ∫ − − − 4 2 2 1 dx x SOLUCIÓN: Para obtener las reglas de correspondencia que definen a , obtenemos la gráfica de f 2 1 − − = x y Entonces: 52
- 302. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 9 2 9 12 8 3 2 1 9 2 9 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 3 3 1 1 2 1 4 3 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 4 3 3 1 1 1 1 2 4 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − + + − + + + − − = − − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x x dx x dx x dx x dx x dx x 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN Si f y g son integrables en [ ] b a, y si ) ( ) ( x g x f ≤ , [ b a x , ∈ ∀ ]; entonces: dx x g dx x f b a b a ∫ ∫ ≤ ) ( ) ( 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO Si f es integrable en [ ] b a, y si M x f m ≤ ≤ ) ( , [ ] b a x , ∈ ∀ ; entonces: ( ) ) ( ) ( a b M dx x f a b m b a − ≤ ≤ − ∫ 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN Supóngase que g tiene una derivada continua en [ ] b a, y sea f continua en el rango de g . Entonces: donde ∫ ∫ = = = = = ) ( ) ( ) ( ) ´( )) ( ( b g t a g t b x a x dt t f dx x g x g f ) (x g t = Ejemplo Calcular ∫ π π 4 9 2 2 cos dx x x SOLUCIÓN: 53
- 303. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Tomando el cambio de variable x t = entonces tenemos dt x dx 2 = , y para los límites de integración ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = = ⇒ = π π π π 3 9 2 4 2 2 t x t x por tanto la integral en términos de t sería: ( ) 3 2 2 3 2 1 2 sen 2 sen 2 sen 2 cos 2 2 cos 3 2 2 3 2 3 2 3 − = − = − = = = π π π π π π π π ∫ ∫ t tdt dt x x t Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?. 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA 1. Si es una función PAR entonces: f dx x f dx x f a a a ) ( 2 ) ( 0 ∫ ∫ = − 2. Si es una función IMPAR entonces: f 0 ) ( = ∫ − dx x f a a Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice. DEMOSTRACIÓN Aplicando la propiedad de aditividad dx x f dx x f dx x f a a a a ) ( ) ( ) ( 0 0 ∫ ∫ ∫ + = − − Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución: Si tomamos el cambio de variable x t − = entonces dx dt − = y para los límites de integración . Sustituyendo resulta ⎩ ⎨ ⎧ = ⇒ − = = ⇒ = a t a x t x 0 0 [ ] ∫ ∫ − − = − − 0 0 ) ( ) ( a a dt t f dt t f 54
- 304. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Por hipótesis es una función par, por tanto se cumple que y además si invertimos los límites de integración, tenemos: f ) ( ) ( t f t f = − ∫ ∫ = − − a a dt t f dt t f 0 0 ) ( ) ( la última integral si x t = queda [ ] ∫ ∫ = − − a a dx x f dt t f 0 0 ) ( ) ( Finalmente L.Q.Q.D. dx x f dx x f dx x f dx x f a a a a a ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 ∫ ∫ ∫ ∫ = + = − Ejemplo Calcular dx x x ∫ − + 5 5 2 5 4 SOLUCIÓN: Obtengamos primero ) ( x f − para 4 ) ( 2 5 + = x x x f . 4 4 ) ( ) ( ) ( 2 5 2 5 + − = + − − = − x x x x x f Observe ) ( ) ( x f x f − = − , por tanto es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente concluimos que: f 0 4 5 5 2 5 = + ∫ − dx x x 3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD Si f es periódica con período T , entonces: ∫ ∫ = + + b a T b T a dx x f dx x f ) ( ) ( DEMOSTRACIÓN En la integral , haciendo cambio de variable ∫ + + T b T a dx x f ) ( T x t − = . 55
- 305. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Del cambio de variable se obtiene T t x + = , dt dx = y los límites para la nueva variable son: ⎩ ⎨ ⎧ = ⇒ + = = ⇒ + = a t T a x b t T b x Reemplazando, resulta: y como, por hipótesis, es una función periódica se cumple que ∫ ∫ + = + + b a T b T a dt T t f dx x f ) ( ) ( f ) ( ) ( t f T t f = + , entonces ∫ ∫ = + b a b a dt t f dt T t f ) ( ) ( Que finalmente, si x t = quedaría L.Q.Q.D. ∫ ∫ = + + b a T b T a dx x f dx x f ) ( ) ( 3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo. Sea f continua en [ ] b a, y sea x un punto variable de . Entonces: ) , ( b a ) ( ) ( x f dt t f dx d x a = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ Ejemplo 1 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ x x dt t t D 2 2 2 3 17 SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que: 17 17 2 2 3 2 2 2 3 + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ x x dt t t D x x 56
- 306. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Ejemplo 2 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ 2 2 2 3 17 x x dt t t D SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que: 17 17 2 2 3 2 2 2 3 + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ∫ x x dt t t D x x La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera: [ ] dx du u f dt t f dx d x u a ) ( ) ( ) ( = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ Ejemplo 3 Calcular ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ 3 2 2 2 3 17 x x dt t t D SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que: ( ) ( ) ( ) 17 3 3 17 17 6 2 13 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 3 + = + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ x x x x x dt t t D x x Ejemplo 4 Calcular ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ 3 2 17 2 2 3 x x x dt t t D SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 17 17 17 x x x x x x dt t t dt t t D dt t t D Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta: 57
- 307. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3 ( 17 ) 2 ( 17 17 17 17 17 17 17 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 2 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 0 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 x x x x x x dt t t D dt t t D dt t t D dt t t D dt t t dt t t D x x x x x x x x x x x + + + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ FINALMENTE: 17 2 17 3 17 4 4 6 2 13 2 2 3 3 2 + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ x x x x dt t t D x x x Ejemplo 5 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ x x xtdt D 1 SOLUCIÓN: Observe que por tanto: ∫ ∫ = x x tdt x xtdt 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 − = + − = + = • + • = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ • + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ • = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ • = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x t x x tdt tdt D x tdt x D tdt x D xtdt D x x x x x x x x x x 58
- 308. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Ejemplo 6 Calcular x dt t x x ∫ − → 0 2 0 1 lím SOLUCIÓN: La expresión presenta una indeterminación de la forma: 0 0 Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos: [ ] 1 1 0 1 1 1 lím 1 lím 2 2 0 0 2 0 = − = − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − → → ∫ x x D dt t D x x x x x Ejercicios Propuestos 3.1 1. Calcular a. si ( ) , 3 2 ∫ − dx x f ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − ≤ ≤ − = 3 1 , 2 1 1 2 , 2 2 x x x x x f b. ∫ − 4 0 1 dx x c. ∫ − − 4 2 1 3 dx x d. ( )dx x x ∫ − − + − 4 2 2 1 3 e. dx x ∫ − − − 5 2 2 1 f. ∫ 10 0 dx x g. [ ] ( ) ∫ − 4 0 dx x x h. ∫ 4 9 2 2 cos π π dx x x i. ( ) ∫ + + + 1 0 2 2 1 4 2 dx x x x j. ( ) [ ] ∫ − + 1 0 3 3 cos 3 dx x x k. ( ) ∫ π 2 1 0 2 sen dx x l. dx x ∫ − 5 0 2 9 m. ( ) ( ) ∫ + − e dx x x x 1 2 ln 3 2 n. ( ) ∫ − + 1 1 4 2 3 1 dx x x o. ( ) ∫ − − 100 100 3 97 2 3 dx x x sen x 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo. a. Si ( ) ( ) x g x f ≤ en [ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ≤ b a b a dx x g dx x f b a , , b. ( ) ∫ ∫ = + + − 99 0 2 99 99 2 3 2 dx bx dx cx bx ax 59
- 309. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida c. Si f es periódica con período T, entonces: ( ) ( ) ∫ ∫ = + + b a T b T a dx x f dx x f d. , f ∀ ( ) ( ) ∫ ∫ − − = − a b b a dx x f dx x f e. Si es una función par f [ ] a a x , − ∈ ∀ , entonces ( ) ∫ ∫ = − a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 f. Si ( ) ( ) x g x f ≤ en [ ] b a, , entonces ( ) ( ) ∫ ∫ ≤ b a b a dx x g dx x f g. Si ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) a G b G a F b F b a x x G x F − = − ∈ ∀ ′ = ′ , , h. Sea g una función derivable y supóngase que es una antiderivada de . Entonces F f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ + = ′ C x g F dx x g x g f 3. Encuentre si toma las siguientes reglas de correspondencia: f ′ f a. dt t x x ∫ − ln sen 0 1 1 b. dt t x x tanx x ∫ − sec 2 ln 3 5 3 1 c. dt t x x e x x e ∫ − 3 sec ln 2 1 d. ∫ + − x x x dt t t sen 4 5 3 2 1 2 e. ( ) ( ) ∫+ − − tanx x x dt t t t sen 1 ln 3 3 2 sen cos 1 f. ∫ − + 2 3 2 log 6 cos 1 sen 1 x x dt t t 4. Determine: a. ( ) 3 0 2 0 lim x dt t sen x x ∫ → b. 1 lim 1 1 − ∫ + → x dt sent x x c. x dt e x t x ∫ − ∞ → + 1 1 lim d. 2 0 2 2 5 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ∫ x t dt dx d 60
- 310. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida Misceláneos 1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta. a) Si es una función continua en el intervalo ´ f [ ] b a , entonces [ ] [ ] ∫ − = b a a f b f dx x f x f 2 2 ) ( ) ( ) ´( ) ( 2 b) Si entonces 0 ) ( = ∫ b a dx x f 0 ) ( = x f para [ ] b a x , ∈ ∀ c) Si es una función continua en f IR , entonces: ( ) ( ) 2 2 1 ) ( 2 x f x arctgx f dx x f dx d arctgx x − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ d) [ ] ( ) IN n n n dx x n ∈ + = ∫ + ; 2 1 1 0 e) Si y f g son funciones impares y continuas en IR , entonces ( )( ) 0 5 5 = ∫ − dx x g f o f) 4 4 4 1 2 1 2 x x dt t D x x + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ g) ∫ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + 2 2 4 3 4 64 1 5 2 dx x x xe x x h) Si y f g son funciones continuas en el intervalo [ ] 1 , 0 entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − 1 0 1 0 1 1 dx x g x f dx x g x f i) Si entonces para 0 ) ( ≥ ∫ b a dx x f 0 ) ( ≥ x f [ ] b a x , ∈ ∀ j) ∫ ∫ = π π 2 2 2 0 4 senxdx dx senx k) Si y entonces 3 ) ( 3 0 = ∫ dx x f 7 ) ( 4 0 = ∫ dx x f 4 ) ( 3 4 − = ∫ dx x f l) ∫ ∫ + ≥ 1 0 2 1 0 1 dx x xdx 61
- 311. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida m) Si es una función continua en f IR tal que para cualquier número real x , entonces es una función impar. 0 ) ( ) ( 1 2 1 2 = = ∫ ∫ − x x x x dt t f dt t f f n) Si es una antiderivada de la dunción , entonces F f ∫ + = + dx x f x F ) 1 2 ( ) 1 2 ( o) Si es una función continua en el intervalo f [ ] 5 , 2 y entonces 7 ) ( 5 2 = ∫ dx x f 7 ) ( 5 2 − = ∫ − − dx x f p) Si es una función tal que f 0 cos 3 ) ( 2 2 0 = + ∫ dt t x f x entonces x x x f cos 3 ) ´( − = q) Si y f g son funciones tales que y para todo x xe x f = ) ( ) ( ) ( x g x f ≥ [ ] 1 , 0 ∈ x entonces . ( ) ∫ ≤ 1 0 1 dx x g r) Si [ ] 1 ) ( 0 , 2 , 0 ≤ ≤ ∈ ∀ x f x entonces 1 ) ( 0 2 0 ≤ ≤ ∫ dx x f s) Si es una función continua en el intervalo f [ ] 10 , 0 y ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ 2 3 0 2 1 ) ( x t x dt t e D x f para [ ] 10 , 0 ∈ x entonces 3 5 3 ) 1 ´( e f = . t) ∫ ∫ = π π 2 2 2 2 cos dx x dx senx u) π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ = +∞ → n i n n i n cos lim 1 v) 2 cos lim 2 1 0 π = ∑ = → i n i p x donde { } i x max p ∆ = . p es una partición del intervalo [ ] π , 0 . w) Si , entonces ( ) 1 ) ( 2 2 1 2 = + ∫ − dx x x f 1 ) ( 2 1 − = ∫ − dx x f 62
- 312. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida x) ( ) 3 1 lim 2 3 0 2 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + → x tg dt t sen x x y) 1 2 lim 2 1 2 1 − = ∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → e n e n i n i n z) ∫ ∫ + + = ∈ ∀ π π 2 2 cos , , b b a a xdx dx senx R b a 2. Calcular a. ( ) 3 0 0 cos 1 lim x dt t x x ∫ − → b. ( ) ∫ − 2 1 2 3 2 6 1 dx x c. ∫ 2 0 3 2 cos π xdx xsen d. ∫ + + 2 1 2 2 2 3 dx x x e. ( ) 6 0 2 0 2 lim x dt t sen x x ∫ → f. [ ] ( ) ∫ − 3 0 2 dx x x g. ( ) ∫ − − − + 3 2 2 1 dx x x x h. ∫ − + 5 1 1 2 1 dx x i. ∫ − − 4 2 3 4 dx x x x j. ∫ + 5 ln 2 ln 2 16 12 dt e t k. ( ) ∫ − − − 21 2 3 1 2 dx x l. ∫ − + 3 2 3 2 dx x m. ∫ + π π 2 2 2 cos 1 dx x n. ( ) 3 0 2 0 2 1 lim x dt t t sen x x ∫ + → o. ∫ − − − 4 3 3 2 dx e x p. ( ) dx e x x sen x ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 2 2 3 1 63
- 313. MOISES VILLENA MUÑOZCap 3 La Integral Definida 3. Si es una función tal que . Determine los intervalos donde el gráfico de es cóncava hacia arriba. f ( ) ∫ ∈ + − = − 3 3 2 , 56 48 9 ) ( x t IR x dt e t t x f f 4. Si y f g son funciones tales que , y , entonces calcule el valor de 3 ) ( 4 1 = ∫ dx x f 2 ) ( 7 4 − = ∫ dx x f 6 ) ( 3 7 1 = ∫ dx x g [ ] ∫ + 1 7 ) ( ) ( 5 dx x g x f 64
- 314. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana 4.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS 4.2 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 4.3 LONGITUD DE UNA CURVA PLANA 4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN 4 65
- 315. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana El área del elemento diferencial será: dx x f hdx dA ) ( = = Por tanto, el área de la región plana es: ∫ = b a dx x f A ) ( 4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma: El área del elemento diferencial será: [ ]dx x g x f hdx dA ) ( ) ( − = = 66
- 316. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Entonces el área de la región plana esta dada por: [ ] ∫ − = b a dx x g x f A ) ( ) ( CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida. Ejemplo 1 Calcular el valor del área de la región limitada por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = 2 4 2 x y x y SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4 + = x y y 2 2 − = x y PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería: ( ) ( ) [ ] ∫ − − − + = 3 2 2 2 4 dx x x A PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: ( ) 2 3 0 ) 2 ( 3 0 6 2 4 2 2 − = ∨ = = + − = − − − = + x x x x x x x x 67
- 317. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 6 5 12 2 3 8 18 2 9 9 2 6 2 2 3 2 ) 3 ( 6 2 3 3 3 6 2 3 6 2 4 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 = − + − + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = + + − = − − + = − − − ∫ ∫ A x x x dx x x dx x x A Ejemplo 2 Calcular el valor del área de la región limitada por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = 0 6 2 3 y x x x y SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos x x x y 6 2 3 − − = PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería: ( ) [ ] [ dx x x x dx x x x A ∫ ∫ − − − + − − − = − 3 0 2 3 0 2 2 3 6 ( ) 0 ( ) 0 ( 6 ] PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 0 ( ) ( ) 2 3 0 ) 2 ( 3 0 6 0 6 2 2 3 − = ∨ = ∨ = = + − = − − = − − x x x x x x x x x x x x 68
- 318. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 12 253 27 9 4 81 12 3 8 4 ) 0 ( 2 3 6 3 3 4 3 2 2 6 3 2 4 2 0 2 6 3 4 2 6 3 4 6 6 6 ( ) 0 ( ) 0 ( 6 2 3 4 2 3 4 3 0 2 3 4 0 2 2 3 4 3 0 2 3 0 2 2 3 3 0 2 3 0 2 2 3 = + + − + − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + + − + − − = − − − + − − − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ A x x x x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx x x x A 4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la siguiente forma: Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dy y f xdy hdy dA ) ( = = = Entonces el área de la región plana es: ∫ = d c dy y f A ) ( Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos: 69
- 319. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral El área del elemento diferencial será: [ ]dy y g y f hdy dA ) ( ) ( − = = Entonces el área de la región plana esta dada por: [ ] ∫ − = d c dy y g y f A ) ( ) ( Ejemplo 3 Calcular el área de la región limitada por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = = 0 6 y x y x y SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano x y = y 6 + − = x y PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. PRIMER MÉTODO. Escogemos el elemento diferencial vertical ( ) ( ) ( )( ) 4 9 0 4 9 0 36 13 36 12 6 6 2 2 2 2 = ∨ = = − − = + − + − = + − = + − = x x x x x x x x x x x x x El área está dado por: 70
- 320. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 22 24 8 36 18 3 16 4 6 2 4 6 6 2 6 0 4 6 2 6 2 2 2 3 3 2 6 4 2 4 0 2 3 3 2 6 4 4 0 = − + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − + = ∫ ∫ A x x x dx x dx x A SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por: ( ) [ ] ( ) ( ) 3 22 3 8 2 12 0 3 2 2 2 2 6 3 2 6 6 3 2 2 0 3 2 2 0 2 = − − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − = ∫ A y y y dy y y A Ejemplo 4 Calcular el área de la región limitada por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 2 3 1 y x x y SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso 71
- 321. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( )( ) 1 2 0 1 2 0 2 3 1 2 2 = ∨ − = = − + = − + − = + y y y y y y y y Paso 4 y 5: El área de la región sería: ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 4 2 3 8 2 2 1 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 2 = + + − + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + − − = + − − = − − − ∫ ∫ A y y y dy y y dy y y A Ejercicios propuestos 4.1 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1. , , 2 2 x y x y = − = 2. entre , 0 , 4 2 = − = y x x y 1 = x y 3 = x . 3. 8 , 0 , 4 = = − = x y x y . 4. . 0 1 , 3 4 2 = − − + − = y x x x y 5. 0 , 4 2 , 2 = − = = x x y x y . 6. . 0 12 4 , 0 2 2 2 = − + = − x y x y 7. 4 2 2 − = + = x y , x y 8. x x y x y 4 , 2 2 + − = = 9. , , 6 3 x y x y = + = 4 2x y − = . 10. 3 , 1 2 − = − = x y x y 11. , , 3 2 3 x y x x y = + = 12. x x y x x x y 4 , 8 6 2 2 3 − = + − = 72
- 322. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES. Ahora trataremos regiones simple-θ , regiones que están limitadas por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar. En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular, entonces su área está dada por: θ = d r dA 2 2 1 Por tanto el área de la región está dada por: [ ] ∫ θ θ θ θ = 2 1 2 ) ( 2 1 d f A Ejemplo 1 Hallar el área de la región encerrada por a r = SOLUCIÓN: Graficando la circunferencia a r = e identificando la región, tenemos: 73
- 323. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral El área estaría dada por: [ ] [ ] 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 a A a d a d a d f A π = θ = θ = θ = θ θ = π π π θ θ ∫ ∫ ∫ Ejemplo 2 Hallar el área de la región encerrada por θ + = cos 1 r SOLUCIÓN: Graficando la cardioide θ + = cos 1 r e identificando la región, tenemos: El área estaría dada por: [ ] [ ] [ ] π = θ + + θ + θ = θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ + + θ θ + θ = θ θ + θ θ + θ = θ θ + θ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ + = θ θ = π π π π π π π π π θ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A d d d d d d d d d f A 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 2 4 2 sen sen 2 2 2 cos 2 1 cos 2 cos cos 2 cos cos 2 1 cos 1 2 1 2 ) ( 2 1 2 1 74
- 324. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 3 Hallar el área de la región encerrada por θ = 3 sen 4 r SOLUCIÓN: Graficando la rosa θ = 3 sen 4 r e identificando la región, tenemos: El área estaría dada por: [ ] [ ] [ ] π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π π θ θ 4 6 24 6 0 0 6 6 6 24 6 6 24 2 6 cos 1 48 3 16 3 3 4 2 1 6 ) ( 2 1 6 6 0 6 0 6 0 2 6 0 2 2 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∫ ∫ ∫ ∫ A A sen sen A sen d d sen d sen d f A Ejemplo 4 Hallar el área de la región encerrada por el rizo de θ − = cos 4 2 r SOLUCIÓN: Graficando el caracol θ − = cos 4 2 r e identificando la región, tenemos: 75
- 325. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral El área estaría dada por: [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 3 7 4 2 3 2 2 3 16 4 0 sen 2 0 sen 16 ) 0 ( 12 3 2 sen 2 3 sen 16 3 12 2 2 sen 4 8 sen 16 4 2 2 cos 1 16 cos 16 4 cos 16 cos 16 4 cos 16 cos 16 4 cos 4 2 2 1 2 ) ( 2 1 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 2 3 0 3 0 3 0 2 3 0 2 2 2 1 − π = + − π = + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π − π = θ + θ + θ − θ = θ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ + + θ θ − θ = θ θ + θ θ − θ = θ θ + θ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ − = θ θ = π π π π π π π π π θ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A d d d d d d d d d f A Ejemplo 5 Hallar el área de la región interior a ambas curvas ⎩ ⎨ ⎧ θ + = θ = cos 1 sen 3 r r SOLUCIÓN: Graficando las figuras e identificando la región, tenemos: 76
- 326. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuación trigonométrica que se forma, es decir: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 1 cos 1 cos 0 1 cos 2 1 cos 0 1 cos cos 2 0 2 cos 2 cos 4 cos cos 2 1 cos 1 3 cos cos 2 1 sen 3 cos 1 sen 3 cos 1 sen 3 2 2 2 2 2 2 2 2 π = θ ∨ π = θ = θ ∨ − = θ = − θ + θ = − θ + θ = − θ + θ θ + θ + = θ − θ + θ + = θ θ + = θ θ + = θ El área estaría dada por: [ ] [ ] 3 4 3 4 3 3 16 9 4 4 3 3 16 3 4 8 3 3 2 2 3 2 1 8 3 6 2 3 4 2 sen 2 1 sen 2 2 1 4 2 sen 2 1 2 3 cos 1 2 1 sen 3 2 1 3 3 0 3 2 3 0 2 − π = − π − π + − π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + π − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ + θ + θ + θ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ − θ = θ θ + + θ θ = π π π π π π ∫ ∫ A A A A d d A Ejercicios propuestos 4.2 1. Hallar el área limitada por la curva θ 3 cos a r = . 2. Determinar el área de la región exterior a θ + = sen 2 r , e interior a θ = sen 5 r 3. Determine el área de la región interior de la cardioide θ cos 3 3+ = r y exterior a la cardioide θ sen r 3 3+ = en el primer cuadrante 4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia θ sen r 3 = y fuera de θ sen r − = 2 . 77
- 327. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 5. Determinar el área interior a y exterior a θ 2 cos 8 2 = r 2 = r . 6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide θ sen r 2 2+ = e interna a la cardioide θ cos 2 2+ = r 7. Determine el área interior al limaron θ sen r 6 3− = pero exterior al rizo. 8. Hallar el área de la región interna común entre θ 2 cos = r y θ 2 sen r = 9. Determine el área de la región ( ) { } θ θ 2 cos 6 3 3 / , ≤ ≤ = r r R 4.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN. 0 360 En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan. CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje x se formará un sólido de revolución: El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera: Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. 78
- 328. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por: [ ] dx x f dx r dV 2 2 ) ( π = π = Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir: [ ] dx x f V b a 2 ) ( ∫ π = CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje x se genera un sólido de revolución de la siguiente forma: Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje x, para cada partición tiene la forma de un ANILLO 79
- 329. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral El volumen del sólido diferencial estaría dado por: [ ]dx r r dV 2 1 2 2 − π = pero observe que: y ) ( 2 x f r = ) ( 1 x g r = entonces: ( ) ( ) [ ]dx x g x f dV 2 2 ) ( ) ( − π = . Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje x, estaría dado por: ( ) ( ) [ ] ∫ − π = b a dx x g x f V 2 2 ) ( ) ( CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región anterior en torno al eje y: El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA: 80
- 330. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular: dx h r π 2 Su volumen sería: rhdx dV π = 2 Pero observe que: ) ( ) ( x g x f h x r − = = Por tanto el volumen total del sólido sería: [ ]dx x g x f x V b a ) ( ) ( 2 − π = ∫ . Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos. Ejemplo 1 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje x. SOLUCIÓN: PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la región. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical 81 ( ) 2 0 0 8 8 8 3 4 2 = ∨ = = − = = x x x x x x x x
- 331. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por: [ ]dx r r dV 2 1 2 2 − π = y en este caso x r 8 2 = y 2 1 x r = PASO 4: Por tanto ( ) ( ) [ ] 3 2 0 5 2 2 0 4 2 0 2 2 2 5 48 5 32 16 5 2 8 8 8 u V x x dx x x dx x x V π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π = − π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − π = ∫ ∫ NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal. Ejemplo 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje y. SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje y da lugar a una Corteza Cuyo volumen está dado por rhdx dV π = 2 y en este caso x r = y 2 8 x x h − = PASO 4: Por tanto: 82
- 332. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) [ ] 3 4 2 5 2 0 4 2 5 2 0 3 2 3 2 0 2 5 24 4 5 32 2 ) 0 ( 4 2 2 5 8 2 2 4 5 8 2 2 8 2 8 2 u V x x dx x x dx x x x V π π π π π π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = ∫ ∫ Ejemplo 3 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje 4 = y SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 4 = y da lugar a una Anillo El volumen de este diferencial está dado por [ ]dx r r dV 2 1 2 2 − π = y en este caso 2 2 4 x r − = y x r 8 4 1 − = PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos: 83
- 333. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 2 3 2 3 5 2 0 2 3 2 3 5 2 0 2 1 2 4 2 0 4 2 2 0 2 2 2 15 206 3 128 16 3 64 5 32 ) 0 ( 2 3 2 32 2 2 8 3 2 8 5 2 3 2 32 2 8 3 8 5 8 8 8 8 8 8 8 16 8 16 8 4 4 u V x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x V π π π π π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + − − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ∫ ∫ ∫ Ejemplo 4 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje 1 − = y SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 1 − = y da lugar a una Anillo El volumen de este diferencial está dado por [ ]dx r r dV 2 1 2 2 − π = y en este caso 2 1 1 x r + = y x r 8 1 2 + = PASO 4: Por tanto: 84
- 334. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 5 3 2 2 3 2 0 5 3 2 2 3 2 0 4 2 2 1 2 0 4 2 2 0 2 2 2 15 174 5 32 3 16 16 3 32 ) 0 ( 5 2 3 2 2 2 4 2 3 2 8 5 3 2 2 8 2 3 8 2 2 8 8 2 2 1 8 8 2 1 1 8 1 u V x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x V π π π π π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = + + − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ∫ ∫ ∫ Ejemplo 5 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje 2 = x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 2 = x da lugar a una corteza El volumen de este diferencial está dado por rhdx dV π = 2 y en este caso x r − = 2 y 2 8 x x h − = PASO 4: Por tanto: 85
- 335. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 5 3 2 3 2 0 4 2 5 3 2 3 2 0 3 2 3 2 2 1 2 0 3 2 2 0 2 15 88 4 16 5 32 3 16 3 32 2 ) 0 ( 4 2 2 5 2 4 3 2 2 2 3 2 8 2 4 2 5 2 2 3 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 4 2 8 2 8 2 2 8 2 2 u V x x x x dx x x x x dx x x x x x dx x x x V π π π π π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + − − = − − = ∫ ∫ ∫ Ejemplo 6 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y x y R 8 : 2 alrededor del eje 1 − = x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje 1 − = x da lugar a una corteza El volumen de este diferencial está dado por rhdx dV π = 2 y en este caso x r + =1 y 2 8 x x h − = PASO 4: Por tanto: 86
- 336. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 5 3 2 3 2 0 4 2 5 3 2 3 2 0 3 2 3 2 2 1 2 0 3 2 2 0 2 15 152 4 16 5 32 3 8 3 16 2 ) 0 ( 4 2 2 5 2 4 3 2 2 3 2 4 2 4 2 5 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 2 8 1 2 u V x x x x dx x x x x dx x x x x x dx x x x V π π π π π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − + − = − + = ∫ ∫ ∫ Ejercicios Propuestos 4.3 1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R la región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación: a. ; eje 1 , 0 , 0 , 2 2 = = = − = x x y x x y y b. 4 , tg , 2 , 1 = = π = = x x arc y y x ; eje . y c. 1 ; 1 1 , 3 , 1 , 3 , 0 = − = = = = = x eje x y x x y y . 2. Sea R la región limitada por las curvas: x y x y 1 , 2 = = y las rectas 2 , 0 = = x y .. a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje . 2 = x b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje . 1 = y 3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje la región limitada por las curvas: . 9 = x x y x y − = − = 3 , 9 2 4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta , la región acotada por las curvas: . 4 − = x 3 , 2 2 − = − = y x y y x 5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta de la región del primer cuadrante limitada por las parábolas , y el eje de las . 2 = y 0 48 16 3 2 = + − y x 0 80 16 2 = + − y x y 6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + = = = = + − + 0 0 5 4 0 2 0 3 4 2 2 x y x y y x y y x 7. Sea la región ( ) { } 2 2 4 1 / , x y x y x R − ≤ ≤ + = . Calcule el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje: a) 1 = x , b) 1 − = y 87
- 337. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.3 LONGITUD DE ARCO Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita. Una partición diferencial tendrá la forma: i ds dy dx Y su longitud está dada por: 2 2 dy dx ds + = 1. Si ) (x f y = entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dx dx dy dx dx dy dx ds 2 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = Es decir: ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = b a dx dx dy s 2 1 2. Si ) (y f x = entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dy dy dx dy dy dy dx ds 2 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = Es decir: ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = d c dy dy dx s 2 1 88
- 338. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 3. Finalmente si ⎩ ⎨ ⎧ = = ) ( ) ( : t y y t x x C entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dt dt dy dt dx dt dt dy dx ds 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = Es decir: ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 t t dt dt dy dt dx s Ejemplo 1 Encuentre la longitud de arco de la curva 2 3 x y = desde el punto al punto ) 1 , 1 ( ) 8 , 4 ( SOLUCIÓN: En este caso usamos el diferencial de arco de la forma ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = b a dx dx dy s 2 1 ¿por qué? Ahora 2 1 2 3 x dx dy = Por tanto: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ ∫ ∫ 2 3 4 13 2 3 4 1 2 3 4 1 4 1 2 2 1 4 1 2 10 27 8 4 9 4 9 1 3 2 4 9 1 2 3 1 1 s x dx x dx x dx dx dy s 89
- 339. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2 Encuentre la longitud de la curva 2 1 ; 1 1 3 ≤ ≤ − = ∫ x du u y x SOLUCIÓN: La longitud de arco esta dada por: ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 2 1 dx dx dy s Para lo cual la derivada sería: 1 1 3 1 3 − = − = ∫ x du u D dx dy x x Reemplazando resulta: ( ) 1 2 4 5 2 1 2 5 2 2 5 1 1 1 1 1 2 5 2 5 2 1 2 5 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = = − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ ∫ ∫ ∫ s x dx x dx x dx x dx dx dy s Ejemplo 3 Calcular la longitud de la circunferencia 2 2 2 a y x = + SOLUCIÓN: 90
- 340. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 t t dt dt dy dt dx s La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: π ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 0 ; sen cos : t t a y t a x C Por tanto t a dt dx sen − = y t a dt dy cos = . Reemplazando resulta: ( ) ( ) ( ) a s at dt a dt a dt t t a dt t a t a dt t a t a dt dt dy dt dx s π = = = = + = + = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π π π π π π π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 cos sen cos sen cos sen 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 Ejercicios Propuestos 4.4 1. Determine la longitud de arco de la curva ( ) 4 ; cos ln 1 π ≤ − = x x y 2. Determine la longitud de arco de la curva: en el intervalo ⎩ ⎨ ⎧ − = − = t y t t x cos 1 sen π ≤ ≤ 4 0 t 3. Determine la longitud de arco de la curva: en el intervalo ⎩ ⎨ ⎧ − = + = t at asent y atsent t a x cos cos 1 1 ≤ ≤ − t 4. Encuentre la longitud de la curva 3 6 , 1 cos 64 6 4 2 π π π ≤ ≤ − = ∫ x du u u sen y x 91
- 341. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES. La longitud de arco esta dada por: θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ = ∫ θ θ d d dy d dx s 2 1 2 2 Reemplazando, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d sen f sen f s d f sen f f sen f sen f sen f f f s d f sen f sen f f s ∫ ∫ ∫ + + + = + + + + + − = + + − = 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ) ( cos ) ´( cos ) ( cos ) ( ) ´( 2 ) ´( ) ( cos ) ( ) ´( 2 cos ) ´( cos ) ( ´ ) ( cos ´ Resultando finamente: ( ) ( ) θ θ + θ = ∫ θ θ d f f s 2 1 2 2 ) ´( ) ( Ejemplo 1 Hallar la longitud de la circunferencia a r = SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta: ( ) ( ) a s a s d a s d o a s d f f s π = θ = θ = θ + = θ θ + θ = π π π θ θ ∫ ∫ ∫ 2 ) ´( ) ( 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 Ejemplo 2 Hallar la longitud de la cardioide θ + = cos 1 r SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta: 92
- 342. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) ( ) ( ) 8 sen 4 cos 2 2 2 cos 2 2 2 cos 1 2 2 cos 2 2 2 sen cos cos 2 1 2 sen cos 1 2 ) ´( ) ( 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 1 2 2 0 2 2 2 2 2 1 = = θ = θ = θ θ + = θ θ + = θ θ + θ + θ + = θ θ − + θ + = θ θ + θ = π θ π θ π θ π π π π θ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ s d s d s d s d s d s d s d f f s 4 4 3 4 4 2 1 Ejemplo 3 Hallar perímetro de región interior a las curvas ⎩ ⎨ ⎧ θ + = θ = cos 1 sen 3 r r SOLUCIÓN: En este caso el perímetro estaría dado por 93
- 343. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 4 3 3 sen 4 3 cos 2 cos 3 sen 3 sen cos 1 cos 3 sen 3 2 1 3 2 3 0 3 2 3 0 2 2 3 2 2 3 0 2 2 + π = − + π = + θ = θ + θ θ + θ = θ − + θ + + θ θ + θ = π π θ π π π θ π π π π ∫ ∫ ∫ ∫ Per Per Per d d Per d Per Ejercicios propuestos 4.5 1. Determine el área y el perímetro de la región interior a las curvas θ = cos 3 r y . θ + = cos 1 r 2. Determinar: a) El valor de para el cual el área de la región limitada por la cardioide a ( ) θ cos 1− = a r sea igual a π 9 unidades cuadradas. b) La longitud de la cardioide definida en el literal a). 4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE Sea f una función continua en el intervalo [ ] b a, . El VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de , denotado como f f , está dado por: ∫ − = b a dx x f a b f ) ( 1 Ejemplo Las estadísticas indican que t meses después del principio de año, el precio de la carne de res era dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3 primeros meses?. 6 . 1 2 . 0 09 . 0 ) ( 2 + − = t t t p SOLUCIÓN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es: 94
- 344. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral ( ) [ ] 57 . 1 $ 8 . 4 9 . 0 81 . 0 3 1 6 . 1 2 2 . 0 3 09 . 0 3 1 6 . 1 2 . 0 09 . 0 0 3 1 ) ( 1 3 0 2 3 3 0 2 = + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = + − − = − = ∫ ∫ p t t t dt t t dt t p a b p b a Misceláneos 1. Sea R la región definida por : ( ) { } e x y x IR y x R ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∈ = 1 1 ln / , 2 . Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y 2. Sea la región ( ) [ ] [ ] { } 0 4 2 0 4 2 / , 2 2 ≥ ∧ − ≤ ≤ + ∨ ≤ ∧ − ≤ ≤ + ∈ = x x y x x x y x IR y x R Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 4 = y c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1 = x 3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región ( ) { } x y x IR y x R ≤ ≤ − ∈ = 14 / , 2 2 alrededor de la recta 4 = x . 4. Calcular el área de la región interior a la rosa θ 2 cos 2 = r y exterior a la circunferencia 1 = r . 5. Sea la región R limitada por la recta 0 = x y la curva . Determine el valor de de tal modo que la recta x y − = 4 2 a a x = divida a la región R en dos regiones de igual área. 6. Sea la región ( ) { } 2 4 0 / , x y y x R − ≤ ≤ = . Determine el valor de de tal modo que la recta a a y = divida a la región R en dos regiones de igual área. 7. Calcule el área de la región ( ) { } x y x x y x y y x R 2 12 2 2 / , 2 − ≤ ∧ + ≤ ∧ ≥ = 8. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de θ cos 2 − = r . 9. Sea ( ) { } 1 0 1 2 / , 2 ≤ ≤ ∧ + ≤ ≤ = x x y x y x R . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1 = x 10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de θ cos 4 2 + = r . 11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas [ ] π 2 , 0 , 2 2 2 cos cos 2 ∈ ⎩ ⎨ ⎧ − = − = t t sen sent y t t x 12. Sea R la región limitada por ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = = = x x y x y y 4 0 2 2 Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1 − = x 13. Calcular el área de la región interior a θ cos 2 1+ = r y exterior a la 1 = r . 14. Sea ( ) ( ) { } 2 2 2 3 0 / , y x y x y y x R ≤ ∧ − ≥ ∧ ≥ = . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje 1 = y . 95
- 345. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 4 Aplicaciones de la Integral 15. Calcule el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por 1 3 2 3 + = x y , ( )3 1 3 2 − = x y , 3 8 + − = x y , 0 = x , 0 = y . 16. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 4 2 x y = , , alrededor de ( )2 1 − = y x y x − = 3 , 0 = x 2 = y . 17. Sea ( ) { } 2 2 4 2 / , x y x IR y x R − ≤ ≤ − ∈ = . Determine: a) El área de dicha región R b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta . 2 − = y 18. Determine el área de la región dentro de y fuera de θ 2 2 2 sen r = θ sen r 2 = 19. Encuentre el área de la región limitada por las curvas 3 x xe y = , 0 = y , . 9 = x 20. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por , , , alrededor de 1 3 + = x y 0 = y 1 = x 1 = x . 21. Calcule el área de la región que es externa a la cardioide θ sen r 2 2 + = e interna a la cardioide θ cos 2 2 + = r . 22. Sea R la región limitada por , 3 x y = ( ) 1 2 1 − = x y , 10 + − = x y . Calcule el volumen del sólido que se genera cuando la región R rota alrededor de la recta 8 = x . 23. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por x y = , 2 = y , alrededor de la recta 0 = x 2 = y . 24. Hallar el área de la región limitada por , 0 2 2 = − x y 0 12 4 2 = − + x y 25. Hallar el área de la región limitada por θ 3 cos 4 = r que está fuera del circulo 2 = r 26. Calcular el área de la región interior a la circunferencia a r = y exterior a la rosa θ 3 asen r = , . 0 a 27. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas , alrededor de la recta 3 x y = x x y 2 2 + = 2 = x 28. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas , 0 ; 4 2 ≥ − = x x y 0 = y , 0 = x alrededor de la recta 2 = x 29. Hallar el área interior a θ cos 6 − = r y exterior a θ cos 2 2 − = r . 30. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por , , x y 2 ln = 0 = y e x = alrededor del eje: a) e x = b) ( ) e y 2 ln = 31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas π ≤ ≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = t t e y sent e x t t 0 , cos 32. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región ( ) ( ) { } x y x y x R ≤ ≤ − = 14 / , 2 alrededor de la recta 4 = x 33. Calcule el área de la región comprendida entre ( )2 3 − = x y y la recta ( ) 1 2 + = x y 34. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar la región comprendida entre , 2 x x y − = 0 = y alrededor de la recta 1 − = y 35. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región ( ) ( ) { } 2 0 / , x x y y x R − ≤ ≤ = alrededor de la recta . 2 = x 96
- 346. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias 97 Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales sobre regiones no acotadas y resuelva problemas de aplicación relacionados con las integrales impropias 5.1 LÍMITES INFINITOS 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS 5
- 347. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales 5.1 LÍMITES INFINITOS. Se presentan cuando se plantean integrales de la forma ∫ ∞ a dx x f ) ( , o de la forma ∫∞ − a dx x f ) ( , o de la forma ∫ ∞ ∞ − dx x f ) ( . En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas con propiedad. Es decir: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ∫ ∞ → ∞ N a N a dx x f dx x f ) ( lím ) ( ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ∫ −∞ → ∞ − a N N a dx x f dx x f ) ( lím ) ( y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así: ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − + = a a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( Ejemplo 1 Hallar el área de la región ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − 0 0 : x y e y R x , en el primer cuadrante. SOLUCIÓN: Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos: 98
- 348. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias El área de la región estaría dada por ∫ ∞ − = 0 dx e A x , la cual es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad tenemos: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∫ ∫ − ∞ → ∞ − N x N x dx e dx e A 0 0 lím Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta: [ ] [ ] 1 1 1 lím lím lím 0 0 = − = − = − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ − − ∞ → − ∞ → − ∞ → ∫ e e e dx e N N N x N N x N En este caso se dice que el área converge a 1 ( ) 2 1u A = Ejemplo 2 Hallar el área de la región ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ≤ 0 1 1 : y x x y R SOLUCIÓN: El área de la región estaría dada por ∫ ∞ = 1 1 dx x A , la cual es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad tenemos: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∫ ∫ ∞ → ∞ N N dx x dx x A 1 1 1 lím 1 Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta: [ ] [ ] ∞ = − ∞ = − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ → ∞ → ∞ → ∫ 1 ln ln 1 ln ln lím ln lím 1 lím 1 1 N x dx x N N N N N En este caso se dice que la integral DIVERGE ( ∞ = A ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande. 99
- 349. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias Ejemplo 3 Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ≤ 0 1 1 : y x x y R , alrededor del eje x. SOLUCIÓN: El volumen del sólido estaría dado por ∫ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = 1 2 1 dx x V , esto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad tenemos: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = ∫ ∫ ∞ → ∞ N N dx x dx x V 1 2 1 2 1 lím 1 Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta: π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − π = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π ∞ → ∞ → ∞ → ∫ N x dx x N N N N N 1 1 lím 1 lím 1 lím 1 1 2 Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica. Ejemplo 3 Determina el valor de k para que el área bajo la curva de 2 1 x k y + = sea iguala a 1. SOLUCIÓN: Dibujando la curva para un k positivo sería: 100 El área estaría dado por ∫ ∞ ∞ − + = dx x k A 2 1 . Como es una función par, aplicando simetría, tendremos ∫ ∞ + = 0 2 1 2 dx x k A . Escribiéndola con propiedad y resolviendo:
- 350. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias [ ] [ ] π = = − ∞ = = + = + = π ∞ → ∞ → ∞ → ∫ ∫ k A k k x k dx x k dx x k A N N N N N N 2 0 0 2 0 2 2 0 arctg arctg 2 arctg lím 2 1 1 lím 2 1 lím 2 Si la condición es que 2 1u A = entonces 1 = π k por tanto π = 1 k Ejemplo 4 Determine para que valores de p la integral impropia ∫ ∞ 1 1 dx x p converge y para que valores diverge. SOLUCIÓN: Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos: ∫ ∞ → N p N dx x 1 1 lím Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1 = p y si 1 ≠ p Primero si 1 = p tenemos: [ ] [ ] ∞ = − = = ∞ → ∞ → ∞ → ∫ 1 ln lím ln lím 1 lím 1 1 LnN x dx x N N N N N (Diverge) Segundo si 1 ≠ p tenemos: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − − ∞ → + − ∞ → − ∞ → ∫ p p N p x dx x p p N N p N N p N 1 1 1 lím 1 lím lím 1 1 1 1 1 de lo último hay que considerar dos casos: Si 1 p entonces ∞ = − − ∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − ∞ → p p p N p p N 1 1 1 1 1 lím 1 1 (diverge) Si 1 p entonces p p p p N p p N − − = − − ∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − ∞ → 1 1 0 1 1 1 1 1 1 lím 1 1 (converge) Por lo tanto: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ∞ = ∫ ∞ 1 ; 1 1 1 ; 1 1 p p p dx x p 101
- 351. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las graficas de las curvas tienen asíntotas verticales Ejemplo 1 Hallar el área de la región ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ≤ 0 0 1 : y x x y R . SOLUCIÓN: La región referida sería: La integral para el área es: ∫ = 1 0 1 dx x A note que la función x x f 1 ) ( = no está definida en por tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta: 0 = x [ ] [ ] ∞ = − = − = = = = + → → → + + + ∫ ∫ 0 ln 0 ln 1 ln lím ln lím 1 lím 1 0 1 0 1 0 1 0 t x dx x dx x A t t t t t (diverge) Ejemplo 2 Calcular ∫ − 2 1 2 1 dx x SOLUCIÓN: 102
- 352. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias La función no está definida 0 = x , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente manera: ) ( 1 2 1 1 lím 1 1 lím 1 lím 1 lím 1 lím 1 lím 1 2 1 2 0 0 2 0 1 0 2 2 0 1 2 0 2 1 2 diverge dx x t t x x dx x dx x dx x t t t t t t t t t t ∞ = ∞ + ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ − → → → − → → − → − + − + − + − Ejercicios propuestos 5.1 1. Evalúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente. 1. ∫ ∞ 1 dx ex 2. ∫ ∞ ∞ − + + 5 2 2 x x dx 3. ∫ ∞ − 0 sen dx x e x 4. ( ) ∫ ∞ ∞ − + dx x x 2 2 4 5. ∫ ∞ + 3 2 9 x xdx 6. ∫ − + 3 0 2 2 x x dx 2. Dada la curva , determine el área bajo la curva para . x e y − = 2 ln ≥ x 3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje . y ( ) { } 1 0 3 0 / , − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ = x y x y x R 4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por 0 , 1 , = = = y x y x y ; alrededor del eje (en el primer cuadrante). x 5. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva 3 2 − = x y y a la izquierda de . 1 = x a) Determine el área de la región R. b) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje . 1 − = y 103 6. Encuentre los valores de p para los cuales la integral ∫ 1 0 1 dx x p converge y los valores para los cuales diverge.
- 353. MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Integrales Impropias 104 Misceláneos 1. Sea la región R definida por ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + ∧ ≥ ∈ = 1 1 0 / , 2 y x x x IR y x R . Calcule si es posible: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1 = y 2. Calcular si es posible la longitud de la espiral . 0 ; 2 ≥ θ = θ − e r 3. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por , , ; alrededor del eje x e y = 0 = y 3 ln = x x . 4. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por 0 ; 1 = x x y y los ejes coodenados; alrededor del eje . y 5. Si ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ∧ + ≤ ≤ ∈ = 0 1 1 0 / , 2 2 x x y IR y x R . Determine si es posible el área de la región R. 6. Si ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ ∈ = 3 2 1 1 0 / , x y x y IR y x R . Si es posible calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje 1 = x . 7. Determine el valor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por ( ) 0 1 1 2 = ∧ − = y x y . 8. Encuentre el área de la región limitada por las x y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 , y los ejes coordenados en el primer cuadrante. 9. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al ro ar la región R alrededor del eje x, donde t ( ) { } x e y x y y IR y x R − ≤ ∧ + ≤ ∧ ≥ ∈ = 1 0 / , 2 . 10. Determine el volumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje y la región bajo la curva . 0 ; 2 ≥ = − x e y x 11. Determine los valores de c, , tal que el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x, de la región limitada por el eje x, y la función 0 c 1 ≥ x C x x f 1 ) ( = exista. 12. Sea R la región definida por ( ) { } e x y x IR y x R ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∈ = 0 1 ln / , 2 . Calcule si es posible: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje . y 13. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por: a) Una parte de la recta 2 ln = θ b) El tramo de la cardioide θ + = cos 1 r para π ≤ θ ≤ π 2 , y c) La espiral 2 ln 0 , 2 ≤ θ ≤ = θ − e r
- 354. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 77 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES. Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares
- 355. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 78 4.1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto. Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado ( ) θ , r , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones: De rectangulares a polares: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = θ + = x y y x r arctg 2 2 De polares a rectangulares: ⎩ ⎨ ⎧ θ = θ = sen cos r y r x Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto ) 1 , 1 ( P SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
- 356. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 79 Utilizando las transformaciones ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π = = θ = + = 4 arctg 2 1 1 1 1 2 2 r Además se podría utilizar otras equivalencias polares: ) 3 , 2 ( ) 5 , 2 ( ) 7 , 2 ( ) , 2 ( 4 4 4 4 π π π π − − = − = − = (Analícelas) Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 π ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.
- 357. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 80 Ejercicios propuestos 4.1 1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con 0 r y con 0 r . a. ) 2 , 1 ( π b. ) 0 , 3 ( c. ) 3 2 , 4 ( π − d. ) , 1 ( π − e. ) 2 3 , 2 ( π − 2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. a. ) 4 , 2 ( π e. ) 3 , 4 ( π b. ) 3 , 1 ( π − f. ) 3 2 , 2 ( π c. ) 6 7 , 4 ( π − g. ) 3 5 , 2 ( π − − d. ) 2 3 , 2 3 ( π h. ) 4 5 , 4 ( π − 3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. ) 1 , 1 (− b. ) 2 , 3 2 ( − c. ) 3 , 1 ( − − d. ) 4 , 3 ( 4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. a. ) 4 3 , 3 ( ) 6 , 1 ( π − π . b. ) 4 , 1 ( ) 4 , 2 ( π − π c. ) 6 , 1 ( ) 3 , 1 ( π − π Eje Polar Polo Eje 2 π 15D 30D 45D 60D 75D 105D 120D 135D 150D 165D 180D 195D 210D 225D 240D 255D 270D 285D 300D 315D 330D 345D
- 358. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 81 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma ) (θ = f r . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 4.2 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. 2 ) sen( = θ r b. ) sen( 2 θ = r c. ) cos( 1 1 θ − = r d. ) 2 sen( 2 θ = r e. θ = 2 r f. ) cos( 4 2 3 θ − = r 2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. a. 5 = y e. 1 + = x y b. 25 2 2 = + y x f. y x 4 2 = c. 1 2 = xy g. 1 2 2 = − y x d. 2 2 2 2 2 2 b a y a x b = + h. p x y 4 2 = 3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 1. θ = cos 6 r 2. θ = sen 6 r 3. θ = cos 6 r 4. θ + = cos 3 3 r 5. θ + = cos 3 6 r 6. θ + = cos 6 3 r 7. θ + = cos 3 3 9 r 8. θ + = cos 3 6 9 r 9. θ + = cos 6 3 9 r
- 359. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 82 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico. 4.3.1 RECTAS 4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma mx y = Realizando las transformaciones respectivas: φ = θ = θ θ θ = θ = tg tg cos sen cos sen m r m r mx y Resulta, finalmente: φ = θ Ejemplo Graficar 4 π = θ Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de 4 π . Es decir:
- 360. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 83 4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia d del polo. Observemos la siguiente representación gráfica: Del triangulo tenemos: ( ) r d = φ − θ cos Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería: ( ) φ − θ = cos d r Ejemplo Graficar ( ) 6 cos 4 π − θ = r
- 361. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 84 SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es 6 π . ES decir: Ahora veamos casos especiales: 1. Si D 0 = φ entonces la ecuación resulta θ = cos d r . Una recta vertical. Al despejar resulta d r = θ cos es decir d x = . 2. Si 2 π = φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ = θ + θ = − θ = π π π sen sen sen cos cos cos 2 2 2 d d d r Una recta horizontal.
- 362. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 85 3. Si π = φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ − = π θ + π θ = π − θ = cos sen sen cos cos cos d d d r Una recta vertical. 4. Si 2 3 π = φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ − = θ + θ = − θ = π π π sen 3 sen sen 3 cos cos 3 cos 2 2 2 d d d r Una recta horizontal. 4.3.2 CIRCUNFERENCIAS 4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: 2 2 2 a y x = + Aplicando transformaciones tenemos: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sen cos sen cos sen cos a r a r a r r a r r a y x = = θ + θ = θ + θ = θ + θ = + Resultando, finamente: a r =
- 363. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 86 Ejemplo Graficar 2 = r SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2. 4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto ( ) φ , a Observemos el gráfico: De allí obtenemos el triángulo:
- 364. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 87 Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: ( ) ( ) φ − θ = φ − θ − + = cos 2 cos 2 2 2 2 2 ar r ar a r a Resultando, finalmente: ( ) φ − θ = cos 2a r Ejemplo Graficar ( ) 3 cos 4 π − θ = r SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( ) 3 , 2 π . Por tanto su gráfico es: Casos especiales, serían: 1. Si D 0 = φ tenemos ( ) θ = − θ = cos 2 0 cos 2 a a r D Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 cos 2 a y a x a y a ax x ax y x ax r r x a r a r = + − + = + + − = + = = θ =
- 365. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 88 Una circunferencia con centro el punto ) 0 , (a y radio a r = 2. Si π = φ tenemos ( ) θ − = π − θ = cos 2 cos 2 a a r Una circunferencia con centro el punto ) 0 , ( a − y radio a r = 3. Si 2 π = φ tenemos ( ) θ = − θ = π sen 2 cos 2 2 a a r Una circunferencia con centro el punto ) , 0 ( a y radio a r =
- 366. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 89 4. Si 2 3 π = φ tenemos ( ) θ − = − θ = π sen 2 3 cos 2 2 a a r Una circunferencia con centro el punto ) , 0 ( a − y radio a r = 4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia d del polo Observe la figura. Se define a la parábola ( 1 = e ), a la elipse ( 1 0 e ) y a la hipérbola ( 1 e ) como el conjunto de puntos del plano tales que: ( ) ( ) l P d e F P d , , =
- 367. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 90 Entonces: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) φ − θ + = = φ − θ + = φ − θ + φ − θ − = φ − θ − = = cos 1 cos 1 cos cos cos , , e ed r ed e r ed er r er ed r r d e r l P d e F P d Casos especiales son: 1. Si D 0 = φ tenemos θ + = cos 1 e ed r 2. Si π = φ tenemos θ − = cos 1 e ed r 3. Si 2 π = φ tenemos θ + = sen 1 e ed r 4. Si 2 3 π = φ tenemos θ − = sen 1 e ed r Ejemplo 1 Graficar θ + = cos 1 6 r SOLUCIÓN: En este caso 1 = e (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana 6 = x (a la derecha y paralela al eje 2 π ). Parábola cóncava a la izquierda.
- 368. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 91 Ejemplo 2 Graficar θ − = cos 1 6 r SOLUCIÓN: Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ 6 − = x (a la izquierda y paralela al eje 2 π ). Cóncava hacia la derecha. Ejemplo 3 Graficar θ + = sen 1 6 r SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6 = y (paralela y arriba del eje polar). Cóncava hacia abajo.
- 369. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 92 Ejemplo 4 Graficar θ − = sen 1 6 r SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6 − = y (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba. Ejemplo 5 Graficar θ + = cos 1 6 2 1 r SOLUCIÓN: En este caso 2 1 = e (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: θ + = cos 2 12 r ¿Por qué?
- 370. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 93 Ejemplo 6 Graficar θ − = cos 1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. Ejemplo 7 Graficar θ + = sen 1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia abajo.
- 371. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 94 Ejemplo 8 Graficar θ − = sen 1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia arriba. Ejemplo 9 Graficar θ + = cos 2 1 6 r SOLUCIÓN: En este caso 2 = e (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.
- 372. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 95 Ejemplo 10 Graficar θ − = cos 2 1 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. Ejemplo 11 Graficar θ + = sen 2 1 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia arriba.
- 373. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 96 Ejemplo 12 Graficar θ − = sen 2 1 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia abajo. 4.3.4 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: θ ± = cos b a r o de la forma θ ± = sen b a r Consideremos tres casos: 1. Si b a = se llama CARDIOIDES Ejemplo 1 Graficar θ + = cos 6 6 r Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: ) ( ) ( θ − = θ f f
- 374. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 97 Ejemplo 2 Graficar θ − = cos 6 6 r Ejemplo 3 Graficar θ + = sen 6 6 r Ejemplo 4 Graficar θ − = sen 6 6 r
- 375. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 98 2. Si b a se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO Ejemplo 1 Graficar θ + = cos 3 6 r Ejemplo 2 Graficar θ − = cos 3 6 r Ejemplo 3 Graficar θ + = sen 3 6 r Esta gráfica presenta simetría al eje 2 π , es decir: ) ( ) ( θ = θ − π f f
- 376. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 99 Ejemplo 4 Graficar θ − = sen 3 6 r 3. Si b a se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO Ejemplo 1 Graficar θ + = cos 6 3 r Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. Ejemplo 2 Graficar θ − = cos 6 3 r
- 377. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 100 Ejemplo 3 Graficar θ + = sen 6 3 r Ejemplo 4 Graficar θ − = sen 6 3 r 4.3.5 ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma ( ) θ = n a r cos o ( ) θ = n a r sen para N n n ∈ ∧ 1 De aquí consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de n 2 petálos
- 378. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 101 Ejemplo Graficar ( ) θ = 2 sen 4 r SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos 2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos Ejemplo Graficar ( ) θ = 3 cos 4 r SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos
- 379. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 102 4.3.6 LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma θ = 2 cos 2 a r o de la forma θ = 2 sen 2 a r Ejemplo 1 Graficar θ = 2 cos 4 2 r Ejemplo 2 Graficar θ − = 2 cos 4 2 r
- 380. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 103 Ejemplo 3 Graficar θ = 2 sen 4 2 r 4.3.7 ESPIRALES Consideramos dos tipos: 4.3.7.1 Espiral de Arquímedes. Su ecuación polar es de la forma θ = a r Ejemplo Graficar θ = 2 r
- 381. Moisés Villena MuñozCoordenadas Polares 104 4.3.7.2 Espiral de Logarítmica. Su ecuación polar es de la forma θ = b ae r Ejemplo Graficar θ = 3 2e r Ejercicios propuestos 4.3 1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 1. 5 = r 2. 4 π = θ 3. ) sen( 2 θ = r 4. ) cos(θ − = r 5. ) cos( 3 θ − = r 6. ) sen( 1 2 θ − = r 7. ) sen( 2 2 θ − = r 8. ) sen( 2 1 2 θ − = r 9. ) cos( 2 1 θ − = r 10. ) sen( 2 3 θ + = r 11. π ≤ θ ≤ θ − = 0 ; sen 4 2 r 12. )) cos( 1 ( 3 θ − = r 13. ) sen( 4 2 θ + = r 14. 0 ) sen( 5 2 = θ + − r 15. ) 3 sen( θ = r 16. ) 5 sen( θ = r 17. ) 4 cos( 2 θ = r 18. ) 2 cos( 4 2 θ = r 19. ) 2 sen( 3 2 θ = r 20. ) 3 cos( 6 θ − = r 21. θ − = 3 sen 4 r 22. 0 , θ θ = r 23. ) cos( ) sen( θ + θ = r 24. 0 ) cos( ) sen( = θ + θ 2. Graficar en un mismo plano ⎩ ⎨ ⎧ + = = θ θ cos 1 cos 3 r r y determine los puntos de intersección. 3. Graficar en un mismo plano ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = θ θ cos 1 3 r sen r y determine los puntos de intersección. 4. Graficar en un mismo plano ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = θ − = 2 2 cos 8 2 r r y determine los puntos de intersección. 5. Graficar en un mismo plano 3 2 4 4 r sen r sen θ θ ⎧ = ⎪ + ⎨ ⎪ = + ⎩ y determine los puntos de intersección. 6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de ( ) θ 2 cos 4 = r y exterior a 2 = r 7. Sea ( ) 2 3 , : 1 r sen p r r θ θ ≤ ⎧ ⎨ ≥ ⎩ , determine ( ) , Ap r θ
- 382. Moisés Villena MuñozCónicas 49 3 3 .1 Circunferencia 3 .2 Parábola 3 .3 Elipse 3 .4 Hiperbola Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Identifique, grafique y determine los elementos de una cónica conociendo su ecuación general. • Dado elementos de una cónica encuentre su ecuación. • Resuelva problemas de aplicación empleando teoría de cónicas
- 383. Moisés Villena MuñozCónicas 50 Las cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuando un doble cono se interseca con planos. No estamos interesados en los lugares geométricos de 3 , estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en 2 . Se obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano. Descubriremos que la ecuación de una cónica, tiene la forma: 0 2 2 = + + + + + F Exy Dy Cx By Ax Con 0 ≠ A ó 0 ≠ B ó ambos, y 0 = E . 3.1. Circunferencia 3.1.1. Definición. Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de puntos ) , ( y x P tal que la distancia de P a O es igual a “ r ”. Es decir: { } ( , )/ ( , ) Circunferencia P x y d P O r = = Al punto “O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia.
- 384. Moisés Villena MuñozCónicas 51 3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia Supongamos que O tiene coordenadas ) , ( k h La distancia entre los puntos ) , ( y x P de la circunferencia y el punto ) , ( k h C , la cual denotamos como “ r ”, está dada por 2 2 ) ( ) ( k y h x r − + − = , entonces, tenemos: 2 2 2 ) ( ) ( r k y h x = − + − Ecuación canónica de una circunferencia. Para 0 2 r . Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación: 2 2 2 r y x = + Es decir, una circunferencia con centro (0,0) O , el origen: ( ) k h O , r ( ) y x P , y x ( ) 0 , 0 O y x 2 2 r x y − = r 2 2 r x y − − =
- 385. Moisés Villena MuñozCónicas 52 Despejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior. Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto ( ) 4,2 O y radio 3 SOLUCIÓN: Reemplazando en 2 2 2 ( ) ( ) x h y k r − + − = tenemos: 2 2 2 2 2 ( 4) ( 2) 3 ( 4) ( 2) 9 x y x y − + − = − + − = La ecuación canónica pedida. Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior 2 2 2 ( 4) ( 2) 3 x y − + − = , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se obtiene: 2 2 2 2 4 16 4 4 9 4 4 16 11 0 x x y y x y x y − + + − + = + − − + + = Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá la forma: 2 2 ´ ´ ´ 0 x y C x D y F + + + + = O también: 2 2 0 Ax Ay Cx Dy F + + + + = Esta última ecuación es llamada ECUACIÓN GENERAL DE UNA CIRCUNFERENCIA. Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios cuadrados perfectos.
- 386. Moisés Villena MuñozCónicas 53 Ejemplo Graficar la circunferencia que tiene por ecuación 0 12 6 4 2 2 = − + − + y x y x Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados ( ) ( ) 25 ) 3 ( ) 2 ( 9 4 12 9 6 4 4 2 2 2 2 = + + − + + = + + + + − y x y y x x Tenemos una circunferencia de radio 5 = r y centro ) 3 , 2 ( − C No toda ecuación de la forma 2 2 0 Ax Ay Cx Dy F + + + + = representará una circunferencia. Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene 0 2 = r , es decir resulta 0 ) ( ) ( 2 2 = − + − k y h x , el lugar geométrico es el punto ( , ) O h k . ¿Por qué? Si 0 2 r , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué? Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos ( ) 1,2 , ( ) 3,0 y ( ) 3 3 , 3 + Solución: Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso empleamos la ecuación general 2 2 ´ ´ ´ 0 x y C x D y F + + + + = . Reemplazando las coordenadas de los puntos dados: ) 3 , 2 ( − C 5 = r
- 387. Moisés Villena MuñozCónicas 54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 ´ 1 ´2 ´ 0 3 0 ´ 3 ´ 0 ´ 0 3 3 3 ´ 3 3 ´ 3 ´ 0 C D F C D F C D F ⎧ + + + + = ⎪ ⎪ + + + + = ⎨ ⎪ ⎪ + + + + + + = ⎩ Resolviendo simultáneamente el sistema: ( ) ( ) 2 ´ 2 ´ 5 3 ´ ´ 9 3 3 ´ 3 ´ ´ 3 3 9 C D F C F C D F ⎧ + + = − ⎪ ⎪ + = − ⎨ ⎪ + + + = − + − ⎪ ⎩ En la segunda ecuación se obtiene ´ 9 3 ´ F C = − − Reemplazando en la primera: ´ 2 ´ ´ 5 ´ 2 ´ 9 3 ´ 5 2 ´ 2 ´ 4 ´ 2 ´ C D F C D C C D D C + + = − + − − = − − + = = + Reemplazando ´ D y ´ F en la tercera ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 ´ 3 ´ ´ 3 3 9 3 3 ´ 3 2 ´ 9 3 ´ 3 3 9 3 ´ 3 ´ 6 3 ´ 9 3 ´ 9 6 3 3 9 3 ´ 3 ´ 18 6 3 3 3 ´ 6 3 3 ´ 6 C D F C C C C C C C C C C C + + + = − + − + + + + − − = − + − + + + − − = − − − − + = − − + = − + = − Entonces: ´ 2 ´ 2 6 ´ 4 D C D = + = − = − y ( ) ´ 9 3 ´ 9 3 6 ´ 9 F C F = − − = − − − = Por tanto, la ecuación general de la circunferencia sería: 2 2 6 4 9 0 x y x y + − − + = Agrupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica: ( ) ( ) 2 2 2 2 6 4 9 0 6 9 4 4 9 9 4 x y x y x x y y + − − + = − + + − + = − + + ( ) ( ) 2 2 3 2 4 x y − + − = Ejercicios Propuestos 3.1 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: a. 0 1 4 2 2 2 = + − − + y x y x b. 0 9 2 2 2 2 2 2 = + − − + y x y x b. 0 13 6 4 2 2 = + + − + y x y x c. 0 17 6 4 2 2 = + − − + y x y x 2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos ) 5 , 1 ( ), 6 , 0 ( B A y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación 1 − = + y x . Resp. ( ) ( ) 25 2 3 2 2 = − + + y x
- 388. Moisés Villena MuñozCónicas 55 3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 0 5 3 2 = + − y x , y está centrada en el punto ( ) 2 , 1 − − Resp. 0 16 52 26 13 13 2 2 = − + + + y x y x 4. La intersección de las rectas 0 3 2 : 1 = + − y x L y 0 2 4 : 2 = − + y x L es el centro de una circunferencia que es tangente a la recta 0 1 : 3 = + − y x L . Determine la ecuación de la circunferencia. Resp. ( ) ( ) 72 121 2 3 8 2 6 1 = − + + y x 5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación 0 111 14 6 2 2 = − − − + y x y x conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas ( ) 2 7 2 17 , . Resp. 506 6. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene los puntos ( ) 0,0 , ( ) 1, 1 − y ( ) 9, 1 − . Resp. ( ) ( ) 2 2 5 4 41 x y − + − = 7. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones y x = y 1 x y + = y que contiene al punto ( ) 2,2 . Resp. ( ) ( ) 2 2 5 9 1 2 2 2 x y − + + = 3.2. Parábola 3.2.1. Definición Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos ) , ( y x P tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir: Parábola ={ } ) , ( ) , ( / ) , ( l p d F P d y x P = Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola. 3.2.2 Ecuación canónica Supongamos que F tiene coordenadas ( ) p , 0 y la recta l tiene ecuación p y − = con 0 p . Observe la gráfica: ) 0 , 0 ( V ) , ( y x P ) , ( l p d ) , ( F p d ) , 0 ( p F p y − = p p − l x y
- 389. Moisés Villena MuñozCónicas 56 Observe que 2 2 ) ( ) 0 ( ) , ( p y x F P d − + − = y que p y l P d + = ) , ( . Igualando distancias y resolviendo: ( ) py x p py y p py y x p y p y x p y p y x l P d F P d 4 2 2 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + − + + = − + − + = − + − = Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas ( ) 0 , 0 . A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y . Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de p 4 . ¡Demuéstrele! Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos ) , ( k h V , entonces su ecuación sería: ) ( 4 ) ( 2 k y p h x − = − Y su gráfico sería: Para otros casos, tenemos: ) ( 4 ) ( 2 k y p h x − − = − ) , ( k h V ) , ( y x P ) , ( p k h F + p k y − = p p l x y
- 390. Moisés Villena MuñozCónicas 57 Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo. Si la parábola tiene ecuación ) ( 4 ) ( 2 h x p k y − = − , Su eje focal será horizontal y además será cóncava hacia la derecha: Si la parábola tiene ecuación ) ( 4 ) ( 2 h x p k y − − = − . Su eje focal será horizontal , pero ahora será cóncava hacia la izquierda: Eje focal foco ) , ( k h V ) , ( p k h F − p k y + = p p l x y directriz ) , ( k h V ) , ( k p h F + p h x − = p p l x y
- 391. Moisés Villena MuñozCónicas 58 La ecuación general de esta cónica será de la forma 0 2 2 = + + + + F Dy Cx By Ax con 0 = A o 0 = B pero no ambos. Es decir tendremos ecuaciones de la forma 2 0 Ax Cx Dy F + + + = o de la forma 2 0 By Cx Dy F + + + = , según sea la dirección del eje focal. O más simplemente 2 ´ ´ ´ 0 x C x D y F + + + = 2 ´ ´ ´ 0 y C x D y F + + + = Ejemplo 1 Graficar la parábola que tiene por ecuación 0 97 24 20 4 2 = + − − y x x . Indique coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directriz. SOLUCIÓN: Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos: ) 3 ( 6 2 5 18 6 2 5 4 25 4 97 4 24 4 25 5 4 4 97 24 20 4 2 2 2 2 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − = − y x y x y x x y x x Se deduce entonces que: ) , ( k h V ) , ( k p h F − p h x + = p p l x y
- 392. Moisés Villena MuñozCónicas 59 1. La parábola tiene vértice ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 , 3 5 V . 2. El eje focal es paralelo al eje y 3. La parábola es cóncava hacia arriba 4. 2 3 = p debido a que p 4 6 = . Realizando su gráfica tenemos: Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas ) 2 , 3 ( − − y directriz la recta con ecuación 1 = x . SOLUCIÓN En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano. Concluimos que: 1. El vértice debe tener coordenadas ) 2 , 1 ( − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 , 2 5 V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 9 , 2 5 F 2 3 = y 2 3 = p 2 3 = p ( ) 2 , 3 − − F ( ) 2 , 1− − V 2 = p Eje focal directriz 1 = x
- 393. Moisés Villena MuñozCónicas 60 2. El eje focal es paralelo al eje x 3. La parábola es cóncava hacia la izquierda. 4. 2 = p , distancia del vértice al foco o distancia del vértice a la directriz. 5. La ecuación de trabajo es ) ( 4 ) ( 2 h x p k y − − = − Bien, reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos: 2 2 ( 2) 4(2)( 1) 4 4 8 8 y x y y x + = − + + + = − − 2 8 4 12 0 x y y + + + = Ejemplo 3 Un puente colgante de m 120 de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable está a m 15 de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres. SOLUCIÓN: Primero hacemos una representación gráfica de la información proporcionada, trabajando en el plano cartesiano, es mejor poner el vértice en el origen: La ecuación de la trayectoria sería: y x y x 60 ) 15 ( 4 2 2 = = Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y”: 60 60 60 60 2 2 = = = y y y x Por lo tanto la altura de las torres sería: m h h p y h 75 15 60 = + = + = 120 m y x Superficie terrestre Directriz ) 0 , 0 ( V ) , 60 ( y P m 15 x y 60 = h y } }
- 394. Moisés Villena MuñozCónicas 61 Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los puntos ( ) 1,5 − , ( ) 3,1 y ( ) 7,5 . SOLUCIÓN: Ya que tiene eje focal vertical empleamos la ecuación 2 ´ ´ ´ 0 x C x D y F + + + = ¿Porqué?). Cómo los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer su ecuación. Reemplazando y simplificando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ´ 1 ´ 5 ´ 0 ´ 5 ´ ´ 1 3 ´ 3 ´ 1 ´ 0 3 ´ ´ ´ 9 7 ´ 5 ´ ´ 49 7 ´ 7 ´ 5 ´ 0 C D F C D F C D F C D F C D F C D F ⎧ − + − + + = − + + = − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ + + + = ⇒ + + = − ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ + + = − ⎩ + + + = ⎪ ⎩ Resolviendo el sistema simultáneo se obtiene: ´ 6 C = − , ´ 4 D = − y ´ 13 F = Por tanto la ecuación buscada sería: 2 6 4 13 0 x x y + − − + = Ejercicios Propuestos 3.2 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. 0 1 4 2 2 = + − − y x x b. 0 9 2 2 2 2 = + − − y x y c. 0 13 6 4 2 = + + − y x y d. 0 17 6 4 2 = + − − − y x x 2. Determine la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta definida por 1 = y , contiene al punto ( ) 3 , 0 y la menor distancia entre la parábola y la directriz es igual a 2. Resp. ( ) 3 8 2 − = y x 3. Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación 0 2 = + y y los extremos del lado recto son los puntos ( ) 2 , 0 A y ( ) 2 , 8 B . Resp. ( ) y x 8 4 2 = − 4. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los puntos: ) 2 1 , 2 3 ( ), 1 , 1 ( ), 0 , 0 ( − − Resp. ( ) ( ) 48 49 4 3 2 8 7 + = − y x 5. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es horizontal. Resp. ( ) ( ) 2 5 25 1 8 4 16 y x + = − − 6. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal horizontal contiene los puntos: ) 0 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 1 , 1 ( − − Resp. ( ) ( ) 4 25 3 2 2 6 1 − − = − x y 7. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es vertical. Resp. ( ) ( ) 2 25 1 2 6 3 24 x y − = − −
- 395. Moisés Villena MuñozCónicas 62 3.3. Elipse 3.3.1 Definición. Sean 1 F y 2 F dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el conjunto de puntos ( , ) P x y tales que la suma de su distancia a 1 F con su distancia a 2 F es igual a a 2 . Es decir: Elipse= ( ) ( ) ( ) { } a F P d F P d y x P 2 , , / , 2 1 = + A 1 F y 2 F se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse. 3.3.2 Ecuación Canónica Sean ( ) 0 , 1 c F − y ( ) 0 , 2 c F , observe el gráfico: De la definición tenemos: ( ) a F P d F P d 2 ) , ( , 1 2 = + a y c x y c x 2 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 2 2 2 = − + + + − + − Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: Eje focal ) 0 , 0 ( O ) 0 , ( 1 c F − c x y c ) 0 , ( 2 c F ) 0 , ( 2 a V ) 0 , ( 1 a V − a a b b ) , ( y x P
- 396. Moisés Villena MuñozCónicas 63 ( ) ( ) ( ) cx a y c x a y c xc x y c x a a y c xc x y c x y c x a a y c x y c x a y c x 4 4 4 2 ) ( 4 4 2 ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + + + − + + + − = + + − + − + + + − = + − + + − = + − Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: ( ) ( ) [ ] [ ] 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( x c cx a a y c cx x a x c c a a y c x a cx a y c x a + + = + + + + + = + + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a a y a x c a c a a y a x c x a x c cx a a y a c a cx a x a − = + − − = + − + + = + + + Dividiendo para ( ) 2 2 2 c a a − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a c a y a a c a a c a a c a a c − − + = − − − 1 2 2 2 2 2 = − + c a y a x Finamente, llamando 2 2 2 c a b − = tenemos: 1 2 2 2 2 = + b y a x Ecuación canónica de la elipse con centro ( ) 0 , 0 O y eje focal horizontal “b” representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica anterior. Aquí el lado recto tiene dimensión a b2 2 . ¡Demuéstrelo! Para los casos generales tenemos: Suponga que el vértice es el punto ) , ( k h V , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación sería: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − + − b k y a h x Y su gráfica sería:
- 397. Moisés Villena MuñozCónicas 64 Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el mayor denominador, es este caso ese sería el valor de “ 2 a ”. Observe también que b a . Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − + − b h x a k y Y su gráfica sería: ) , ( k h O ) , ( 1 k c h F − x y ) , ( 2 k c h F + ) , ( 2 k a h V + ) , ( 1 k a h V − ) , ( k h O ) , ( 1 c k h F − c x y c ) , ( 2 c k h F + ) , ( 2 a k h V + ) , ( 1 a k h V − a a b b
- 398. Moisés Villena MuñozCónicas 65 Ejemplo 1 Graficar la Elipse que tiene por ecuación 0 156 96 100 16 25 2 2 = − − + + y x y x . Indique todos sus elementos. Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados ( ) ( ) ( ) ( ) 400 3 16 2 25 144 100 156 9 6 16 4 4 25 2 2 2 2 = − + + + + = + − + + + y x y y x x Ahora dividimos para 400 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 25 3 16 2 400 400 400 3 16 400 2 25 2 2 2 2 = − + + = − + + y x y x La última ecuación nos indica que la elipse tiene: 1. Centro ( ) 3 , 2 0 − 2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que contiene a “ y ” Entonces 5 25 2 = ⇒ = a a 3. 4 16 2 = ⇒ = b b 4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c . 3 9 16 25 2 2 = = − = − = c c c b a c Por lo tanto la gráfica sería: y x ) 6 , 2 ( 1 − F ) 0 , 2 ( 2 − F ) 2 , 2 ( 2 − V ) 8 , 2 ( 1 − V ) 3 , 2 (− O Eje Focal
- 399. Moisés Villena MuñozCónicas 66 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas ( ) 3 5 ,. 0 y ( ) 3 5 , 0 − . SOLUCIÓN: Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados. Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que 3 5 = c . Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces 10 = a Esto, nos permite calcular b : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 10 5 3 100 75 25 5 b a c b b b b = − = − = − = ⇒ = Finalmente la ecuación de la elipse sería: 100 4 1 25 100 2 2 2 2 = + = + y x x y Ejemplo 3 Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos. Solución Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos: y ) 0 , 0 ( O ) 3 5 , 0 ( 1 F ) 10 , 0 ( 1 V ) 3 5 , 0 ( 2 − F ) 10 , 0 ( 2 − V
- 400. Moisés Villena MuñozCónicas 67 La ecuación de la elipse sería: 1 3 5 2 2 2 2 = + y x Como 5 = a y 3 = b entonces 4 16 9 25 2 2 2 = = − = − = c b a c La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión del lado recto Empleando el teorema de Pitágoras, resulta: ( ) 5 481 4 2 5 9 2 = + = d d Ejercicios Propuestos 3.3 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. 0 11 18 16 9 4 2 2 = − + − + y x y x b. 0 11 16 18 4 9 2 2 = − − + + y x y x 2. Si los focos de una elipse son los puntos ) 3 , 2 ( ), 3 , 4 ( 2 1 = − = F F y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse. Resp. ( ) ( ) 1 16 3 25 1 2 2 = − + + y x 3. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base tiene 30 m. y su parte más alta con respecto a la tierra es 10 m. Determine la altura del arco a 6 m. del centro de la base. Resp. m h 21 2 = 4. Determine los valores de k para que la ecuación k y x y x = + + + 12 2 2 2 2 describa una elipse. Resp. 19 − k ) 0 , 0 ( O ) 0 , 4 ( 2 F ) 0 , 4 ( 1 − F ) 0 , 5 ( 1 V ) 0 , 5 ( 2 − V carro a b2 d 4 = c 5 9 2 = a b d
- 401. Moisés Villena MuñozCónicas 68 5. La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica con excentricidad igual a 0.0172 y eje mayor de 6 299 10 × Km. Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse , determine la mayor y la menor distancia entre la Tierra y el Sol. (NOTA: excentricidad c a e = ) Resp. 152.0714 MAYOR d = Km. 146.9286 MENOR d = Km. 3.4. Hiperbola 3.4.1 Definición. Sean 1 F y 2 F dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define como el conjunto de puntos ) , ( y x P del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a 1 F con su distancia a 2 F es igual a a 2 . Es decir: Elipse= ( ) ( ) ( ) { } a F P d F P d y x P 2 , , / , 2 1 = − A 1 F y 2 F se les denomina focos de la hipérbola. 3.4.2 Ecuación Canónica Sean ( ) 0 , 1 c F − y ( ) 0 , 2 c F , observe el gráfico: De la definición tenemos: ( ) a F P d F P d 2 ) , ( , 2 1 = − a y c x y c x 2 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 2 2 2 = − + − − − + + ) 0 , 0 ( O ) 0 , ( 1 c F − x y ) 0 , ( 2 c F ) 0 , ( 2 a V ) 0 , ( 1 a V − ) , ( y x P b b
- 402. Moisés Villena MuñozCónicas 69 Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 ) ( 4 4 2 ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 2 ) ( y c x a a cx y c xc x y c x a a y c xc x y c x y c x a a y c x y c x a y c x + − = − + + − + + − + = + + + + − + + − + = + + + − + = + + Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: ( ) ( ) [ ] [ ] 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( y c cx x a a cx a x c y c x a a cx a x c y c x a a cx + + − = + − + − = + − + − = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 a c a y a x a c a c a y a x a x c y a c a cx a x a a cx a x c − = − − − = − − + + − = + − Dividiendo para ( ) 2 2 2 a c a − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a a c a a c y a a c a a c x − − = − − − − 1 2 2 2 2 2 = − − a c y a x Finamente, llamando 2 2 2 a c b − = tenemos: 1 2 2 2 2 = − b y a x Ecuación canónica de la hipérbola con centro ( ) 0 , 0 O y eje focal horizontal Aquí “b” representa la longitud del segmento (Observe la gráfica anterior) llamado semieje conjugado. Para los casos generales tenemos: Suponga que el vértice es el punto ) , ( k h V , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación sería: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − − − b k y a h x Y su gráfica sería:
- 403. Moisés Villena MuñozCónicas 70 OBSERVACIÓN: La dirección del eje focal esta indicada por el término positivo y además sobre este término estará “ 2 a ”. Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − − − b h x a k y Y su gráfica sería: ) , ( k h O ) , ( 1 k c h F − x y ) , ( 2 k c h F + ) , ( 2 k a h V + ) , ( 1 k a h V − Eje focal ) , ( k h O ) , ( 1 c k h F − x y ) , ( 2 c k h F + ) , ( 2 a k h V + ) , ( 1 a k h V −
- 404. Moisés Villena MuñozCónicas 71 Ejemplo 1 Graficar la hipérbola que tiene por ecuación 0 1 6 2 3 2 2 = − + + − y x y x . Indique coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN: Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 = + − − = + − − − = − − + − + = + − − + + x y x y y x y y x x Se concluye que: 1. La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a “y”. 2. 3 1 3 1 2 = ⇒ = a a 3. 1 1 2 = ⇒ = b b El valor de c se lo calcula empleando la fórmula 2 2 b a c + = , es decir: 3 1 3 4 3 1 2 2 2 1 = = + = + = b a c Por lo tanto su gráfica sería: Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 0 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 3 y x y x y x y x x y − − + = − = + − = + − = ± + ± + − = ( ) 1 1 3 x y + = ± Eje focal ) 1 , 1 (− C 3 1 1 1 , 1 ( + − = V 3 1 2 1 , 1 ( − − = V 3 1 2 2 1 , 1 ( − − = F 3 1 1 2 1 , 1 ( + − = F
- 405. Moisés Villena MuñozCónicas 72 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la cónica que tiene por focos los puntos ) 3 , 1 ( y ) 3 , 7 ( ; y por vértices los puntos ) 3 , 2 ( y ) 3 , 6 ( SOLUCIÓN: Representando los focos y vértices en el plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para plantear la ecuación buscada Del gráfico se observa que: 1. El eje focal debe ser horizontal. 2. El centro tiene coordenadas ( ) 3 , 4 0 . 3. 2 = a y 3 = c El valor de b se calcula empleando la formula 2 2 a c b − = , es decir: 5 4 9 2 2 = − = − = a c b Ahora hallando la ecuación de la hipérbola, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 24 24 40 4 5 0 20 36 24 4 80 40 5 20 9 6 4 16 8 5 1 5 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + − − = − − + − + − = + − − + − = − − − y x y x y y x x y y x x y x Ejercicios Propuestos 3.4 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. 0 9 18 16 9 4 2 2 = − + − − y x y x b. 0 9 16 18 4 9 2 2 = − − + − y x y x 2. Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola definida por 0 16 8 3 4 2 2 = + + − x y x . Resp. y x 2 3 1 ± = + ( ) 3 , 1 1 F ( ) 3 , 2 1 V ( ) 3 , 4 O ( ) 3 , 6 2 V ( ) 3 , 7 2 F
- 406. Moisés Villena MuñozCónicas 73 3. Determine la ecuación de la recta que contiene al centro de la hiperbola cuya ecuación es 0 49 8 32 4 2 2 = + − + − y x y x y es perpendicular a la recta definida por la ecuación 0 3 9 2 = + − y x . Resp. 0 44 2 9 = + + y x 4. Determine la distancia entre los vértices de la cónica con ecuación 9 24 4 18 9 2 2 = + + + − y y x x Resp. 6 5. Si una hipérbola, una circunferencia de radio 5 y el rectángulo ABCD de lado 6 = AB , están ubicados en el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre los vértices de la hipérbola. Resp. 10 2 = d Otras regiones del plano, importantes a considerar, serían aquellas que están definidas por inecuaciones. Ejemplo 1 Grafique la región del plano ( ) { } 4 / , 2 − = x y y x R SOLUCIÓN: y x 4 2 − = x y 4 2 − x y 4 2 − x y
- 407. Moisés Villena MuñozCónicas 74 Ejemplo 2 Grafique la región del plano ( ) { } 4 / , 2 2 ≤ + = y x y x R Ejemplo 3 Grafique la región del plano ( ) { } 1 / , 2 2 ≤ − = y x y x R y x 4 2 2 = + y x 4 2 2 + y x 4 2 2 + y x 2 y x 1 2 2 = − y x 1 2 2 − y x 1 1 2 2 − y x 1 2 2 − y x
- 408. Moisés Villena MuñozCónicas 75 Ejemplo 4 Grafique la región del plano ( ) { } 1 2 4 / , 2 − ≤ ≤ − = x y x y x R Ejemplo 5 Grafique la región del plano ( ) { } 2 1 2 , / 4 2 R x y x y x = − − ≤ ≤ − + ( ) 5 , 3 ( ) 3 , 1 − − 4 2 − = x y 1 2 − = x y 2 4 x y − − = 2 2 1 + − = x y
- 409. Moisés Villena MuñozCónicas 76 Ejercicios Propuestos 3.5 1. Si 1 : ) , ( 2 2 2 2 ≤ − b y a x y x p , grafique ) , ( y x Ap . 2. Grafique las regiones en el plano definidas por: 1. 9 5 3 2 2 ≤ + y x 2. 16 2 2 ≥ + y x 3. 1 9 18 2 2 + y x 4. 1 100 25 2 2 − ≥ − y x 3. Grafique en el plano el conjunto solución de los siguientes sistemas: 1) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + ≤ + 2 16 2 2 y x y x 2) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + 4 1 2 2 2 2 y x y x Misceláneos 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (indique vértices, focos, centros asíntotas) 2. Califique como Verdadera o falsa cada una de las proposiciones. Justifique formalmente su respuesta. a. La ecuación c by ax y x = + + + 2 2 representa una circunferencia para todos los números reales diferentes de cero a,b,c. b. La distancia entre los focos de la gráfica de 1 2 2 2 2 = + b y a x es 2 2 2 b a − c. La ecuación 0 4 2 2 2 = + − + kx y x describe una circunferencia si y sólo si ( ) ( ) +∞ ∪ − −∞ ∈ , 2 2 , k d. El vértice de una parábola es el foco de la otra parábola y viceversa, si la ecuación de una de ellas es 0 1 4 2 2 = + − − x y y , entonces la ecuación de la otra parábola es 0 4 2 2 2 = − + + x y y e. La cónica de ecuación 2 2 1 y x x = + − , tiene su foco en ( ) 1,0 . f. Sea la parábola P , cuya ecuación es 2 : 2 3 5 2 0 P y y x − + + = , su foco tiene por coordenadas 0 107 3 , 40 4 F ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ g. Sea la ecuación 2 2 2 3 2 0 Ax y x y − + − = con Re = ; 0 A ∀ , la ecuación describe una hipérbola. h. 3. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el vértice de la parábola que tiene por ecuación 0 3 2 = − + y y x , y contiene al foco de la misma. Resp. ( ) ( ) 144 1 2 6 1 2 12 1 = − + − y x 1. 0 22 6 4 2 = + − + x y y 2. 32 10 6 5 3 2 2 = + + − y x y x 3. 0 36 12 12 2 2 = + − − + y x y x 4. 0 6 6 3 2 2 = + + + x y x 5. 0 9 3 4 2 2 = + − + + y x y x 6. 0 113 8 54 4 9 2 2 = + + − − y x y x 7. 32 8 9 4 2 2 = − + x y x 8. 4 2 ) 1 ( 2 + = − x y 9. 0 4 4 2 = − − y x x 10. 0 4 16 4 2 2 = + − + − y y x x 11. 0 156 96 100 16 25 2 2 = − − + + y x y x 12. 0 28 8 4 2 = + − − x y y 13. 0 16 8 3 4 2 2 = + + − x y x
- 410. Moisés Villena MuñozCónicas 77 4. Una circunferencia tiene por ecuación ( ) 1 2 2 2 = − + y x . La recta de ecuación kx y = donde R k ∈ , es tangente a la circunferencia. Halle todos los valores posibles de k . Resp. 3 ± = k 5. Determine la ecuación del conjunto de puntos ) , ( y x P tales que la suma de la distancia de P a los puntos ) 0 , 4 (− y ) 0 , 4 ( es 14. Resp. 1 33 49 2 2 = + y x 6. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos ) , ( y x P tales que la distancia al punto ) 3 , 1 ( − es dos veces la distancia a la recta definida por la ecuación 0 4 = − x . Resp. ( ) ( ) 1 12 3 4 5 2 2 = + − − y x 7. Un avión sigue una trayectoria tal que su distancia a una estación de radar situada en el punto ) 0 , 2 ( es igual a un tercio de su distancia a una carretera que sigue el trayecto de la recta definida por 2 − = x . Determine la ecuación de la trayectoria que sigue el avión. Resp. ( ) 1 2 2 4 9 2 2 5 = + − y x 8. Determine la ecuación del lugar geométrico compuesto de puntos ) , ( y x P que cumplen con la condición de que su distancia al eje ‘y’ es el doble que su distancia al punto (2,-3). Resp. 0 52 24 16 4 3 2 2 = + + − + y x y x 9. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un tercio de su distancia al punto (4,1). Determine la ecuación del lugar geométrico, Resp. 0 55 38 28 8 8 2 2 = + + − + y x y x 10. Determine la ecuación general del lugar geométrico definido por el conjunto de puntos ( ) y x, ubicados en el plano tales que la distancia al punto ( ) 2 , 1 − − es el doble de la distancia a la recta definida por la ecuación 0 3 = − x . Resp. 0 31 4 26 3 2 2 = + − − − y x y x 11. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la distancia a la recta 0 3 = + x es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto (1,1). Resp. 0 1 4 2 2 = + − − x y y 12. Sea ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = − + 0 5 2 2 0 25 4 : ) , ( 2 2 2 2 y x y x y x p hallar ) , ( y x Ap . Resp. ( )( )( )( ) { } 2 , 7 , 2 , 7 , 2 , 7 , 2 , 7 ) , ( 2 3 2 3 2 3 2 3 − − − − = y x Ap 13. Hallar los valores de ‘b’ para los cuales el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = + b x y y x 4 2 2 tiene solución única. Resp. 2 2 ± = b 14. Sea el sistema ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − − − = + + − − 0 16 2 8 0 16 3 8 2 2 2 1 1 2 a x a y y a x a y y , + ∈ R a a 2 1, . Encuentre los valores de 2 1,a a para que el sistema tenga solución en 2 R . Resp. 0 2 1 a a 15. Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas (realice las respectivas gráficas) 1. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = 3 2 2 x y x y 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = 2 2 9 20 x y yx
- 411. Moisés Villena MuñozCónicas 78 2. ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 9 6 25 2 2 2 y x y x 4. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + 4 12 2 2 2 2 y x y x Resp. 1. ( ) ( ) { } 1 , 1 , 9 , 3 ) , ( − = y x Ap 2. ( )( ) { } 2 , 21 , 2 , 21 ) , ( − = y x Ap 3. ( ) ( ) ( )( ) { } 4 , 5 , 4 , 5 , 5 , 2 , 5 , 2 ) , ( − − = y x Ap 4. ( )( )( )( ) { } 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 ) , ( − − − = y x Ap 16. Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto (-1,6) y es tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación 0 3 6 2 2 2 = − − − + y x y x . Resp. 0 20 3 2 = + − y x 17. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 3 − y es tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación 0 47 4 8 4 4 2 2 = − + + + y x y x . Resp. 2 9 2 3 + − = x y o 2 17 2 3 − − = x y 18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta que tiene por ecuación 0 31 4 = + + y x y es tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación 0 8 6 2 2 = − + + x y x . Resp. 2 7 4 1 + − = x y o 5 4 1 − − = x y 19. Determine la ecuación de la recta l que contiene al centro de la elipse de ecuación 0 4 36 8 9 4 2 2 = + − + + y x y x y contiene al foco de la parábola de ecuación 0 5 4 6 2 = + − − y x x . Resp. 0 3 2 = − + y x 20. Determine la ecuación de la parábola que es cóncava hacia arriba y contiene tres de los vértices de la elipse cuya ecuación es 2 2 9 4 36 x y + = . Resp. ( ) 2 4 3 3 x y = − − 21. Determine el valor de la distancia mínima entre la circunferencia C y la recta L , si sus ecuaciones son respectivamente 2 2 : 2 4 4 0 C x y x y + + − − = y : 2 6 0 L x y − − = . Resp. 11 1 5 d = − 22. Dadas una circunferencia C y una elipse E que son concentricas de las cuales se conoce la ecuación de la elipse 2 2 :9 16 18 64 62 0 E x y x y + + − − = y que C es tangente al eje , determine la ecuación de C . Resp. ( ) ( ) 2 2 1 2 22 x y + + − = 23. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2 2 2 r y x = + , en el punto ) , ( 1 1 y x perteneciente a la circunferencia es: 2 1 1 r y y x x = + .