investigacion de operaciones

1. UNIDAD I
INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES I
LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

2. Módulo I
Introducción a la
Investigación de
Operaciones
Fuente: http://cerasis.com/wp-content/uploads/2013/09/problem-solving-steps-featured-image.jpg

3. Lic. Bernardo Latorre
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Investigación de Operaciones
La principal responsabilidad, no delegable de un
gerente de toda empresa es la toma de decisiones
estratégicas; el principio de la toma de una
decisión, generalmente empieza cuando se detecta
un problema. Ya conocido el problema, el gerente
debe proceder a definirlo de manera clara y
formular el objetivo, seguidamente identifica la
limitaciones (denominadas de manera corriente,
como restricciones), a partir de ahí evalúa las
alternativas y seguramente el mejor curso de
acción que lo llevará a la solución óptima.
Este proceso lo realiza de manera cualitativa o
cuantitativa. Si lo hace bajo el enfoque cualitativo,
el gerente está confiando en su juicio personal o
en su experiencia pasada en situaciones similares. Si lo hace bajo el enfoque cuantitativo, no
necesariamente debe tener experiencia en casos similares, pero si debe hacer un análisis
exhaustivo, especialmente si la decisión involucra una gran cantidad de dinero, un conjunto
de variables muy grande ó se trata de un problema altamente repetitivo, en cuyo caso, el
desarrollo de un procedimiento cuantitativo ahorrará tiempo valioso al gerente.
La habilidad para resolver problemas mediante el análisis cuantitativo, es propio de cada
gerente, pero puede adquirirse ó aumentarse con la experiencia. Esta habilidad puede
adquirirse mediante el estudio de las herramientas matemáticas que ofrece la investigación
de operaciones, ellas le permitirán maximizar la efectividad en la toma de decisiones,
pudiendo comparar y combinar información cualitativa y cuantitativa.
Reseña del Fundamento de
Investigación de Operaciones
La humanidad ha logrado muchos de sus progresos en los siglos más recientes, como
consecuencia de la aplicación del método científico a la administración (Planeación,
Organización y Control de Operaciones).
La Ingeniería Industrial nació cuando el hombre aplicó el método científico a los problemas
administrativos. Para finales del siglo XIX Frederick W. Taylor, convirtió la Ingeniería
Industrial en una profesión, mereciéndole el título de padre la de administración científica,
mediante su trabajo que maximizó el rendimiento de los mineros, determinando que la única
variable realmente significativa era el peso combinado de la pala y su carga, diseñando
diferentes palas para diferentes tipos de materiales. Otro hombre importante en los
principios de la administración científica fue Henry L. Gantt quien trabajó en resolver el
Fuente: http://www.globetom.co.za/sites/default/

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problema de la planeación de la producción. Mientras que Taylor se enfocaba en resolver un
problema único, Gantt adoptó un punto de vista más amplio al observar los diferentes pasos
en una operación completa. Éste cambio de interés alejándose de lo particular de la
administración hacia aspectos más amplios fue en realidad una transferencia de énfasis de la
Ingeniería Industrial a la Investigación de Operaciones con un enfoque multidisciplinario a
problemas complejos, reconociéndose la necesidad de tener especialistas, reunidos para
trabajar en equipos de investigación con sistemas completos en vez de partes del sistema.
El concepto de Investigación de Operaciones nació durante la primera guerra mundial en
Inglaterra entre los años 1914 – 1915, cuando F. W. Lanchester intentó tratar
cuantitativamente las operaciones militares, obteniendo ecuaciones que relacionaban el
resultado de una batalla en función de la fuerza numérica relativa de los combatientes y de
su capacidad relativa de fuego. Lanchester modeló una situación que involucraba opciones
estratégicas, y después probó ese modelo contra la situación real. Éste procedimiento es el
que los Investigadores de Operaciones han venido practicando desde entonces.
Tomás Alva Edison en los Estados Unidos de América, estudió el proceso de la guerra
antisubmarina. Efectuó un análisis estadístico para desarrollar maniobras mediante las cuales
los barcos pudieran evadir y destruir a los submarinos.
En 1917, el matemático Danés A. K. Erlang, que trabajaba en la compañía telefónica de
Copenhage, publicó el trabajo Soluciones a algunos problemas en la teoría de
probabilidades importantes en las centrales telefónicas automáticas, contenía fórmulas de
tiempo de espera que más tardes fueron empleadas por la Oficina Postal Británica para
calcular el número de circuitos necesarios.
En 1915 Ford W. Harris describió el primer modelo sobre el tamaño de lote económico de
inventario, posteriormente contribuyeron al desarrollo de modelos de control de inventarios
H. S. Owen (1925), Benjamín Cooper (1926), R.H. Wilson (1926) y W. A. Mueller (1927). Las
técnicas matemáticas del control de inventarios son de las más antiguas herramientas de la
Investigación de Operaciones.
El desarrollo de la Programación Lineal ocurrió hacia 1760 cuando los economistas
empezaron a describir sistemas económicos en términos matemáticos. El profesor de
Harvard Wassily Leontieff desarrolló un modelo de programación Lineal que representaba la
totalidad de la economía de los Estados Unidos de Norte América.
Como consecuencia del ingreso de Inglaterra a la segunda guerra mundial dos años antes que
Estados Unidos, en 1939 existía un núcleo de una organización Británica de Investigación de
Operaciones y sus principales aportes fueron: El mejoramiento del sistema de radar, el
cañoneo antiaéreo, en la guerra antisubmarina, en la defensa de la población civil, en el
diseño del tamaño de los convoy y en la conducción de ataques de bombardeo sobre
Alemania.
El grupo de Investigación de Operaciones con mayor publicidad fué el denominado El circo
de blackett dirigido por el profesor P.M.S. Blackett de la Universidad de Manchester,
ministro de la Royal Society, laureado nobel y ex-oficial naval. El grupo estaba conformado
por 3 Fisioligistas, 2 Físicos matemáticos, 1 Astrofísico, 1 Oficial del ejército, 1 Topógrafo, 1
Físico general y 2 Matemáticos. El valor del enfoque del equipo Heterogéneo fué de éxito
notorio.

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Al ingresar los Estados Unidos a la segunda guerra mundial, creó grupos de análisis de
operaciones en la fuerza aérea y en la armada, ésta última creó grupos de Investigación de
Operaciones en el Laboratorio de municiones naval y en la décima flota. Después de la
segunda guerra mundial, tanto el ejército como la fuerza aérea de los Estados Unidos de
Norte América, continuaron con los grupos de Investigación de Operaciones pero las técnicas
desarrolladas empezaron a ser usadas en la planeación de los negocios. La industria debía
renovar su producción y organización para servir rápidamente a las necesidades en tiempos
de paz. En 1950, se organiza la Operations Research Society of América (ORSA) y The Institute
of Management Science (TIMS).
Desde 1952 ORSA publica la revista Operations Research y desde 1953 TIMS publica su
revista Management Science. Desde la década de los 70 (s) las dos sociedades publican la
revista trimestral Interfases con trabajos y artículos relacionados con los problemas
operacionales del uso de la ciencia administrativa y la investigación de Operaciones. En
Inglaterra se formó en 1948 el Operational Research Club quien cambió su nombre
posteriormente a la Operational Research Society of the United Kingdom y para 1950 crearon
la revista Operational Research Quarterly. Más recientemente se han formado sociedades de
Investigación de Operaciones en Francia, Italia, Israel y Austria.
Pero, ¿qué es la Investigación de Operaciones?
“Es la ciencia de la toma de decisiones”
Es el uso de la Matemática y computadoras para ayudar a tomar decisiones racionales frente
a problemas de administración –Mathur-
La toma de Decisiones
La Investigación de Operaciones ofrece a los gerentes herramientas cuantitativas para la
toma de decisiones que resuelven los problemas diarios de un negocio ó sirven para tomar
decisiones en la planeación a corto o largo plazo, sea el negocio de carácter gubernamental,
de producción, de servicios, gremial ó cooperativo.
En el uso de la investigación de operaciones se aplican los siguientes seis pasos
metodológicos científicos a saber:
1. Análisis y definición del problema.
2. Desarrollo del modelo.
3. Selección de datos de entrada.
4. Obtención de una solución.
5. Limitaciones del modelo y la solución.
6. Utilización del modelo.

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Antes de Ingresar con el desarrollo de la aplicación de las matemáticas, en el modelamiento,
obtención de un resultado y la interpretación de los mismos, es necesario realizar un repaso
rápido de conceptos básicos que aplicaremos a lo largo de este material.
Conceptos básicos
a) Sistema Cartesiano
En matemáticas, el sistema de referencia se forma sobre un plano con dos rectas
perpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra O
(ORIGEN DE COORDENADAS)
Ejemplo:
b) Constante:
Una constante es un número por sí solo (en el ejemplo siguiente: 4, 5 y 7)
Ejemplo: 4 X – 5 = 7
c) Variable:
Es un símbolo para un número que aún no sabemos. Usualmente se denotan por
una letra como x o y.
El punto A está
ubicado en las
coordenadas
(5,2), y el punto
B en (2,5)
El punto
P está
ubicado
en (3,5)
El eje perpendicular se denomina eje
de abscisas o eje de las x, mientras
que el eje vertical se denomina eje
de ordenadas o eje de las y.

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d) Ecuación:
Del latín aequatĭo, es una igualdad que contiene una o más incógnitas. Se conoce
como miembros a las expresiones algebraicas que presentan los datos (los valores
conocidos) y las incógnitas (los valores desconocidos) relacionados a través de
operaciones matemáticas.
Ejemplo 4 + X = 9 2X – 3Y = 250
e) Inecuación
Es una desigualdad entre dos expresiones en las que aparecen una o varias
incógnitas.
Ejemplo 2X < 8 2X + Y > 120
2X + 5Y ≤ 100 X – 2Y ≥ 400
Con estos conceptos, vamos a realizar un repaso de graficar pares de puntos.
GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN
Ejemplo: 2x + 3y = 60
Para graficar una recta (como la del ejemplo) se necesita como mínimo 2 pares de puntos
por la que pasa dicha recta. La forma más utilizada es el par de puntos por donde la recta
corta a los ejes (es decir, primero hacemos X = 0 y luego Y = 0.)
Punto 1: (X = 0) 2x + 3y = 60 → 2 (0) + 3y = 60 → y = 60/3
Punto 1 = (0,20)
Punto 2: (Y = 0) 2x + 3y = 60 → 2 x + 3 (0) = 60 → x = 60/2
Punto 2 = (30,0)

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GRÁFICO DE UNA INECUACIÓN
Ejemplo: 2x + 3y ≤ 60
Está compuesta por: 2x + 3y = 60 (recta) y
2x + 3y ‹ 60 (área)
Para graficar la recta, procedemos de la misma manera que GRAFICO DE UNA RECTA.
Para graficar el área: ubicamos pares de puntos por encima y por debajo de la recta.
2x + 3y = 60 y una de ella debe satisfacer la expresión < (menor a)
Ejemplo: el punto (0,0) – origen de coordenadas- (que se encuentra por debajo de la recta)
reemplazo en la expresión: 2x + 3y < 60 y debe cumplir la condición de < (menor a):
Punto (0,0) en 2x + 3y < 60 → 2(0) + 3(0) < 60 cumple, por lo que el área considerada
es la comprendida entre la recta y el punto considerado.

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Investigación de Operaciones I
Tiene por objetivo el modelamiento, resolución y análisis para la toma de decisiones de
Problemas de Programación Lineal (PPL)
¿Qué es la Programación Lineal?
1. Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas
que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor
manera posible.
2. La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del
sistema llamado Modelo de Programación Lineal.
3. El Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de
decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una Función Objetivo.
4. Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es
lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de
cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es
proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus
restricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). La contribución de cada
variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las
variables de decisión pueden aceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar
valores fraccionales, sería preferible usar Programación Lineal Entera.
5. La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica: a) Definir claramente las
variables de decisión y expresarlas simbólicamente o convencionalmente. b) Definir
claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente
como funciones lineales.
6. Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el
mismo período de tiempo.
7. Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto
acerca el modelo a la realidad. En los programas de computadora para resolver
modelos lineales, ya está incluida esta condición y no hace falta incorporarla
manualmente.

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Concepto de:
 Modelamiento Matemático: es una representación que describe en forma simplificada el
comportamiento de un fenómeno o experimento o un objeto real; en forma concreta, o
matemáticos están constituidos por todas las ecuaciones matemáticas requeridas para
representar satisfactoriamente un fenómeno o experimento.
 Variables de decisión: son incógnitas que deben ser calculadas a partir de la solución del
problema. Ejemplo: X representa la cantidad de vehículos a ser vendidos.
 Restricciones: son expresiones de relaciones entre variables. Dichas relaciones se
representan mediante restricciones en la programación matemática, y tienen la
formulación de una combinación lineal de variables limitada por un determinado valor.
 No negatividad: Condiciones del modelo que estipulan que las variables de decisión
deben tener sólo valores no negativos (positivos o nulos). Ejemplo: Xij ≥ 0
VAMOS A LA APLICACIÓN PRÁCTICA CON EJEMPLOS:
CASO RESUELTO 1: Alfajores EL MEJOR produce dos tipos de alfajores: el tradicional y el
especial. En la siguiente tabla se presenta los datos básicos de producción:
Consumo de materia prima
(gramos)
Disponibilidad en
(kilos)
Tradicional Especial
Materia Prima A 60 40 24
Materia Prima B 100 200 60
Precio de Venta
por unidad ($)
500 400
Se le pide a Usted que determine la cantidad de producción de ambos productos, que
optimice los recursos disponibles.

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Paso 1: definimos la/s variable/s de decisión:
En este caso:
X = cantidad (en unidades) de alfajores tipo TRADICIONAL a producir.
Y = cantidad (en unidades) de alfajores tipo ESPECIAL a producir.
Paso 2: definimos el objetivo (la meta) que se trata de optimizar.
En este caso, al tener Precio unitario de ventas, vamos a optimizar el ingreso de la siguiente
manera:
Max Z = 500 X + 400 Y
Paso 3: definimos la/s restricción/es que debemos satisfacer:
En este caso:
Limitación 1: disponibilidad de Materia Prima A:
0,060 X + 0,040 Y ≤ 24
Limitación 2: disponibilidad de Materia Prima B:
0,100 X + 0,200 Y ≤ 60
Paso 4: definimos la no negatividad (es decir, no producir cantidades negativas).
X, Y ≥ 0
Por lo que el problema se resume a:
Max Z = 500 X + 400 Y
0,060 X + 0,040 Y ≤ 24 Restricción 1
0,100 X + 0,200 Y ≤ 60 Restricción 2
X, Y ≥ 0

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CASO RESUELTO 2: Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600
millones de guaraníes y el coste de una casa de tipo A es de 26 millones y 16 millones una de
tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el
20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 32 millones y cada una de tipo B en 18.
¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
Paso 1: definimos la/s variable/s de decisión:
En este caso:
M = cantidad (en unidades) de viviendas tipo A a construir.
N = cantidad (en unidades) de viviendas tipo B a construir.
Cantidad de casas a construir = M + N
Paso 2: definimos el objetivo (la meta) que se trata de optimizar.
En este caso, al tener Precio unitario de ventas, vamos a optimizar el ingreso de la siguiente
manera:
Max Z = 32 M + 18 N (maximizar ingresos totales –en millones $- por ventas
de los tipos de viviendas)
Paso 3: definimos la/s restricción/es que debemos satisfacer:
En este caso:
Limitación 1: disponibilidad de recursos $ para la construcción:
26 M + 16 N ≤ 600 (en millones)
Limitación 2: número de casas tipo A a construir.
M ≥ 0,4 (M+N)
Limitación 3: número de casas tipo B a construir.
N ≥ 0,2 (M+N)
Paso 4: definimos la no negatividad (es decir, no producir cantidades negativas).
M, N ≥ 0

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Por lo que el problema se resume a:
Max Z = 32 M + 18 N
M ≥ 0,4 (M+N) 0,6 M – 0,4 N ≥ 0
M ≥ 0,2 (M+N) -0,4 M + 0,6 N ≥ 0
M, N ≥ 0
CASOS PRÁCTICOS
CASO 01: Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 50 Gs., por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más
grandes, le paga 70 Gs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A,
en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es:
¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea
máximo?
Caso 02: Un colectivo de NSA que hace Asunción-CDE ofrece plazas para fumadores al precio
de 100.000 Gs y a no fumadores al precio de 60.000 Gs. Al no fumador se le deja llevar 50
kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta
3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con
la finalidad de optimizar el beneficio?
Caso 03: A una persona le tocan 10 millones de dólares en una lotería y le aconsejan que las
invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un
beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después
de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A
y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A
sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le
beneficio anual sea máximo?
Caso 04 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B
y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe
mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se
necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C.
Si se venden las tartas T1 a 10.000 Gs la unidad y las T2 a 20.300 GS. ¿Qué cantidad debe
fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
Caso 05: un fabricante de bombones entrega sus productos en cajas de un kilogramo, en dos
variedades: A y B. La caja tipo A contiene 300 gramos de bombones de licor, 500 gramos de
bombones de nuez y 200 gramos de bombones de frutas: La caja tipo B contiene 400 gramos,
200 gramos y 400 gramos de cada tipo de bombón, respectivamente

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La utilidad por cada caja de bombones tipo A es de 120$, y por cada caja de tipo B es de 90$.
El fabricante dispone de 100 Kgs de bombones de licor, 120 kilogramos de bombones de
nuez, 100 kilogramos de bombones de frutas. Se desea definir la cantidad de cajas de cada
tipo que debe armar en esta situación para que su beneficio sea máximo.
Caso 06: Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 500.000 Gs. Le
ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 500 Gs el kg. y las de tipo B a 800 Gs. el kg.
Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas
como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 580 Gs. y el kg. de tipo B a 900
Gs., contestar justificando las respuestas:
a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo
beneficio?
b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Caso 07: Una joyería produce dos tipos de joyas: La tipo 1 y la tipo 2. Cada joya tipo 1
contiene 2 rubíes y 4 diamantes y se vende a $10/Unidad y tiene un costo de producción de
$5/Unidad. Cada joya tipo 2 contiene 1 rubí y 1 diamante, se vende a $6/Unidad y tiene un
costo de producción de $4/Unidad. La joyería dispone de 30 rubíes y 40 diamantes para
producir las joyas, como también de 5.000$ para costos de producción. Por la situación del
mercado, se deben producir al menos 10 joyas del tipo 2. Formule el problema de
programación lineal para maximizar la utilidad neta de la joyería.
BIBLIOGRAFÍA:
 Andy Taha (2004), Investigación de operaciones, México – Editorial Pearson
Educacional
 G.D. Eppen/F. J. Gould (2000), Investigación de Operaciones en las Ciencias
Administrativas, México-Editorial Prentice Hall.