Ejercicios de cálculo 3, vector tangente normal y binormal

1. Vector tangente, normal y binormal a una curva
𝒆𝒕=𝑻 =
𝒇 ′
‖𝒇
′
‖
Donde es la función vectorial de la curva
Vector tangente unitario
Vector tangente
𝒇 ′
‖𝒇 ‖=𝑐
( 𝒇 ∙ 𝒇 )
1
2
=𝑐
( 𝒇 ∙ 𝒇 )=𝑐2
𝐷 ( 𝒇 ∙ 𝒇 )=0
𝒇 ∙ 𝒇 ′
+ 𝒇 ′
∙ 𝒇 =0
2 𝒇 ∙ 𝒇 ′
=0
𝒇 ∙ 𝒇 ′
=0
𝒇 ⊥ 𝒇 ′
𝒆𝒏= 𝑵=
𝑻′
‖𝑻
′
‖ Vector normal unitario
Para una curva plana:
𝑵 =𝑻⊥
𝑜 𝑵=−𝑻⊥
𝒆𝒃= 𝑩=𝑻 × 𝑵 Vector Binormal unitario

2. Plano osculador: generado por
Plano normal: generado por
Plano rectificante: generado por

3. Hallar los planos osculador, rectificante y normal a la curva en el punto dado.
𝒆𝒕=𝑻 =
𝒓′
‖𝒓′
‖
𝒓′
(𝑡)=(4 cos𝑡 , − 4 sin 𝑡 ,2)
𝑻 =
𝒓′
‖𝒓′
‖
=
( 4 cos𝑡 ,− 4 sin 𝑡 , 2)
2√5
=
( 2
√5
cos𝑡 ,−
2
√5
sin 𝑡 ,
1
√5 )
‖𝒓
′
(𝑡)‖=√16 cos
2
𝑡+16 sin
2
𝑡+4=√20=2 √5
𝑵 =
𝑻 ′
‖𝑻 ′
‖
𝑻′
=
(−
2
√5
sen𝑡 ,−
2
√5
cos𝑡 ,0
)
‖𝑻
′
(𝑡)‖=
√4
5
sen
2
𝑡+
4
5
𝑐𝑜s
2
𝑡+0=
√4
5
=
2
√5
𝑵 =
𝑻
′
‖𝑻 ′
‖
=
(−
2
√5
sen𝑡 , −
2
√5
cos 𝑡 , 0
)
2 /√5
=(− sin 𝑡 ,− cos𝑡 , 0)
𝑻 (𝜋
3 )=
( 1
√5
,−
√3
√5
,
1
√5 )
𝑵 (𝜋
3 )=(− √3
2
,−
1
2
,0)

4. 𝑻 (𝜋
3 )=
( 1
√5
,−
√3
√5
,
1
√5 )
𝑵 (𝜋
3 )=(−
√3
2
,−
1
2
,0)
𝑩=𝑻 × 𝑵=
|
𝒊 𝒋 𝒌
1
√5
− √3
√5
1
√5
− √3
2
−
1
2
0 |=
(0+
1
2√5 )𝒊−(0+
√3
2√5) 𝒋+
( 1
2√5
−
3
2√5)𝒌=( 1
2√5
,−
√3
2√5
,−
1
2√5 )
𝑩=
( 1
2√5
,−
√3
2√5
,−
1
2√5)
Vectores normal, tangente, binormal unitarios
El punto para los planos, es evaluar la función posición en
𝒓 (𝜋
3 )=(4 sin
𝜋
3
, 4 cos
𝜋
3
,2(𝜋
3 ))=(2 √3 ,2,
2
3
𝜋)=𝑃𝑜 ⃗
𝑃𝑜 𝑃=(𝑥−2√3, 𝑦 −2, 𝑧 −
2
3
𝜋)

5. Planos normal, tangente, binormal unitarios
√5 𝑻 (𝜋
3 )=(1 ,− √3 ,1 )
2 𝑵 (𝜋
3 )=(− √3 ,− 1,0)
2√5 𝑩=(1,−√3 ,−1) Plano osculador: generado por
Plano normal: generado por
Plano rectificante: generado por
⃗
𝑃𝑜 𝑃=(𝑥−2√3, 𝑦 −2, 𝑧 −
2
3
𝜋)
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
𝑥 −2√3− √3 𝑦 −2 √3− 𝑧+
2
3
𝜋=0 𝑥− √3 𝑦 − 𝑧=4 √3−
2
3
𝜋
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
𝑥 −2 √3− √3 𝑦 −2√3+𝑧 −
2
3
𝜋=0 𝑥 − √3 𝑦+𝑧=4 √3+
2
3
𝜋
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
−√3 𝑥− 6− 𝑦+2=0 −√3 𝑥− 𝑦=4

6. Hallar los planos osculador, rectificante y normal a la curva en el punto dado.
𝒓′
(𝑡)=(− 2sin 𝑡 ,2cos𝑡 ,
1
2 )
‖𝒓′
(𝑡)‖=
√4sin2
𝑡+4cos2
𝑡+
1
4
=
√4+
1
4
=
√17
4
=
√17
2
𝑻 =
𝒓′
‖𝒓′
‖
=
(−2 sin 𝑡 , 2 cos 𝑡 ,
1
2 )
√17
2
=
(−
4
√17
sin 𝑡 ,
4
√17
cos𝑡 ,
1
√17 )
𝑻 ′=(−
4
√17
cos 𝑡 ,−
4
√17
sen𝑡 ,0) ‖𝑻′
(𝑡)‖=
√16
17
cos2
𝑡+
16
17
sen2
𝑡+0=
√16
17
=
4
√17
𝑵 =
𝑻
′
(𝑡 )
‖𝑻
′
(𝑡 )‖
=
(−
4
√17
cos𝑡 , −
4
√17
sen𝑡 , 0
)
4
√17
=(− cos𝑡 ,− sin 𝑡 , 0)
𝑻 (𝜋
𝟐 )=
(−
4
√17
sin
𝜋
2
,
4
√17
cos
𝜋
2
,
1
√17 )=
(−
4
√17
,0,
1
√17 )
𝑵 (𝜋
2 )=(−cos
𝜋
2
, −sin
𝜋
2
, 0)=(0 , −1,0)

7. 𝑩=𝑻 × 𝑵=
|
𝒊 𝒋 𝒌
−
4
√17
0
1
√17
0 − 1 0
|=
(0+
1
√17 )𝒊 −(0 ) 𝒋+
( 4
√17
− 0
)𝒌=
( 1
√17
, 0 ,
4
√17 )
𝑻 (𝜋
𝟐 )=
(−
4
√17
,0,
1
√17 )
𝑵 (𝜋
2 )=(0 , −1,0 )
𝑩=
( 1
√17
,0,
4
√17 )
Los vectores normal, tangente y binormal, son:
os vectores que se usarán para los planos, pueden ser un múltiplo (sólo para simplificar los cálculos), y serían:
√17 𝑻 (𝜋
𝟐 )=(− 4,0,1)
𝑵 (𝜋
2 )=(0 , −1,0 )
√17 𝑩=(1,0,4)

8. √17 𝑻 (𝜋
𝟐 )=(− 4,0,1)
𝑵 (𝜋
2 )=(0 , −1,0 )
√17 𝑩=(1,0,4)
Plano osculador: generado por
Plano normal: generado por
Plano rectificante: generado por
: Ecuación cartesiana del plano
𝑃𝑜 =𝒓 (𝜋
2 )=(2 cos
𝜋
2
, 2 sin
𝜋
2
,
𝜋
4 )=(0,2 ,
𝜋
4 ) ⃗
𝑃 𝑜 𝑃=(𝑥 − 0 , 𝑦 −2 , 𝑧 −
𝜋
4 )=(𝑥 , 𝑦 − 2 , 𝑧 −
𝜋
4 )
𝑃=(𝑥 , 𝑦 ,𝑧 )

9. Plano osculador: generado por
√17 𝑩=(1,0,4)
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
⃗
𝑃 𝑜 𝑃=(𝑥 , 𝑦 − 2 , 𝑧 −
𝜋
4 )
𝑥+ 0+ 4 (𝑧 −
𝜋
4 )=0 𝑥+4 𝑧 − 𝜋=0 𝑥+4 𝑧=𝜋
Plano normal: generado por
√17 𝑻 (𝜋
𝟐 )=(− 4,0,1)
⃗
𝑃 𝑜 𝑃=(𝑥 , 𝑦 − 2 , 𝑧 −
𝜋
4 )
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
− 4 𝑥 +0+𝑧 −
𝜋
4
=0
−16 𝑥+𝑧 −𝜋=0 −16 𝑥+𝑧=𝜋
Plano rectificante: generado por
𝑵 (𝜋
2 )=(0 , −1,0 )
⃗
𝑃 𝑜 𝑃 ∙𝒏=0
0 − 𝑦 +2+0=0 𝑦=2

12. Angulo entre curvas
Siempre que se intersecten, existirá, un punto de intersección y un ángulo entre estas dos curvas
𝒓′
(𝑃𝑜 )=𝒓′
𝒇 ′
( 𝑃𝑜 )= 𝒇 ′
cos 𝜃=
|𝒇 ′
∙𝒓 ′|
‖𝒇 ′‖‖𝒓 ′‖

13. , significa que se intersectan
𝒓 (4)=(4− 2,4
2
,
1
2
(4))=(2,16,2)
𝒖( 8)=(1
4
(8) ,2( 8) ,
3
√8)=(2,16,2)
𝒓′
(𝑡)=(1,2𝑡 ,
1
2) 𝒓′
(4)=(1,2( 4) ,
1
2 )=(1,8,
1
2)
𝒖
′
(𝑡 )=
(1
4
, 2 ,
1
3
3
√𝑠
2 )𝒖′
(8 )=
(1
4
, 2 ,
1
3
3
√8
2 )=(1
4
, 2 ,
1
12 )
𝒓′
∙ 𝒇 ′
=
1
4
+16+
1
24
=
391
24
‖𝒓
′
‖=
√1+64+
1
4
=
√261
4
‖𝒇
′
‖=
√1
16
+4+
1
144
=
√586
144
cos 𝜃=
|𝒇 ′
∙𝒓 ′|
‖𝒇 ′‖‖𝒓 ′‖
=
391
24
√261
4 √586
144
=0.9997
θ=1.18°

15. 𝒓 (𝑡=0 )=(0,1,0 )
𝒖( 𝑠=0 )=( 0,1,0)
Si se intersectan, en el punto (0,1,0)
𝒓′
(𝑡)=(1, − sin 𝑡 , cos𝑡) 𝒂=𝒓′
(𝑡=0 )=(1 , 0,1)
𝒖
′
( 𝑠)=(−sin 𝑠cos 𝑠,−sin 𝑠cos 𝑠− cos 𝑠,
1
2
sin 𝑠 (−sin 𝑠)+
1
2
cos𝑠 cos 𝑠+
1
2) 𝒃=𝒖′
( 𝑠=0 )=( 0 ,− 1,1
cos 𝜃=
|𝒇
′
∙𝒓 ′|
‖𝒇 ′‖‖𝒓 ′‖
=
𝒂∙𝒃
‖𝒂‖‖𝒃‖
‖𝒂‖=√2
‖𝒃‖=√2
𝒂∙𝒃=0++0+1=1
cos 𝜃=
𝒂∙𝒃
‖𝒂‖‖𝒃‖
=
1
√2√2
=
1
2 𝜃=
𝜋
6