Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo: 1) La definición de una función vectorial y sus componentes. 2) Los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales. 3) La derivada de una función vectorial y su interpretación geométrica como vector tangente. 4) Los vectores tangente, normal y binormal asociados a una curva, y conceptos como curvatura y torsión.

1. UNI-FIC-Ciencias Básicas
Ciclo: 2011-01
Funciones Vectoriales de una variable real
Definición.- Una función vectorial f de una variable real, es una función cuyo dominio es un conjunto de
números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores en el espacio “n” dimensional o puntos de R n.
f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ),..... f i (t ).. f n (t ))
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
f : R → R 3 ; definida como f (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ))
Donde todas las funciones fi son reales, a la función fi se le llama “i-ésima” componente de f
El dominio de f esta conformado por la intersección de los dominios de f 1, f2, …fn
Si en el plano cartesiano el origen de coordenadas coincide con el origen del vector f, entonces f es un
radio vector y si t toma los valores del Df, el extremo de la punta de la flecha de f genera una curva C y se
dice que C esta definida por la función vectorial de f
Definición.- Si f y g son funciones vectoriales con rangos en R n y dominios Df y Dg en R, entonces se
cumple:
a)
( f + g)
(t )
= f ( t) + g ( t)
/ Df ∩ Dg
b)
( f − g)
(t )
= f ( t) − g ( t)
/ Df ∩ Dg
c)
( f .g )
n
= f ( t ) .g ( t ) = ∑ fi.gi ; es una función real escalar
(t )
d)
( f xg )
e)
(φ f )
i =1
(t )
(t )
= f ( t) x g ( t)
= φ(t ) f ( t )
Se define solo para R3
/ Dφ f = Dφ ∩ Df
Límites y Continuidad
Los conceptos de limite y continuidad den funciones vectoriales se definen en la misma forma que se hace
para funciones escalares
Def. Se dice que:
Lim f (t ) = b
t → to
Def.- Sea f una función vectorial y sea t o ∈ Df. Se dice que f es continua en to si se cumple las siguientes
condiciones:
i) f (to)
existe
ii)
Lim f (t )
t→ to
existe
iii)
Lim f (t ) =
t → to
f (to)
Si cualquiera de estas tres condiciones no cumple entonces f no es continua en t o
La derivada de una función vectorial
Def.- La derivada de una función vectorial f es otra función vectorial denotada por f ‘ y cuya regla de
correspondencia es: f ′(t ) = Lim
∆t → 0
f (t + ∆t ) − f (t )
∆t
si el limite existe
Def.- Si f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ),... f n (t )) , entonces f ′(t ) = ( f1′(t ), f 2′(t ), f 3′ (t ),.... f n′ (t ))
Apuntes de clase de MA-123I
Profesora: Duani Mosquera

2. UNI-FIC-Ciencias Básicas
Ciclo: 2011-01
Donde el dominio de f ′ es: Df ′ = Df1′ ∩ Df 2′ ∩ Df 3′......Df n′
Geométricamente f ′( to ) representa el vector tangente a la curva C en el punto f ( to ) . La recta Lt sigue la
dirección del vector
Si
f ( to )
f ′( to )
y esta dada por:
{
}
Lt : f ( to ) ^ +t f ′( to ) / t ∈ R
representa la posición de un objeto en movimiento, entonces la velocidad y la aceleración son:¨
v(t ) = f ′(t ) = ( f1′, f 2′,.... f n′ )
a (t ) = f ′′(t ) = ( f1′′ f 2′′....... f n′ )
,
su norma
v(t ) = f ′(t )
′
. El vector velocidad tiene la dirección del vector tangente f (t ) y
es la rapidez ó la velocidad escalar
El vector aceleración a (t ) = ¨ f ′′(t ) , apunta hacia el lado cóncavo de C hacia el lado que dobla la curva.
b
L =∫
Longitud de arco:
a
[
[
f 1′t )
(
]
2
[
+ f 2′( t )
]
2
[
]
[
2
+ f 3′( t ) .... + f n′( t )
]
2
] =∫ f ′
b
(t )
dt
a
Longitud de arco como parámetro
Sea C la curva en R3 definida por la función vectorial: f (t ) , si es diferenciable con continuidad en cierto
intervalo, entonces se dice que dentro de dicho intervalo C es rectificable, es decir la longitud de su arco
entre dos puntos puede medirse. Si se considera s la medida de la longitud del arco desde un punto f(to)
hasta un punto cualquiera f(t): s (t ) = ∫ f (′ ) du , es decir
u
ds
ds
′
>0 y
= f (t )
dt
dt
En ocasiones es más conveniente expresar la curva en función de s
t
t
t
Ejem: Si C se describe por f ( t ) =(e Cost , e Sent , e ) , escriba C en términos de la longitud de arco.
Vectores Tangente, Normal y Binormal
T =
f (′)
t
f (′)
t
, f (′) ≠ 0 T´ es perpendicular a T y es un vector normal a C
t
f´(t)
T
T´
N (t ) =
T′
T′
si T ′ ≠ 0
Apuntes de clase de MA-123I
Profesora: Duani Mosquera
B =T x N

3. UNI-FIC-Ciencias Básicas
Ciclo: 2011-01
Observaciones:
i) T, N y B son vectores unitarios
ii)T, N y B forman una triada móvil y son mutuamente perpendiculares.
iii) Si
ds
′
= f (t )
dt
f (′) = l ′(t ) T ,
t
, si s = l (t ).......s ′ = l ′(t )
la 1ª derivada tiene componente en T ó es paralela a T, se sigue derivando:
′
′
′
f (′) =l ′ (t )T +l ′(t ) T ′ = l ′ (t )T + l ′(t ) T ′ N (t )
t
La f” tiene componente T y N
Además el vector B//f´xf” y como es unitario, entonces: EMBED Equation.3 B =
′
f xf ′′
′
f xf ′′
Se puede decir que en cada punto f(t), en C existen asociados T, N y B que es la triada móvil mutuamente
ortogonales . Se puede descomponer o expresarse las derivadas de f(t) en componentes que tienen la
dirección de T, N y B.
B
PLANO
NORMAL
(P-f(t)).T=0
PLANO
RECTIFICANTE
(P-f(t)).N=0
N
PLANO
OSCULADOR
T
Curvatura:
(P-f(t)).B=0
dT
dT
dt = T ′(t ) = T ′(t ) N (t )
K (t ) =
=
ds
ds
f ′(t )
f ′(t )
dt
El vector curvatura tiene la misma dirección que el vector unitario normal principal N(t) y ortogonal al
vector tangente unitario.
La curvatura es : k (t ) =
T ′(t )
, es un número real que indica que tanto se tuerce la curva C en f(t). Es
f ′(t )
la medida de la rapidez como la curva en un punto se aparta de ser recta
Observaciones:
- La curvatura de una recta es cero.
- La curvatura de una circunferencia de radio r es 1/a
- La curvatura de una curva plana en su P:I: es cero
Apuntes de clase de MA-123I
Profesora: Duani Mosquera

4. UNI-FIC-Ciencias Básicas
Ciclo: 2011-01
- La curvatura de una curva regular C en términos de sus derivadas es: k (t ) =
- El radio de curvatura esta dado por : ρ( t ) =
′ ′
f xf ′
f′
3
solo en R 3
1
k (t )
- El centro de curvatura de C correspondiente al punto f(t) es : c = f (t ) + ρ(t ) N (t )
- A la circunferencia con radio ρ(t) y centro c, se le llama circunferencia de curvatura de C, se encuentra
sobre el plano osculador y contiene a T y N.
Torsión.- Es la medida de la rapidez de variación del vector Binormal respecto a la medida de la longitud
de arco de la curva:
′
dB dt
dB
B (t )
τ=
=
=
= −τ (t ) N (t )
dl
dl
l′
dt
τ(t ) =
′ ′
′
( f xf ′ ). f ′′
′ ′
f xf ′
2
Se puede observar que N(t) y B´(t) son paralelos.
Si la torsión es nula en todos los puntos, el vector B es el mismo no cambia y por tanto el plano osculador
no cambia, se dice que la curva es plana. Entonces se puede decir que la torsión es la rapidez con que la
curva en un punto se aparta del plano osculador.
EJERCICIOS
1.- Una partícula se mueve en el espacio
R3
partiendo en el instante t=0 del punto (1, 0, 2e-2 ). En
cada instante t>0, la velocidad de la partícula es v(t)= (-2, 2t, 4e2(t-1))
a) En que instante to el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula.
b)¿ La partícula cruza el plano : x+y=0 en algún instante?
2.- Hallar el ángulo que hacen las rectas tangentes a las curvas en su punto de intersección si
f (t ) = (t +1, t 2 , 2t ) y g (t ) = (t 2 − 2, t −1, t )
2
3.- Sea C la curva de intersección del cono z = 2 − x 2 + y 2 con el cilindro x 2 + ( y − 1) = 1 en el
primer octante. Halle la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la curva con
el plano y=1, que contiene a los vectores T y B en dicho punto.
t
2
4.- Sea C la curva definida por la función: f (t ) = (t − Sent , 1 − Cost , 4 Sen ) . Calcular la
curvatura y torsión en C en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo al plano z=1.
t
5.- Sea C una curva de ecuación: f (t ) = (t − Sent , 1 − Cost , − 4 Cos ) t ∈[ 0, 2π ] . Hallar el
2
centro de curvatura en el punto donde el radio de curvatura es máximo.
6.- Determinar los vectores T, N, B, el plano osculador , curvatura y entro de curvatura de
f (t ) = (t − Sent , 1 −Cost , t ) en t=0.
7.- Si C es la intersección del cilindro x 2 + y 2 + 2( y − x ) = 2 , con el plano: x-y-2z-2=0, halle la
curvatura y torsión, así como el plano osculador en (3,-1,1).
Apuntes de clase de MA-123I
Profesora: Duani Mosquera