1. Este documento presenta una serie de ejercicios sobre conceptos geométricos como conjuntos convexos, curvas paramétricas y sus propiedades como curvatura, torsión, planos asociados. Los ejercicios incluyen determinar si afirmaciones son verdaderas o falsas, justificar propiedades geométricas, calcular vectores como velocidad y aceleración, y hallar ecuaciones de planos y curvaturas. 2. Los ejercicios abarcan temas como funciones vectoriales, curvas planas, curvatura constante

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 22/01/12
DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N
PRACTICA DIRIGIDA No. 1
1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
a. El conjunto  2
( , ) / ( , ) (0,0)A x y R x y   es un conjunto convexo.
b. La frontera de la región   , /x y x I   es 2
R .
2. Justificar la verdad o falsedad de:
a. SI ,A B B simplemente conexo, entonces A  también es simplemente
conexo .
b. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva  , con parametrización
 3
: , ,100r I R I a  , con aceleración constante en modulo, entonces
( ). ( ) 0
t
a
a u a u du  .
3. Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,f t f t f t t Dom f      
4. Demostrar que  2
( , ) / 0A x y R x   es un conjunto abierto.
5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
c. El conjunto  2
( , ) / ( , ) ,A x y R x y IxI I   es un conjunto de los
números irracionales. ¿ A es convexo?.
d. La frontera de la región   , /x y x y I    es 2
R .
e. Sustente que el conjunto  2
( , ) / 0A x y R x   es un conjunto abierto.
f. Sustente si todo punto de acumulación de A, pertenece al conjunto A.
6. Justificar la verdad o falsedad de:
c. SI , n
A B R son simplemente conexos, entonces A B también es
simplemente conexo .
d. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva  2
: 2 , 0,10z t it t    
el parámetro t es el tiempo. Encontrar el vector velocidad y el vector
aceleración en cada instante t .
e. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva descrita por
   2
: 2 1P t i tj t k      que pase por el punto (3,2,1).
f. Si el vector aceleración es 2
( ) (3,4,0) (1.0,0)a t t t  de una partícula que se
mueve partiendo del origen, y que su velocidad escalar al cabo de t=2 s. es
5, encuentre la trayectoria de la partícula..

2. 7. Encuentre las ecuaciones de los planos osculador y rectificante para la curva
2 2 2
: 3, 3x y z x y z      
En un punto que se encuentra en la recta :L x y z  .
8. Parametrize la curva 2 2 2
: 2 , 2x y z x y z     en un punto que se encuentre
en la recta :L x y z  .
9. Define la curvatura de una curva, y encuentre la curvatura de la curva
   2
: 2 1P t i tj t k     
10.Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dicha
curva.
11.Demostrar que una curva  con parametrización ( )r t es una curva plana si
su torsión es cero en todo punto de ella.
12.Demostrar que una curva  con parametrización ( )r t tiene como curvatura
( ) ( )
( )
3( )
r t xr t
k t
r t
 

13.Parametrizar la curva  si una parametrización es
 ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t  
Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.
14.Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial
2
( ) (1 ,3 1 )r t t t t t     .
15.Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva
   2 2 2 2 2
, / 3, 2C x y x y z x y      en el punto (1,1,1).
16.Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22
tttt  hallar la ecuación de la
recta paralela al vector curvatura )(tK y que pasa por el punto )( 0t donde el
radio de curvatura es mínima.
17.Dada la curva parametrizada por )35,5,53()( 22
tttt  , hallar la ecuación
de la recta paralela al vector curvatura y que pasa por el punto )(t en
donde el radio de curvatura es mínima.
18.Sea la curva ),,
2
21
()(:
2
)(



t
usen
tdue
t
tC

 , hallar la ecuación de la
circunferencia de curvatura de la curva C en el punto donde C corta con el
plano
2
1
 zyx
19.Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22
tttt  , hallar la ecuación de la
recta paralela al vector curvatura )(tK y que pasa por el punto )( 0t donde
el radio de curvatura es el mínimo.

3. 20.Hallar la ecuación cartesiana de la evoluta de la parábola 2
xy 
21.Consideremos la curva descrita por la ecuación
))
1
1
ln(,1,1()(:
2
2
t
t
tttfC


 y los planos 1:  zxp y 1:  zxQ ,
hallar la curvatura en el punto de intersección de la curva C y los planos P y
Q .
22.Sea C la curva definida por )1,,2()( tttf  , siendo  es una constante
positiva .En qué punto de C el radio de curvatura alcanza su valor mínimo ,
cuál es este valor.
23.Encontrar la curvatura k , radio de curvatura y el centro del circulo de
curvatura de la curva definida por la función vectorial
)1,)
2
(,)
2
cos(()(:
0
2
0
2
 
t t
du
u
sendu
u
tfC

24.Determina la ecuación del plano osculador y la curvatura para la curva C
descrita por la función vectorial ))1ln(,
1
),1(ln()(: 2
t
t
t
tttfC 

 en el
punto donde el vector tangente tiene la dirección de la recta
521  zyx , también hallar la torsión.
25.Sea C una curva de ecuación vectorial )
3
,
2
,2()(
32
tt
tt  , hallar el centro
de la circunferencia de curvatura en )0( .
26.Sea C una curva de ecuación vectorial ))tanln(sec),ln(sec,()( ttttt  , hallar
los vectores NT, y B y la ecuación del plano osculador en el punto en que
la curva corta al plano YZ .
27.El salto de un sapo es descrita por la función vectorial ),()( 2
tttf  , calcular
la longitud recorrida en el intervalo 11  t , la curvatura y la torsión en
)
2
1
,
2
1
( .
28.Sea C una curva parametrizada por : )),cos(),(cos()( 2
tttsentatsenttat  ,
0t . Reparametrizar la curva con respecto a la longitud de arco como
parámetro.
29.Sea C la curva descrita mediante la función vectorial
)
2
4,cos1,()(:
t
sentsentttfC  , calcular la curvatura y torsión en un punto de
C donde el plano normal es paralelo al plano .1z
30.Hallar el radio de curvatura de la curva : )3,3,3()( 323
tttttt  en el punto
).14,12,2(
31.Demostrar que la hélice descrita por )),(),cos(()( bwtwtasenwtat  , tiene
curvatura constante 22
ba
a
k

 .

4. 32.Para la curva cuya ecuación vectorial es )2,,()( teet tt 
 . Demostrar que la
curvatura es : 2
)(
2
)( tt
ee
tk 


33.Calcular el radio de curvatura de la siguiente función polar : cos1r , en
4

 
34.Si la curva descrita por ),(:1 ufC corta a la curva
)21,,
1
3
()(: 4
2 ue
u
ugC u


 ,demás )1,,1()0( ef  , )0,,1()0(' ef  ,
)2,,0()0('' ef  , ).0,,0()(''' 1
 u
euf Hallar la torsión  de 1C en el punto de
intersección de 1C y 2C .
35.Sea C la curva definida por la función vectorial
)
2
2,
2
cos1
,
2
()(:
t
sen
tsentt
tfC

 , 0t . Hallar la torsión en un punto donde
la longitud de arco sea 2 .
36.Hallar la ecuación del plano osculador a la curva C descrita por
)
3
,
2
,()(
32
tt
tt  , para 2t .
37.Si C es una curva con representación paramétrica : )
1
,
1
,()(
2
t
t
t
t
tt

 ,
a. Calcular su torsión
b. Determinar la ecuación del plano osculador en el punto en que 1t
c. ¿Será distinta la ecuación del plano osculador en otro punto?, justifique
su respuesta.
38.Sea C una curva definida por la ecuación : 
t
a
dttxftfbtW )(')()( , b
constante diferente de cero , en donde )(tf es una función vectorial que
cumple con la condición de que 1)( tf y   0)('').(').( tftftf , hallar su
torsión.
39.Hallar la curvatura )(k y la torsión )( para la curva C descrita por :
)cos
5
3
,1,cos
5
4
()( tsenttt

 , siendo t la longitud de arco de la curva C .
40.Sea C una curva definida por la función vectorial 3
: RRIf  y sean a y
b dos vectores unitarios constantes que forman un ángulo  ,  0 , si
)(*)(' tfatf  y bf )0( . Hallar la curvatura )0(k en función de  ¿ Para
qué valor de  la curvatura )(k es mínima y cuál es este valor? .

5. 41.Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas :
a. ))ln(cos2,2,2()( 2
ttsentsentf  , 






3
,
6

t .
b. ),()( 2
tttf  ,  1,1t
42.Dada la ecuación de la hélice ),,cos()(: 22
taRasenttatC  . Hallar las
ecuaciones de los planos osculador , rectificante y normal en cualquier
punto.
43.Dada la curva :C tx 6 , 2
3ty  , 3
tz  , en el punto 1t , hallar la curvatura
k , la torsión  , plano osculador , plano rectificante y el plano normal.
44.Sea C la curva en 3
R descrita por la función )(tx  , 0t , si
1
1
)('


t
t
y )
2
1
,1,1(
)1(
1
)(' 2
t
t
t
tB



 para 0t y la torsión )(t en cada punto
Ct )( es positiva , determinar )(t , a medida que t crece ¿La curva C se
tuerce más o menos? Justifique.
45.Sea C la curva descrita por la función vectorial
))
4
(4),
2
cos(1),
2
(
2
()(:
s
sen
ss
sen
s
sfC  , 0s siendo s la longitud de arco de
C . Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto en donde la longitud de
la curva C es  y en la dirección del vector curvatura en dicho punto.
46.Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
g. El conjunto  2
( , ) / ( , ) (0,0)A x y R x y   es un conjunto convexo.
h. La frontera de la región   , /x y x I   es 2
R .
47.Justificar la verdad o falsedad de:
g. SI ,A B B simplemente conexo, entonces A  también es simplemente
conexo (.
h. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva  , con parametrización
 3
: , ,100r I R I a  , con aceleración constante en modulo, entonces
( ). ( ) 0
t
a
a u a u du  .
48.Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,f t f t f t t Dom f      
49.Demostrar que  2
( , ) / 0A x y R x   es un conjunto abierto.
50.Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dicha
curva.
51.Demostrar que una curva  con parametrización ( )r t es una curva plana si
su torsión es cero en todo punto de ella.
52.Demostrar que una curva  con parametrización ( )r t tiene como curvatura
( ) ( )
( )
3( )
r t xr t
k t
r t
 


6. 53.Parametrizar la curva  si una parametrización es
 ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t  
Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.
54.Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial
2
( ) (1 ,3 1 )r t t t t t     .
55.Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva
   2 2 2 2 2
, / 3, 2C x y x y z x y      en el punto (1,1,1).
56.Determine la parametrización de la curva :  ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t   si el
parámetro des la distancia del punto de la curva al punto (4,0,0).
57.Determine la recta binormal a la curva :  2
( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t   en el punto
(2,0,1).
58.Encuentre una curva :  ( ), 0,1r t t  cuya curvatura este dada por ( ) 2k t t .
59.Encuentre una curva :  ( ), 0,1r t t  cuya torsión este dada por 2
( ) 2t t  .
60.Hallar la torsión de la curva : 2
,z x y z x y   en el punto (1,1,2).
61.En qué punto de la curva :  2 2
( ) (2 ,1 ,3 ), 1,1r t t t t t t      la curvatura
es mínima.
62.Determine el circulo de curvatura para la curva  ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t   en el
punto (1,0,0)