Presentación donde se habla de las ecuaciones de rectas y planos con algún ejemplo sencillo de aplicación.

2. ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. CONTENIDO
1 ECUACI ´ON DE LA RECTA
2 ECUACI ´ON DEL PLANO

4. En esta presentaci´on se busca introducir al estudiante en la construcci´on de
rectas y planos en R3. Se muestran algunos ejemplos de como aplicar las defi-
niciones para encontrar ecuaciones de rectas y planos.

5. RECTAS
ECUACI ´ON DE LA RECTA
DEFINICI ´ON
Sean P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) dos puntos en R3. Se define:
Ecuaci´on Vectorial:
xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t(x2 − x1i + y2 − y1j + z2 − z1k)
Ecuaciones param´etricas:
x = x1 + t(x2 − x1)
y = y1 + t(y2 − y1) 0 < t < 1
z = z1 + t(z2 − z1)
Ecuaciones sim´etricas:
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
=
z − z1
z2 − z1

6. RECTAS
ECUACI ´ON DE LA RECTA
EJEMPLO
Calcular la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos P(−2, 4, 5) y
Q(3, −1, −2).
En este caso, se calcula la magnitud
PQ = Q − P = (3, −1, −2) − (−2, 4, 5) = (5, −5, −7) y se reemplaza en la
ecuaci´on, quedando:
Ecuaci´on vectorial: xi + yj + xk = −2i + 4j + 5k + t(5i − 5j − 7k)
Ecuaciones param´etricas:



x = 3 + 5t
y = −1 − 5t
z = −2 − 7t
0 < t < 1
Ecuaciones sim´etricas:
x + 2
5
=
y − 4
−5
=
z − 5
−7

7. RECTAS
PARA TENER EN CUENTA
NOTA
Tenga en cuenta que la ecuaci´on de una recta se la pueden pedir dando
condiciones diferentes. Algunas de ´estas condiciones son:
Encontrar la ecuaci´on de la recta que pasa por un punto dado y es
paralela a otra recta.
Encontrar la ecuaci´on de la recta que pasa por un punto dado y es
perpendicular a otra recta.
Construir una recta paralela o perpendicular a otra recta.
TEOREMA
La intersecci´on de dos rectas es un punto.

8. ECUACI ´ON DEL PLANO
PLANOS
DEFINICI ´ON
Sea P un punto en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero.
Entonces el conjunto de todos los puntos de Q para los que PQ · n = 0
constituye un plano en R3.
DEFINICI ´ON
Una manera m´as com´un de escribir la ecuaci´on de un plano tomando el vector
n = ai + bj + ck y los puntos P = (x0, y0, z0) y Q = (x, y, z) es:
ax + by + cz = d
d = ax0 + by0 + cz0

9. ECUACI ´ON DEL PLANO
EJEMPLO
EJEMPLO
Encontrar la ecuaci´on del plano que contiene a los puntos P(0, 0, 0),
Q(1, −4, 2) y R(−2, −3, 1).
En este caso, se encuentran las magnitudes de PQ = Q − P = (1, −4, 2) y
de PR = R − P = (−2, −3, 1). Construyendo el vector normal n se tiene:
n =
i j k
1 −4 2
−2 −3 1
= 2i − 5j − 11k
Al usar la ecuaci´on del plano, se tiene:
π : a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
π : 2(x − 0) − 5(y − 0) − 11(z − 0) = 0
π : 2x − 5y − 11z = 0

10. ECUACI ´ON DEL PLANO
EJEMPLO
EJEMPLO PLANO QUE NO CONTIENE AL ORIGEN
Encontrar la ecuaci´on del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1),
Q(−2, 3, −1) y R(1, 0, 4).
En este caso, se encuentran las magnitudes de PQ = Q − P = (−3, 1, −2) y
de PR = R − P = (3, −3, 5) que pertenecen al plano. Construyendo el
vector normal n se tiene:
n =
i j k
−3 1 −2
3 −3 5
= −i + 9j + 6k
Al usar la ecuaci´on del plano, se tiene:
π : a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
π : −1(x − 1) + 9(y − 2) + 6(z − 1) = 0
π : −x + 9y + 6z = 23

11. ECUACI ´ON DEL PLANO
TENGA EN CUENTE
NOTA
Se puede reemplazar los puntos x0, y0 y z0 en la ecuaci´on del plano por
cualquiera de los tres puntos P, Q o R. Despu´es de hacer el reemplazo, se
llega a la misma expresi´on del plano. En el ejemplo anterior se pudo tomar:
π : a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
π : −1(x + 2) + 9(y − 3) + 6(z + 1) = 0
π : −x + 9y + 6z = 23
Obteniendo la misma ecuaci´on para el plano.

12. ECUACI ´ON DEL PLANO
OTRAS CONCEPTOS ´UTILES
DEFINICI ´ON
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el
producto cruz de sus vectores normales es cero.
TEOREMA
La intersecci´on de dos planos es una linea recta.
NOTA
Para calcular la recta que resulta de la intersecci´on de dos planos se debe
utilizar el proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan.

13. ECUACI ´ON DEL PLANO
OTRO CONCEPTO ´UTIL
NOTA
Si un plano est´a escrito de la forma π : ax + by + cz = d, entonces el vector
normal asociado a π es n1 = ai + bj + ck.