1. Ilustración de laIlustración de la
derivada a través dederivada a través de
aplicaciones diversasaplicaciones diversas
Pablo García y Colomé

2. Ejemplo
Obtener los ángulos que forman con el
j l t t leje las tangentes a la curva" "x
( )
2 2
4 4 ; 0x y y− + = ≥( ) y y
en los puntos:en los puntos:
( )( ) ( ) ( )) 2,0 ; ) 3, 3 ; ) 4,2i ii iii

3. d
( ) ( )
2 2
4 4 2 4 2 0
dy
x y x y
dx
− + = ⇒ − + =
4
dx
dy x
m
−
∴ = − = Tm
dx y
∴ = =
2 4
( )
0
2,0
2 4
) ; tan 90Ti m ang
o
θ θ
−
= − → ∞ = ∞ ∴ =
( )
0
3 3
3 4 1 1
) ; tan 30
3 3 3
Tii m angθ θ
−
= − = = ∴ =
( )3, 3
3 3 3
4 4−
( )
0
4,2
4 4
) 0 ; tan0 0
2Tiii m angθ θ
−
= − = = ∴ =

4. y
( )4,2
2
( )3, 3
( )2 0
x
642 ( )2,0 64

5. Ejemplo
Determinar los puntos de la curva de
ecuaciónecuación
5
1 2
y =
donde la tangente es paralela a la
1 2
y
x−
donde la tangente es paralela a la
recta de ecuación
H áfi i d d l
2 5 5 0x y− − =
Hacer una gráfica aproximada del
problema planteado con losp p
resultados obtenidos

6. 10
T
dy
m = =
( )
2
1 2
Tm
dx x−
1
2 2
1
5 5
y x m= − ⇒ =1
5 5
y
Como la condición de paralelismo entre dosComo la condición de paralelismo entre dos
rectas es que sus pendientes son iguales, se
tiene que:tiene que:
1 Tm m=
( )
( )
2
2
2 10
1 2 25
5 1 2
x= ⇒ − =
( )5 1 2x−

7. 2 2
4 4 1 25 6 0x x x x− + = ⇒ − − =4 4 1 25 6 0x x x x+ ⇒
1 23 2x y x= = −1 23 2x y x
5
3 ; 1x y y= = ⇒ = −
( )1 1 13 ; 1
1 2 3
x y y= = ⇒ = −
−
5
y =
( )2 2 2
5
2 ; 1
1 2 2
x y y= − = ⇒ =
1 2
y
x
=
−
( )1 2 2− −
L l t b dLuego los puntos buscados son:
( ) ( )3 1 2 1P y P( ) ( )1 23, 1 2,1P y P− −

8. y
5
2 5 5 0x y− + =
5
1 2
y
x
=
−
( )1 2,1P −
2 5 5 0x y + =
( )1
x
( )2 3, 1P −( )
5
y
1 2
y
x
=
−

9. Ejemplo
Determinar las ecuaciones de las rectas
t t l l d iótangente y normal a la curva de ecuación
dada en el punto especificado y graficar elp p y g
problema planteado con su solución
21
4
2
y x= − −
2
y
⎛ ⎞1
3,
2
P
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠2⎜ ⎟
⎝ ⎠

10. ( )2 2 21 1
4 ; 4y x y x= − − = −( )4 ; 4
2 4
y x y x= =
2 2 2 2
4 4 4 4y x x y⇒ = ⇒ + =4 4 4 4y x x y⇒ = − ⇒ + =
2 2
1
x y
+ =1
4 1
+ =

11. ⎛ ⎞y 1
3,
2
P
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
T
⎝ ⎠
2− 2
x
21
4
2
y x= − −
N
1−

12. 21 2
4
dy x
y x
−
⇒
2
4
2 4 4
y
y x
dx x
= − − ⇒ = −
−
2
2 4
dy x
dx x
⇒ =
2
2 4dx x−
3 3dy
2 2T
P
y
m
dx
= ∴ =

13. 1
3P
⎛ ⎞
⎜ ⎟
3 3,
2
P −⎜ ⎟
⎝ ⎠2Tm =
( )1 1Ty y m x x− = −( )1 1T
( )1 3
3 2 1 3 3
2 2
y x y x+ = − ⇒ + = −( )2 2
( )3 2 4 0x y T∴ − − =

14. 2
m =
1
3P
⎛ ⎞
⎜ ⎟
3
Tm = − 3,
2
P −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )1 1Ny y m x x− = −( )1 1Ny y m x x
( )1 2
3 2 3 3 4 4 3
2 3
y x y x+ = − − ⇒ + = − +( )2 3
( )4 2 3 3 3 0x y N∴ + − =

15. Ejemplo
Determinar el ángulo que forman alDeterminar el ángulo que forman al
cortarse las curvas:
2
2 2
3
x
y y x y+2 2
3
2
y y x y= + =

16. 2 2 2
2 ; 2 3 2 3 0x y y y y y= + = ⇒ + − =y y y y y
( )( )1 3 0y y− + =( )( )1 3 0y y +
1 11 ; 2y x⎧ = = ±⎪
∴ ⎨
2 23 ; 6y x
∴ ⎨
= − = ± −⎪⎩
( ) ( )2 1 2 1A y B −( ) ( )2,1 2,1A y B −

17. y
θ 1T2T2
x θ 1T
3
2
x
y =
( )2,1A( )2,1B −
x
3− 33 3
3−
2 2
3x y+ =3

18. 2
x dy
1
2
x dy
xy
dx
m= ⇒ = =
2 2
3 2 2 0
dy2 2
3 2 2 0
y
x y x y
dx
+ = ⇒ + =
2
dy
dx
x
m
y
⇒ = = −2
dx y

19. ( )2,1A
1 2
2
2 2
1
m y m= = − = −
1
2 1 2 2
t t
m m
θ θ
− − −
( )( )
2 1
2 1
tan tan
1 1 2 2
ang ang
m m
θ θ= ⇒ =
+ + −
2 2
tan
1
angθ
−
⇒ =
−1−
( )tan2 2 tan 2.828ang angθ = ( )g g
0
70 53θ 70.53θ

20. Ejemplo
Una biela es un mecanismo elemental que convierte un
movimiento circular en rectilíneo y viceversa. La biela de la
fi d i t t d l i d l dfigura se puede interpretar de cualquiera de las dos maneras
siguientes:
yy
P
50 cm
A
900 RPMω =
50 cm
xO
900 RPMω =
B
10 cm

21. " "O
" "P
" "O
y
P
" "O
.
900 RPM
50 cm
A
xO
900 RPMω =
B
10 cm
A) El eje de un motor se encuentra en “O” y hace girar el
brazo pequeño de la biela; esta a su vez consigue quebrazo pequeño de la biela; esta a su vez consigue que
el pistón “P” se mueva rectilínea y alternadamente
hacia arriba y hacia abajoy j
B) El pistón es el de un cilindro de motor de explosiónB) El pistón es el de un cilindro de motor de explosión
interna (como el de los automóviles) que, al deslizarse
de arriba abajo, hace girar el brazo menor de la biela y
este a su vez, al eje de una rueda en “O”

22. Para este problema se aceptará la
interpretación (A). Si el motor gira con unap ( ) g
velocidad angular de 900 RPM y las
dimensiones son las de la figura, calcular lad e s o es so as de a gu a, ca cu a a
rapidez del pistón cuando el punto “B” se
encuentra sobre el eje de las abscisasencuentra sobre el eje de las abscisas
y
50 cm
P
A
xO
900 RPMω =
B
xO
10 cm

23. A
50 dy50
y
0
90
?
dy
dt θ =
=
θB
90θ
O
10 x
900 2
900 30
d rad
RPM
θ π
ω π
×
900 30
60
RPM
dt s
ω π= = = =

24. La ordenada de A que es y se calcula por la ley
de los cosenosde los cosenos
A
( )2 2 2
2
50 10 2 10 cos
20 2400
y y θ= + −
50
y 2
20 cos 2400y yθ⇒ = −
y
θB
O
10
B
d d dθ
20cos 20 2
dy d dy
ysen y
dt dt dt
θ
θ θ− =
dt dt dt

25. 1senθ⎧ =
⎪0
90 cos 0θ θ
⎪
= ⇒ =⎨
⎪
2400y
⎪
=⎩
d radθ
30
d rad
dt s
θ
ω π= =
( ) ( )20 0 20 2400 1 30 2 2400
dy dy
π( ) ( )20 0 20 2400 1 30 2 2400
y y
dt dt
π− =
942 9.42
dy cm dy m
dt dt
≈ − ⇒ ≈ −
dt s dt s

26. Ejemplo
A un tanque con la forma de un cono circular
recto invertido con radio de la “base” igual a 5 m yrecto invertido con radio de la base igual a 5 m y
con una altura de 15 m se le está depositando un
volumen de agua a razón de 1500 litros por minuto.volumen de agua a razón de 1500 litros por minuto.
Determinar la rapidez de variación de la altura “h”
del agua cundo esta se encuentra a 5 m deldel agua cundo esta se encuentra a 5 m del
vértice

27. 3
1500 1.5
min min
dV m
dt
= =
5
min mindt
r
15
h
?
dh
dt
=
5h mdt =

28. 1 21
3
V r hπ=
3
5 1 h5 1
15 3 3
r r h
r
h h
= ⇒ = ⇒ =
15 3 3h h
2
31 1h
V h V hπ π
⎛ ⎞
= ⇒ =⎜ ⎟3 3 27
V h V hπ π= ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠

29. dV
2
2
1
19
dV dh dh dth
dt dt dt
π= ⇒ =
219
9
dt dt dt
hπ
( )
2
1.5
1
0.172
min
d m
d
h hd
dt t
= ∴ =
( )5 5
21
5
9
minh hddt t
π= =

30. Ejemplo
Un avión pasa sobre una ciudad “A” a las 12:00Un avión pasa sobre una ciudad “A” a las 12:00
horas, a una velocidad constante de en1000
km
h
,
dirección Este. Media hora más tarde, a la misma
h
altura, en dirección Sur, otro avión sobrevuela la
misma ciudad a una velocidad constante demisma ciudad a una velocidad constante de
. ¿Con qué velocidad se separarán las1100
km
h
¿ q p
dos aeronaves a las 14:00 horas?
h

31. A las 12:30 horas el primer avión ha recorrido
1000 0.5 500 km× =
Entonces, para un tiempo después de las 12:30 h,
el modelo geométrico podría ser el siguiente:el modelo geométrico podría ser el siguiente:
x500E
S 500S
A 1000
dx km
dt h
=
y 1100
dy km
dt h
=
z
dt h
?
dz
=
14:00
?
dt
=

32. ( )
22 2
500z x y= + +( ) y
( )2 2 500 2
dz dx dy
( )2 2 500 2
y
z x y
dt dt dt
= + +
500dz x dx y dy
dt z dt z dt
+
= +
1000 1 5 1500 k
dt z dt z dt
1000 1.5 1500
1100 1.5 1650
x km
y km
= × =
= × =1100 1.5 1650y km×
( )
2 2
1500 500 1650z + +( )1500 500 1650z = + +

33. 4000000 2722500z⇒ = +4000000 2722500z⇒ = +
2592.778z km
500dz x dx y dy+ 500dz x dx y dy
dt z dt z dt
+
= +
( ) ( )
1500 500 1650
1000 1100
dz +
+( ) ( )1000 1100
2592.778 2592.778dt
= +
1471.39
dz km
∴ =1471.39
dt h
∴

34. Ejemplo
Un faro fue construido en una pequeña isla
situada a de la costa, la cual, frente
l f t El h l i d l f i
3 km
al faro es recta. El haz luminoso del faro gira
a una velocidad constante de grados0 16a una velocidad constante de grados
por minuto. Calcular la velocidad con la que
0.16
por minuto. Calcular la velocidad con la que
se desplaza la luz a lo largo de la costa, en
un punto localizado a del punto de la2.5 km
costa más próximo al faro

35. costa
xx
3 ?
dx
=
θ
2.5
?
x kmdt =
isla con faro
d radθ ⎛ ⎞
0.16 0.0028
180 min
d rad
dt
θ π⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠

36. t 3t
x
θ θtan 3tan
3
x
xθ θ= ⇒ =
2
3tan 3sec
dx d
x
θ
θ θ= ⇒ =3tan 3secx
dt dt
θ θ⇒
22.5
2 5 tan tan 0 6944x θ θ= ⇒ = ⇒ =2.5 tan tan 0.6944
3
x θ θ= ⇒ = ⇒ =
2 2 2
sec 1 tan sec 1.6944θ θ θ= + ⇒ =

37. ( )( )3 1 6944 0 0028 0 0142
dx dx
( )( )3 1.6944 0.0028 0.0142
dt dt
= ∴ =
Por lo que la luz del faro se desplaza a
razón de
0 0142 23 67
km cm
=0.0142 23.67
min s
=

38. Ejemplo
Obtener los máximos y mínimos relativos
d l f ió i i t h tde la función siguiente y hacer un trazo
aproximado de su gráfica a partir de losp g p
resultados obtenidos
4 3 2
3x x x
( )
4 3 2
3
4 6 2
x x x
f x = − −( ) 4 6 2

39. ( )
4 3 2
3x x x
f x = − −
2
( ) 4 6 2
f x
( )
2
3
' 3
2
x
f x x x= − −
2
2
3 2
3 0 3 0
x x⎛ ⎞3 2
3 0 3 0
2 2
x x x x
⎛ ⎞
− − = ⇒ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0x =⎧
⎪
⎨ 2
3 0
2
x
x
⎪
⇒ ⎨
− − =⎪⎩ 2⎪⎩

40. 2 2
3 0 2 6 0
x
x x x− − = ⇒ − − =3 0 2 6 0
2
1 1 48
x x x⇒
± +1 1 48
4
x
± +
⇒ =
3
2
x
⎧
= −⎪
⇒ ⎨ 2
2x
⇒ ⎨
⎪ =⎩⎩
Los valores críticos son:
3
; 0 ; 2x x x1 2 3; 0 ; 2
2
x x x= − = =

41. 2 4 0
3
dy
x
d
⎧
= − ⇒ = − <⎪⎪
1
3
;
2 3
1 0
dx
x
dy
X
⎪⎪
= − ⎨
⎪2 3
1 0
2
dy
X
dx
⎪ = − ⇒ = + >
⎪⎩
Mínimo relativo
4 3 2
3 3 3
3
3 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 2 2 2
2 4 6 2
f
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠2 4 6 2
3 99
f
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∴ =⎜ ⎟2 64
f∴ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠

42. 3dy⎧ 3
1 0
2
0 ;
dy
x
dx
x
⎧
= − ⇒ = + >⎪⎪
= ⎨2 0 ;
5
1 0
2
x
dy
x
dx
= ⎨
⎪ = ⇒ = − <
⎪⎩ 2dx⎪⎩
Máximo relativo
( ) ( ) ( )
4 3 2
0 0 3 0
( )
( ) ( ) ( )
( )
0 0 3 0
0 0 0
4 6 2
f f= − − ∴ =

43. ( )
2
3
' 3
x
f x x x= − −( ) 3
2
f x x x
( ) 2
'' 3 3f x x x( ) 2
3 3f x x x= − −
( ) ( )
2
3 2 ; '' 2 3 2 2 3 7 0x f= = − − = >
Mínimo relativo
( ) ( ) ( )
4 3 2
2 2 3 2
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
2 2 3 2 10
2 2
4 6 2 3
f f= − − ∴ = −
4 6 2 3

44. yy
( )
4 3 2
3
4 6 2
x x x
f x = − −
( )0, 0rM
x
( )
4 6 2
3 99⎛ ⎞
⎜ ⎟,
2 64rm
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
10
2m
⎛ ⎞
⎜ ⎟2,
3rm −⎜ ⎟
⎝ ⎠

45. 2
Ejemplo
( )
2
3
3f x x x= +( )
1 3
2x− +
( ) ( )3
3
2
' 1 2 '
x
f x x f x
x
− +
= + ⇒ =
x
3
32
0 2 0
x
x
+
= ⇒ + =3
0 2 0x
x
= ⇒ + =

46. 3
2 8x x⇒ = − ⇒ = −
3
32x + 3
3
2
0 0
x
x
x
x
+
→ ∞ ⇒ ⇒ ==
1 28 0x y x= − =1 28 0x y x

47. 9 0.04 0
dy
x
d
⎧
= − ⇒ = + >⎪⎪
1 8 ;
1 1 0
dx
x
dy
⎪⎪
= − ⎨
⎪ 1 1 0
y
x
dx
⎪ = − ⇒ = − <
⎪⎩
( )
2
38 ; 8 3 8 4x y y= − = − + − ⇒ =( )38 ; 8 3 8 4x y y= = + ⇒ =
( )8, 4rM∴ −( )

48. ( )
3
3
2
'
x
f x
+
=( ) 3
x
d⎧
1 1 0
0
dy
x
dx
⎧
= − ⇒ = − <⎪⎪
⎨2 0 ;
1 3 0
dx
x
dy
x
⎪
= ⎨
⎪ = ⇒ = + >
⎪⎩
3 0
dx
⇒
⎪⎩
0 ; 0x y= =
( )0,0rm∴ ( )0,0r

49. 2
( )
2
3
3f x x x= +
( )8, 4rM −
y
( )r
x
( )0, 0rm

50. Ejemplo
Una empresa petrolera desea construir un depósito
en forma de cilindro circular recto, con tapa. El
itanque debe contener de crudo. El
material ya colocado y armado para la superficie
500,000 litros
material, ya colocado y armado, para la superficie
lateral tiene un costo de , para la tapa2
$ 400 / m
de y para base de ¿Qué
i i
2
$ 300 / m 2
$ 500 / m
dimensiones debe tener el tanque para que el
costo su construcción sea el mínimo?costo su construcción sea el mínimo?

51. 2x
y
3 3
500000 500000 500V dm m= = =

52. ( )2 2
300 500 400 2C ( )2 2
2
300 500 400 2
800 800
C x x xy
C x xy
π π π
π π
= + +
⇒ +800 800C x xyπ π⇒ = +
5002
2
500
500V x y y
x
π
π
= = ⇒ =
xπ
2 500⎛ ⎞2
2
500
800 800C x x
x
π π
π
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 400000
800C xπ⇒ = +
x

53. 2 400000
800C x +2
800
400000
C x
x
dC
π= +
2
400000
1600
dC
x
dx x
π⇒ = −
dx x
3
1600 400000dC xπ −
2
1600 400000dC x
dx x
π −
=
3
1600 400000
0 ; 0
dC xπ −
2
3
0 ; 0
1600 400000 0
dx x
= =
3
1600 400000 0xπ⇒ − =

54. 3 3
1600 400000 250x xπ π= ⇒ =
3
1600 400000 250
250
4 3
x x
x x
π π⇒
⇒ ⇒3 4.3x x
π
⇒ = ⇒
500 500
( )
2 2
500 500
8.6
4 3
y y y
xπ π
= ⇒ = ⇒ =
( )4.3xπ π
Luego, las dimensiones del tanque cuyoLuego, las dimensiones del tanque cuyo
costo es mínimo, con los precios de
materiales y el volumen considerado son:materiales y el volumen considerado, son:
radio 4 3 altura 8 6x m y y m= = = =radio 4.3 altura 8.6x m y y m= = = =

55. 4 0
dC
x
dx
⎧
= ⇒ <⎪⎪
Costo mínimo
5 0
dx
dC
x
⎪⎪
⇒⎨
⎪ ⇒ >5 0x
dx
⎪ = ⇒ >
⎪⎩
8.6 m
8.6 m

56. Pablo García y Colomé
(Blog “Colomenta”)