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![Coordenadas en el espacio
• Un punto O y una base B = {
→
i ,
→
j ,
→
k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Se escribe S = {O;
→
i ,
→
j ,
→
k }.
• En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
[
→
OP] = x .
→
i + y .
→
j + z .
→
k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto
del sistema de referencia S.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas
P’](https://image.slidesharecdn.com/espacioafinrectasplanos-170312222434/85/Espacio-afin-rectas-planos-3-320.jpg)
![Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B
determinan con el origen O
tres ejes de coordenadas
OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX
se denominan planos
coordenados del sistema de
referencia.
[
→
OP] = x .
→
i + y .
→
j + z .
→
k](https://image.slidesharecdn.com/espacioafinrectasplanos-170312222434/85/Espacio-afin-rectas-planos-4-320.jpg)
![Coordenadas de un vector libre cualquiera
•
→
PQ =
→
OQ –
→
OP
• [
→
PQ] =
→
OQ –
→
OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")
• Los puntos P y Q determinan el
vector fijo
→
PQ
•
→
OP +
→
PQ =
→
OQ
Las coordenadas de un vector libre
→
u = [
→
PQ] respecto de la base B =
{
→
i ,
→
j ,
→
k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;
→
i ,
→
j ,
→
k }.](https://image.slidesharecdn.com/espacioafinrectasplanos-170312222434/85/Espacio-afin-rectas-planos-5-320.jpg)
![Rectas en el espacio: ecuación vectorial
• Una recta viene determinada por un punto
y una dirección. La dirección está
marcada por un vector libre
→
u llamado
vector director.
• Un punto X está en la recta si y sólo si
→
PX
y
→
u son proporcionales: [
→
PX] = t ·
→
u
• Si
→
p es el vector de posición de P,
→
x es
el vector de posición de X, quedará:
→
x –
→
p = t ·
→
u es decir:
→
x =
→
p + t ·
→
u
La expresión
→
x =
→
p + t ·
→
u con t ∈ R es la ecuación vectorial de la recta que
pasa por P y tal que
→
u es un vector director de la misma.
p
x](https://image.slidesharecdn.com/espacioafinrectasplanos-170312222434/85/Espacio-afin-rectas-planos-8-320.jpg)
![Vector normal a un plano
Observamos que:
→
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A (x1,y1,z1)∈ π y B (x2,y2,z2)∈ π
tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos:
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) .
(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0
→
n . [
→
AB] = 0
El vector
→
n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de
vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)](https://image.slidesharecdn.com/espacioafinrectasplanos-170312222434/85/Espacio-afin-rectas-planos-16-320.jpg)
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Similar a Espacio afin rectas planos
Espacio afin rectas planos
- 1. Presentación elaborada porla profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Espacio afín 2º Bachillerato
- 3. Coordenadas en elespacio • Un punto O y una base B = { → i , → j , → k } de los vectores libres del espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio. Se escribe S = {O; → i , → j , → k }. • En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal. [ → OP] = x . → i + y . → j + z . → k (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S. Vector de posición de P Origen de coordenadas P’
- 4. Ejes coordenados. Planoscoordenados • Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. • Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia. [ → OP] = x . → i + y . → j + z . → k
- 5. Coordenadas de unvector libre cualquiera • → PQ = → OQ – → OP • [ → PQ] = → OQ – → OP = = (b – a, b' – a' , b" – a") • Los puntos P y Q determinan el vector fijo → PQ • → OP + → PQ = → OQ Las coordenadas de un vector libre → u = [ → PQ] respecto de la base B = { → i , → j , → k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O; → i , → j , → k }.
- 6. Coordenadas del puntomedio de un segmento xm = 1 2 (x1 + x2) ym = 1 2 (y1 + y2) zm = 1 2 (z1 + z2) → m = → a + → AM = → a + 1 2 → AB = = → a + 1 2 ( → b – → a ) = 1 2 ( → a + → b )
- 7. Elementos geométricos Los objetoso elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies. Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros. Dimensión Rectas y curvas (dimensión 1) Planos y superficies (dimensión 2)
- 8. Rectas en elespacio: ecuación vectorial • Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está marcada por un vector libre → u llamado vector director. • Un punto X está en la recta si y sólo si → PX y → u son proporcionales: [ → PX] = t · → u • Si → p es el vector de posición de P, → x es el vector de posición de X, quedará: → x – → p = t · → u es decir: → x = → p + t · → u La expresión → x = → p + t · → u con t ∈ R es la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y tal que → u es un vector director de la misma. p x
- 9. Rectas en elespacio: ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director → v (v1, v2, v3) son x = xo + t.v1 y = yo + t.v2 z = zo + t.v3 • La recta que pasa por P de vector director → v (v1, v2, v3) se puede poner así: (x, y, z)= (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3) Al igualar las coordenadas queda: (x, y, z) = ( x0+tv1, y0+tv2, z0+tv3) por lo que
- 10. Rectas en elespacio: ecuación en forma continua += += += 30 20 10 tvzz tvyy tvxx Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo , yo , zo ) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son: Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director =(v1,v2,v3) son:v
- 11. Rectas en elespacio: ecuación implícita Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la segunda por ejemplo, y operando obtenemos: Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general : =+++ =+++ 0D'zC'yB'xA' 0DCzByAx 3 0 1 0 v zz v xx − = − 2 0 1 0 v yy v xx − = − De aquí obtenemos tres ecuaciones: 2 0 3 0 v yy v zz − = − Las ecuaciones en forma cont ínua de la recta r que pasa por P(x o, yo, zo) y que tiene por vector director → v (v1, v2, v3) son 3 0 2 0 1 0 v zz v yy v xx − = − = − =−+− =−+− 0 0 301013 201012 vxvzzvxv vxvyyvxv
- 12. Ecuaciones de losejes coordenados Vectorial Paramétrica Continua Eje OX → x = t → i x = t y = 0 z = 0 x 1 = y 0 = z 0 Eje OY → x = t → j x = 0 y = t z = 0 x 0 = y 1 = z 0 Eje OZ → x = t → k x = 0 y = 0 z = t x 0 = y 0 = z 1
- 13. Ecuación de larecta que pasa por dos puntos (a1, a2, a3) (b1, b2, b3) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 ) La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB →−− AB →−− −+= −+= −+= )( )( )( 333 222 111 abtaz abtay abtax 33 3 22 2 11 1 ab az ab ay ab ax − − = − − = − −
- 14. Planos: ecuación vectorial Unplano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano α. →→ Por tanto x – a = s v + t w → → → → Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s ∈R y t ∈R →→ → → Se observa además que X ∈α ⇔ rango (AX, v, w) = 2 ⇔ det (AX, v, w) = 0 → →→→→→ X está en α si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w → → →→ → →
- 15. Planos: ecuaciones paramétricasy general Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c') obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes: x = x1 + ta + sa' y = y1 + tb + sb' z = z1 + tc + sc' x – x1 y– y1 z – z1 a b c a’ b’ c’ = 0 Como el rango (AX, v, w) = 2 ⇔ det (AX, v, w) = 0 la ecuación general del plano α se obtiene a partir del determinante → →→→→→ y operando queda Ax + By + Cz + D = 0
- 16. Vector normal aun plano Observamos que: → AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) Como A (x1,y1,z1)∈ π y B (x2,y2,z2)∈ π tenemos que: ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0 Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0 (a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0 → n . [ → AB] = 0 El vector → n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)
- 17. Planos: ecuación normal Unpunto X(x, y, z) está en el plano si y sólo si → n es perpendicular a → MX. Por tanto: → n · → MX = 0 ⇔ → n · ( → x – → m ) = 0 que es la ecuación normal del plano. Sea M un punto cualquiera del plano α, y sea (A, B, C) un vector normal al plano. Desarrollando la expresión anterior obtenemos: (A, B, C) · (x – x1 ,y – y1 , z – z1 ) = 0 A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0 o bien A x + B y + C z + D = 0 donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.
- 18. Planos: ecuaciones delos planos coordenados Vectorial Paramétrica Implícia Plano OXY → x = t → i + s → j x = t y = s z = 0 z = 0 Plano OXZ → x = t → i + s → k x = t y = 0 z = s y = 0 Plano OYZ → x = t → j + s → k x = 0 y = t z = s x = 0
- 19. Ecuación del planoque pasa por tres puntos La determinación lineal de dicho plano será: Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante: Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos. → → Si A(a, b, c), B(a', b', c') y C(a", b", c") entonces αtendrá de ecuación: x – a y – b z – c a'–a b'–b c'–c a"–a b"–b c"–c = 0 α(A, → AB, → AC) det ( → AX, → AB, → AC) = 0 (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X(x, y, z)
- 20. Sean el planoπ: ax + by + cz + d = 0 y la recta r Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Posiciones relativas: recta y plano Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos 1 2 3 =+++ =+++ 0'''''''' 0'''' dzcybxa dzcybxa
- 21. Los vectores normalesson paralelos y A está en π: A∈π es decir Los vectores son ortogonales y A no está en π: A∉π es decir Posiciones de recta y plano dados por sus determinaciones lineal y normal 1 2 3 0· ≠ →→ nAB 0· = →→ nAB 0· ≠nu 0· =nu 0· =nu nu · Condición Posición Los vectores no son ortogonales La recta y el plano son secantes y A∉π La recta y el plano son paralelos y A∈π La recta está conte- nida en el plano
- 22. Posiciones relativas: dosplanos Sean dos planos π: ax + by + cz + d = 0 y π’: a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado con 2 g.l. rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1 a a' ≠ b b' ó a a' ≠ c c' ó b b' ≠ c c' a a' = b b' = c c' ≠ d d' a a' = b b' = c c' = d d' 1 2 3
- 23. Los vectores normalesson paralelos y A está en π’: A∈π’ ó Posiciones de dos planos dados por sus determinaciones normales 1 2 3 αn βn Rango 2 Los vectores normales no son paralelos Planos secantes Rango 1 Los vectores normales son paralelos y A no está en π’: A∉π’ Planos paralelos Rango 1 Planos coincidentes Condición Posición
- 24. Posiciones relativas: tresplanos (I) Sean π: ax + by + cz + d = 0 y π': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y π": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Los tres planos tienen un punto en común Sistema compatible determinado rango(A) = rango(B) = 3 Triedro 1 2 a 2 b Prisma Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible Todos los menores de orden 2 son no nulos rango(A) = 2; rango(B) = 3 Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3 '''' d d c c b b a a ≠==
- 25. Sean p: ax+ by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Posiciones relativas: tres planos (II) Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema comp. Ind. Todos los menores de orden dos son nulos rango(A) = rango(B) = 1 Tres planos coincidentes 3a 4 3 b Tres planos distintos Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. rango(A) = rango(B) = 2 Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos Los tres planos tienen una recta en común Sistema comp. ind. rango(A) = rango(B) = 2 '''' d d c c b b a a ===
- 26. Los tres planosno tienen puntos en común Sistema incompatible Todos los menores de orden 2 de A son nulos rango(A) = 1; rango(B) = 2 Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible Hay dos planos con ecuaciones de coeficientes proporcionales rango(A) = 1; rango(B) = 2 Tres planos paralelos Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos 5 a Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 5b Posiciones relativas: tres planos (III)
- 27. Posiciones relativas: dosrectas (I) Sea la recta r Sea la recta s Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Las rectas tienen todos sus puntos comunes Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. rango(A) = rango(B) = 2 Rectas coincidentes 1 2 Rectas paralelas Las rectas no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3 =+++ =+++ 0"""""""" 0"'"'"'"' dzcybxa dzcybxa =+++ =+++ 0'''''''' 0'''' dzcybxa dzcybxa
- 28. Sea la rectar Sea la recta s Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. rango(A) = 3; rango(B) = 4 43 Rectas que se cruzan Sistema incompatible Todos los menores de orden 3 son no nulos Las rectas no tienen puntos en común Posiciones relativas: dos rectas (II) Rectas secantes Las dos rectas tienen un punto en común Sistema compatible determinado rango(A) = rango(B) = 3 =+++ =+++ 0'''''''' 0'''' dzcybxa dzcybxa =+++ =+++ 0"""""""" 0"'"'"'"' dzcybxa dzcybxa
- 29. Posiciones de dosrectas dados por sus determinaciones lineales 2 3 αn βn 1 4 Posición Rango 2 Rango 3 Se cruzan Rango 2 Rango 2 Rectas secantes Rango 1 Rango 1 Rango 1 Rango 2 Rectas paralelas Rectas coincidentes
- 30. Haces de planos Dado≡Ax+By+Cz+D=0 todos los planos paralelos tienen el mismo vector normal por eso los coeficientes de x, y, z, son todos proporcionales 1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+λ=0 con λ є R. Dados π≡Ax+By+Cz+D=0 π ′≡ A′x+B′y+C′z+D ′ =0 cualquier combinación lineal de ellos Pertenece al haz Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ λ(A′x+B′y+C′z+D ′)=0 Para que el haz quede completo hay que añadir el 2ºplano :A’x+B’y+C’z+D’ = 0