Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo vectorial que incluyen: 1) calcular el ángulo entre vectores tangentes a una elipse, 2) hallar la longitud de arco de una curva paramétrica, 3) determinar puntos donde una partícula cruza un plano y calcular vectores de velocidad y aceleración, 4) hallar la ecuación del plano osculador a una curva y verificar si un punto pertenece a dicho plano, y 5) calcular curvatura y torsión de la intersección de un cilindro y

1. Universidad Nacional de Ingenieria
Facultad de Ingenier´ Geol´gica Minera y Metal´ rgica
ıa o u
Semestre acad´mico 2012-II
e
[ Curso: Matem´tica III
a ]
EJERCICIO N o 1
1. La funcion vectorial:
cos(t)
f (t) = ( , sin(t))
2
describe una elipse. Halle el ´ngulo que forman los vectores f ′ (π/4) y f ′ (t1 ) donde f (t1 ) es el
a
extremo del vertice derecho.
2. Halle la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones 2x = y, z = 2y desde el punto
A(1, 2, 4) hasta el puntoB(3, 6, 12)
3. El vector posic´ de una part´
ıon ıcula en el instante t esta dado por
f (t) = (t2 + t, t2 − 1, t3 + t + 1)
a) Halle los puntos en que la particula cruza el plano XZ
b) Halle en dichos puntos los vectores velocidad y aceleracion. ¿ En cu´les de dichos puntos la
a
particula se mueve con m´s rapidez?
a
4. Sea la curva C descrita por:
f (t) = (1 − 2t, t2 , 2e2(t−1)
Halle la ecuaci´n del plano que contiene a la circunferencia osculadora en el punto en el vector
o
f ′ (t) es paralelo a f (t). Determine si el punto (1, 1, 6) esta en dicho plano.
5. La curva C es la intersecci´n del cilindro x2 + y 2 + 2(y − x) − 2 = 0 con el plano x − y − 2z − 2 = 0.
o
Determine la curvatura y torsi´n en el punto (3, −1, 1)
o
Lunes, 17 de Septiembre del 2012