Operaciones con números enteros: adición, sustracción, multiplicación y división

PROFR. RICARDO ARMANDO CASTRO RICO
NUMEROS ENTEROS EN LA
RECTA NUMERICA
ADICION
NUMEROS ENTEROS
SUSTRACCION
DE NUMEROS ENTEROS
MULTIPLICACION
NUMEROS ENTEROS
DIVISION
NUMEROS ENTEROS

NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA

CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
Z
0
+
-
CERO
POSITIVOS
NEGATIVOS
…, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, …
Z =

LOCALIZA SOBRE LA RECTA NUMERICA
0
+
-
Traza en tu cuaderno una recta numérica y divídela en partes iguales.
Localiza los números enteros .
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
- 6 - 4 - 2 - 1 1 3 4 6
- 6 1 3 - 2 4 - 1 - 4 6

1
LOCALIZA SOBRE LA RECTA NUMERICA
0
+
-
Traza en tu cuaderno una recta numérica y divídela en partes iguales.
Localiza los números enteros .
- 10 - 6 - 4 - 1 5 9
9 1 - 4 - 8 5 - 1 - 6 7
12
7
3
- 8

¿ QUIEN ES MAYOR ?
0
- 6 - 3 - 1
4
6 2
6
2
>
- 3 - 1
<
0 - 6
>
4 - 5
>
0 es mayor que cualquier número negativo
Un positivo es mayor que un negativo
Su distancia con respecto al 0 es menor
Su distancia con respecto al 0 es mayor
- 5
CANTIDADES MAYORES SE UBICAN A LA DERECHA EN LA RECTA NUMERICA

¿ QUIEN ES MAYOR ?
0
G D B C
E D
E
A
>
A C
<
F B
<
E A
>
Su distancia con respecto al 0 es menor
Un número positivo es mayor que un negativo
F
G F
< Su distancia con respecto al cero es menor

OBSERVA
0
- 6
6
¿ COMO SON LAS DISTANCIAS ?
6 unidades 6 unidades
IGUALES
SE ENCUENTRAN A IGUAL DISTANCIA DEL CERO
NUMEROS SIMETRICOS

RELACION DE ORDEN
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Escribe < , > o = según corresponda.
8 0
> -7 3
< 0 -2
>
1 -1
> - 4 - 2
< 11 13
<
- 4 0
< 2 10
< 0 - 6
>
4 7
< 12 -12
> 3 0
>
5 - 5
> -3 -9
> -9 1
<
11 4
> - 6 1
< 3 12
<

VALOR ABSOLUTO
0
- 4
3
DISTANCIA CON RESPECTO A CERO
- 4 ES 4 3 ES 3
SE REPRESENTA ENTRE BARRAS

VALOR ABSOLUTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
- 7 7 2 2 - 8 8
5 5 - 1 1 9 9
- 2 2 11 11 - 3 3
MENU

0
Las cantidades que se suman reciben el nombre de sumandos
5 + 3 + 2 = 10
sumandos
suma
Consiste en reunir dos o más cantidades en una.
El resultado de sumar recibe el nombre de suma
5 3 2
10

ADICION DE ENTEROS
( 5 ) + ( 3 ) = 8
0
¿COMO SON LOS SIGNOS DE LOS SUMANDOS?
TRAZAMOS LA RECTA NUMERICA HACIA EL SENTIDO POSITIVO
Localizamos los sumandos
5 3
Identificamos el resultado
8

ADICION DE ENTEROS
( 2 ) + ( 9 ) = 11
0
2 9
11

ADICION DE ENTEROS
SI LOS SUMANDOS SON POSITIVOS
¿COMO ES LA SUMA?
5 + 2 = 7 1 + 2 = 3
9 + 4 = 13 8 + 2 = 10
3 + 5 = 8 2 + 13 = 15
6 + 4 = 10 4 + 8 = 12
11 + 2 = 13 9 + 6 = 15

ADICION DE ENTEROS
( - 6 ) + ( - 3 ) = - 9
0
TRAZAMOS LA RECTA NUMERICA HACIA EL SENTIDO NEGATIVO
- 6
- 3
- 9

ADICION DE ENTEROS
( - 4 ) + ( - 6 ) = - 10
0
- 4
- 6
- 10

ADICION DE ENTEROS
SI LOS SUMANDOS SON NEGATIVOS
¿COMO ES LA SUMA?
( - 5 ) + ( - 2 ) = -7 ( - 1 ) + ( - 2 ) = -3
( - 9 ) + ( - 2 ) = -11 ( - 8 ) + ( - 4 ) = -12
( - 3 ) + ( -5 ) = -8 ( - 2 ) + ( - 1 ) = -3
( - 6 ) + ( - 7 ) = -13 ( - 4 ) + ( - 4 ) = -8
(-11 ) + ( - 4 ) = -15 ( - 9 ) + ( - 6 ) = -15

SI LOS SUMANDOS TIENEN SIGNOS IGUALES
¿COMO ENCUENTRO LA SUMA?
( - 5 ) + ( - 2 ) = - 7 ( - 1 ) + ( - 8 ) = - 9
( 9 ) + ( 2 ) = 11 ( 8 ) + ( 7 ) = 15
( - 3 ) + ( - 5 ) = - 8 ( - 2 ) + ( - 1 ) = - 3
( - 6 ) + ( - 7 ) = - 13 ( - 4 ) + ( - 9 ) = - 13
( 1 ) + ( 4 ) = 5 ( 9 ) + ( 8 ) = 17

ADICION DE ENTEROS
( - 6 ) + ( 3 ) = - 3
0
- 6
3
- 3
¿QUIEN TIENE MAYOR VALOR ABSOLUTO?
- 6

ADICION DE ENTEROS
( 10 ) + ( - 5 ) = 5
¿QUIEN TIENE MAYOR VALOR ABSOLUTO?
10
0
10
- 5
5

SI LOS SUMANDOS TIENEN SIGNOS DIFERENTES
¿COMO ENCUENTRO LA SUMA?
( - 5 ) + ( 2 ) = - 3 ( - 1 ) + ( 8 ) = 7
( - 9 ) + ( 2 ) = - 7 ( - 8 ) + ( 7 ) = - 1
( - 3 ) + ( 5 ) = 2 ( - 2 ) + ( 1 ) = - 1
( 6 ) + ( - 7 ) = - 1 ( - 4 ) + ( 9 ) = 5
( -1 ) + ( 4 ) = 3 ( - 9 ) + ( 8 ) = - 1

OTRA FORMA DE ESCRIBIR
( 2 ) + ( 9 ) = ( - 7 ) + ( - 9 ) =
PARENTESIS SE ELIMINA
SUMANDOS SE ESCRIBEN UNO A CONTINUACION DEL OTRO
2 + 9 = - 7 - 9 =
( - 2 ) + ( 5 ) =
- 2 + 5 =

PROPIEDAD ASOCIATIVA
Agrupamos en función del signo y reducimos
- 2 + 8 - 5 + 2 - 3 + 1 - 7 + 4 = - 17 + 15 = - 2
2 - 6 + 7 - 4 + 5 - 1 + 9 - 11 = 23 - 22 = 1
7 - 2 + 3 - 11 + 8 - 7 + 2 - 11 = 20 - 31 = - 11
1 - 3 + 7 - 4 + 8 - 5 + 4 - 6 = 20 - 18 = 2

- 5 + 8 - 3 + 4 - 2 + 1 - 9 + 8 = - 19 + 21 = 2
- 7 + 3 - 3 + 4 - 6 + 6 - 5 + 8 = - 21 + 21 = 0
- 5 + 1 - 9 + 3 - 2 + 5 - 4 + 8 = - 20 + 17 = - 3
- 1 + 5 - 3 + 1 - 4 + 2 - 5 + 3 = - 13 + 11 = - 2
- 9 + 2 - 8 + 3 - 2 + 5 - 1 + 6 = - 20 + 16 = - 4
- 1 + 6 - 2 + 4 - 3 + 8 - 5 + 2 = - 11 + 20 = 9

- 1 + 8 - 3 + 3 - 2 + 1 - 9 + 5 = - 15 + 17 = 2
7 - 3 + 3 - 4 + 6 - 6 + 5 - 8 = 21 - 21 = 0
5 - 1 + 9 - 3 + 2 - 5 + 4 - 8 = 20 - 17 = 3
- 6 + 8 - 4 + 6 - 8 + 2 - 7 + 3 = - 25 + 19 = - 6
9 - 2 + 8 - 3 + 2 - 5 + 1 - 6 = 20 - 16 = 4
- 10 + 6 - 2 + 9 - 5 + 6 - 6 + 4 = - 23 + 25 = 2

SIGNOS IGUALES
SIGNOS DIFERENTES
SUMAMOS Y REPETIMOS EL SIGNO
RESTAMOS Y ESCOGEMOS EL SIGNO DEL MAYOR VALOR ABSOLUTO
MENU

SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS

INVERSA A ADICION
CONSISTE EN ENCONTRAR UN SUMANDO DESCONOCIDO
7 + 3 = 10
7 + x = 10
7 + x = 10
x
=
10 - 7

7 + x = 10
3
=
10 - 7
INVERSA A ADICION
MINUENDO
SUMA
SUSTRAENDO
SUMANDO CONOCIDO
RESTA O DIFERENCIA
SUMANDO DESCONOCIDO
OBSERVA
3
=
10 - x
¿ QUE CANTIDAD DEBE RESTARSE A 10 PARA OBTENER 3 ?
3
=
10 - ( 7 )

OBSERVA
¿ QUE CANTIDAD DEBE RESTARSE A 12 PARA OBTENER 7 ?
7
=
12 - ( 5 )
7
=
12 - x
¿ QUE CANTIDAD DEBE SUMARSE A 12 PARA OBTENER 7 ?
7
=
12 + ( - 5 )
MINUENDO
SUMA
SUSTRAENDO
SUMANDO CONOCIDO
RESTA O DIFERENCIA
SUMANDO DESCONOCIDA
+ =

7
=
12 - ( 5 )
7
=
12 + ( - 5 )
OBSERVA
UNA SUSTRACCION SE RESUELVE SUMANDO
7
=
12 - x
=
12 - ( 5 ) =
12 + ( - 5 ) 12 - 5 = 7
Inverso aditivo
UNA SUSTRACCION SE RESUELVE SUMANDO AL MINUENDO EL
INVERSO ADITIVO O SIMETRICO DE SUSTRAENDO

=
10 - ( - 5 ) =
10 + 5 15
Inverso aditivo
=
- 9 - ( - 3 ) =
- 9 + 3 - 6
Inverso aditivo
=
11 - ( 7 ) =
11 - 7 4
Inverso aditivo
=
- 8 - ( - 2 ) =
- 8 + 2 - 6
Inverso aditivo

-
- 4 - ( - 5 ) - 4
( - 7 )
+ 5 + 7
= = - 4
Resuelve aplicando la propiedad del inverso aditivo
+ 12 = 8
-
9 - ( 2 ) 9
( - 3 ) - 2 + 3
= = 12 - 2 = 10
-
- 7 - ( - 1 ) - 7
( - 7 ) + 1 + 7
= = - 7 + 8 = 1
-
- 3 - ( 2 ) - 3
( - 1 ) + 2 + 1
= = - 3 + 3 = 0
-
14 - ( - 6 ) 14
( 7 ) + 6 - 7
= = 20 - 7 = 13
-
- 3 - ( - 4 ) - 3
( - 3 ) + 4 + 3
= = - 3 + 7 = 4
-
- 1 - ( - 1 ) - 1
( - 1 ) + 1 + 1
= = - 1 + 2 = 1

-
- 7 - ( - 4 ) ( 1 ) = - 7 + 4 - 1 = - 8 + 4 = - 4
-
11 - ( 5 ) ( - 1 ) = 11 - 5 + 1 = 12 - 5 = 7
-
- 8 - ( - 5 ) ( - 2 ) = - 8 + 5 + 2 = - 8 + 7 = - 1
-
17 - ( - 7 ) ( 11 ) = 17 + 7 - 11 = 24 - 11 = 13
-
- 3 - ( - 4 ) ( 9 ) = - 3 + 4 - 9 = - 12 + 4 = - 8
-
- 2 - ( - 9 ) ( 1 ) = - 2 + 9 - 1 = - 3 + 9 = 6

-
- 1 - ( - 7 ) ( 2 ) = - 1 + 7 - 2 = - 3 + 7 = - 4
-
10 - ( 9 ) ( - 1 ) = 10 - 9 + 1 = 11 - 9 = 2
-
- 3 - ( - 2 ) ( - 3 ) = - 3 + 2 + 3 = - 3 + 5 = 2
-
13 - ( - 9 ) ( 1 ) = 1 3 + 9 - 1 = 22 - 1 = 21
-
- 3 - ( - 7 ) ( 4 ) = - 3 + 7 - 4 = - 7 + 7 = 0
-
- 2 - ( - 6 ) ( 7 ) = - 2 + 6 - 7 = - 9 + 6 = - 3
MENU

MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
5 x 3
SIGNIFICA 5 VECES 3
MULTIPLICACION ES UNA SUMA ABREVIADA
5 x 3 = 15
FACTORES PRODUCTO

MULTIPLICACION DE ENTEROS
( 4 ) x ( 3 ) = 12
0
CUATRO VECES TRES POSITIVO
3
12
3 3 3
+ + +

( 2 ) x ( 5 ) = 10
0
DOS VECES CINCO POSITIVO
10
5
+
5

( 3 ) x ( 3 ) = 9
0
9
3 + 3 + 3

( 5 ) x ( 9 ) = 45
¿ QUE SIGNO TIENEN LOS FACTORES ?
¿ QUE SIGNO TIENE EL PRODUCTO ?
PRODUCTO DE POSITIVOS ES POSITIVO

( 4 ) x ( - 2 ) = - 8
0
CUATRO VECES DOS NEGATIVO
- 2
- 8
- 2 - 2 - 2
+ + +

( 2 ) x ( - 5 ) = - 10
0
DOS VECES CINCO NEGATIVO
- 5
- 10
- 5
+

( 3 ) x ( - 4 ) = - 12
0
TRES VECES CUATRO NEGATIVO
- 4
- 12
- 4
+
+
- 4

( 5 ) x ( - 7 ) = - 35
¿ QUE SIGNO TIENEN LOS FACTORES ?
DIFERENTES
Positivo - Negativo
¿ QUE SIGNO TIENE EL PRODUCTO ?
NEGATIVO
PRODUCTO NEGATIVO - POSITIVO ES NEGATIVO

PRODUCTO DE NEGATIVOS
¿ COMO DEMOSTRARLO ?
( - 4 ) x ( - 2 ) =
Por la propiedad del cero, cualquier entero multiplicado por cero, da cero
( - 4 ) x 0 = 0
Sustituimos el cero por la suma de dos números simétricos
- 4 2 + ( - 2 ) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva
( - 4 ) x ( 2 ) + ( - 4 ) x ( - 2 )
Sabemos que ( - 4 ) x ( 2 ) = - 8 , sustituyendo :
- 8 + ____ = 0
= 0
- 8 + ( 8 ) = 0
Por lo que : ( - 4 ) x ( - 2 ) = 8
*

PRODUCTO DE DOS NUMEROS ENTEROS NEGATIVOS
( - 2 ) ( - 5 ) = 10 ( - 6 ) ( - 5 ) = 30
( - 7 ) ( - 4 ) = 28 ( - 9 ) ( - 5 ) = 45
( - 2 ) ( - 9 ) = 18 ( - 6 ) ( - 2 ) = 12
( - 4 ) ( - 5 ) = 20 ( - 6 ) ( - 6 ) = 36

( - 2 ) ( - 2 ) = 4 ( - 6 ) ( - 8 ) = 48
( - 7 ) ( 5 ) = - 35 ( - 5 ) ( 4 ) = - 30
( - 9 ) ( 4 ) = - 36 ( - 1 ) ( - 5 ) = 5
( - 2 ) ( - 8 ) = 16 ( - 7 ) ( 2 ) = - 14
( 4 ) ( - 5 ) = - 20 ( - 6 ) ( - 1 ) = 6
( - 3 ) ( - 7 ) = 21 ( - 9 ) ( - 9 ) = 81
( - 8 ) ( 5 ) = 40 ( - 6 ) ( - 7 ) = 42

OBSERVA
( - 2 ) ( 5 ) = 30
( - 3 )
( - 2 ) ( 3 ) = - 6
( - 1 ) ( 7 ) = - 42
( - 3 ) ( - 2 )
( - 1 ) ( - 2 ) =
( - 3 ) ( - 4 ) 24
¿ Signos negativos?
1
2
3
4
NUMERO IMPAR DE FACTORES NEGATIVOS
NUMERO PAR DE FACTORES NEGATIVOS
NEGATIVOS
POSITIVO

Multiplica los número enteros. Para determinar el signo del resultado, solo
cuenta el número de signos negativos
( - 1 ) ( 4 ) = - 24
( - 3 ) ( - 2 )
( - 2 ) ( 4 ) = 48
( 3 ) ( - 2 )
( 9 ) ( 3 ) = 81
( - 3 ) ( - 1 )
( - 1 ) ( 2 ) = - 12
( - 3 ) ( - 2 )
( - 1 ) ( - 7 ) = 63
( - 3 ) ( - 3 )
( - 5 ) ( 8 ) = - 240
( - 3 ) ( - 2 )
( - 1 ) ( - 2 ) = 12
( - 2 ) ( - 3 )

( 5 ) 3 = 5 x 5 x 5
MULTIPLICADO POR SI MISMO TRES VECES
POTENCIACION ES UNA MULTIPLICACION ABREVIADA
= 125
BASE POTENCIA
( 5 ) 3 = 5 x 5 x 5
EXPONENTE

( - 2 ) 5 =
( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 32
( - 3 ) 4 = ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) = 81
( 2 ) 6 = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 64
( - 5 ) 3 = ( - 5 ) ( - 5 ) ( - 5 ) = - 125
( 6 ) 4 = ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) = 1296
( - 1 ) 6 = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = 1
MENU

DIVISION DE NUMEROS ENTEROS

5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
5 x 3
SIGNIFICA 5 VECES 3
MULTIPLICACION ES UNA SUMA ABREVIADA
5 x 3 = 15
FACTORES PRODUCTO

INVERSA A MULTIPLICACION
CONSISTE EN ENCONTRAR UN FACTOR DESCONOCIDO
( 7 ) ( 3 ) = 21
( 7 ) ( x ) = 21
( 7 ) ( x ) = 21
( 21 ) ( 7 ) = 3
:

INVERSA A MULTIPLICACION
POSITIVO
POSITIVO
NEGATIVO
NEGATIVO
POSITIVO
NEGATIVO
NEGATIVO
POSITIVO
SIGNOS IGUALES
SIGNOS DIFERENTES
POSITIVO
NEGATIVO

DIVISION DE ENTEROS
( - 24 ) ( - 2 ) = 12 ( - 16 ) ( - 8 ) = 2
( - 72 ) ( - 8 ) = 9 ( - 12 ) ( 4 ) = - 3
( - 9 ) ( 3 ) = - 3 ( - 5 ) ( - 5 ) = 1
( - 8 ) ( - 8 ) = 1 ( - 6 ) ( 2 ) = - 3
( 40 ) ( - 5 ) = - 8 ( - 27 ) ( - 9 ) = 3
( - 35 ) ( - 7 ) = 5 ( - 49 ) ( - 7 ) = 7
( - 8 ) ( 4 ) = - 2 ( - 63 ) ( - 9 ) = 7

DIVISION DE ENTEROS
( - 20 ) ( - 2 ) = 10 ( - 32 ) ( - 8 ) = 4
( - 72 ) ( - 6 ) = 12 ( - 28 ) ( 7 ) = - 4
( - 9 ) ( 9 ) = - 1 ( - 15 ) ( - 5 ) = 3
( - 8 ) ( - 4 ) = 2 ( - 6 ) ( 6 ) = - 1
( 30 ) ( - 5 ) = - 6 ( - 27 ) ( - 3 ) = 9
( - 35 ) ( - 5 ) = 7 ( - 14 ) ( - 7 ) = 2
( - 24 ) ( 6 ) = - 4 ( - 54 ) ( - 9 ) = 6

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