1. ÁNGULOS
1. LOS ÁNGULOS.
1.1. CONCEPTO DE ÁNGULO Y ELEMENTOS.
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen
común.
Sus elementos son:
 Vértice: es el punto común de las dos semirrectas.
 Lados: cada una de las dos semirrectas que forman
el ángulo.
 Amplitud: es la apertura de los lados.
1.2. TIPOS DE ÁNGULOS.
Según la amplitud de un ángulo, éste puede ser:
1.3. EL TRANSPORTADOR.
Los ángulos se miden en grados, para ello, utilizamos el
transportador de ángulos.

2.  Para medir un ángulo seguimos estos pasos:
1. Situamos el vértice del ángulo en el centro del transportador.
2. Hacemos coincidir un lado del ángulo con el grado 0.
3. El otro lado señala los grados que mide la amplitud del ángulo.
 Para dibujar un ángulo de una medida concreta seguimos estos pasos:
1. Dibujamos una semirrecta.
2. Situamos el vértice del ángulo en el centro del transportador. Hacemos coincidir la
semirrecta con el grado 0.Buscamos en el transportador la medida del ángulo que
queremos dibujar y marcamos una rayita.
3. Dibujamos el otro lado del ángulo uniendo el vértice con la marca que hemos hecho.
2. UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS.
La unidad fundamental de medida de ángulos es el grado. Un grado se obtiene al dividir
una circunferencia en 360 partes iguales.
Para medir la amplitud de un ángulo con mayor precisión utilizamos grados (º), minutos (´)
y segundos (´´).

3. Estas medidas forman un sistema sexagesimal, es decir, cada unidad es 60 veces
mayor que la unidad inmediata inferior y viceversa.
Para pasar de una unidad de medida a otra lo hacemos de la siguiente manera:
PARA SABER MÁS
Los ángulos también se pueden medir en radianes.
Un radián es el ángulo formado al tomar el radio y extenderlo
sobre la circunferencia. Equivale a 57,296º aproximadamente.
 MEDIDAS DE TIEMPO.
Las unidades de tiempo: horas, minutos y
segundos, también forman un sistema
sexagesimal.
RECUERDA.

4. 2.1. FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA.
La medida de un ángulo se puede expresar de dos maneras:
 Forma compleja: cuando se expresa utilizando dos o más unidades de medida.
º ’ ’’ º ’
 Forma incompleja: cuando se expresa utilizando una sola unidad de medida.
º ’
2.2. TRANSFORMAR MEDIDAS COMPLEJAS EN INCOMPLEJAS.
Se transforman las distintas unidades de medida a la unidad que se pide y después se
suman los resultados.
Expresar en minutos:
Expresar en segundos:
2.3. TRANSFORMAR MEDIDAS INCOMPLEJAS EN COMPLEJAS.
Realizamos sucesivas divisiones entre 60 puesto que trabajamos en el sistema
sexagesimal.
Expresar en minutos y segundos: Expresar en grados y minutos:

5. Expresar en grados, minutos y segundos:
3. OPERACIONES EN SISTEMA SEXAGESIMAL.
3.1. SUMA.
La suma de dos ángulos es otro cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos
ángulos iniciales.
3.1.1. Suma aritmética.
Para sumar ángulos o medidas de tiempo de forma aritmética seguimos estos pasos:
1º Se colocan los sumandos agrupados: grados debajo de
grados (u horas debajo de horas), minutos debajo de
minutos y segundos debajo de segundos.
2º Sumamos cada columna.
3º Si los segundos son más de 60, debemos convertirlos a
minutos y sumarlos en dicha columna.
4º Procedemos de la misma manera con los minutos si
éstos también son más de 60: los convertimos a grados
y sumamos.
3.1.2. Suma gráfica.
Para sumar ángulos de manera gráfica seguimos los siguientes pasos:
1º Dibujamos el primer ángulo.
2º Dibujamos el segundo ángulo de manera que sean consecutivos.
3º El ángulo suma abarca la amplitud de los dos ángulos iniciales.

6. 3.2. RESTA.
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del
ángulo mayor y la del ángulo menor.
3.2.1. Resta aritmética.
Para restar ángulos o medidas de tiempo de forma aritmética seguimos estos pasos:
1º Se colocan el minuendo y el sustraendo de forma que coincidan
en la misma columna grados con grados (u horas con horas),
minutos con minutos y segundos con segundos.
2º Restamos cada columna por separado.
3º Si en la columna de los segundos el minuendo es menor que el
sustraendo, restaremos un minuto en la columna de minutos y lo
sumaremos, transformado en segundos, en la columna de los
segundos.
4º Procedemos de la misma manera con los minutos si el minuendo
fuera menor que el sustraendo: convertiremos un grado en
minutos para poder restar.
3.2.2. Resta gráfica.
Para restar ángulos de manera gráfica seguimos los siguientes pasos:
1º Dibujamos el ángulo mayor (minuendo).
2º Dibujamos el ángulo menor (sustraendo) de manera que, compartiendo vértice y un
lado, el ángulo menor esté comprendido dentro del ángulo mayor.
3º El exceso de amplitud o sobrante es la diferencia entre los ángulos iniciales: el
ángulo resta.
4. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS.
Los ángulos no solo se pueden clasificar por su amplitud como hemos visto en el apartado
1.2, sino que también se pueden catalogar en función de sus posiciones relativas o de su
suma.

7. 4.1. ÁNGULOS CONSECUTIVOS, ADYACENTES U OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Según su posición, dos ángulos pueden ser consecutivos, adyacentes u opuestos por el
vértice.
 Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un
lado en común.
Además la suma de los dos ángulos debe ser igual al ángulo
formado por los lados no comunes.
 Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el vértice, un lado
común y suman 180º.
Los lados no comunes de dos ángulos adyacentes están en la
misma recta.
 Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el
vértice en común y los lados de uno son prolongación de los del
otro.
Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud,
es decir, son iguales.
4.2. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS.
Según su suma, dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios.
 Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto (90º).
 Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano (180º).