1. B1 �
RELACIONES Y FUNCIONES
Diferencia entre variable y constante
Variable: es aquello que puede tomar diferentes valores, se representa mediante
símbolos (por lo general, las últimas letras del abecedario: s, t, v, w, x, y, z) y toma
sus valores de un conjunto específico.
Ejemplo: la velocidad (v) de un automóvil 10 m/s, 30 m/s, 50 m/s
Constante: es aquello cuyos valores no cambian, es decir, sólo tiene un valor. Por
ejemplo, una cantidad numérica: 5, 10, π, e, etc. (en álgebra las constantes se
pueden representar con las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e).
Variable independiente: es aquella variable cuyos valores no dependen de
ninguna otra variable para cambiar.
Variable dependiente: es aquélla cuyos valores dependen de los valores de otra
variable llamada independiente.
Diferencia entre relación y función
Relación: se establece cuando dos o más variables siguen una regla de
correspondencia o asociación. En ella, a cada elemento del dominio se le puede
asignar uno o más elementos del contradominio.
Ejemplos de relaciones
En una conferencia pública
en París, el 24 de Mayo 1. Los asientos de un teatro se identifican por una letra (fila) y un número de
del año 2000, el Clay
Mathematics Institute de
asiento.
Boston (USA) anunció siete
premios de un millón de Sabemos que un teatro está distribuido en filas y cada asiento se numera de
dólares cada uno a quienes
resolviesen, a satisfacción de forma consecutiva. La numeración vuelve a comenzar conforme cambiamos de
la comunidad matemática fila, la variable independiente es el número de fila y la dependiente es el número
internacional, siete célebres
problemas matemáticos que
de asiento.
permanecían sin solución en
esas fechas.
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2. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Número de fila Número de asiento
A 1
B 2
C 3
La Hipótesis de Riemann
(sobre la localización de
De esta manera, formamos los pares: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3; así que a los ceros complejos de la
cada elemento del conjunto A le corresponde todos los elementos del conjunto función ζ(s) es un problema
que se ha intentado
B; se establece una relación. resolver desde 1859 y hasta
la fecha no tiene solución?
2. A cada automóvil se le asocia: un modelo, un número de serie, un número de Si la conjetura de Riemann
es cierta, se dispone de una
placa, un número de tarjeta de circulación. fórmula asintóticamente
exacta para la Ley de
distribución de los
3. A cada persona se le asocia una edad, una estatura, un peso. números primos, resultado
que va más allá del
Función: es una relación tal que a cada elemento de la variable independiente teorema de los números
primos ¿Te atreves? Es el
le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente. problema número 1 por
el que otorgan un millón
de dólares para quien lo
Para establecer correctamente cuál es la relación entre las variables, es importante resuelva.
identificar la variable dependiente y la independiente. Los valores de la variable
dependiente cambian sólo si lo hacen los de la independiente y, para saber si
esta relación es función o no, a cada elemento de la variable independiente se
le asociará uno y sólo un elemento de la variable dependiente. Si esta condición
no ocurre, entonces se trata simplemente de una relación.
Ejemplos de funciones
1. El clima representativo está en función de la estación del año:
La variable independiente: estación del año.
Valores: primavera, verano, otoño, invierno.
Variable dependiente: clima representativo.
Valores: soleado, caluroso, ventoso, frío.
Conforme cambian las estaciones, el clima representativo se va modificando,
pero no ocurre de manera inversa, por ello; la variable independiente es estación
del año.
Regla de correspondencia
Variable independiente Variable dependiente
Estación del año Clima representativo
Primavera Soleado
Verano Caluroso
Otoño Ventoso
Invierno Frío
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3. B1 �
2. El perímetro de una circunferencia está en función de su radio.
Si varía el radio de la circunferencia, también varía su perímetro, y no al contrario;
de tal manera, que la variable dependiente es el perímetro de la circunferencia y
la variable independiente, el radio.
Variable independiente: radio de la circunferencia.
Valores: Los valores que puede tomar el radio de la circunferencia son todos
aquellos mayores a cero.
Variable dependiente: perímetro de la circunferencia.
Valores: todos los valores mayores a cero, pueden tomar el perímetro de la
circunferencia.
Regla de correspondencia
Variable independiente Variable dependiente
Radio de la circunferencia Perímetro de la circunferencia
1 2π
2 4π
3 6π
4 8π
3. El área de un cuadrado está en función de la magnitud (tamaño) de sus
lados.
Cuando cambia la longitud del lado de un cuadrado, el área cambiará, por lo
que la variable independiente es la magnitud del lado del cuadrado y la variable
dependiente es el área del cuadrado.
Variable independiente: magnitud del lado del cuadrado.
Valores: todos los valores que puede tomar el lado de un cuadrado, mayores
que cero.
Variable dependiente: área del cuadrado.
Valores: todos los valores mayores a cero que puede tomar el área del
cuadrado.
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4. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Regla de correspondencia
Variable independiente Variable dependiente
Magnitud del lado del cuadrado Área del cuadrado
1 1
2 4
3 9
4 16
Actividad
Variables
De las siguientes funciones realiza un análisis como el anterior, identificando
la variable independiente y la dependiente, así como los valores que pueden
tomar y la regla de correspondencia.
1. El área de una circunferencia está en función de su diámetro.
2. La imagen de un espejo está en función del movimiento de la persona que se
refleja en el espejo.
3. El tiempo de absorción de las medicinas en el cuerpo humano.
A partir de las definiciones de relación y función, podemos deducir que las
funciones son un caso particular de las relaciones; es decir, un subconjunto de
éstas, con la característica que a cada elemento del dominio le corresponde
uno y sólo un elemento del contradominio. En una relación a cada elemento
del dominio le puede corresponder uno o más elementos del dominio; por lo
tanto, podemos concluir que todas las funciones son relaciones, pero no todas
las relaciones son funciones.
Notación para funciones:
f(x)=y
“se lee f de x es igual a y”
En la notación f(x), la variable dentro del paréntesis nos indica cuál es la variable
independiente, en este caso es x.
Regla de correspondencia: son las condiciones en las que están relacionadas dos
El problema 2 por el que
variables, se puede representar por medio de una ecuación matemática. otorgan un millón de
dólares es: “La teoría de
Yang-Mills y la Hipótesis
Argumento: es a cada elemento de la variable independiente. de Masa no Nula”; es
un tema genuino y
capital de física teórica,
Imagen: se conoce con este nombre a cada elemento de la variable
propuesto por Jaffe y
dependiente. Witten.
37

5. B1 �
Intervalos
Intervalo: es el conjunto de valores comprendidos en un segmento de un eje
real, llámese eje x o eje y o, simplemente, la recta de los reales.
Los intervalos se clasifican en:
Intervalo cerrado, se llama así, si incluye a los extremos.
Intervalo abierto, se llama así, si no incluye a los extremos.
Intervalo mixto:
a) intervalo mixto abierto-cerrado: si no incluye el extremo izquierdo, e incluye al
extremo derecho.
b) intervalo mixto cerrado-abierto: se llama así, si incluye al extremo izquierdo y
no incluye al extremo derecho.
c) intervalo semiabierto.
d) intervalo semicerrado.
La notación de un intervalo puede presentarse en forma paréntesis y/o
corchetes (tradicional), en forma de desigualdad y en forma gráfica; esta
última casi no la usamos, por lo tanto sólo la mencionaremos.
Sean a y b dos números reales y a < b entonces:
Notación
Descripción Desigualdad Se lee
paréntesis
Intervalo
Intervalo cerrado [a, b] a≤x≤b
cerrado a, b.
Intervalo
Intervalo abierto (a, b) a<x<b
abierto a, b.
Intervalo
Intervalo mixto abierto-
(a, b] a<x≤b abierto en a,
cerrado
cerrado en b.
Intervalo
Intervalo mixto:
[a, b) a≤x<b cerrado en a,
Cerrado- abierto
abierto en b.
Intervalo
abierto a la
Intervalo semiabierto (-∞, b) -∞ < x < b
izquierda y
en b.
Intervalo
abierto a la
Intervalo semicerrado (-∞, b] -∞ < x ≤ b
izquierda y
cerrado en b.
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6. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Notación
Descripción Desigualdad Se lee
paréntesis
Intervalo semi abierto Intervalo
(a, ∞) a<x<∞ abierto en a y
a la derecha.
Intervalo semi-cerrado Intervalo
cerrado en a
[a, ∞) a≤x<∞
y en el lado
derecho.
Abierto en
ambos lados,
en este caso
particular se
Intervalo abierto (-∞, ∞) -∞ < x < ∞
representa
a la recta
numérica
completa.
Tabla 1.1 La notación de un intervalo
Un intervalo se utiliza para señalar una porción de la función o para representar
su dominio, incluso, sirve para representar el rango.
Actividad
Notación de intervalos
Completa la siguiente tabla:
Valores que incluye y
Num. Intervalo Desigualdad Se lee
que excluye
Todos los valores entre
1 [2,3] 2≤x≤3 Intervalo
2 y 3 incluyendo los
cerrado de 2 a 3
extremos.
Todos los valores
2 (5,10] 5 < x ≤ 10 Intervalo
entre: 5, 6, 7, 8, 9
abierto en 5 y
y10; incluyendo el 10,
cerrado en 10
excluyendo el 5.
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7. B1 �
Valores que incluye y
Num. Intervalo Desigualdad Se lee
que excluye
Todos los valores entre
Intervalo
3 (-5,1) 5<x<1 -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1;
cerrado de 5 a 1
excluyendo a 5 y 1.
Todos los valores entre
-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3… hasta
4 [-3, ∞)
infinito; excluyendo: a
ninguno.
5 2≤x<0
Intervalo
6 abierto en 2 y
abierto en 16.
Todos los valores entre
7 10, 9, 8, excluyendo a 8.
8 (∞, 3)
9 (20,15]
10 ∞<x≤15
Intervalo de
∞ abierto a la
11 izquierda a -3
cerrado a la
derecha.
12 [4,5)
40

8. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Rango: es el conjunto de imágenes de una función asociadas a los valores de
x que conforman el dominio; es decir, son aquellos valores reales que toma
la variable dependiente.
Ejemplo
Determina el rango de la función cuya gráfica se muestra en la imagen en el
intervalo de valores de x de [-6,6].
El problema número
3 está relacionado
también otro problema
de aplicación a la física
y es el único vinculado
directamente con las
computadoras: “El
problema P versus el
NP”.
Debemos recordar que rango es el conjunto de imágenes (valores de y) asociadas
a cada argumento (valores de x).
41

9. B1 �
De la misma manera, buscamos las imágenes asociadas a los extremos del
intervalo de análisis. Observamos que para x = -6 es y = -1 y para x = 6 es y = 5;
como la función no tiene variaciones en el intervalo, entonces el rango:
rango = y ∈ R / -1 ≤ y ≤ 5}
Se lee: "el rango está en los valores de y que pertenecen a los reales, tal que -1
menor o igual que y, menor o igual que 5".
La recta azul señala el rango en forma gráfica, el cual está comprendido en [-1, 5]
se lee: "el intervalo de -1 a 5".
Ejemplo
Determina el rango de la función cuya gráfica se muestra en la imagen en el
intervalo de valores de x de [0,4].
Solución
Tal vez te hayas quedado con la idea errónea de que para encontrar el rango
de la función, necesitas, buscar las imágenes de los extremos del intervalo;
pero no es así debido a que para x = 0 la imagen asociada es y = 0 y para x = 4
también la imagen asociada es y = 0. Sin embargo, puedes observar en la parte
central otras imágenes mayores que cero y menores que cero. Por lo tanto al
hacer el análisis dentro del intervalo, observamos que la menor de las imágenes
es y = -3 y la mayor de las imágenes en el intervalo de análisis es y = 3. Por
consiguiente, el rango queda:
rango={y ∈R/-3 ≤ y ≤ 3}
Se lee: "el rango está en los valores de y que pertenecen a los reales, tal que -3
menor o igual que y menor o igual que 3".
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10. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
La recta roja nos señala el rango comprendido en [-3, 3], que se lee "el intervalo
de -3 a 3".
Actividad
En cada una de las siguientes gráficas señala con rojo el rango solicitado, y en la
línea de abajo represéntalo con la notación de desigualdad.
1. Obtener el rango de la función para los valores de x [-1. 1].
43

11. B1 �
2. Obtener el rango de la función para los valores de x [-3. 3].
3. Obtener el rango de la función para los valores de x [-5, -1].
El problema 4 también
es un problema de
aplicación a la física: “Las
Ecuaciones de Navier-
Stokes”.
44

12. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Dominio: son todos los valores que puede tomar la variable independiente
debido al contexto en el cual se creó, y que en una función generan
imágenes reales. Los argumentos que no generan imágenes reales no
pertenecen al dominio de la función.
El dominio de una función en cuya regla de correspondencia no tiene:
exponentes negativos, exponentes fraccionarios, raíces pares o divisiones
en donde la variable dependiente se localice en el denominador, es todos los
valores de x que pertenecen a los reales.
Al analizar la definición de dominio, surge una pregunta obligada:
¿Cómo reconocer un argumento que no genera una imagen real?
Existen dos factores que limitan el dominio de la función: a) las imágenes no
reales, b) el contexto de la función:
Supongamos que necesitas hacer jugo de zanahoria, si comparamos este hecho
con nuestro tema podemos decir que: el conjunto de todas las zanahorias que
usarás son el dominio de la función, a cada zanahoria le llamaremos argumento;
el extractor de jugos es la función, cada chorrito de jugo que salga de nuestro
extractor debido a cada una de las zanahorias sería una imagen, el jugo en
conjunto sería el rango de la función; pues bien, con esto puedes observar cómo
es una función
zanahoria extractor jugo de 1 zanahoria
argumento función imagen
Por ejemplo:
Dada la función f ( x ) = x 2 + 5 x − 8 , evaluarla para x = 2:
argumento función imagen
x=2 f (2) = (2)2 + 5(2) − 8 = 4 + 10 − 8 = 6 y =6
zanahorias extractor jugo
dominio función rango
45

13. B1 �
Dada la función f ( x ) = x 2 + 5 x − 8 , mostrar dominio y rango:
dominio función rango
Todos los valores de xЄR f ( x ) = x2 + 5x − 8 todos los valores
de y ≥ -57/4 que Є R
Si seleccionas una zanahoria, al meterla al extractor se transformará para
obtener el jugo, si tomas una zanahoria podrida, al meterla al extractor lo que
resultará será jugo en mal estado, algo que no deseas. Esta es la razón por la
cual la zanahoria no pertenecerá al dominio de la función, porque al pasar por el
procesador nos da una imagen no deseada, que es jugo en mal estado.
Si trabajas con funciones matemáticas y eliges un argumento, si lo sustituyes en
la función y éste se transforma en una imagen no real, ya sea una indeterminación
(∞) o una cantidad imaginaria, entonces este valor que tomó la variable
independiente no pertenece al dominio de la función.
Debes recordar que obtenemos una indeterminación (∞) cuando se presenta
la división entre cero (3/0, -5/0, 0/0), y las cantidades imaginarias se presentan
principalmente al tratar de obtener una raíz par de un número negativo
( )
−4 , 4 −9 , 6 −3 .
2x
Por ejemplo: dada la función f ( x ) = , hallar los valores de x que no
x +1
pertenecen al dominio de la función y verificar el resultado mediante su gráfica.
Solución
Al observar la función percibimos que es el cociente de dos funciones (función
racional); por lo tanto, busquemos aquellos valores cuyo denominador se
convierte en cero. Con este propósito utilizaremos la siguiente ecuación:
x + 1= 0
Tal vez te preguntes por qué precisamente utilizar la ecuación significa que
buscamos los valores de x que hacen que el denominador se haga cero y como
no es posible hacer la división entre cero, al encontrar dichos valores de x,
también estamos encontrando los valores de x que no pertenecen al dominio
de la función (más adelante en el bloque seis profundizaremos en esta idea).
x+1=0
resolviendo:
x = -1
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