1) El documento introduce conceptos básicos de variables, constantes, funciones y límites matemáticos. Define variables, constantes numéricas, constantes arbitrarias e intervalos. 2) Explica que una función relaciona una variable dependiente con una independiente, y define términos como argumento, dominio y rango. 3) Establece propiedades de límites como que el límite de una suma, producto o cociente es igual al de sus componentes, y que una función es continua si su límite existe y es igual a su valor.

2. GRAND VILLE

3.  Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el
curso de un proceso de análisis, un
número ilimitado de valores.
Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto
Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama
constante.
 Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos
valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc.
 Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se pueden
asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos
valores asignados.

4. A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números.
Por ejemplo, podemos restringir nuestra variable de manera que tome
únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b
sean incluidos o que uno () ambos sean excluÍdos. Emplearemos el símbolo
[a, b], siendo a menor que b, para representar los números a y b y todos los
números comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra
cosa .
Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , .

5. Se dice que una variable a varía de una
manera continua en un intervalo [a, b] cuando
x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de
tal manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el orden de s u s
magnitudes; o cuando x disminuye desde x = b
hasta x = a, tomando sucesivamente todos los
valores intermedios.

6. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la
primera queda determinado si se da un valor a la segunda entonces se dice
que la primera es función de la segunda .
por ejemplo, el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a
igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede
considerar
que la distancia ql,le un muchacho puede recorrer depende del tiempo.
O también podemos decir que el área de un cuadrado es una función de la
longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su
diámetro .

7. La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de
limites que dependen del problema particular, se llama la variable
independiente o el argumento.
La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la
variable independiente, se llama la variable dependiente o la funci6n.
cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro arbitrio
el elegir a una de ellas como variable independiente;
El área de un cuadrado, por ejemplo, es una función de la longitud del lado , y,
recíprocamente, la longitud del lado es una función del área.

8. El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de
distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) ,
J' (x), etc.
Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una
misma ley de dependencia entre una función y su variable.
f ( ?I) = y2 - 9 Y + 14 ;
f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G
f( O) = 02 - 9· 0 + 14 = 14,
f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24,
f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .

9. El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con
esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = O , Y recordando
que cero tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se
ve que x no existe, a menos que a = O.
Si a = O, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que se
presentan en una de las formas
Supongamos que a = b.
ab = a2 Entonces, evidentemente, •
Restando b2 ,
Descomponiendo en factores,
Dividiendo por a -/¡ ,
ab - b2 = a~ - b~ .
h (a- b) = (a+b) (a- /; ) .
b=a+b.
Pero, a = b;
luego,
o ~ea que
b = 2 b,
1 = 2 .
.

10. Consideremos la función
x2 y hagamos
(1) Y = X2
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir,(1) define
unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar
geométrico de (1) es una parábola Y se llama la gráfica de la función X2. Si x
varía continuamente desde x = a hasta x = b, entonces y variará
continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá
continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2).
Además,
a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que, ‘la función
X2 es continua para todos los valores de x".

11. La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometría
elemental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo.
El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área
del círculo .
DEFINICIÓN. Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los
valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v - l puede llegar
a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño
como se quiera.
La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos
serviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v tiende hacia el límite l" o, más
brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notación v -:"l . )
2+1…. 2+1/2…… 2+1/4……………..

12. En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable
v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la
variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a.
Lím z = a,
V---------l
y se leerá: "el límite de z. cuando v tiende a l, es a . ' ,

13. El límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual,
respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites
respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.
Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se
deduce:
(4 ) lim (u + c) = A + c, lím cu = cA , lím c/v. x~a =c/v
Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función,
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x = a.
Se dice que una función f(x) es continua para x = a
si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la función
para x = a. En símbolos, si
lím f(x) = f(a),
x~ - 4
x_2=x-l-2;

14. Si el valor numérico de una variable v llega a
ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano,
por grande que éste sea, decimos qlle v se vuelve infinita .
Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si
solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente.
La notación que se emplea para los tres casos es
lím v = 00, Iím v = + 00, lím v = - 00
Una función puede tender hacia un lími te cuando la. variable inde-
pendiente se hace infinita . Por ejemplo,
lím ~ = o. x-,)oo X
En general, si f (x) tiende al valor constante A como límite
cuando x-,) 00 , empleamos la notación del Artículo 17 y escribimos
lím f(x) = A . x -,)"-

15. Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente se
escribe
lím v = O o v ---7 O ,
Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece,
menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por
pequeño que sea. Si lím v = l, entonces lím (v - l) = O; es decir, la diferencia
entre una variable y su límite es un infinitésimo .
Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un
infinitésimo, entonces la constante es el limite de la variable

16. En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable
independiente, y, además, que tienden a sus límites respec-
tivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un núraero positivo asignado de
antemano, tn,n pequeño como se
quiera, pero no cero. En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos. 1 . La
suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número
finito, es otro infinitésimo.
En efecto, el valor numérico de la suma llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor
numérico de cada infini tésimo l
lega a ser, y permanece, menor que n .
II . El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infinitésimo. EH efecto , el valor
numérico del producto será menor que E cuando el valor numérico del infinitésimo sea menor que I~I
.
III . El producto de un número finito n de infinitésimos es otro infinitésimo. En efecto, el valor
numérico del producto llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor numérico de cada
infinitésimo llega a ser, y perma.nece, menor aue la raíz n de E .
IV. Si lím de v = l Y l no es cero, entonces el cociente de un 1:nfinitésimo i dividido por v es también
un infinitésimo.