1. CAPITULO II
VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES
• Tecnológico Euroamericano
• Profesor: Joffre Vásquez
• AUTOR: SANTIAGO PAZMIÑO VALENCIA
2. Variable constantes
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar,
durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado
de valores.
Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los
mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc.
3. • Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se
pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso
conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las
primeras letras del alfabeto. Así. en la ecuación de la recta, x y -+-= 1
a b ' x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve
sobre la línea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que
representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las
cuales se supone que son valores definidos para cada recta.
4. Intervalo de una Variable
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de
números. Por ejemplo, podemos restríugir nuestra variable de manera
que tome únicamente valores comprendidos entre a y b.
5. • Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para
representar los números a y b y todos los números comprendidos
entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa . Este
símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , .
6. Variaciones continuas
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo
[a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera
que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de sus
magnitudes.
Esta idea se ilustra geométricamente mediante el diagrama de la · figura
3.
7. Funciones
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la
primera queda determinado si se da un valor a la segunda] entonces se dice
que la primera es función de la segunda . Casi todos los problemas científicos
tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la
vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que
intervienen magnitudes dependientes unas de otras.
8. Notaciones de funciones
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x .
Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se carp.bia la letra
inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc.
9. Gráfica de una función
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define
unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El
lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se llama la gráfica de la
función X2.
10. Límite de una variable.
La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en
la Geometría elemental, al establecer o deducir la fórmula que da el
área del círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con
un número n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece
infinitamente.
11. • La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos
serviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v tiende hacia el límite
l" o, más brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notación
v -:"l . ) EJEMPLO. Si u toma la sucesión infinita de va lores es evidente
que u -72 al crecer n . es decir. lim u = 2.
12. Límite de una función.
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente
casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de
v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos
que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e
investigar, particularmente, si z tiende también a un limite.
13. Teoremas sobre límites.
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas
siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20 . Supongamos
que u, v y w sean funciones de una variable x y que lím u = A, lím v = B,
lím w = c. ",~a ", ~a x~a Entonees son ciertas las siguientes relaciones.
14. • (1) (2) (3) lím (u + v- w) = A + B - C. x~a lím (uvw) = ABC. x~a 1 , u A . B
1m - = -, SI no es cero. x~a V B En breves palabras: el límite de una
suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual,
respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de
los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del
divisor no sea cero.
15. Funciones continuas y
discontinuas.
En el ejemplo 1 del Artículo 16 , donde se demostró que lím (X2 + 4 x)
12, x-;'2
observamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; es decir,
el valor límite de la función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la
función para x = 2. En este caso decimcs que la función es continua para
x = 2.
16. CASO l. Como ejemplo sencillo de una
función que es continua para un valor
particular de la variable, consideremos
la. función X2 - 4 f(x) = - -o x - 2
17. Infinito (00).
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor
que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que
éste sea, decimos qlle v se vuelve infinita . Si v toma solamente valores
positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores
negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea
para los tres casos es:
lím v = 00, Iím v = + 00, lím v = - 00
18. Estos límites particulares Ron út.ilef'
pa ra hallar el límite del cociente de
dof' polinomios cuando la variable
se hace infinita . E l siguif'nte
ejemplo ilustrará el método .
19. Infinitésimos.
Una variable v que tiende a cero se llama un infi:nitésimo.
Simbólicamente se escribe (Art. 14) lím v = O o v ---7 O , Y quiere decir
que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, menor que
cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que
sea.
20. Teoremas relativos a
infinitésimos y límites.
En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen
funciones de la misma variable independiente, y, además, que tienden a
sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La
constante E es un número positivo asignado de antemano, tn,n pequeño
como se quiera, pero no cero. En primer lugar demostraremos cuatro
teoremas sobre infinitésimos.
