2. Variable
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el
curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las
variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto.
Ejemplo:
Las ultimas letras del abecedario ( x,y,z )
Constante
Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo.
Ejemplo :
Las primeras letras del abecedario ( a,b,c,d,e,f,g,h,j,k,l)
3. Constantes numéricas o absolutas
Son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como:
Constantes arbitrarias, o parámetros
Son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que
durante todo el proceso conservan esos valores asignados.
Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto.
4. Intervalo de una Variable
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números.
Por ejemplo, podemos restringir nuestra variable de manera que tome
únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b
sean incluidos o que uno () ambos sean excluidos.
Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los
números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que
se diga explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a
a b' .
Intervalo Continua
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo
[a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera
que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de sus
magnitudes.
5. Funciones:
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la
primera queda determinado si se da un valor a la segunda] entonces se dice
que la primera es función de la segunda. Casi todos los problemas
científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la
experiencia de la vida diaria.
Ejemplo: el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a
igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede
considerar que la distancia que un muchacho puede recorrer depende del
tiempo
6. Variables independientes y
dependientes
Variable Independiente o el argumento: La segunda variable, a la cual se
pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del
problema particular, se llama la variable independiente o el argumento.
Variable Dependiente o la función: La primera variable, cuyo valor queda
fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la
variable dependiente o la función.
7. Notación de funciones
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de
x.
Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra
inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de un
proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de
dependencia entre una función y su variable.
8. La División Por Cero, Excluida
El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx.
Evidentemente, con esta definición la división por cero queda excluida. En
efecto, si b = O , Y recordando que cero tomado cualquier número de veces
como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos
que a = O.
Si a = O, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las
expresiones que se presentan en una de las formas carecen de
sentido por no ser posible la división por cero.
9. CALCULO DIFERENCIAL
Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.
La siguiente paradoja es un Ejemplo:
10. VARIABLES . FUNCIONES Y
LIMITES
Gráfica de una función; continuidad. Consideremos la función x2 y hagamos
Y = X
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define
unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El
lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se llama la gráfica de la
función X2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b,
entonces y variará continuamente desde y = a2 hasta y = b2 , Y el punto P
(x, y) se moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2
) hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los valores. En este
caso decimos que, Ia función X2 es continua para todos los valores de x.
11. Límite de una variable
Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los
valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v - l
puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo
predeterminado tan pequeño como se quiera.
La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos
serviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v tiende hacia el límite l" o,
más brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notación v).
12. Límite de una Función
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente
casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v,
y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que
examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar,
particularmente, si z tiende también a un limite. Si efectivamente existe una
constante a tal que límite z = a, entonces se expresa esta relación
escribiendo.
13. Teoremas sobre límites
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas
siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20 . Supongamos
que u, v y w sean funciones de una variable x y.
14. Funciones continuas y discontinuas
Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la
función, cuando x tiende a, es igual al valor de la función para x = a. En
símbolos, si
Entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la función es
discontinua para x = a si no se satisface esta condición.
15. Infinito ( ∞)
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que
cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste
sea, decimos que v se vuelve infinita . Si v toma solamente valores
positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores
negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea
para los tres casos es:
16. Infinitésimos
Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente
se escribe (Art. 14)
Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, menor
que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que
sea.
Es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo.
Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un
infinitésimo, entonces la constante es el limite de la variable.
17. Teoremas relativos a infinitésimos y
límites
En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen
funciones de la misma variable independiente, y, además, que tienden a
sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a.
La constante E es un número positivo asignado de antemano, tan pequeño
como se quiera, Pero no cero.
