Este documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial e integral. Explica variables, funciones, límites, funciones continuas y discontinuas, infinito e infinitesimales. Define variables, constantes, intervalos, funciones, variables independientes y dependientes. Describe la notación y gráficas de funciones, así como teoremas sobre límites de funciones.

2. CÀLCULO
DIFERENCIAL
E INTENGRAL

3. CAPÌTULO 2

4. VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES
+ VARIABLES Y CONSTANTES
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un
proceso de anàlisis, un número ilimitado de valores.
Las variables se designan usualmente por las ultimas letras del alfabeto.
Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama
constante.
Constantes numéricas o absolutas: Son las que conservan
los mismos valores en todos los problemas, como 2,5 etc.
Constantes arbitrarias o parámetros: Son aquellas a las que se pueden
asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan valores
asignados.

5. INTERVALO DE UNA VARIABLE
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por
ejemplo podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente
valores comprendidos entre
a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que:

6. + VARIABLES CONTINUA
Puede tomar un valor fijo dentro de un intervalo determinado. Y siempre
entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que
también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma
valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Un
atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una
variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado
depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición.

7. + FUNCIONES
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera
queda, determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera
es función de la segunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta
naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente
con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas a otras.

8. VARIALBES INDEPENDIENTES Y
DEPENDIENTES
La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro
de limites que dependen del problema particular, se llama la variable
independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado
cuando se asigna un valor a la variable independiente se llama la variable
dependiente o la función.
Cuando se consideran dos variables ligadas entre si, queda a nuestro arbitrio
el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha
esta elección o es permitido cambiar de variable independiente sin tomar
ciertas precauciones y hacer las transformaciones pertinentes.

9. NOTACIÒN DE FUNCIONES
El símbolo f (x) se emplea para designar una función de x y se lee f de x. Con
objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial como
f(x), etc.
Durante todo el curso de un proceso un mismo símbolo de funcionalidad
indicará una misma ley de dependencia entre una función y su variable.

10. LA DIVISIÒN POR CERO, EXCLUIDA
El cociente de dos números a y b es un numero x tal que a = bx. Evidentemente,
con esta definición la división por cero que excluida. En efecto si b = 0 y
recordando que cero tomado cualquier numero de veces como sumando es
siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = 0. si a = 0 entonces
x puede ser cualquier numero.

11. GRÀFICA DE UNA FUNCIÒN;
CONTINUIDAD.
Esta relación de un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente
a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es
una parábola y se llama la grafica de la función si x varia continuamente desde x = a
hasta x = b. En este caso decimos que la función es continua para todos los valores
de x.

12. LÌMITE DE UNA VARIABLE
La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la geometría
elemental al establecer o deducir la formula que da el área del circulo. Se considera
el área de un polígono regular inscrito con un numero n cualquiera de lados, y se
supone, después, que n crece infinitamente.
El área variable tiende así hasta un limite y este límite se define como área del
circulo.
DEFINICION: Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite
cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v
– l puede llegar a ser, finalmente menor que cualquier numero positivo
predeterminado tan pequeño como se quiera

13. LÌMITE DE UNA FUNCIÒN
En las aplicaciones de la definición de límite se presentan usualmente casos
como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v y se supone
que la variable v recibe valores tales que v  l. Tenemos que examinar entonces
los valores de la variable dependiente z e investigar particularmente si z tiende
también a un limite.

14. TEOREMAS SOBRE LÌMITES
En el cálculo del límite de una función tiene aplicación los teoremas
siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20.

15. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función x = a .
Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta
condición.

16. INFINITO
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo asignado de antemano por grande que este sea decimos que v se
vuelve infinita.
Si v toma solamente alores positivos se hace infinita positivamente.
La notación que se emplea para los tres casos es:

17. INFINITÈSIMOS
Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo y quiere decir que el
valor numérico de v llega a ser y permanece menor que cualquier número positivo
asignado de antemano, por pequeño que sea.

18. TEOREMAS RELATIVOS A INFINITÈSIMOS Y
LÌMITES
En la siguiente consideraciones todas las variables se suponen funciones de la
misma variable independiente y además que tienden a sus límites respectivos
cuando esta variable tiende a un valor fijo a. La constante e es un numero positivo
asignado de antemano tan pequeño como se quiera pero no cero.

19. CREADO POR : VARGAS GURUMENDI YADIRA
ESTEFANIA
PROFESOR: M.S.A ING. JOFFRE VÀSQUEZ DEL
ROSARIO
CARRERA: INFORMÀTICA EN MENCIÒN
NETWORKING
JORNADA: VESPERTINA
MATERIA: CÀLCULO I