Miguel Fuentes C.I: v-27.072.185

1. Republica Bolivariana de Venezuela
I.U.P “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Facultad: Ing. En Sistemas
Derivación e Integración
de Funciones Varias
Variables
Bachiller:
Miguel Fuentes
C.I: 27.072.185
Profesor:
Pedro Beltran
Barcelona, Enero 2021

2. Introducción
 En esta presentación abordaremos el tema de la Derivación e Integración
de las funciones de varias variables y de las técnicas que se usan para
calcularlas. Las funciones de varias variables como su nombre lo indica
tienen varias variables de entrada, Funciones f: Rn → R están constan
principalmente de n=2.
 En el siguientes apartado profundizaremos en las técnicas para calcular
estas funciones.

3. Límite y continuidad de una función en el
Espacio R3
 Límites de funciones de varias variables:
Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima
también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se
aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al límite. La
notación es así:
Cuando x tiende al valor de c, la funcion f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y
corresponden al mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se
usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función
puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto.

4. En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un
valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a
los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función.
Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este
caso, es el límite de dicha función cuando tanto x como y (variables independientes)
tienden a 0. El valor de las tendencias pueden cambiar, pero es necesario considerar a
ambas variables.
Al igual que funciones de una variables independiente, los límites pueden existir o pueden no
existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para encontrar el valor del límite
no sea tan directo. Esto quiere decir, que al evaluar directamente los valores de las variables en
la función, podría haber una indefinición matemática como 0/0. En tal situación, un
procedimiento algebraico para simplificar la función podría ser suficiente, pero si aun así el
resultado se indefine o la función es irreducible, se necesita un procedimiento especial.
Se tiene el límite de la función:

5. En este ejemplo, el límite se obtiene directamente por evaluación:
Existen otras funciones cuyos límites directos se indefinen y que además no pueden
resolverse por ningún método de simplicación. Para ello se debe analizar distinto.
Para las funciones de dos variables, x se podía aproximar a un valor acercándose tomando
valores menores (por la izquierda) o tomando valores mayores (por la derecha). Solo
existen dos posibilidades. En funciones de varias variables ocurre lo mismo, sin embargo el
acercamiento ocurre hacia un punto ( x , y ), y al ubicarlo en el espacio, el acercamiento
puede hacerse desde una cantidad infinita de direcciones y no solo eso, sino de
trayectorias. Por ejemplo, al punto (0,0) se le puede aproximar por la trayectoria de la
función y = x^2, por izquierda y por derecha, así como por la trayectoria de la función z = x
o z = y. El objetivo es aprovechar todo lo anterior para encontrar un límite que pareciera
que no puede ser resuelto. Por ejemplo:

6. Esta límite se indefine inmediatamente al evaluar directamente. Así mismo, la función
no puede simplificarse más. Pero este no es el fin del camino. El primer paso es elegir
una trayectoria por la cual acercarse al puntos (0,0). Por ejemplo la función y = 0 (por el
eje x). Al sustituir en la función, queda un límite de una sola variable:
El límite existe. Ahora elegir alguna otra trayectoria. Por ejemplo, x = 0 (acercándose
por el eje y). Sustituir en el límite original:
El resultado fue el mismo. Basta con encontrar dos resultados iguales con dos
trayectorias distintas para afirmar que el límite existe. De no ser iguales, el límite no
existiría.

7. Límite y continuidad de una función en el
Espacio R3
 Continuidad
Se dice que una función es continua cuando puede dibujarse su gráfica sin separar el lápiz de la
superficie sobre la que se dibuja. Pero esta definición es muy vaga por sí sola. Matemáticamente,
para una función de dos variables, una función es continua en un valor de x = a si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. El límite cuando x tiende al valor de a existe.
2. La función evaluada en a existe.
3. El límite cuando x tiende al valor de a y la función evaluada en a son iguales.
Pues resulta que en funciones de varias variables, la definición de continuidad es igual, pero aplica
no para un valor de una sola variable, sino para un punto P( x, y ) sobre el cual quiera evaluarse la
continuidad. Solo es necesario encontrar el límite, evaluar la función en el mismo punto y comparar
valores.

8. Derivación de funciones de varias
variables (en el Espacio R3 ).
Sea Ω ⊂ R n un abierto f : Ω ⊆ R n → R m y a ∈ Ω. Se define la derivada direccional de f en
el punto a y en la dirección u como:
Especial interés tienen las derivadas direccionales en la dirección de los elementos de la
base canónica de R n. A dichas derivadas direccionales se les denomina derivadas parciales
y se les denota
Sea . Se define la derivada parcial i-esima en a denotada
de la forma

9. Siendo existen dos derivadas parciales.
Sea un punto interior del dominio de las derivadas parciales
de f en el punto de a denotada respectivamente por son:
Ejemplo: Si entonces ya que
v

10.  Observación: La derivada parcial e un punto de una función de varias variables es
la derivada de la función de una variable, obtenida haciendo constante todas las
variables, menos una. En consecuencia se pueden aplicar con esta interpretación,
las reglas de derivadas en una variable.
Las derivadas parciales en el punto de la función representan la
pendiente de las curvas intersección C1 y C2 de la superficie con los planos
respectivamente.
Ejemplo: Calcular las derivadas parciales

11. b)
c)
d)

12. Derivación parcial implícita
Supóngase que existe una función z que satisface la ecuación .Calcular
Derivando parcialmente con respecto a x y tomando y = cte se tiene
Despejamos y obtenemos Supóngase que u y v son dos funciones dads de x e
y las cuales satisfacen las ecuaciones
Calcular derivando con respecto a x se obtiene

13. equivalente a resolviendo con determinantes se tiene
Procedemos análogamente derivando ahora respecto a y obteniendo
Resolviendo con determinantes se tiene

14. Pendiente de una curva de nivel
Una curva de nivel de la superficie contiene el punto P(1,1). Halle la pendiente
de la tangente en P a esta curva de nivel. Sol.
La curva de nivel es de la forma usamos derivación implícita para hallar y
obtenemos
Esto da la pendiente en las curvas de nivel para la que En particular en
Luego la pendientes es -1

15. Derivadas Parciales como Tasa de Variación
Si el punto se mueve alejándose de , la función varia a una tasa de en
la dirección del eje positivo Y.
Ejemplo: En un circuito eléctrico de E voltios de fuerza electromotriz y resistencia R ohmios,
la intensidad es de amperios. Halle las derivadas parciales y en el instante
E = 120 y R = 15, interpretándolas como tasa de variación
cuando E = 120 y R = 15 se tiene

16. DERIVADAS DIRECCIONALES EN UN
PUNTO
Sea . Sea con la derivada direccional de es la dirección
del vector , en el punto de notada por
Si la función es de dos variables podemos representar el vector como con
pudiendo expresarse entonces

17. Diferencia total
El propio nombre “derivada parcial”, nos debiera indicar que en contraposición al calificativo
“parcial” existe otro que lo complementa. Tal nombre y el correspondiente concepto existen y se le
llama diferencial total. En contraste, mientras, la derivada parcial nos permite estudiar la razón de
cambio de una función en la dirección de alguno de los vectores canónicos del espacio vectorial
; la diferencial total, como su nombre lo indica, persigue estudiar lo que pasa a la función cuando
todas las variables independientes de la función cambian al mismo tiempo.
Para empezar, recuerda que la derivada de una función en el punto se define por medio
del siguiente limite, siempre que este exista:

18. Recuerda también que si la función es derivable en entonces la ecuación de la recta
tangente que pasa por el punto esta dada por
En la siguiente figura se muestran tanto la gráfica de la función como el de su recta
tangente. Observa que si la variable independiente cambia en una cantidad
entonces la función cambia en una cantidad mientras que el cambio en
la ordenada de la recta tangente es .

19. Gradiente
Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto
ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.
Por tanto, el gradiente de una función en el punto es
Se denota por . Es decir

20. Cada derivada parcial en el punto se llama componente del gradiente en ese
punto.
La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la
función por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma
información da el gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía
la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así,
que el gradiente de una función en el punto sea significa que, por
cada unidad que varía en los entornos mas pequeños de 3 manteniéndose y en los
valores y , varia 2; que no varía si y varía en pequeños entornos de -2
con x y z constantes en 3 y 4; y que disminuye 1 por cada unidad que se incrementa
z en pequeños entornos de 4 con x e y en 3 y -2.
El gradiente de la función en cualquier punto (x, y, z) se designa por
El símbolo se llama nabla. Se dice que nabla es un operador que, para tres variables
x, y, z es

21. Divergencia y Rotor
Campo vectorial o campo de vectores en el plano:
Sean M y N funciones de dos variables “x” y “y”, definidas en una región plana R. La función
F definida por
se llama “Campo de vectores en R”
Campo vectorial o campo de vectores en el espacio:
Sean M, N y P funciones de tres variables “x”, “y” y “z”, definidas en una región plana Q. La
función F definida por:
Se llama “Campo de vectores en Q”

22. Transformaciones:
Primera derivada parcial con respecto a “x”
Primera derivada parcial con respecto a “y”
Primera derivada parcial con respecto a “z”
Gradiente en el plano:
Dado lo siguiente
El gradiente es
Gradiente en el espacio:
Dado lo siguiente
El gradiente es

23. Divergencia en un campo vectorial:
Dado el campo vectorial en el plano
La divergencia en el plano es
Y del campo vectorial en el espacio
Su divergencia en el espacio es

24. Plano tangente y recta normal.
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene
todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. Se llama recta
normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano
tangente. Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0,
entonces la ecuación del plano tangente en un punto P(x,y,z) de la superficie viene definido
por la ecuación:
y la recta normal por:

25. Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la
ecuación del plano tangente en el punto P(x,y,z) viene definida por:
y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de
una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano
tangente y no sobre la superficie.

26. Conclusión
Al concluir este trabajo de investigación sobre la integración de funciones
variables pudimos analizar sus diversas definiciones y las formulas que son
utilizadas en estos tipos de problemas. Se incluyo el tema de limites de
dichas funciones y su resolución, por otra parte también se tomo en cuenta
la continuidad de esos limites así como su derivada, también se estudio lo
que es derivadas parciales, diferencial total, gradiente, rotacional,
divergencia, plano tangente y recta normal.

27. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=43QjP3dKTmE
https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg

28. Bibliografía
Derivadasparciales.pdf
{ http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo3/derivadasparciales.pdf }
Untitled
{https://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf }
vector normal y plano tangente a una superficie en 3d
{https://www.google.com/search?q=plano+tangente+y+recta+normal&oq=plano+tangente+&aqs=chrome.2.69i
57j0l3j0i20i263j0j0i395j69i60.9082j1j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8 }
Límites de funciones de varias variables
{ https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/limites-de-funciones-de-varias-variables }
Plano tangente diferencia total
{https://calculovariasvariables.weebly.com/uploads/2/0/6/9/20691654/plano_tangente_diferencial_total.pdf }