esfuerzo y deformacion carga axial

1. Esfuerzo y Deformación
– Carga Axial

2. Contenido
• Esfuerzo & Deformación: Carga Axial
• Deformación Normal
• Ensayos de Esfuerzo-Deformación
• Diagrama Esfuerzo-Deformación:
Material Dúctil
• Diagrama Esfuerzo-Deformación:
Material Frágil
• Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad
• Comportamiento Elástico vs. Plástico
• Fatiga
• Deformación bajo Carga Axial
• Ejemplo 2.01
• Problema modelo 2.1
• Indeterminación estática
• Ejemplo 2.04
• Esfuerzo Térmicos
• Relación de Poisson
• Ley generalizada de Hooke
• Dilatación: Módulo de
compresibilidad
• Deformación Cortante
• Ejemplo 2.10
• Relación entre E, n, y G
• Problema modelo 2.5
2 - 2

3. Introducción. Esfuerzo y Deformación: Carga Axial
2 - 3
• Lo adecuado de una estructura o maquina puede depender tanto de las
deformaciones en la estructura así como en los esfuerzos inducidos al
someterla a carga. No siempre es posible determinar las fuerzas en los
elementos de una estructura aplicando únicamente un análisis estático
• Considerar las estructuras como deformables permite la determinación
de fuerzas y reacciones en los miembros las cuales son estáticamente
indeterminadas.
• La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un elemento
también requiere la consideración de deformaciones en el elemento.
• En el capitulo 2 se estudian las deformaciones en un elemento estructural
sometido a carga axial. En capítulos subsiguientes se tratara con cargas
de torsión (momentos de torsión) y de flexión pura.
• En el capitulo 1 se estudiaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una
estructura o máquina crean en varios elementos y conexiones, y si estos
esfuerzos producían o no fallas en ellos.

4. Deformación normal bajo carga axial
2 - 4
esfuerzo
deformaci n normal
P
A
ó
L



 
 
L
A
P
A
P





2
2
LL
A
P





2
2

5. Ensayos de Esfuerzo-Deformación
2 - 5

6. Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles
2 - 6

7. Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles
2 - 7

8. Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad
2 - 8
• Por debajo del esfuerzo de fluencia
Modulo de Young o
Modulo de Elasticidad
E
E
 

• La resistencia es afectada por las
aleaciones, tratamientos térmicos y
procesos de manufactura mas no así
la rigidez (Modulo of Elasticidad).

9. Comportamiento Elástico vs. Plástico
2 - 9
• Si la deformación desaparece al
quitar la carga, se dice que el
material se comporta
elásticamente.
• Cuando la deformación no
vuelve a cero al quitar la
carga, el material se dice que
se comportan plásticamente.
• El máximo valor de esfuerzo
para el cual esto ocurre es
llamado limite elástico.

10. Fatiga
2 - 10
• Propiedades de fatiga se muestran
en los diagramas de σ-n.
• Cuando el esfuerzo se reduce por
debajo del límite de fatiga, no
ocurren fallas de fatiga para
cualquier número de ciclos.
• Un miembro puede fallar debido a
fatiga en niveles de esfuerzo
significativamente por debajo del
límite de resistencia si es sometido
a muchos ciclos de carga.
• A medida que se reduce el
esfuerzo máximo, el numero de
ciclos aumenta hasta alcanzar el
límite de fatiga.

11. Deformación bajo Carga Axial
2 - 11
AE
P
E
E 


• De la Ley de Hooke:
• De la definición de deformación:
L

 
• Igualando y resolviendo para la deformación,
AE
PL

• Si la barra consta de varias secciones con
diferentes cargas y propiedades de material,

i ii
ii
EA
LP


12. Ejemplo 2.01
2 - 12
Determinar la deformación de la
barra de acero mostrada bajo las
cargas dadas.
in.618.0in.07.1
psi1029 6

 
dD
E
SOLUCIÓN:
• Dividir la barra en componentes en
los puntos de aplicación de la carga.
• Aplicar un análisis de cuerpo libre
de cada componente para
determinar la fuerza interna
• Evaluar el total de los alargamientos
del componente.

13. 2 - 13
SOLUCIÓN:
• Dividir la barra en tres
componentes:
2
21
21
in9.0
in.12


AA
LL
2
3
3
in3.0
in.16


A
L
• Aplicar análisis de cuerpo libre a cada
componente y determinar las fuerzas internas,
lb1030
lb1015
lb1060
3
3
3
2
3
1



P
P
P
• Evaluar el alargamiento total,
     
in.109.75
3.0
161030
9.0
121015
9.0
121060
1029
1
1
3
333
6
3
33
2
22
1
11









 













A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii
in.109.75 3


14. Problema modelo 2.1
2 - 14
La barra rígida BDE se apoya por dos
eslabones AB y CD. El eslabón AB es de
aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección
transversal de 500 mm2. El eslabón CD es
de acero (E = 200 GPa) y tiene una
sección transversal de 600 mm2. Para la
fuerza de 30 kN mostrada, halle la
deflexión a) de B, b) de D y c) de E.
SOLUCIÓN :
• Aplicar un análisis de cuerpo libre a
la barra BDE para encontrar las
fuerzas ejercidas por los eslabones
AB y DC.
• Evaluar la deformación de los
eslabones AB y DC o los
desplazamientos de B y D.
• Trabajar con la geometría para
encontrar la deflexión de E dadas
las desviaciones en B y D.

15. 2 - 15
Desplazamiento de B:
  
  
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3






AE
PL
B
 mm514.0B
Desplazamiento de D:
  
  
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3






AE
PL
D
 mm300.0D
Diagrama de cuerpo libre:
Barra BDE
 
 
ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D








SOLUCIÓN:
Problema modelo 2.1

16. 2 - 16
Desplazamiento de E:
 
mm7.73
mm200
mm0.300
mm514.0






x
x
x
HD
BH
DD
BB
 mm928.1E
 
mm928.1
mm7.73
mm7.73400
mm300.0






E
E
HD
HE
DD
EE


Problema modelo 2.1

17. Indeterminación estática
2 - 17
• Las estructuras en las cuales las reacciones y fuerzas
internas no pueden determinarse solo de la estática
se dice que son estáticamente indeterminadas.
0 RL 
• Las deformaciones debido a cargas reales y
reacciones redundantes se determinan por separado
y luego son añadidas o superpuestas.
• Las reacciones redundantes se reemplazan con
cargas desconocidas que, junto con las otras cargas,
deben producir deformaciones compatibles.
• Una estructura será estáticamente indeterminada
siempre que tenga más apoyos de los que son
necesarios para mantener su equilibrio.

18. Ejemplo 2.04
2 - 18
Determinar las reacciones en A y B para la barra de
acero y la carga mostradas, asumiendo que ambos
soportes estaban fijos antes de que se aplicarán las
cargas.
• Resuelva para la reacción en A debido a las
cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B.
• Imponga que los desplazamientos debido a las
cargas y a la reacción redundante deben ser
compatibles, es decir, se requiere que su suma
sea cero.
• Resuelva para el desplazamiento en B debido a
la reacción redundante en B.
SOLUCIÓN:
• Considere la reacción en B como redundante,
libere la barra de ese apoyo y resuelva para el
desplazamiento en B debido a las cargas
aplicadas.

19. 2 - 19
SOLUCIÓN :
• Resuelva para el desplazamiento en B debido a las
cargas aplicadas con la restricción redundante liberada,
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m150.0
m10250m10400
N10900N106000







• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la
restricción redundante,
 






i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m300.0
m10250m10400
Ejemplo 2.04

20. 2 - 20
• Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la
reacción redundante sean compatibles,
 
kN577N10577
0
1095.110125.1
0
3
39







B
B
RL
R
E
R
E


• Encuentre la reacción en A debido a las cargas y a la
reacción en B
kN323
kN577kN600kN3000

 
A
Ay
R
RF
kN577
kN323


B
A
R
R
Ejemplo 2.04

21. Esfuerzos Térmicos
2 - 21
• Un cambio en temperatura resulta en un cambio en la
longitud o en una deformación térmica. No hay
ningún esfuerzo asociado con la deformación térmica
a menos que la elongación sea restringida por los
apoyos.
 
coeficiente de expansión térmica.
T P
PL
T L
AE
  

  

• Trate el apoyo adicional como redundante y aplique
el principio de superposición.
  0
0


AE
PL
LT
PT


• La deformación térmica y la deformación del apoyo
redundante deben ser compatibles.
 
 TE
A
P
TAEP
PT





 0

22. Relación de Poisson
2 - 22
• Para una barra delgada sometidos a carga axial:
0 zy
x
x
E



• La elongación en la dirección x es acompañada
por una contracción en las otras direcciones.
Suponiendo que el material es isotrópico
(propiedades independientes de la dirección),
0 zy 
• La relación de Poisson se define como
deformación lateral
deformación axial
y z
x x
 
n
 
    
• Combinando estas ecuaciones, las relaciones que
describen la deformación bajo carga axial en el
eje x son:
x x
x y z
E E
 n
     

23. Ley de Hooke generalizada
2 - 23
• Para un elemento sometido a carga multi-axial, las
componentes de la deformación normal resultante
de los componentes de esfuerzo pueden
determinarse de el principio de superposición.
Para esto se requiere cumplir las condiciones:
1) la deformación esta linealmente relacionado al
esfuerzo aplicado
2) las deformaciones resultantes son pequeñas
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
nn

nn

nn




• Con estas restricciones se encuentra que:

24. Dilatación: Módulo de compresibilidad
• Respecto a un estado sin esfuerzo, el cambio de volumen
es
   
 
1 1 1 1 1 1
1 2
dilatación (cambio en volumen por unidad de volumen)
x y z x y z
x y z
x y z
e
E
     
  
n
  
              
  

  

• Para un elemento sometido a presión hidrostática
uniforme,
 
 
3 1 2
módulo de compresibilidad
3 1 2
p
e p
E k
E
k
n
n

   
 

• En elementos sujetos a presión uniforme, la
dilatación debe ser negativa, por lo tanto
2
10 n

25. Deformación Cortante
2 - 25
• Un elemento cúbico sometido a una tensión de corte
se deforma en un romboide. La tensión cortante
correspondiente se cuantifica en términos del cambio
del ángulo entre los lados,
 xyxy f  
• Un gráfico de tensión de corte vs deformación
cortante es similar a los gráficos anteriores de
tensión normal vs deformación normal salvo que
los valores de resistencia son aproximadamente la
mitad. Para pequeñas deformaciones,
zxzxyzyzxyxy GGG  
donde G es el módulo de rigidez o módulo de
distorsión.

26. Ejemplo 2.10
2 - 26
Un bloque rectangular de un material
con módulo de rigidez G = 90 ksi es
pegado a dos placas horizontales rígidas.
La placa inferior está fija, mientras que la
placa superior está sometida a una fuerza
horizontal P. Sabiendo que la placa
superior se mueve 0.04 pulg bajo la
acción de la fuerza, determinar a) la
deformación cortante promedio en el
material y b) la fuerza P ejercida sobre la
placa.
SOLUCIÓN:
• Determine la deformación angular
o deformación cortante promedio
del bloque.
• Utilice la definición de esfuerzo
cortante para encontrar la fuerza P.
• Aplique la ley de Hooke para
esfuerzos y deformaciones cortantes
para encontrar los esfuerzos cortantes
correspondientes.

27. 2 - 27
• Determine la deformación angular o
deformación cortante promedio del bloque.
rad020.0
in.2
in.04.0
tan  xyxyxy 
• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y
deformaciones cortantes para encontrar los
esfuerzos cortantes correspondientes.
   psi1800rad020.0psi1090 3
 xyxy G
• Utilice la definición de esfuerzo cortante
para encontrar la fuerza P.
    lb1036in.5.2in.8psi1800 3
 AP xy
kips0.36P

28. Relación entre E, n, y G
2 - 28
• Una barra delgada cargada axialmente se
alargará en la dirección axial y contraerá
en las direcciones transversales.
 n 1
2G
E
• Las componentes de deformación normal y
cortante (de cizalladura) están relacionados,
• Si el elemento cúbico está orientado como
en la figura inferior, se deforma en un
rombo. La carga axial también produce
una deformación cortante.
• Un elemento cúbico inicialmente orientado
como en la figura superior se deforma en
un paralelepípedo rectangular. La carga
axial produce deformaciones normales.

29. Problema modelo 2.5
2 - 29
Un círculo de diámetro d = 9 pulg esta inscrito
en una placa de aluminio sin esfuerzo de
espesor t = 3/4 pulg. Posteriormente, fuerzas
que actúan en el plano de la placa causan
tensiones normales x = 12 ksi y z = 20 ksi.
Para E = 10x106 psi y n = 1/3, determine el
cambio en:
a) la longitud del diámetro AB,
b) la longitud del diámetro CD,
c) el espesor de la placa, y
d) el volumen de la placa.

30. 2 - 30
SOLUCIÓN:
• Aplique la ley de Hooke generalizada
para encontrar los tres componentes
de deformación normal.
   
in./in.10600.1
in./in.10067.1
in./in.10533.0
ksi20
3
1
0ksi12
psi1010
1
3
3
3
6
















EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
nn

nn

nn

• Evalúe las componentes de la
deformación.
  in.9in./in.10533.0 3
 dxAB 
  in.9in./in.10600.1 3
 dzDC 
  in.75.0in./in.10067.1 3
 tyt 
in.108.4 3
AB
in.104.14 3
DC
in.10800.0 3
t
• Encuentre el cambio en el volumen
  33
333
in75.0151510067.1
/inin10067.1




eVV
e zyx 
3
in187.0V