Este documento describe varios modelos de histéresis para representar la relación resistencia-deformación de elementos estructurales sometidos a cargas cíclicas. Introduce los conceptos de curva esqueleto, carga, descarga y recarga. Explica modelos bilineales y su limitación para representar el comportamiento del concreto armado. También describe un modelo bilineal degradante que considera la reducción de la rigidez con la deformación máxima previa.

1. MODELOS DE
HISTERESIS - OTANI
TRADUCCION PERSONAL
BACH: RONALD J. PURCA
2012

2. 1 | P á g i n a
CAPITULO 11. MODELOS DE HISTERESIS
11.1 Introducción
Un análisis de respuesta sísmica inelástica de estructuras requiere modelos de histéresis
realísticos, los cuales puede representar la relación de resistencia-deformación de un
modelo de miembro estructural.
Las relaciones de resistencia-deformación son diferentes para materiales constitutivos de
una sección, para una sección, para un miembro, para un piso y para una estructura
entera. La relación resistencia-deformación de una unidad de análisis estructural
observado en un ensayo de laboratorio debe ser idealizado dentro de un modelo de
histéresis de resistencia-deformación. Se debe usar niveles diferentes de modelos de
resistencia-deformación para elementos estructurales considerados en un análisis; por
ejemplo, un modelo constitutivo de materiales en un análisis por el método de
elementos finitos, un modelo de histéresis para un resorte rotacional del
modelo de un miembro de un componente, un modelo de histéresis de corte basal-
distorsión para un modelo masa-resorte.
Un modelo de histéresis se obtiene por la extracción de características comunes de las
relaciones de resistencia-deformación observadas en las pruebas de laboratorio de los
miembros de propiedades similares. El modelo de histéresis de un miembro debe ser capaz
de expresar la relación de resistencia-deformación bajo cualquier historia de cargas,
incluyendo las reversiones de carga.
Se denomina curva primaria, curva esqueleto a la relación de resistencia-deformación bajo
una carga monotónica creciente. La curva esqueleto proporciona una envolvente de la
relación resistencia-deformación histéretica, si el comportamiento es gobernado por
flexión estable. La curva esqueleto para miembros de concreto armado normalmente está
representado por una relación trilineal con cambios de rigidez al agrietamiento por flexión
y tracción de fluencia del refuerzo longitudinal. La curva esqueleto de un miembro debe ser
definido en base a las propiedades mecánicas de los materiales constitutivos y la geometría
del elemento.
Algunos investigadores sugieren el uso de una relación bilineal con un cambio de rigidez
después de la fluencia, despreciando la etapa inicial sin fisuras, ya que un elemento de
concreto armado sometido a una fuerza axial ligera puede ser fácilmente agrietado por la
contracción o una carga accidental o de gravedad.
El estado del arte no proporciona un método confiable para estimar la rigidez inicial,
deformación de fluencia y la deformación ultima. La rigidez se degrada de la rigidez
elástica inicial con el aumento de la deformación inelástica y el número de ciclos de carga y
descarga. El modulo elástico del concreto varía significativamente con la resistencia del
concreto y la mezcla; las grietas iniciales causan decaimiento en la rigidez. La estimación
de la deformación de fluencia es más complicada por la interacción de las deformaciones

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por flexión, corte y deformaciones adicionales debidas al repliegue del refuerzo
longitudinal en la zona de anclaje y debido al deslizamiento de la barra de refuerzo
longitudinal a lo largo de la dirección longitudinal refuerzo dentro del miembro. Por tanto
las expresiones empíricas son necesarias para la estimación de la deformación de fluencia y
deformación ultima.
Las coordenadas de un punto de respuesta en un plano de resistencia-deformación están
dadas por (D, F), donde, D: Deformación, F: Resistencia. La curva esqueleto está
representado por cualquiera de los dos relaciones, "bilineal" o "trilineal" para un elemento
de concreto armado, con los cambios de rigidez en los puntos de "agrietamiento (C)" y
"fluencia (Y)".
Los siguientes términos se definen para aclarar la descripción de histéresis:
Carga: un caso en el que el valor absoluto de la resistencia
(o deformación) aumenta en la curva de esqueleto,
Descarga: un caso en el que el valor absoluto de la
resistencia (o deformación) disminuye después de la carga o
recarga, y
Recarga: un caso en el que el valor absoluto de la
resistencia (o deformación) aumenta después de la descarga
antes de que el punto de respuesta alcance la curva esqueleto.
El modelo de histéresis se formula en base a las relaciones de resistencia-deformación
observadas en las pruebas de laboratorio. El programa de carga de la prueba debe incluir lo
siguiente:
(1) Por lo menos dos ciclos de carga y
descarga a una amplitud que permita
estudiar el decaimiento de la resistencia en
la amplitud.
(2) Se debe colocar una amplitud de
excursión de deflexión pequeña después de
una gran
amplitud de excursión para estudiar el
comportamiento del tipo de deslizamiento.
Del ensayo de una columna esbelta se
obtuvo la relación de carga lateral-deflexión
para un miembro de concreto armado
(Otani y Cheung, 1981). El comportamiento
fue predominó por flexión aunque las grietas por flexión comenzaron declinarse debido a
la presencia de altos esfuerzos de corte antes de que se alcance la fluencia por flexión. La
fluencia del refuerzo longitudinal fue observada en el ciclo 3.

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Las características generales de histéresis se pueden resumir como sigue:
(a) El cambio de rigidez debido a la fisuración por flexión del concreto y la tensión de
fluencia del refuerzo longitudinal (ciclo 1);
(b) Cuando la reversión de la deflexión se repitió en la misma amplitud de deformación
máxima alcanzada recientemente, la rigidez de carga en el segundo ciclo fue
notablemente menor que en el primer ciclo, aunque la resistencia en el desplazamiento
pico fue casi idéntica (ciclos 3 y 4). Esta reducción de la rigidez es atribuible a la
formación de nuevas grietas durante el ciclo de carga 3, y también a una rigidez
reducida del reforzamiento longitudinal en el ciclo 4, debido al efecto Bauschinger.
(c) El promedio de la rigidez pico a pico de un ciclo completo disminuye con el máximo
desplazamiento anterior. Note que la rigidez pico a pico del ciclo 5 es
significativamente menor que la del ciclo 2, aunque las amplitudes de desplazamiento
de los dos ciclos sean comparables. La rigidez pico a pico del ciclo 5 es más cercano al
de los ciclos 3 y 4;
(d) Las características de histéresis del concreto armado dependen de la historia de carga,
(e) La resistencia a la deflexión máxima es casi el mismo para dos ciclos sucesivos en el
miembro con comportamiento predominante por flexión.
Un modelo de histéresis para un miembro de concreto armado sujeto a "flexión" debe ser
capaz de representar las características anteriores. La curva esqueleto es similar a una
"curva envolvente" de una relación fuerza-deformación bajo inversiones de carga. El estado
del arte no es suficiente para determinar el último punto de deformación en la cual la
resistencia de un miembro comienza a decaer. La relación de fuerza-deformación después
de la aparición de la degradación de la resistencia, normalmente no se modela porque el
comportamiento es fuertemente dependiente de un deterioro local particular de los
materiales.
Si el concreto armado se somete a elevadas inversiones de esfuerzo cortante, o si se
produce el deslizamiento del reforzamiento del concreto dentro de la zona de anclaje, la
curva de fuerza-deformación exhibe un pronunciado "pinching". También se observa este
comportamiento en:
(a) un miembro sujeto a "flexión", cuando la cantidad de refuerzo longitudinal difiere
significativamente en los lados de tensión y de compresión de las secciones críticas,
típicamente en una viga vaciada monolíticamente con la losa,
(b) el extremo de un miembro donde se puede producir una deformación adicional causada
por el deslizamiento del anclaje del reforzamiento longitudinal dentro del miembro
adyacente o la conexión, y

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(c) un miembro donde se desarrollan fisuras de adherencia a lo largo del reforzamiento
longitudinal.
Debido a que la relación de histéresis es
altamente dependiente de la historia de carga
y de las propiedades estructurales del
miembro, es difícil formular un modelo de
histéresis general, o los parámetros de los
modelos de histéresis no pueden ser
determinados analíticamente por las
propiedades del miembro. En el diseño de
estructuras sismo resistentes, el
comportamiento de tipo “pinching” se
considera generalmente no deseable por la
escasa capacidad de disipación de energía que
ofrece este comportamiento. Por lo tanto, en
un diseño adecuado y minucioso se deben
tomar medidas para reducir este
comportamiento debido al corte y al deterioro de la adherencia.
En el pasado se han desarrollado muchos modelos de histéresis. Algunos modelos de
histéresis son elaborados, e incluyen muchas reglas de histéresis, mientras que otros son
simples. La complejidad de un modelo de histéresis indica una gran memoria para
almacenar las reglas de histéresis del programa en un ordenador. Esto no conduce a un
tiempo de cálculo más largo porque la complejidad del modelo de histéresis requiere
simplemente muchos tramos, y sólo unos pocos tramos son referidos, para la etapa de
cálculo de la respuesta.
Una clase de modelos de histéresis, en el que se define la relación de carga y descarga
mediante la ampliación de la curva de esqueleto por un factor de dos, son llamados "tipo
Masing". Algunos ejemplos de modelos de tipo “Masing” se muestra a continuación:

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Se usa el índice de disipación de energía para expresar la cantidad de disipación de
energía por histéresis por ciclo durante las reversiones de desplazamiento de
amplitudes iguales en la dirección positiva y negativa;
Dónde:
: Resistencia correspondiente al desplazamiento pico .
El valor del índice se derivó al equiparar el área de histéresis y la energía ΔW disipada por
un amortiguador viscoso equivalente de un sistema elástico lineal en un ciclo bajo la
oscilación de "resonancia" de "estado estacionario".
La amplitud de respuesta de estado estacionario bajo una excitación sinusoidal de
amplitud y frecuencia angular , es dado por:
√[ ( ⁄ ) ] [ ( ⁄ )]
( ) ( )
La energía disipada por el amortiguador viscoso por ciclo es:
∫ ( ) ( ) ∫ ( )
√

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Donde son la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la rigidez de un sistema de
1GDL, es el factor de amortiguamiento, es el periodo natural del sistema y la
frecuencia circular del sistema.
En la condición de resonancia , la energía disipada por ciclo puede ser expresada
como:
Por tanto, el factor de amortiguamiento correspondiente a la disipación de energía por
histéresis es:
El factor de amortiguamiento equivalente no debe ser confundido con el factor de
amortiguamiento de un sistema viscosamente amortiguado porque el factor de
amortiguamiento equivalente no es relevante en oscilación aleatoria.

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11.2 Modelo Bilineal
En la etapa de desarrollo inicial de análisis dinámico no lineal, el modelo de histéresis
plástico perfectamente-elástico ("modelo elastoplástico") fue utilizado por muchos
investigadores. El punto de respuesta se mueve en la línea de rigidez elástica antes de que
el límite de elasticidad es alcanzado. Después de la fluencia, el punto de respuesta se
mueve en la línea perfectamente plástica hasta que tenga lugar la descarga. Tras la
descarga, el punto de respuesta se mueve en la línea paralela a la línea elástica inicial.
Este modelo no considera la degradación de la rigidez bajo carga cíclica. No se incluye la
energía de disipación durante una pequeña excursión.
Se asigna una pendiente positiva a la
rigidez después de la fluencia para
simular las características de
endurecimiento por deformación del
acero y el concreto armado ("modelo
bilineal"). La rigidez de la descarga
después de la fluencia es igual a la rigidez
elástica inicial. En el modelo no se
considera, la degradación de la rigidez con
la deformación inelástica y la energía de
disipación durante una amplitud de
oscilación pequeña.
Ni el modelo elastoplástico ni el modelo
bilineal representan el comportamiento
del concreto armado y los elementos de acero. El miembro de acero se ablanda durante la
recarga después de la deformación plástica por el "efecto Bauschinger". La respuesta del
modelo elastoplástico se compara con un resultado del ensayo de una columna de concreto
armado mencionada anteriormente.

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Cuando se reconoció la degradación de la rigidez en el comportamiento del concreto
armado, se propuso la rigidez de carga y descarga, para degradarse con el máximo
desplazamiento previamente alcanzado (Nielsen y Imbeault, 1970):
( )
: Parámetro de degradación de la rigidez de descarga
: Rigidez elástica inicial, y
: Desplazamiento máximo previamente alcanzado en cualquier dirección.
La rigidez de descarga permanece constante hasta que la amplitud del desplazamiento de
respuesta supera el desplazamiento previo máximo en cada dirección. Este modelo se
denomina un modelo de histéresis bilineal "degradante". Si el valor de “a” es igual a cero, la
rigidez de descarga no se degrada con la fluencia. Un valor más pequeño para “a” tiende a
producir un mayor desplazamiento residual. El modelo bilineal degradante no disipa la
energía de histéresis hasta que se desarrolla la fluencia. Para un miembro de concreto
armado, el valor de normalmente se selecciona un valor alrededor de 0.4.
El índice de disipación de energía histeretico del modelo bilineal degradante está dada
por:
( )[ ( )]
( )( )
β: Relación de la rigidez después de la
fluencia a la rigidez elástica inicial,
μ: "Factor de ductilidad" (relación entre el
máximo desplazamiento y el
desplazamiento de fluencia inicial).
La ecuación es válida para un factor de
ductilidad mayor que 1.0. El índice de
energía de histéresis de un modelo regular
bilineal (α = 0) alcanza hasta 0,33 para un
factor de ductilidad del 4.0. Sin embargo,
estas oscilaciones de gran amplitud no
continúan durante un sismo; y durante las
oscilaciones de pequeña amplitud no se
disipa energía de histéresis por el modelo.
La disipación total de energía del modelo
bilineal sobre la duración de un sismo es
mucho menor que el esperado por el índice
de disipación de energía de histéresis.

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11.3 Modelo de Ramberg - Osgood
Usando los parámetros , , y se expresó una relación de esfuerzo-deformación del
metal por Ramberg y Osgood (1943), donde : es el desplazamiento de fluencia, : es la
resistencia de fluencia y : un parámetro del modelo. Jennings (1963) introdujo el cuarto
parámetro para el modelo. La curva de carga inicial del modelo bajo una deformación
monotónicamente creciente, modificado por Jennings, se expresa por:
( | | )
Donde : es el exponente del modelo Ramberg-Osgood; y : el parámetro introducido por
Jennings (1963).
El módulo tangente inicial es igual a ⁄ , y la curva de carga inicial pasa por un punto
( ( ) ) para cualquier valor de . La forma de la curva primaria puede ser
controlada por el exponente desde elástico lineal ( ) a elastoplástico ( ). Para
un valor grande de , el comportamiento se vuelve similar a la del modelo bilineal.
Tras la descarga desde un punto de respuesta máxima ( ), la descarga, la inversión de
la carga y recarga de los lazos de la relación está dada por
( | | )
Hasta que el punto de respuesta alcance el punto máximo de un lazo de histéresis exterior.
La resistencia no está explícitamente expresada para un desplazamiento dado en este
modelo. La resistencia para un desplazamiento dado debe calcularse numéricamente,
por ejemplo, usando el algoritmo de Newton-Rapson que es un procedimiento iterativo.

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El modelo de Ramberg-Osgood se utiliza a
menudo para la relación esfuerzo-
deformación del acero en el análisis de
elementos finitos o en el modelo de lámina,
y para la relación resistencia-deformación de
los miembros de acero en un análisis de un
pórtico.
El índice de disipación de energía histéretica
del modelo de Ramberg-Osgood es
expresado como:
( ) ( )
El modelo puede disipar algo de energía por
histéresis aun si el factor de ductilidad es
menor que la unidad. El índice es sensible al
exponente del modelo, y la capacidad de
disipación de energía histéretica incrementa
con el incremento del valor del exponente.

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11.4 Modelo Tri-lineal Degradante
En Japón (Fukada, 1969), fue usado ampliamente un modelo que simula las características
de rigidez dominantemente por flexión del concreto armado. La curva primaria de forma
trilineal con cambios de la rigidez en el agrietamiento por flexión y fluencia. Hasta la
fluencia, el modelo se comporta de una manera igual que el modelo bilineal. Cuando la
respuesta excede el punto de fluencia, el punto de respuesta sigue la parte de
endurecimiento por deformación de la curva primaria. Una vez que tiene lugar la descarga
desde un punto de la curva primaria, este último punto de descarga se considera que es un
nuevo "punto de fluencia" en la dirección. El modelo se comporta de una forma bilineal
entre los "puntos de fluencia" positivos y negativos con rigidez degradada, proporcional a
la relación de las pendientes que conectan “puntos de fluencia actuales" y "los puntos de
fluencia iniciales".
La relación de la primera y segunda rigideces se mantiene constante incluso después de la
fluencia.
Este modelo tiene las siguientes propiedades:
(a) La rigidez se degrada continuamente con amplitud creciente máxima más allá de
fluencia,
(b) La disipación de energía de histéresis es grande en el primer ciclo de carga y descarga
después de la fluencia, y se vuelve estacionaria en los ciclos siguientes, y
(c) La disipación de energía de histéresis estacionaria es proporcional a la amplitud de
desplazamiento.
El índice de disipación de energía histéretica del modelo trilineal degradante se expresa
como:
( )

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: Es la rigidez secante en la fluencia, ⁄ ,
: Es la rigidez elástica inicial, ⁄
El índice es independiente de la amplitud de desplazamiento, pero dependiente la rigidez y
la relación de resistencia entre el agrietamiento y la fluencia. El punto de agrietamiento de
este modelo controla la robustez de la lazo de histéresis. Por lo tanto, es importante elegir
el punto de agrietamiento teniendo en cuenta el grado de un lazo de histéresis.
Nomura (1976) utilizó una curva esqueleto arbitraria; cuando el punto de respuesta
hubiera alcanzado el punto máximo de la respuesta anterior, este se mueve en la curva de
esqueleto. Tras la descarga, el punto de respuesta máximo recién alcanzado fue
considerado como el punto de fluencia en la dirección, similar al modelo trilineal
degradante.

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11.5 Modelo Degradante de Clough
Clough y Johnston (1966) propusieron un modelo de histéresis con una curva esqueleto
elastoplástica para representar el comportamiento histeretico de un concreto armado de
sub-ensamble viga-columna.
Durante la carga, el punto de respuesta
sigue la curva esqueleto elastoplástico. La
rigidez de descarga después de la fluencia se
mantiene igual a la rigidez elástica inicial. El
punto de respuesta de durante la recarga se
mueve hacia el punto de máxima respuesta
anterior en dirección de la recarga,
simulando la degradación de la rigidez. Si la
fluencia no ha tenido lugar en la dirección
de la recarga, el punto de respuesta se
mueve hacia el punto de fluencia en la
dirección de la recarga.
Mahin y Bertero (1976), señalaron una
deficiencia leve en el modelo de Clough,
después de la descarga desde el punto A,
consideremos una situación en la que la
recarga toma lugar desde el punto B.
El modelo original de Clough supone que el
punto de respuesta debería avanzar hacia el
punto de máxima respuesta anterior C. Esto
no es realista. Por lo tanto, se añadió una
ligera modificación de modo que el punto de
respuesta se mueva hacia un punto inmediatamente anterior de descarga A durante la
recarga. Cuando el punto de respuesta alcanza el punto A, el punto de respuesta se mueve
hacia el punto máximo anterior C.
El modelo se hizo más versátil mediante la incorporación de la reducción de la rigidez de
descarga con un desplazamiento máximo en la forma:
( )
: Parámetro de degradación de la rigidez de descarga.
: Rigidez elástica inicial.
: Desplazamiento máximo anterior.

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La diferente rigidez de descarga puede ser asignada tomando a como la máxima
deformación en la dirección en que la descarga toma lugar.
Si el valor de “a” se toma igual a cero, la rigidez de descarga del modelo permanece igual a
la rigidez elástica inicial.
Se muestra la respuesta del modelo de Clough para comparar bien con la respuesta de una
columna de concreto armado ensayado en el laboratorio de estructuras.
Saiidi y Sozen (1979) y Riddell y Newmark (1979) utilizaron modelos similares a los del
modelo modificado de Clough.
Wang y Shah (1987) introdujeron el
efecto de la degradación de la fuerza y la
rigidez para el daño acumulativo. La
resistencia y rigidez degradada en
proporción a ( ), donde es el
índice de daño de Wang y Shah. Las
ordenadas de la curva esqueleto bilineal
en carga monotónica se multiplica por el
valor actual de ( ).
La rigidez de descarga y recarga se
reducen por la misma cantidad, como se
definen en base a la ubicación del punto
de reversa y de la deformación máxima
anterior en la dirección de la carga, en la
curva esqueleto degradada.
El índice de daño Wang y Shah se define por separado para cada dirección de la carga.
Donde el parámetro de daño es expresado en términos de rotación de una cuerda.
∑
El índice de disipación de energía histéretica del modelo modificado de Clough se expresa
como:
[
( )
]
: Relación de la rigidez pos fluencia a la rigidez elástica inicial, y
: Factor de ductilidad.

16. 15 | P á g i n a
La ecuación es válida para un factor de
ductilidad mayor que la unidad. El
modelo de Clough puede disipar la
energía de histéresis continuamente,
incluso para una pequeña amplitud de
oscilación después de la fluencia.

17. 16 | P á g i n a
11.6 Modelo Degradante de Takeda
Basándose en la observación experimental del comportamiento de un número de
elementos de concreto armado de tamaño mediano ensayados bajo inversiones de carga
laterales con una ligera cantidad media de carga axial, Takeda Sozen y Nielsen (1970)
desarrollaron un modelo de histéresis, el cual ha sido ampliamente utilizado en el análisis
de respuesta sísmica no lineal de estructuras de concreto armado.
Modelo de histéresis de Takeda:
1. Condición: La carga de agrietamiento, , no se ha superado en una dirección. La carga
se invierte de una carga en la otra dirección. La carga es menor que la carga de
fluencia .
Regla: La descarga sigue una línea recta desde la posición de la carga al punto que
representa la carga de agrietamiento en la otra dirección.
2. Condición: Una carga es alcanzada en una dirección en la curva primaria de tal
manera que es mayor que , pero menor que la carga de fluencia . Luego la carga
se invierte a , tal que .
Regla: Descargar paralela a la curva de carga para ese medio ciclo.
3. Condición: Una carga es alcanzada en una dirección de tal manera que es mayor
que , pero no mayor que la carga de fluencia . Luego la carga se invierte a , tal
que .
Regla: La descarga sigue una línea recta que une el punto de retorno y el punto que
representa formación de grietas en la otra dirección.
4. Condición: Se han producido uno o más ciclos de carga. La carga es cero.
Regla: Para construir la curva de carga, conecte el punto de carga cero hasta el punto
alcanzado en el ciclo anterior, si ese punto se encuentra en la curva primaria o en una
línea dirigida a un punto de la curva primaria. Si el ciclo de carga anterior no contiene
tal punto, vaya al ciclo anterior y continúe el proceso hasta que se encuentre tal punto.
A continuación, conecte este punto hasta el punto de carga cero.
Excepción: Si el punto de fluencia no ha sido excedido y si el punto de carga cero no se
encuentran dentro de la proyección horizontal de la curva primaria para esa dirección
de carga, conecte el punto de carga cero con el punto de fluencia para obtener la
pendiente de carga.

18. 17 | P á g i n a
5. Condición: Se supera la carga de fluencia en una dirección.
Regla: La curva de descarga sigue la pendiente dada por la siguiente ecuación:
( )
: Pendiente de la curva de descarga,
: Pendiente de una línea que une el punto de fluencia en una dirección al punto de
agrietamiento en la otra dirección.
: Deflexión en la fluencia.
: Máxima deflexión alcanzada en la dirección de la carga.
6. Condición: La carga de fluencia se supera en una dirección, pero la carga de
agrietamiento no se supera en la dirección opuesta.
Regla: La descarga sigue la regla 5. La carga en la otra dirección continúa como una
extensión de la línea de descarga hasta la carga de agrietamiento. Luego, la curva de
carga está dirigida al punto de fluencia.
7. Condición: Se han producido uno o más ciclos de carga.
Regla: Si el cuarto de ciclo inmediatamente anterior se mantiene en un lado del eje de
carga cero, descargue en la proporción basada en la regla 2, 3 y 5 el que gobierne en la
historia de carga anterior. Si el cuarto de ciclo inmediatamente anterior cruza el eje de
carga, descarga el 70% de la proporción basada en la regla 2, 3, o 5, el que gobierne en
la historia de carga anterior, pero no en una pendiente más plana que la pendiente de
carga inmediatamente anterior.
El modelo de Takeda incluye:
(a) Cambios en la rigidez en el agrietamiento por flexión y fluencia,
(b) Las normas de histéresis para lazos de histéresis internos dentro de un lazo exterior,
(c) La degradación de la rigidez de descarga con deformación.
El punto de respuesta se mueve hacia un pico de un lazo de histéresis externo. La rigidez de
descarga después de la fluencia viene dada por:
| |
: Parámetro de degradación de la rigidez de descarga,
: Desplazamiento máximo anterior más allá de la fluencia en la dirección considerada.

19. 18 | P á g i n a
Las reglas de histéresis son extensas y comprensibles.
El índice de disipación de energía
histéretica del modelo de Takeda es
expresado como:
(
( )
)
La expresión es válida para factores de
ductilidad mayores que la unidad.
Cabe señalar que la regla de histéresis de
Takeda fue originalmente desarrollada
para
simular el comportamiento de elementos
de concreto armado. Si se utiliza este
modelo para simular el comportamiento
de un piso de una estructura simplificada,
se debe simplificar algunas reglas.

20. 19 | P á g i n a
Por ejemplo, las reglas de histéresis antes de la fluencia pueden simplificarse de manera
que la descarga tenga lugar hacia el origen de la relación (Modelo de Muto). Este modelo es
frecuentemente usado en análisis de respuesta sísmica de un sistema masa resorte.
Modelo Bilineal de Takeda:
La curva primaria del modelo de Takeda se puede hacer bilineal simplemente eligiendo el
punto de agrietamiento como origen del plano de histéresis. Tal modelo se denomina el
"Modelo bilineal de Takeda", similar al modelo de Clough, excepto que el modelo bilineal
de Takeda tiene más reglas de histéresis para lazos de histéresis interiores (Otani y Sozen,
1972), es decir, el punto de respuesta se mueve hacia un punto de descarga en el inmediato
lazo de histéresis externo.
El comportamiento antes de la fluencia a veces se simplifica al permitir que el punto de
respuesta se mueva hacia el origen durante la descarga, y hacia el punto de respuesta
máximo en el lado opuesto a la recarga. Las reglas de histéresis de Takeda se aplican
después de la fluencia. Este modelo es similar al modelo degradante de Clough, pero es
más arduo por tener reglas para los lazos de histéresis interiores.
Se puede encontrar modificaciones adicionales al modelo de Takeda con una curva
esqueleto bilineal en la literatura (Powell, 1975, Riddle y Newmark, 1979, Saiidi y Sozen,
1979, Saiidi, 1982). Riddle y Newmark (1979) utilizaron una curva de esqueleto bilineal y la
rigidez de descarga igual a la rigidez elástica inicial; la carga se produce ya sea en la rama
de endurecimiento por deformación o hacia el punto más lejano alcanzado en el ciclo
anterior. Saiidi y Sozen (1979) para simplificar el modelo de Takeda utilizaron una curva
esqueleto bilineal; el modelo, sin embargo, es idéntico al modelo modificado de Clough con
una rigidez de descarga reducida con una deformación máxima, y la recarga en el punto de
descarga inmediato anterior, si la recarga se produce durante la descarga y luego al punto
de descarga en la curva esqueleto.