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SOLVER-EDK
^ B B
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El presente solucionarlo Física 1y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que
aún quedan con la curiosidad de saber más sobre cómo interpretar las ciencias físicas
en sus diversos problemas.
Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen
contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el
cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria.
No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un
avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido
a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrados en ésta rama.
El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que
en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial
para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien
orienta en ciertos aspectos de la publicación.
SOLVER-EDK® es una marca registrada por Edukperu® con todos los derechos
reservados utilizado para la publicación de solucionarios de textos importantes en el
nivel universitario de las diversas carreras.

VECTORES SOLVER EDK «
Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el
espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer
por componentes.
Piden:
M iiT O T ífir
Si |A-B|=|A+B|->A y B son perpendiculares.
Sea A=(Ax,Ay,Az)B=(Bx,By,Bz)
|(Ax
-Bx,Ay-By,Az
-Bz)|=|(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)|
(Ax
-Bx)2
+(Ay-By)2
+(Az
-Bz)2
=J(Ax+Bx)2
+(Ay+By)2
+(Az+B,)2
Ax+Bx
-2AxBx+Ay+
By42AyBy+Az+Bz-2AzBz=Ax+Bx+2AxBx
+Ay+BY+2AyBy+Az+Bz+2AzBz
4AxBx+4AyBy+4AzBz=
0
AxBx+AyBy+AzBz=
0
AB=0
Si A.B=0—
>
Ay B son perpendiculares
Demostrar que:
(PxQ)(RxS)+(QxR).(RxP)+(QxS)=0
Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)
La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir
de la relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se
www.ecJuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
V

É i P H M Ü l i a ...................................................................... '........- V
E
C
T0
R
E
S
encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la
expresión.
Dado los vectores P=(2,-1,1) y y Q=(-l,2,2)y R=(l;-2,a)
Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares.
P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0
i j k
Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)
- 1 2 2
1 -2 a
P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0
=(2(2a+4)-(a+2)+0)=0
a=-2
Simplificaíx(Axí)+Jx(AxJ)+kx(Axk)r:
Tenemos:
Tx (Axí)+Jx (Axj)+kx(Ax])...(a)
Resolviendo aplicando la propiedad
P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P)
De (a):
í x (A x Í)+J x (A xJ)+k x(A xj)
A (].J)'-j (A .j)’+A (p 4 °- J(^ )U
=2A
Si P+Q+R=0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP:
i m m m m
P+Q+R=0....(1)
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y lf wwwedukperuxom

VECTORES
SOLVER EDK «
Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP
Hallamos PxQ, Sabemos por (I)
Que Q=-P- R
=>PxQ=Px-l(P+R)=-PxP-PxR'
=-PxR=RxP
Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP
--QxP=PxQ
PxQ=RxP=QxR
pÉ Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)
Simplificando utilizando la propiedad
AxBxC=B(A.C)-C(A.B)
A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA)
A.nB=nA.B; A.B=B.A
=>(PxQ.[(QxK)x(RxP)]
=>(PxQ).[R(QxR).P-P(QxR).R]
=
>
(PxQ).[R P(QxR)-P R(QxR)]
R (QxR)=0 ya que R IQ xR
=>=(PxQ)[R P(QxR)]
=[P.(QxR)] [R.(PxQ)]
=[P.(QxR)] [P.(Q.xR)]
=[P.(QxR)]2
Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(QxR)
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

» SOLVER EDK VECTORES
Queremos probar que:
(PxQ).(RxS)=(PxR)(QxS)-(PxS) (QxR)
Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)
=
>
(PxQ).(RxS)=R.(SxPxQ)
=r.[p (s .q )-q (s .p )]=(r.p ) (S.Q)-(R.Q)(S.P)
Ordenando
(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)
Teniendo en cuenta las propiedades
Px(QxR)=Q(P.R>R(P.Q)
P.(QxR)=R.(P.Q)=GT(RxP)
P.P=0 y PxQ=-QxP
( P x Q ) .( R x S ) = S [ P x Q x R ] .. ..( 1 )
(Q.R).(PxQ)=P[QxQxR].. ..(2)
(R.P).(Q.S)=S[RxPxQ] .... (3)
De (1)
s .[q (p .r)-r(p .q )]=(s .q )(P.r) (s .r) ( p .q )...(«)
De (3)
S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q).. .(p)
De (2)
P[QxQxR]=0
Ya que QxQ=0
Sumando (a) y (P) Tenemos.
(PxQ)=(RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((QxS)=0
Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser los
lados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medidas triángulo.
M m a m m
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eciukperu.com

Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir:
RP+PQ=RQ
RP=(2, 2,4) PQ= (-4, -5, 8)
RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ
.
*
•Por tanto estos vectores si son lados de un triángulo.
Tenemos el siguiente triángulo:
P
Hallamos las longitudes de las medianas:
RO=RQ--PQ
wmv.6duKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
i

PN=-RQ-RP
QM=-RP-RQ
Los componentes de las medianas son:
PN=(-3,-¿,2)
R O = ( ° , - i , s )
QM=(3,4, -10)
Entonces las longitudes serán:
L,=|PN|=5,02
L 2 = | R O | = 8,01
L 3= | Q M | = 1 1 ,1 8
Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QR
Y PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres
partes mediante los puntos M Y N.
Q
Teniendo en cuenta los triángulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros
respectivamente.
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VECTORES
SOLVER EDK «
Por lo tanto ON=^ÑQ....(l) y ■
MO=^SM....(2) probado en el problema 42
de los problemas resueltos.
Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^=ON=MO...(3)
De (1), (2), y (3) obtenemos que:
MN=ÑQ=SM
Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD
Pero sabemos que: BA+AD=BD
^ m p=1bd
De esto tenemos queMPIIBD
Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO
ÑO=1b C+“ CD
Pero BC+CD=BD
Tenemos que
ÑO=~BD
De esto obtenemos que NBIIBD
ComoÑBIIBD yMPIIBD
Entonces NBIIMP y NB=MP
vvvvw,eduKperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

>
>SOLVER EDK 3 VECTORES
Lo mismo procedemos con los otros vectores:
Por lo tanto:
MNHPO y MN=OP
ÑBIIMP y ÑB=MP
3 Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un
punto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al
triángulo.
B
Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=0
M .0M =M .(AM -XB)
La Proyección de AO sobre AB es
AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa
=>AO.p=AM
En (a):
Luego:
ÁMlOM
De igual forma se puede demostrar que:
BÑ.OÑ=0 y AP.OP=0
En el triángulo AMO y APO usamos la Ley de Senos
8 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II
www.edukperu'.Ci

|AO| |OM|
sen 90 sen a
|ÁO| |OP|
|OM|=|AB|sena
=|OP|=|AO|sena
sen vu sen a
Luego |OP|=|OM|=R
De igual forma se demuestra que |OP|=|OM|=R
Dado los vectores PY Q ; que forman ángulo 0; demostrar:
QsenO
tan0=——-
- -
P+Qcos0
donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P .
• n
Del triángulo formado por los vectores
P,Q,R
Por ley de senos tenemos
_ P Q R
sena sen0 ” sena(180-Q)
P=
Q
sen0
, a=Q-0
=
>
P=
Q
sen0
=^P=Qsen0-Qcos0
(sen0 cos0-sen0cos0)
www.edukDeru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

=>tan0=
Qsen0
P+Q cos0
Dado los vectores P yQ,R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q =5
y R =10. Hallar la relación: m/n.
Tenemos los módulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5
Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:
(nQ)=(mP)
]Q|_m
|?í =ñ
m 5
n 3
Se dan los vectores P yQ forman un ángulo agudo tal que sen0= 3/g. Si el módulo de
P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el módulo de Q
i
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I vvww.edukperu,com

VECTORES
f" ' "....
SOLVER EDK «
Según él dato P1(P-Q)=» =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:
P O
sen (90-0) sen90
P
=
>
Q
=
sen53°
=20
© Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. (a) Hallar
el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vértice a la
cara opuesta. Hacerlo por vectores.
vvvWv.eduKperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EBK
*
VECTORES
a=|ÁB|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD|
El área de la figura sombreada será:
,— .— >
.senO
a =|b d |.|d m | r
MA+AD=MD
^MA+AD=MD
Si “O” es baricentro:
|MD|=¿r3|AC|
_> 2— >
OD=-MD
El
CosO:
|O P|_||M p| 2/1 ^ |AC[
> D f |ÁC| " 3 V2 K |
V3
Cos 0= —
0=54,73°
Y la altura será: h=a sen(54,73)
h=0,81 a
Sea PQRSTM los vértices de un hexágono regular. Hallar la resultante
representados por los vectores.PQ ,PR,PS,PT, y PM .
de las fuerzas
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
w
w
w
.eduKperu.com

Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado
de longitud a.
Tenemos:
PQ=a cosóO+a senóOJ
PR=asenóOj+a senóOj
PS=2a cos60Í+2a senóOj
MS=(a+a cos60°)í+a senóOj
PM=aí
Sumando en X y Y tenemos
PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO]
6a cos60i+6a sen60j= 3PS
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» SOLVER EDK
D .
VECTORES
Demostrar que el polígono que resulta de unir los medios de los lados de un
cuadrilátero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1y perpendicular
aA = (l,l,l) y B=(2,3,-l).
mmmm
Sea el vector P tal que |P|=1
PJLB P IA
Si P lB y 1P±A—
>P.B=0
P,A=0
P ,B = ( P ! ,P 2 ,P 3) ( 2 , 3 r l ) = 2 P ,+ 3 P 2 - P 3 = 0 . •.(D
P .A = ( P 1,P 2 ,P 3) ( 1 , 1 , 1 ) = P 1+ P 2 + P 3 - ( 1 1 )
Resolviendo:
Hallando K:
— 4 K
P1
=
--KP2
=KP3
=3
|p |=i = J p ? + p ! + P i
16 K
=>-^K +K2+:t-=1=
>
K±‘ rxr
9 8 V26
P=±4=H-3,D
V26
^ Hallar un vector de longitud 1y perpendicular a A=(l/l,l)y B=(2,3,-l)
14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II
www.edúkperu.coni

jhíb»mm
(a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo
formado por los otros tres vértices A =(1,0,1), B =(-1,1,1) YC= (2,-1,2) .(b)
también hallar el área del triángulo ABC.
0RES ( SOLVER EDK «
jH iw iB itg ay
N
Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+D
En el paralelogramo se cumple A+C =B+D
Tenemos:
(2+Pl7P2/P3+2)=(0; 1, 2)
P1
=
-2 7P2=2 , P3
=0
P=(-2, 2; 0)
Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que:
AC=(1; -1,1), AB=(-2; 1, 0)
CB=(-3,2,-l)
Sabemos que
w
w
w
*.eduKperu.coro
I
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK ) VECTORES
a a=k IACxABI
=>ACxAB=
i j k
1 -
1 1
-2 1 0
1
=
>
A
a=:tV6=—
=c-l, -
2, -1)
V6
Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) están aplicados a un mismo punto. Hallar
las coordenadas del punto R que tiene la dirección de la bisectriz del ángulo
formado por los vectores P y Q, Si R = 3^¡42 .
Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico
■ RxQllPxR
Ahora hallamos K tal que
RxQ=K PxR (a)
|RxQ|=|K PxR|
|R||Q| sen0=K|P||K|sen0
De (a) tenemos que
-2b-2c=^(-3c-6b)
2a - c =3/7(-2c+6a)
2a +b =3/7(2b+3a)
3
- K=7
Resolviendo
a =-K
b= 5K
c=4K
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II
www.etiukperu coi

VECTORES C I SOLVER EDK «
Su módulo del vector
R=(-K, 5K, 4K)
•Es
3VÍ2
=
>
K
2+2SR2+16K2
=9V42
K=3
.-.R=(-3,15,12)
f j SI P+Q+R =0. Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .
U U aiU
Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que
PxQ=RxP=QxR
=>PxQ+QxRTRxP=3PxQ
Hallar el área del triángulo cuyo vértices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC
=(4,2,-1)
CA=(-2, -4,4)
CB=(-3, -4,1)
A A4 | C A x CB|
Aa=||(20, -14,-4)|
AA=Vl53
vwiA/v.edúKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK D VECTORES
Hallare! volumen del paralelepípedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)
y R=(2,1,-3)
V=|P.(Q x R)|
Q x R=
1 j k
3 4 6
2 1 -3
=
(-6, -3, -5)
0 Se conoce l o s cosenos directos de dos vectores cuyos valores son
ai,a2,a3 y bl? b2, b3. Demostrar que ángulo entre ellos es 6 y se obtienes de la
expresión cos0=a1
b]+a2
b2+a3b3
j
EEHM
Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios
de ellos:
V==
==(cosa, cosp, cos0)
W=7^T=COOC'; cosp, COS0’
Entonces tenemos los valores:
V=(ai,a2, a3
)
i
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I
v-Avw.eáukperü.s

VECTORES
W=(b„b2,b3
)
Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman: j
i
V.W=(|V||W|cosO V
=cosO=(a,b,a2,b2, a3b3
)
Dado el vector A y el escalar m ?hallar el valor de B ;tan que A.B= m.
Podemos dar la forma de:
B=A+A
Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene:
AxB=CxA+AA
A.B=y||A2|
|
A.B
im = y
B=CxA+,^|.A
llAi
Dos vectores Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orientados
como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes
de R. (b) el módulo de R. (C) El ángulo que forma R con el eje de los +x.
inron?
Lo. dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los
ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.
Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los
valores de m, n y r para que mm-nB+rOP.
Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)
I
www*eciuRperu.com, SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

Por condición del problema:
mA-nB-rC=(l, -5,1)
Obtenemos las siguientes expresiones:
-m-n+5=l
m-3n+r=-5
2m-4n-r=l
En este problema utilizaremos cramer:
|Am|
m_ JA|
|An|
" |A|
|Ar|
|A|
Siendo A matrices
Entonces
1 -
1 1
-
5 -
3 1
1 -
4 -
1
-
1 -
1 i
1 -
3 1
2 -
4 -
1
-17
Lo mismo procede para n y r
tjj| SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com

y
r=-4
Hallar el vector A= (2,-1,-4). Hallar el vector P, cuyo sentido es opuesto al
vector A y su módulo es la cuarta parte de A.
Para que valores de m e M, el vector |m, -m
, ;j(m-l)J es unitario.
El vector jm,-m,^(m-l)] es unitario
=
>
su módulo = 1
im2+
m2
+± (m-i) =
1
16 v '■
33m2
-2m-15=0
Resolviendo: m=
1±4V3l
33
Hallar el vector unitario que une el origen con el punto medio del segmento AB,
donde A=(4,-l,1) y B=(2,1,1).
Sea el vector P tal que P||A y opuesto A A y|p|=^ ,|A|=V2l
Como P||A 3 K E R tal que (P1;P2,P3
)=-K(2, -1, -4)
=
>
P,=-2K
P2
=+K
P3
=4K
|P|=kV2T=-^=>K=7
4 4
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» SOLVER EDK
D VECTORES
•■P=.(Pi W 3 ) = ( - 2 K , K , 4 K )
■
=
(0,5; 0,25; 1)
3 Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A=
(A i, A. J, A. k)
Mostramos los vectores en el siguiente gráfico:
Tenemos los siguientes componentes de A:
A=(|A||T|cose,|A||J|cosa ,|A||k|cosv )
El producto escalar se define:
A.B=|A||B|cos0
=>A=(A.Í ,A.j,A.k)
Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :
Q=(eos a , cosp, eosy) donde a,p y y son los ángulos que hace el vector A con
los eje X , Y y Z.
Cuáles son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B=(n,-m,3) Son
perpendiculares y A =3.
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VECTORES
SOLVER EDK «
A±B—
»A . B=0
(m; 2n,l) (n;-m,3)=mn+2nb+3=0
Sabemos que
mn=l
A=3=Vm2+4n2+l
9=m2+4n2+l , n=l/m
8m2=m4+4
m4
-8m2+4=0
Resolviendo tenemos que:
m=^4±2V3
n=- 1
±
Dado los vectores A y B déla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.
De la figura
Los vectores están en el plano XY entonces tenemos
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» SOLVER EDK ] VECTORES
A(óV3 cos30; 6a
/3 sen30°, 0)
Si el módulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los módulos de A =
5 de y B =10 Hallar el módulo déla diferencia délos vectores.
|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10
Piden
|a -
b |=?
25+ 100+ 100cos0 =64
|A-B|=Vl80
Si el módulo de la suma de dos vectores es VÍO A=y V3 , B = 3. Hallar el
producto escalar A.B
|a +b |=VTo, |a |=V3,|b |=3
Piden hallar A . B
12+6V3 cos0=10
-
1
=»cos0=—~
3V3 •
Sabemos que:
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II vwvw.e<lukperu.

VECTORES ( SOLVER EDK «
A.B=|a ||b |cosO
V3V3^
.•
•
A
.B=
-1
Si el módulo de un vector es A =2 y el otro es de doble magnitud B =2A, Si el
ángulo que forman dichos vectores es 120°. Hallar el módulo de la suma délos
vectores.
|a |=2 |b |=2 |a |=4
Piden hallar
|a +b |=?
|a +b |=^/|a |2
+|b |2
+2|a ||b |cosO
Si
0= 120°
V4-16-16cosO=2V3
|A+B|=2V3
Dado dos vectores de un triángulo A= (1,1,1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar
el ángulo que hacen los vectores AB y AC.
v
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VECTORES
.y
Piden el ángulo =? *
AC=(-3, 0, -2)
ÁB=(0, -2,0)
AC.ÁB= |ÁC||ÁB|cos0
0=Vl3.2 cos8
cos0=O
.••0=90°
Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condición PxQ=RxS y Px R= Qx S .
Demostrar que el vector P- R .
É m m m t
Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O
Demostraremos esto:
(P-S)x (Q-R)
(P-S)x Q-(P-S) x R
PxQ-SxQ-P-R+S-R
Por condición:
PxQ=RxS
y PxR=QxS
» SOLVER EOK )
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II vwvw.edukperu.co?

VECTORES c SOLVER EDK «
y sabiendo que
AxB=-BxA
; tenemos
PxQ+QxS-RxS=0
•
•
•
(p-
s) ii(q -
r)
Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el
volumen definido por los tres vectores de igual a 7.
Tenemos los vectores
A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)
C=(a,-l,-a)
V=7
>BxC=
i j k
1 -a a
a 1 -a
=(a2-a, a2-a, a2-l)
A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7
Resolviendo tenemos que
3a2-2a-l=7
3a2-
2a-8=0
-4
a=2 o 3
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I

» SOLVER EDK
P Dado los vectores A=(l; -2, 2) y B=(-2, 2, -3). Hallar la proyección escalar y
vectorial de B sobre A.
Siendo los vectores
A=(l, -2, 2)
B=(-2, 2,4)
Piden hallar
Pfoy escalar =? y Proy vectorial =?
B—
>
A
Proy escalar =
Proy. Vectorial
B—
>
A
B.Á_2
W 3
(B.A)A (2,-4, 4)
|Á|
2 = ^
Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10. Hallar |PxQ| .
Tenemos que P.Q=20 y |p |—
3 ,|Q|=10
Piden |PxQ|
P.Q=|P||Q| c o s O —>cosO=
—
+0=48,20°
VECTORES
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II edukperu.com

VECTORES
SOLVER EDK «
Piden |PxQ|=|P||Q|senO
=80 sen (48, 20)
|PxQ|=10V5
Si B paralelo a C y B. (Ax C) =0 entonces demostrar C
(PxB).
Tenemos que
B||C y B.(AxC)=0
Piden demostrar que
C.(ÁxB)=0
B||C si 3 KeR tal que B=KC
=>C.(AxB)=A, (BxC)=A.(KCxC)
=A,R(CxC)=K A (CxC)=0
=>C.(AxB)=0
•
•
■
C
i (AxB)
Éfc1 Si A es un vector en el plano y p, un vector unitario A
Tenemos los siguientes vectores en el plano:
Los componentes en la recta del vector unitario es
¡A||p|cosO=A.p
y la otra será
|A||p|senO=|Axp|
.-.A=(A.p ,|Axp|)
es perpendicular a
= (Á.p, |Ax p|).
I
wwv^edüKpefuxom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK D
Demostrar usando componentes: Px(Qx R ) = Q(P.R)-R (P Q •
Primero calculamos
Ahora
QxR
QxR=
i j k
q3 q2 q3
D r2 r3
=(q2r3
-r2
q3í r,q3
-q,r3, q|r2
-r,q2
)
Px(QxR)=
Px(QxR)
i j k
P, P2 Pa
q2t3-t2
q3 rlq3
-q1
r3 q,r2
-riq2
=( p2(q, i'2-nq2
)+( p3(q. ra-riq3
)
-( pl(q1
ra-ttq3
)+( p3(q2
r3
-
r2qa)
- (P,(q,r3-riq3)-( P 2(q 2r3-r2q3) )
=( p2
q3
t2-p2
nq2
+p3
qir3
-Pa1
" ^
- p1
q1
r2+Piriq2+ p ^ /a-p ^ a)
■piqir3
+p^^a* p2
q2
r3
" p2
r2
q3
)
Si le sumamos y restamos el siguiente vector
KM SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
VECTORES
v/ww,edukperu,c::'

VECTORES
w = (q , Ti P „ q 2r2
P 2
;Q3r3
P 3)
=c p2q ,r2- p2r,q 2+ P3q ,r3- p3r1q3+ q ,r1q 1-q 1riq 1,
- p 1q 1r2+ p ,r,q 2+ P3q2r3-p 3r2q3+q2r2p2-q 2r2p2,
- p ,q ir3+ p ^ ^ j - p 2q2r3- p 2r2q3+q3r3q3-q 3r3q3)
= ( P2q ,r2+ P3q ,r3+ q ^ p , , p ,r1q2+p 3q2r3+q2r2q2,
p1r,q 3+ p2r2q3+ p ^ t q3r3p3)+
(- P2n q 2- P3riq 3- q ^ iP ,,- p ^ i g - p3r2q3- q2r2p 2,
- P 1q 1r3-P2q2r3-q3r3P3)
= (q , ,q2,q3) ( p ,r!+P 2r2+P3r3)-(r , ,r2,r3) (p ,q ,+ p 2q2+p3q3)
Sabemos que
P.R=(p,ri+p2r2+P3r3)
P.Q=(p1
q1
+p2
q2
+p3
q3
)
•
•
•P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)
Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a
(1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.
www.sdukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK 1 VECTORES
P=(a, b, 2)
P l(í, -2,1) y (-1,1, -2)
=*P.(l,-2,l)=0
P.(-l,l,-2)=0
a-2b-2=0
-a+b-4=0
Resolviendo que
a=-6
b=-2
•
•
•
P
=
(
-
6
,-2,2)
Si el vector R paralelo al vector Q xP y proy Q—
>
P=1 sabiendo Q =
Hallar
Q.(PxR)
j tsiT
yffinyrcw
Piden hallar
Q.(PxR)
Por condiciones del problema:
R||Q
xP=
s>
el ángulo que forma o es 0oo 180°
Pfoyq_ p=75r =l
Q^P
P
l
M
2, P=6 PY R =8.
www.edukperir.com -

VECTORES........................................ . . ( " ^ SOLVER EDK «
Q.P=|P|
De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores
Q y B
Q.P=|Q||P| cosa=|P|
|P| 1
cosa=-=^=r=-
|Q||P| 2
Por propiedad
Tenemos que
=8.2.6 senóO
=
>
oc=
60°
Q.(PxR)=-R.(QxP)
-R.(QxP)=-|R| |QxP| cos(180)
|r||QxP|
Qx (PxR)=|R||Q||P|sena
.-.Q.(PxR)=48V3
Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B=(l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)
AB.BC (b) AC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por
los puntos A, B Y C. (d) El ángulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con
wvwaeduKperu.com ! SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
I

» SOLVER EDK ■
w : J VECTORES
el vector D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r es el vector que va del origen
ai punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuación de un plano.
JO IIm TÍJ
Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1, -2)
a) Piden ÁB.BC=(l, -2, l).(-3, +2, -3)
. AB.BC=-3-4-3=-l0
Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)
i j k
ACx(AB-BC)= -2 0 -2
4 4 4
i j k
-2 0 -2
1 -2 1
N=
=(-8, 0, -8)
=(4, 0,4)
El vector unitario de N es
N 1
p=-Fñ=-~=a°'+1)
N V2
D.p=|D||p| cos0
COS0=
D.p
|D||p|
De esto hallaremos 6:
0=cos
0=cos'
"(sí)
4S)
e = 60°
34 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II
www.eciukperu.com

VECTORES
Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x;y;z);
demuestre que (r-A).A=0 es la ecuación de un plano.
Sea r=(r1;r2, r3
) yA=(x,y,z)
Se tiene que (A-r)r=(x-r1
; y-r2, z-r3
).(r1
; r2, r3
)
xr,+yr2
+zr3
-(r?+r|+r|)=0
Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+r¡+r3=C
Se tiene x^+yr2
+zr3
=C
Que es la ecuación cartesiana del plano.
Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que
(r-A).r=0;es la ecuación de la esfera.
Del anterior problema obtenemos:
rf+r2+r3
-x^+yr2
+zr3=0
Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que
(nX'rD-
+
( r3 - 1 ) 2
=5C
r2+y2+z2
)
Y siendo
ri"2 =x
r2-r y
w w w . eclu kp er u .coro SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

» SOLVER EDK
r r 2=Z
y C constante
Se tiene
x?+yf+z?=C
Que es la ecuación de una esfera
% Si'A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ángulo que forman AY B.
— ÍOMIHÍUj
Por ley de cosenos tenemos que
A+“B=
-~C
I A+ Bl=| c2|
Reemplazando:
=>C==Wa2
+B2
+2AB c o s O
49-34=30 cosO
cosO= - =>0=60°
Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:
|(A-B).(C-B)x(D-B) |
1
(C-B)x(D-B)|
Cosenos B, C y D definen un plano se tiene
VECTORES
?' -
A. ro
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II yww.edukperu.coj'n

VECTORES £ SOLVER EDK «
La distancia de A al plano será
< W lano)=ProyFIBA
d (A ,P la n o )= i2 ^ i
Del gráfico
Ñ=(C-B)x(D-B)
|(A-B).(C-B)x(D-B)|
A,Plano) |(C-B)x(D-B)|
Demostrar la mínima distancia de un punto
Pi(xi; yp zi)
al plano cuya ecuación cartesiana en;AX+BY+ CZ+D =0
P.CXpYpZ.)
r- ----------------* n
Tenemos que la cartesiana es:
Ax+By+Cz+D=0
De la cartesiana obtenemos N; siendo
Tití-
r * C
■•
:-J2 >"
□
wvwv.edüKPeru.cony SOLUCIONARIO FISICALEIVA IYII

VECTORES
N=A,B;C
La mínima distancia se halla:
d(P|;Plano)=ProyHPPÍ
|(Pi-P)N|
(Pj. Plano)- ||jj|
l(XrX, Yr Y,Z,-Z)-(A, B, C)|
dinin —
VA 2
+b2+
C2
A(Xr X+B(Yr Y)+C(Zr 2)
VA 2
+b2
+C2
0 Demostrarvectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de suscuatro lados.
Piden demostrar |A+B|2
=A2
+B2+2AB
|A-B|2
=Aí!+B2
-2AB
De la galáxica
|D|2=|A!*y |Bp=|C|2
=>|A+B|2
+|A-B|2
=A2+B2
+C2
+D2
Si los números a, b, c y d son diferentes de cero y
aOA+bOB+cOC+dOD=0y a +b+c+d=0. los puntosA, B, B CY D Se encuentra en
un plano. ( sugerencia usar: a +b=-( c +d) y el prob. 39)
I
38 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IYII vAvw.eciukperu.com

VECTORES
SOLVER EOK «
Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano.
Entonces; por condición
aÓA+bÓB+cOC+dOD=0...(í)
Si tenemos a
BA= ÓA-ÓB
En (1) reemplazamos:
aBA+ aOB+bOB+cÓC+dÓD=0
aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=0
Pero ^
a+b=-(c+d)
aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0
aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0
aBA+ c(BC)+d(BO)=0
Si los vectores
BA , BC y BD
suman cero entonces definen un plano.
© Demostrar que la distancia mínima del punto
P (*1,^)
a la recta Ax +BY +D =0 en el planoXYes:
_|AX1
+BY1
+D|
d“ V a O ?
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

» SOLVER EOK 3 VECTORES
Ojo la demostración viene de determinar la distancia a un punto cualquiera de la
recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea
haciendo sen0=O. Completa la operación.
La distancia a la recta sería
d=
(AX^BYí +DI
V Á W
Si A B C D es un cuadrilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus
diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)
(AB) +AD+CB+CD=4 PQ
(b)
0A+0B+0C+0D=40M
,donde O es un punto arbitrario.
PQ=AQ--AC
pq =ad -^bd - Íac
n ¡ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www,eclukperu.con

Pero:
Entonces:
— ►— » AB CB CD CB
PQ=AD-— +— — +
— . -
—. AB —>CD
PQ=AD-— +CB —
CD=AD-^AB+^CB
AB=BC+^AD-^CD
— . — >CB AD CD —.AD 1 CB
PQ=AD-— — +CB — +-+AB-—
2 4 4 2 4 4
— AD CB CD AB
pq =i -+^t +-t +t
4 4 4 4
/
. 4 PQ=AD+CB+CD+AB
Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:
OM=AM+OA a
Pero
ám =Iac+^pq
2 2
Hallando PQ por el resultado en a:
o
PQ ÁD+CB+CD+AB
T “ 8
Pero
wvvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

D
Reemplazando en (oc)
AD=OD-OA ,CB=OB-OC
CD=CD-ÓC ,AB=ÓB-OA
P Q O D OA OB OC
>T _ T " T ' + T " T
AC_OC OA
~2 ~ ~ 2 '~ 2
OC OA OD OA OB OC
OM=— ó~+—
¿---7~ + ~Á 7~+
2 2 4 4 4 4
— , OA OC OD OB
OM=— +— +— +—
4 4 4 4
VECTORES
•40M=0A+0C+0D+0B
■
::r -
Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un
triángulo son colineales . (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII www.edukperu,coi

B
Sean los triángulos AOG y GOM.
Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se
demuestra que
AO=2CM
Por semejanza de triángulos tenemos que
OG=2GC
Por definición un vector es paralelo a otro si
v=kw
OG es paralelo con GC y cooíineales a la vez.
Dado el paralelepípedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a
lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).
jp Se dan los vectores del origen a los puntos A,B;C;D son
A=í+J+K;B=2Í+3j;C=3Í+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD
Tenemos los vectores
'vW
vVv.edükpenxcorn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II Mi :

» SOLVER e d k > ) VECTORES
A=(l, 1,1)
B=(2, 3, 0)
C=(3, 5, -2)
D=(0, -1,1)
AB II CD
ABIICD
AB = KCD
AB=(1, 2, -1)
CD¿(-3, -6, 3)
Por lo tanto K=-3
Entonces
3 KeR /"AB=-3CD
3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.
m m m m
Sea
A y B
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II
Piden demostrar
Entonces si
si 3 KeR
tal que
De aquí tenemos que
vvww.edükp8ru,con

VECTORES
SOLVER ÉDK «
vectores en tres dimensiones, piden demostrar
(AxB)xA.A-O
Por propiedad
AxBxC=B(A.C)-C(X.B)
Y
A.B=B.A
=
>
a .(a x b)xa =a [b (a .a )-a (a .b )]
=(A.B) (Á.A)-(Á.Á) (á.b)=o
Dado un vector B=(l,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y de
módulo 9.
AIIB si 3 KeR /A=K B
=>A=(K, -2K, 2K)
Y su módulo
|Á|=9
9
=
>
K=
3 .*.A=(3, -6, 6)
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE1VAI Y II

» SOLVER EDK CINEMATICA
CAPITULO
Un móvil recorre la mitad del camino del camino con la velocidad i^.La parte
restante la ase a una velocidad V2 la mitad del tiempo, y la velocidadd el trayecto
final. Hallar la velocidad media del móvil durante el recorrido.
Tenemos que d]+d2
=-
Para el primer tramo tenemos:
Luego
Entonces despejando:
Luego también tenemos
Pero
v '= s ;
V3
t2=d2
L
ti_ 2v;
1
t2_2V1t V1
+V3;
''media- 3
-(t^+tg)
4 6
wwvv.edukperu.con1

CINEMÁTICA 1
_____________________ S O IV E R E D K JC
4V,(V2
+V3
)
=*vm
e
d
ia
- 3(2V1
+
V3
)
Un móvil se mueve según V =t2- 9, V (m/s) y t (seg).Hallar la aceleración para
V =27 rrvS.
Tenemos que: V=t2
-9 pero
dv
— =a
dt
.*.a=2t...(l) pero piden cuando V=27
=>Veamos 27+9=t2
=
>
t=
6seg
.-.a=12m
/s2
Un móvil se mueve con una aceleración a = 2t?a lo largo del eje x. Hallar (a) la
velocidad para t =lseg.(b).El cambio de posición deO a lseg.Para t =0; v=2m/s,
x =0.
lililíW ]
Tenemos que a=2t pero
dv fv r
— =
a=
> dv= adt
dt Jv Jq
V
q *'0
V(t)-V0=/O
'2tdt pero V0=2m/s
••■
V
(t)=
t2+2
a) Piden para t=l seg b) análogamente tenemos que
dx
d T v(t)
V (l)=-7 /o
>
<
dx =/0
tV(t)dt
www.eúuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK
3 CINEMÁTICA
x = - +2t
=»X(1)= jm
Un móvil se desplaza a lo largo del eje x y su aceleración el tiempo como se
indica en la figura. Para t = 0, x=0, í ^ m H a l l a r (a) distancia total recorrida desdi
a 2seg.(b) La velocidad para 2seg.
í m m m m
Del gráfico tenemos a=tg60°.t= V3t ,
también tenemos X=0, t=0 , V= —
’ s
p e ro ^ =a dv = /„'adt =>V-V0=— =>V=1+y t 2....(*)
También ^ = v f * dx = f* vdt => X = f 1 + ^ -t2 dt
X = t + ^ t 3...(*)
Piden
a )X (2 seg') = 4,31 m.
b) de (*) tenemos que V2 = 4,46 m /s
Una partícula a lo largo del eje x, su gráfica de velocidad en función del tiemi
se da en la figura para que valores del tiempo x = 0. Si para t = 0,x =2m.
ESSOM
Piden para que tiempo X=0
Veamos además t=-0=>X=-2m
Encontremos la ecuación de V en función de t
r 2 ( 2-t), 0át22
=>tenemos que V(t)= ^
l-(t-4)-2, 2<t<4
» Sabemos que: ^ =V(t) dx=V(x)dt
dt
.
*
•cuando 0 < 2
vSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com

CINEMÁTICA SOLVER EDK «
Ahora cuando
=
>í dx= í v(t)dt =
>x+2=-t(t-4)
J X0 4)
0<rt*2...(1)
t>2 =
> í dx= í (2-t)dt
x
0 h
(2-t)2
=
>
X-2
=
-
2
2¿t¿4...(2)
Gomo deseamos que X=0 =
>(1) = 0 y (2) = 0
=
>en (1) 2=-t(t-4)=>t=(2-V2)seg
En (2) -2=-^-=»t=4 seg
4
I^ P Una partícula se mueve en el plano X y Y sus gráficas en función del son: Hallar la
aceleración y la velocidad de la partícula para t =3segundos. Si para t =V3 ,x =3
,y3.
— íiwiHm
De acuerdo al gráfico, veamos que
X=tg60° t y Y(t)=bt2 y por dato
Y(V3)=3=b(3)=í>b=l
X=V3t
•
•
•y(t) = t2
Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos:
r=V31 í+ t2
]
y
i
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» SOLVER Et>K CINEMÁTICA
_ dr
v=dí
a) =>V=V3Í+2tJ /.V(3)= (V3j+ 6j)m/s
b) También a= ^ =>3=2j m/s2
dt
Se el gráfico de la aceleración en función del cuadrado de la velocidad, como se
indica en el gráfico. Hallar la relación de la velocidad en función de la posición. Si
para t = 0,x = 0,v = 3nVs.
Del gráfico tenemos que:
a=-tg(37°)V2=>a=-0,75V2
ai ^ dv dv ' dv
Ahora tenemos que a=— =— .v =>a=—•.v ...(*)
^ dt dx dx
En (*) tenemos que -0,75v2
=^ .v =
>J* -0,75dx = J3
V~
=>-0,75x=Ln 0 =>V=3eV=3c''
Dado el vector posición de un móvil r(t)=(2-t2)T+(t3-t)j+(2t3-t2-l)k. Hallar (a) el
vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2seg. (b ) el módulo de
la aceleración cuando t = 2seg.
Tenemos que r(t)=(2-t2)í+t3-t)]+(2t3-t2-l)k
a) Veamos sea: V=^=>-2-tí+(3t2-l)J+ (6t2-2t)k
Sea V(2)=-4Í+lI+20k
•
■
•
0t=M l í =('4’ 1l' 20)/V^
b) 3=?=2Í+(6t)j+(12t-2)k
dt
=>a(2) =-2Í+12Í+22k
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II vww.edukperu.t

CINEMÁTICA
SOLVER EOK «
=>a=Vó32m/s2
Una partícula se mueve en el plano x y,de acuerdo a las relaciones 2X = —2seg3t,
2V = cos3t. Cuando t =0;x=0 y = 2vx = 4 m / s y v y = lm / s . Hallar la
ecuación de la trayectoria, (b) la velocidad para t = rc
/6 seg.
Tenemos que: ax=-2sen 3t , ay=cos3t,
Además Vx=4 ; Vy=l m
/s cuanto t = 0 , X = 0 , Y —2
Piden r=?
Veamos por la ecuación del movimiento á=-2sen3tí+cos3tj
9 qt
=>v-(4Í-l]=- ( eos 3t-l)í+ 1
/2cos3t-l 10. /sen3t u
^ ( — T - +t ) ,+(— +1) J- W
Ahora V = ^ J ¿ 2)dr=Jo
'vdt
a) r-2j=Q sen3t+y ) í+ t+ j
/2 10t. /-cos3t 19.
,r=(--sen3t+ T ) ¡+(— t+- ) j
b) De (*) tenemos que
10. 4. ,—
v=— i+-j=»V=Vlló/3
Desde un plano inclinado un ángulo a es lanzada una piedra con una velocidad v0
y perpendicular al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento caeésta piedra.
i
www.eciukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK
3 CINEMÁTICA
Como no existe resistencia del viento=>, este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos
—
* > •
a la ecuación vectorial de este movimiento tendríamos d=VQ
t+-gt2
. Haciendo la
representación vectorial, tendríamos
Del triángulo tenemos que ^gt2cosa=V0
t
=>,=2v»
gsenoc
También tenemos:
1
-gt2sena=d
2V0a /senas
=
>
C
*
~
~ 2 ’VcosW
© ángulo debe ser lanzado un cuerpo cuyo peso es a), para que la altura máxima
que se eleva sea igual al alcance del lanzamiento. También existe una fuerza f
horizontal del viento que actúa sobre el cuerpo.
Ahora analizando en el eje “Y” como en eje se desarrolla un MPCL:
=
>
V
ty=Voy-gt
52 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu com

CINEMATICA
SOLVER EDK «
;>
V
osen0=gt
=
>
t=
V„sen0
Vosen0 Vosen0 Vosen0
=
>
H
= A r — -
t=A — •
— r —
H=-
V„2sen2
0
2g
Ahora en el eje “X”. Como dicha fuerza F; ejerce una aceleración en opuesta al
movimiento
SF
a=-
w
Ahora
1
dx=Vocos0t1--rati
2
1gF
dx=Vocos0tr -— t?
2 w
De (1) tenemos que t]=-
dx=
Vo2sen0cos0 lgF VoSen2
0
2g 8 w g2
dx=
Vn2sen0 /cos0 Fsen0
!-(*)
g V 2 8w 7
De (*) y (***) H=dx
Vo2sen2
0 Vo2sen2
0 /cos0 Fsen20
g V 2 8w /
4w+f
2g
=>cot0=
4w
Dos personas están en un edificio, cuya ventana está a 250 pies. El primero suelta
una piedra por la ventana dos segundos después la otra persona arroja otra piedra
w w w .c d u K p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II É $1

CINEMÁTICA
hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mismo instante. Cual
sería la velocidad inicial de la segunda piedra. G =pIseg .
Sea H lo recorrido por B y A. =
>A
=>
H=VoA
t+-gt2
H=Jgt2
H=16gt2 ...(*)
Pero H=250 =>t=J^=4seg
Para la esfera B.
H=V(t-2)+ -g (t-2)2
H=V(t-2)+16(t-2)2
250=V(2)-16(4)
V=106 P/seg
www.edukperu.coi

CINEMÁTICA SOLVER EDK «C
¡ Jn cuerpo es lanzado en el plano X Z, desde el punto A (4,0,0), con una velocidad
inicial 10 m/s, bajo un ángulo de 60° con el eje X. la partícula es sometida además
a una aceleración de un m/s2 en la dirección +z, Hallar posición del cuerpo a lo
largo del eje x. Use g = 10 m/seg2.
JEBlTO ilfflW
,=10^ /
De las ecuaciones del movimiento parabólico vectorialmente tenemos
d=Vot+^at2
También tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k)
1
Votsen60=-at2
2vosen60
...(*)
Luego
d=votcos60
wvvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» CINEMATICA
a
.-.d=14.43
/.x=18.43 m
9 Hallar con que velocidad vQy 0= 60^ es lanzada un proyectil tal que en el instante
2seg, la velocidad forma un ángulo de 45° con la horizontal. Use g = 10m/s2.
Asumiendo que aún sube: como el eje x se mantiene constante:
=>Vx=Vocos60°
Vx=y ....(*)
Vy=Vx=Y ...(*)
Ahora analizando en el eje y, también para t=2
Vty=Voy-gt
Vo
— =Vosen60°-(10)(2)
Vo=54,641
Un auto se mueve en línea recta, sobre una carretera a velocidad de 40 p/s. En
cierto instante, el conductor ve un tren que empieza amoverse hacia la carretera
íl
/
v0eos60
56 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII
vvwvv,ed ukpeai.cor»

CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
desde la estación. El conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su
velocidad. Si la vía y la carretera forman entre si un ángulo recto, y el tren tiene una
aceleración 10 p/seg2. Sobre vivirá el conductor para contar la historia. El auto
esta’inicialmente a 200 pies del cruce, mientras que la estación está a 130 pies.
m m m m
v0=40p/s
=0
130pies
a =10p/s2
Calculemos el tiempo que les tocará a cada uno:
Veamos para el auto V=-
200
=
>
ti=
.— =5 seg
v
Ahora para el tren =>d=V0tc+-at2
1
130=-at2
t2=5,099 seg
Si sobrevive el conductor (pero por poco)
Supongan que el alcance horizontal máximo cierto cañón con una velocidad inicial
fija es de R0. (a) demuestren que la velocidad inicial de vQasociada a este canon es
de yjgR0. (b) supongan que este canon se encuentra al pie de una colina con un
ángulo de elevación a y se dispara en un ángulo a con respeto a la colina.
Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de
coordenadas en la forma:
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I YII

» SOLVER EDK CINEMÁTICA
a) De la ecuación, vectorial del movimiento parabólico se tiene:
Vot=
senO
V o = ^ - .(* )
senOt
También tenemos:
1
Votsen0= - gt2
=>t=-
2Vosen0
(**) en (*)
S
R0S
° 2sen0cos0
Además para que Ro sen max=>0=45°
Vo=A
/Rog
b ) Ahora analizando en el eje “y”, tenemos
Y=Voyt-ig t2
Luego en el eje “x”
Reemplazando (**) en (*)
»Y=V0sen(0+a)t - gt2 ...(*)
X=t.VQeos (0+a)
V ocos(0+a )
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I
v a v w ed u k p e iu ,core

CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
= * y = x t g ( 0+ a ) -
2Rocos2(0+a)
Se lanza un proyectil con una velocidad inicial v0, bajo un ángulo 0. La altura
máxima que alcanza es H y el alcance horizontal es R Hallar la velocidad inicial y el
ángulo de tiro en función de H Y R.
Como el cuerpo desarrolla un movimiento parabólico en el eje “Y”, en la parte más
alta
Vfy=Voy-gt
Voy=St
VosenG
...(a )
•(*)
Ahora para el eje “X”
Tenemos
- Vox
=Vocos0
-=t
Vosen2
0 1gVosen2
0
=*H=-
S 2 g‘
VoSen20 / 1
=h = ^ í - N
VoSen20
H = _ 2i “
R=V0x-ti pero t,=2t
R=V0X
(2t) de (a)
Vosen0
R=Vnv.2.-^—
n
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

2VoCOS0sen0
....(**)
De * y (**) tenemos
v 2 - - R s
v n ,
° 2cos0sen0
1 Í 4 H
e
=
ts (t )
v „ =
g(R2
+16H2
)
8H
,/2
Sobre un piano inclinado, cuy ángulo es 6 se fialla un cuerpo B en reposo. Con que
aceleración horizontal se debe desplazar el plano inclinado, para el cuerpo B tenga
caída libre hacia abajo.
Como B desarrolla un MCL, veamos t seg, luego de su movimiento
j ^ j j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.com

CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
Del triángulo tenemos que:
También Y=VABt+^gt2
En (*) reemplazando tenemos
xtg0=y ...(*)
Y=¿gt2 ...(**)
X=-cot0gt2 (a)
Ahora como la cuña inicia su movimiento d=VABt+-t2
X=^t2=cot0gt2 =>a=cot0g
a>cot0g
Dos partícula se mueve con velocidad constantes vr y v2 por dos líneas rectas y
normales, hasta que se intersecten en 0. En el momento t =0, las partículas se
encontraban a las distancias l ay 12 del punto 0, (a) Al cabo de que tiempo la
distancia entre las partículas será mínima?, (b) cual será esta distancia mínima.
I
w w w . e d u k p e ru . co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II j f iB I

» SOLVER EDK I C in e m á t ic a
O V:►
d. —m
' -4
a-
Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1)
De acuerdo con la gráfica la mínima distancia será cuando----
d = (W o s e + ¿ ...(*)
i-
1
Donde “d” es la distancia recorrida por la esfera (2) t= ~
Vo Volo-
Pero tg6= ^ , m=—
V ,I,+ V 2I2
mi" “ v ? + v l
Del mismo modo se demuestra que:
|V2lr V ,l2|
X=(l|.m)sene=-
Un torpedo es lanzado desde el punto p en el instante que el barco enemigo se
encuentra en el punto Q y navega con la velocidad 60 Km/h dirigida formando el
ángulo de 60° con la línea PQ. La velocidad del torpedo es 120 Km/h. con que
ángulo 6 hay que lanzarlo para que de en el blanco.
Para que llegue alcanzarlo se tiene que cum plir que una de las com ponentes, la
vertical en el mismo tiem po hagan la misma distancia.
Entonces tendremos:
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperú.com

60km 120km
— -
— sen60.t —— ;---.senO.t
h h
Despejando tenemos senO = V3/4 Luego 0 = 25.6°
Un cuerpo p comienza a moverse con una velocidad inicial v± y con la aceleración
constante at. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mismo instante que p con
una velocidad inicial v2y con la aceleración negativa a2. Cuanto tiempo
transcurrirá desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta
que sus velocidades se igualan?
Para la primera tenemos
....O )
Ahora para la segunda
De (1) y (2)
.JSCTnW Blüf
Vf=Vj+ajt
Vf=V2-a2
t
t=M i
a|+a2
Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 10 m/seg. Con un ángulo de 45° con la
horizontal. Después de transcurrir 0. 75V2seg. Hallar la aceleración tangencial y
normal. Use g = 10 m/seg2.
Ahora tenemos que
dv
Pero V(t)=Vocos45°í+(vosen0-gt)j
=
>
V=
5>
/2Í+(5V2-10t)J
vvwvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

1/2
V=10(t2-V2t+l) ...(*)
dv_ 5(2t-V2) '
•
•
• at(0,75V2)=4,46m/seg2
Ahora
d e v 2
an=v- d T 7
j =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, sólo necesitamos j
X
2
También Y=x-— , cuando X=7,5
r 9
-
13/2
. bo]
an=8,93 m/seg2
Relación al problema anterior. Halla el radio de curvatura que tendrá la trayectoria al
transcurrir el tiempo dado.
V2
j=i ;
(*) , ahora
62,5
" ■
Í_ 8^93_7m'
V2(0,75V2)=62,5 m/s
I
Se conoce vector posición de un cuerpo r = (y,- 3 t,- 2 t) Hallar (a) su
velocidad, (b) rapidez, (c) aceleración (d) el módulo de la aceleración.(e) el
módulo de la aceleración tangencial (0 el módulo de la aceleración normal.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII ’ VAVw.edykperu.com

CINEMATICA SOLVER EDK «
Tenemos
a ü
f= -3t, -2t)
Por la ecuación del movimiento
« H = ( T ''3 . '2)
b) V= '-Jat*+52
c) Ahora para a=^ =(3t, 0, 0)
=^|a|=3t
Ahora at=—
1 Ai-
* Vat4+52
d) a,
Una bola se lanza con velocidad inicial v0 y ángulo 6 hacia arriba, desde un edificio
de 2H de altura. Si el proyectil choca contra el suelo a una distancia H del edificio.
Hallar H.
jflg m ra riW
wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

Analizando de la ecuación vectorial del movimiento parabólico tenemos:
d=V¡t+^gt2
Ahora en e l ABM tenemos que BM=Htg0
También para HC=2H
... BC=igt2
=2H+Htg9 ....(a)
Ahora d el ABM=V0t sen0=H
H
Vosen0
...(/ ?) .
Ahora ....
(a )y (P ) H=— (2+tg0)
^jjj^ Sea una partícula que se mueve sobre una elipse, cuyo ecuación es. r =
m cosa)tl + nsencotj. Hallar los módulos de at y an.
Tenemos:
r=mcoswtí+nsenwt] piden at , an
Veamos V=—=-mwsenwtí+nwcoswtj
dt
dv ~
á=— =-mw2
coswti-nw2
senwtj
dt
V=Vm2
-(m2-n2)cos2
wt.w
dv (m2
-n2)sen(2wt)w2
1 dt 2Vm2
-(m2
-n2
)cos2
wt
a2=a2+a2
=
>
an= J ¡ ^ ....(*)
a=V (m2
-n2
) .cos2
wt+n2
w2
CINEMÁTICA
www.edukperu.coir,

CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
w2m.m
an=
yj(n2-m2)cos2wt+m2
Hallar cuantas veces mayor será la aceleración normal de un punto que se encuentra
en la llanta de una rueda que jira, cuando el vector aceleración total de este punto
forma un ángulo de 60° con su vector velocidad lineal.
píliW W
Tenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta
artg60°=an =
> atV3=an
/
. an=l,73at
Una rueda de radio de 10 cm gira de forma que la relación la velocidad lineal de los
puntos que se encuentran en su llanta y el tiempo que dura el movimiento viene
dada por la ecuación v=2t +t2. Hallar el ángulo que forma el vector aceleración total
con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el
momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5ség.
Tenemos que V=2t+t2
=
>
a,=^=2t2t y an=y = (2t+t2).|0|
•••tge=— =
> o=tg
©
V
www.8dukpery.com. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

»SOtVER WUi^ . . - J •" ) CINEMATICA
a) Cuando t=l =
> 0=tg "1 =2,54°
b) Cuando t=s ±0= tg"1 =0,098°
Un ponto A se mueve a velocidad constante v, a lo largo de la circunferencia de
radio a, tal como se indica en el gráfico. Hallar las componentes radial y transversal
de la aceleración.
Descomponiendo V ,en sentido radial y transversal, tenemos que:
Vr=Vsen9 , Vr=Vcos0
Ahora: ar=^-
dvr d0
’ dt
d0
i
dvr
^ d0’ dt
ar=Vcos0. —
a- d í
dv, d0
^ at=dodt
d0
at=-Vsen0.—
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II wvvw.edukperu.corn

Ahora se puede verificar que:
CINEMÁTICA SOLVER EOK «
d e _ v
dt a
V2cos0
ar=
-
V2sen0
ar=— -—
0 Hallar la relación entre las velocidades angulares en función de sus radios, para los
discos de fricción que se indican en la fig.
Ahora, en el punto A, la velocidad, es:
VA=V
Luego para la Ioesfera
Wi Ro
W1
.R,=W2
.R2
=>^ =-i
W2 Rt
jipi
Un cilindro de radio 10 cm gira alrededor de un eje con la frecuencia 10 RPM. A lo
largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante
2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la
aceleración.
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICALEIVAI YI

, » SOLVER EOK
CINEMATICA
Ahora con la V respecto al cilindro, tenemos que
A lo largo de eje:
w
VrtP=0,2m/s
Vt=W.R
Vta
i=|o(0,l)=0,llm/s
Vt
2
a|=Vfg+
V?ra
V,o t a , =0,22 m/seg
Vf0
a=0,ll m/seg
| Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el
diámetro es uniforme de velocidad v0. Hallar al velocidad y la aceleración de p en la
función de ángulo y hallar la dirección de su aceleración total.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I
www.edukpertu

CINEMÁTICA U_______________ SOLVER EDK «
Ahora del gráfico vemos en el eje X; tenemos
Vsen0=Vo
=>V=V0/sen9
Ahora ax=—Vx
x dt x
Ahora ay
dVx d0
ax=— =0
x dt dt
d x7 d(vocot0 d0
3 y = d t V y = d e d t
v 0
ay=-Vocsc20.— - .r
y sen0
Vo
3y sen30r a
Una rueda de radio 10cm, gira aceleradamente de manera que el número de
revoluciones aumenta V
évuelta por segundo. Transcurridos dos segundos. Hallar (a)
la aceleración total y (b) el ángulo que hace la aceleración tangencial.
— E
Tenemos que a=n rad/seg
Por ecuación de mcuv tenemos:
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» SOLVER EOK j CINEMÁTICA
Piden cuando t = 2 seg
Ahora an4 = ( ^ ) 2=W?.R
an=3,95 m/seg2 .... (*)
Y at=a.R=(7c)(0,l)=0,314 m/seg2
a=3,962 m/seg
También tg0=—
aT
Wt=W0t+|l*
X 9
W t= /
Wt=2ir
i ( 3,95
9
=
ts
_ k m )
.-
. 0=85.5°
J¡P¡l
ggp Un aeroplano vuela entre dos puntos, cuya distancia es de 500km en la dirección
•
este. Cuanto durara el vuelo si (a) sin viento (b) si el viento sopla de sur a norte y
(c) el viento sopla de oeste a este. La velocidad del viento es de 40m/ seg, la del
aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t =62min (c) t =
46.2min.
A) Ahora no tenemos acción del viento
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww.edukperu.com

- O-
Vaero=500 km/h
500 km
t= —
—— —=1 hora
500 km/h
t=60min
B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s
la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s
500Kn^
C) Como el viento sopla de OE =
> Vto
ta|=500+144
Vt0
ta|=644 km/h
500
=
> t=7— =46,58 min
644
Un móvil navega por rio a una velocidad que es 2veces menor que la corriente de
este. ¿Qué ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo
arrastre lo menos posible?
wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
I

» SOLVER EDK
3 CINEMÁTICA
Ahora analizando al móvil en la posición mostrada
=
>Vy=Vosen0
=
>-=Vosen0 =
> t=—i— ...(*)
t 0 V osen0
Luego sea d= distancia arrastrada
=>d=(2V0-Vx)t
d=(2VO
-Vocos0)t de (*)
Como deseamos que (1) sea mínimo
=
> d’=0
i l-2cos0
=
> d =--- 5—=0
Sen 0
7
1
-°= 3
01=
180-60°
01
=12O°
Los barcos P y Q poseen velocidades lOcm/seg y 8m /seg la distancia PQ es de
500m. La velocidad lom/ seg, forma con PQ un ángulo de45°. Cuál debe ser el
ángulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren.
i*]IIW Mi
Sea t el tiempo necesario para encontrarse:
da=8t
dp=10t
H
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.eauKperu.c

10n
>
/
Geométricamente tenemos:
Por ley de sen0
8 _ lOt
sen45° senG
0=62°7
6'
fyp En un rio cuya corriente tiene la velocidad lm/esg se debe cruzar
-perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/seg (a) con qué dirección
debe remarse en la canoa (b) con que velocidad se cruza.
Como deseamos que la canoa debe ser perpendicular a la corriente del río
5sen0=l
www.edukperuxom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
V

» SOLVER EDK I CINEMÁTICA
1
=
» sen0=-
5
0=sen'1-
5
0=11,54°
Como piden complementario =
> a=78,46°
a=75°,27'
V=5 cos0
V=4,89 m/seg
Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante
de3m/seg. Cuál es la velocidad del punto Q cundo 0 = 30°.
Veamos: tenemos del y=2sen0 ... (1) x=2cos0 ... (2)
6 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukperu.com

CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
=
> x2+y2=4
dx dy
=
> 2- .(x )+2y - = 0
Luego: ^(x)+y^=0
(3)(V3)+(l)Vy=0
=
>-Vy=3V3m/s
Vy=5,19 m/s
Se tiene dos móviles se mueven en líneas recta, cuyos gráficos de velocidad - tiempo
se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posición inicial. Al
cabo de cuánto tiempo se encontraran los móviles.
Del gráfico mostrado tenemos:
VB= ^ .(t- t2)+V0
t2
“ti
Sea t , al cual se encuentra =
>también ambos recorren la misma distancia,
* d- 4 © - < ! -■<i>
wvvw.gduKpefu,corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

J -Vo(t-2t! t+tf
* dB= 2(tr t2
)
=
> dA=dB
. =
> t-t2+yt^CVÍj)
¿J Dos móviles parten de la misma posición inicial en forma simultánea, sus gráficos
de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro
un cuarto de circunferencia. Hallar (a) la aceleración del segundo movimiento de
función del tiempo (b)aceleración del primer movimiento, sabiendo que el primer
punto alcanza al segundo en el instante en que este queda en reposo (c) 1tiempo
que transcurre hasta que ambos puntos tengan igual velocidad.
im w m
Realizando su ecuación de cada, de velocidad, según la gráfica:
a) Dada: V2
=Jv[-1 '
Por la ecuación del movimiento tenemos:
dvo -t
.2
v2
a2="dt" ^ a2=
V0
a2= V
JvU2
it¡-t2 t2 t¡-t2
v 0=t2
b) Calculando el tiempo en que V2
=0
=
> t=V0
Ambos recorren lo mismo
^ d ^ ft^ f.v ! (1)
v° n
d2
=—
Perod,=d2
B M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.Gorn

KV0
1 2t2
c) Para(l)
k V0
2 to
iVn-t2
v 1 = v 2 = » t =
2to
Vt
c
^+
4
De una torre se arroja dos cuerpos con la misma velocidad v0e inclinaciones 0lt 02.
Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta
Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que:
X=V0t2cos0i (1)
También H=^g t2-Vosen01 ....(2)
Análogamente para la piedra (2) tenemos X=VGt2cos02 .
H=^gt2-Vosen02t2 -
... (2)’
Resolviendo
H=
2V0cos0; cos02eos (0i+02
)
sen2(0t+
02
)
vv.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I " U

!. Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posición con respecto al origen de
coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+2. Hallar (a) la velocidad media para el intervalo [2,3]
Seg. (b) La velocidad instantánea t = 3seg (a) La aceleración media en el intervalo
[2,1] seg. (d) La aceleración instantánea en 3seg. © Para qué valores del tiempo su
velocidad es cero.
A) Sea X=t3.2t2+3t+2
Piden
w X(3)-X(2)
3-2
=12 m/seg
B)
V=3t2-4t-3 ...(1 )
C) Ahora piden
V(3)-V(2)
Pero V(3)=18m/s
V(2)= 7 m/s
•
•
• am
ed= ll m/s2
D)
de (1)
Tenemos
a=6t-4
a=14 m/s2
de (*)
SOLUCIONARIO FISICA LE1VA I Y II www. edtikperu.com

CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
3t2-4tr3
=0
3t
Se lanza un cuerpo con una velocidad de 300 m/seg y con un ángulo de tiro de 60°.
(a)Hallar la velocidad horizontal y vertical a los 10seg después del disparo. (b)El
ángulo que forma la velocidad con la horizontal en el instante de 10seg. (c) La
aceleración tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2.
Como el movimiento es un MPCL
=
> Vx=300eos 60°
=
> Vfx
=Vx=300 cos60°=150 m/seg
Ahora trabajando en el eje “Y” vectorialmente
=
> Vfy=
VQ
y+gt
=
> V¡y=300 sen 60°-(10) (10)
V^=159,81 m/seg
a) =
>Vx=150 m/seg
=
* Vy=159.81 m/seg
b) <
8
0
=£=1,07
V X
=
>0° =46,9°
O aT=^ ....(*)
Encontremos V en función de t
V=150Í+(300 sen 60o
-10t)J
V=10 C
t2
-30V3t+900)1
/
2
10 (t-15V3)
Vt2
-30V3t+900
=
>ar=7;3 m/s2
aN+aT=a2=g2
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» SOLVER EDK 1 CINEMÁTICA
=
> aN=Vs2
-a?
aN=6,8 m/s2
Desde la azotea de un edificio se lanza verticalmente, hacia arriba un cuerpo.
Transcurridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m por debajo de la azotea. Si g=
lOm/seg2
.Hallar (a) velocidad inicial (b ) la altura que se elevo por encima de la
azotea (c ) la velocidad a la pasa por un punto situado a 30 m por debajo de la
azotea.
ja m n m w
A ) Como el cuerpo desarrolla un MCL, =* trabajando cor 3 ecuaciones vectoriales
H=V0t+Í st2
=
> -20=Vo(g)- 1 (5 y
V0=21 m/s
B ) Piden h en la cual se elevó el cuerpo
=* Vt=V0-gt
=
> t= — =2,1
S
=
> h=Vot- |t2
=22,05 m
C ) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que
H=V0t+ t2
-300=Vot-5t2=*-300=21 t-5t2 ...(* )
O Un avión tiene una velocidad de 300 km/h con respecto al aire. El avión viaja ida y
vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200km. (a ) cuanto tiempo tarda de ir de P a
Q en un día en que el viento sopla a lOOkm/h de Q a P.(b ) cuanto tiempo emplea si
existe un viento cruzado de lOOkm/h. (c ) cuanto tiempo emplea si no hay viento.
vSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII wvw.edukperu.com

CINEMATICA
SOLVER EDK «
a)
=400Kn^
Q
V = 200Kn}£
O Q
b )
1200 | 1200 9h
t,otíl “ 400 + 200 “
V,
100
300
C)
>
eos0 -
100
300
=
>
6>= 70,5°
=
>vy = 300sen70.5°
2400 O RU
t = -----= 8.5h
V
q _ jo o K
=>t =2M =8h
300
www>edukperu,córn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

El vector posición de una partícula es:r=tí+(t-2)“í-6t2k, s i: m, t :seg. Hallar (a) En que
instante la velocidad es mínima (b ) el valor de la velocidad mínima (c) El radio de
curvatura en función del tiempo (d ) La aceleración tangencial y normal cundo la
velocidad es mínima.
a m m X M
Se muestra
a) r=t í+ (t-2)2j-6t21
<
_ dr .
=* V=— =i+2(t-2)j-12tk
V= Jl4 8 t2
-16t-17 .... (*)
Para que
b) En (*) del resultado obtenido, tenemos:
Vmin=4,07 m/s*
c) Para calcular 5 haremos uso de
Calculando a=—
dt
=
>á=l]- 12k
=
»Vxá=(48-12 t)í+ 12]+k
|Vx a|= V i44t2
-l152t-2449
(148t2
-16t-17)3
/
2
“ V1
44t~1152t^2449
d) Piden ar= ^ , áN
= ^^ para t=^ seg
( 144 24
1,-37.-37) (0, 1,-12)=0,96 m/seg2
aN=12 m/seg
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.oom

CINEMÁTICA c SOLVER EDK P
Con que velocidad debe desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si
después de abandonar la mesa a una altura de lm, recorra la misma distancia
horizontal y vertical con relación al punto de partida.
En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg
Cuál debe ser el ángulo de tiro del proyectil lanzado del punto A, con una velocidad
de 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en
dirección vertical del punto B para que colisionen.
Para que ambas colisiones
=
>la altura de ambas debe ser la misma: para la esfera B (trabajando vectorialmente)
H=V0Bt+|gt2 =
> H=150t-5t2 ...(*)
Para la esfera A, en el eje “Y”
H=V0AYt+
±
st2
H=2OOcos0t-5t2 ....(*)(*)
Asumiendo que la colisión fue en el ascenso de ambas de (**) y (*)
Voay=150
=
> cos8= -
4
0=41,4°
Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parabólico:
Analizando en el eje “X”; sea VX=V0
Ahora d=V0t=>l=V0
t ....(*)
Ahora en el eje “Y”
www.eduKperu,com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

I
Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres
segundos después lanza una segunda canica idéntica a la primera. Cual debe ser la
velocidad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lleguen al mismo
instante al suelo (g = 10m/se^2).
JEfflIM Jf
Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL
=
> H= V0lt+ |t2
H= ^ t2=
* t=2V5seg
Para la segunda tenemos: H= V0(t-3)+|(t-3)2
100-Vo(2V5-3)+5(2V5-3)2 =
> Vo=60,6 m/seg
5 Se lanza hacia abajo una bolita con una velocidad de 5m/seg desde una altura de
200m. Después de 2seg se lanza una bolita idéntica con una velocidad
desconocida. Cuál debe ser el valor de la velocidad de la segunda bolita, para que
las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm/seg2).
Análogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida son
las mismas: para la primera
H=V01t+iSt2
200=5t+ Igt2
t=5,84 seg
Para la segunda: como el tiempo el cual recorre ^=*-2=3,84 seg
H=Vo2
t,+5Stf
200=VO
2 (3,84)+ 5(3,84)2
V02=32,89 m/seg
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.«!ukperü.s

Un avión vuela desde P a Q, separados una distancia de 2160mkm. En dirección
este. Hallar el tiempo de vuelo ( despreciar el tiempo de bajada y de subida del
avión (a) cuando no ase viento (b) si el viento va de sur a norte (c)El viento va de
oeste a este. La velocidad del viento es 50m/segy la del avión con respecto al aire es
de 720km/h.
a) V=-
J t
=
> t=3h
b) Como en viento va de norte a sur
=
> Vy=180km/m
720 sen0= Vy
720 sen0=18O km/m
=
* 0=14.5°
Vx=720 cos0=697.1 km/m
d
t= -= 3,lh
v x
c) Entonces, como Vviento=180 km/h
•
'•
V
raro
=900 km/h
d
=
* t=—=2,4 h
v
La gráfica se velocidad de un móvil en función del tiempo se indica en la gráfica.
Hallar la aceleración media para los intervalos (a) [0,l]seg (b) [l,5]seg (c) [0.5,4].
Por definición, am
cd=-^-£
’ m
e
d tf-
t0
a) Parate[0 ,1]
=>Vo=0 , Vj=20
r
w W vV.ectuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I YI

=
> am
ed=Y =20 m/seg2
b) Para tG [1,5]
Vo=30 m/seg , V
-
j=20 m/seg
30-20
am
ed=-5-j- =2,5 m/seg2
c) te [0,5, 4]
Para este caso: se relaciona
V4=27,5
Vo,5=10
27,5- 10
a me d = — 35— =5 m/seg
Un cuerpo que cae, recorre la mitad de su recorrido total en los dos últimos
segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae.
Sea h , el recorrido total: de acuerdo al problema
^=Voit+5St2
, para t=2 seg
Donde Vo1 velocidad inicial antes de que caiga al suelo:
í-=Volt(2)+20 ...(*)
Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga
=
* h=V0t+5ti
h=5tf ....(**)
para V0l=V0+g(t,-2)
V0i=g(ti-2) ....(***)
De (*),(**) y (***)
=
» 5=20(tr 2 )+ 20 ....(a )
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww.edukperu.com

CINEMATICA SOLVER EDK «
h=5t?
=
» t]=6;81 seg
h=231,0 m
Un móvil realiza un movimiento rectilíneo y su aceleración está dada por a=-4x,
donde x se mide en my t en seg. Hallar la relación de la velocidad en función de x,
sabiendo que to=0;x0=2m;v0=4m/seg.
Tenemos que por definición tenemos que
a=-4x
dv
a= 77" v
dx
J*adx =/4
vvdv
/2-4xdx =/4
vvdv
-2 (x2
-4)= - - 8
V= [32-4xs
11/2
Dos móviles parten del mismo punto, con aceleraciones de bmlseg2 separado en un
tiempo de 3seg. A que distancia del punto de partida se encontraran.
Ejercicio para el lector
Una partícula se mueve a lo largo de una curva, su posición inicial esta dado la
iongitud del arco vx
donde su rapidez es vty en su tiempo después t2 la longitud del
arco es s2y se rapidez v2. Si en este trayecto la aceleración tangencial es 3m/seg2.
Hallarla rapidez v2
?
' d jK P e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EOK CINEMÁTICA
Como la partícula, se mueve a lo largo de la trayectoria
dv dv
=
> at=— =
» at=— .v
1 d 1 ds
atds=vdv
Q ards=/v
^2vdv ,en esta trayectoria at=cte=3 m/seg2
3 (82-$,)=
Vj-Vi
2
V2=V?+6(S_2-S_1 )1/2
57. Un hombre sostiene una bola fuera de una ventana a 12mdel suelo. El lanza la bola
hacia arriba con unavelocidad de5m/seg. Que tiempo le lleva llegar hasta el suelo y
con qué rapidez llaga al suelo.
mmmm
Por las ecuaciones de un movimiento caída libre (vectorialmente)
d=V0t+ ig t2
-12=
5t-5t2
=
>t=2,13seg
Vf=VG
+gt
Vf=
5-10(2,13)
Vf=-16,3m/seg
Vf=16,3 m/seg
58. Por un plano inclinado de ángulo 45°, se lanza una bola con lavelocidad vQy
formando también un ángulo de 45° con la horizontal, que distancia por la
horizontal recorrerá la bola antes de deslizarse de plano?. No considere la fricción.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukpeau

Del problema , descomponiendo V
0 , a lo largo del plano y paralelo. Veamos
En lo horizontal: V0cos45°=
Wuelo
=
> Cuelo •v 0cos45°=L ...(*)
Ahora paralela al plano, en la posición más alta:
tvuelo
Vf= =
* V0sen45°-a-
2V0 sen45°
‘-vuelo- _ — t U
Descomponiendo g a lo largo de plano tenemos que:
a=g sen0 ... (2)
En (1)
f -9^2. (**
Lvuelo—^ g •••V
. y
En (*)L=—V2
© De una manguera brotan chorros de agua bajo los ángulos 6 y /? respecto al
horizonte con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la
horizontal los chorros se intersecan?.
En el eje “X”, tenemos: X= tTV0Cos p
X= t2V0Cos 0
A^eciuKp^u com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

tiCOsB
t2=^ r
Ahora en el eje “Y”
Y=V0senptr |b ,
Y=V0sen012
- |t|
De (*) tenemos que
2V0
sen (0-p)
^ g( cos2p
-cos20)
Ahora:
X=
2Vq Cosp sen (0-p)
g (COS2P-COS,’0 )
© Se lanza una partícula con velocidad v0, formando un ángulo 9 con la horizontal.
Qué tiempo transcurrirá para que la velocidad forme un ángulo /? con la horizontal?
jfc w iP T tia f
Veamos que en el eje “X”
Vx=Vocos0
Luego de t seg: V
*x=Vocos0
En el eje “Y” Vfy=Vyo-gt
Del resultado final
Vfy=Vfx
-tgp
Vfy= V0COS0 tgp
Entonces:
V0cos0 tgP=V0sen0-gt
V
=
> t= — (sen0-cos0 tgP)
S
— j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vW A v.eclu kp eru .com

DINÁMICA SOLVER EDK «
« m i
De un cuerpo de masa m1se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo
de masa m3. Al cuerpo de masa m1se aplica una fuer za f dirigida hacia arriba.
Halla (a) la fuerza de la tensión en el extremo superior de la cuerda y en el centro
de ella.
m.
|Ts
ITI2 ▼
C I
iTe
m3 1
Hallamos la aceleración del sistema
IF=mta
F-m1g-m2g-m3g=(ml-m
2-m
3
)a
F
a=g--
mr m2-m
3
.•••(I)
Ahora en el punto “s”; hallamos la tensión que se ejerce en la cuerda
IF=mta
F
m3g+m2g
-
í-
Ts=(s-—
— —
—
)(m2+m3
)
V mi+m9
+nW
■ = (-
s m,
m1+m2+m3
/
m
g+
nria
T,= í — F
1+m2+m3/
Lo mismo hacemos con la tensión en el punto C:
m2 F ( m2

m3g+-^-g-Tc=
g--
2 m1+m2+m3
( 2A
( m3+T )
w w w . ed y kpe ru .co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

» SOLVER EDK
D. DINÁMICA
m1+m2+m3/
Se tiene el sistema que muestra en la figura, si m1=
3kg,m2ym3=5km
. Si no se considera el peso de la cuerda no ay rozamiento en la polea fija. Hallar (a)
la aceleración del sistema (b) la tensión de la cuerda que une a las masasrri! y m2
Piden la aceleración del sistema
a) LF=ma
a=F/m
mig+m2g-m3
g
a=-----------
m1+m2+m3
(m1+m2-m
3
)
a=----------g
m1+m2+m3
(3+4-5)
a
=
h d ™
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.ee -

DINAMICA SOLVER EDK «
b) Del sistema S ’ , tenemos:
a=l,63 m/seg2
™iS
LF '=ma
m1
g-T=m1a
T=m1(g-a)
T = 3(9,8 - 1,63)
T=24,51 N
En el sistema que se da, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 3, sabien
que las poleas son de radio iguales y no presentan rozamiento. Se conoce
x1=4m/seg , x^^m /seg2 ’x2=-5m/seg, x2=8m/seg2.
~
l
'w>
m
w w w .e d u k p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
La distancia de la cuerda desde él peso 1hasta la polea B es:
r
A
V, = 4 —
i m-
■
i a, =
_ 2—
1 5*
a
8 52
Xi
O
*
-ui-
5m
Xo
X2
m .....
X^jcR+Xo^!... (1)
X3
Derivando:
Derivando (2):
Xt+0+Xq=0 ;
X1=-X0...(2)
X>Xo=G-
Xi =-Xq...(3)
La distancia del peso (3) al peso (2) es:
X3-Xo+X2~Xo+tcR=C2..•(4)
Derivando:
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www.eoukper

X 3 -X 0 -X 2 -X 0 +O—^
0 ; X 3 —2Xo_X 2. .. (5 )
Derivando (5):
X 3 -2Xo+X2=0
X 3 =2Xo-X2
Para hallar la velocidad de (5) y (2)
V3=2(-X1)-X2=2(-4)-(-5)=-3m/seg2
Para la aceleración de (2), (3) y (6):
a3=X3=2(-X1)-X2=-2(-2)-8=-4m/se¿72
Dado el sistema de dos poleas fijas y una móvil en la cual es hay tres masas
m1;m2y m3
Hallar la aceleración de cada masa, si se desprecia el peso de las poleas, asú como
la fricción en las poleas.
Hallando la relación de aceleraciones:
Xr Xo+7iR+X3
-X0+7iR=l1
w w w .e d u k p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II M

» SOLVER EDK DINAMICA
Para la otra cuerda:
Derivando:
X1+2X0+X3=0... (1)
Derivando
X1+2X0+X3=0... 2)
X2-Xo-nR=l2
X2-Xo=0
DerivandoX2 = Xc ... (3)
Las ecuaciones de dinámica para cada mesa es:
m2g-T2=m2a2
...(5) donde
T!=T3
m3S"T3=m3
a3T2=Ti+T3
7,2 = 27,
1 ...(7)
í 4m!m3-3m2m3+m1m2
3l~ 4m!m3+m2m3+m1m2/ ^
( m!m9
-4m1
m3
+m2
m3
a2=I - )S
4m}m3+m2m3+m1m2y
Mm! m^nr^ m2+m2m3
a3_ 4m 1m34-m2m3+m1m2y ®
Una persona se desliza sobre un trineo por una montaña de pendiente 6. El
coeficiente de rozamiento entre la superficie y el trineo es Como de moverse el
hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este último se deslice
por la pendiente con movimiento uniforme.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www-.edukperu

DINAMICA
SOLVER EDK «
Del Sistema total
I
F=Ma
M: masa del hombre
(M+m)gsen0-p(M+m)gcos0=Ma
(M+m)
a=— -— g.(sen0-pcos0)
M
& Dado el sistema que se muestra en la figura. La masa de la polea, de las cuerdas y la
fricción se desprecia Hallar la aceleración de las masas.
Considerando que
m2>m!
tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos que
a1“a2
Como la fuerza de gravedad es la que actúa sobre el sistema
a1=
a2=g
Dado el sistema que se muestra en la figura. De la polea fija cuelga una masa m; qué
fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba
con aceleración a.
www.edukperu.com : SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
I

» SOLVER EDK DINÁMICA
Dejamos éste ejercicio al lector.
^ Hallar la aceleración masa
m2(m2>m1
)
para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento.
m ñ V M t m
Por dinámica para cada masa tenemos:
21-iriTg sen0=m1a1
.. .d)
lm2g-lT=m2a2
De (1) y (2) obtenemos:
2m2g-m1
g sen0=m1a1+2m2a2
Se muestra que a±= -a2
rr^
=
»2m2g-m!g sen0=— a2+2m2a2
4m2g-2m1
g sen0=m1a2+4m2a2
=
>
a
2=
-
2g(2m2-m1 sen0
4m2+m1
En sistema que se muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M) . La bola tiene
un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la
1
E l SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
T jf jí
1
9
www.edukperu.com

bola se encuentra frente al extremo inferior de la barra. Después de que el sistema
quede libre. Ambos cuerpos se mueven con aceleración constante. Hallar la fuerza
de razonamiento entre el hilo y la bola, si al cabo de t segundos de haber
comenzado el movimiento. La bola se colocó en la parte superior de la barra, que
tiene una longitud L.
La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X.
Por cinemática tenemos que:
X+ L= ^t2...(1 )
x = ( 2)
2
D e ( l ) y (2) tenemos:
Por dinámica:
mg-fr=M.aM... (4)
mg-fr=m.am... (5)
De (4) y (5) en (3) obtenemos:
2LmM
fr= o
(M-m)t2
w w w e d u k p s fu .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de
las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleración de la masa mi.
mrnmmf
Por dinámica a la masa “m0”
2T = m0a ... (1)
Se demuestra que
a=-
ar a2
Por dinámica a las masas mxy m2
~m2g +T = m2a2 ... (3)
De (1) en (3) y reemplazando a =
Tenemos:
ar a2
m0(ar a2)
=
>
a
9
=
-
-m
2g=m2a2
moMnigg
4m2+m0
...(4)
Sumando (2) y (3) y reemplazando a2 se tiene
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www,edukperu.com

DINÁMICA
.c SOLVER EDK «
Despejando ax:
/m0ai-4m2g
4m2+m1+m0(m1+m2)'
ai =
4m1m2+m0(m1+m2)
© Sobres las masas mi y m2 actúan las fuerzas F1 =bt y F2 =2bt, que están unidos por
un hilo que puede soportar la tensión T, donde b es una constante. Hallar en que
instante el hilo se romperá.
m2 m.
n
/ / / /
Para cuando el hilo se rompa de la a ^ 0
Por dinámica se tiene que
IF=mta
F^FÔr^+mâ
2bt-bt=(m1+m2)a
bt=(mr m2)a
. . . 0)
Teniendo en cuenta la dinámica de cada masa:
* 1 - 4
7 7
.T
mi
/ / } / /
m9
/ / v ?
F2-T=m2
a
T-Fîrâ
...(3)
De (2) y (3) obtenemos la aceleración:
www.edukperu.cor? SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y

» SOLVER EDK_____________ J _____________________________ . . . __Pl"*™?*
T
a=
2m1+m2
Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romperá:
^ T (m1+m2
)
b ’(2m1+m2
)
Que fuerza actúa en 1sección de una barra homogénea de longitud L a la distancia
x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra.
m
x
L
Por dinámica tenemos que R = ma ... (1)
Definamos
Por dinámica para el trozo de la barra. rn
R-F=m'a
Utilizando (1) y (2) se tiene:
F=r ('- Í)
Se tiene un prisma de masa M y ángulo 9, se le comunica aceleración “a” hacia la
izquierda. Una masa mse halla sobre el prisma. Cuál es el valor máximo de esta
aceleración, para que la masa m permanezca inmóvil con respecto al prima, sabiendo
•
que el coeficiente de rozamiento entre las masas es ¿(j í < cotg 9)
¡ f j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAl Y www.edukperuxom

DINÁMICA £ SOLVER EDK «
En el eje X para el bloque se tiene:
y
u
O=ZFx=macos0+macos0-fr
fr=macos0-macos0... (1)
En el eje Y se tiene: LFy = N2 —mgcosQ —masenO = 0
N2=mgcos0+masen0... (2 )
Sabem os que
fr=pN2... (3 )
De (1), (2 ) y (3 ) encontram os que:
9(l+ijcot0)
m
a
x
” (COt0-p)
Dado el sistema form ado por el prisma de masa M y sobre él la masa m.
despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozam iento. Halla la
aceleración del prisma M.
www.edukperu.com S0LUCI0NARI0 FISICA LEIVA IY II

Haciendo DCL para cada masa:
Por dinámica tenemos para la masa m: mg SenO - T = mam ... (1)
Y para la masa M:
T+N Sen0=(rn+M)am
Se demuestra que:
am
=amCose
De (1) y (2) y reemplazando am tenemos:
3
m
mg Sen0+NSen0=(rn+M)am
+
mg Cos0(l+Cos0)
Cos0
3
m M Cos0+m(_+Cos0)
Dado el sistema que se muestra en la figura, una polea fija por una barra, esta pasa a
través del cuerpo de la masa m2, y existe una fuerza de rozamiento Fr. Despreciando
el peso de las cuerdas, hallar la aceleración de las masas y la tensión del hilo.
q
p
m ,n
/fr
ím2
F2
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukperu^com

DINAMICA .c SOLVER EDK «
Considerando m1> m2} se tiene; del todo el sistema por dinámica obtenemos:
a(m1+m2)=Fr F2
-fr
(mr m2)g-fr
Por dinámica:
De (1) en (2) tenemos:
a=-
1
m ,
TF,
Fr T=m,a
...(2)
/2m2g+fr
r = m , ----------------
Vm1+m2/
Dado el sistema de masas que se muestra en la figura y ^ es el coeficiente de
rozamiento entre la masa my el plano indicado. Hallar la fuerza que presiona la
cuerda sobre la polea. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa.
Por dinámica a cada masa:
www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 107

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
fr=pmg cos0
IF=ma
mg senO + ¡xgm cosQ —T = ma ... (1)
Por dinámica:
i T
m
T
mg
D e(l)y(2 ) tenemos
T-mg=ma... (2)
mg
T=— (1+jj cos0+sen0)
Para hallar la fuerza que ejerce sobre la pelea, como las tensiones son iguales,
entonces la fuerza F divide a la mitad al ángulo:
T
T v
Por ley de cosenos:
F?=T2+T2+2T2 eos (|-e)
F2=2T2[l+cos ( | - e ) ]
2=2T2 [l-1+2cOS2g -^ )]
Siendo
ffTl SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I w w w ,e d u k p e m .c D m

DINAMICA SOLVER EDK «
o
mg
T= (1 +pcos0+sen0)
En el sistema que se indica, la m1> m2. Se suelta el cuerpo de masa m2 y el sistema
se pone en movimiento. Cuál es la altura máxima del suelo a la que subirá el cuerpo
de masa m2. Desprecie las masas de las poleas y el rozamiento.
m rn
I2
h
Dejamos el ejercicio para el lector.
Se tiene una barra homogénea de masa M y longitud L, es sometida a una fuerza F
en uno de sus extremos. Hallar el valor de la fuerza que ejerce la región 1 sobre la
región 2.
mun
i—
x—
i
Por dinám ica para todo el sistema.
F=ma=>a= —
m
...d )
wwvv.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II 109

» SOLVER EDK ] DINÁMICA
Definimos
Por dinámica
D e (l)y(2 ) se tiene:
m
m m
p=r =c x
m=
m(L-X)
. . ( 2)
F-F12=m'a
XF
f1
2
=t
o Se tiene la máquina de Atwood dispuesta como se muestra en la figura. La polea en
estado inmóvil (las masas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca. En
cuanto es necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea
y moverse inmediatamente, el equilibrio se mantenga?
Para que el sistema quede equilibrio, la aceleración de la polea y de la masa en el
platillo deben ser iguales.
Hallando la aceleración de la polea:
mig-T^nr^a
—
m2g + Tx = m2a , donde 7 = T2
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I w w w .e d u k p e ru com

DINÁMICA
r
A.
SOLVER EDK «
El peso será.
a=
(nr^-nng
TS
?=(mr m2
).a
p- .1— —— —L
— -iq
(m,+rn2)
P-
(m,-mg)2
g
(irirfíTio)
Por din¿ímica para las 2 masas:
mxg - 27 = ... (1)
Se demuestra que
Por cinemática:a2 =
4h
T-m2g=m2a2
a2=2a
-
,
(mr 2mo)
ai=7 — “ •
“vg
(rrh-Mmo)
8h(n«r 2m¿)g
mj-ntrno
Luego de que el bloque de masa m i; llega a 1piso. m2tiene una velocidad v, donde
comienza a actuar la g como la aceleración:

© La máquina de Atwood, está colgada de una balanza de resorte, tal como se indica
en que la figura. Hallar la aceleración de los cuerpos, la indicación de la balanza y la
tensión en la cuerda que une a las masas.
Por dinámica para cada masa:
gmr T=am1
T-gm2=am2
D e (l)y (2) se tiene:
g(m1-m
2)=a(m1+m2)
^a=
(mr m2
)g
(m,+m2)
...(3)
Ahora hallamos, de (2) y (3):
(mr m2
)g
T-m2g= ----- -m2
(m,+m2
)
T=
2m1m2
g
m1+m2
Y la tensión de la balanza será 2T
Tr=
4m1m2
g
m
^+m2
^ j j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w . ed u kp e ru .cc ~

DINÁMICA .c SOLVER EDK «
Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleración de cada peso.
Supóngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas últimas son lisas
y las cuerdas son flexibles e inextensibles.
Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecerán constantes:
1
}=X^-Xo+7CR+Xo-Xo+7CR +Xq
Derivando 2veces, siendo X0 = cte , se tiene:
X, +2Xo=0
i2=x;-xo
, derivando 2 veces, tenemos:
X'o = *¿ ...(2)
l3=X2->i+7tR"+X3-Xo
Derivando 2veces, se tiene:
X2-2X¿+X3=0
...(3)
De (1), (2) y (3) se tiene:
X2+
X^+X3=0
w w w . ed ukpe ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
...(4)
Por dinámica para cada masa; se obtiene:
...(5)
m2g-T2=m2a2
... (6) se demuestra que
^3S"T3=m3a3
...(7)
T=T1=
T2=T3
...(8)
De (4), (5), (6), (7) y (8) se tiene:
/m1m2+m1m3-
2m2m3
ai=| J
rr^m3+m2m3+m1m3/
/m2m3+m1m2-
2m¡m3

a2=
a3=
Reemplazando
tenemos:
v 8
m1m3-h
m
2m3+m1m2/
/m
-[m3+m2m3-
2m1m2
m1m3+m2m3+m1m2/
m!=2kgm2=4kgm3=3kg
3l=y8
a2=7
93=
-
-4g
| — ■
www.edukperu com

© Un cuerpo está colgado de dos hilos que forman ángulos y 02con la vertical,
como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensión en el
primero varia instantáneamente en la aceleración.sen 02/seg(91+ d2)cos 61.
^mg
En el equilibrio, tenemos lo siguiente:
T1cos01+T2cos02=mg... (1)
T1sen01=T2sen02... (2)
Por dinámica
J _ m gsene2 ™
1 sen (0 ! +02)
''J o /
/mg
£F=lng cos0r To=mac
mv2
mgcos91-T0=—
Pero como V = 0 al inicio
To-mgcos0,=O
To-mgcosG!... (4)
De (3) y (4)
T, sen02
To_ cos0,-sen(e,+
e,)
www.edukperu.com ^ SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IYII

SOLVER EDK DINÁMICA
@Se tiene una esfenlia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;:
que se halla en un plano vertical. La esferiila tiene una velocidad uniforme vü a lo
largo del alambre. Hallar (a) la aceleración centrípeta, (b) la componente radial y
rangencra! de ía fuerza que se ejerce sobre la esferiila, debido ai alambre en e!
instante en que el radio con la esterilla forma un ángulo 0 *con la horizontal.
Se tiene que la aceleración centrípeta es igual a:
Vi
ac = w2R = ~
Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene dei gráfico que:
Por dinámica en el eje radical se tiene:
Fr + mg senO —mac
<Vc
FR = m
V
q
~ - gssnO j
Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un-peso de 10kg .Hallar (a) la
fuerza mínima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un
valor de 19SN, hallar la aceleración de! bloque, (c) cual debe ser eí'váior de la fuerza
” ^ ^ 's 'O L U C iO N A R iO RSíCALEIVA SY U ~ jdyi^eviZcofñ'

F para que el peso suba con una aceleración de 1.2 m/seg 2? (a) F= 98N; (b) a =10
m/seg2; (c)= 110N.
10ks
l'm g
a) Para que se encuentre en equilibrio, la tensión de la cuerda debe ser igual a la
fuerza F
F=t=mg
F=(10kg) (9 ,8 = 9 8 N
b) Por dinámica se tiene
£F=ma
...(*)
F-mg 198-98 m
a=-
m 10
-=10-
segz
c) De (1) se tiene:
F=98n=(10KG)fl;2 - ^ )
V segv
F=1ION
Se tiene un cuerpo de masa my está sujeto por dos resortes iguales de constante de
elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la
aceleración del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento.
vwAv.edukperu.com
I I
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA íY 1
1

m
FkSenO
5 5 ^ S e n 0
FkCosO
t
Por dinámica en el eje X:
EF
IF=maa= —
m
2Fk sen0 2KAL
a=------ = ----— sen0
m m
Sobre los bloques de masa mi =30kg. M2 =15 kg, existe una fuerza de rozamiento
de 2 kg. Qué tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra
una distancia lOm, si
0=60°.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v .v ,..edukperu.com

DINÁMICA .c SOLVER EDK «
Considerando todo el sistema por dinámica obtenemos:
^0^
rr^g sen0-
2fr=(m1+m2
)a
Por cinemática tenemos que:
X=Xo+V0t+~at2
20
Para cuando recorra 10m7se tiene una aceleración de a = — ... (2)
Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.:
t=2;04 seg
Se lanza una partícula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano
inclinado de ángulo 9 y longitud L. Cuál será el coeficiente de fricción cinética, si la
partícula alcanza el extremo inferior del Plano justo cuando llega al reposo.
Fr
Por dinámica en el eje X:
.v.vedsjioer-.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II f 19

mg sen0-pkmg cos0=ma
gsen0-pk
g cos0=a... (1)
Por cinemática obtenemos:
a=^ =Vot=V
o (2)
t t a v '
L=V0t-^at2... (3)
Reemplazando (2) en (3), obtenemos la “a”
Reemplazando (4) en (1); obtenemos
pK=tan0-
2Lgcos0
0 Por una porción de un canal circular de radio R; se desplaza una masa m7sin fricción.
Que altura H alcanza la masa; si el canal gira con una velocidad angular unifrome.
Del diagrama obtenemos que
De (1), (2) y (3) tenemos:
Pero
Ncos0=mg... (1)
NsenO = mw2r... (2)
Y r = RsenG ... (3)
mw2Rcos0=mg ... (4)
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II jK p e ru .c o m

COS0= ■
R-H
Reemplazando en (4) obtenemos:
h=r ( i -- I_ j
Rw2'
Un plano inclinado de ángulo 8, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad
angular a). Un cuerpo de masa mse halla en el extremo inferior del plano inclinado y
está a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mínimo que
permita que la masa mse mantenga sobre el plano inclinado.
i
Por dinámica y la fuerza antribeta en “X” tenemos:
U>
-Nsen0+fr cos0=mac=mw2R... (1)
En “Y” por equilibrio se tiene:
mg=Ncos0+frsen0... (2)
Siendo f r = fiKN, reemplazando en (1) y (2)
Nsen0+pKN cos0=w2Rm... (3)
Ncos0+jjkN sen0=mg... (4)
ww vv.edu kperu.cc :r SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II I t f f
1

» SOLVER EDK
] DINÁMICA
De (3) y (4) encontramos N:
N=
N=-
w2Rm
pKcos0-sen0*
mg
(5)
; - ( 6)
cos0-jJKsen0
Igualando (5) y (6); y despejando fiK tenemos:
w2Rcos0+gsen0
g cos0-W sen0
$ Una barra sin peso, doblado como se indica en la figura, gira con una velocidad
angular co, respecto al eje BC. En el punto A de la barra hav un cuerpo de mana m.
Hallar La fuerza que ejerce la barra sobre la masa m.
jjs ifln w fiir
L>
Hacemos DCL a la esfera:
Por la fuerza antrípeta en “X” se tiene:
F sen0-mac
Fsen# = m W 2R ... (1)
Por equilibrio en el eje “Y”
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I vvw vv,ed u kp er u ,co m

Fcos9 = mg ... (2)
Elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumamos obtenemos:
F2(sen20+cos20)=(mg)2+(mw2R)
F2=(mg)2+(mw2R)2
Pero
R=L sen0
-
.1/2
F= [(mg)2+(mw2L sen0)2j
o Desde lo alto de una semí esfera de radio R, se desliza un cuerpo pequeño, sin
rozamiento. A qué altura H se desprenderá dicho cuerpo de la cúpula.
ü?imraT»TMf
Por dinámica tenemos que:
mg sen0-N=mac
a- ¥
mg cos0-N=m .. (1)
Por la conservación de la energía:
(mgH-mgR)+ ^m V2-0^=0
De (2) en (1):
m-
ac=i r =!F (R-
H)- (2)
2mg
mg sen0-N=—
— (R-H)
R
w '-' edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I
I I

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
Cuando el cuerpo se desprenda N = 0
mgsen0=^-(R-H)... (3)
Pero
sen6=H/R
Reemplazando en (3) y despejando H se obtiene:
2
H=-R
© Hallar el radio R de un puente en arco, con la condición de que la presión de un
auto que se mueva con una velocidad v se haga tres veces menor en el punto más
alto del puente.
i
W
Hallamos la fuerza centrípeta en el punto A y B:
En el punto más alto
P = X - (1)
En el punto más bajo
£= (2)
3 R
Sumando las expresiones (1) y (2)
4P 2mv2
"3"= R
^ j j^ j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vwCedukperu.com

P=mg
3v2
R =
29
Un atleta pesa 70 kg. Se coloca sobre una balanza de resorte en un ascensor.
Cuanto marcara la lectura de la escala de la balanza, si el ascensor, (a) sube con
una velocidad constante de 5m/seg . (b) tiene una aceleración hacia arriba de
5m/seg2 (c) tiene una aceleración hacia abajo 3.4
m/seg2
(d) cae libremente debido a que el cable se rompe.
m m m m w
a) Como la velocidad es constante no hay aceleración, por tanto el peso que marca
la balanza es 70 kg.
i
b) Entonces la masa que marcará será:
ma+mg
L= -=105,7 kg
ma
c) Entonces la balanza marcará
mg-ma
L=— ---=45,7 kg
S
www.edukperu,com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I
I

il
a
d) La aceleración en el exterior será la aceleración de la gravedad ya que está en
caída libre, entonces la balanza marcará:
Un cuerpo de masa m^sta situado sobre una mesa giratoria horizontal que distan
una distancia R del eje de rotación, si el coeficiente de rozamiento estático límite
entre el cuerpo y la masa es fis . Una cuerda une la masam1con la masa m2, por
medio de una polea sin fricción que se encuentran en la masa giratoria, tal como se
muestra en figura. Entre que límites de co debe de girar la mesa para que la masa
m2 no se mueva Hacia arriba ni hacia abajo?
L=m±mg=0
g
i £
La velocidad angular superior es cuando la esfera tiende a salir del disco y es
cuando la esfera tiende su movimiento hacia el centro:
26 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II rdukLi~ru.com

DINAMICA
SOLVER EDK «
fr'icuando tiende a salir del disco
i) Para el límite superior:
ii) Para el límite inferior:
I F = m 2g + f,!= m 1
w 2R
m 2g + )jm 1
g = m lw | UpR
(m2 + pm jg
j mi R
I F = m 2g -fr= m ,w fnfR
m 2S-M m 1
g = m 1
wpnfR
Wjn
f—
(mz-prnOg
nr^R
O Una masa de lkg; se mueve a la largo de una recta de forma que el camino
recorrido x(m) en función del tiempo t (seg) es. x = A - 2t - 312+ t3. Hallar la
magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo al finalizar el tercer segundo de
su movimiento.
MTir.iirrrat.Trgr
m = lk g
777M
/TT'T7-
-
El camino recorrido se expresa por la ecuación dada X = A - 2t - 3t2+ t2 ... (1)
www.edukpéru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II 127

» SOLVER EDK
] DINÁMICA
= ma = mx ... (2)
Derivando (1)2 veces, tenemos:
x--6+ót
Reemplazando en (2) para t = 3seg
F(t)=m(6t-6)
F(3)=12 N
Un cuerpo se desplaza por plano inclinado ángulo G = 60°. La relación entre la
distancia x (m) recorrido por el cuerpo y el tiempo t(seg) está dada por la ecuación
x - t i1. Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.
jB im rü m n r
Por dinámica se tiene:
mgsen0-fr=ma... (1)
Tenemos que x = 312 derivando 2veces tenemos la aceleración:
x = a = 6m/seg2 ... (2)
De (2) en (l)
mgsen0-jjkmgcos0=6m
pk=0,50
o La longitud de las varillas de un regulador centrífugo es igual a 12,5 cm. Que
numeró de revoluciones por segundo dará el regulador, si al girar los contrapesos se
desvían por la vertical un ángulo de 30o?
¿ H a y
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu,cc~>

DINÁMICA ( SOLVER EDK «
Por la fuerza centrípeta, se tiene
Tsen0=mac
Tsen0=mw2R... (1)
En el equilibrio en el eje “Y”, se tiene
Tcos0=mg... (2)
De ( 1) y (2) se tiene:
mgtan9=mw2R ... (3)
Siendo
R = L send
y
w = 2 tcv
Reemplazando en (3), tenemos:
-^=m(27cv)2L
cose v '
V 2 n J
3 =1,51 RPS
Lcos0
. Un peso de Ion, se encuentra fijo a un cordón de goma de longitud l0 gira
circularmente en un plano horizontal con una frecuencia de 3RPM. El cordón se
w w w .e d u k p e ru .c o m

» SOLVER EDK ] DINÁMICA
desvía con respecto a la vertical un ángulo 30°, Cuando el cordón se estira lcm . Se
debe aplicar una fuerza de 5n. Hallar la longitud L0 del cordón sin estirar
///////////////
Por dinámica de la fuerza centrípeta, se tiene:
T Sen30=mRw2... (1)
Tenemos que cuando
T=5Al=10mm
De (1):
Reemplazando valores:
T Sen30=m(lo+Al)w2... (2)
lo=24,81 m.
t
40. Sobre un pequeño cuerpo de masa m, que se encuentra en un plano horizontal lizo,
en el instante t =0, empieza a actuar una fuerza que depende del tiempo por la ley
f=b t, donde b es una constante. La fuerza hace en todo instante un ángulo 6 con la
horizontal. Hallar©a) La velocidad del cuerpo en el momento de la separación del
plano (b ) El camino, recorrido por el cuerpo este momento.
ISOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II www.edukperu.com

DINÁMICA .(
Fsen () p
FcosQ
| n
Tenemos en el eje X; por dinámica:
Fcos0=ma
a) Por cinemática se tiene que
dv
dt “3
dv
Fcos0=m —
dt
bcos0
dv= t dt
Integramos
En el eje “Y” se tiene que
bcos0 o
v=—-
- 1
2m
IF= 0
N+Fsen0-mg=O
Cuando se separe del plano; N = 0
Fsen0=mg
De (1) y (2) tenemos:
b
s
e
n
G
mg2
v=-
2bsen20
b) Para hallar la distancia se tiene que
dx
V= dt
SOLVER EDK «
www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA l Y II 131

Integrando*.
...(3)
bcosGt2
dx=vdt=——— dt
2m
bcosGt3
x=-
6m
m2g3cos0
x=— ñ
— —
6b senG
© Una lancha de masa m es mueve en una laguna a la velocidad v0. En el instante t =0
desconectan el motor si la fuerza de resistencia del agua jl movimiento de la lancha
proporcional a su velocidad / = —rv. Hallar (a) el tiempo del movimiento de la
lancha con el motor desconectado, (b) la velocidad de la lancha en dependencia del
camino recorrido con el motor desconectado, a su como el camino total hasta la
parada.
Por dinámica tenemos que:
F=rv
-rv-ma
. . . 0)
dv
a = —
dt
dv
-rv-m—
dt
f r f dv
J - m dt=j T
Piden el tiempo que dura el movimiento de la lancha, y esto sucede cuando v = 0
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukperu.com

De (2)
líí
em
=0
DINÁMICA 1_____________________ SOLVER EDK «
b) De (1) tenemos que
-rv
a= —
m
Sabemos que
/d
v
d
=
/-^
dvd=adx
dx
rx
V =V 0- —
m
; x: distancia
Para hallar la distancia total, es cuando
rx
0=v0—
m
- mv°
r
o Cuántas veces aumenta la velocidad máxima admisible de un ciclista por una pista
con peralte 0 en comparación con la velocidad admisible por una pista horizontal a
igualdad de los radios de curvatura y de coeficiente de rozamiento yp.
i
© fw
t
»
------ R ------1 fr
Para cuando la pista está horizontalmente
Por dinámica
fr=
m¥
vvwwedukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 33

» SOLVER EDK )
v = J¡¡g R
Para la otra pista, tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre:
En el eje X tenemos:
N Sen0+fr Cos0=
mV»
En el eje Y se tiene:
IF=mg+fr Cos0-p Cos0=O
...(2)
De (2) despejando N, obtenemos:
mg
N=
Reemplazando (3) en (1):
cos0 jj Sen0
...(3)
mVe
N Sen0+pN Cos0=—
r— '
K
(Sen0+pCos0)=mVe
Cos0-jj Sen0
(p+tan0)Rg
V0=
N
1-ptan0
DINÁMICA
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II a "A «aur.peru.cor

DINÁMICA l_____________________ SOLVER EDK «
Por lo tanto la relación de
V y V 0
es:
Vq_ I (p+tan0)
V ~ tan0)
Una partícula de masa m, se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio R,
tan que su posición angular varía con el tiempo así:
0=b+ct+gt2
, donde b,c yq son constantes, t es tiempo y 6 está en radianes. Hallar (a) que
fuerza tangencial existe (b) que fuerza centrípeta existe para un tiempo t dado.
Las fuerzas tangencial y radical se expresa de la sgte. Forma:
dv
FT=m—
T dt
Fr = mw2R ... (2)
Siendo
V=WR
d0
W=—
dt
Nos dan la posición angular que se expresa de la siguiente manera:
0 = b + ct + qt2
Derivando
d6
— = w = c 4
-2qt
dt
Derivando por 2da vez: '' "V
•-■ ^ ed u kpe ru .com SOLUCIONARIO FISiCA LEIVA I Y II

d20 dw
d ? _ dT_2q
Reemplazando en (1) y (2) tenemos:
FT=2mRq
FR=m(c+2qt)2R
© Se tiene una esferita de masa m, la cual se desplaza a lo largo de un alambre
delgado de radio R, si la esferita tiene una velocidad inicial v0y si nKes el
coeficiente de fricción cinético despreciado la gravedad, Hallar la velocidad de la
esferita cuando ha transcurrido un tiempo t.
Por dinámica, la fuerza tangencial será:
mdv
mdv
-pN=—
k dt
Y la fuerza centrípeta será:
De (2) en (1):
o 1IIV
N=mw2R=— -
R
(2)
v2 dv
-uN—;=m—
k R dt
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vedukperu.com

dv
/.V=V(
-pNt_ 1 1
~R ~='V +V0
© Una cadena de longitud 2m, se encuentra en reposo apoyado sobre un superficie
lisa talco se indica en la figura. Se aplica una peque fuerza desequilibrarte en el
extremo B dirigida hacia abajo. Hallar al aceleración y la velocidad de la cadena en
función de y que es una posición cualquiera del punto A. La longitud de la cadena
era igual en ambos lados.
Definamos la densidad de masa lineal
M
T
Por dinámica; en el extremo derecho:
2L=x
M M
— (2L-x)g-T=— (2L-x)a
'.ecukptá!u.coi SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II j f Ü '
I

En el extremo izquierdo:
; pero
Sabemos que
...0 )
M M
T'2 LXS=2LXa
... (2)
(L-X)
a=S~¡
x+y=Ly=L-X
7
a = 9,B-L
dv
•
= a
■
- a
dt
dv dx
dx dt
vdv —adx
J dvd= J 9,8^dy
v2=9,8
2L
v=
9j3
2L
.Y
Q Un bloque de la figura pesa 30kg f, los coeficientes de rozamiento estático y cinético
son 0.25 y 0.2 respectivamente. Hallar (a) La fuerza necesaria para mantener el
bloque con mantenimiento rectilíneo uniforme sobre el plano inclinado de 30°. (b)
La aceleración en el instante que deja de actuar la fuerza f. (g = 10m/seg2).
« ¡ n iM t o »
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ■ w w .e d u to s

DINÁMICA £ SOLVES EDK «
a) Por dinámica
IF x=ma
mgsen30-fr-fcos30=ma
Pero como e! movimiento es a velocidad constante entonces a = 0
=>mgsen30=fr+F(cos30)
...(i)
En el eje Y:
IF y=ma=0
XFy=N-Fsen30-mgcos30=0
=>N=Fsen30=mgcos30
...(2)
Sabernos que
fr=pN
De (1), (2) y (3) obtenemos:
(sen30-jjcos30)
(cos30-jjsen30)
F=101,48N
b) para cuando ya no actúa la fuerza F tenemos en el eje X:
mgsen30-jjmgcos30-ma
ni
=>a=3,27— r
SOLUCiONARIO FISICA LEIVA I Y S
I ¡F

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
& Un plano inclinado de la figura forma un ángulo de 30° con la horizontal. La relación
de las masas de los cuerpos es: m1
/m2=
2/3. El coeficiente de razonamiento en el
plano y el cuerpo es 0.1. Las masas de la polea y y de la cuerda se desprecian. Hallar
el modulo y la dirección del cuerpo m1si el sistema se puso en movimiento desde
el reposo.
Por dinámica para la masa m1
mig-T=mia
Pero
T=m2gsen30+fr
De(1)y(2)
mig-m2
gsen30-fr=m1
a
m!g-m2
gsen30-pm2
gcos30=mja
m2 m2
g g sen30-p— gcos30=a
mi
3 3
a=g-ggsen30-- pcos30
=
>
a=
0,12 g
Un bloque de masa M descansa sobre una plataforma que gira con velocidad angular
cú constante. Una cuerda flexible une a este bloque con otro de masa m en la forma
que se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre M y la plataforma es /¿.
m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.ediíkperu.com

Hallar el valor máximo y mínimo de d para los cuales M permanece en reposo
respecto a la plataforma.
El radio máximo o mínimo de giro dependerá hacia dónde tiende el bloque, si el
bloque tie4nde a deslizarse a la izquierda tendremos el radio mínimo, y si tiende al
lado contrario será el radio máximo.
fncuando el radio es mínimo
fr -.cuando el radio es máximo
i) Cuando el radio es mínimo:
EF=mg-fr=Mac
mg-^Mg=Mw2rm
ir
mg-pMg
rm
in~ Mw2
ii) Para cuando el radio es máximo:
IF=mg+fr=Mac
mg+yMg=Mw2rm
á
mg+pMg
Mw2
o Cuál es el peso aparente de un hombre de lOOkg que está de pie en ascensor que
sube aumentando su velocidad a razón de 2m/seg2. Cuál cundo baja?
(g=10m/seg2)
Hallamos lo que marca la balanza cuando sube y cuando baja:
i) Entonces, lo que marcará la balanza será:
■ edjKpe* :jm SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
ma i mS
* ▼
ii)
mg-ma
L=— ---=120 kg
Entonces, cuando baja la balanza marcará:
ma ! mS
f T
mg-ma ^ ,
L=— =80 kg
© Tres bloques de masa m, 2m y 3m son empujados a lo largo de una superficie
horizontal lisa por medio de una fuerza constante f. Hallar (a) la aceleración de
cada bloque.(b) La fuerza que ejerce el bloque 2m sobre 3m.

DINÁMICA
SOLVER EDK «
mrnm
a) Tenemos los siguientes bloques que se ejercen entre ellos unas fuerzas:
Para el bloque de (3m) tenemos que
m
F21 F12 F32 F23
2m «— - - ...-> 3m
Para el bloque de (2m) se tiene que:
F23=3ma... (1)
Para el bloque de (m) se tiene que:
, pero
b) Sabemos de (1) que:
F1
2
-F32=2ma
; pero
F3
2
=
F2
3
Fi2=5nna
F-F2
1
=ma
F2i=F12F=6ma
•
•
• a=
6m
F!3=3n,a» 3 m (¿;) =( í)
Un cuerpo de masa m está unido a un resorte de longitud L0si estiramiento. Si el
resorte obedece la ley de Hooke
(f=-kx)
y el cuerpo gira con una velocidad angular
0)
. Demostrar que: (a) el radio del movimiento circular uniforme es:
'.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

a) Tenemos que
Por dinámica se tiene:
Pero
siendo
Entonces:
w
X
¿SW
FK=mac
FK=mw2R
Fk=-KX
X=R-Lo
K(R-Lo)=mw2
R
KR-KLo=mw2
R
KLq
R=
K-mw2
b) Para hallar la fuerza de tensión del resorte, tenemos qye FK = TR
Tr=K(RLo)
[Kmw2
Tr=K
•
•
•Tr=
K-mw2
KLq
Lo
R K-mw2
Dos cuerpos de masa m, se hallan unidos por medio de una cuerda de peso
despreciable y longitud L. Se aplica una fuerza de 2mg en el centro de la curda y
normal a ella (x=0). Hallar aceleración de las masas en la dirección que une las
masas.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v.'w
w.edukperu.cóm

DINÁMICA c SOLVER EDK «
F
.X
v 2mg
En el eje T tenemos por dinámica que:
T = ma ... (1)
En el punto “0” obtenemos que
2mg=2Tsen0
Una caja cuya masa es de lOkg.descansa sobre la plataforma de un camión que parte
con una aceleración de 1m/seg2. El piso no tiene rugosidades y la caja comienza a
resbalar a su movimiento se opone a una pequeña fuerza rozamiento de 5N. Hallar
(a) SI la caja se encuentra inicialmente a 5m del borde de la plataforma del camión,
cuánto tiempo transcurre antes de que caiga? (b)qué espacio recorre el camión
antes de que se caiga la caja?
S
g—___
sen0
Pero la aceleración en X será:
ü ..i:::: : n
M
-0
a) Hacemos el diagrama de cuerpo libre para el bloque:
Por dinámica tenemos
jK p a r j.c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK
3 DINÁMICA
IF=ma =ma-fr... (1)
Por cinemática:
De(l)y (2) tenemos:
®
Reemplazando valores en (3) se tiene:
t=4,4 seg
b) Para hallar cuanto recorre el camión se tiene por cinemática:
siendo
t=4,4 seg
(lm/seg2)(4,4 seg)2
xi=------ -------
Un cuerpo de masa 0.2kg. Se mueve por un tobo, como se indica en la figura. Cuando
llega al punto p, tiene una velocidad de 20m/sgy el radio de curvatura es 5m, si
g=10m/se,g2. Hallar la reacción del tubo sobre el cuerpo.
wwvv.edukperuxor

DINÁMICA c SOLVER EDK «
Por dinámica: 1F = mac
Por tanto la normal será:
N + mg = m -
N = m - - m g
(20)2
N = 0,2—
-g-— (0,2)(10)
N = 14
Se tiene un cuerpo que se haya suspendido por dos cuerdas L±YL2 de peso
despreciable, como se muestra en la figura. Hallar la relación de las tenciones en la
cuerda Lx inmediatamente después de cortar la cuerda L2, con la que había en
equilibrio.
En el equilibrio
De (1) y (2):
//////////
T1cos0+T2sen0=mg... (1)
T1sen0=T2cos0... (2)
ivvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

t
Por dinámica:
mgcos0-T =m—
Pero como V = 0 al inicio
Por dinámica:
Por tanto la normal será:
T,=mgcos0... (3)
T^mgcosO... (4)
-=1
mg CosO
IF=mar
N+mg=m-
N=m— -mg
K
N=0,2
m ¿
5
N=14
(0,2)(10)
En una feria, una niña de masa m está sobre la pared vertical de una jaula cilindrica
de radio R. Lajaula velocidad lineal v. Hallar el peso efectivo de la niña, (se define el
peso efectivo de un cuerpo al total de fuerzas que el objeto o cuerpo ejerce sobre
un dinamómetro en un sistema acelerado = ,
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .ed u fC p efu .co n

DINÁMICA .( SOLVER EDK «
G):
■ = > 2 + r / R)2
La fuerzas que actúan sobre la niña son
mg y N
Siendo la
mvo
N=mac=—
Piden el peso efectivo (que es la fuerza que ejerce el cuerpo en un dinamómetro)
^ N
R
^=^efectivo
vm g
wefect¡vo=m^g2+(No/R)2
O Una partícula de masa m se mueve a lo largo de la superficie interna lisa de un
cilindro vertical de radio R. Halle la fuerza con que la partícula actúa sobre el
cilindro, si en el momento de iniciarse el movimiento su velocidad v0 forma un
ángulo 6 con la horizontal.
•.'■v.eaukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

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