Describe la solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrogeno para diferentes coordenadas (radiales, angulares, cartesianas).

1. E C U A C I Ó N S C H R O D I N G E R
Para el átomo de hidrogeno
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física

2. Í N D I C E
• Función de onda 𝜓.
• Construcción de la ecuación estacionaria.
• Propiedades.
• Ecuación dependiente e independiente del tiempo.
• Diferencias.
• Ec. Schrodinger dependiente del tiempo al estado estacionario.
• Coordenadas esféricas.
• La ecuación de schrodinger en tres dimensiones: El átomo de hidrogeno
• Solución en coordenadas esféricas
• Solución radial y angular.
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física

3. F U N C I Ó N D E O N D A 𝜓
• Describe la distribución de una partícula en el espacio (localización en el
universo). Es mas probable localizar una partícula en lugares con mayor
intensidad.
• El cuadrado de la función de onda de una partícula en cada punto nos indica la
probabilidad de encontrar la partícula cerca de ese punto.
𝜓 2 = 𝜓∗𝜓, 𝜓𝜖ℂ
• Esta normalizada. El complejo conjugado en todo el espacio es uno. En M.C.
no podemos hablar de trayectorias, pero si podemos evaluar la probabilidad
por unidad de volumen de encontrar una partícula en una posición dada y en
un tiempo dado. No podemos predecir el movimiento subyacente de la
partícula (posición y velocidad).
𝜓 2𝑑𝑣 =
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
𝜓∗𝜓 𝑑𝑣 = 1
∆𝑥∆𝑝 ≥
ℏ
2
, ℏ =
ℎ
2𝜋
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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4. F U N C I Ó N D E O N D A 𝜓
• Para que se mueva en tres dimensiones 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 2𝑑𝑣 , que es la
probabilidad que la partícula se encuentre en el momento 𝑡, dentro de un
volumen 𝑑𝑣 en torno al punto 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
• Por lo tanto, la función de onda es una forma de representar el estado físico
de un sistema de partículas (con condiciones impuestas y dadas).
Virgilio A, Cowan C. L. and Graham B. J. (1975). Cap 14 La ecuación de Schrodinger. Curso de Física Moderna (pp 155). Estados Unidos de America. Editorial Harla.
Freedman Y. and Zemansky S. (2009). Cap 39. La naturaleza ondulatoria de las particulas. Física Universitaria (pp 1362). Addison Wesley. Editorial Pearson
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5. C O N S T R U C C I Ó N D E L A E C U A C I Ó N
E S TA C I O N A R I A
• Construimos una ecuación de onda para la amplitud 𝜓, independiente del tiempo, que describa el
comportamiento estacionario de un ensemble de corpúsculos cuánticos.
∇2
𝜓 =
1
𝑣2
𝜕2
𝜓
𝜕𝑡2
= 0 𝟏
• Una onda estacionaria puede expresarse como el producto de una función de la posición por una
función de tiempo, variando esta ultima senoidalmente con el tiempo:
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑒−𝑖𝑤𝑡
𝜑 𝒓 𝟐
• Derivado dos veces 2, sustituyendo en 1, e introduciendo la velocidad de propagación 𝑣 = λ𝕧 =
𝜆𝑤
2𝜋
, obtengo:
∇2
𝜑 +
4𝜋2
𝜆2
𝜑 = 0 𝟑
• Lo transformamos a una ley cuántica, haciendo que la longitud de onda coincida con la ley de
Broglie, Con 𝜆 =
ℎ
𝑝
=
2𝜋ℏ
𝑝
. Sustituyendo en 3.
∇2
𝜑 +
𝑝2
ℏ2
𝜑 = 0 𝟒
• 4 junto con la interpretación de 𝜓 como una amplitud de probabilidad 𝑝 = 𝜓∗
𝜓 = 𝜑∗
𝜑 continiene
la descripción cuántica para problemas estacionarios. 𝑝 es independiente del tiempo (caso
estacionario).
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6. C O N S T R U C C I Ó N D E L A E C U A C I Ó N
E S TA C I O N A R I A .
• Al ser un sistema monoenergético (no aseguramos que cada electrón del
ensemble contenga la misma energía, pero si la distribución es
suficientemente angosta), expresamos 4, en términos de 𝐸, escribiendo 𝐸 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉 𝑟 . Conduciendo a la ecuación estacionaria de Schrodinger:
∇2𝜑 +
2𝑚
ℏ2
(𝐸 − 𝑉)𝜑 = 0
• O en términos de 𝜓 para incluir el factor temporal
∇2
𝜓 +
2𝑚
ℏ2
(𝐸 − 𝑉)𝜓 = 0
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7. P R O P I E D A D E S .
∇2𝜓 +
2𝑚
ℏ2
(𝐸 − 𝑉)𝜓 = 0
• Sintetiza en una expresión fundamental el comportamiento ondulatorio de
un ensemble de corpúsculos cuánticos.
• Con ella se describe cualquier problema cuántico estacionario
caracterizado por un potencial 𝕦 , que puede ser función de cualquier
conjunto de variables dinámicas (los efectos relativistas, espinoriales).
• Tiene un carácter fenomenológico, es decir, recoge ciertas características
de comportamiento observadas en los microsistemas. Pero las explica sobre la
superficie. Ej. Origen físico del comportamiento Ondulatorio.
• Es lineal en 𝝍, por lo que 𝜓1 y 𝜓2, son soluciones y la función 𝑎𝜓1 + 𝑏𝜓2, son
soluciones con 𝑎, 𝑏 = 𝑐𝑡𝑒 arbitrarias.
• Satisface el principio de Superposición. La amplitud de probabilidad se
superpone.
Peña L.(1975). Cap 3. La ecuación estacionaria de Schrodinger. Principios de Mecánica Cuántica. (pp 53). UNAM-Mexico. Editorial Fondo de Cultura.
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8. E C U A C I Ó N D E P E N D I E N T E E
I N D E P E N D I E N T E D E L T I E M P O .
• Corresponde a una ecuación en derivadas parciales en el tiempo y espacio.
No puede obtenerse por deducción, sino con datos experimentales. La
ecuación en una dimensión:
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2
𝜓 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
+ 𝑈𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑖ℏ
𝜕𝜓 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝟓
• Ecuación de Shrodinger dependiente del tiempo. Relaciona la segunda
derivada espacial de la función de onda con la primera derivada temporal de la
función de onda. Contiene un numero imaginario. Las funciones de onda del
conjunto solución no son necesariamente reales. 𝜓 𝑥, 𝑡 no es una función
medible como el sonido o ondas electromagnéticas.
• La probabilidad de encontrar una partícula en la región 𝑑𝑥 es real. La
probabilidad de localizar una particula en una región 𝑑𝑥 centrada en 𝑥 ,
usamos:
𝑃 𝑥, 𝑡 = 𝜓 2𝑑𝑥 = 𝜓∗𝜓𝑑𝑥
Donde 𝜓∗es la función compleja conjugada de 𝜓. Se obtiene remplazando 𝑖 → −𝑖
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9. • Como la función de onda estacionaria puede expresarse 𝜓 𝑟, 𝑡 . Las
soluciones estacionarias de la ecuación unidimensional son:
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑒−𝑖𝑤𝑡𝜑 𝒓
𝑒−𝑖𝑤𝑡 = cos 𝑤𝑡 − 𝑖 sin 𝑤𝑡
• Y el segundo miembro de la ecuación:
𝑖ℏ
𝜕𝜓 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
= 𝑖ℏ −𝑖𝑤 𝜑 𝑥 𝑒−𝑖𝑤𝑡 = ℏ𝑤𝜑 𝑥 𝑒−𝑖𝑤𝑡 = 𝐸𝜑 𝑥 𝑒−𝑖𝑤𝑡
• Esto tiene soluciones a ondas estacionarias solo si la energía 𝑈 𝑥 .
Sustituyendo 𝐸𝜑 𝑥 𝑒−𝑖𝑤𝑡
en 5 y simplificando los factores 𝑒−𝑖𝑤𝑡
. Se obtiene la
ecuación independiente del tiempo:
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2
𝜑 𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝑈𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 𝟔
E C U A C I Ó N D E P E N D I E N T E E
I N D E P E N D I E N T E D E L T I E M P O .
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10. −
ℏ 2
2 𝑚
𝜕 2
𝜓 𝑥 , 𝑡
𝜕 𝑥 2
+ 𝑈 𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝑖 ℏ
𝜕 𝜓 𝑥 , 𝑡
𝜕 𝑡
• Se requiere en la solución para
determinar las probabilidades de
transición entre los niveles
energéticos.
−
ℏ2
2𝑚
𝜕 2
𝜑 𝑥
𝜕 𝑥 2
+ 𝑈𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥
• Se aplica a una partícula de masa 𝑚 ,
contenida a moverse a lo largo del eje 𝑥, e
interactúa con su ambiente por medio de la
función 𝑈𝜑 𝑥 .
• Es afectado por los niveles energéticos
permitidos en un sistema.
• Es consistente con el principio de
conservación de energía mecánica en un
sistema.
• Explica el comportamiento de los sistemas
atómicos y nucleares.
• Cuando se aplica a la M.C. a cuerpos
macroscópicos, los resultados concuerdan
con la Física Clásica.
D I F E R E N C I A S .
Tipler P. A. (2010). Cap 35 Aplicaciones de la ecuación de Schrodinger. Física para la ciencia y tegnologia (pp 1204) España. Editorial Reverte
Serway R. A. and Jewwett W. (2014). Cap. 4. Mecánica cuántica. Física para ciencias e ignerira. (pp 1277). Mexico.Editorial Cengage Learning
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11. E C . S C H R O D I N G E R
D E P E N D I E N T E D E L
T I E M P O A L E S T A D O
E S T A C I O N A R I O
Schroedinger estableció su ecuación partiendo de
una analogía optomecanica que consiste en la
similitud de las ecuaciones que describen el
recorrido de los rayos luminosos y las ecuaciones
que definen la trayectoria de las partículas en la
mecánica analítica.
Sugerencias:
https://www.youtube.com/watch?v=TAyTYwY6viA
Saveliev I. V. (1982). Cap 4. Elementos de mecánica cuántica. Curso de física general (pp 75) Rusia. Editorial Mir Moscu
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12. C O O R D E N A D A S E S F É R I C A S
Se dice que los problemas en los que la cantidad de interés es una función solo
de la distancia (r) y no de la dirección, poseen simetría esférica. Esto indica que
una partícula se encuentra en algún lugar de la superficie. Para especificar su
ubicación en el espacio se requiere de dos coordenadas análogas (latitud y
longitud). Sistema polar esférico 𝑟, 𝜃, 𝜙 :
𝒓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜽 = cos−1 𝑧
𝑟
= 𝐶𝑒𝑛𝑖𝑡𝑎𝑙
𝝓 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝐴𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡ℎ
Sistema Cartesiano P 𝑥, 𝑦, 𝑧 :
𝒙 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙
𝒚 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙
𝒛 = 𝑟 cos 𝜃
Volumen del espacio
encerrado:
𝑑𝑉 = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙
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13. C O O R D E N A D A S E S F É R I C A S
En términos de los vectores unitarios cartesianos 𝑥, 𝑦, 𝑧 , los vectores unitarios esféricos
𝑟, 𝜃, 𝜙 vienen dados por:
𝒓 = sin 𝜃 cos 𝜙 𝒙 + sin 𝜃 sin 𝜙 𝒚 + cos 𝜃 𝒛
𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜙 𝒙 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝒚 − sin 𝜃 𝒛
𝜙 = − sin 𝜙 𝒙 + cos 𝜙 𝒚
Por el lado contrario:
𝒙 = sin 𝜃 cos 𝜙 𝒓 + cos 𝜃 cos 𝜙 𝜽 − sin 𝜙 𝝓
𝒚 = sin 𝜃 sin 𝜙 𝒓 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝜽 + cos 𝜙 𝝓
𝒛 = cos 𝜃 𝒓 − sin 𝜃 𝜽
Las operaciones para los operadores de Gradientes y Laplaciano en coordenadas esféricas.
∇= 𝒓
𝜕
𝜕𝑟
+ 𝜽
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
+ 𝝓
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜙
∇2
=
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
Reed B. C. (2008). Cap 6 Schrodiger Equation inThree Dimensions and an Introduction to the Quantum Theory of Angular Momentum. Spherical Coodinates. Quantum
Mechanics (pp 201) United States of America. Editions Jones and Bartlett
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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14. L A E C U A C I Ó N D E S C H R O D I N G E R E N T R E S
D I M E N S I O N E S : E L Á T O M O D E H I D R O G E N O
• El átomo de hidrogeno consta de un protón,
una partícula con carga positiva y una
negativa. Donde 𝑚𝑝 = 1836𝑚𝑒. El protón es
estacionario con el electrón moviéndose en
su vecindad, pero impedido de escapar por el
campo eléctrico del protón. La simetría
esférica favorece a la geometría de los
átomos.
• La forma general de la ecuación
independiente del tiempo en tres
dimensiones:
−
ℏ2
2𝑚
∇2
𝜓 + 𝑈𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 [𝟔]
• En coordenadas cartesianas:
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2
𝜓
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜓
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜓
𝜕𝑧2
+ 𝑈 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜓 = 𝐸𝜓[𝟕]
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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15. • Donde la energía potencial 𝑈 =
−𝑒2
4𝜋𝜖0𝑟
. Si este es simétrico en 𝑥, 𝑦, 𝑧 la solución es sencilla. Y la función de
onda puede escribirse como:
𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜓𝑥 𝑥 𝜓𝑦 𝑦 𝜓𝑧 𝑧
𝜓𝑥 𝑥 :Numero cuántico principal 𝑛
𝜓𝑦 𝑦 : Numero cuántico orbital 𝑙
𝜓𝑧 𝑧 : Numero cuántico magnético 𝑚𝑙
• 6 es una ecuación separable. Se obtienen tres ecuaciones para cada una de las coordenadas. La 𝑈𝑇 es la
suma de los tres valores propios de la energía.
• Dado que el potencial 𝑈𝜓 𝑟 tiene simetría esférica 6 puede escribirse en coordenadas esféricas:
−
ℏ2
2𝑚
1
𝑟
𝜕2
𝑟𝜓
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sin 𝜃
𝜕𝜓
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 sin2 𝜙
𝜕2
𝜓
𝜕𝜙2
+ 𝑈𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 [𝟖]
También puede escribirse:
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝜕𝜓
𝜕𝑟
+
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sin 𝜃
𝜕𝜓
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 sin2 𝜙
𝜕2
𝜓
𝜕𝜙2
+
2𝑚
ℏ2
𝐸 − 𝑈 𝜓 = 0 [𝟗]
L A E C U A C I Ó N D E S C H R O D I N G E R E N T R E S
D I M E N S I O N E S : E L Á T O M O D E H I D R O G E N O
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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16. L A E C U A C I Ó N D E S C H R O D I N G E R E N T R E S
D I M E N S I O N E S : E L Á T O M O D E H I D R O G E N O
• Al sustituir la energía potencial 𝑈 =
−𝑒2
4𝜋𝜖0𝑟
en 𝟗, obtenemos la derivada parcial
para la función de onda 𝜓 en un átomo de hidrogeno. Debe ser normalizable,
continua y univaluada en cada punto 𝑃 𝑟, 𝜃, 𝜙 . Esta ecuación especifica el
comportamiento de los electrones.
sin2 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝜕𝜓
𝜕𝑟
+ sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sin 𝜃
𝜕𝜓
𝜕𝜃
+
𝜕2𝜓
𝜕𝜙2
+
2𝑚𝑟2 sin2 𝜃
ℏ2
𝑒2
4𝜋𝜖0𝑟
+ 𝐸 𝜓 = 0
• Para resolverla se requieren tres números cuánticos para describir al electrón
de un átomo de hidrogeno. Por lo que necesitamos tres condiciones de
contorno que gobiernan la función de onda.
Blatt F. J.(1992). Cap 8. The Schrodinger Equation In Three Dimensions: The Hydrogen Atom. Modern Physics(pp 160) United University of Vermont. Editorial McGraw-Hill
Beiser A. (2003). Cap 6. Quantum Teory of The Hidrogen Atom. Modern Physics (pp 201) United States. Editorial McGraw-Hill
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17. S O L U C I Ó N E N C O O R D E N A D A S
E S F É R I C A S .
Ecuación de Schrodinger
Blatt F. J.(1992). Cap 8. The Schrodinger Equation In Three Dimensions: The Hydrogen Atom. Modern Physics(pp 160) United University of Vermont. Editorial McGraw-Hill
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18. Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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19. Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
Indice

20. S O L U C I Ó N R A D I A L Y A N G U L A R .
Ecuación de Schrodinger
Sandin T. R. (1994). Cap 16. The Hidrogen-Like Atom and The Swe. Modern Physics (pp 185). Canada. Editorial Addison Wesley
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21. Indice

22. Indice

23. Indice

24. Indice

25. E C U A C I Ó N S C H R O D I N G E R
Brandon Alan Moreno Navarrete, UAM-AZC. Física
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