MATERIAL DE FISICA SAN MARCOS ANUAL

1. FÍSICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Aduni
Docente: Jack Donayre

2. SEMANA 8
Semana 7: OPERACIONES CON
VECTORES
Semana 6: MCU
Semana 5: MPCL
REFORZAMIENTO

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Objetivo
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
➢Repasar los temas desarrollados
desde la quinta semana hasta la
séptima semana, para consolidar
el aprendizaje de los siguientes
contenidos:
❑ Teoría y aplicaciones del
MPCL.
❑ Teoría y aplicaciones del
MCU.
❑ Métodos y aplicaciones de
análisis vectorial.

4. Semana 5: MPCL

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
𝑔
LANZAMIENTO HORIZONTAL:
Jhon lanza horizontalmente un balón.
Por inercia, el balón trata de continuar el movimiento
horizontal pero, a la vez desciende debido a la
atracción de la Tierra.
𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑜𝑦 = 0 𝑣𝑦1
𝑣𝑦2
𝑣𝑦3
𝑣𝑦4
Cuando el balón desciende la componente vertical (𝑣𝑦) de su
velocidad comienza a aumentar en módulo.
Mientras que la componente horizontal (𝑣𝑋) de su velocidad
permanece constante.

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
LANZAMIENTO OBLICUO
Un cañón dispara una bala.
θ
𝒗𝒙
𝒗𝑶𝒚
𝒗𝒚𝟏
𝒗𝒚𝟐
𝑣𝑂
𝑔
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
𝒗𝒙
𝒗𝒙
𝒗𝒙
𝒗𝒚 = 𝟎
𝒗𝒚𝟏
𝒗𝒙
Por inercia, la bala de cañón trata de continuar el
movimiento rectilíneo pero, a la vez desciende debido
a la atracción de la Tierra.
Cuando el balón asciende la componente vertical (𝑣𝑦)
de su velocidad comienza a disminuir.
Mientras que la componente horizontal (𝑣𝑋 ) de su
velocidad permanece constante.
Al combinar los efectos de la inercia y la gravedad, la
trayectoria resultante es una curva llamada PARÁBOLA,
contenida en un solo plano vertical y el movimiento del
proyectil, se denomina MOVIMIENTO PARÁBÓLICO DE
CAIDA LIBRE ( M.P.C.L. )
Podemos verificar, que en ambos casos el móvil describe
un movimiento curvilíneo.
𝑣 = 𝑣𝑥
2
+ 𝑣𝑦
2
𝑣𝑦
𝑣𝑥
Ԧ
𝑣

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
Proyección horizontal: MRU
Se verifica: 𝑡𝑀𝑃𝐶𝐿 = 𝑡𝑀𝑅𝑈 = 𝑡𝑀𝑉𝐶𝐿
Proyección
vertical
:
M.V.C.L.
El MPCL para una mayor facilidad, su análisis se
realizará proyectándolo en dos direcciones mutuamente
perpendiculares, es decir: Lo proyectaremos sobre una
línea vertical y sobre una línea horizontal:
➢ El movimiento del proyectil a lo largo de la horizontal
es uniforme, es decir realiza un MRU:
➢ Simultáneamente, en la dirección vertical, ocurre un
movimiento uniformemente variado debido a que se
considera constante la aceleración de la gravedad.
Se usarán las fórmulas del M.V.C.L.:
𝒅𝑿 = (𝒗𝑿)(𝒕)
𝒗𝒇𝒚 = 𝒗𝒀𝑶 ± (𝒈)(𝒕) 𝒉 = (𝒗𝑶𝒚)(𝒕) ±
𝟏
𝟐
(𝒈)(𝒕)𝟐
𝒉 =
𝒗𝒇𝒚 + 𝒗𝑶𝒚
𝟐
𝒕 𝒗𝒇𝒚
𝟐
= 𝒗𝑶𝒚
𝟐
± 𝟐(𝒈)(𝒉)
𝑔
𝑣𝑋 𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑋
𝑣𝑜𝑦 = 0
𝑣𝑦1
𝑣𝑦2
𝑣𝑦3
ℎ
𝑑𝑋

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
θ
𝒗𝒙
𝒗𝑶𝒚
𝒗𝒚𝟏
𝑣𝑂
𝑣𝑂: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜃: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑔
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
𝒗𝒙
𝒗𝒚 = 𝟎
𝒗𝒙
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒗𝒚𝑶 = 𝒗𝟎 𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝐄𝐧 𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐢𝐬𝐩𝐚𝐫𝐨:
Tiempo de vuelo (𝑡𝑣)
Para este caso:
𝒕𝑺 = 𝒕𝑩 =
𝒗𝒚𝟎
𝒈
𝒕𝒗 = 𝒕𝑺 + 𝒕𝑩 = 𝟐
𝒗𝒚𝟎
𝒈
Altura Máxima (𝐻𝑀Á𝑋)
Alcance Horizontal (𝐷)
𝑫 = 𝒗𝒙 𝒕𝒗
𝑯𝑴Á𝑿 =
𝒗𝒚𝒐
𝟐
𝟐𝒈
𝒕𝑺
𝒕𝑩
𝑫𝑿
𝑯𝑴Á𝑿
En el punto mas alto la
rapidez es mínima:
𝑣𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝐴 = 𝑣𝑋

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Casos especiales del MPCL:
➢ Alcance horizontal máximo
En todos los casos se lanza con la misma rapidez y
en el mismo plano vertical:
𝐷𝑀Á𝑋
➢ Ángulos de tiro complementario
𝑫𝟏
𝑫𝟐
Para dos objetos lanzados con una misma rapidez
y con ángulos de lanzamiento que suman 90° se
verifica que logran el mismo alcance horizontal
El máximo alcance horizontal se verifica
cuando el ángulo de lanzamiento es 45°.
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )

10. Semana 6: MCU

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
Radio de giro (R)
Su unidad de medida en el
S.I. es el metro (m).
A
Ángulo de giro (𝜽)
Su unidad de medida es el
radián (rad).
Recorrido (𝑺)
Su unidad de medida es el metro (m).
La relación matemática entre 𝑅, 𝜃 𝑦 𝑆 es: 𝑆 = 𝑅𝜃
C
R
R
𝜃
𝑆
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
Velocidad tangencial o velocidad lineal 𝒗
Es la velocidad que presenta el móvil en cada punto
de su trayectoria.
Unidad de medida en el S.I.: 𝑚
𝑠
Nota:
La velocidad tangencial Ԧ
𝑣 se
representa por medio de un vector
que siempre es tangente a la
trayectoria.
Velocidad angular 𝝎
Indica el ángulo que barre el radio de giro por cada unidad
de tiempo.
Unidad de medida en el S.I.:
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝝎 Nota:
La velocidad angular
(𝜔) se representa por
medio de un vector
perpendicular al plano
de giro.

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)
En iguales intervalos de
tiempo, los ángulos barridos
son iguales:
𝜃 = 𝜔𝑡
En intervalos de tiempo
iguales, los recorridos son
iguales
𝑣 =
𝑠
𝑡
Los recorridos y ángulos
barridos, son
directamentente
proporcionales al tiempo
transcurrido.
Rapidez tangencial 𝒗
Unidad S.I.:
𝑚
𝑠
𝜔 =
𝜃
𝑡
Rapidez angular 𝝎
Unidad S.I.: 𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜔
𝒗
Relación entre la rapidez lineal y la rapidez angular.
R
R
𝜃
𝑆
𝜔
𝒗
𝒗
𝑡
𝒗 = 𝝎𝑹
𝒗 𝑫. 𝑷. 𝑹

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
Periodo 𝑻
Unidad de medida en el S.I.:
segundo (s)
Frecuencia 𝒇
Unidad de medida en el S.I.: 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 (𝐻𝑧 𝑜 𝑠−1)
Relación de la frecuencia y el periodo.
𝑓 =
1
𝑇
o 𝑇 =
1
𝑓
IMPORTANTE:
➢ Otras unidades de frecuencia son RPS (revoluciones por
segundo) y RPM ( revoluciones por minuto ).
(𝑅. 𝑃. 𝑀. )
𝑟𝑎𝑑
𝑠
➢ En una vuelta, el radio de
giro barre θ = 2𝜋 rad y el
tiempo que emplea en una
vuelta es exactamente el
periodo ( T ):
𝜔 =
𝜃
𝑡
𝟐𝝅
𝟔𝟎
=
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓
Nota:
1 vuelta <> 1 revolución <> 1 ciclo.
𝑓 =
𝑛
𝑡
n: número de vueltas
t: tiempo empleado en dar “n” vueltas
𝑇 = 𝑡1 𝑉𝑈𝐸𝐿𝑇𝐴

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
𝑎𝑐𝑝 =
𝑣2
𝑅
= 𝜔2𝑅
Unidad de medida
en el S.I.:
𝑚
𝑠2
𝑎𝑐𝑝
𝑎𝑐𝑝
𝑎𝑐𝑝
𝑎𝑐𝑝
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣
El módulo de la ACELERACIÓN
CENTRÍPETA se calcula:
Debido al cambio de dirección de
la velocidad tangencial,
concluimos que el móvil
experimenta una aceleración,
dirigida hacia el centro de
curvatura de la trayectoria
circunferencial ( o eje de giro ) y
se denomina:
ACELERACIÓN CENTRÍPETA 𝒂𝒄𝒑
Aceleración Centrípeta 𝒂𝒄𝒑 ó 𝐍𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥.

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
Aplicaciones del M.C.U.
1. Poleas o discos solidarios. (concéntricos)
𝒓𝑩
𝒓𝑨
𝐴
𝐵
Se verifica:
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 = 𝜔
𝑣𝐴
𝑟𝐴
=
𝑣𝐵
𝑟𝐵
𝑣𝐴
𝑣𝐵
𝜔
2. Poleas o discos unidos por una faja.
𝐴
𝑃
𝐵
𝑟𝐵
𝑟𝐴
Se verifica:
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 = 𝑣𝑃
𝜔𝐴𝑟𝐴 = 𝜔𝐵𝑟𝐵
𝜔𝐴
𝜔𝐵
3. Poleas o discos tangentes.
Se verifica:
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 = 𝑣
𝜔𝐴𝑟𝐴 = 𝜔𝐵𝑟𝐵
𝑟𝐵
𝑟𝐴
𝜔𝐴
𝜔𝐵
𝐴
𝐵
𝑣
𝑣𝐴
𝑣𝑃
𝑣𝐵
Para ruedas engranadas, discos, poleas dispuestos
como en la figura, se verifica:

16. Semana 7: OPERACIONES CON
VECTORES

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR
El vector Ԧ
𝐴 lo obtendremos de la siguiente forma:
Ԧ
𝐴
Ԧ
𝐴 =
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜
−
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
= 𝐴𝑋; 𝐴𝑌
Donde:
𝑨𝑿: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴
𝑨𝒀: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴
Su módulo se obtiene aplicando el teorema de
Pitágoras en el triángulo sombreado:
Ԧ
𝐴 = 𝐴𝑋
2
+ 𝐴𝑌
2
Extremo del vector
Origen del vector
𝜃
𝑨: Se lee: “vector
A”
𝑨 = 𝐀: MÓDULO
del vector A.
𝜽 : DIRECCIÓN del
vector A.
ELEMENTOS DE UN VECTOR:

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
SUMA DE VECTORES:
Ԧ
𝐴
𝐵
A. Suma de vectores paralelos:
El módulo del vector
resultante, es:
𝐴 + 𝐵
𝑅 =
Ԧ
𝐴
𝐵
El módulo del vector
resultante, será:
𝐴 − 𝐵
𝑅 =
𝑅𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐴 =
𝑅𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝐴 =
A.1. Caso 1:
Dos o más vectores que son paralelos y con la misma
dirección:
A.2. Caso 2:
Dos o más vectores que son paralelos y con
dirección opuesta:
B.1. Método del polígono:
Es un método geométrico que permite sumar dos o
más vectores.
Ԧ
𝐴
𝐵
Ԧ
𝐶
Ԧ
𝐴
𝐵
Ԧ
𝐶
𝑅
𝑅 = Ԧ
𝐴 + 𝐵 + Ԧ
𝐶
B. Suma de vectores no paralelos:
Ԧ
𝐴
𝐵
Ԧ
𝐶
𝐷
Ԧ
𝐴 + 𝐵 + Ԧ
𝐶 + 𝐷 + 𝐸
Los vectores forman un
polígono:
𝑅 =
𝑅 = 0
Importante:

19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
B.2. Método del paralelogramo:
Nos permite hallar el módulo del vector Suma o
Resultante de dos vectores, usando la ley de cosenos,
siempre y cuando se conozca el ángulo que forman
entre sí.
Ԧ
𝐴
𝜃
Ԧ
𝐴
Ԧ
𝐶
𝜃
𝑃
El módulo de la resultante, será:
𝑅 = 𝐴2 + 𝐶2 + 2𝐴𝐶(𝑐𝑜𝑠𝜃)
Ԧ
𝐶
P P
𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴 3
CASOS ESPECIALES:
Cuando los dos vectores presentan igual módulo:
60°
𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴
120°
𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴 2
Nota:
En estos tres casos
particulares la
resultante hace el papel
de bisectriz en las
figuras mostradas.

20. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL:
Anteriormente se observó que al sumar dos o más
vectores, se obtenía un solo vector que los
reemplazaba.
Ahora, realizaremos el proceso inverso.
Dado un vector, lo reemplazaremos por dos o más
vectores, a los cuales llamaremos vectores
componentes.
Ejemplo:
A partir de la gráfica de tres vectores concurrentes,
determine el vector resultante.
𝐷
𝐸
Ԧ
𝐹
4 4
Resolución:
Hacemos la descomposición poligonal de los vectores:
𝐷
𝐸
Ԧ
𝐹
4 4
En la gráfica notamos que hay dos vectores opuestos de
igual magnitud 4, estos vectores originan una
resultante cero (se cancelan).
Además, hay tres vectores de igual magnitud y dirección
idénticos al vector E, estos vectores se suman:
𝑅 = 𝐸 + 𝐸 + 𝐸
𝑅 = 3𝐸

21. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
De la misma forma se puede descomponer a un vector,
en dos componentes con direcciones mutuamente
perpendiculares.
A ello se denomina DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR de
un vector.
𝒀
𝑿
Ԧ
𝐴
𝜃
Ԧ
𝐴𝑌
Ԧ
𝐴𝑋
Entonces el vector A se determina:
Ԧ
𝐴 = (𝐴𝑋; 𝐴𝑦) Expresión cartesiana del vector A
Donde:
Ԧ
𝐴𝑋 ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑋 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵.
Ԧ
𝐴𝑌 ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑌 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵.
Los módulos de los vectores componentes
rectangulares:
𝐴𝑋 = 𝐴(𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝐴𝑌 = 𝐴 (𝑆𝑒𝑛𝜃)

22. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E F Í S I C A ( A S M 2 0 2 0 )
Los componentes rectangulares del vector A pueden
expresarse en función de los vectores unitarios: Ƹ
𝑖 y Ƹ
𝑗 .
Por ejemplo:
𝒀
𝑿
Ԧ
𝐴
𝜃
Ԧ
𝐴𝑌
Ԧ
𝐴𝑋
Ԧ
𝐴𝑋 = 𝐴𝑋 Ƹ
𝑖 Ԧ
𝐴𝑌 = 𝐴𝑌 Ƹ
𝑗
Ejemplo:
Consideremos el siguiente vector, en el plano XY
𝒀
𝑿
2 9
1
11
Ԧ
𝐶
En el grafico, podemos
observar las coordenadas
del origen y del extremo
del vector.
(2; 11)
(9; 1)
De esta forma, el vector C se puede representar con sus
componentes rectangulares:
Ԧ
𝐶 =
Ԧ
𝐶 = Expresión cartesiana del vector C
Así mismo:
Ԧ
𝐶 =
Expresión en función de vectores
unitarios del vector C
Ԧ
𝐴 = 𝐴𝑋 Ƹ
𝑖 + 𝐴𝑌 Ƹ
𝑗
Expresión en función
de vectores unitarios
del vector A
9; 1 − (2; 11)
(7; −10)
7 Ƹ
𝑖 −10 Ƹ
𝑗
A los ejes de coordenadas cartesianas X e Y, se asocia
vectores unitarios característicos:
+𝒀
+𝑿
−𝑿
-𝒀
+ Ƹ
𝑖
− Ƹ
𝑖
− Ƹ
𝑗
+ Ƹ
𝑗
Ƹ
𝑖 = Ƹ
𝑗 = 1

23. w w w . a d u n i . e d u . p e