11. 2.3 - Polinomios x 3 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Primer paso – ( 6x 4 + 4x 3 – 8x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 – x + 2 + 2x 2 – 1 TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. resto – (– 3x 2 – 2x + 4) Se resta (–1) . d cociente Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado 3x 2 +2x–4 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Segundo paso 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 + 2x 2 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 – ( 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3 . d Se resta 2x 2 . d Cociente de los términos de mayor grado

12. 2.4 – Regla de Ruffini Ejemplo: Dividir P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: Hemos obtenido que: P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 = (2x 2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) 4 – 4 – 16 – 4 – 2 – 8 La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. r se suma Coeficientes de P a 2 – 6 – 4 12 2 2 se multiplica por a

13. 2.4 – Regla de Ruffini Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente Teorema del resto : El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). El resto de dividir P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 2 3 – 7 . 2 2 – 4 . 2 + 12 = – 4 TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.

16. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: descomponer P = x 3 – 2x + 4 1.– No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x 3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. 3.– Por la fórmula x 2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución (x + 2).(x 2 – 2x + 2) TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 1 0 –2 4 – 2 – 2 4 –4 1 –2 2 0

19. 2.7 – Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. x 3 – 3x 2 + x – 3 x 4 – 1 (x – 3) (x 2 + 1) (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) x – 3 x 2 – 1

20. 2.7 – Fracciones algebraicas Suma y diferencia : para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. + x – 2 x 2 – 1 x 2 – 3x x 2 – 2x + 1 = + x – 2 (x – 1)(x + 1) (x – 3)x (x – 1) 2 = + (x – 2)(x – 1) (x – 1) 2 (x + 1) (x – 3) x (x + 1) (x – 1) 2 (x + 1) = x 2 – 3x + 2 + x 3 – 2x 2 – 3x (x – 1) 2 (x + 1) = x 3 – x 2 – 6x +2 (x – 1) 2 (x + 1) =

21. 2.7 – Fracciones algebraicas Producto : para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. . x 4 – 1 2x + 1 x – 2 x 2 – 2x + 1 = (x – 2) (x 4 – 1) (x 2 – 2x + 1) (2x + 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) (x – 1) 2 (2x + 1) = (x – 2) (x + 1) (x 2 + 1) (x – 1) (2x + 1) = x 4 - x 3 -x 2 -x -2 2x 2 - x - 2 =

22. 2.7 – Fracciones algebraicas Inversa de una fracción algebraica : la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas : para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. (x 3 – 1) (2x – 1) (2x 2 + x) (x 4 + 1) = 2x 4 - x 3 - 2x + 1 2x 6 + x 5 + 2x 2 + x 2x – 1 x 4 + 1 x 3 – 1 2x 2 + x = . x 4 + 1 2x – 1 x 3 – 1 2x 2 + x = :