ÁLGEBRA DE OCTAVO Y NOVENO

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
GRADOS DE UN MONOMIO.
GRADOS DE UN POLINOMIO.
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
PRODUCTOS NOTABLES.
BINOMIO AL CUADRADO DE LA FORMA (푎±푏)2
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS CON POLINOMIOS.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
BINOMIO DE LA FORMA (푎+푏)(푎−푏)
BINOMIO DE LA FORMA (푎±푏)(푎±푐)

2. DIVISIÓN DE MONOMIOS.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON MONOMIOS.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
POTENCIACIÓN DE MONOMIOS.
POTENCIACIÓN DE BINOMIOS.
RADICACIÓN DE MONOMIOS.

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que intervienen constantes, variables, operaciones aritméticas y símbolos de agrupación.
Las variables representan cualquier número en un conjunto específico y suele representarse con las últimas letras del alfabeto.
Los elementos de una expresión algebraica son:
Coeficiente: es el número real que acompaña a cada variable, su signo siempre está a la derecha, si no aparece es positivo.
Parte literal: son las letras o variables que están en cada término con sus respectivos exponentes.
Grado: es el exponente o suma de los exponentes de la expresión algebraica.
Términos: son expresiones algebraicas separadas por un “-” o un “+”.
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según su cantidad de términos.
Monomios: son aquellos que constan de un solo término.

4. Ejemplo: −10푥2푦3푧5
Binomios: son aquellos que constan de dos términos.
Ejemplo: −10푥2푦3+푧5
Trinomios: son aquellos que constan de tres términos.
Ejemplo:−10푥2−푦3+푧5
Todos aquellas expresiones algebraicas que tengan “2” o más términos se les llaman polinomios.
GRADOS DE UN MONOMIO
Los grados de un monomio pueden ser:
Relativo: es el exponente de la incógnita a referirnos.
Ejemplo: hallar los grados relativos de: −10푥2푦3푧5
El grado relativo con respecto a “x” es “2”, con respecto a “y” es “3” y con respecto a “z” es “5”.
Absoluto: es la suma de los exponentes de la parte literal del monomio.
Ejemplo: hallar el grado absoluto de: −10푥2푦3푧5
Se suman los exponentes del monomio. 2+3+5=10
El grado absoluto del monomio es “10”.

5. GRADOS DE UN POLINOMIO
Los grados de un polinomio pueden ser:
Relativo: Se halla el relativo de cada término y se escoge el mayor por letra.
Ejemplo: hallar los grados relativos de: 5푥2푦4+2푥푦5−2푥
El grado relativo de “x” es “2” y de “y” es de “5”.
Absoluto: se halla el grado absoluto de cada término.
Ejemplo: hallar el grado absoluto de: 5푥2푦4+2푥푦5−2푥
Se halla el grado absoluto de cada término, el del primero término es “6”, el del segundo término es “6” y el del tercer término es “1”, por lo tanto el grado absoluto del polinomio es “6”.
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
El valor numérico de un polinomio consiste en sustituir el valor de las incógnitas o letras por el valor asignado.
Ejemplo: hallar el valor numérico de 3푥푦+2푥푦2 , teniendo en cuenta que:
푥=2 y 푦=−1 3푥푦+2푥푦2=3(2)(−1)+2(2)(−1)2=−6+4=−2

6. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Para sumar y restar monomios deben ser tener la misma parte literal con los mismos grados relativos, es decir, se suman o se restan los coeficientes y se expresa la misma parte literal.
Ejemplo # 1: teniendo en cuenta los siguientes monomios:
푎=3푥2푦 y 푏=9푥2푦
Realizar: 푎+푏=3푥2푦+9푥2푦=(3+9)푥2푦=12푥2푦 푎−푏=3푥2푦−9푥2푦=(3−9)푥2푦=−6푥2푦

7. Ejemplo # 2: teniendo en cuenta los siguientes monomios
푎= 34 푥푦푧 y 푏= 52 푥푦푧
Realizar: 푎+푏= 34 푥푦푧+ 52 푥푦푧=( 34+ 52)푥2푦 =( 6+208)푥2푦= 134 푥2푦

8. SUMA DE POLINOMIOS
Se organizan por términos semejantes y se suman.
Ejemplo: teniendo en cuenta los siguientes polinomios:
푎=3푥2푦+2푥−3 y 푏=−5푥+2푥2푦−5
Realizar:
푎+푏=(3푥2푦+2푥−3)+(−5푥+2푥2푦−5) =(3푥2푦+2푥2푦)+(2푥−5푥)+(−3−5) =5푥2푦−3푥−8
RESTA DE POLINOMIOS
Se organizan por términos semejantes y se restan.
Ejemplo: teniendo en cuenta los siguientes polinomios:
푎=3푥2푦+2푥−3 y 푏=−5푥+2푥2푦−5
Realizar: 푎−푏=(3푥2푦+2푥−3)−(−5푥+2푥2푦−5) =(3푥2푦−2푥2푦)+(2푥+5푥)+(−3+5) =푥2푦+7푥+2

9. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Para multiplicar expresiones algebraicas, se multiplican los coeficientes y en la parte literal se multiplican los que tengan bases iguales (se suman los exponentes). (푎푥푛)(푏푥푚)=(푎푏)푥푛+푚
Ejemplo # 1: (5푥2)(−3푥6)=(5)(−3)(푥2+6)=−15푥8
Ejemplo # 2: (2푥2푦3)(−4푥5푦푧)=(2)(−4)(푥2+5)(푦3+1)(푧)=−8푥7푦4푧
Ejemplo # 3: (− 35 푥3)( 23 푥2푦)(−2푥5푦푧)=−( 35)( 23)(2)(푥3+2+5)(푦1+1)(푧) =− 45 푥10푦2푧

10. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS CON POLINOMIOS
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
EJEMPLO: Multiplicar (3푥2푦푧4)(2푥+푦−푧)
Se aplica la ley distributiva. (3푥2푦푧4)(2푥)+(3푥2푦푧4)(푦)−(3푥2푦푧4)(푧)
Se multiplican los monomios resultantes. 6푥3푦푧4+3푥2푦2푧4−3푥2푦푧5

11. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva dos veces y luego se suman los términos semejantes.
EJEMPLO: Multiplicar(−2푥2+3푥+2)(3푥3−2푥+1)
Se aplica la propiedad distributiva. (−2푥2+3푥+2)(3푥3)−(−2푥2+3푥+2)(2푥)+(−2푥2+3푥+2)(1)
Se aplica otra vez la propiedad distributiva. (−2푥2)(3푥3)+(3푥)(3푥3)+(2)(3푥3) −(−2푥2)(2푥)+(3푥)(2푥)+(2)(2푥) +(−2푥2)(1)+(3푥)(1)+(2)(1)
Se multiplican los monomios resultantes.

12. −6푥5+9푥4+6푥3+ 4푥3+6푥2+4푥−2푥2+3푥+2
Se suman los términos semejantes. −6푥5+9푥4+(6+4)푥3+(6−2)푥2+(4+3)푥+2 −6푥5+9푥4+10푥3+4푥2+7푥+2

13. PRODUCTOS NOTABLES
Son reglas de la multiplicación de expresiones algebraicas que salen por simple inspección teniendo en cuenta algunas reglas.
FACTOR COMÚN: es el resultado de multiplicar un monomio por un binomio. c.(a+b)=푎.푐+푏.푐
Para demostrarlo se tiene en cuenta lo siguiente:
El área de esta figura es: 퐴1=base .altura 퐴1=c.(a+b)
Dividiendo el rectángulo de la siguiente manera y hallando el área por separado.
El área de A2 es: 퐴2=base .altura 퐴2=a.c
El área de A3 es: 퐴3=base .altura 퐴3=b.c
c
a + b
c
a
b
A2
A3
A1

14. En conclusión: 퐴1=퐴2+퐴3 c.(a+b)=푎.푐+푏.푐
Ejemplo: resolver 3a.(a+2b) 3a.(a+2b)=(3a).(푎)+(3푎).(2푏)=3푎2+6푎푏
BINOMIO AL CUADRADO DE LA FORMA (a±b)2
Es el resultado de multiplicar un binomio por sí mismo. (a+b)2=푎2+2푎푏+푏2 (a−b)2=푎2−2푎푏+푏2
Para demostrarlo se tiene en cuenta lo siguiente:
El área de esta figura es: 퐴1=base .altura 퐴1=(a+b).(a+b) 퐴1=(a+b)2
Dividiendo el rectángulo de la siguiente manera y hallando el área por separado.
a + b
A1
a + b

15. El área de esta figura es: 퐴2=a .a=푎2 퐴3=a .b
퐴4=a .b 퐴5=b .b=푏2
En conclusión: 퐴1=퐴2+퐴3+퐴4+퐴5 (푎+푏)2=푎2+푎 .푏+푎 .푏+푏2 (푎+푏)2=푎2+2.푎 .푏+푏2
Ejemplos: (푥+3푏)2=(푥)2+(푥) .(3푏)+(3푏)2 (푥+3푏)2=푥2+3푏푥+9푏2
(푥−3푏)2=(푥)2+(푥) .(−3푏)+(3푏)2 (푥−3푏)2=푥2−3푏푥+9푏2
a
A2
b
b
a
a
b
b
a
A3
A4
A5

16. BINOMIO DE LA FORMA (푎+푏)(푎−푏)
Es el resultado de multiplicar los dos binomios. (푎+푏)(푎−푏)=푎2−푏2
Para demostrarlo se tiene en cuenta lo siguiente:
퐴1=(푎+푏)(푎−푏)
Se divide el rectángulo de la siguiente forma y se halla el área.
Se suman las áreas y se obtiene el área total. 퐴2=푎2−푎푏+푎푏−푏2

17. 퐴2=푎2−푏2
En conclusión: 퐴1=퐴2 (푎+푏)(푎−푏)=푎2−푏2
Ejemplo: (3푥−2)(3푥+2) (3푥−2)(3푥+2)=(3푥)2−(2)2=9푥2−4
BINOMIO DE LA FORMA (푥±푎)(푥±푏)
Es el resultado de la multiplicación de los binomios. (푥+푎)(푥+푏)=푥2+(푎−푏)푥+푏2
Para demostrarlo se tiene en cuenta lo siguiente:
퐴1=(푥+푎)(푥+푏)
Se divide el rectángulo de la siguiente forma y se halla el área.

18. Se halla el área total. 퐴2=푥2+푎푥+푏푥+푎푏 퐴2=푥2+(푎+푏)푥+푎푏
En conclusión: 퐴1=퐴2 (푥+푎)(푥+푏)=푥2+(푎+푏)푥+푎푏
Ejemplo:(푥−2)(푥+5) (푥−2)(푥+5)=푥2+(−2+5)푥+(−2)(5) 푥2+(−2+5)푥−10 푥2+3푥−10

19. DIVISIÓN DE MONOMIOS
Para dividir monomios se debe tener en cuenta la siguiente propiedad de la potencia. 푎푚 푎푛=푎푚−푛
Ejemplo: 25푥2푦35푥3푦2 25푥2푦35푥3푦2=5푥2−3푦3−2=5푥−1푦= 5푦 푥

20. DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON MONOMIOS
Para dividir polinomios con monomios, se divide cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplo: 9푥2푦3+27푥푦4푧−30푥4푦 3푥푦 = 9푥2푦33푥푦 + 27푥푦4푧 3푥푦 − 30푥4푦 3푥푦 = =3푥2−1푦3−1+9푥1−1푦4−1푧−10푥4−1푦1−1 =3푥1푦2+9푥0푦3푧−10푥3푦0 =3푥푦2+9푦3푧−10푥3

21. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Se hace como una división aritmética, teniendo en cuenta los términos semejantes.
Ejemplo: 푥5−1 푥−1
Se organiza el numerador como un polinomio ordenado y completo.
Se busca un número que multiplicado por "푥" de "푥5".

22. Se multiplica por cada término del divisor y se coloca debajo del dividendo con signo contrario y respetando los términos semejantes.
Se suman y se restan los términos semejantes y se repite el proceso hasta llegar un término de un grado menor al divisor.

23. POTENCIACIÓN DE MONOMIOS
En la potenciación de monomios se deben tener en cuenta las siguientes propiedades. (푎푏)푐=푎푐.푏푐 ( 푎 푏 ) 푐 = 푎푐 푏푐 (푎푐)푑=푎푏−푐 푎−푐= 1 푎푐
Ejemplo: ( 3푥2푦−52푧 ) 4
( 3푥2푦−52푧 ) 4= (3)4(푥2)4(푦−5)4(2)4(푧)4= 81푥8푦−2016푧4= 81푥816푦20푧4

24. POTENCIACIÓN DE BINOMIOS
Para realizar la potenciación de binomios se utiliza el triángulo de pascal.
Los números son los coeficientes según la potencia.
Ejemplo: (푥−3)4
Se organizan los coeficientes según el triángulo de pascal y la potencia del binomio. 1 +4 +6 +4 +1
Al primer término del binomio, se le asigna el exponente y desciende de izquierda a derecha uno por uno acompañando cada coeficiente
1(푥) 4 +4(푥) 3 +6(푥) 2 +4 (푥) 1 +1(푥) 0
El segundo término asciende de izquierda a derecha empezando desde cero. 1(푥) 4(−3) 0+4(푥) 3(−3) 1+6(푥) 2 (−3) 2+4 (푥) 1(−3) 3+1(푥) 0(−3) 4
Y se resuelve:

25. 푥4−12푥3 +54푥2−108푥+81
RADICACIÓN DE MONOMIOS
Para radicar monomios se deben tener en cuenta las siguientes propiedades.
√푎푏푐=푎 푏 푐⁄ √푎.푏푐=√푎.푐√푏푐 √ 푎 푏 푐 =√푎푐 √푏푐
Ejemplo: √4푥6푦2푧481푎2푏10
√ 4푥6푦2푧481푎2푏10= √4푥6푦2푧4√81푎2푏10= √4√푥6√푦2√푧4√81√푎2√푏10= 2푥3푦푧29푎푏5

27. BIBLIOGRAFÍA  Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com  Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com  Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube,com
 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 8. Ed Norma. 2008
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 8. Ed Educar. 2012.
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 9. Ed Educar. 2012.
 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 9. Ed Norma. 2008
 Aurelio Baldor. Álgebra de Baldor. Publicaciones cultural Mexico.1997
SOFTWARE
 Aurelio Baldor. Álgebra de Baldor. Publicaciones cultural Mexico.1997  Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en: www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro  Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es

28. VIDEOS
 Iescampus. Expresión algebraica y valor numérico. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=i6kCR1eq2Dc
 Carlos bc. Monomios. Suma y Resta. Grado, Parte literal, Coeficiente de un monomio. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=LNh2X0DcZrc&spfreload=1
 Anneliesse Sánchez. Suma y resta de polinomios. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=pRASBO- bDsM
 Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de monomios. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=jaGobuIkw6U
 Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de monomio por polinomio. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=oETfhOKO1so
 Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de polinomios. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=xRC447bTueU
 Julio Alberto Ríos Gallego. Productos notables. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=BdRAhV0JDjM
 Julio Alberto Ríos Gallego. División entre monomios. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=2PWac_RQ6lc
 Julio Alberto Ríos Gallego. División de polinomio entre monomio. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=aqxgWHBe1aE

29.  Julio Alberto Ríos Gallego. División de polinomio entre monomio. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=8xPi9q549hs
 Hernán puentes. Triangulo de pascal- binomio de newton. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=kBk5T3L1wK4
 Academia Vásquez. Radicación con Expresiones Algebraicas. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Hh6Wevukv0I