2. Para sumar expresiones algebraicas con uno o mas términos, se deben reunir todos los
términos semejante en uno solo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma
Suma de monomio:
cuando el factor el igual, ejemplo: la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio 6 x,
ya que la literal es la misma y no tiene exponente.
En este caso sumaremos solo los términos numéricos.
Suma de polinomio:
un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y restas de los diferentes
términos que conforman un polinomio. Ejemplo :
P(X)= x2 + x4 – 4x3 + 6x2 + x – 7
Q (X)= x6 + 2x4 + x2 + 5
P(X) + Q(X)= 6x + x5 + 3x4 – 4x3 + 7x2 + x - 2
3. En la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser
expresiones .
Resta de monomio :
Restaremos solo los términos numéricos, ya que en ambos casos es lo mismo que
multiplicar por (x). Ejemplo 1 :
2x – 4x = (2 – 4)x = -2x
(4x) – (-2x) = 4x + 2x =6x
(4x) – (-2x)= 4x + 2x = 6x (-2x) – (4x) = -2x – 4x= -6x
(4x) – ( 3y)= 4x – 3y ( a) – (2a2) – (3b) = a - 2a2 - 3b (3m) – (-6n)= 3m – 6n
(2a) - (-6b2) - (- 3a2) – (4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(-3a2) – (9a2)] – [(-6b2) –
(-4b2)] = [-5a] – [ -12a2] – [-2b2]= -5a + 12a2 + 2b2
Resta de polinomio :
Esta formado por sumas y restas de los términos con diferentes literales
Ejemplo 1 :
P(x)= 3x3 + 7x2 - 3x - 2
Q(x)= 5x3 + 5x2 + 5x +5
P(x) – q(x)= p(x) + [-q(x)]= -3x3 + 7x2 – 3x – 2 – [ 5x3 + 5x2 + 5x + 5]
4. Es el numero que se obtiene al sustituir en esta por un valor numérico dado y realizar las
operaciones indicas. Ejemplo 1:
L(r) = 2
R = 5cm . L(5)=2 . 5 = 10 – 3cm
S(I)= 12
I= 5cm A(5)= 52 = 25 cm2
Y(a) = a3
A= 5cm V(5)= 53 = 125 cm3
Valor numérico de un polinomio :
Es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x por un numero cualquiera. Ejemplo:
P(x)= 2x3 + 5x – 3 ; x = 1
P(1)= 2 . 13 + 5 . 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4
Q(x)= x4 – 2x3 + x2 + x - 1 ; x = 1
Q(1)= 14 – 2 . 13 + 12 + 1 – 1 = 1 – 2 + 1 + 1 – 1 = 0
R(x)= x10 – 1024 : x = -2
R(-2) = (-2)10 – 1024= 1024 – 1024 = 0
5. Consiste en tener un resultado llamado producto o partir de dos factores algebraicos llamado
multiplicando y multiplicador.
Entre monomios:
1- primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio .
2- luego multiplicaremos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los
exponentes.
3- aplicamos la ley distributiva.
4- por ultimo aplicamos finalmente las leyes de los signos.
Ejemplo 1:
Multiplicar 3x2 y 4x4
Solución: (3x2)(4x4)= (3x4)(x2 x4) =(12)(x2+5)= 12x7
Ejemplo 2:
Multiplicar -2y3 y 3y4
Solución: (-2y3)(3y4)=(-2.3)(y3 y4 )=(-6)(y3 + 4)=-6y7.
Entre polinomio:
Solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley de signos y las leyes de
potenciación, la forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomios
es de la forma:
(a+b) (c+d) = ac +bc + ad + bd
6. Ejemplo 1:
Multiplicar : (?-3) (?+4)
Solución : (x-3)(4x)= x . x + x . 4 + (-3) x (-3) . 4 = x2 + x4 + (-3x) + (-12)= x2 + 4x - 3x
- 12= x2 +x = 12
División
La división algebraica consta de las mismas partes de la división aritmética, así que si
hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo , y q(y) siendo el divisor, de modo que el
grado de p(x) sea mayor o igual a 0 siempre encontraremos a 2 expresiones algebraicas
dividendos .
División de monomios :
Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes
Ejemplo 1 : - 5xm +2y4z / -4xm – 4y3z = 5/4 x6y
División de polinomios :
para dividir
7. División de polinomios :
para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los pasos :
1- Se ordenan los 2 polinomios en orden alfabético descendente
2- Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor
3- Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y el producto obtenido
se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo
4- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente
que el diviendo
Ejemplo :
-15x2 + 22xy- 8y2/ -3x + 2y= 5x – 4y.
8. Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se
puede escribir mediante simple inspección , sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas
reglas .
Cada producto notable corresponde a una formula de factorización. ejemplo 1:
Multiplicar : 3xy y x+y
Solución : 3xy (x + y)= 3xy . Y = 3x2y + 3xy2
Binomio al cuadrado :
Ejemplo 2 :
Expresando (a + b)2 como un producto
(a + b)2= (a + b) (a + b)
Por la ley distributiva
m(n + p)= mn + mp:
(a + b )2 =a(a + b) + b(a + b)
De nuevo ley distributiva
A . A + a . B + b . A + b . B
Por la ley conmutativa xy=yx
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
Reduciendo términos semejantes , finalmente obtenemos: (a + b)2= a2 + 2ab + b2
9. Es el proceso de encontrar dos o mas expresiones cuyo producto sea igual a una expresión
dada; es decir consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de 2 o mas factores
.
Encontrar el polinomio raíz de otros o mas complejos .
Ejemplo 1:
6xy^3 – 9nx^2y^3 + 12nx^3y^3 – 3n^2x^4x^3
Todos los términos son visibles entre 3
En todos los términos hay X y Y , N no esta en todos los términos . El menor exponente
de x es 1 , y el menor exponente de y es 3 .
El factor común es 3xy^3
6xy^3 – 9nx^2y^3 + 12nx^3y^3 + 3n^2x^4y^3 / 3xy^3 = 2 – 3nx + 4nx^2 – n^2x^3
El resultado se expresa: 3xy^3(2 – 3nx + 4nx^2 – n^2x^3).
Factor común monomio :
1- descomponer en factores a 2 + 2a
A 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común como coeficiente de
un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y
2a ÷ a = 2 y tendremos
a 2 + 2a = a (a + 2 )
10. Factor común polinomio :
1- Descomponer x (a + b ) + m (a + b)
Estos dos términos tiene como factor común el binomio ( a + b ), por lo que
ponemos (a + b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los
cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común
(a + b), o sea:
X(a + b )= x y m (a + b )= m (a + b ) (a + b) y tendremos
X (a + b ) + m (a + b ) = ( a + b ) ( x + m).
11. Suma de polinomio
EJERCICIO 1 : Realiza la suma (3x+4y)+(2x−2y)(3x+4y)+(2x−2y)
(3x+4y)+(2x−2y)(3x+4y)+(2x−2y)
=3x+4y+2x−2y=3x+4y+2x−2y
=3x+2x+4y−2y=3x+2x+4y−2y
=5x+2y=5x+2y
EJERCICIO 2 : Realiza la suma de los polinomios:
(2x3+5x2−4x+5)+(4x3+2x2+3x−6)(2x3+5x2−4x+5)+(4x3+2x2+3x−6)
(2x3+5x2−4x+5)+(4x3+2x2+3x−6)
=2x3+5x2−4x+5+4x3+2x2+3x−6=2x3+5x2−4x+5+4x3+2x2+3x−6
=2x3+4x3+5x2+2x2−4x+3x+5−6=2x3+4x3+5x2+2x2−4x+3x+5−6
=6x3+7x2−x−1=6x3+7x2−x−1
12. Resta de polinomio :
EJERCICIO 1 : Realiza la sustracción de polinomios: (6x+8y)−(3x−2y)(6x+8y)−(3x−2y).
(6x+8y)−(3x−2y)
=6x+8y−3x+2y=6x+8y−3x+2y
=6x−3x+8y+2y=6x−3x+8y+2y
=3x+10y=3x+10y
EJERCICIO 2: Realiza la resta de polinomios:
(4x3+2x2−4x+6)(4x3+2x2−4x+6) −(2x3+4x2+6x−7)−(2x3+4x2+6x−7)
(4x3+2x2−4x+6) −(2x3+4x2+6x−7)−(2x3+4x2+6x−7)
=4x3+2x2−4x+6=4x3+2x2−4x+6 −2x3−4x2−6x+7−2x3−4x2−6x+7
=4x3−2x3+2x2−4x2=4x3−2x3+2x2−4x2 −4x−6x+6+7−4x−6x+6+7
=2x3−2x2−10x+13=2x3−2x2−10x+13
Multiplicación de un polinomio
EJERCICIO 1:
Multiplica al polinomio 2x+3y−52x+3y−5 por 2x22x2.
⇒ 2x2(2x+3y−5)2x2(2x+3y−5)
=(2x2)(2x)+(2x2)(3y)+(2x2)(−5)=(2x2)(2x)+(2x2)(3y)+(2x2)(−5)
=4x3+6x2y−10x2=4x3+6x2y−10x2
13. EJERCICIO 2: Multiplica al polinomio 2x+4y−5z2x+4y−5z por −4x−4x.
⇒ −4x(2x+4y−5z)−4x(2x+4y−5z)
=−(4x)(2x)−(4x)(4y)−(4x)(−5z)=−(4x)(2x)−(4x)(4y)−(4x)(−5z)
=−8x2−16xy+20xz=−8x2−16xy+20xz
División de polinomios
EJERCICIO 1: ¿Cuál es el resultado de la división x2−3x+6x+2 x+2x2−3x+6?
EJERCICIO 2: Resuelve la división de polinomios:
x2+8x+15x+5x+5x2+8x+15.
14. Producto notable
binomio al cuadrado:
(x + 3)2
(x + 3 )2 = x2 + 2(X)(3) + 3,2 =x2 + 6x + 9
Binomio al cubo:
(x + 3)3=
(x +3)3= x3 + 3x2 (3) + 3x (3)2 +3,3 =
x3 + 9x2 + 27x + 27
valor numérico
Calcula el valor el valor numérico de esta expresión
3x2 /
X=-1 / x=2
3(-1)2= /
3(+1)= +3 /
/ -18
