2. como parte literal , las letras que aparecen en el dividendo,

3. cada una con exponente igual a la diferencia del exponente

4. del dividendo y del divisor. no es un un polinomio El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término del polinomio por el monomio.

6. el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que

7. d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x). D(x) d(x) C(x) R(x)

8. 2.2 Ejemplo de división entera MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández x 3 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Primer paso – ( 6x 4 + 4x 3 – 8x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 – x + 2 + 2x 2 – 1 La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división entera de números naturales. resto – (– 3x 2 – 2x + 4) Se resta (–1) . d cociente Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado 3x 2 +2x–4 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Segundo paso 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 + 2x 2 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 – ( 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3 . d Se resta 2x 2 . d Cociente de los términos de mayor grado

9. 3. División por x-a. Regla de Ruffini MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Para dividir un polinomio P = 2x 3 – 6x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede usar el siguiente esquema llamado Regla de Ruffini 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: 4 – 2 – 4 – 8 – 16 – 4 Hemos obtenido que: P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 = (2x 2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) r se suma se multiplica por a Coeficientes de P a 2 – 6 – 4 12 2 2

10. 4.1 Teorema del resto MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Es decir: P(x) = (x – a) C(x) + R Luego P(a) = (a – a) C(a) + R = R El resto de dividir un polinomio P(x) por (x – a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a) El resto de dividir P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 2 3 – 7 . 2 2 – 4 . 2 + 12 = – 4 P(x) x – a C(x) R

11. 4.2 Teorema del factor MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Entonces: P(x) = (x – a) C(x) + 0 = (x – a) C(x) que indica que x – a es un factor o divisor del polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0 Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero. a es raíz de P(x)  P(a) = 0 Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. P(x) x – a C(x) 0

12. 5. Raíces de un polinomio. Número de raíces MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero. a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ Resto de (P(x):(x-a)) = 0 Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.

13. 6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente. Sea por ejemplo P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar 3 +br 2 +cr+d = 0 Entonces: r(ar 2 +br+c) = – d De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar 2 +br+c es un número entero. Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas entre los divisores del término independiente.

15. no constantes,tales que su producto sea el polinomio dado.

16. Si el polinomio P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a o tiene n raíces

17. reales r 1 , r 2 , ... , r n se demuestra que la descomposición factorial es:

21. 7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández