Inercia

CONTENIDOS
Momentos de 1er
Orden .Momento estático de una superficie plana. Centroide. Figuras con
un eje de simetría. Centroides de figuras con ejes de simetría.
Momento estático de una figura compuesta. Centroide de una figura compuesta. Perfiles
normalizados. Caso de figuras con huecos. Teoremas de Pappus y Guldin.
Momentos de 2° Orden. Consideraciones previas. Producto de Inercia ó Momento centrífugo.
Signo. Unidades. Momento centrífugo de figuras con un eje de simetría. Momento de inercia
axial. Momento de inercia polar.
Relación entre el momento de inercia polar y los momentos de inercia axiales. Unidades para
los momentos de 2°orden. Ejemplos de aplicación.
Radio de giro respecto a un eje (axial). Radio de giro polar.
Propiedad aditiva de los momentos de segundo orden.
Relaciones entre momentos de 2° orden para ejes de referencia paralelos. Caso en que uno
de los ejes contiene al centroide. Teorema de Steiner. Teorema de Steiner para el momento
centrífugo. Teorema de Steiner para el momento de inercia polar.
Momento de inercia polar para dos figuras. Figuras simples y compuestas. Perfiles
normalizados. Cálculo de los momentos de segundo orden de una figura compuesta.
Ejemplos.
Momentos principales y ejes principales de inercia. Caso de figuras con simetrías. Variación
del momento de inercia axial al girar los ejes. Momentos principales de inercia y posición de
los ejes principales. Figuras regulares. Máximo y mínimo. Expresión de los momentos
principales de inercia. Guía para resolver los problemas.
Método Gráfico: circunferencia de Mohr. Procedimiento a seguir para el trazado de la
circunferencia. Determinación de los ejes principales de inercia.

ESTABILIDAD MOMENTOS DE 1° Y 2° ORDEN
INERCIA.doc - 13/04/2009 7:45:00 Pág. 2 de 23
Momento estático de una superficie plana
El momento estático dSx de un área elemental dA, respecto a
un eje cualquiera de su plano, por ejemplo el x, se define como el
producto del área por la coordenada correspondiente (fig.1):
ydAdSx ⋅=
El momento estático de una superficie de área A respecto a un
eje cualquiera contenido en su plano, será la “suma” de los
momentos estáticos respecto a ese mismo eje, de todos los
elementos de área dA contenidos en A (fig.2), lo que se expresa
con la siguiente integral:
∫ ∫ ⋅== A Axx dAydSS
resulta entonces lo siguiente:
"El momento estático de una superficie plana respecto a un eje
de su plano, es igual a la integral de los momentos estáticos de
sus partes elementales”
Su expresión es:
∫ ⋅= Ax dAyS [1] análogamente: ∫ ⋅= Ay
dAxS [2]
La primera permite calcular el momento estático respecto al eje
x, y la segunda respecto al eje y.
Al momento estático se lo denomina también momento de primer orden.
Por ser el momento estático el producto de un área por una
longitud, su unidad resulta una longitud elevada al cubo: [mm3
],
[cm3
], [m3
], etc.
De acuerdo a [1] ó [2], el momento estático puede resultar
positivo, negativo e inclusive nulo.
Centroide
El centroide (ó baricentro) G (de coordenadas xg e yg) de
una superficie plana de área A, es un punto tal que el producto
del área A por la distancia (coordenada) desde un eje
cualquiera hasta ese punto, resulta igual al momento estático
de la superficie respecto a dicho eje, lo que se expresa del
siguiente modo: (fig.3):
yAG
SdAxxA =∫ ⋅=⋅ [3´] xAG SdAyyA =∫ ⋅=⋅ [4´]
por lo tanto las coordenadas del centroide son:
A
S
x
y
G
= [3]
A
S
y x
G
= [4]
x
dA
fig. 1
y
fig. 2
dA
y
x
A
x
fig. 3
A
dA
G
y
x
xG
yG
x

Figuras con un eje de simetría
Si una superficie plana (fig.4) posee un eje de simetría, el momento
estático de la superficie respecto a ese eje resulta nulo. Esto se debe
a que los momentos estáticos de los elementos dA que se encuentran
a ambos lados del eje de simetría, son numéricamente iguales pero
de signos contrarios, por ser iguales y de signos contrarios sus
coordenadas x, por lo que al realizar la integral los momentos
estáticos elementales se anularán de a pares.
Consecuentemente, para la fig.4, siendo Sy = 0 y de acuerdo a la
expresión [3], resulta xg=0, lo que implica que el centroide G
pertenece al eje de simetría “y”. Se puede plantear una situación
equivalente para el caso en que el eje de simetría fuese el eje x.
Extendiendo el concepto se puede afirmar que si una figura es
simétrica respecto a dos ejes, el centroide es el punto de
intersección de ambos ejes (fig.5).
Si comparamos áreas con fuerzas distribuidas paralelas (todas
ellas perpendiculares a A) y representamos a cada área
elemental por un vector dA, su resultante A se encontrará
aplicada en el centroide G. En consecuencia las expresiones [3´]
y [4 '] equivalen a la aplicación del teorema de Varignón.
Centroides de figuras con ejes de simetría
En la fig. 6, tres de las figuras poseen dos ejes de simetría, mientras que G queda
identificado por las intersecciones de los ejes de simetría. Para el triángulo es necesario
calcular yG, que más adelante se demostrará que vale h/3.
Cuadrado Rectángulo
Triángulo
Círculo
fig 6 (Requiere calcular yg)
G
G
Gh/3
G
Momento estático para una figura compuesta
Si a la figura dada se la puede dividir en varias figuras
más sencillas para las cuales se conoce la posición de
sus centroides, el momento estático de la figura
compuesta se puede obtener como la suma de los
momentos estáticos de las figuras elementales
componentes.
El ejemplo siguiente (fig.7) corresponde a una forma a
la que se puede dividir en dos rectángulos de los cuales
se conoce la posición de cada centroide.
Por definición se sabe que
∫ ⋅= Ax dAyS
fig. 4
y
dA
x-x
dA
G
fig. 5
fig. 7
A1
A2
x
x1
y1
x2
y2
G1
G2

entonces: ∫ ⋅+∫ ⋅= 21 AAx dAydAyS
ya que la integral a toda el área A se puede plantear como la suma de las integrales
extendidas a la áreas A1 y A2.
Como las dos integrales representan los momentos estáticos de las áreas A1 y A2 respecto
al eje x, resulta entonces:
)2()1(
xxx
SSS +=
Se utiliza la notación "(1)" y "(2)" para identificar a que área corresponde y que no se
interprete como una “potencia”.
Como los momentos estáticos de las partes componentes se pueden expresar como el
producto de sus áreas por las coordenadas centroidales de acuerdo a las expresiones [3´] y
[4´], se obtiene para cada eje lo siguiente:
2211
yAyASx
⋅+⋅= 2211 xAxASy ⋅+⋅=
En general para 'n' figuras simples la expresión será:
∑ ⋅=
=
=
ni
i
iix
yAS
1
[5] ∑ ⋅=
=
=
ni
i
iiy
xAS
1
[6]
Centroide de una figura compuesta
Se ha demostrado que si se conoce la posición del centroide de una figura, se puede
calcular sumomento estático respecto a un eje,
multiplicando su área por la correspondiente
coordenada de su centroide, expresiones [3´] y [4´].
También se comprobó que si a una figura se la
descompone en figuras simples, de las que se
conocen las áreas y posiciones de sus centroides
“Gi”. con las expresiones [5] y [6] se puede calcular
el momento estático de la figura compuesta, como
la suma de los momentos estáticos de las figuras
componentes.
Además se tendrá en cuenta que:
∑=
=
=
ni
i
i
AA
1
Las coordenadas del centroide G de la figura compuesta surge de
plantear:
yG
SxA =. xG SyA =⋅
de las que se pueden despejar las coordenadas del centroide G:
∑
∑ ⋅
== =
=
=
=
ni
i
i
ni
i
ii
y
G
A
xA
A
S
x
1
1
[7]
∑
∑
=
=
=
=
⋅
== ni
i
i
ni
i
ii
x
G
A
yA
A
S
y
1
1
[8]
fig. 8
x
x1
y1
x2 y2
G1
G2xG yG
G
A1
A2
fig. 9
G1
G2
G

Perfiles normalizados:
Si se quiere calcular la posición del centroide de una figura compuesta, cuyas partes
componentes son secciones de perfiles metálicos normalizados (fig.9), para los que están
tabuladas sus características geométricas necesarias para el cálculo, se puede entonces
proceder del mismo modo que en el caso de las figuras simples sencillas vistas
anteriormente.
Caso de figuras con huecos
Se puede considerar al hueco como una figura con área
negativa y luego aplicar las expresiones [7] y [8].
(*) Observar que el centroide G se encuentra fuera del segmento
G1G2 y del lado del que posee mayor área, en este caso a la
izquierda.
Teoremas de Pappus y Guldin
Primer Teorema:
El área A generada por una línea plana BC de longitud L al rotar un ángulo “α” en relación
con un eje de su mismo plano, es igual al producto de “L” por el largo del arco GG´ recorrido
por el centroide G de dicha línea durante el giro.El centroide G está ubicado en el plano que
contiene a los puntos a, b, B, C (fig.11).
En la figura se observa que el área elemental descrita por
un pequeño elemento dL de la línea, al rotar un ángulo α
está dado por:
dLxdA ⋅⋅= α por lo que el área A resulta:
∫ ⋅∫ ⋅=⋅⋅=
lL
dLxdLxA αα pero por similitud con
lo tratado para momento estático de áreas (en este caso se
trata de momento estático de línea) resulta:
GL xLdLx ⋅=⋅∫
por lo que la anterior queda así:
LxA G
⋅⋅= α [9]
La expresión [9] permite calcular el área de la superficie
que se obtiene al rotar una línea plana (generatriz) alrededor
de un eje. También permite calcular la posición del centroide
de una línea plana si se conoce el área de la superficie que
genera.
Segundo Teorema:
El volumen V generado por una superficie plana BCDE de
área A al rotar un ángulo α en relación con un eje contenido
en su plano, es igual al producto del área A por el largo del
arco recorrido por el centroide G del área, al rotar dicho ángulo α.
En la fig.12 se puede observar que el volumen elemental generado por un pequeño
elemento dA de la superficie BCDE al rotar un ángulo α está dado por:
dAxdV ⋅⋅= α por lo el volumen V resulta:
x
G
fig. 10
G2G1
a
b
dL
G
dA
B
A
B'
eje
L
α
α
G´
x
xG
fig. 11
C'
C
a
b
E'
E
A
G
dA
B
B'
eje
x
G'
xG
fig. 12
C
C'
D
D'
α
α

∫ ⋅⋅∫ =⋅⋅=
AA
dAxdAxV αα pero: ∫ ⋅=⋅A GxAdAx
por lo que la anterior queda así: AxV G
⋅⋅= α [10]
El centroide G está ubicado en el plano B, C, D, E, fig.12.
Ejemplo:
Posición del centroide de un semicírculo de radio R (fig.13).
Se supone que se conoce la expresión del volumen de la esfera:
3
3
4
RV ⋅⋅= π
que se puede generar haciendo rotar un ángulo α=2π, a un semicírculo de radio R, alrededor
de un eje que coincidente con el diámetro.
Como: AxV G
⋅⋅=α resulta:
2/2
1
3
4
2
3
R
R
A
V
xG
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅
=
⋅
=
ππ
π
α
de donde:
π
R
xG
3
4
=
Momentos de 2° Orden
Consideraciones previas: para resolver problemas relacionados con
flexión torsión, pandeo, surge la necesidad de operar con ciertas
características geométricas de las secciones transversales de las
barras.
Debido al carácter específico, dichas características, ellas no se
estudian en los cursos de geometría, sino en los de Resistencia de
Materiales.
Producto de Inercia ó Momento centrífugo:
Sea la superficie genérica de área A representada en la fig. 14, referida a un sistema de
ejes coordenados arbitrario x,y.
Se define como producto de inercia del A con respecto a los ejes “x,y” a:
∫ ⋅⋅= Axy
dAyxI [11]
Signo: En la [11] dA>0, pero el producto de “x” por “y” puede ser mayor, igual o menor que
“cero”, lo que implica que la integral puede también resultar de valor
positivo, negativo o nulo.
Unidades: Por ser el momento centrífugo, el producto de un área por
dos longitudes, su unidad resulta una longitud elevada a la cuarta
potencia: [mm4
], [cm4
], [m4
], etc.
Momento centrífugo de figuras con un eje de simetría
Sea la figura que posee simetría respecto a un eje (en este caso
“y”) representada en la fig. 15, referida al sistema de ejes
coordenados “x,y” siendo “x“ de posición arbitraria.
Como muestra la figura, los momento centrífugos de dos
XG
R
fig. 13
G
fig. 14
dA
y
x
A
x
y
fig. 15
y
dA
x-x
dA
y
x
y

diferenciales de área dA simétricamente dispuestos con respecto al eje
“y”, serán del mismo valor absoluto pero con signos contrarios por
poseer coordenadas iguales y de signo opuesto. Al efectuar la
integración de la expresión [11], esta resultará nula ya que todos los
diferenciales de área de un lado del eje “y” poseen su simétrico del otro
lado.
Conclusión: Cuando por lo menos uno de los ejes de referencia (x ó y)
es de simetría, entonces el “momento centrífugo” o “producto de inercia”
es nulo.
Se advierte sin embargo que la recíproca no es siempre cierta: “si el
momento centrífugo es nulo, no necesariamente existirá un eje de
simetría.
En el ejemplo de la fig. 16 es posible ubicar un par de ejes coordenados (x,y) para los
cuales Ixy=0, sin embargo dicha forma geométrica no presenta simetría axial con respecto a
ninguno de dichos ejes.
Momento de inercia axial
Sea la superficie de área A representada en la fig. 17, referida a un sistema de ejes
coordenados “x,y”.
Se define como momento de inercia axial de A con respecto al eje “x” a:
∫ ⋅=
A
x
dAyI 2
[12]
De igual modo el momento de inercia con respecto al eje “y”
está dado por:
∫ ⋅=
A
y
dAxI 2
[13]
Signo: en las expresiones [12] y [13], tanto dA como también y2
ó x2
son mayores que “cero” independientemente del signo de
la coordenada, lo que implica que el momento de inercia axial
es siempre positivo.
Momento de inercia polar
Sea la superficie de área A representada en lamisma figura
17, referida a un sistema de referencia de polo “o”.
Se define como momento de inercia polar de A con respecto al polo “o” a:
∫ ⋅=
A
o
dAI 2
ρ [14]
Signo: en la expresión [14] tanto dA como también ρ2
son mayores que “cero”, lo que implica
que el momento de inercia polar es siempre positivo.
Relación entre momento de inercia polar y los momentos de inercia axiales:
Se tendrá en cuenta nuevamente la fig.17 en la que el polo “O” coincide con el origen de
ejes coordenados x,y. El elemento dA tiene como coordenadas a “ρ” en el sistema polar y a
“x,y” en el sistema cartesiano, para los cuales se cumple lo siguiente:
222
xy +=ρ
fig. 16
y
x
fig. 17
dA
y
x
x
y
ρ
o

Por definición el momento de inercia polar dada por la [14] es:
∫ ⋅=
A
o dAI 2
ρ en la que al reemplazar la relación anterior se obtiene:
∫ ⋅+∫ ⋅=⋅∫ +⋅=∫ ⋅+=
AAAA
o dAxdAydAxdAydAxyI 222222
)()(
quedando finalmente:
yxo
III += [15]
Conclusión: El momento de inercia polar es igual a la suma de los momentos de inercia
axiales respecto a los ejes x e y quecontienen al polo.
Esta propiedad es útil si es difícil evaluar los momentos axiales pero es sencillo calcular el
polar. Por ejemplo, para el circulo es fácil evaluar el polar y en base a este calcular los
axiales. Para el rectángulo es más fácil calcular los axiales y con ellos evaluar el polar.
Unidades para los momentos de 2°orden: Como muestran las expresiones de Ixy, Ix. Iy e I0, se
presenta siempre el producto de una superficie [cm2
] por el producto de dos longitudes o por
el cuadrado de una de ellas [cm2
].
Por lo tanto los momentos de 2do
orden siempre se expresaran en unidades de longitud
elevadas a la cuarta potencia, ej.: [mm4
], [cm4
], [m4
], etc.
Ejemplos de aplicación: a continuación se exponen como ejemplos, algunos cálculos de
momentos de segundo orden.
Ejemplo n° 1:
A partir de la definición [12], obtener la expresión del momento de inercia Ix para
cualquiera de las superficies representadas en la fig.18 (paralelogramo y rectángulo),
sabiendo que el eje x contiene al centroide G.
Resolución: se considera un elemento de superficie que cumpla con la condición de que
cualquier punto del elemento dA posea la misma coordenada “y”.
Aplicando la definición resulta:
∫ ⋅=
A
x
dAyI 2
siendo: dybdA ⋅= entonces:
2/
2/
3
2/
2/
2
2/
2/
2
3
h
h
h
h
h
h
x y
b
dyybdybyI −
−−
⋅=∫ ⋅⋅=∫ ⋅⋅=
















= −−⋅
8
3
8
3
3
hhb
x
I
resultando finalmente:
12
. 3
hb
Ix = [16]
La expresión [16] es válida tanto para el paralelogramo, como también para el rectángulo,
ambos que posean la misma base b y la misma altura h. Esta expresión será frecuentemente
utilizada en las aplicaciones prácticas.
Ejemplo n° 2:
Obtener las expresiones de Ix e Iy para un círculo de diámetro d, con respecto a los ejes x
e y, que contienen al centro O del círculo (fig.19).
h
fig. 18
dA dA
dy
y
x
G G
b b
x

Resolución: En este caso, si se encara su resolución en base a la [12] resulta lo siguiente:
∫ ⋅⋅⋅=∫ ⋅=
−
2/
2/
22
2
d
dA
x dyxydAyI
en la que la relación:
22
yrx −=
debe sustituirse en el integrando.
La solución por este camino es más complicada desde el
punto de vista matemático, porque el ancho “2x” del área
dA varía en función de “y” de un modo no sencillo.
En casos como este es aconsejable utilizar otro camino
que se basa en aprovechar la propiedad [15] vista
anteriormente, teniendo en cuenta además que yx II =
Resulta entonces: yxyxo IIIII ⋅=⋅=+= 22
de donde se obtiene:
2
o
yx
I
II == [17]
El cálculo de Io es sencillo, como se muestra a
continuación. En este caso el elemento dA es un anillo de
radio ρ=cte (fig.20), cuya área es dA=2.π.ρ.dρ.
Aplicando la definición de la expresión [14] resulta:
∫ ⋅∫ =⋅⋅⋅=∫ ⋅=
2/
0
3
2/
0
22
22
dd
A
o dddAI ρρπρρπρρ
4
2/
0
4
224
2





⋅=⋅=
d
I
d
o
π
ρ
π resultando finalmente:
32
4
d
Io
⋅
=
π
[18] y reemplazando en [17] se obtiene:
64
4
d
Ix
⋅
=
π
[19]
Radio de giro respecto a un eje (axial)
Sea la superficie de área A y un eje x de referencia (fig.21). Se define radio de giro de A
con respecto al eje x, a una longitud “ix” tal que si efectuamos el producto de A por el
cuadrado de esa longitud, se obtiene como resultado el momento de inercia Ix de A (con
respecto al eje x).
Deberá cumplirse entonces que:
2
xx iAI ⋅=
en la que ix es el radio de giro de A con respecto al eje x.
Despejando ix resulta:
A
I
i x
x
= [20]
dA
x
r
x
o
fig. 19
y
dy
2 x
d
dA
o
fig. 20
d
ρ
dρ
G
yG
x
fig. 21
ix

Radio de giro polar:
Con igual criterio se obtiene:
A
I
i o
o
= [21]
A continuación se exponen algunas aplicaciones.
Ejemplo n° 3
Obtener la expresión del radio de giro de un círculo con
respecto al eje x que pasa por su centroide (fig.22).
Resolución: en el ejemplo n° 2 se obtuvo:
64
4
d
Ix
⋅
=
π además es:
4
2
d
A
⋅
=
π
entonces:
2
4
4
64 d
d
A
I
i x
x
⋅
⋅
⋅
==
π
π
simplificando resulta:
416
2
dd
ix
==
24
rd
ix
== [22] (ver fig.22)
Propiedad aditiva de los momentos de segundo orden.
Si a una figura “compuesta” de área A se la divide en figuras
"simples" para las cuales es fácil evaluar los momentos de
segundo orden, entonces el momento de segundo orden de la
figura compuesta de área A, será igual a la suma de los
momentos de segundo orden “parciales” de las figuras "simples"
respecto al mismo sistema de referencia.
Esta propiedad se fundamenta en el hecho de que “la integral"
extendida a toda la superficie de área A, es igual a la “suma de
las integrales” extendidas a cada una de las áreas de las figuras
simples: A1, A2 … An del siguiente modo:
∫++∫=∫ nAAA
...1
Para el ejemplo de tres figuras simples de la fig. 23 la expresión simbólica para los
momentos de segundo orden respecto a los ejes “x” e “y” son:
( ) ( ) ( )321
xxxx IIII ++=
( ) ( ) ( )321
yyyy IIII ++=
( ) ( ) ( )321
xyxyxyxy IIII ++=
( ) ( ) ( )321
oooo IIII ++=
Lo visto para tres figuras simples es también válido para “n” figuras, siendo la siguiente, la
expresión genérica para cualquier tipo de momento de 2° orden:
( )
∑=
=
=
ni
i
i
II
1
[23]
x
fig. 22
G
ix
d
fig. 23
x
o
A2
A1
A3

Relaciones entre momentos de 2° orden entre ejes paralelos.
Caso en que uno de los ejes contiene al centroide: Teorema de Steiner.
Sea la superficie de área A de la fig.24 (que podría ser parte
de una figura compuesta) y dos ejes de referencia: uno
posicionado arbitrariamente e identificado con “x” y uno
centroidal “xG” paralelo a “x”, separados por la coordenada y=b
El momento de inercia Ix de la superficie de área A con
respecto al eje x es por definición:
∫ ⋅=
A
x
dAyI 2
pero en la fig.24 se observa que: Gyby +=
que al reemplazarlo en la anterior resulta:
( ) ∫ ⋅+∫ ⋅⋅⋅+∫ ⋅=∫ ⋅+=∫ ⋅=
A
G
A
G
AA
G
A
x dAydAybdAbdAybdAyI
2222
2
G
A
G
A
G
A
x IxbAbdAydAybdAbI +⋅⋅+⋅=∫ ⋅+∫ ⋅⋅⋅+∫⋅= 022 222
porque: 0=∫ ⋅
A
G dAy ya que el momento estático de A respecto a xG es nulo
quedando finalmente:
2
bAIxI Gx
⋅+= [24]
La [24] expresa lo siguiente: “El momento de inercia de una
superficie de área A, con respecto a un eje arbitrario x, es igual
a la suma del momento de inercia “propio” (respecto al eje que
pasa por su centroide), más el producto del área A por el
cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes de
referencia”.
Del mismo modo que se procedió en relación con el eje x, se
puede proceder en relación con el eje “y” (fig.25), obteniendo:
2
aAIyI Gy ⋅+= [25]
Teorema de Steiner para el momento centrífugo
Aplicando la definición [11] se tiene:
∫ ⋅⋅= Axy
dAyxI
pero: GG ybyxax +=+=
reemplazando en la integral resulta:
∫ ⋅+⋅+=∫ ⋅⋅=
A
GG
A
xy dAybxadAyxI )()(
∫ ⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
A
GGGGxy dAyxbxyabaI )(
∫ ∫ ⋅⋅+∫ ⋅⋅+⋅⋅+∫ ⋅⋅=
A A
GG
A
GG
A
xy dAyxdAbxdAyadAbaI
GGxy
yIxAbaI +++⋅⋅= 00
fig. 24
x
y
o
G
xG
A
b
dA
yG
y
fig. 25
x
y
o
G
yG
A
a
dA
xG
x
fig. 26
x
o
G
xG
A
b
dA
yG y
G
a
x
xG

ya que: 0=∫ ⋅
A
G dAy como también: 0=∫ ⋅
A
G dAx
por ser nulos los momentos estáticos de A con respecto a xG como también con respecto yG.
Resulta finalmente: AbayIxI GGxy ⋅⋅+= [26]
en la que las coordenadas “a” y “b” deben considerarse con signo (+) ó (–) según el
cuadrante.
Teorema de Steiner para el momento de inercia polar.
En base a la expresión [15] y aplicando el Teorema de Steiner
para los momentos de inercia axiales Ix e Iy se puede encontrar
la solucióncomo sigue (fig.27):
22
aAIybAIxIII GGyxo ⋅++⋅+=+=
agrupando: )( 22
baAIyIxI GGo
+⋅++=
resulta finalmente:
2
GGo
AII ρ⋅+= [27]
En la que IG es momento de inercia polar de A con respecto a “G”.
Momento de inercia polar para dos figuras: Si en lugar de una
sola figura de área A hubiese 2 figuras de área A1 y A2 ,
entonces podemos usar la siguiente notación y propiedad
aditiva quedando:
( ) ( )
)()( 2
222
2
111
21
ρρ ⋅++⋅+=+= AIAIIII GGooo
Figuras simples y compuestas:
En las aplicaciones prácticas, se presentará la necesidad
de calcular el momento de inercia de figuras que
denominaremos "compuestas", las que consisten en la
agrupación de figuras "simples".
Las figuras simples son aquellas de contornos sencillos como por ejemplo rectángulo,
cuadrado, triángulo, círculo, etc., de las cuales es fácil recordar las expresiones que
resuelven sus momentos de segundo orden centroidales, como así también ubicar su
centroide.
Perfiles normalizados:
En el caso de las secciones transversales de los perfiles normalizados que son de formas
complejas, sería necesario subdividirlas en figuras mas sencillas para poder calcular los
momentos de segundo orden y ubicar sus centroides, pero como esas características se
encuentran tabulados en los manuales, dichas figuras pasan también a formar parte del
grupo de las figuras consideradas "simples".
Cálculo de los momentos de segundo orden de una figura compuesta:
Para calcular los momentos de segundo orden de una figura compuesta, se procede a
subdividirla en figuras simples y luego realizar los siguientes pasos:
a) Calcular la posición del centroide de la figura compuesta en base a las figuras simples y a
la posición de sus centroides.
b) Calcular los momentos de segundo orden de las figuras simples con respecto a los ejes
fig. 27
x
o
G xG
A
b
yG
a
ρG
fig. 28
x
y
o
G1
1
ρ1
G2
ρ2
A2

centroidales de la figura compuesta, aplicando si es necesario el teorema de Steiner.
c) Utilizar la propiedad aditiva para obtener los momentos de segundo orden de la figura
compuesta.
En la fig.29 el origen “O” se ubica en coincidencia con el centroide G de la figura
compuesta y solamente se representa una las figuras simples de centroide Gi.
Se pueden ahora adecuar las expresiones [24], [25], [26] y [27] de la siguiente forma:
∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiix
bAIxI
1
2
)( [24´ ]
∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiiy
aAIyI
1
2
)( [25´ ]
∑ ⋅⋅+=
=
=
ni
i
iiiiixy baAyIxI
1
)( [26´ ]
∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiGio AII
1
2
)( ρ [27´ ]
en las que Giiiii IyIxIyIx ,,, son los momentos de segundo orden de cada área Ai, con
respecto a su propio sistema coordenado (xi, yi)
Ejemplo n° 4. Aplicación del Teorema de Steiner y Propiedad aditiva.
Calcular los momentos de inercia Ix e Iy para la forma geométrica representada en la
fig.30, utilizando el teorema de Steiner y la propiedad aditiva. Dimensiones en [m].
Resolución:
Se divide a la figura compuesta de área A, en tres figuras simples de áreas A1, A2 y A3.
Tener en cuenta que las figuras 1 y 3 son iguales y además simétricas con respecto al eje x,
por lo que sólo será necesario hacer el cálculo para una de ellas y duplicar ese resultado.
Cálculo de Ix:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21321
2 xxxxxx IIIIII +⋅=++=
( ) 292
12
61
424
12
24
2
3
2
3
=
⋅
+





⋅⋅+
⋅
⋅=xI ][292 2
mIx =
Cálculo de Iy:
83,21
12
16
12
42
2
33
=
⋅
+
⋅
⋅=yI ][83,21 2
mIy
=
(*) Se observa que para este último cálculo la “distancia” entre ejes
es nula por lo que no figuran los sumandos: “área x distancia al
cuadrado”.
fig. 30
4
x
6
2
A1
A2
A3
2
fig. 29
x
O
Gi
Ai
ρi
yi
Xi
bi
ai

Ejemplo n° 5a: Momento centrífugo para un rectángulo.
Aplicando el teorema de Steiner obtener la expresión de Ixy para
el rectángulo representado en la fig.31.
Resolución: se aplica la expresión [26]:
22
bh
AyIxI GGxy ⋅⋅+= pero: 0=GG
yIx
por ser (xG; yG) ejes de simetría.
Por lo tanto:
22
hb
hbIxy ⋅⋅⋅=
4
22
hb
Ixy
⋅
=
Ejemplo n° 5b: Momento centrífugo para un triángulo (fig.32)
a) Aplicando la definición dada por la expresión [11], obtener la
expresión de Ixy.
b) En base a la expresión de Ixy y aplicando el Teorema de Steiner, obtener la expresión de
IxGyG .
Resolución:
a) aplicando la definición [11] y en base a la fig. 32 resulta:
∫ ⋅⋅= Axy
dAyxI siendo: dA = dy . dx
( )
( )
∫ ⋅=⋅∫ ⋅∫ ⋅=
−
− h
xb
b
h
xb
b
h
b
xy dx
y
xdxdyyxI 0
0
2
00
2
( )∫ ⋅





+⋅⋅−⋅=
b
xy dxxxbb
b
h
xI 0
22
2
2
2
2
1
( )∫ ⋅+⋅⋅−⋅
⋅
= b
xy
dxxxbxb
b
h
I 0
322
2
2
2
2
b
xy xxbx
b
b
h
I
0
432
2
2
2
4
1
3
2
22






+⋅−
⋅
=





 +−
⋅
⋅
=





+−
⋅
=
12
386
24
1
3
2
22 2
42
44
4
2
2
b
bh
bb
b
b
h
Ixy
24
22
bh
Ixy
⋅
= [28]
b) De acuerdo al teorema de Steiner y en base a la fig.33 es:
GGGGxy yx
bh
yIxI ⋅+=
2
explicitando:
GGxyGG yx
bh
IyIx ⋅−=
2
reemplazando la [28], como así también las coordenadas del centroide G y operando se
obtiene:
yG
xGG
o
b/2
x
fig. 31
h
b
h/2
fig. 33
y
x
b/3
h
b
h/3
G
yG
xG
dA
y
xx
fig. 32
h
(h/b).(b-x)
b
y
dx

22
222222
72
43
182433224
hb
hbhbhbbhhb
yIx GG
⋅⋅
−
=
⋅
−
⋅
=⋅⋅−
⋅
=
Resulta finalmente:
72
22
hb
yIx GG
⋅
−= [29]
GG yIx resulta negativo, lo que resulta intuitivo si se observa que la mayor cantidad de área
del triángulo se encuentra en los cuadrantes 2° y 4° en el sistema coordenado (xG, yG), donde
los productos de los elementos “dA” multiplicados por sus coordenadas en el sistema(xG, yG)
resultan negativos.
Ejemplo n° 6: Aplicando la propiedad aditiva obtener la expresión del momento de inercia Ix
de una corona circular de diámetro exterior “d” y diámetro interior “di” (fig.34).
Resolución:
En la figura se observa que el área total A cumple con:
11 AAA +=
Además por propiedad aditiva es:
( ) ( )21
xxx
III +=
( ) ( )
6464
44
12 i
xxx
dd
III
⋅
−
⋅
=−=
ππ
quedando:
( )
( ) 




 −⋅
=−= 4
444
442
6464 d
ddd
ddI i
ix
ππ
( )
( )4
4
2
1
64
η
π
−
⋅
=
d
Ix [30] siendo:
d
di
=η [31]
Momentos principales y ejes principales de inercia
Sea el caso de una forma de área A y centroide “O” de la fig.35-a, para la cual ya se han
calculado los momentos de segundo orden centroidales Ix, Iy e Ixy, con las expresiones [24´],
[25´] y [26´] respectivamente.
De los infinitos sistemas de ejes coordenados con el mismo origen “O”, existe un par de
ejes (u,v) que presenta las siguientes particularidades:
1. Con respecto a uno de dichos ejes se obtiene el máximo momento de inercia axial.
2. Con respecto al otro (perpendicular al anterior) se obtiene el mínimo momento de inercia
axial
3. El momento centrífugo con respecto a esos ejes, es nulo (Iuv=0).
A dichos momentos de inercia se los denomina: momentos principales de inercia y a los
ejes correspondientes: ejes principales de inercia.
Caso de figuras con simetrías: En la página 6 (fig.15) se comprobó que cuando uno de los
ejes de referencia es de simetría, entonces el momento centrífugo resulta nulo (Ixy=0).
Resulta entonces que si existe un eje de simetría, dicho eje es “eje principal de inercia”.
x
fig. 34
A1
A2
di d

Ello se debe tener presente en la resolución de las aplicaciones prácticas, a efectos de no
realizar cálculos inútiles.
Resulta sencillo entonces determinar la posición de los ejes principales de inercia cuando
se trata de figuras (simples o compuestas) que presenten aunque sea un eje de simetría.
En la figura siguiente se muestran algunas formas que cumplen dicha propiedad y los ejes
representados sonejes principales de inercia:
G
y
x
G
y
x
G
ξ
η
(b) (c) (d) (e)
G
y
x G
y
x
(a)
Para las formas (a), (b), (c) y (d), Imáx e Imin se obtienen con respecto al par de ejes (x,y) ya
que uno de ellos (o ambos) son de simetría. Para el caso (e) existe máximo ó mínimo con
respecto al par (?,ξ) ya que ξ es eje de simetría.
Momentos principales de inercia y posición de los ejes principales.
De los infinitos pares de ejes que tienen su origen en el
centroide “O” (fig.35-a), al par (x,y) se lo denominará “par fijo” o
“ejes fijos”.
Al par de ejes (u, v) con posibilidad de "girar" en relación con
el par (x, y) se los denominará "ejes móviles”.
Se supone que con los procedimientos ya vistos, se han
calculado los momentos de segundo orden: Ix, Iy e Ixy con
respecto al par (x,y).
En la figura se muestra una de las posiciones posibles del par
(u, v) cuando se encuentra girado un ángulo α en relación con el
par (x, y).
Se propone calcular Iu, Iv, Iuv en función de valores conocidos de Ix, Iy, Ixy, como también
del ángulo α que será la variable.
Por definición se sabe que:
∫ ⋅=
A
u
dAvI 2
[32-a]
∫ ⋅=
A
v
dAuI 2
[32-b]
∫ ⋅⋅=
A
uv dAuvI [32-c]
De la fig.35-b se pueden obtener las relaciones entre
las coordenadas de dA, en los dos sistemas de ejes, el
fijo (x,y) y el móvil (u,v).
Siendo x=oc , y=cb , u=oa , v=ab y considerando la construcción auxiliar con líneas de
trazos, se pueden plantear las siguientes relaciones geométricas:
x
u
dA
y
v
α
α
α
g
a
e
f
co
b
fig.35-b
fig.35-a
x
y
o
u
v
α
dA

αα sencbcosoccgoffaofoau ⋅+⋅=+=+==
αα sencocosbcfcbgagbgabv ⋅−⋅=−=−==
quedando entonces: αα seny⋅+⋅= cosxu
αα senxy ⋅−⋅= cosv
que reemplazadas en las expresiones [32] permiten obtener:
( )∫ ⋅⋅−⋅=
A
u
dAsenxyI
2
cos αα
( )∫ ⋅⋅+⋅=
A
v dAsenyxI
2
cos αα
( ) ( )∫ ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=
A
uv dAsenyxsenxyI αααα coscos
Desarrollando estas expresiones y operando se obtiene finalmente:
ααα 2cos 22
senIsenIII xyyxu
⋅−⋅+⋅= [33-a]
ααα 2cos22
senIIsenII xyyxv
⋅+⋅+⋅= [33-b]
αα 2cos2
2
⋅+⋅
−
= xy
yx
uv
Isen
II
I [33-c]
Sumando vu II + se obtiene:
αααααα 2cos2cos 2222
senIIsenIsenIsenIIII xyyxxyyxvu
⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=+
Agrupando factores comunes y teniendo en cuenta que: 1cos22
=+ ααsen , resulta:
cteIIII yxvu =+=+ [34]
La [34] indica que cualquiera sea el ángulo α girado por los ejes
móviles, la suma de los momentos de inercia se mantiene constante,
resultando un “invariante”. Recordar que la suma de los momentos de
inercia axiales, resultaba ser el momento de inercia polar, y el momento
de inercia polar no varía para una determinada posición del polo.
Variación de Iu al girar los ejes.
Para la forma representada en la fig.36 ( perfil ”T” ) que
posee eje de simetría “y”, se sabe que para “x” e “y” se
obtienen Imáx e Imín, siendo Ixy=0.
Suponiendo que Ix=Imáx=200 [cm4
] y que Iy=Imín=100 [cm4
],
la expresión [33-a] quedará del siguiente modo:
αααα 2222
100cos200cos sensenIII yxu
⋅+⋅=⋅+⋅=
Si “α” varía entre 0 y π, el eje “u” vuelve a coincidir con el
eje “x”. El primer sumando de la expresión describe la curva
(a) de la fig. 37, mientras que el segundo sumando describe la
x
fig.36
200
100
0
Iu
(90°) (180°)
cm4
máx
mín
fig.37
(b)
(a)
π/2 π

curva (b).
La suma de ambas curvas es la indicada en la figura con “Iu” y
corresponde a la variación del momento de inercia “Iu” en función de
“α”. Se observa que cuando α cambia en la cantidad π/2, el valor de
Iu cambia entre máximo y mínimo.
Figuras regulares
En el caso de la fig.38 en la que se representa una figura regular
(triángulo equilátero), la simetría del eje “x” determina quelos ejes
“x” e “y” sean ejes principales de inercia.
Cuando el eje móvil gira π/3 se ubica en una posición para la cual también el triángulo
presenta la misma simetría que para el eje “x”, por lo que Iu adquiere nuevamente el mismo
valor que para la posición “x”.
Teniendo en cuenta la fig. 37 resulta que la curva de Iu mantiene el mismo valor en lugar
de haber aumentado o disminuido, lo que implica que la curva de Iu se convierte en una recta
horizontal resultando Iu=cte para cualquier posición α.
Ello conduce a la siguiente conclusión: si para una posición de los ejes móviles diferente a
la de los ejes de máximo o de mínimo, Iu adquiere uno de dichos valores, entonces el
momento de inercia mantiene un
valor uniforme.
Ello implica que “las figuras
regulares poseen momento de
inercia uniforme para cualquier
posición del eje móvil ”.
Las formas representadas en
la fig. 39 cumplen con esa
particularidad.
Máximo y mínimo
De acuerdo a lo visto, existirá entonces un determinado valor del ángulo “α” para el cual
uno de los dos momentos de inercia (Iu ó Iv) será máximo (Imáx) mientras que el otro será
mínimo (Imín). Los ejes correspondientes serán los "ejes principales de inercia".
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función (en este caso Iu o Iv en función de
α), se derivaba respecto a la variable (en este casoα) y dicha derivada se igualaba a cero.
De la expresión obtenida se despeja la '”raíz” (en este caso α0) para la que ocurre alguno
de esos extremos y luego dicho valor se reemplaza en la función para obtener el máximo o el
mínimo.
Derivando Iu respecto de α resulta:
ααααα
α
2cos2cos2)(cos2 ⋅⋅−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅= xyyx
u
IsenIsenI
d
dI
El ángulo α0 para el que se anula esa derivada se obtiene igualando a “cero” la expresión
anterior, la que se reordena previamente, resultando:
02cos2cos2)( 000
=⋅−⋅⋅⋅− ααα xyxy
IsenII [35]
teniendo en cuenta la identidad: 000
2cos2 ααα sensen =⋅⋅
G
y
xG
y
x
(b) (c)
fig.39
(a)
G
y
x
x
α=π/3
fig.38
u

de la [35] se obtiene:
xy
xy
II
Isen
−
=
2
2cos
2
0
0
α
α de donde:
xy
xy
II
I
tg
−
=
2
2 0
α [36]
De la [36] se obtienen dos ángulos que la satisfacen: (2α0)
y (2α0+p), ya que para ambos el valor numérico de la
tangente es el mismo. El máximo o el mínimo momento de
inercia ocurrirán entonces para los ángulos (α0 ) ó (α0+p/2) que corresponden a dos
direcciones perpendiculares entres sí y que son los eje principales de inercia.
Para uno de ejes Iu tomará el valor máximo y para el otro tomará el valor mínimo.
Si en la [35]se reemplaza "2 sen α . cos α" por "sen 2α" y luego se divide m.a m. por "-2",
se obtiene el segundo miembro de la expresión [33-c], que corresponde al momento
centrífugo. Ello muestra que cuando α=α0 entonces Iuv = 0.
Los dos ejes para los cuales el momento centrífugo Iuv es nulo, mientras que los
momentos de inercia Iu ó Iv son máximos o mínimos, se denominan “Ejes Principales de
Inercia”.
La posición de dichos ejes se puede obtener de la expresión [36].
Expresión de los momentos principales de inercia
Para obtener la expresión del máximo o del mínimo se debe sustituir α0 dado por la [36] en
la ecuación [33-a] de Iu en función de α.
Teniendo en cuenta que en la expresión de “Iu” figuran: 0
2
αsen , o
α2
cos , 0
2αsen
se debe operar con el auxilio de las siguientes identidades
trigonométricas:
2
2cos1 0
0
2 α
α
−
=sen
2
2cos1
cos 0
0
2 α
α
+
=
siendo:
0
2
0
0
21
2
2
α
α
α
tg
tg
sen
+
=
0
20
21
1
2cos
α
α
tg+
=
con lo que queda todo expresado en función de “tg 2α”, que finalmente se reemplaza por el
segundo miembro de la [36], obteniéndose luego de operar algebraicamente, la expresión
que permite calcular el máximo y el mínimo momento de inercia, teniendo como datos los
momentos de segundo orden Ix, Iy e Ixy respecto al par de ejes (x, y):
( ) 2
xy
2
yx
yx
min
max I4II
2
1
2
II
I ⋅+−⋅±
+
= [37]
Guía para resolver los problemas
En el análisis de próximos temas como por ejemplo: flexión, torsión y pandeo,surgirá la
necesidad de evaluar los momentos de inercia axiales y polares. En relación con los axiales
hará falta conocer el Imáx ó el Imín.
Para obtener esos últimos y con el objeto de evitar cálculos innecesarios se recomienda
seguir los pasos sintetizados en el cuadro siguiente:
2α0
tg(2α0)
1
1+tg²(2α0)
2α0+π
tg(2α0)=
=tg(2α0+π)
x2α0

FORMAS
DOBLE
SIMETRÍA
SIMPLE SIMETRÍA SIMETRÍA
CENTRAL
SIN SIMETRÍA
CÁLCULOS
A
REALIZAR
Se calcula sólo
1 coordenada
No se calcula.
Se calculan
2 coordenadas
POSICION
DEL
CENTROIDE:
xG yG
No se
calcula
xG yG xG , yG
Momentos de
2°
Orden:
Ix Iy Ixy
Se calculan sólo: Ix , Iy
ya que Ixy=0
Se calcula:
Ix Iy Ixy
Momentos
Principales:
Imáx Imín
Son Ix e Iy
calculados previamente
( ) 2
xy
2
yx
yx
min
max I4II
2
1
2
II
I ⋅+−⋅±
+
=
xy
xy
II
I
tg
−
=
2
2 0
α
Método Gráfico: Circunferencia de Mohr
Si bien la solución analítica es la más práctica para calcular los momentos principales de
inercia, como así también la posición de los correspondientes ejes, es útil contar con un
recurso alternativo que sirva para verificar aunque sea de modo aproximado si las
operaciones realizadas arrojaron los resultados correctos, o si por el contrario un simple error
de signo haya conducido a un resultado totalmente erróneo.
Las expresiones analíticas vistas, pueden ser interpretadas gráficamente en una
construcción denominada círculo de Mohr ó circunferencia de Mohr.
Si se conocen los momentos de segundo orden de una superficie plana, con respecto a
dos ejes fijos “x” e “y” (sean o no principales), mediante dicha construcción gráfica se pueden
calcular los momentos de segundo orden para un par de ejes móviles “u” y “v” girados un
ángulo α con respecto a los ejes fijos.
La construcción gráfica propuesta por Mohr, que relaciona a los momentos de segundo
orden entre sí, es una circunferencia que se construye en un sistema de ejes cartesianos
ortogonales. Cualquier punto de dicha circunferencia posee como abscisa a uno de los
momentos de inercia axial y como ordenada al momento centrífugo.
La circunferencia puede dibujarse con la exactitud necesaria, adoptando una escala de
representación (escala de momentos, por ejemplo: δ cm4
/ 1 cm) y efectuar la resolución de
modo puramente gráfico. También puede representarse esquemáticamente para que sirva de
guía de comparación con los cálculos aritméticos. Este último es el uso más frecuente de la
circunferencia de Mohr.

Procedimiento a seguir para el trazado de la circunferencia.
Se considerará la forma geométrica de la fig.40 referida al par de ejes
fijos (x,y), respecto a los cuales se han calculados los momentos de
segundo orden: Ix, Iy, Ixy.
Para éste ejemplo se supone que: 0>> xyyx
III
La circunferencia de Mohr se representa en un sistema de ejes de
referencia, para el que en abscisas se consigna el valor del momento de
inercia Ix ó Iy, mientras que en ordenada se consigna el valor del momento
centrífugo Ixy.
Por tal motivo cada punto de dicha circunferencia posee como abscisa
un momento de inercia axial y como ordenada un momento centrífugo.
En la fig. 41, a partir del origen “0” se mide en
abscisa (a escala) los valores de Ix e Iy (segmentos
OKx y OKy respectivamente).
Desde el punto Kx se representa Ixy en sentido
positivo o negativo de las ordenadas de acuerdo a
su signo, quedando determinado el punto Dx.
A partir de Ky se representa (-Ixy) obteniendo el
punto Dy.
Uniendo los puntos Dx y Dy queda determinado
el diámetro de la circunferencia.
El punto C donde el segmento DxDy corta al eje
de abscisas determina el centro de la circunferen-
cia.
Con centro en C y con radio CDx se dibuja la circunferencia.
Los puntos A y B donde la circunferencia corta al eje de abscisas, determinan los
segmentos OA y OB que medidos en la correspondiente escala brinda los valores de los
momentos de inercia máximo y mínimo respectivamente:
Imáx = OA x Escala , Imín = OB x Escala
Se observa que para esos puntos el momento centrífugo Ixy=0 ya que la ordenada es nula.
Determinación de los ejes principales de inercia.
Trazando desde el punto Dx una paralela al eje de
abscisas hasta interceptar a la circunferencia, se
obtiene el punto F al que se denominará “Foco”.
Uniendo el foco F con los puntos A y B, se obtienen
las correspondientes direcciones de los ejes
principales de inercia, siendo FA la dirección de
máximo y FB la de mínimo.
De la fig. 42 surge lo siguiente:
xCDOCCAOCOA +=+=
xCDOCCBOCOB −=−=
fig.40
G
y
x
fig.41
Direcc. de Máximo
Direcc.deMínimo
2α0
α0
Ix;Iy
Ixy
o
B A
Ixy
Kx
C
-Ixy
Dx
F
Dy
Ky
Ix
Iy
B A
Ixy
Kx
C
-Ixy
Dx
F
Dy
Ky
fig.42
Direcc. de Máximo
Direcc.deMínimo
2α0
α0
Imáx
Imín
Ix;Iy
Ixy
o

De la fig.41:
2
yx
II
OC
+
=
2
2
2
xy
yx
I
II
CDx +




 +
=
Reemplazando se obtiene:
max
2
2
22
II
IIII
OA xy
yxyx
=+




 +
+
+
=
min
2
2
22
II
IIII
OB xy
yxyx
=+




 +
−
+
=
Si al radicando se lo multiplica por 4 y a la raíz se la divide 2 se obtiene la expresión [37]
vista anteriormente.
Se puede demostrar que el ángulo central
β = ACDx, es igual al doble de α0.
Analizando la fig.43 (triángulo ACDx) es:
( )0
902180 αβ −⋅−=
00
22180180 ααβ ⋅=⋅+−=
En consecuencia, también es posible
localizar la dirección del eje de máximo
momento, sabiendo que se puede obtener girado un ángulo igual a la mitad del ACDx y en el
sentido que debe recorrerse la circunferencia para pasar del punto Dx al punto A.
A continuación se dan algunos ejemplos del trazado de la circunferencia de Mohr:
α0
Iy
Ix
y
x
Min
Max
Ix > Iy
Ixy > 0
Ix;Iy
Ixy
o
B A
Ixy
Kx
C
-Ixy
Dx
F
Dy
Ky
fig.44
α0
Imáx
Imín
α0
Ix;Iy
Ixy
o
B A
Ixy
KxC
-Ixy
DxF
Dy
Ky
fig.45
α0
Imáx
Imín
Iy
Ix
Max
x
Ix > Iy
Ixy < 0
Mín
y
90−α0
α0
B A
C
Dx
F
β
fig.43
α0 90−α0
α0
α0

Ix;Iy
Ixy
o
B A
Ixy
Kx
C
-Ixy
Dx
F
Dy
Ky
fig.46
α0
Imáx
Imín
Ix
Iy
α0
Max
x
Ix < Iy
Ixy >0
Min
y
Ix;Iy
Ixy
o
B A
Ixy
Kx C
-Ixy
Dx F
Dy
Ky
fig.47
α0
Imáx
Imín
Ix
Iy
α0
Max
x
Ix < Iy
Ixy < 0
Min
y
Este material de apoyo didáctico está destinado exclusivamente para el uso
interno en la asignatura Estabilidad de la carrera “Ingeniería Eléctrica” de la
Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N.
Profesor: Ing. Hugo A. Tosone.
Docente Auxiliar: Ing. Federico Cavalieri
Abril de 2009.

MOMENTOS DE PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN: RESUMEN DE FÓRMULAS
Momento Estático: ∫ ⋅= Ax dAyS [1] ∫ ⋅= Ay
dAxS [2]
A
S
x
y
G
= [3]
A
S
y x
G
= [4]
∑ ⋅=
=
=
ni
i
iix
yAS
1
[5] ∑ ⋅=
=
=
ni
i
iiy
xAS
1
[6]
∑
∑ ⋅
== =
=
=
=
ni
i
i
ni
i
ii
y
G
A
xA
A
S
x
1
1 [7]
∑
∑ ⋅
== =
=
=
=
ni
i
i
ni
i
ii
x
G
A
yA
A
S
y
1
1 [8]
Teoremas de Pappus y Guldin: LxA G
⋅⋅= α [9] AxV G
⋅⋅= α [10]
Momentos de 2do
. Orden:
∫ ⋅⋅= Axy
dAyxI [11] ∫ ⋅=
A
x
dAyI 2
[12] ∫ ⋅=
A
y
dAxI 2
[13] ∫ ⋅=
A
o
dAI 2
ρ [4]
yxo
III += [15] Figuras regulares:
2
o
yx
I
II == [17]
Radios de giro:
A
I
i x
x
= [20]
A
I
i o
o
= [21]
Figuras compuestas:
( )
∑=
=
=
ni
i
i
II
1
[23] ó: ∑=
=
=
ni
i
i
xx II
1
)(
∑=
=
=
ni
i
i
yy II
1
)(
∑=
=
=
ni
i
i
xyxy II
1
)( ( )
∑=
=
=
ni
i
i
oo II
1
Teorema de Steiner para figura simple:
2
bAIxI Gx
⋅+= [24]
2
aAIyI Gy ⋅+= [25]
AbayIxI GGxy ⋅⋅+= [26]
2
GGo
AII ρ⋅+= [27]
Figuras compuestas: ∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiix
bAIxI
1
2
)( [24´ ] ∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiiy
aAIyI
1
2
)( [25´ ]
∑ ⋅⋅+=
=
=
ni
i
iiiiixy baAyIxI
1
)( [26´ ] ∑ ⋅+=
=
=
ni
i
iiGio AII
1
2
)( ρ [27´ ]
Ejes girados:
ααα 2cos 22
senIsenIII xyyxu
⋅−⋅+⋅= [33-a] ααα 2cos22
senIIsenII xyyxv
⋅+⋅+⋅= [33-b]
αα 2cos2
2
⋅+⋅
−
= xy
yx
uv
Isen
II
I [33-c] Invariante: cteIIII yxvu =+=+ [34]
Ejes y Momentos principales de inercia:
xy
xy
II
I
tg
−
=
2
2 0
α [36] ( ) 22
min
max 4
2
1
2 xyyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅+
+
= [37]
FORMULAS_RESUMEN.doc - 18/04/2008 21:00:00 Pág. 1 de 2

ALGUNAS FÓRMULAS DE INTERÉS:
Centroide del semicírculo:
π
R
xG
3
4
= Inercia del rectángulo:
12
. 3
hb
Ix = [16]
Círculo:
32
4
d
Io
⋅
=
π
[18]
64
4
d
Ix
⋅
=
π
[19] Hueco: ( )4
4
1
64
η
π
−
⋅
=
d
Ix [30]
d
di
=η [31]
radio de giro del Círculo:
4
d
ix
= [22] Momento centrífugo del Triángulo:
72
22
hb
yIx GG
⋅
−= [29]
Optimización de la operatoria:
FORMAS
DOBLE
SIMETRÍA
SIMPLE SIMETRÍA SIMETRÍA
CENTRAL
SIN SIMETRÍA
CÁLCULOS
A
REALIZAR
Se calcula sólo
1 coordenada
No se calcula.
Se calculan
2 coordenadas
POSICION DEL
CENTROIDE:
xG yG
No se
calcula
xG yG xG , yG
Momentos de 2°
Orden:
Ix Iy Ixy
Se calculan sólo: Ix , Iy
ya que Ixy=0
Se calcula:
Ix Iy Ixy
Momentos
Principales:
Imáx Imín
Son Ix e Iy
calculados previamente
( ) 22
min
max 4
2
1
2
xyyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅+
+
=
xy
xy
II
I
tg
−
=
2
2 0
α
Este material de apoyo didáctico está destinado exclusivamente para el uso interno en la
asignatura Estabilidad de la carrera Ingeniería Eléctrica de la Facultad Regional Santa
Fe de la U.T.N.
Profesor: Ing. Hugo A. Tosone.
Docente Auxiliar: Ing. Federico Cavalieri
Abril de 2008.
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