Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

1. Solicitación Axil
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

2. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
SOLICITACIÓN AXIL 3
EQUILIBRIO INTERNO DE UN SÓLIDO DE ALMA LLENA (PLANTEO GENERAL) 3
PLANTEO DEL PROBLEMA DE LA SOLICITACIÓN AXIL 4
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA SOLICITACIÓN AXIL 5
PROBLEMAS USUALES 6
INFLUENCIA DEL PESO PROPIO 10
INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA 11
DEFORMACIÓN TRANSVERSAL Y VARIACIÓN DEL VOLUMEN 11
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 14

3. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Solicitación Axil
Equilibrio interno de un Sólido de Alma Llena (Planteo General)
Sea una sección cualquiera de un sólido de alma llena sujeto a un sistema de fuerzas en equilibrio. Al
reducir al baricentro G de la sección las fuerzas que actúan a la derecha y a la izquierda de la misma, se
obtienen dos pares y dos fuerzas, en equilibrio, cuyas componentes corresponden a un momento flexor
MF, un momento torsor MT, un esfuerzo normal N y un esfuerzo de corte Q.
En la figura se han representado las componentes del par y de la resultante de reducción de las fuerzas
de la derecha de la sección y se ha hecho coincidir el origen de coordenadas con el baricentro de la
sección, orientando el semieje positivo de las x normal a la sección y hacia fuera de la misma, y los ejes z
e y según las direcciones principales de inercia. El vector representativo del par torsor está dirigido según
el eje x resultando en consecuencia:
xT MM 
El par flexor, en general, actúa en un plano que
no coincide con ninguno de los ejes
coordenados, en consecuencia puede
descomponerse en dos vectores Mz y My. La
fuerza normal N coincide en dirección con el eje
x y en lo que respecta a Q, contenida en el plano
zy, puede ser descompuesta en sus
componentes Qx y Qy.
Como se ha visto al definir el concepto de
tensión, las acciones que se transmiten de uno a
otro lado de la sección considerada, lo son como
acciones mutuas, de punto a punto. Estas
tensiones, descompuestas en sus componentes

5. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12
normal y tangencial ( y ), la primera normal a la sección y la segunda contenida en el plano de la
misma puede ser descompuesta (esta última) en sus componentes xz y xy.
En consecuencia, sobre cada elemento infinitésimo de superficie tendremos actuando tres fuerzas
elementales cuyas expresiones son:
dFdQzsegún
dFdQysegún
dFdNxsegún
xzz
xyy






:
:
:
Nos encontramos ante un sistema de infinitas fuerzas elementales que debe ser equivalente al sistema
formado por los esfuerzos característicos que los originan. En este caso, convendrá expresar la
equivalencia en forma de tres ecuaciones de igualdad de proyecciones sobre los ejes x, y, z y tres
ecuaciones de igualdad de momentos respecto de los mismos ejes.
 
 
 21






























F
z
F
y
F
xzxyTx
F
xzz
F
xyy
F
dFyM
dFzM
dFyzMM
dFQ
dFQ
dFN






Planteo del Problema de la Solicitación Axil
La solicitación axil corresponde
al caso en que al reducir las
fuerzas que actúan a un lado
de la sección, sólo existe una
resultante de reducción normal
al plano de aquella, y que esta
circunstancia se repite para
todas las secciones del sólido.
En consecuencia para todas
las secciones resulta N = P.
Al no existir ni momento flexor,
ni momento torsor ni tampoco
esfuerzo de corte, resultan Q = MF = MT = 0, en consecuencia las ecuaciones (1) y (2) se transforman en
las siguientes:
 
 3
0
0
0
0
0






























F
F
F
xzxy
F
xz
F
xy
F
dFy
dFz
dFyz
dF
dF
dFN







6. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Resolución del Problema de la Solicitación Axil
La hipótesis fundamental es la proporcionalidad entre tensiones y deformaciones (Ley de Hooke).
Admitiremos (verificado experimentalmente en elementos solicitados por tracción o compresión simple)
que una sección normal se mantiene plana y paralela a sí misma luego de la deformación para secciones
alejadas de los extremos, de acuerdo al principio de Saint Venant (“Si se reemplazan las fuerzas que
actúan sobre una zona reducida de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente
equivalente actuando en la misma zona, este estado ocasiona una modificación sustancial del estado de
tensión local, pero no influye en el estado de tensión de secciones ubicadas a una distancia que, en
comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande”).
Por lo tanto, si la sección se mantiene plana y paralela a sí misma, los elementos infinitésimos de su
volumen no pueden sufrir distorsiones o, de existir éstas, deben ser constantes y del mismo signo. Pero si
 = 0, resulta  = 0, y si  = cte, tiene que ser  = cte. Si esta última hipótesis fuera cierta, 2ª y 3ª
ecuación de las (3) se transformarían en:
0
0
0












FdFctecon
dF
dF
F
xzxy
F
xz
F
xy



lo que es una incongruencia. En consecuencia debe necesariamente verificarse que 0 xzxy  , lo
que hace que la 2ª, 3ª y 4ª de las
ecuaciones (3) resulten idénticamente
nulas.
Consideremos ahora dos secciones s-s y
s’-s’ separadas por un distancia l antes de
la deformación. Si suponemos la sección
s-s fija, la sección s’-s’ se desplazará
paralelamente a sí misma una longitud l
pasando a ocupar la posición s”-s”.
Una fibra cualquiera como ser la a-a, experimentará una deformación específica:
l
l
a


Ahora bien, todas las fibras de la sección, cuyas longitudes originales eran l, experimentarán el mismo
aumento de longitud l y en consecuencia resulta:
cteeE 
por lo que la 1ª de las ecuaciones (3) se puede escribir:
 4
F
N
FNdFN
F
  
La constancia del valor de , satisface las dos últimas ecuaciones (3). En efecto:

7. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12





















F
F
F
F
dFy
dFz
ctesiendoy
dFy
dFz
0
0
0
0



estas integrales corresponden a los momentos estáticos del área de la
sección con respecto a los ejes y y z respectivamente, momentos estáticos
que son nulos por ser los ejes mencionados baricéntricos.
En cuanto a los signos de la fuerza axil, si N tiende a acortar al sólido se le
asigna signo negativo (compresión), mientras que si tiende a alargar al sólido
le asignaremos signo positivo (tracción).
La ecuación (4) indica que las tensiones del material se reparten
uniformemente en una misma sección recta y considerando la Ley de Hooke
será:
 5E
l
l
F
N
E 

 
Se observa que:
 Las ecuaciones (4) y (5) mantienen su validez sólo en la zona elástica del material.
 Si la fuerza N no está aplicada en el baricentro de la sección, hay excentricidad y la repartición de
tensiones no es uniforme. (solicitación por flexión compuesta)
 Las ecuaciones (4) y (5) sólo se aplican a barras cortas (cuando se consideran esfuerzos de
compresión) para eliminar la posibilidad de pandeo.
 En las ecuaciones (4) y (5) no interviene el peso propio de la barra que puede despreciarse si la
misma es horizontal.
Problemas usuales
1. Problema de dimensionamiento
Adm
Adm N
F
FIncógnita
)(materialyNDatos






:
:
2. Problema de verificación
 
 
 
  





























F
N
E
materialEIncógnita
FyNDatos
N
lEF
lo
EF
lN
l
lolIncógnita
lolyFmaterialENDatos
FN
NIncógnita
FymaterialDatos
F
N
Incógnita
FymaterialNDatos
Adm
Adm
Admtrabajo
trabajo
Adm
:
,:
Material
:
,,:
macionesDim./Defor
:
:
max.Carga
:
,:
Material

8. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Problemas de aplicación
Ejercicio I: Para la siguiente figura se pide determinar:
a) Esfuerzos en las barras 1 y 2.
b) Reacciones de vínculo
externo en los nodos “B” y
“C”.
c) Dimensionar las secciones de
las barras de tal manera que
tanto las proyecciones
horizontales (Δx) y verticales
(Δy) del desplazamiento del
Punto “A” no excedan 1.50
mm, siendo las mismas de
sección circulares.
d) Trazar los diagramas de
desplazamientos y deformaciones específicas a lo largo de las barras para ambos elementos
estructurales.
Resolución:
Vamos a considerar no despreciable la variación de los ángulos  y  al alcanzar la posición final, así
tendremos:
a) En la posición inicial resulta

















coscos
sin
sin
906030
21
2
22
1
11
LLh
L
a
a
L
L
a
a
L
b) Cálculo de la posición final
  
  
  
  
  
  
  
  






































mma
mmh
artg
mma
mmh
tg
mma
mmh
artg
mma
mmh
tg
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
2
2
1
1




c) Cálculo de las longitudes de las barras 1 y 2 luego de la deformación

9. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12
     
      





















2
'
22max
1
'
11max
'
2'
2
'
1'
1
sin
5,15,1
sin
sin
5,15,1
sin
LL
LL
mmh
L
L
mmh
mmh
L
L
mmh






d) Dimensionamiento de las secciones de las barras:
Dimensionamos por condiciones de deformación, para ello, los diámetros de las barras los calculamos
en función de las expresiones de los alargamientos y el área de la sección circular:
2
22
22
2max
11
11
1max
2
,, 












d
A
EA
LN
EA
LN

 





22max
22
2
11max
11
1 2,2
E
LN
d
E
LN
d
Verificamos las tensiones máximas que se generan en las barras (dimensionamiento por condiciones
de resistencia):
2
2
2
2
2
22
1
1
1
1
1
2
,
2
















d
N
A
N
d
N
A
N




Ejercicio II: El esquema estructural de la figura está constituido por una viga rígida A-B-C, la cual
cuelga de tres tensores A-D, B-E y C-
F. Se pide calcular:
a) Esfuerzos en cada uno de los
tres tensores.
b) Tensiones que soporta cada
uno de los tres tensores.
c) Desplazamientos de los
puntos “A”, “B” y “C”.
d) Desplazamiento vertical del
punto de aplicación “G” de la
carga P.
e) Deformaciones específicas de
cada uno de los tres tensores.
Resolución:
a) Esfuerzos en cada uno de los tres tensores:
Deberemos plantear, además de la nulidad de
la sumatoria de las fuerzas verticales y la
nulidad de la sumatoria de los momentos
respecto de un punto (punto “A”), la relación de
los desplazamientos de cada barra de forma
tal que la barra rígida no se deforme, esto
podemos referirlo en la siguiente proporción:

10. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol
     
2
2
FCDA
FCEB
FCDAFCEB
LL


 



 


por lo tanto:
 



































1
3
1
1
1
3
2
2
321
32
2
1
2
0
2
20
AE
hN
AE
hN
AE
hN
AE
hN
PNNNF
a
PaNaNM
FCDA
FCEB
y
A


Sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas: N1, N2 y N3.
Ejercicio III: Para el esquema estructural de barras de la figura se pide calcular:
a) Reacciones de vínculo.
b) Diagrama de esfuerzos normales.
c) Diagrama de tensiones normales
a lo largo de toda la longitud de
las tres barras.
d) Diagrama de deformaciones
específicas.
e) Diagrama de desplazamientos
absolutos.
Resolución:
a) Reacciones de vínculo:
Deberemos plantear, además de la
nulidad de la sumatoria de las fuerzas
verticales la deformación total nula, por lo tanto:











AE
LN
AE
LN
AE
LN
PPRRF BAy
332211
321
21
0
0

0332211  LNLNLN
y siendo además, el diagrama de características de la solicitación axil
el que se muestra en la figura, resulta:








AB
B
B
RPRPPNN
RPPNN
RN
21223
1112
1
Resulta un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas: RA, RB, N1, N2 y N3

11. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12













AB
B
B
BA
RPRPPNN
RPPNN
RN
LNLNLN
PPRR
21223
1112
1
332211
21
0
0
Influencia del Peso Propio
Sea la pieza prismática BB’CC’ sobre la cual actúa la fuerza de tracción P. Si F es el área constante de la
pieza, l su longitud y  su peso específico, una sección S distante x del extremo libre, se encuentra
solicitada por dos fuerzas, el peso propio del trozo SC de la pieza (.F.x) y la carga axil P. La fuerza total
será:
 6PxFN  
La tensión en la sección S, conforme al principio
de superposición de los efectos, es:
F
P
x
F
PxF
F
N
x 

 


Esta tensión tendrá un mínimo que se
corresponderá con el extremo libre x = 0
F
P
min
y un máximo en el extremo fijo x = l
F
P
l
F
PlF


 

max
Luego, la condición de resistencia tendrá que ser:
AdmAdm
F
P
l
F
PlF


 

max
El alargamiento, en este caso, será de (5):
 xNN
EF
lN
l 


 con
   























 
EF
lP
EF
lF
EF
xP
EF
xF
l
dx
EF
P
dx
EF
xF
dx
EF
PxF
dx
EF
xN
l
ll
llll
22
2
00
2
0000



12. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol










 P
lF
EF
l
l
2

En el caso de una barra de igual resistencia, es decir cuando en todas las secciones transversales las
tensiones normales son iguales, el cálculo del área de la sección transversal se realiza con la siguiente
fórmula:
x
Adm
x
Adm
e
P
F

 


Influencia de la Temperatura
El coeficiente de dilatación libre de un prisma, es el número  que mide el alargamiento o acortamiento
por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1ºC. Así se tiene:
ltlt  ºº 
Si definimos el alargamiento específico térmico:
ºº
º
º t
l
l
t
t
t 

 
La presencia de esfuerzos internos de origen térmico se presentan como si estas tensiones respondieran
a una fuerza N exterior que será de compresión cuando hay disminución de temperatura y de tracción si
hay aumento de temperatura.
Si  es la tensión producida a consecuencia de una
variación térmica, por la Ley de Hooke podrá escribirse:
ºº tEE t  
y para una sección de área F resulta:
ºtFEN  
Deformación Transversal y variación del volumen
La variación longitudinal unitaria  en el caso de tracción o compresión es, según la ley de Hooke,
E

 
y la deformación unitaria transversal,
E

 
siendo μ el coeficiente de Poisson del material. La variación de área de la sección transversal de la barra
puede calcularse con la fórmula,
EF
F 
 

22

13. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
Para hallar la variación absoluta del volumen de la barra se emplea la expresión
 
 

 dxN
E
V x
21
La integración se realiza sobre cada tramo, la suma abarca todos los tramos. Si la barra se tracciona o se
comprime por las fuerzas P, aplicada a los extremos entonces,
  lP
E
V 


21
Problemas de aplicación
Ejercicio IV: Dados P, q, l, Fx, E y μ, Calcular x, Fx / Fx y V.
Resolución:
El esfuerzo axil y la tensión normal en una sección transversal en una sección
arbitraria son,
xx
x
xx
F
xqP
F
N
xqPN

 ;
Puesto que según la ley de Hooke, el alargamiento unitario vale
x
x
x
FE
xqP
E 




la variación unitaria del área de la sección será,
x
x
x
x
FE
xqP
EF
F






 22
y la variación absoluta del volumen de la barra,
        l
l
qP
E
dxxqP
E
dxN
E
V
ll
x 











  2
212121
00

Ejercicio V: Dado el reticulado plano que se indica en la figura, cuyas barras serán construidos por dos
perfiles ángulo de alas desiguales
(según norma DIN 1029) se
solicita:
1. Dimensionar la barra AD.
2. Determinar para la barra
dimensionada los planos
principales de corte y sus
respectivas tensiones
mediante la circunferencia
de Mohr.

14. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Datos: a = 2m; P1 = P2 = P3 = 30 KN; adm = 12 KN/cm2
Resolución:
1) Dimensionamiento de la barra AD
Las reacciones de vínculo en los apoyos A y B actúan hacia arriba, y por razones de simetría (geométrica
y de cargas), tienen la misma magnitud:
 KNPRR
i
iBA 45
2
1 3
1
 
Para calcular el esfuerzo en la
barra, se realiza el diagrama
del cuerpo libre en el nudo A,
como se muestra en la figura:
Planteando las dos ecuaciones
de equilibrio de proyección de
fuerzas tendremos:
a) Sobre el eje y (compresión):
   KN
KNR
N
NRP
A
AC
ACAiy
63,100
)'3426sin(
45
)sin(
)sin(0






b) Sobre el eje x (tracción):
    KNKNNN
NNP
ACAD
ACADix
90)'3426cos(.63,100)cos(
)cos(0




Para dimensionar la barra (AD) debe cumplirse que:
   2
2
5,7
12
90
cm
cm
KN
KNN
F
F
N
adm
ADAD
adm 







De la tabla de perfiles (L - DIN 1029 – 50x30x5) se obtiene:  2
1 78,3 cmF  y como la barra está
conformada por dos perfiles idénticos será:
 2
1 56,72 cmFFbarra 
2) Determinación de los planos principales de corte y sus tensiones respectivas, mediante la
circunferencia de Mohr
En cualquier sección transversal de la barra AD se tiene que:
 
  



 22
90,11
56,7
90
cm
KN
cm
KN
F
N
AD
AD
z
Como se observa en la figura, los planos principales de corte son bisectores de los planos principales.

15. Solicitación Axil (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
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 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko