The double integration method produces equations for the slope and allows direct determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to solve almost any combination of load and support conditions in beams.

1. Determinación de la ecuación de la curva elástica
por el método de la doble integración.
8/14/2015
Equipo Numero Uno
Jesús Arturo Cid Blancas *Hugo Fernando Sánchez Castelán *Edgar Jovanni Meneses Torres
*Francisco Medel González *Gustavo Arturo Rodríguez Robles
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Escuela superior de Ciudad Sahagún.
Licenciatura en Ingeniería Mecánica.
Mecánica de solidos.
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2. Índice
8/14/2015
Abstract / Resumen
Palabras clave
Método de la doble integración.
Conclusiones
Bibliografía
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3. Abstract / Resumen
8/14/2015
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• El método de la doble integración produce ecuaciones para la pendiente y permite
la determinación directa del punto de máxima deflexión. Por lo tanto es un método
geométrico. Es el método mas general para determinar deflexiones. Se puede usar
para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas.
• The double integration method produces equations for the slope and allows direct
determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric
method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to
solve almost any combination of load and support conditions in beams.

4. Palabras clave
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5. Parámetros para la deducción.
• Material homogéneo.
• La tensión debe ser proporcional a la deformación.
• Recordando que una viga trabaja a flexión simple cuando en
cualquier sección existe momento flector y esfuerzo córtate.
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6. Ecuación diferencial de la elástica.
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𝟏
𝝆
=
𝑴(𝒙)
𝑬𝑰
Ecuación de relación de la curvatura de la superficie neutra con el
momento flector en una viga sometida a flexión pura:
Decimos que el valor de x dependerá de la longitud hacia un extremo de
la viga
𝜌: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐸: 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐼: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙.
𝑀 𝑥 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

7. Radio de curvatura
• Puede definirse con la expresión
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𝟏
𝝆
=
𝒅 𝟐
𝒚
𝒅𝒙 𝟐
𝟏 +
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐
𝟑
𝟐
𝑘 =
𝑦´´
1 + 𝑦´2 −
3
2

8. • Dado que las deflexiones son muy pequeñas, se puede despreciar el
termino relativo de la primera derivada y se obtiene:
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𝟏
𝝆
=
𝒅 𝟐 𝒚
𝒅𝒙 𝟐
=
𝑴(𝒙)
𝑬𝑰
• Es ya una ED ordinaria lineal, de segundo orden, que nos dice el
comportamiento de la curva elástica, que nos dice las deflexiones
que experimenta una viga sometida a cargas transversales


9. Aplicación de la doble integración a la ecuación de
la elástica.
𝟏
𝝆
=
𝒅 𝟐 𝒚
𝒅𝒙 𝟐
=
𝑴(𝒙)
𝑬𝑰
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Tenemos que:
𝐸𝐼: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛
En caso de que varié EI a lo largo de la viga, debe expresarse en función de ´x´ antes de integrar de ED.
Pero para una viga rectangular la rigidez es constante.
Si EI=constante podemos multiplicar ambos miembros por la rigidez, e integrar con respecto a ´x´
𝑬𝑰
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟎
𝒙
𝑴 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 𝟏
𝐶1 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎)


10. • Dado que la variación de deflexión es muy pequeña podemos
decir:
• Y esto se puede determinar la inclinación de la recta tangente
a la curva de la elástica para cualquier longitud ´x´
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𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒕𝒈(𝜽) ≅ 𝜽
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11. • Al integrar de nuevo obtenemos la deflexión para cualquier
distancia. Desde un extremo de la viga.
•
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𝑬𝑰 𝒚 =
𝟎
𝒙
𝟎
𝒙
𝑴 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐
𝐶2 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎)


12. Condiciones de frontera
• Para establecer los valores de 𝐶1 y 𝐶2 se debe de conocer la deflexión y/o el ángulo de deflexión en
algún punto. Generalmente es en los apoyos donde esta esta información .
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Del apoyo A se puede establecer
x = 𝐿 𝐴→ 𝑦 = 0
Y, debido al apoyo en B:
x = 𝐿 𝐵→ 𝑦 = 0
Debido al empotramiento en A
x = 𝐿 𝐴→ 𝑦 = 0
x = 𝐿 𝐴→ 𝜃 = 0
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13. Determinación de la ecuación del momento
• Para encontrar la ecuación del momento en una viga que se
encuentra en un tramo cargada uniformemente se utiliza la
siguiente relación:
• 𝑀 =
𝑤𝐿2
2

14. Determinación de la ecuación del momento
• Consideremos una viga de El constante, cargada como en la
figura La ecuación de la curvea elástica se escribe como:

15. • Para el segmento AB esta ecuación es:
• El símbolo ‹ › tiene las propiedades siguientes;
• 1. Si la cantidad dentro de ‹ › es negativa, su valor es cero.
• 2. Si la cantidad dentro de ‹ › es positiva, sustituimos el símbolo por un paréntesis común

16. • Conservando el extremo A como el origen de x, podemos
escribir la ecuación de la curva elástica entre B y C como:
• Por consiguiente, la ecuación, es válida para todo el tramo comprendido entre A y C.

17. • La ecuación del momento valida para toda la viga es:
• Por consiguiente, la ecuación describe la curva elástica para toda la viga.

18. • Para ilustrar la ecuación resultante para la pendiente y la
deflexión, integramos la ecuación dos veces, para obtener las
ecuaciones

19. • Las dos constantes de integración 𝐶1 𝑦 𝐶2. Se calculan reconociendo que la deflexión es cero en los
dos extremos de la viga.
• Usando la condición 𝑦 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 0; Y evaluando en la ecuación de la deflexión (3), hallamos que
𝐶2 = 0
• Nótese que las cantidades dentro de ‹ › fueron negativas, y por consiguiente, se evalúan como cero.
𝐶2 = 0

20. • La constante 𝐶1se calcula usando la condición de que y = 0 en x
= L, en la ecuación de la deflexión. Resolviendo esto, tenemos.

21. Ejemplo

24. • 1.- En A, para X=0, la ordenada y=0, sustituyendo estos valores en la ecuación de la
deflexión, se obtiene 𝐶2 = 0. Recordando que ‹x − 2 ›3 no existe para valores
menores que 2 ya que harían negativo el paréntesis .
• 2- para calcular 𝐶1sustituimos en la ecuación de la deflexión el valor de 𝐿 = 𝑥 y 𝑦 =
0

25. • Calculemos la máxima deflexión, esto igualando a 0 la
expresión de la pendiente, es decir, hallando el punto de la
pendiente nula.

26. • Sustituimos el valor de x en la ecuación de la deflexión
*El valor negativo indica que la ordenada esta debajo del eje x

27. • El producto 𝐸𝐿𝑦 se expresa en 𝑁. 𝑚3
, ya que proviene de la
doble integración
• Expresando 𝐸 𝑒𝑛
𝑁
𝑚2 e 𝐼𝑒𝑛 𝑚4
se obtiene por ejemplo si 𝐸 =
10𝑥109 𝑁
𝑚2 e 𝐼 = 1.5𝑥10−6
𝑚4

29. Conclusiones
• En este caso aplicamos el método de la doble integración para conocer la pendiente, y la deflexión a
cualquier distancia de una viga, pero ahora vemos que el tipo de apoyos que se tengan en la viga,
tomando solo los mas comunes, es otro método que se puede usar para el análisis estructural de las
vigas simples, recordando que el material debe de tener las mismas características, en resumen ser
el mismo tipo de material. Francisco.
• Como ya vimos anteriormente todos los métodos que analizados son importantes para determinar
las deflexiones en una viga y este método de la doble integración nos puede ser muy útil y puede ser
aplicado fácilmente a cualquier viga presentada, pienso que es uno de los métodos mas confiables y
que al estudiarlo mas a fondo y analizarlo podemos sacar muchos mas elementos que nos ayuden en
el análisis de una viga para evitar posibles flexiones que deforme total o parcialmente a la viga.
J. Arturo Cid
8/14/2015

30. Bibliografía
8/14/2015
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FERDINAND P. BEER, E. R. (2010). MECÁNICA DE MATERIALES. México, D. F.:
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES.
Flores, J. E. (2007). Analisis de Estructuras II. Universidad industrial de
Santander.
Singer, F. L. (1994). Resistencia de Materiales . Mexico: Oxford.