[1] El documento describe las propiedades de las secciones transversales en vigas, incluyendo el centroide, momentos de inercia, y producto de inercia. [2] Explica cómo calcular las coordenadas del centroide para diferentes formas geométricas y áreas compuestas. [3] Muestra ejemplos numéricos para hallar el centroide y los momentos de inercia de secciones como rectángulos y cuartos de círculo.

1. Propiedades de secciones
planas transversales en vigas
José Luis Morales
jlm_udal@hotmail.com
Ingeniería Civil, UDAL
Abril, 2017

2. Propiedades de secciones planas transversales
en vigas
Todo analista estructural debe tener conocimiento de las propiedades
planas transversales en vigas puesto que son los conceptos básicos en
los cálculos de esfuerzos y dimensionamiento de vigas, por mencionar
algunas aplicaciones. Los temas que se verán en este trabajo se enlistan
a continuación y se definirán más adelante:
1. Centroide
2. Momentos de Inercia
3. Momento polar de Inercia
4. Producto de Inercia
5. Teorema de los ejes paralelos para Momentos de
Inercia

3. Introducción al centroide: Centro de Gravedad
Antes de definir el centroide vamos a definir el centro de gravedad (cg).
Sea la Figura 1 un elemento estructural que no tiene forma definida, el
cg es el punto geométrico donde toda la masa del elemento se
concentra conservando mismas características de momentos internos,
es decir, este punto es equivalente a todo el elemento estructural en
estudio. También se dice que en el punto de cg el sistema estará en
equilibrio rotacional.
Figura 1. Elemento estructural sin forma definida
● A y B son dos volúmenes arbitrarios del elemento
estructural que poseen un peso, Fi
, que es vertical
y está dirigido al centro de la Tierra.
● xi
son las distancias (brazos de palanca) medido
del origen, O, hasta donde están cada peso, Fi
, es
decir, al cg de cada elemento de volumen.
● ẋ’ es la distancia al centro de gravedad y es lo
que se desea conocer
● C es el punto representado por cg
● Fg es el peso de todo el elemento estructural
concentrado en C

4. Como se había mencionado, el cg debe estar en equilibrio rotacional, es decir, la suma de
momentos en C debe ser cero. Aunque en este esquema se tomaron dos elemento de
volúmenes arbitrarios debe entenderse que el estudio debe hacerse con todos los elementos
de volumen que integren el total del cuerpo. De la figura 1, se tiene:
Al numerador de
esta ecuación se
le llama
“Momento
estático”
Figura 1. Elemento estructural sin forma
definida (imagen repetida)

5. Debido a que Fuerza=masa (m)*gravedad (g); y masa=densidad ( )*volumen (V). La fuerza
para cada volumen arbitrario queda: F= *V*g.
Luego, si el elemento estructural usado en ingeniería, tiene misma sección transversal en toda
su longitud, L, el volumen de la ecuación anterior queda: V=área de la sección transversal (A)*
longitud de la viga (L). Con L=constante; además también se puede considerar constante a la
densidad del material y a la gravedad que afecta la viga, por lo que se pueden eliminar
quedando:
Para una viga que tiene mismo claro y composición para cada uno de los elementos
de área de su sección transversal: !!El cg SÓLO DEPENDE DE LAS ÁREAS DE
LA SECCIÓN TRANSVERSAL Y LOS BRAZOS DE PALANCA MEDIDOS DE UN
PUNTO ORIGEN, O.!!!. Haciendo lo propio para el eje y:
Al no depender del volumen ni del material, a estas coordenadas se les llama
“COORDENADAS DEL CENTROIDE” (término cg se toma para cuando importa el volumen)

6. 1. Centroide
En términos generales, es el punto geométrico por donde
el eje neutro1
pasa en una sección transversal
1. eje que bajo flexión y torsión no cambia su longitud. De acuerdo a lo que mencionamos
en la diapositiva anterior, se puede decir también de aquel eje que pasa por el centro de
gravedad, cg.
Coordenadas centroidales para áreas con formas geométricas cuadradas
o rectangulares:
Coordenadas centroidales para áreas con fronteras curvas:
(1)
(2)
Al numerador de
esta ecuación se le
llama “Momento
estático”

7. 1.a. Ubicación de los ejes centroidales: xc
y yc
1.a.1. á í , ó
ón.
De la Figura 2, en los tres perfiles, el origen se encuentra en el centro de las
secciones transversales, por sus 2 ejes de simetría.
● Para la primera figura el eje xc
se encuentra en b/2 y h/2 para eje yc
.
● Para la figura central el eje xc
y eje yc
se encuentran en el centro del círculo.
● Para la tercera figura el eje xc
se encuentra a la mitad de la base del patín y
el eje yc
a la mitad del peralte del viga.
Figura 2. Perfiles con dos ejes de simetría.
Nota: Los ejes ubicados fuera del centroide son rotulados sin subíndices, es decir, ejes x y y
xc
xc
xc
ycyc
yc

8. 1.a.2. á í , el e
En este ejemplo puede observarse que el
centroide pasa por la mitad de la altura de la
viga aunque no puede precisarse a qué
distancia de la base se encuentra el origen y
habrá que aplicar la ecuación (1) para
encontrar la coordenada.
1.a.3. á í , ó
ón
Puede observarse en la parte central de la
figura al rotarse 180° la figura queda
idéntica que al inicio, por lo que se dice que
tiene un punto de simetría y en ese punto
deberán colocarse los ejes centroidales.
Figura 3. Perfil con un eje de simetría, por ejemplo, el perfil C
Figura 4. Perfil con un punto de simetría.
Nota: Una comprobación de saber si se ha elegido bien el centroide es calculando el momento
estático ( Ai
xi
y Ai
yi
), en dicho punto y el resultado debe ser cero
xc
yc
xc
yc

9. 1.b. Centroide de áreas compuestas de rectángulos
De la ecuación (1).
Por ejemplo, en un perfil “L” puede presentarse 2 esquemas básicos para los centroides :
Figura 5. Suma de dos áreas rectangulares Figura 6. Resta de dos áreas rectangulares
PASO 1: Identificar rectángulos en la sección transversal
PASO 2: Ubicar los ejes x y y en un vértice; y O donde se comenzará la medición de distancias
PASO 3: Identificar las áreas, A, y las coordenadas de los centroides (x,y) por inspección de
cada rectángulo.
PASO 4: Obtener el centroide de todo el perfil usando la ecuación (1)

10. 1.b. Ejemplo: Centroide de áreas compuestas de rectángulos
Obtener el centroide de la sección transversal “L” por los dos métodos
mostrados anteriormente de la figura indicada:
10cm
8.0 cm
20 cm
5.0cm
MÉTODO 1 (PARA FIGURA 5):
PASO 1: Identificar rectángulos en la sección
transversal
PASO 2: Ubicar los ejes x y y en un vértice; y O
Y
XY
X
O
O
PASO 3: Identificar las áreas, A, y
las coordenadas de los centroides
por inspección de los rectángulos,
que son la mitad de cada
lado.Nota: x2
=8.0cm+(12cm/2) que
es el valor medido desde O hasta
el centroide de A2
PASO 4: Obtener el centroide de todo el perfil
usando la ecuación (1) y suma de áreas
A1
=8.0cm*10cm=80cm2
.
A2
=12cm*5.0cm=60cm2
.
x1
=4.0cm; y1
=5.0cm
x2
=14cm; y2
=2.5cm
80cm2
*4.0cm+60cm2
*14cm
80cm2
+60cm2
=8.29cm
80cm2
*5.0cm+60cm2
*2.5cm
80cm2
+60cm2
3.93cm
C=(8.29cm,3.93cm)EL CENTROIDE DEL PERFIL SE
ENCUENTRA A PARTIR DE O:

11. MÉTODO 2
(PARA FIGURA 6):
PASO 1: Identificar rectángulos
en la sección transversal
PASO 2: Ubicar los ejes x y y en
un vértice; y O.
Nota: Recordar que aquí se
restará el área dos del área uno
10cm
8.0 cm
20 cm
5.0cm
10cm
20 cm
5.0cm
12 cm
A1
A2
Y
X
Y
X
O O
―
PASO 3: Identificar las
áreas, A, y las
coordenadas de los
centroides por
inspección de los
rectángulos,
A1
=20cm*10cm=200cm2
.
x1
=10cm; y1
=5.0cm
A2
=12cm*5.0cm=60cm2
.
x2
=8.0cm+(12cm/2)=14cm;
y2
=5.0cm+(5.0cm/2)=7.5cm
5.0cm
8.0 cm
PASO 4: Obtener el centroide de todo el perfil usando la ecuación (1) y
resta de áreas
200cm2
*10cm-60cm2
*14cm
200cm2
-60cm2
=8.29cm
200cm2
*5.0cm-60cm2
*7.5cm
200cm2
-60cm2
=3.93cm
C=(8.29cm,3.93cm)
Que es el mismo resultado
obtenido por el método 1
EL CENTROIDE DEL PERFIL SE
ENCUENTRA, A PARTIR DE O:

12. 1.c. Centroide de áreas con fronteras curvas
De la ecuación (2):
x
1. Donde, el denominador de la ecuación (2), ∫dA=Área de la sección
transversal, A.
2. En la figura de abajo, se muestran dos diferentes tipos de elemento diferencial
de área, dA, y horizontal l.
3. Si se toma el elemento diferencial, dA, como franja
vertical, entonces la función de la curva queda en
términos de las abscisas, f(x), y ecuación (2) queda:
4. Si se toma el elemento diferencial, dA,
como franja horizontal, entonces la función
de la curva queda en términos de las
ordenadas, f(y), y la ecuación (2) queda:
Figura 7. Elementos diferenciales de área, dA

13. 1.c.Ejemplo de Centroide de áreas con fronteras curvas
Hallar el centroide de la viga de acero con longitud, L, de 3.0 m y perfil de un
cuarto de círculo de radio, r, de 25 cm, como se muestra en la figura 8:
3.0 m
0.25 m
PASO 1: Identificar la sección transversal,
función de la curva y diferencial de área
usando literales. La ecuación de la
circunferencia es x2
+y2
=r2
. En este ejemplo
se tomará el elemento de área como franja
vertical, por lo tanto se tomarán las
ecuaciones del punto 3 de la diapositiva
anterior. Despejando “y” de la ecuación del
cpirculo: f(x)=y=(r2
-x2
)½
, como se muestra
en la figura 9.
Figura 8. Viga de acero
Figura 9. Sección
transversal de la viga
de acero
PASO 2: Obtener el numerador de la ecuación
(2) y punto 3, es decir, el momento estático y
los límites de la integral:
r

14. PASO 2: Integrar el momento estático. Puede verse que el método de integración es por
sustitución “u du”.
Realizando la sustitución y la integración correspondiente, se tiene:
r2
0

15. PASO 3: Hallar el área de la sección transversal. Ustedes saben que el área del
círculo es r2
y por lo tanto para un cuarto de círculo será:
A= r2
/4
PASO 4: Hallar las coordenadas centroidales para fronteras usando la ecuación
(2). Nota, para un cuarto de círculo, la coordenada en el eje x es el mismo para el
eje y, por ello con sólo una coordenada centroidal es suficiente:
PASO 5: Sustituir el valor
del radio en las
coordenadas centroidales:
4(0.25 m)
3(3.1416)
=0.106 m C=(0.106 m,0.106 m)
r=0.25 m

16. 2. Momentos de Inercia, Ix
y Iy
Físicamente son una proporción de la rotación que sufre una viga debido a
cargas transversales. De manera similar que los centroides, estos momentos
dependen del área plana de la sección transversal y de los elementos
diferenciales de área. Matemáticamente se definen como:
Momentos estáticos
Sustituyendo los momentos estáticos:
OBSERVACIONES:
1. Los ejes x y y deben tener su origen en el centroide y el perfil simétrico; en
caso contrario se hace uso del teorema de ejes paralelos que se verá más adelante.
2. Por conveniencia el elemento diferencial, dA, se tomará como franja horizontal
para Ix
y como franja vertical para Iy
.
3. Al igual que el centroide, lo momentos de inercia pueden sumarse o restarse.
(3)

17. 2. Ejemplo de Momentos de Inercia, Ix
y Iy
Figura 11. Perfil rectangular
Considere un rectángulo con ancho b y altura h, como se
muestra en la figura 11. Calcular los momentos de Inercia
en el centroide.
h
b
PASO 1: Identificar el centroide por
inspección; recordando que se
encuentran en b/2 y h/2. Colocar ejes
centroidales: xC
y yC
.
h/2
b/2
C xC
yC
PASO 2: Iniciar cálculo de integral
de Ix
, tomando dA como franja
horizontal. E identificando los
límites de integración:
h/2
b/2
C xC
yC
Para una franja horizontal:
● dA=b*dy;
● límite inferior=-h/2
● límite superior: h/2
PASO 3: Resolver Ix
, de ecuación (3)
∫= y2
b dy=
h/2
-h/2
b y3
3
+ C
h/2
-h/2
=
b h3
24
+
b h3
24
=
b h3
12

18. PASO 4: Iniciar cálculo de integral
de Iy
, tomando dA como franja
vertical. E identificando los límites
de integración:
h/2
b/2
C xC
PASO 5: Resolver Iy
, de ecuación (3)
∫= x2
h dx=
b/2
-b/2
h x3
3
+ C
b/2
-b/2
=
h b3
24
+
b h3
24
=
h b3
12
yC
Para una franja vertical:
● dA=h*dx;
● límite inferior=-b/2
● límite superior: b/2
3. Momento Polar de Inercia, Ip
Es una expresión matemática que se obtiene al estudiar vigas sometidas a
torsión.
O. Véase figura 12.

19. Figura 12. Momento polar de Inercia es la suma de los momentos de Inercia
3. Ejemplo de Momento Polar de Inercia, Ip
Calcular el momento de Polar de Inercia del rectángulo
con ancho b y altura h, de la figura 11.
Figura 11. Perfil rectangular
h
b
=
b h3
12
+
h b3
12
(4)
=
h b
12
(h2
+b2
)
De la ecuación 4.
Tomando los resultados del
ejemplo 2:
Factorizando por
término común:

20. 4.a. Producto de Inercia, Ixy
á
á .
Matemáticamente se expresa como:
(5)
Nota:
ía. Tener presente el uso del elemento diferencial como franja vertical y
horizontal, para los correctos valores de los momentos estáticos.
4.b. Ejemplo de Producto de Inercia, Ixy
con simetría en el perfil
Calcular el Producto de Inercia del
rectángulo con ancho b y altura h, de la
figura 11 en el eje de simetría.
Figura 11. Perfil rectangular
h
b
12
Eje de
Simetría
Como el eje de simetría divide el perfil en dos cuadrantes el producto
de inercia de secciones 1 y 2 son iguales pero con sentidos opuestos,
cancelándose. Por lo tanto el resultado es CERO

21. 4.c. Ejemplo de Producto de Inercia, Ixy
sin
simetría en el perfil
Hallar el Producto de Inercia, Ixy
del perfil de un cuarto de círculo de
radio, r, en el centro del círculo, O, como se muestra en la figura 9:
Figura 9. Sección transversal de
cuarto de círculo
r
PASO 1: Identificar el elemento diferencial de área, dA,
como franja vertical u horizontal. En este ejemplo se
considerará el elemento vertical como se muestra en la
figura.
PASO 2: Identificar el “momento estático en el eje y” por
haber seleccionado franja vertical. (ver sección 1.c. ) y
Sustituir en ecuación (5)
0
r
0
r

22. 3
―
Multiplicando y Eliminando
radicales.
Multiplicando x por ambos términos y
reacomodando:
0
r
0
r
0
r
―
4
4 + C
0
r
Integrando:
― 4
4
4
4
― 8
4
8
r4
Evaluando en los límites de Integración:

23. 5.a. Deducción del Teorema de Ejes Paralelos para
Momentos de Inercia para perfiles no-rectangulares
Se aplica para cuando el perfil de una viga no posee ejes de simetría, de tal
modo que la integración para obtener los Momentos de Inercia puede
complicarse. El teorema de Ejes paralelos facilita su cálculo al realizar
operaciones en ejes no-centroidales (xC
y yC
) sino en ejes x y y tradicionales
(llamados “ejes paralelos”) como se muestra en la Figura 13.
Figura 13. Deducción del Teorema de Ejes Paralelos
1. El momento de Inercia medido en el eje
centroidal, xC
está dado por:
=
2. El momento de Inercia medido en el
“eje paralelo, x” está dado por:

24. 3. Desarrollando el binomio al cuadrado del momento de Inercia medido en el “eje
paralelo, x” está dado por:
2
Simplificando:
El teorema de ejes paralelos proporciona el
Momento de Inercia Centroidal, calculando
el momento de inercia fuera de centro
menos la distancia perpendicular del eje
paralelo al eje centroidal al cuadrado por el
área de la sección transversal.
Despejando se tiene:
(6)
Nota: IyC
se obtuvo de manera análoga

25. 5.b. Deducción del Teorema de Ejes Paralelos para
Momentos de Inercia para perfiles compuestos
rectangulares
Se aplica para cuando se tiene un perfil compuesto de rectángulos. En este
caso, el Teorema de Ejes Paralelos pide calcular los “momentos de inercia
centroidales de cada rectángulo, Ixi
y Iyj
” y después calcular el “momento de
inercia centroidal total, Icx
y Icy
”, como se muestra en la Figura 14.
Figura 14. Deducción del Teorema de Ejes Paralelos para perfiles compuestos
1. El momento de Inercia medido en el eje
centroidal, xC1
está dado por:
=
2. El momento de Inercia medido en el
“eje paralelo, xC
” está dado por:
1
y
C
1
c
o
xC
yC1
xC1
d1
d2 x
y
c

26. 3. Desarrollando el binomio al cuadrado del momento de Inercia medido en el “eje
paralelo, x” está dado por:
2
El teorema de ejes paralelos
proporciona el Momento de Inercia
Centroidal, calculando el momento
de inercia centroidales para cada
rectángulo más la distancia
perpendicular del eje paralelo al eje
centroidal al cuadrado por el área de
la sección transversal.
Simplificando se tiene:
(7)
Nota: IyC
se obtuvo de manera análoga
c
c
c
1
1

27. 5. Ejemplo del Teorema de Ejes Paralelos para
Momentos de Inercia
a) Hallar el Momento de Inercia Ixc
en el Centroide del perfil W mostrado en
la Figura 14.
Figura 14. Perfil W
PASO 1: El perfil W tiene en las uniones del patín y el alma
de la viga una forma curva, así que vamos a aproximar el
perfil como si estuviera formado de rectángulos de base, b,
y altura, h, para facilitar el cálculo. De esta manera vamos
a aplicar la ecuación (7) para perfiles compuestos de
rectángulos.
Así mismo identificamos
los rectángulos formados
y aquí están numerados
como 1,2 y 3. Puede
observarse que el
rectángulo 1 es igual al
rectángulo 3.

28. PASO 2: Identificar por inspección el centroide, C,
de todo el perfil; en este caso se encuentra en la
intersección de los ejes 1 y 2, y rotulados como xc
y
yc
. Identificar los centroides de cada rectángulo,
aquí rotulados como C1
, C2
y C3
. Observe que C2
coincide con el centroide total, C, del perfil.
Identificar Las distancias, di
, perpendiculares al eje
x donde se han identificado para los rectángulos 1 y
3 que d1
=d3
y d2
=0 porque el C2
coincide con C.
C Nota: si se trabajara con Iyc; las distancias, di
,
perpendiculares al “eje y” todas serían cero porque
todos los centroides coinciden en este eje
PASO 3: Obtener las áreas de cada rectángulo:
A1=A3=b1 x h1
A2=b2 x h2

29. PASO 5: Aplicar el Teorema de Ejes paralelos de la ecuación 7, para I1
, I2
y I3
:
PASO 4: Calcular los momentos de Inercia en su centroide de cada rectángulo por separado,
rotulados aquí como Ixi
Recordando los resultados mostrados en ejemplo de la sección 2; en
la que los momentos de inercia para secciones rectangulares son:
RECTÁNGULO 1 Y 3:
b1
h3
1
12Ix1
=Ix3
=
RECTÁNGULO 2:
b2
h3
2
12Ix2
=
c 11
b1
h3
1
12
= + d2
1
b1 x h1
c 22
b2
h3
2
12
=
c 33
b3
h3
3
12
= + d2
3
b3 x h3
PASO 6: Sumar todos los momentos de Inercia anteriores:
Ixc
=Ixc1
+Ixc2
+Ixc3

30. b) Hallar el Momento de Inercia en el Centroide del perfil W 10x15,
mostrado en la Figura 15.
Figura 15. Perfil W 10x15
Usando los resultados obtenidos del PASO 5:
c1
b1
h3
1
12 + d2
1
b1 x h1
102mmx(6.86mm)3
12
+(123.57mm)2
102mmx6.86mm
=
c1
=10687150mm4

31. c2
b2
h3
2
12
c3
= 5.84mmx(240.28mm)3
12
=6751254.36mm4
Recordar que por simetría Ixc1
=Ixc3
:
c1
10687150mm4
Obtener el momento de inercia en el centroide total:
Ixc
=Ixc1
+Ixc2
+Ixc3
=(10687150+6751254.36+10687150)mm4
Ixc
=28125554.36 mm4
Nota: recordar que este resultado es una aproximación porque el perfil W posee
algunas curvas que se ignoraron al tomar rectángulos, aun así es el resultado
obtenido es una muy buena aproximación.

32. REFERENCIA
Gere, J.M. & Goodno, B. (2009). Mecánica de Materiales.
México, D.F.:Cengage Learning