3. Inecuaciones Lineales
Para entender los fundamentos de la programación lineal es
necesario saber e interpretar los sistemas de inecuaciones lineales.
Inecuaciones lineales con dos variables:
• Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión
de forma:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
• (el símbolo ≤ puede ser también ≥, < ó >), Donde a, b
y c son números reales, x e y las incógnitas.
4. Si se requiere resolver o graficar una inecuación
solo basta con seguir el ejemplo siguiente:
Ejemplo:
Resolver la inecuación: 2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3.
Solución:
• Paso 1: Se debe igualar la inecuación a -3. (Para encontrar la recta que la
representa)
2𝑥 + 3𝑦 = −3
• Paso 2: Luego se despeja la variable y. (tomando en cuenta que si en una
inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido).
𝑦 ≥
−3 − 2𝑥
3
5. • Paso 3: Se procede a realizar
el gráfico, como cualquier
función lineal (función lineal
obtenida en el paso 1).
No obstante debemos considerar
que La recta divide al plano en dos regiones,
una de las cuales es la solución de la inecuación,
es decir, podemos reemplazar cualquier punto que no
pertenezca a la recta en la inecuación, y la desigualdad
se seguirá cumpliendo.
(Figura 2.a).
6. • Paso 4: debemos demostrar que la zona del semiplano señalado (en
amarillo), son la respuesta de la inecuación, en este caso elegimos el
punto, P = 1,2 y lo remplazamos en la Inecuación 2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3.
2 × 1 + 3 × 2 = 8, es decir, 8 ≥ −3
Como la igualdad en el ejercicio anterior graficado en la
figura 2.a, es verídica, se puede concluir que el punto 𝑃 = (1,2) es
solución ya que está contenido en el semiplano señalado y además
satisface la desigualdad.
8. Ejemplo:
Resolver el sistema de inecuaciones siguientes:
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
Solución:
• Paso 1: Se procede a graficar cada una de las inecuaciones,
siguiendo los pasos anteriormente mencionados. Cada una de las
inecuaciones está representada por las rectas respectivas, como
se muestra en la figura 2.b:
2𝑥 + 3𝑦 = −3 (Recta r)
2𝑥 − 𝑦 − 9 = 0 (Recta t)
2𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0 (Recta s)
10. Nota:
Debemos considerar además que en ocasiones
los sistemas de inecuaciones,
en donde falta alguna incógnita, por ejemplo, 𝑥≥ 𝑘 o
también 𝑦≥ 𝑘. Corresponden a inecuaciones,
cuyas rectas son horizontales o verticales, en los cuales
en programación lineal son llamados “casos extremos”.
De estos casos, podremos analizar mejor en temas
posteriores.
12. Estructura Básica De Un Problema
De Programación Lineal
Un problema de Programación Lineal consta de una función
objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en
la forma de igualdades o desigualdades.
Algunos Conceptos Importantes:
• Función Objetivo: Es La función por optimizar (maximizar o Minimizar)
• Restricciones: Representan Las condiciones que es preciso satisfacer,
Representado Por Un sistema de desigualdades (≤ ó ≥). Pueden Ser de tipo
Estructural o de no negatividad.
• Conjunto Factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de
resolución.
• Solución Factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el
problema.
• Solución Óptima: Constituye la solución al problema de Programación Lineal.
13. Estructura Básica De Un Problema De
Programación Lineal
Ejemplo: Maximizar La Siguiente Función
Función Objetivo
(Representada Generalmente Por Un Vector)
Restricción De Tipo Estructural
(Representa Limitaciones de Recursos u Otros
Dados En Problema)
Restricción De No Negatividad
(Garantiza Que las Variables De Decisión
No Sea Negativa)
𝑃 = 3𝑥 + 2𝑦
Sujeto A: 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
14. • Paso 1: Se grafica cada una de las inecuaciones, con los Métodos ya mencionados.
• Paso 2: Se Identifican Cada uno de los vértices del polígono del conjunto factible.
Se observa en qué vértice la función P se hace máxima (o mínima)sin más que tener en cuenta
cual de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen, es decir, qué recta
corta en un punto mayor o menor al eje y.
15. • Paso 3: Se Procede a reemplazar cada un de los vértices en la función Objetivo,
𝑃 = 3𝑥 + 2𝑦
𝐴 = 𝑃(0,4) = 3 𝑥 0 + 2 𝑥 4 = 8.
𝐵 = 𝑃(3,2) = 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 = 13.
𝐶 = 𝑃(4,0) = 3 𝑥 4 + 2 𝑥 0 = 12.
Si Analizamos cada uno de los vértices obtenidos en la región
factible, obtendremos que la función se hace máxima en el Vértice B
(3,2), con lo que vendrá a ser la solución Del problema de programación
lineal
17. Ejercicio:
Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo
libre. La empresa A le paga 0,05€ por impreso repartido y la
empresa B, con folletos más grandes, le paga 0,07 € por impreso.
El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en
la que le caben 120, y otra para los de tipo B, en la que caben 100.
Ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como
máximo.
¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su
beneficio diario sea máximo?¿Á Cuánto Equivale Dicho Beneficio?
18. Solución:
• Paso 1: Vamos a llamar 𝑥 al número de impresos de tipo A e 𝑦 al
número de impresos de tipo B.
La función Objetivo, es decir que nos da el beneficio es:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0,05𝑥 + 0,07𝑦.
Las restricciones son:
0 ≤ 𝑥 ≤ 120
0 ≤ 𝑦 ≤ 100
𝑥 + 𝑦 ≤ 150
Debemos Maximizar La Función que representa el beneficio De Acuerdo
A Las restricciones ya mencionadas, que están determinadas por la capacidad
del bolso (R.E.) y por la ganancia que por razones obvia debe ser positiva
(R.N.N).
19. • Paso 4: El máximo se alcanza en el
punto de intersección de las rectas:
𝑥 + 𝑦 = 150
𝑦 = 100
- Se Procede a resolver el sistema:
𝑥 + 100 = 150
𝑥 = 150 – 100
𝑥 = 50
1.- Por tanto, habrá de repartir 50
impresos de tipo A y 100 de tipo B.
2.- El beneficio será de:
f(50, 100) = 0,05 · 50 + 0,07 · 100 = 9,5 €
• Paso 3: Se Procede a realizar la grafica correspondiente, a las inecuaciones
representadas por la restricciones, como sigue en la figura siguiente:
