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Guía racionalizacion complementaria

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Guía de Matemática complementaria
                                         Racionalización de Denominadores
          Nombre:

INTRUDUCCIÓN
                           3         1             a         5
Expresiones como                ,             ,         ,3        …, tienen en común que sus denominadores son irracionales o
                            2       2+ 3           2x        2
al menos aparecen en ellos alguna raíz.
La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores
en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan
en el denominador.
El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el
numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia.
                                                                                          A
I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:
                                                                                          a
                                          2
¿Cómo racionalizar la fracción                    ? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la raíz
                                           3
que aparece en el denominador, o sea                         3.
                   2    2⋅ 3   2 3 2 3
                      =      =     =
                                     ( )
Ejemplo:                                                         Se puede observar que el denominador original 3 (irracional)
                    3   3⋅ 3    3²   3                           se ha transformado en 3 (racional).
                  ( se amplifica por 3 )                         Además si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’,
                                                                 sigue siendo la misma, ya que al amplificar una fracción su valor
                                                                 no se altera.
                                                                         2        2 3
          Por lo tanto                                                        =
                                                                          3        3

                                                   Denominador                    Denominador
                                                    Irracional                     Racional
En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación.
I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (Desarrolla en tu cuaderno)

     5                                        3                                         15mx                      a+b
1.        =                          6.             =                             11.            =          16.      =
      2                                   2 3                                           2 5m                      ab
     3                                     5                                            20a ²b                  1+ 2
2.        =                          7.       =                                   12.            =          17.       =
      5                                 2 3                                              10a                       3
     1                                    12                                             2a
3.        =                          8. −      =                                  13.      =                       3− 2
      2                                     6                                          2ax                  18.         =
                                                                                                                     2
     1                                  21x                                           5ax
4.       =                           9.      =                                    14.     =                       2 3− 2
       3                                  7                                            5x                   19.          =
        3                                 2ab                                           1                            5
5. −          =                      10.        =                                 15.       =
          7                                6a                                          3mx

Srta. Yanira Castro Lizana
                                                                                                                          Página 1
A
II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:                                n
                                                                                   a
                                                         3
Para racionalizar, por ejemplo, la fracción          3
                                                             es necesario amplificar por          3
                                                                                                      2² , por lo cual se consigue
                                                         2
que el radicando sea 2³
                  3     3 ⋅ 3 2²   33 4      33 4
Ejemplo:             =3          =         = 3                           En general, si en el denominador aparece n a k es
                3
                   2     2 ⋅ 3 2² 3 2 ⋅ 2²     2³
                                                         necesario amplificar por n a n − k con el objeto de
                                                33 4
                                              =          igualar el índice de la raíz con el exponente del
                                                  2      radicando.
II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno)

       3                    4ab                                2a                            2 3a                       a b −b a
1.   3
          =              6.    3
                                  =                      10.   5
                                                                    =                  14.         =              18.             =
        5                      ab                               a³                            3
                                                                                                3a                        4
                                                                                                                            a ³b³
       4                       5m                               3a
2.         =             7. 4       =                    11. 5       =                                                   m−5
       3
     5 3                    2 2m                                2a ²                       1+ 2                   19.         =
                                                                                       15.       =                       m3 5
       m                     3a ²                              10                           25 2
3.   3
          =              8. 4     =                      12. 6 =                                                         x− a
        a                      2a                            3 2
                                                                                              a−2                 20.            =
       2x                     3x                                                       16.         =                    ax 5 x ³
4.          =                     =                          3 a                              4
                                                                                                a³
     3
        2a
                         9. 5                            13. 3   =                                                       a+ b
                               x²                              a                                                  21.              =
        3                                                                                  2 x− y                        b 4 ab
            =                                                                          17.        =
5.   3
                                                                                             5 xy
        m²
                                                                                               A
III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:                                                   =
                                                                                              a± b
Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de
  3 + 2 se amplifica por 3 − 2 . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual
a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.
                     3
                           =
                                        3⋅   ( 3 − 2) = 3 3 − 3 2 = 3                      3 −3 2 3 3 −3 2
                                                                                                 =         = 3 3 −3 2
Ejemplo
                    3+ 2       (   3+   2 ) ⋅ ( 3 − 2 ) ( 3 ) ² − ( 2 )²                   3− 2       1
III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores
          2                              2m                                            3                                2 3
1.              =                  6.            =                       10.                  =                 14.                =
         5− 2                           6− 2                                   2 3+ 2                                 2 7 −3 2
          7                             3 2                                       9
2.              =                  7.            =                       11.                  =                         2− 3
         5+ 3                           11 − 2                                  5−2 2                           15.            =
                                                                                                                        3− 2
          4                                                                       3
3.              =                        5 2                             12.          =
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          2                                                                                                             5− 3
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                                        10 + 3                                5−2 3                             17.                =
          3a                                                                                                          2 3− 2
5.              =
         2− 3

Srta. Yanira Castro Lizana
                                                                                                                              Página 2
3 −1
18.                =
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      2 3
20.            =
      3 3 +1




Srta. Yanira Castro Lizana
                             Página 3

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  • 1. Guía de Matemática complementaria Racionalización de Denominadores Nombre: INTRUDUCCIÓN 3 1 a 5 Expresiones como , , ,3 …, tienen en común que sus denominadores son irracionales o 2 2+ 3 2x 2 al menos aparecen en ellos alguna raíz. La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan en el denominador. El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia. A I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: a 2 ¿Cómo racionalizar la fracción ? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la raíz 3 que aparece en el denominador, o sea 3. 2 2⋅ 3 2 3 2 3 = = = ( ) Ejemplo: Se puede observar que el denominador original 3 (irracional) 3 3⋅ 3 3² 3 se ha transformado en 3 (racional). ( se amplifica por 3 ) Además si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’, sigue siendo la misma, ya que al amplificar una fracción su valor no se altera. 2 2 3 Por lo tanto = 3 3 Denominador Denominador Irracional Racional En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación. I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (Desarrolla en tu cuaderno) 5 3 15mx a+b 1. = 6. = 11. = 16. = 2 2 3 2 5m ab 3 5 20a ²b 1+ 2 2. = 7. = 12. = 17. = 5 2 3 10a 3 1 12 2a 3. = 8. − = 13. = 3− 2 2 6 2ax 18. = 2 1 21x 5ax 4. = 9. = 14. = 2 3− 2 3 7 5x 19. = 3 2ab 1 5 5. − = 10. = 15. = 7 6a 3mx Srta. Yanira Castro Lizana Página 1
  • 2. A II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: n a 3 Para racionalizar, por ejemplo, la fracción 3 es necesario amplificar por 3 2² , por lo cual se consigue 2 que el radicando sea 2³ 3 3 ⋅ 3 2² 33 4 33 4 Ejemplo: =3 = = 3 En general, si en el denominador aparece n a k es 3 2 2 ⋅ 3 2² 3 2 ⋅ 2² 2³ necesario amplificar por n a n − k con el objeto de 33 4 = igualar el índice de la raíz con el exponente del 2 radicando. II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno) 3 4ab 2a 2 3a a b −b a 1. 3 = 6. 3 = 10. 5 = 14. = 18. = 5 ab a³ 3 3a 4 a ³b³ 4 5m 3a 2. = 7. 4 = 11. 5 = m−5 3 5 3 2 2m 2a ² 1+ 2 19. = 15. = m3 5 m 3a ² 10 25 2 3. 3 = 8. 4 = 12. 6 = x− a a 2a 3 2 a−2 20. = 2x 3x 16. = ax 5 x ³ 4. = = 3 a 4 a³ 3 2a 9. 5 13. 3 = a+ b x² a 21. = 3 2 x− y b 4 ab = 17. = 5. 3 5 xy m² A III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: = a± b Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de 3 + 2 se amplifica por 3 − 2 . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces. 3 = 3⋅ ( 3 − 2) = 3 3 − 3 2 = 3 3 −3 2 3 3 −3 2 = = 3 3 −3 2 Ejemplo 3+ 2 ( 3+ 2 ) ⋅ ( 3 − 2 ) ( 3 ) ² − ( 2 )² 3− 2 1 III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores 2 2m 3 2 3 1. = 6. = 10. = 14. = 5− 2 6− 2 2 3+ 2 2 7 −3 2 7 3 2 9 2. = 7. = 11. = 2− 3 5+ 3 11 − 2 5−2 2 15. = 3− 2 4 3 3. = 5 2 12. = 7+ 2 8. = 1+ 5 7− 2 3 2 −2 3 16. = 2 5− 3 4. = 7 10 3 2 7+ 5 9. = 13. = 6−2 10 + 3 5−2 3 17. = 3a 2 3− 2 5. = 2− 3 Srta. Yanira Castro Lizana Página 2
  • 3. 3 −1 18. = 3 6 −2 3 3 2 19. = 5 2 −1 2 3 20. = 3 3 +1 Srta. Yanira Castro Lizana Página 3